О задаче оптимизации управления резервируемыми машинами

86 ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 2025, том 61, № 4, с. 86–97 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Задачей назначения оптимального срока службы машине 1, подвергающейся отказам, занималось много специалистов, соответствующие методы ее решения описаны в литературе по теории надежности. Критерием оптимальности здесь обычно считается отношение ожидаемых затрат, связанных с эксплуатацией машины и ее отказами (с учетом или без учета дисконтирования), к ожидаемому сроку службы или наработке (Barlow, Hunter, 1960; Fan, Machemehl, Kortum, 2011; Jiang, 2018; Van Horenbeek, Pintelon, Muchiri, 2010; Redmer, 2009; Smith, 2011; Terborgh, 1948). В работах (Смоляк, 2022, 2024) оптимальными считались сроки службы, обеспечивающие наиболее эффективное использование машины и приводящие к наибольшей рыночной стоимости владеющего машинами предприятия. Важно, что решение задачи существенно зависит от величины потерь, возникающих при отказе машины. Однако если потери при отказе достаточно велики, то становится выгоднее дублировать машину, т. е. установить резервную, дублирующую машину, которая при отказе основной машины заменяет ее. Целью настоящей статьи является поиск наиболее эффективной политики использования и замещения основной и резервной машин. При этом, вплоть до заключительного раздела, будет предполагаться отсутствие инфляции. Предметом нашего рассмотрения будут машины одной марки, изготовленные серийно по одному проекту, обращающиеся на рынке и подвергающиеся деградации и случайным отказам в ходе работы. 1 Термином «машина» мы именуем также оборудование и транспортные средства. Аннотация. Рассматриваются машины, используемые в производственном процессе предприятия, отказ которых ведет к остановке этого процесса и потерям. Техническое состояние и операционные характеристики машин ухудшаются с увеличением их наработки. Построена модель для определения оптимального срока службы (предельной наработки) таких машин, в которой предполагается, что отказавшая машина утилизируется и мгновенно заменяется новой машиной той же марки. Однако обычно процесс замены требует случайного времени, порой — достаточно большого. Тогда целесообразным оказывается использовать резервную машину, а предметом рассмотрения становится комплекс из взаимозаменяемых основной (работающей) и резервной машин одной марки. При этом потери от остановки производственного процесса предприятия возникают лишь после отказа обеих машин комплекса, когда заказы на поставку заменяющих новых машин еще не исполнены. Методы теории надежности и общие принципы теории стоимостной оценки объектов позволяют построить модель для решения задачи оптимального управления таким комплексом в дискретном времени. Показано, что решения о прекращении использования одной машины комплекса, о назначении ее основной или резервной должны приниматься в зависимости от наличия и состояния второй. Проведенные расчеты позволяют предположить, что из двух машин комплекса основной должна назначаться машина с меньшей наработкой, однако доказать справедливость этой гипотезы не удается. Ключевые слова: машины, замещение, резервирование, срок службы, рыночная стоимость, принцип ожидания выгод, скользящий режим. Классификация JEL: C44, C61, D46, D81. УДК: 338.94, 62–192, 62–51. Для цитирования: Смоляк С. А. (2025). О задаче оптимизации управления резервируемыми машинами // Экономика и математические методы. Т. 61. № 4. С. 86–97. DOI: 10.31857/ S0424738825040078 Поступила в редакцию 16.04.2025 С. А . Смоляк, д. э. н., ЦЭМИ РАН, Москва; e-mail: [email protected] © 2025 г. С.