DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI

JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Axmadjonova Oydinxon Soyibjon qizi Farg‘ona davlat texnika universiteti o‘ituvchisi, oydinoyax[email protected], 949149974 DIOFANT TENGLAMALARINI YECHISH USULLARI Kirish. Matematikada Diofant tenglamalari — bu noma’lumlar butun son bo‘lishi kerak bo‘lgan tenglamalardir. Ular qadimgi yunon matematigi Diofant nomi bilan atalgan. Bunday tenglamalarni yechishning maqsadi — barcha butun sonli yechimlarni topishdir. Masalan: 3x + 5y = 11, yoki x² + y² = z² kabi. Quyida biz Diofant tenglamalarini turlarini va ularning yechimlarini o’rganamiz. 1. Chiziqli Diofant tenglamalar 2. Kvadrat Diofant tenglamalari. 3. Nostandart kvadrat tenglamalar Materiallar va usullar. Chiziqli Diofant tenglamalari Quyidagi 1 1 2 2 ... n n a x a x a x b+ + + = (1) ko’rinishidagi tenglama chiziqli Diofant tenglamasi deyiladi. Bu yerda 1 2 , , , n a a a b lar o’zgarmas butun sonlar. Biz 1n deb faraz qilamiz. (G’arb matematika usuli) Teorema. (1) tenglama yechimga ega bo’ladi, agar ( ) 1 2 gcd , ,.. n a a a b . (gcd-greatest common devisor-EKUB) Agar yechim mavjud bo’lsa, unda n-1 ta yechim tanlash mumkin, har qanday boshqa yechim shu n-1 ta yechimning butun sonli chiziqli kombinatsiyasi orqali ifodalanadi. Isbot. ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 gcd , ,.. , ,.. n n a a a d EKUB a a a d= = bo’lsin. Agar d ga teng bo’lmasa, (1) tenglama ildizga ega emas bo’ladi. Chunki, har qanday 1 2 , ,.. n x x x butun sonlar uchun chap tomoni d ga bo’linadi, o’ng tomoni esa yo’q. Demak, ( ) 1 2 , ,.. n EKUB x x x ni 1 2 , ,.. n x x x butun sonlar koeffitsiyentlari bilan chiziqli kombinatsiya tuzish mumkinligini isbotlashimiz kerak. n=2 uchun bu proporsiyadan kelib chiqadi. Chunki ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 , ,.. , ,.. , n n n EKUB x x x EKUB EKUB x x x x - = . JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Bundan ( ) 1 2 , ,.. n EKUB x x x ifoda xnva ( ) 1 2 1 , ,.. n EKUB x x x - ning chiziqli kombinatsiyasi ekanligini bilib olamiz. Shunday qilib, matematik induksiya metodidan xnva xn -1 lar 1 2 , ,.. n x x x larning chiziqli kombinatsiyasidir. Xulosa. Agar a1va a2lar o’zaro tub butun sonlar va (u,v) lar quyidagi 1 1 2 2 a x a x b+ = tenglama yechimi bo’lsa, u holda ushbu tenglama umumiy yechimi quyidagicha ifodalanadi: 1 2 2 1 x u a t x v a t t Z= + = - . (2) 1-misol. 3x+4y+5z=6 tenglamani yeching. Yechish: Tenglikni 5 modul bo’yicha hisobga olsak, ( ) 3 4 1 mod5x y+ . Demak 3 4 1 5x y k k Z+ = + bo’ladi. Bu tenglamani chap tomoni o’ng tomoniga teng bo’ladigan yechim tanlab olamiz 1 1 1 3 , 1x k y k= - + = - . Endi tenglama yechimini (2) ga asoslanib yozamiz: 1 3 4 , 1 3 ,x k l y k l k l Z= - + + = - - . 2-misol. 