Trabalho colaborativo no ensino de álgebra nos anos iniciais do Ensino Fundamental

Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 TRABALHO COLABORATIVO NO ENSINO DE ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Adriana Jungbluth1 Edivaldo Lubavem Pereira2 Fabiane Jungbluth3 Everaldo Silveira4 Resumo: Este relato apresenta um recorte de um conjunto de tarefas desenvolvidas por uma professora em parceria com uma pesquisadora. A prática narrada foi desenvolvida junto com estudantes do 4º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública de ensino, em 2019. As ações realizadas pela professora e pela pesquisadora tiveram uma dimensão colaborativa ao longo do planejamento e desenvolvimento das atividades com as crianças, resultando em um processo reflexivo e formativo para ambas. As práticas foram protagonistas e beneficiaram o desenvolvimento das crianças, contribuindo com sua aprendizagem. Acreditamos que esse movimento possa ser considerado um ato de insubordinação criativa. Concluímos, a partir do que ficou demonstrado nas generalizações produzidas, que os alunos desenvolveram o pensamento algébrico criando leis de formação, que permitiram determinar um termo qualquer nas sequências trabalhadas. Palavras-chave: Insubordinação Criativa. Pensamento algébrico. Sequências repetitivas e recursivas. Trabalho colaborativo. 1. INTRODUÇÃO A prática que relataremos foi desenvolvida com crianças do quarto ano do EF, em uma escola pública municipal de Santa Catarina, envolvendo a Álgebra, que é uma das cinco unidades temáticas propostas para a Matemática, a partir da aprovação da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), em dezembro de 2017. O texto é uma síntese de um trabalho colaborativo entre uma pesquisadora5 e uma professora do quarto ano do EF, que solicitou auxílio e possuía dúvidas sobre como desenvolver o pensamento algébrico dos seus alunos a partir de sequências repetitivas e recursivas, pois esse 1 Doutoranda em Educação Científica e Tecnológica -UFSC; e-mail: [email protected] 2 Doutorando em Educação Científica e Tecnológica –UFSC; e-mail: [email protected] 3 Licenciada em Pedagogia - UNOCHAPECÓ; Professora da Educação Básica; e-mail: [email protected] 4 Doutor em Educação Científica e Tecnológica -UFSC; Professor da UFSC; e-mail: [email protected] 5 A pesquisadora é integrante do grupo de estudos Insubordinação Criativa em Educação Matemática (ICEM), da UFSC. Em 2019, o grupo discutia essa temática e a pesquisadora estudava o tema para elaboração de sua dissertação, realizando uma pesquisa junto aos professores da rede da rede municipal de ensino. A pesquisadora é professora da Matemática, porém em 2019 estava afastada para cursar mestrado. Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 tema não era abordado no currículo anterior, para esse nível de escolaridade. O desenvolvimento da generalização é um dos objetivos da Álgebra nos Anos Iniciais do E. F. (BLANTON & KAPUT, 2005; BLANTON et al., 2015; VALE et al., 2011). Nesse sentido, o objetivo foi trabalhar com padrões presentes em sequências, de modo que as crianças realizassem diversas generalizações para desenvolver o pensamento algébrico. Neste texto explicaremos, inicialmente, como se desenvolveu o trabalho colaborativo entre pesquisadora e professora e faremos relações com a insubordinação criativa. Na sequência, trazemos um recorte do trabalho que desenvolvemos envolvendo a generalização de padrões em sequências repetitivas e recursivas. 