А. Смоляк О задаче оптимизации управления резервируемыми машинами ПРОБЛЕМЫ ПРЕДПРИЯТИЙ О ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ 87 ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 Будем считать, что работа машины является частью производственного процесса владеющего ею предприятия — типичного участника рынка и этот процесс осуществляется в некотором неизменном режиме (например, двухсменная работа с общевыходными днями). Использование машин в общем случае включает их работу, техническое обслуживание и ремонт и (в конце срока службы) — утилизацию. При работе техническое состояние машин ухудшается и происходят случайные отказы — частичные (мелкие) и полные. Полный отказ приводит к остановке производственного процесса предприятия и соответствующим потерям, а отказавшая машина утилизируется (это предполагает техническую невозможность или экономическую нецелесообразность капитальных ремонтов). Последствия частичных отказов устраняются в ходе технического обслуживания и текущего ремонта (ТОиР), проводимого в свободное или нерабочее время, а затраты на ТОиР включаются в состав операционных затрат машины. Это позволяет считать, что возможность частичных отказов отражена в операционных затратах, поэтому мы можем ограничиться рассмотрением только полных отказов (поэтому определение «полный» далее будет опускаться). Состояние машин нередко характеризуют их возрастом. Для наших целей такой измеритель состояния неудобен — при простое машины ее возраст увеличивается, а состояние не меняется. Здесь, как и в теории надежности, будем характеризовать состояние машины ее наработкой — отработанным временем (t), однако выражать ее будем годах и долях года. Это значит, что у машины, безотказно работавшей в принятом режиме в течение календарного года, наработка составит один год 2. Считаем, что наработка определяет операционные характеристики работающей машины. Машины с наработкой 0 (новые), готовые к работе, можно заранее заказать. Рыночная стоимость (РС) заказа K, включающая стоимость покупки, доставки и установки машины, считается известной. Заказ оплачивается в момент исполнения. В процессе работы машины подвергаются деградации, т. е. ее операционные характеристики ухудшаются: ТОиР приходится проводить все чаще, интенсивность операционных затрат c(t) неограниченно растет, а опасность (интенсивность) отказов λ(t) не снижается. При этом вероятность безотказной работы машины в течение времени t будет равна e− () Λt , где Λtxdx t () = () ∫λ 0 — накопленная за время t опасность отказов. Потери, возникающие при отказе машины, обозначим через D. Нам потребуются также некоторые сведения из теории стоимостной оценки. В этой теории разрабатываются методы оценки различных видов стоимости объектов. Провести стоимостную оценку можно, в принципе, для любого объекта, обладающего полезностью для участников рынка. В частности, объектами стоимостной оценки могут быть машины и выполняемые ими работы. Стоимость объекта всегда оценивается на определенный момент времени, именуемый датой оценки (такой же объект на другую дату оценки может иметь иную стоимость). Отметим, что стоимостная оценка возможна и в отношении гипотетических объектов (т. е. отсутствующих на рынке на дату оценки). Любые примеры оценки стоимости объектов, приводимые в статьях и учебниках, относятся как раз к гипотетическим объектам, хотя и близким к реальным. Основным видом стоимости объекта является его рыночная стоимость (РС). Детальное определение этого понятия дается и раскрывается в Международных стандартах оценки (МСО). Рыночную стоимость (РС) объекта на дату оценки можно определить как расчетную денежную сумму, за которую состоялся бы обмен объекта на эту дату между типичными покупателями и продавцами в результате стандартной сделки. При этом: – объекты оценки должны обладать полезностью для участников рынка; – типичными считаются участники рынка, проводящие надлежащий маркетинг, ведущие себя расчетливо и хорошо осведомленные о характере, свой ствах и доступных для участников рынка способах использования объекта, а также о состоянии рынка на дату оценки; – стандартной считается сделка, совершаемая на открытом и конкурентном рынке, между сторонами, не связанными между собой какими-либо отношениями и действующими независимо. Для того чтобы стандартная сделка между типичными покупателями и продавцами совершалась, необходимо, чтобы цена сделки была «наилучшей из достижимых, по разумным соображениям, 2 Количество отработанных часов при этом будет зависеть от принятого на предприятии режима. ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 88 СМОЛЯК для продавца и наиболее выгодной из достижимых, по разумным соображениям, для покупателя» (МСО, 2022, МСО 104, п. 30.2a). Применительно к нефинансовому имуществу (скажем, к машинам) это означает, что в такой сделке: – продажа имущества по РС была бы для продавца не менее выгодной, чем использование его наиболее эффективным способом; – покупка имущества по РС и использование его наиболее эффективным способом была бы для покупателя не менее выгодной, чем вложение тех же средств в какие-то альтернативные и доступные для всех участников рынка направления инвестирования. Отсюда следует, что рыночная стоимость нефинансового имущества должна оцениваться при предпосылке о наиболее эффективном способе его использования, и потому, как отмечено в (там же, п. 30.4), «будет отражать его наиболее эффективное использование». Работа, выполняемая машиной в малую единицу времени (единица работы), обладает полезностью для владельцев машин и потому имеет свою рыночную стоимость p. Ее можно трактовать как РС использования машины в течение малой единицы времени (если измерять время в часах — как РС машино-часа работы машины), т. е. как рыночную ставку арендной платы за единицу времени работы машины. Это позволяет практически оценивать РС единицы работ некоторых видов машин по данным о рыночных ставках арендной платы (разумеется, после их корректировки на осуществляемые арендодателем затраты). Заметим, что оценщики обычно не оценивают РС выполняемых машинами работ (исключение составляют работы по транспортировке пассажиров и грузов и некоторые строительномонтажные и ремонтные работы). Приносимые в некотором периоде машиной (доналоговые) выгоды определим как рыночную стоимость выполняемых ею в этом периоде работ за вычетом связанных с этим затрат. Утилизация машины (после отказа или при выявлении неэффективности ее дальнейшего использования) требует определенных небольших затрат и может принести определенные небольшие доходы. Это позволяет считать выгоды от утилизации машины нулевыми. РС новой машины обычно оценивают на основе сложившихся на первичном рынке цен машин той же марки с учетом затрат на доставку новой машины покупателю. Однако оценка стоимости подержанных машин представляет значительные трудности, поскольку все подержанные машины одной марки в некотором смысле уникальны, отличаясь друг от друга по тем или иным эксплуатационным характеристикам. При стоимостной оценке объектов часто используется упоминаемый (но не расшифрованный) в (МСО, 2022) «принцип ожидания выгод». Его можно сформулировать так (Смоляк, 2022, 2024): рыночная стоимость объекта на дату оценки не меньше ожидаемой суммы дисконтированных к этой дате выгод (ОСДВ) от его использования в некотором периоде после даты оценки и дисконтированной рыночной стоимости объекта в конце периода и совпадает с этой ожидаемой суммой, если объект в этом периоде используется наиболее эффективно. Заметим, что длительность периода здесь может быть произвольной, так как РС объекта на дату оценки от нее не зависит. Поскольку мы будем учитывать вероятности отказов и связанных с ними затрат и выгод, то входящий в определение термин «ожидаемый» мы будем понимать как математическое ожидание (в МСО — «взвешенное по вероятностям»), а для дисконтирования затрат и выгод будем использовать номинальную доналоговую безрисковую ставку 3 r (при отсутствии инфляции она совпадает с реальной). Тем самым, выгоды, получаемые через время t после даты оценки, приводятся к этой дате путем умножения на коэффициент дисконтирования e−rt. Из изложенного вытекает, что ожидаемая сумма дисконтированных выгод (ОСДВ) от последующего использования объекта не больше РС этого объекта и совпадает с ней, если объект