2x y z xyz xy xz yz+ + + = + + + tenglamani manfiy bo’lmagan butun sonlarda yeching. Yechish: Biz tenglamani ko’paytiruvchilarga ajratib olamiz: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 xyz xy xz yz x y z xy z xz x yz y z z xy x y z y x - + + + + + - = - - + - + + - = - - - + = - - - = x,y,z lar nomanfiy butun sonlar bo’lganligi sababli, biz tanlab olamiz 1 1 1 1 2x y z natijada x y z- = - = - = = = = kelib chiqadi. (2-usul) Chiziqli Diofant tenglamalarni yechishda o’zgaruvchilar soni n-1 taga tushiriladi va koeffitsientlarni karrali ko’paytuvchilarga ajartish i j a ka= orqali berilgan tenglama n-1 ta oʻzgaruvchiga bog’liq yechimga keltiriladi. 3-misol. 5x+6y+7z=19 tenglamani butun sonlarda yeching. Yechish: noma’lumni bittaga kamaytiramiz: ( ) ( ) 5 7 19 5 7 19 5 6 19 5 19 19 5 29 7 114 630 7 114 , 6 6 19 5 19 5 b x y y z x y a a y z a y z a b z z a b x z b y z b y a b a b Z y b z b a b z a b + + + = + = + + = + + = + + = = - - = - - + + = = + - = - = - - - = - - 123 Ta’rif. ax+by=c ko’rinishdagi tenglama ikki o’zgaruvchili chiziqli Diofant tenglamalari deyiladi, bu yerda ( ) , , , , , 1abc Z abc = JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Teorema. ax+by=c tenglamani butun sonlar to’plamida yechimga ega bo’lishi uchun (a,b)=1 bo’lishi zarur va yetarlidir. Isboti. Zaruriyligi. Faraz qilaylik (a,b)=d>1 boʻlsa ax+by=c tenglama butun sonlar toʻplamida yechish mumkin boʻlsin. Faraz qilamiz x0,y0Z sonlar juftligi ax+by=c tenglamaning ildizi boʻlsin, ya’ni ax0+by0=c. Ma’lumki, (a,b)=d>1 va ax0+by0=c boʻlgani uchun c ozod son d ga boʻlinadi. Demak, (a,b,c)=1. Bu esa (a,b,c)=1 shartga zid. Yetarliligi. (a,b)=1 boʻlsin. Shunday EKUB xossasiga koʻra shunday x,yZ sonlar mavjudki 1=ax+by. Tenglikning har ikkala tomonini c ga koʻpaytiramiz: a(cx)+b(cy)=c. Natijada cx,cy butun sonlar boʻlib ax+by=c tenglamaning ildizlaridir. Ularni mos ravishda cx=x0, cy=y0kabi belgilaymiz. Demak, (a,b)=1 boʻlishi kelib chiqadi. Yechish usullari: a) taqqoslash usuli; b) munosib kasrlar usuli; c) tanlash usuli; d) ko‘paytuvchilarga ajratish usuli va belgilash usuli; e) ko‘paytuvchilarga ajatish va o‘rniga qo‘yish usullari yordamida yechamiz. Ko‘paytuvchilarga ajatish va o‘rniga qo‘yish usuli mohiyati quyidagilardan iborat: 1 1 c by n ky ax by c ax c by x d a a n ky at n ft h ft h t y l l t t a k k k - + + = = - = = + + - + + = = = + = + = butun son bo‘lguncha shunday belgilashlar qilib boramiz. Bu usul mohoyati quyidagi misol orqali koʻrsatiladi: 4-misol. 24x-17y=2 tenglamani yeching. Yechish: 14 24 24 17 2 / 7 168 119 14 24 7 5 14 . 