HAAR SISTEMALARI

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Abduvakhobov Sherzodbek Ikromjon o’g’li Namangan viloyati Pedagogik mahorat markazi HAAR SISTEMALARI Annotatsiya: Ushbu maqolada Haar funksiyalarining asosiy xossalari, ular bilan tuzilgan ortonormal sistema va bu sistemaning to‘liqligi, shuningdek, martingal yondashuvlar orqali HaarFurye qatorlarining yaqinlashish masalalari tahlil qilinadi. Diadik σ-algebralar, submartingallar, Doobning maksimal tengsizligi va BDG teoremasi asosida Haar qatorlarining turli holatlardagi yaqinlashishi isbotlanadi. Bundan tashqari, lacunar qatorlar misolida Haar sistemasining cheksiz bazislar bilan bog‘liqligi ko‘rsatiladi. Kirish Funktsional analiz va ehtimollar nazariyasida Haar sistemalari muhim o‘rin egallaydi. Ular klassik Furye qatorlariga nisbatan ba’zi jihatdan afzalliklarga ega, xususan, Haar funksiyalari orqali qurilgan qatorlar martingal struktura bilan tabiiy bog‘liq. Ushbu maqolada Haar funksiyalari va ular asosidagi sistemaning ortonormalligi, to‘liqligi, va Haar-Furye qatorlarining turli konvergentsiya xossalari o‘rganiladi. Bu borada martingal yondashuv, submartingal teoremalari, Bessel tengsizligi, Riesz va BDG teoremalari asosiy vosita sifatida xizmat qiladi. Tadqiqot natijalari Haar sistemalarining ehtimollar fazosida qanday qilib kuchli matematik apparatga aylanishini ko‘rsatib beradi.Furye qatorlariga solishtirganda, Haar Sistema to’la martingal tanlanmasiga imkon beradi. Bu bo’lim davomida, L2=L20,1,ℬ0,1,λ,λ=λ1|_[0,1) deb mulohaza qilamiz. Ta’rif: Haar sistema quyidagi funksiyalardan iborat: χ0,0 x≔10,1 x, χj,k x≔2k 212j−2 2k+1,2j−1 2k+1 x−12j−1 2k+1,2j 2k+1 x ,1≤j≤2k,k∈ℕ0(1) Ravshanki, har bir Haar funksiya χj,k 2=1 bilan normallanadi. Dastlab, bir necha Haar funksiyalari quyidagilardir: JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Bu ko’pincha (1) ni ikkilik ketma-ketlik ko’rinishida yozish qulayroqdir χ0,0;χ1,0;χ1,1;χ2,1;χ1,2;χ2,2,χ3,2;χ4,2;… va quyidagi ko’rinishda belgilash mumkin: H0≔χ0,0; Hn=H2k+l≔χl+1,k, 0≤l≤2k−1, (2) (E’tibor bering: n=2k+l,0≤l≤2k−1 belgilash yagonadir). Endi Hnn∈ℕ ketma-ketlik bilan kanonik ko’rinishni bog’lay olamiz: bu barcha H0,H1,…,Hnfunksiyalarni o’lchovli qiladigan eng kichik σ−algebradir.An H≔σH0,H1,…,Hn, n∈ℕ0, Teorema:Haar funksiyalari L2(0,1,dx)da to’la ONS dir. Shuningdek, MN≔n=0 NanHn  , N∈ℕ0,an∈ℕ Bu martingaldir AN HN∈ℕ tartiblangan va har bir u∈Lp0,1,dx,1≤p<∞lar uchun Haar-Furye qatorlari sNu;x≔n=0 N<u,Hn>Hn  Lpda va deyarli barcha joyda uga yaqinlashadi va maksimal tengsizlik sup n∈ℕsnup≤p p−1 up barcha u∈Lpva 1<p<∞lar uchun o’rinlidir. JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Isbot: 