2. INSUBORDINAÇÃO CRIATIVA NO TRABALHO COLABORATIVO O trabalho colaborativo entre pesquisadora e professora resultou em desenvolvimento profissional, pois teve como objetivo refletir e buscar soluções para a demanda existente na escola, relacionada ao ensino de Álgebra. Portanto, essa parceria teve impacto direto na prática da professora e facilitou o ensino e a aprendizagem do conteúdo. De acordo com Carneiro (2022, p. 132), “a formação de professores que ensinam Matemática em uma perspectiva da insubordinação criativa deve capacitar o profissional para ser reflexivo, produzir conhecimento em sua prática docente e ser o protagonista de seu desenvolvimento profissional”. A professora da turma, em 2019, ainda não havia recebido capacitação sobre como ensinar Álgebra nos primeiros anos E.F. A docente queria preparar aulas envolvendo padrões presentes em sequências, mas não conseguia perceber relação entre as sequências e a Álgebra que conheceu na Educação Básica. A partir desse diálogo, iniciou-se um trabalho colaborativo entre pesquisadora6 e professora, que envolveu o planejamento das aulas, a escolha e construção dos recursos didáticos, o desenvolvimento das atividades, a participação das crianças na Feira Escolar7 e as discussões trazidas neste relato. Diversos autores apontam perspectivas sobre insubordinação criativa que se alinham com o trabalho colaborativo realizado (LOPES & D’AMBROSIO, 2015; LOPES, D’AMBROSIO & 6 Esse trabalho colaborativo não foi objeto de estudo da dissertação da pesquisadora. O objetivo da parceria foi o aperfeiçoamento profissional da pesquisadora e da professora, bem como a aprendizagem dos alunos. 7 Ao final das atividades envolvendo padrões, os alunos construíram materiais manipuláveis e perguntas sobre sequências para compartilhar seus conhecimentos na Feira Escolar, realizada em 23/11/2019. Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 CORREA, 2016; CARNEIRO, 2022). Eles propõem que o professor busque ações, alternativas teórico-metodológicas e práticas criativas para beneficiar o desenvolvimento das crianças, que são eleitas por ele como protagonistas no processo de ensino e aprendizagem. Esse movimento resulta em atos de insubordinação criativa: Quando movidos para melhorar a aprendizagem dos alunos e investir na melhoria das condições em que essa aprendizagem ocorre, os professores criam e colocam padrões de movimento e procedimentos que estão alinhados com a sua identidade profissional. Essas atitudes são de forma responsavelmente subversiva e resultam em atos de insubordinação criativa. (LOPES & D’AMBROSIO; CORREA, 2016, p. 288). Segundo Rosa (2022), ações de insubordinação criativa podem fazer diferença na aprendizagem matemática e na vida dos estudantes. Estes podem deixar de conviver com uma Matemática escolar que muitas vezes ainda ensina regras e símbolos sem significado, sem uma explicação de onde surgiram e para que servem. De acordo com a autora, quando a Matemática é apresentada nesse formato, leva também à exclusão social, nesse sentido, “devemos considerar, fortemente, o papel de filtro social que a Matemática assume, pois ela pode “determinar” quem avança no processo educacional, quem é o bom aluno, quem poderá galgar as carreiras com melhor remuneração, quem conseguirá os melhores postos de trabalho etc” (ROSA, 2022, p. 72). De acordo com Rosa (2022), subordinamo-nos à Matemática quando aceitamos o insucesso dos alunos. Nesse sentido, na sequência, apresentamos um breve relato sobre o desenvolvimento das atividades que procuraram favorecer a compreensão e o interesse dos alunos, para melhorar a aprendizagem numa disciplina, que muitas vezes é vista como complexa e difícil. 3. RELATO DA EXPERIÊNCIA COM PADRÕES EM SEQUÊNCIAS REPETITIVAS E RECURSIVAS E SUA RELAÇÃO COM A GENERALIZAÇÃO Nossa proposta se centra na identificação de regularidades e padrões em sequências repetitivas e recursivas e na elaboração de generalizações para descobrir termos próximos e distantes nessas sequências, com o objetivo de contribuir no desenvolvimento do pensamento algébrico. Blanton e Kaput (2005, p. 413) pontuam que o pensamento algébrico é um “processo no qual os alunos generalizam ideias matemáticas”, expressando essas generalizações por meio da argumentação e por caminhos que vão se tornando cada vez mais formais. Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 Nesse sentido, optamos por trabalhar inicialmente a compreensão dos conceitos de regularidade e padrão presentes no crochê, no mosaico, na estrela do mar, no nado sincronizado e em outros exemplos sugeridos pelos alunos. Então propusemos a construção de algumas sequências com padrões repetitivos, utilizando materiais manipulativos. Explicamos sobre o motivo (ou grupo de repetição) e sobre o padrão (ou segredo) presente em cada sequência. Na Figura 1, o motivo que forma o padrão da sequência é “triângulo azul e triângulo vermelho”: Figura 1Sequência repetitiva do tipo AB Fonte: Produção dos autores Construímos diversas sequências, dos tipos ABBB, ABC, AABB e ABBB (VAN DE WALLE, 2009). Fizemos uma brincadeira chamada: “Descubra o padrão!”, na qual algumas crianças criam uma sequência e outras tentam descobrir o padrão. Em seguida, as crianças foram organizadas em duplas para discutir e solucionar atividades envolvendo sequências repetitivas (Figura 2(a) e 2(b)). Figura 2 – Padrões repetitivos dos tipos AB e ABC – na Feira Escolar Fonte: Arquivo dos autores, 2019. Os alunos fizeram a continuação de cada sequência, identificaram o “motivo” e foram explorados aspectos ligados à ordem na sequência. Os alunos foram desafiados a descobrir termos próximos, mas também termos distantes, como o termo 517 (Figura 2 (a)) ou o termo 212 (Figura 2 (b)). Em relação à Figura 2(a), a generalização para descobrir um termo qualquer nessa Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 sequência foi o principal objetivo da atividade e atingido pelos alunos, ou seja, generalizaram que todos os termos que ocupam a posição de números pares são quadrados verdes e todos que estão numa posição ímpar são quadrados amarelos. Sobre a Figura 2(b), a maioria dos alunos usou os múltiplos de 3 para descobrir termos na sequência. Por exemplo, o número 24 é múltiplo de 3, então é um quadrado laranja. Para determinar o termo 212, perceberam que o termo 210 é quadrado laranja, então o termo 212 é um quadrado azul, ou seja, está dois termos à frente. Na socialização também verificamos o uso da divisão 212 ÷ 3 = 70, com resto 2, por uma das duplas. O resultado dessa divisão mostra que o motivo se repete 70 vezes e o termo procurado é o segundo do próximo grupo de repetição. Usamos exemplos de sequências numéricas e pictóricas recursivas, mostrando aos alunos que esse tipo de sequência possui um padrão e que ele é estabelecido por um segredo que faz a sequência aumentar ou diminuir e permite calcular termos próximos dentro de uma sequência. Esse segredo é a relação recursiva, que, de acordo com Van de Walle (2009, p. 300) é “a descrição que diz como um padrão é modificado de um passo ao passo seguinte”. Nas duas primeiras sequências recursivas propostas (Figura 3), usamos um padrão fácil de ser descoberto, para que os alunos se motivassem a descobrir termos próximos usando a relação recursiva (generalização próxima) e também uma regra que servisse para encontrar qualquer termo da sequência (generalização distante). Autores como Stacey (1989) e Vale et al. (2011), classificam as generalizações em ”próximas” e “distantes”. Figura 3 – Sequências recursivas dos triângulos e das carinhas – na Feira Escolar Fonte: Arquivo dos autores, 2019. Nas atividades 1 e 2, visualizadas na figura anterior, o objetivo era que os alunos descobrissem o padrão da sequência para desenhar as próximas figuras, além de figuras um pouco Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 mais distantes como a figura 11, a figura 30 e a figura 100. As crianças usaram a linguagem natural, como propõe a BNCC (2017) e criaram uma lei de formação, de modo que fosse possível dizer quantos triângulos vermelhos (atividade 1) ou quantas carinhas (atividade 2) possui um termo qualquer da sequência. A última sequência recursiva pictórica trabalhada com os alunos foi adaptada de Blanton et al. (2015), e envolve a junção de mesas em um restaurante. Foi solicitado que as crianças observassem o padrão da sequência e fizessem a continuação, como