10 17 t y t x y x y x y y x t = - - = - = - + = = - 14243 Evklid algoritmidan foydalanish usuli. Evklid algoritmidan foydalanib ax+by=c koʻrinishidagi tenglamalarni yechish 1 sonini a va b sonlar orqali ifodalashga asoslanadi. Natija. ax+by=c tenglamaning ildizlari osod son c ga karrali boʻladi. Tenglamaning barcha butun ildizlarini topamiz: JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL 1) Agar c=0 bo’lsa, ax+by=0 tenglamada ax yb = - . Shartga ko’ra y Z va (a,b)=1. Demak, shunday t Z mavjudki, x=bt. U holda y=-at. Natijada tenglamaning umumiy ildizi quyidagicha . , x bt t Z y at = = - 2) Agar 0c bo’lsa, ax+by=c tenglama uchun shunday 0 0 ,x y Z mavjudki, 0 0 ax by c+ = . Bunga asosan ax+by=c va 0 0 ax by c+ = tenglamalarni ayiramiz, natijada: ( ) ( ) 0 0 0a x x b y y- + - = . Bu tenglama yuqoridagi kabi yechiladi: 0 0 0 0 . , , x x bt x x bt t Z y y at y y at - = = + - = - = - 5-misol. 17x+11y=6 tenglamani yeching. Yechish: Tenglamada (17,11,6)=1 va (17,11)=1. Demak, tenglama butun sonlar to’plamida ildizga ega. 1 sonini a va b sonlar orqali ifodalaymiz. a=17, b=11. ( ) ( ) 17 11 1 6 11 6 1 5 6 5 1 1 1 6 5 1 6 1 11 6 1 6 2 11 1 17 11 1 2 11 1 17 2 3 11 1 17 2 3 11 = + = + = + = - = - - = - = - - = - = - a=17, b=11 bo’lgani uchun 17 2 3 11 1- = ifodani quyidagicha yozamiz: ( ) 17 2 3 11 1/ 6 17 12 11 18 6.va- = + - = Demak, 0 0 12, 18x y= = - va 0 0 12 11 . ,18 17 , x x bt x t t Z y y at y t = + = + = - = - - Javob: (12+11t; -18-17t), t Z Zanjir kasrdan foydalanish usuli. Ta’rif. Chekli zanjir kasr deb quyidagi koʻrinishdagi ifodaga aytiladi: 0 1 2 1 1 1 ... n a a aa + + + + bu yerda 0 , 1, , , 1. i n a N i n a Z a= Chekli zanjir kasrlar quyidagi ko’rinishda belgilanadi: [ ] 0 1 2 ; ; ,..., . n aa a a a b= Ta’rif. aison zanjir kasrning elementi deyiladi. JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Ta’rif. a0son nolinchi tartibli kasrga mos son deyiladi va u 0 0 0 b aq = kabi yoziladi, bu yerda 01.q= Teorema. Har qanday a/b ratsional sonni chekli zarjir kasr shaklida yagona tarzda ifodalash mumkin va zarjir kasrning [ai] elementlari a vva b sonlari uchun Evklid algoritmidan hosil bo’ladi. Isboti. , , aQ a Z b N b a va b sonlariga Evklid algoritmini qo’llaymiz: 0 1 1 1 1 2, 2 1 1 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 , 0 , 0 , ,0 , ......... , 0 , 0. n n n n n n n n n a ba r r b b ra r r r r r a r r r r r a r r r r r a - - - - - = + < = + < = + < = + < = + Bu yerda 0, 1, , . i a Z i n a N= Birinchi tenglikni b ga ikkinchisini r1ga bo’lamiz va shu ishni takrorlaymiz. 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 11 1 1 , , .................. 1, . n n n n n n n n a r b r a a a a b r b b r r r r r r a a r r r r - - - - = + = + = + = + = + = Birinchi tenglikka qolgan hammasini qo’yamiz: 0 1 2 1 1 1 ... n aa ba aa = + + + + bu yerda 0 , 1, , , 1. i n a N i n a Z a= Zanjir kasrlarning qismlarini qurish usulini keltiramiz. [ ] [ ] 0 1 0 1 ; ;...; , ; ;...; , n k k aa a a A a a a k n b= = berilgan bo’lsin. JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL 1) 11nolinchi tartibli kasr, 0 0 0 , 1.p a q= = 2) 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 11, ...................................... p A a p a a q a a q = + = = + = k) Ak=pk qk=pk−1ak+pk−2 