BA'ZI AMALIY MASALALARNI YECHISHDA NYUTON USULINI TADBIQLARI

SCHOLAR ISSN: 2181-4147 VOLUME 3 | ISSUE 12 | 2025 https://t.me/openscholar Multidisciplinary Scientific Journal Noyabr, 2025 4 DOI: https://doi.org/10.5281/zenodo.17525413 BA’ZI AMALIY MASALALARNI YECHISHDA NYUTON USULINI TADBIQLARI Bozarov Baxromjon Ilxomovich Farg‘ona davlat texnika universiteti o‘qituvchisi. Abdumutalibov Xojiakbar Maxamadumar o‘g‘li Farg‘ona davlat texnika universiteti, 652-24 DI guruh talabasi. Akbarov Bunyodjon Bekzod o‘g‘li Farg‘ona davlat texnika universiteti, 652-24 DI guruh talabasi. ANNOTATSIYA Nyuton-Rafson usuli — bu chiziqli bo‘lmagan tenglamalarning ildizlarini topish uchun ishlatiladigan iteratsion matematik usuldir. U funksiyaning hosilasi yordamida ildizga yaqinlashishni bosqichma-bosqich amalga oshiradi. Ushbu usul tez yaqinlashish xususiyatiga ega bo‘lib, fizika, muhandislik, iqtisodiyot va kompyuter fanlarida qo‘llaniladi. Asosiy afzalligi aniqlik va samaradorlikdir. Biroq, boshlang‘ich qiymat noto‘g‘ri tanlansa, natija uzoqlashishi yoki yaqinlashmasligi mumkin. Shu sababli, Nyuton-Rafson usuli aniqlikni talab qiluvchi amaliy hisoblashlarda keng ishlatiladi. Kalit so‘zlar. Nyuton-Rafson, ildiz topish, iteratsiya, hosila, yaqinlashuv, algoritm. АННОТАЦИЯ Метод Ньютона-Рафсона — это итерационный численный метод для нахождения корней нелинейных уравнений. Он основан на использовании производной функции для последовательного приближения к корню. Метод SCHOLAR ISSN: 2181-4147 VOLUME 3 | ISSUE 12 | 2025 https://t.me/openscholar Multidisciplinary Scientific Journal Noyabr, 2025 5 обладает высокой скоростью сходимости и широко применяется в физике, инженерии, экономике и компьютерных науках. Основные преимущества — точность и эффективность. Однако при неверном выборе начального приближения возможны ошибки или расхождение. Поэтому метод НьютонаРафсона считается важным инструментом в задачах, требующих высокой вычислительной точности. Ключевые слова. Ньютон-Рафсон, корень, итерация, производная, сходимость, алгоритм. ANNOTATION The Newton-Raphson method is an iterative numerical technique used to find the roots of nonlinear equations. It relies on the derivative of the function to successively approximate the solution. This method converges rapidly when the initial guess is close to the root and is widely applied in physics, engineering, economics, and computer science. Its main strengths are accuracy and computational efficiency. However, if the initial value is poorly chosen, the iteration may diverge. Therefore, the NewtonRaphson method is essential for precise and reliable mathematical computations. Keywords. Newton-Raphson, root