Modelos de Varianza Condicional: ARCH, GARCH, etc. - Series de Tiempo

Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo Luis E. Ascencio G. 26 de mayo de 2022 Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 1 / 34 Introducción Contenido 1Introducción 2Heteroscedasticidad y Hechos Estilizados 3Modelos ARCH 4Modelos GARCH 5Extensiones a modelos GARCH Modelos IGARCH Modelos Log-GARCH Modelos Asimétricos Modelos EGARCH Log-GARCH Asimétricos Modelos Threshold GARCH 6Ejemplos y Aplicaciones 7Bibliografia Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 2 / 34 Introducción Introducción Antecedentes Históricos los modelos de Heteroscedasticidad Condicional Autorregresivos o Modelos de Varianza Condicional Variable Autoregresivos que en la literatura se puede encontrar con las siglas ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) y su generalización los modelos GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), son un tipo de modelos propuestos por el economista Robert Fry Engle III quien fue galardonado con el premio Nobel de Economía en el 2003 ([Eng82]) (publicado en 1982) al cual le sucedió una tesis que dio lugar a un articulo de Tim Bollerslev ([Bol86]) que generalizo los modelos ARCH dando lugar a los modelos GARCH. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 3 / 34 Heteroscedasticidad y Hechos Estilizados Introducción Heteroscedasticidad 1Las series de tiempo suelen tener un supuesto de Homoscedasticidad (Varianza constante) 2Muchas series en la vida real no presentan Homoscedasticidad. 3En series de tiempo financieras, economía, teoría de riesgo, etc... se presenta un comportamiento asociado a la Heteroscedasticidad. 4La Heteroscedasticidad se puede caracterizar o definir a partir de lo que se conoce como Condición de Heteroscedasticidad: V ar (ϵt|ϵt−1, ϵt−2, ...)=Constante. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 4 / 34 Heteroscedasticidad y Hechos Estilizados Introducción Hechos Estilizados En la literatura se pueden encontrar muchos artículos y referencias asociadas a los Hechos Estilizados, la mayoría suelen citar a Benoit Mandelbrot [Man63] quien fue uno de los primeros en describir este tipo de fenómenos en su articulo The Variation of Certain Speculative Prices Definición Algunos Hechos Estilizados: i) No estacionariedad: Las trayectorias asociadas a series temporales financieras suelen estar muy cercanas a paseos aleatorios sin intersección. ii) Casi ausencia de autocorrelacion para las variaciones: Las series de tiempo financiera presentan variaciones pequeñas de autocorrelaciones, haciéndolas cercanas al ruido blanco. iii) Clusters de Volatilidad (Volatility Clustering): Valores grandes de retornos en valor absoluto aparecen en clusters. Dicho de otra formar, las series financieras presenta periodos de alta volatilidad y periodos de baja volatilidad. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 5 / 34 Heteroscedasticidad y Hechos Estilizados Introducción Hechos Estilizados Definición Algunos Hechos Estilizados: iv) Distribución con Colas Pesadas: Cuando se dibuja la distribución empírica asociada a los valores de una serie temporal se puede apreciar que su comportamiento no es sub gaussiana, es decir presenta colas más pesadas y una forma de cuantificarla es mediante la curtosis. v) Autocorrelacion del cuadrado de los errores: El cuadrado de los errores (ϵ2 t)están fuertemente correlacionados, lo cual significa que las series financieras no son ruido blanco. vi) Otros: Hay otras propiedades que se comentan en la literatura, entre ellas esta la estacionalidad, es decir que las series de tiempo financieras son afectadas por fines de semana, fechas festivas y estaciones de años u otras tales como Leverage effects, Colas Pesadas aun Condicionando, Asimetria en tiempos de escala, lento decaimiento de la autocorrelacion, Aggregational Gaussianity. Se pueden consultar las siguientes referencias [Con01] y [FZ10, Pagina 7,8 y 9]. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 6 / 34 Heteroscedasticidad y Hechos Estilizados Introducción Hechos Estilizados Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 7 / 34 Modelos ARCH Modelos ARCH (1) Definición Modelo ARCH(1): Un proceso ϵtsigue un modelo ARCH(1) si y sólo si 1) ϵt=ηtσt, tal que ηt∼NID(0,1). 2) ϵt|Pt−1∼N(0, σ2 t), dado que σ2 t=α0+α1ϵ2 t−1. Donde Pt−1=spam {ϵt−1, ϵt−2, ...}yα2 1<1 3. El modelo anterior captura algunas de las características presentes en lo que respecta a los hechos estilizados y la Heteroscedasticidad. Una representancion alternativa de ϵ2 t fue dada por Pantula, S. ϵ2 t=α0 ∞ X i=1 αi 1 i Y j=1 ηt−j Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 8 / 34 Modelos ARCH Modelos ARCH Propriedades Modelo ARCH(1): 1) La serie de tiempo ϵtcumple que E(ϵt) = 0 yV ar (ϵt) = α0 1−α1Es decir la serie temporal ϵtes estacionaria. 2) La serie de tiempo ϵtcumple que E(ϵt|Pt−1) = 0,E(ϵ2 t|Pt−1) = α0+α1ϵ2 t−1y E(ϵtϵs) = 0. Es decir la serie temporal ϵtes no correlacionada, sin embargo los ϵ′ ts no son independientes. 3) La serie de tiempos ϵtes Leptocúrtica pues E(ϵ4 t) V ar(ϵt)2=3(1−α2 1) 1−3α2 1 >3es decir la distribución empírica de ϵttiene colas más pesadas que una distribución normal. 4) La serie de tiempos ϵ2 tsatisface un modelo AR(1). Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 9 / 34 Modelos GARCH Modelos GARCH(p,q) Demostración Para el inciso (3), consideremos la siguiente variable aleatoria vt=ϵ2 t−σ2 tde donde al despejar y expresar σ2 tobtenemos lo siguiente ϵ2 t=σ2 t+vt=α0+B(L)σ2 t+A(L)ϵ2 t+vt =α0+B(L)(ϵ2 t−vt) + A(L)ϵ2 t+vt =α0+ (B(L) + A(L))ϵ2 t+ (1 −B(L))vt De donde podemos notar que el operador (B(L) + A(L)) es de orden r= m´ax {p, q} sobre el operador de Lag L para la parte autoregresiva y para la parte de medias móviles tenemos que (1 −B(L)) es de orden p, de donde podemos concluir que ϵ2 tsatisface un modelo ARMA(r,p) con errores vt. Finalmente notemos que si el operador B(L) = 0 entonces recuperamos un modelo AR(q) para el modelo ARCH(q) y en particular si q= 1 verificamos la propiedad (4)-0.1 ■ Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 16 / 34 Modelos GARCH Modelos GARCH(p,q) Propriedades Ventajas de modelos GARCH(q): 1) Los modelos GARCH presentan Heteroscedasticidad. 2) Permiten modelar la volatilidad. 3) La serie (ϵt)es estacionaria. Propriedades Desventajas de modelos GARCH(q): 1) Los modelos GARCH tienen restricciones. 2) Efectos simétricos de los Shocks. 3) Hay inconvenientes para garantizar la varianza condicional positiva y existencia de momentos de orden superior. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 17 / 34 Modelos GARCH Modelos GARCH(p,q) Comentarios i) Engle en [Eng82] y [BH93] comentan en sus artículos que no existe una expresión para la Kurtosis, sin embargo en [FZ10] en el capitulo 2.4.1 se dan teoremas (algo técnicos) para la existencia de momentos de orden superior y en el capitulo 2.4.2 expresiones para la kurtosis. ii) En [FZ10] el teorema 2.4 en la pagina se dan condiciones necesarias y suficientes para la estacionariedad estricta para los modelos GARCH (se omiten aquí por ser demasiado técnicas). iii) La condición Pp i=1 βi+Pq j=1 αj<1es suficiente para garantizar que la serie de tiempo ϵtsea estacionaria de segundo orden. Una demostración de este hecho se puede encontrar en [FZ10, Teorema 2.5, pagina 34]. iv En [Eng82] y [BH93] se sugiere que una estrategia adecuada para la estimación de parámetros para los modelos GARCH es mediante el método de Quasi Maximum Likelihood, sin embargo también es posible hacer uso del método de mínimos cuadrados para los modelos ARCH. vEl poder asociar a los modelos GARCH un modelo ARMA nos permite utilizar las herramientas desarrolladas para estos modelos para poder hacer predicciones, estimación de parámetros y pruebas de hipótesis, etc. permitiendo adaptar la Metodología de Box-Jenkins. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 18 / 34 Extensiones a modelos GARCH Extensiones a modelos GARCH Robert Engle comenta en [Eng04] que después del nacimiento de los modelos ARCH y GARCH han surgido un gran numero de extensiones a los modelos, los cuales vienen casi acompañados con todas las letras del abecedario como AARCH, APARCH, FIGARCH, FIEGARCH, STARCH, SWARCH, GJR-GARCH, TARCH, MARCH, NARCH, SNPARCH, SPARCH, SQGARCH, CESGARCH, ComponentARCH, AsymmetricComponentARCH etc. Existen algunas extensiones naturales que se pueden proponer a los modelos GARCH, sin embargo unas de las más populares son las que incorporan asimetrias entre las cuales están los modelos EGARCH(Exponencial GARCH) propuesto por Daniel B. Nelson en [Nel91], Log-GARCH Asimétricos propuesto varios autores o los modelos TGARCH propuestos por R. Rabemananjara y J. M. Zakoian [RZ93], estos modelos introducen ciertos términos al modelo GARCH oLog-GARCH para obtener un comportamiento asimétrico. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 19 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos IGARCH Extensiones a modelos GARCH Los modelos IGARCH son una extensión natural a los modelos GARCH es considerar la propiedad (3)-0.1 del modelo GARCH nos permite relacionar el modelo a un modelo ARMA considerando ϵ2 tyvt. ϵ2 t=α0+ (B(L) + A(L))ϵ2 t+ (1 −B(L))vt⇒(1 −(B(L) + A(L)))ϵ2 t= (1 −B(L))vt De donde el modelo GARCH(p,q) se relaciona a un modelo ARMA(r,p) con r= m´ax {p, q}, si el polinomio característico del operador (1 −(B(L) + A(L)) tiene raíces unitarias entonces podemos asociar un modelo ARIMA al modelo GARCH(p,q). Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 20 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos Log-GARCH Modelos Log-GARCH Los modelos Log-GARCH fueron propuesto por John Geweke [Gew86], Milhøj, A. [Mil87] y Pantula, S. [Pan86] de manera independiente. Definición Modelo Log-GARCH(p,q): Un proceso ϵtsigue un modelo Log-GARCH(p,q) si y sólo si 1) ϵt=ηtσt, tal que ηt∼NID(0,1). 2) ϵt|Pt−1∼N(0, σ2 t), dado que ln(σ2 t) = α0+ p X i=1 βiln(σ2 t−i) + q X j=1 αjln(ϵ2 t−j) Donde Pt−1=spam {ϵt−1, σt−1, ϵt−2, σt−2, ...}. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 21 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos Log-GARCH Modelos Log-GARCH Los modelos Log-GARCH presentan las siguientes características 1) Se garantiza volatilidad positiva, es decir σt>0. 2) Los parámetros del modelo puede tomar cualquier valor βi, αj, α0∈R. 3) Invarianza bajo las transformaciones de potencia. 