qk−1ak+qk−2⇒pk=pk−1ak+pk−2; qk=qk−1ak+qk−2. Buni quyidagi jadvalda tasvirlaymiz: Demak, [ ] 0 1 ; ;...; , . n n n a a p a a a b b q = = Quyidagi tenglamani ko’raylik: ( ) , , , 1ax by c a b c+ = = va (a,b)=1. Demak, ushbu Diofant tenglamasi butun sonlarda yechimga ega. Zanjir kasrdan foydalanamiz: [ ] ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ;...; , , ; 1 . n n n n n n n n n n n n n n n n n a a p p p a p a a a b b q q q q q b q bq aq bq - - - - - - - - - - - - - = = - = - = - = - Tenglikni har ikkala tomonini c ga ko’paytiramiz: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 , n n n a cq b cp c - - - + = - Yana (-1)n-1 ga ko’paytiramiz: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 . n n n n a cq b cp c - - - - - + - = Natijalar. 587x+113y=1 tenglamani yeching. Yechish: Zanjir kasrdan foydalanamiz:\ 587 22 1 1 5 5 5 113 1 113 113 51 22 73 = + = + = + + + JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL Ushbu zanjir kasrning oxirgi bo’g’inini -uchdan birni tashlab yuborib, hosil bo’lgan zanjir kasrni oddiy kasrga aylantiramiz: 1 1 7 187 5 5 5 1 36 36 36 57 7 + = + = + = + . Uni 587/113 kasrdan ayiramiz: 587 187 21132 21131 1 113 36 113 36 113 36 - - = = Demak, umumiy maxrajga keltirib, uni berilgan tenglama bilan solishtiramiz: x=36, y=-187 bitta xususiy ildizni topamiz. Natijada 0 0 36 113 . ,187 587 , x x bt x t t Z y y at y t = + = + = - = - - 7-misol. 571x+359y=7 tenglamani yeching. Yechish: (571,359,7)=1 va (571,359)=1, demak, tenglama butun sonlar to’plamida yechimga ega. [ ] 571 571 ; 1;1;1;2;3;1;4;1;2 359 359 a b= = .pk=pk−1ak+pk−2, qk=qk−1ak+qk−2 ( ) 7 1 571 202 359 127 359 127 - - = . Buni tenglama bilan solishtirsak, ( ) ( ) 0 0 571 127 359 202 1/ 7 571 889 359 1414 7 889 1414x y+ - = - + - = - = = - Demak, 0 0 889 359 . 1414 571 , x x bt t t Z y y at t = + = + = - = - - Muhokama. Ushbu maqolada ixtiyoriy darajali diofant tenglamalarining butun va ratsional yechimlarini topish usullari, so‘ngra ikki noma'lumli chiziqli tenglamalarni yechish usullari batafsil bayon etildi, misollar keltirildi. So‘ngra tenglamalarning yechimi Avval Yevklid algoritmi bilan, so‘ngra zanjirli kasr yordamida qidirildi. Har bir usul afzalligi, bajarilash jaroni JOURNAL OF IQRO – ЖУРНАЛ ИҚРО – IQRO JURNALI – volume 18, issue 02, 2025 ISSN: 2181-4341, IMPACT FACTOR ( RESEARCH BIB ) – 7,245, SJIF – 5,431 www.wordlyknowledge.uz ILMIY METODIK JURNAL ham nazariy ma’lumotlar bilan, ham misollar bilan ko‘rsatib o‘tildi. Diofant tenglamalarining boshq atenglamalardan farqi tenglama ildizlari butun sonlar to‘plamidan qidirishidadir, Foydalanilgan adabiyotlar: 1. И. Г. Башмакова, Диофант и Ферма. В сб. «Историко математические исследования», вып. 17. М., «Наука», 1966. 2. SH.N.Ismailov. Sonlar nazariyasi. – Toshkent , 2008 y. 3. М.А. Мирзаахмедов, Д. Сотиболдиев. Ўқувчиларни математик олимпиадаларга тайёрлаш. Тошкент, “Ўқитувчи” -1993 й.