1-qadam. Ortonormalligi: χj,k 2=1ekani ravshan. Agar funksiyalar χj,k≠χl,mbo’lib, χj,k≠0⋂χl,m≠0=∅qanoatlantirsa, χj,kχl,mdλ=0 ekani aniqdir. Aks holda, k<mdeb faraz qila olamiz shuning uchun quyidagini o’z ichiga oladi. χl,m≠0⊂χj,k=+1 yoki χl,m≠0⊂χj,k=−1 Boshqa holda, χl,mχj,kdλ=±χl,mdλ=0 bo’ladi. 2-qadam. Martingal xossasi: n=2k+1 bo’lsin. U holda barcha n∈ℕlar uchun An H=σ χ0,0,χ1,1,…,χ2k−1,k−1,χ1,k,χ2,k,…χl+1,k =σ 0, 1 2k+1 ,…, 2l+1 2k+1 ,2l+2 2k+1 󰆄 󰆅 󰆆󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈 󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈 =:ℰn ,l+1 2k,l+2 2k,…, 2k−1 2k,1 󰆄 󰆅 󰆆󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈 󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈󰆈 =:ℱn , Bu yerda biz diadik intervallar ichki joylashgan va aniqlangan ekanidan foydalandik. Faraz qiling, oddiylik uchun, l<2k−1. U holda {Hn+1≠0}va shuningdek, JHn+1 xdx=0 ∀J∈ℰnyokiJ∈ℱn. ( Agar l=2k−1 bo’lsa, An Hanalogik xulosani olamiz ya’ni [0,1) dagi uzunligi 2−k−1 bo’lgan barcha kesishmaydigan yarim ochiq intervallardan tuzilgan diadik σ-algebradir). 3.3 teoremadan EAn HHn+1=0ekani bizda bor va 3.2 teoremadan EAn HMN+1=EAn HMN+aN+1HN+1 =MN+aN+1EAn HHN+1=MN. Bu MN,AN HN∈ℕhaqiqatda martingal ekanini ko’rsatadi . 3-qadam. L1da yaqinlashish va Agar u∈L1⋂L∞bo’lsa, ak≔<u,Hk>ni olamiz. shuningdek, MN=sN(u)Haar-Furye qismiy yig’indisi bo’ladi. Bessel tengsizligidan foydalanib, sNu2 2=k=0 N<u,Hk2≤ u2 2(3) ekanini ko’ramiz. Bu yerda o’ng tomon chekli L1⋂L∞⊂L2ga ko’ra va Koshi-Schwarzdan va Markov tengsizliklaridan barcha R>0uchun quyidagini olamiz: sNu >R sNu dλ  ≤ sNu2λ sNu >R 1 2≤1 RsNu2 2≤1 Ru2 2. L20,1,dx da o’zgarmas funksiya Rva martingal sNuN∈ℕyagona integrallanuvchi va L1da deyarli barcha yerida sNu→N→∞u∞ekanini hulosa qilamiz. JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL An Hn∈ℕ diadik σ-algebralarning Ak ∆k∈ℕ ketma-ketligini o’z ichiga oladi. Haqiqatda An ∆=A2n−1 H bizda bor hamda A∞ H≔σAn H:n∈ℕ=ℬ[0,1)ekanini bilamiz. Endi quyidagini ko’ramiz: EA2n−1 Hu=EAn ∆u=s2n−1 u, va u=u∞hulosani qilamiz. 4-qadam. Agar u∈L1⋂L∞bo’lsa, Lpda yaqinlashish: barcha 1<p<∞ lar uchun L1⋂L∞⊂Lp ekanini ko’rib chiqamiz. Tengsizlikni tatbiq qilib ap−bp≤ ap−bp= p abtp−1 dt ≤p a−b max ap−1,bp−1 ≤pa−b max ap−1,bp−1 , a,b∈ℝ,1<p<∞, ya’ni EAN Hu=sN(u)martingalga, [0,1)da integrallab olamiz: ± sNup−up dλ≤p sNu−u 1u∞ p−1, p>1 bu yerda shuningdek sNu = EAN Hu ≤ u ∞va u≤ u ∞ekanidan foydalandik. Riesz yaqinlashish teoremasidan, barcha 1<p<∞ va u∈L1⋂L∞lar uchun Lpda sNu→N→∞u ekanini hulosa qilamiz. 