будет использоваться наиболее эффективно. Поэтому наиболее эффективному способу использования объекта должна отвечать наибольшая ОСДВ. Повысить эффективность использования машин можно, установив им оптимальный срок службы — предельный возраст или (как в нашей модели) предельную наработку (ресурс), при достижении которой использование машины по назначению должно быть прекращено. Такая задача 3 Обычно она оценивается по данным о доходности государственных обязательств. О ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ 89 ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 решалась многими авторами, но в разд. 2 мы изложим вкратце свой подход к ее решению. Более сложная задача возникает, если учесть, что замена отказавшей или достигшей назначенного срока службы машины требует определенного времени. Эту задачу мы рассмотрим в разд. 3. Решение этих задач существенно зависит от величины потерь D при возможном отказе машины. Дело в том, что разные значения D возникают, когда машины используются в разных производственных процессах, а к их работе предъявляются разные требования. Это значит, что каждому значению D отвечает свои условия использования машин и своя группа типичных владельцев этих машин. Естественно, что этим условиям будет отвечать и своя РС единицы выполняемых машиной работ (точно так же, как в сметных ценах на эксплуатацию строительных машин учитываются условия их использования). 2. ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКА СЛУЖБЫ МАШИНЫ ПРИ МГНОВЕННОМ ЕЕ ЗАМЕЩЕНИИ Предметом нашего рассмотрения будет непрерывный процесс использования и замены машин одной определенной марки. Принимается, что замена отказавшей машины на заказанную ранее готовую к работе новую 4 осуществляется мгновенно. Состояние машин определяется их наработкой. Введем следующие обозначения: K — РС новой (с наработкой 0) готовой к работе машины; p — РС единицы выполняемых машинами работ; c(t) — интенсивность операционных затрат машины с наработкой t (при отсутствии отказа); bt p ct() ()=− — интенсивность выгод, приносимых этой машиной; λ(t) — опасность отказа машины с наработкой t (вероятность ее отказа в ближайшую малую единицу времени); Λtxdx t () = () ∫λ 0 — накопленная опасность отказа этой машины; D — потери от остановки производства при отказе машины. С ухудшением состояния машины (с ростом наработки) ее операционные характеристики ухудшаются. Поэтому функцию c(t) будем считать неограниченно возрастающей, а функцию λ(t) — неубывающей по t. Функция b(t) при этом будет неограниченно убывающей. Мы хотим оптимизировать управление процессом использования машин. Рассмотрим машину в состоянии t. Обозначим через V(t) ОСДВ от оптимального последующего ее использования и замены 5 и будем, из технических и экономических соображений, считать функцию V(t) убывающей и гладкой. Заметим, что в отношении машины можно принять только одно из двух возможных решений: утилизировать и заменить ее новой или продолжить ее работу в течение малого периода времени dt. При первом решении потребуются затраты K на замену, после чего оптимальное использование новой машины даст ОСДВ V(0). Таким образом, ОСДВ от принятого решения составит VK0 () −. При втором решении возможны два случая. 1. Если машина (с вероятностью λ(t)dt) откажет, то на ее замену и устранение последствий отказа потребуются затраты K+D, после чего оптимальное использование новой машины даст ОСДВ V(0). Тогда ОСДВ от принятого решения составит VKD0 () −−. 2. Если отказа не произойдет, машина принесет за период выгоды b(t)dt. При этом в конце периода машина будет иметь наработку t+dt, так что при отсутствии инфляции ее последующее использование даст ОСДВ V(t+dt). В результате в данном случае ОСДВ от принятого решения составит btdt rdtV t dt() ( ) ( )+− +1 , где r — ставка дисконтирования в непрерывном времени. Учитывая вероятности этих случаев, найдем ОСДВ от второго решения: λλtdtV K D tdt btdt rdtVt dt () () −− ⎡ ⎣⎤ ⎦+− () ⎡ ⎣⎤ ⎦ () +− () + () ⎡ ⎣⎤ ⎦= = 01 1 VVt V t r tVt tV K D bt dt () +′ () −+ () () () + () () −− () + () ⎡ ⎣⎤ ⎦ λλ0. Оптимальным будет решение, дающее наибольшую ОСДВ, поэтому Vt V KVt V t r tVt tV K D bt () = () − () +′ () −+ () () () + () () −− () + () max 0 0;λλ ⎡⎡ ⎣⎤ ⎦ } { dt . (1) 4 Казалось бы, заказывать можно и подержанную машину. Однако обычно история использования продаваемых машин неизвестна, так что указываемая продавцами наработка машины может давать неверную информацию о ее техническом состоянии. 