finding, iteration, derivative, convergence, algorithm. Isak Nyuton barcha davrlarning eng zukko olimlaridan biri bo‘lgan. Uning ilmiy izlanishlari matematikaning deyarli har bir jabhasiga ta’sir etdi. Uning tenglamaning ildizini topish uchun qo‘llagan usuli 𝑦3− 2𝑦 − 5 = 0 kabi tenglamalarni yechishda ishlatilgan. Garchi u ushbu usulni faqat polinomlar uchun ko‘rsatgan bo‘lsa-da, uning kengroq qo‘llanilishini anglaganligi aniq [1]. Nyuton usuli. Faraz qilaylik, 𝑓 𝜖𝐶2[𝑎, 𝑏]. 𝑝0𝜖[𝑎, 𝑏] ni p ga yaqinlashuv sifatida olamiz, shunday qilib 𝑓(𝑝0)= 0 va |p − 𝑝0| . Endi f(x) uchun birinchi Taylor polinomini 𝑝0 atrofida kengaytiramiz va x = p da baholaymiz. 𝑓(𝑝)= 𝑓(𝑝0)+(𝑝 − 𝑝0)𝑓′(𝑝0)+(𝑝−𝑝0)2 2𝑓"(𝜀(𝑝)) SCHOLAR ISSN: 2181-4147 VOLUME 3 | ISSUE 12 | 2025 https://t.me/openscholar Multidisciplinary Scientific Journal Noyabr, 2025 6 bu yerda 𝜀(𝑝), 𝑝 va 𝑝0 orasida joylashgan. Chunki f(p)=0 0 = 𝑓(𝑝0)+(𝑝 − 𝑝0)𝑓′(𝑝0)+(𝑝−𝑝0)2 2𝑓"(𝜀(𝑝)) bu holatda |p − 𝑝0| kichik son.(𝑝 − 𝑝0)2 shuda kichik son bo‘lgani uchun 0 ≈ 𝑓(𝑝0)+(𝑝 − 𝑝0)𝑓′(𝑝0) p uchun yechim 𝑝 ≈ 𝑝𝑜−𝑓(𝑝0) 𝑓′(𝑝0)=𝑝1. Umumiy holatda formula quyidagicha ko‘rinish hosil qiladi 𝑝𝑛≈ 𝑝𝑛−1 −𝑓(𝑝𝑛−1) 𝑓′(𝑝𝑛−1)=𝑝𝑛. Nyuton usulini yana rivojlantirgan olimlardan biri Joseph Raphson 1690-yilda Isaak Nyuton tomonidan kashf etilgan metodni tasvirlab berdi va bu kashfiyot uchun Nyutonni manba sifatida tan oldi. Na Nyuton, na Raphson o‘zlarining tasvirlarida hosilni aniq ishlatmagan, chunki ikkalasi ham faqat polinomlarni ko‘rib chiqqan. Boshqa matematiklar, ayniqsa Jeyms Gregori, ushbu jarayonni shu vaqt yoki undan oldin bilishgan. Bu metodni keyinchalik "Nyuton-Raphson usuli" deb ataladigan bo‘ldi, asosan, matematikada ildizlarni topish va tenglamalarni yechish uchun qo‘llaniladi [1,2]. Nyuton-Raphson metodining asosiy g‘oyasi, funktsiyaning ildizini topish uchun iteratsiya (takrorlash) jarayonidan foydalanishdir. Bu metod, birinchi navbatda, boshlang‘ich taxminni olish va keyin har bir takrorlashda yaxshilangan yechimni olishga asoslanadi. Nyuton va Raphsonning ishlarida hosilning rolini tushunmagan bo‘lishlariga qaramay, ular metodni polinomlar bilan ishlashda samarali deb topishgan, bu esa keyinchalik hosilani va differensial tenglamalarni hisoblash uchun zaruriy formulaga aylangan [3]. Keyinchalik, bu metod turli xil ilmiy sohalarda, shu jumladan fizika, muhandislik, va iqtisodiyotda keng qo‘llanila boshladi. Matematiklar va ilmiy jamoatchilik bu metodning ahamiyatini anglab, uni rivojlantirishni davom ettirdilar va o‘zgarishlarga moslashish uchun yangi yondashuvlar va variantlar yaratdilar. Nyuton usuli yordamida quyidagi misolni yechimini topamiz: SCHOLAR ISSN: 2181-4147 VOLUME 3 | ISSUE 12 | 2025 https://t.me/openscholar