5-qadam. Agar u∈Lpbo’lsa Lpda yaqinlashish. Agar u∈Lp,1≤p<∞ chegaralanmagan bo’lsa, uk≔−k u k olamiz. Bizda uk∈Lp⋂L∞⊂L1⋂L∞chekli o’lchovli fazo bor va uchburchak tengsizligidan ko’ramiz sNu−u p≤sNu−sNukp+ sNuk−uk p+ uk−u p≤ sNuk−uk p+2 uk−u p. Tasdiq N→∞da va keyin k→∞dan kelib chiqadi. 6-qadam. Agar u∈Lpbo’lsa yaqinlashish: sNu±=EAN Hu±≥0 ekanidan sNu±pN∈ℕ submartingal ekanini va quyidagini qanoatlantirishini bilamiz: sNu±pdμ  ≤ EAN Hu±pdμ =EAN Hu±p p≤u±p p. Submartingal yaqinlashish teoremasini tatbiq qilinadi va lim N→∞ sNu±;x pmavjud ekanini ko’rsatadi. Shuningdek, lim N→∞sN(u;x)mavjud. 5-qadamdan va allaqachon bir necha qism ketmaketlik uchun lim j→∞sNju;x=u(x) ni nazarda tutdik. lim N→∞sNu;x=u(x) limitni bir xil deb qaray olamiz. . 7-qadam. lim N→∞ sNu−u 2=0dan to’lalik kelib chiqadi. 8-qadam. (snun∈N)yagona integrallanuvchi martingal ya’ni 5-qadamdan, Maksimal tengsizlik martingallar uchun Doobning maksimal Lptengsizlikdir. JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Izoh:Aslida, Hnn∈N kabi ketma-ketlikda Haar funksiyalarini tartiblash muhim ro’l o’ynaydi. Agar p=1 bo’lsa, (bir necha elementar lekin juda qiyin hisoblashlardan keyin) quyidagini topamiz: ‖χ0,0+χ1,0+k=1 2n 2k 2χ1,k‖≤ 2 , lacunar qatorlar quyidagini qanoatlantiradi: ‖χ1,0+k=1 n2kχ1,2k‖≥cn  bir necha absolyut o’zgarmas c>0uchun. Shuning uchun, bir necha kerakli cheksiz akslantirish σ:ℕ0→ℕ0uchun divergent qatorlar n=0 ∞aσn Hσn bo’ladigan shu kabi yo’lda n=0 ∞anHn ni qayta nomlay olamiz. Agar 1<p<∞bo’lsa, bu holat bo’lmaydi. Haqiqatda, Hn n∈ℕ01<p<∞daLpning cheksiz bazisi deb ataladi, ya’ni n=0 ∞anHn qatorlarning har bir qayta yozilishi Lpda yaqinlashadi va bir xil limitga ega bo’lishini anglatadi.Haar Sistema hattoki cheksiz bazislarning mavjudligi uchun mulohazadir: Hn n∈ℕ0bazis bo’lgan har bir Banax fazosining cheksi bazisi bor faqatgina Hn n∈ℕ0cheksiz bo’lgandagina. Hn n∈ℕ0ning cheksizligi martingal argumentini asoslaydi, isbotining tavsifini o’z ichiga olamiz. Dastlab bizga (X,A,μ) ehtimollar fazosidagi ujj∈ℕ0 martingal uchun quyidagi Bukholder-DevisGundy teoremasi kerak. kpsup 0≤j≤N uj‖p≤‖ u∙,u∙N‖p≤Kpsup 0≤j≤N uj‖p(BGD) Barcha N∈ℕ0barcha 0<p<∞va bir necha absolyut o’zgarmas Kp≥kp>0uchun o’rinli. u•,u• N ifodasi martingalning kvadratik variatsiyasi turadi u•,u• N≔u02+j=0 N−1 uj+1−uj2. BDG ning isboti Rogers va Williamsda topilishi mumkin. Agar BDG bilan Doobning maksimal Lptengsizligini birlashtirsak, quyidagini olamiz: kp‖uN‖p≤u∙,u∙N‖p≤pKp p−1 uN‖p(BDG`) Barcha N∈ℕ0va 1<p<∞ uchun ya’ni (BDG`) da (BDG) ga solishtirilgan p lar uchun. Ravshanki, uN≔k=0 N<u,Hk>Hk va ωk≔k=0 Nϵk‹u,Hk›Hk  ϵk∈{−1;+1} , yagona integrallanuvchi martingallar va ularning kvadratik variatsiyalari