4) Los modelos Log-GARCH permiten una representación como modelo ARMA. Para más información al respecto de estos modelos se pueden consultar las siguientes referencias [FWZ13], [Suc13] y [Suc18]. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 22 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos Asimétricos Modelos EGARCH Definición Modelo EGARCH(p,q): Un proceso ϵtsigue un modelo EGARCH(p,q) si y sólo si 1) ϵt=ηtσt, tal que ηt∼NID(0,1). 2) ϵt|Pt−1∼N(0, σ2 t), dado que ln(σ2 t) = α0+ p X i=1 βiln(σ2 t−i) + q X j=1 αjg(ηt−j) Donde Pt−1=spam {ϵt−1, σt−1, ϵt−2, σt−2, ...}y la función g(∗)es de la forma g(ηt−j) = θηt−j+γ[|ηt−j| − E[ηt−j]] Con α0, βi, αj, θ, γ ∈Rconstantes. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 23 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos Asimétricos Modelos EGARCH Propriedades Propiedades Modelos EGARCH: 1) La volatilidad tiene la siguiente forma σ2 t=eα0 p Y i=1 σ2βi t−i q Y i=1 exp(αjg(ηt−j)) 2) La propiedad de asimetría depende de θyγ. 3) Admite una descripción como un modelo ARMA. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 24 / 34 Extensiones a modelos GARCH Modelos Asimétricos Modelos EGARCH Teorema Estacionariedad de los Modelos EGARCH(p,q): Supongamos que g(ηt)es distinto a 0 casi seguramente y que los polinomios α(z) = Pq j=1 αjzjyβ(z) = 1 −Pp i=1 βizino tienen raíces en común, con α(z)= 0. Entonces el modelo EGARCH(p,q) admite una solución estrictamente estacionario si y solo si las raíces del polinomio β(z)están fuera del circulo unitario. Esta solución es tal que E[ln(ϵ2 t)]2<∞siempre que E[ln(η2 t)]2<∞yE[g2(ηt)] <∞. Si ademas, ∞ Y i=1 Eexp(|λig(ηt)|)<∞ Donde λise define por α(L)/β(L) = P∞ i=1 λiLientonces ϵtes ruido blanco con varianza E(ϵ2 t) = E(σ2 t) = eα∗ 0 ∞ Y i=1 gη(λi) Donde α∗ 0=α0/β(1) ygη(x) = E[exp(xg(ηt))]. La demostración del teorema anterior se pueden consultar en [FZ10, Pagina 248] que corresponde a [FZ10, Teorema 10.1]. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 25 / 34 Ejemplos y Aplicaciones Riesgo 1En finanzas, el riesgo está relacionado con la posibilidad de que ocurra un evento que se traduzca en pérdidas. 2El riesgo es producto de la incertidumbre que existe sobre el valor de los activos financieros, ante movimientos adversos de los factores que determinan su precio. 3A mayor incertidumbre mayor riesgo. 4Exiten distintos tipos de riesgos, Riesgo de crédito,Riesgo de mercado,Riesgo operacional,Riesgo de liquidez etc... 5Una de las medidas de riesgo más populares en instituciones financieras son los VaR (Value at Risk) (Valor en Riesgo). 6En 1993 el Banco JP Morgan publicito su método RiskMetrics para el calculo de VaR para un portafolio. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 32 / 34 Ejemplos y Aplicaciones Riesgo 1Consideremos un portafolio cuyo valor en el tiempo tes Vt. 2Considere un Periodo o Horizonte de tiempo, la perdida se denota como Lt,t+h=−(Vt+h−Vt) 3La distribución de Lt,t+hes conocida como Distribución de Perdidas(Condicional o no). 4Se define el V aR de un activo financiero como el valor de perdida aceptable en el horizonte tcon probabilidad αcomo α=P(Lt,t+h≤V aRt,h) = 1 −P(Lt,t+h> V aRt,h) 5Dado un nivel de confianza α∈(0,1) el VaR de un portafolio con nivel de confianza αesta dado por V aRt,h(α) = ´ınf {l∈R:P(Lt,t+h≤l)⩾1−α} Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 33 / 34 Ejemplos y Aplicaciones RiskMetrics Definición Supongamos que Lt|Pt−1∼N(0, σ2 t)y considerando Lt−1,t =Lt, donde Lt= ln(pt/pt−1) = ηtσt con σ2 t=λσ2 t−1+ (1 −λ)ϵ2 t−1 Donde λ∈(0,1). Como podemos notar este modelo se puede estudiar como un IGARCH(1,1). Para más información al respecto de este modelo consultar [FZ10] Sección 12.3.3 Estimation Methods, RiskMetrics Model, pagina 334. Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 34 / 34 Bibliografia A. Bera and M. Higgins, “Arch models: Properties, estimation and testing,” Journal of Economic Surveys, vol. 7, no. 4, pp. 305–366, Dec. 1993. [Online]. Available: https://doi.org/10.1111/j.1467-6419.1993.tb00170.x T. Bollerslev, “Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity,” Journal of Econometrics, vol. 31, no. 3, pp. 307–327, apr 1986. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/0304-4076(86)90063-1 R. Cont, “Empirical properties of asset returns: stylized facts and statistical issues,” Quantitative Finance, vol. 1, no. 2, pp. 223–236, feb 2001. [Online]. Available: http://rama.cont.perso.math.cnrs.fr/pdf/empirical.pdf R. F. Engle, “Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of united kingdom inflation,” Econometrica, vol. 50, no. 4, p. 987, jul 1982. [Online]. Available: https://doi.org/10.2307/1912773 R. Engle, “Risk and volatility: Econometric models and financial practice,” American Economic Review, vol. 94, no. 3, pp. 405–420, may 2004. [Online]. Available: https://www.aeaweb.org/articles?id=10.1257/0002828041464597 C. Francq, O. Wintenberger, and J.-M. Zakoïan, “GARCH models without positivity constraints: Exponential or log GARCH?” Journal of Econometrics, vol. 177, no. 1, pp. 34–46, nov 2013. [Online]. Available: https://doi.org/10.1016/j.jeconom.2013.05.004 Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 34 / 34 Bibliografia C. Francq and J.-M. Zakoian, GARCH models: Structure, Statistical Inferenceand Financial Applications. Wiley, 2010. [Online]. Available: http://christian.francq140.free.fr/Christian-Francq/book-GARCH.html J. Geweke, “Commet,” Econometric Reviews, vol. 5, no. 1, pp. 57–61, jan 1986. [Online]. Available: https://doi.org/10.1080/07474938608800097 B. Mandelbrot, “The variation of certain speculative prices,” The Journal of Business, vol. 36, no. 4, p. 394, jan 1963. [Online]. Available: http://dx.doi.org/10.1086/294632 A. Milhøj, “Multiplicative parametrization of arch models.” Research Report101, University of Copenhagen: Institute of Statistics, 1987. D. B. Nelson, “Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach,” Econometrica, vol. 59, no. 2, p. 347, mar 1991. [Online]. Available: https://doi.org/10.2307/2938260 S. Pantula, “Modelling the persistence of conditional variance: A comment,” Econometric Reviews 5, 71–73., 1986. R. Rabemananjara and J. M. Zakoian, “Threshold arch models and asymmetries in volatility,” Journal of Applied Econometrics, vol. 8, no. 1, pp. 31–49, jan 1993. [Online]. Available: https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1993.tb05128.x Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 34 / 34 Bibliografia A. Sucarrat, Genaro y Escribano, “The power log-garch model,” UC3M Working papers. Economics we1013, Universidad Carlos III de Madrid. Departamento de Economía., 2013. [Online]. Available: https://ideas.repec.org/p/cte/werepe/we1013.html G. Sucarrat, “The log-garch model via arma representations,” BI Norwegian Business School, 2018. [Online]. Available: https://mpra.ub.uni-muenchen.de/100386/1/MPRA_paper_100386.pdf Luis E. Ascencio G. Proyecto Final: Modelos de Varianza Condicional: ARCH , GARCH , etc. - Series de Tiempo26 de mayo de 2022 34 / 34