é possível visualizar na Figura 5. Figura 4 - Sequência recursiva de mesas e cadeiras - na Feira Escolar Fonte: Arquivo dos autores, 2019. Em seguida, foi solicitado que os alunos organizassem os dados em uma tabela, relacionando o número de ordem da figura e o número de pessoas sentadas nas mesas. Um exemplo dessa organização pode ser visualizado no Quadro 1: Quadro 1: Tabela de registros de um modo de ver Fonte: Arquivo dos autores, 2019. Na resolução dessa tarefa foi possível perceber que grande parte dos alunos usou a relação Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 recursiva da sequência (+2), para encontrar o número de pessoas que sentam na quarta e na quinta mesa, já que a sequência numérica correspondente é 4, 6, 8, 10, 12,... Acompanhando o trabalho dos alunos, foi solicitado que não realizassem o desenho para descobrir o número de pessoas que podem ocupar 18 mesas, mas que descobrissem uma regra que permite calcular o número de pessoas que podem sentar, para qualquer número de mesas agrupadas. Os alunos encontraram regras diferentes, porque é possível formular várias leis de formação para uma mesma sequência. A lei de formação que mais alunos da turma elaboraram diz que “o número de pessoas que podem sentar é igual ao dobro do número de mesas agrupadas mais as duas cadeiras das pontas”. Uma dupla na turma construiu uma lei de formação que consistia em “diminuir 2 do número total de mesas e multiplicar por 2, para em seguida adicionar 6 ao resultado anterior”. O 6 corresponde ao número total de cadeiras das pontas, que foram excluídas na primeira etapa. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Com base nas reflexões realizadas, concluímos que a generalização, considerada o núcleo do pensamento algébrico (BLANTON & KAPUT, 2005), foi expressa pelas crianças em vários momentos, no decorrer das aulas. Observamos que os alunos do quarto ano compartilharam com muito entusiasmo as diversas generalizações realizadas. A criação de leis de formação, que permitem determinar um termo qualquer da sequência, foi incentivada durante todo o processo. Consideramos que o diálogo e a colaboração estreita entre a pesquisadora e a professora contribuíram com as necessidades e desafios enfrentados no cotidiano da sala de aula, colocando o aluno no centro do processo educacional. Foi uma experiência muito gratificante, pois os alunos manifestaram um grande envolvimento e se sentiram motivados para participar da Feira Escolar, desafiando pessoas da comunidade e colegas de outras turmas para produzirem generalizações a partir das sequências. Acreditamos que nosso trabalho colaborativo possa ser visto como uma insubordinação criativa, pois, de acordo com D’Ambrosio (2015) “ações de insubordinação criativa são atos políticos, em que professores agem de maneira a priorizar o aprendizado de seus alunos, imaginando e implementando novas possibilidades nas suas aulas”. Rio de Janeiro - Brazil September 2 8 - 30, 2023 REFERÊNCIAS BLANTON, M. L.; KAPUT, J. J. Characterizing a classroom practice that promotes algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, Reston, v. 36, n. 5, p. 412-443, nov. 2005. BLANTON, M.; STEPHENS, A.; KNUTH, E.; GARDINER, A. M.; ISLER, I.; KIM, J.-S. The Development of Children’s Algebraic Thinking: The Impact of a Comprehensive Early Algebra Intervention in Third Grade. Journal for Research in Mathematics Education, v. 46, n. 1, p. 39 – 87, 2015. BRASIL. Ministério da Educação. Governo Federal. Base Nacional Curricular Comum: BNCC. Versão para impressão. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: http://basenacionalcomum.mec.gov.br/images/BNCC_EI_EF_110518_versaofinal_site.pdf CARNEIRO, R. F. Insubordinação criativa na formação do professor que ensina matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental. In: LOPES, C. E.; GRANDO, R. C. (Orgs.). Subversão responsável e formação de professores. 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