u•,u• N=ω•,ω• N bir vaqtda o’rinli bo’ladi.Shuning uchun, (BDG`) uN−un N≥n va ωN−ωnN≥nmartingallar quyidagini qanoatlantirshini ko’rsatadi: uN−un p~ u•−un,u•−unN 1 2p=ω•−ωn,ω•−ωnN 1 2p~ωN−ωnp, JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 01, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Bu yerda a~b bir necha absolyut o’zgarmaslar k,K>0 lar uchun ka≤b≤Ka ekanini bildiradi. Shuning natijasida ikkala ketma-ketlik yaqinlashadi yoki uzoqlashadi. uNN∈ℕ0yaqinlashadi deb faraz qilaylik. U holda lacunar qatorlar j=1 ∞<u,Hkj>Hkj yaqinlashadi. Uning qismiy yig’indilarini mos ±1 ketma-ketliklar ϵk k∈ℕ bilan uNva ωNlarni qo’shib va ayirib hosil qilganimizdan kelib chiqadi. Bu har bir fiksirlangan akslantirishlar σ:ℕ0→ℕ0uchun yetarlicha katta N>n uchun k=n N<u,Hσk > Hσk p≤ϵ, bo’lishiga olib keladi. Aks holda, chekli 0,1 2…⊂ℕ0  ketma –ketliklar bilan kjj∈ℕ=n∈ℕ n  va k∈ n <u,Hk>Hk p<ϵ ∀n∈ℕ, ziddiyat (3.4). Xulosa Maqolada Haar funksiyalarining ortonormalligini va to‘liqligini ko‘rsatuvchi teorema isbotlandi va bu asosda Haar-Furye qatorlarining integrallanuvchi funksiyalar uchun deyarli barcha nuqtalarda yaqinlashishi tasdiqlandi. Martingallar nazariyasining vositalari, ayniqsa Doob tengsizligi va BDG teoremasi, yaqinlashish teoremalari uchun asosiy texnik vosita bo‘lib xizmat qildi. Bundan tashqari, Haar sistemasi yordamida qurilgan lacunar qatorlarning xatti-harakatlari tahlil qilindi va Haar sistemasining cheksiz bazis sifatidagi ahamiyati yoritildi. Ushbu natijalar funktsional analiz va ehtimollar nazariyasidagi ko‘plab amaliy masalalarda qo‘llanishi mumkin bo‘lgan mustahkam matematik asos yaratadi. Foydalanilgan adabiyotlar: 1. Rene L. Schilling Measures,Integrals, and Martingales.Cambridge University Press, The Edinburgh Building, Cambridge CB2 8RU, UKPublished in the United States of America by Cambridge University Press, New York 2. Ash, R. B. and C. A. Doléans-Dade,Probability and Measure Theory(2nd edn), AcademicPress, San Diego (CA) 2000. 3. Chow, Y. S. and H.Teicher, Probability Theory. Independence, Interchangeability, Martingales(3rd edn), Springer, Texts in Stat., New York 1997. 4. Dellacherie, C. and P. A. Meyer,Probabilities and Potential Pt. B: Theory of Martingales,North Holland, Math. Studies, Amsterdam 1982. [Note thatProbabilities and Potential Pt. A, Amsterdam 1979, by the same authors is a prerequisite for this text.] 5. Garsia, A. M.,Topics in Almost Everywhere Convergence, Markham, Chicago 1970. 6. Meyer, P. A.,Probabilities and Potentials, Blaisdell, London 1966. 7. Neveu, J.,Discrete-parameter Martingales, North Holland, Math. Libr. vol.10, Amsterdam1975.