Multidisciplinary Scientific Journal Noyabr, 2025 7 𝑓(𝑥)= 3𝑥+1 − 7 ∗ 52𝑥 dastlab bu funksiyani 1-tartibli hosilasni topib olamiz 𝑓′(𝑥)= 3𝑥+1 ln 3 − 14 ∗ 52𝑥 ln 5. Boshlang‘ich nuqta sifatida 𝑥0= 0 𝑥1= 0 − 30+1−7∗52∗0 30+1∗ln 3−14∗52∗0 ln 5, ln3 ≈ 1.09861229 , ln 5 ≈ 1.60943791. Ikkinchi iteratsiya: 𝑥1= −0.20794 shu tariqa har bir takrorlash bizni javobga yaqinlashtiradi, 𝑥2= 𝑥1−𝑓(𝑥1) 𝑓′(𝑥1)= −0.20794, −−1.197 −8.914 ≈ −0.20794 − 0.13428 ≈ −0.34222, 𝑥2≈ −0.34222. Uchunchi iteratsiya: 𝑥3= 𝑥2−𝑓(𝑥2) 𝑓′(𝑥2)= −0.34222 − −0.264 −5.215 ≈ −0.34222 − 0.05062 ≈ −0.39284, 𝑥3≈ −0.39284. To‘rtinchi iteratsiya: 𝑥4= 𝑥3−𝑓(𝑥3) 𝑓′(𝑥3)= −0.39284 − −0.025 −4.213 ≈ −0.39284 − 0.00593 ≈ −0.39877, 𝑥4≈ −0.39877. Beshinchi iteratsiya: 𝑥5= 𝑥4−𝑓(𝑥4) 𝑓′(𝑥4)= −0.39877 − −0.003 −4.115 ≈ −0.39877 − 0.00072 ≈ −0,39949, 𝑥5≈ −0,39949, 𝑓(𝑥)= 31+𝑥 − 7 ∗ 52𝑥. Funksiyamiz 10−3aniqlikda 𝑥 = −0,39949 qiymatda 𝑓(𝑥)= 0 shart qanoatlantirildi 𝑓(−0.39949)= 31−0.39949 − 7 ∗ 52∗(−0.39949), 𝑓(−0.39949)= 30.60051 − 7 ∗ 5−0.79898, SCHOLAR ISSN: 2181-4147 VOLUME 3 | ISSUE 12 | 2025 https://t.me/openscholar Multidisciplinary Scientific Journal Noyabr, 2025 8 𝑓(−0.39949)= 1,932 − 7 ∗ 0.276 = 0.000. Har bir qadamda olingan natijalarni umumiy jadvalda berish orqali funksiyani qiymati nolga yaqinlashtiruvchi argument qiymatlarini o‘zgarishlarini ko‘rish mumkin, bu berilgan funksiyani nolga aylantiruvchi aniqroq qiymatlarga intiladi. Amaliy masalalar uchun kerakli amiqlikda ketma – ket takrorlashni yakunlaymiz. x ga berilgan qiymatlar Funksiya hosil qilgan qiymatlar 𝑥1= 0 𝑦1= −1.197 𝑥2= −0.34222 𝑦2= −0.264 𝑥3= −0.39284 𝑦3= −0.025 𝑥4=-0.39877 𝑦4= −0.003 𝑥5=-0.39949 𝑦5= 0.000 Xulosa. Nyuton-Raphson usuli matematika, fizika, muhandislik va iqtisodiyotda turli amaliy masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. U chiziqli bo‘lmagan tenglamalar ildizini topish, elektr zanjirlaridagi kuchlanishlarni hisoblash, mexanik tizimlarda muvozanat nuqtalarini aniqlash, issiqlik almashinuvi va oqim tezligini topish kabi muammolarda ishlatiladi. Bundan tashqari, optimallashtirish masalalarida ekstremumlarni aniqlashda ham samarali qo‘llanadi. Kompyuter dasturlashda iteratsion hisoblashlar uchun tez yaqinlashuv xususiyati tufayli Nyuton-Raphson usuli eng ishonchli va tezkor algoritmlardan biri hisoblanadi. ADABYOTLAR RO‘YXATI 1. Burden R.L., Faires J.D. Numerical analysis. \textit{Nelson Education}, Ninth Edition, Canada, 2016. 2. Castell W., Fernandez N.L., Yuan X. Polynomial interpolation on the unit sphere. Advances in Computational Mathematics. Springer. 2007. 26: pp.155–171. 3. Hamming R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers, McGraw Bill Book Company, Inc., USA, 1962, 411p.