5 Эту ОСДВ уже нельзя трактовать как РС машины с наработкой t, поскольку она работает в нетипичных для подобных машин условиях. Однако она отражает вклад машины в РС владеющего ей предприятия. ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 90 СМОЛЯК Заметим, что утилизировать новую машину бессмысленно и неэффективно. Поэтому утилизация будет эффективна лишь для машин с достаточно большой наработкой. Но если утилизировать и заменить какую-то машину окажется эффективным, такое решение будет правильным и для машин с большей наработкой. Это означает, что утилизироваться должны машины с наработкой, превышающей некоторое значение S. Но тогда, поскольку функция V(t) — гладкая, уравнение (1) принимает вид ′ () −+ () ⎡ ⎣⎤ ⎦ () + () () −− ⎡ ⎣⎤ ⎦+ () =≤ () () = Vt r tVt tV KD bt tS VS V λλ00 0 ,; (() −K. (2) Мы не будем выписывать решение этого уравнения, приведем лишь короткую формулу для V(0): VVK bttVKD d rS S rt t 00 0 () = () − ⎡ ⎣⎤ ⎦+ () + () () −− ⎡ ⎣⎤ ⎦ {} −− () −− () ee ΛΛ λtt S . 0 ∫ Ее можно преобразовать следующим образом: Kbt tD dtKV t rt t S rS S − () − () ⎡ ⎣⎤ ⎦=− () ⎡ ⎣⎤ ⎦−+ () −− () −− () ∫λλeee ΛΛ 0 01 −−− () ∫ ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ rt t S dt Λ 0 . Справа здесь стоит произведение двух сомножителей, причем второй из них всегда положителен, что легко проверяется. В первый сомножитель входит величина V(0). Она отражает ОСДВ от такого способа использования машины, при котором она утилизируется только при отказе или при достижении наработки S. Согласно теории стоимостной оценки, такая ОСДВ должна быть не больше РС этой машины K и совпадать с ней, если этот способ наиболее эффективный. Это значит, что KV− () ≥00 , причем знак равенства достигается, когда S примет оптимальное значение, которое мы обозначим через T. Отсюда вытекает, что Kbt tD dt rt t S − () − () ⎡ ⎣⎤ ⎦≥ −− () ∫λe, Λ 0 0 (3) причем знак равенства здесь достигается, если при S=T. Но в таком случае KbttDdt S rt t S = () − () ⎡ ⎣⎤ ⎦−− () ∫ max λe. Λ 0 Отсюда вытекают два интересных вывода. 1. Поскольку функция bt tD () − () λ неограниченно убывающая, то при t = T она должна обратиться в нуль: bT T D () = () λ, причем это уравнение имеет единственный корень. 2. Учитывая, что bt p ct() ()=− , условие (3) можно записать так: KpcttDdt S rt t S =− () − () ⎡ ⎣⎤ ⎦−− () ∫ max λeΛ 0. Из этого легко выводится, что pZSWS S = () () ⎡ ⎣⎤ ⎦ min / , (4) где ZS K ct tD dtWS dt rt t Srt t S () =+ () + () ⎡ ⎣⎤ ⎦ () = −− () −− () ∫∫ λe, e ΛΛ 00 . Входящую в формулу (4) дробь можно назвать удельными дисконтированными затратами (УДЗ): она отражает отношение ожидаемых дисконтированных (с учетом риска отказа) капитальных и операционных затрат от использования машины и потерь от ее отказа к ожидаемому дисконтированному объему выполненных ею работ до достижения предельной наработки S. При этом оптимальное значение S = T обеспечивает минимальные УДЗ, равные РС единицы выполняемых машиной работ (p). Такой критерий оптимальности срока службы был получен в (Смоляк, 2022, 2024), но в известных автору работах по проблемам надежности он не использовался. Отметим, что небольшие изменения ставки дисконтирования обычно мало влияют на оптимальный срок службы машины и РС единицы выполняемых ею работ. Приведем пример расчета по построенной модели. Пример 1. Будем измерять время в годах и долях года, а затраты — в условных единицах. Ставка дисконтирования (в непрерывном времени) r=0,1 год-1. РС новой машины K=10. Интенсивность операционных затрат и опасность отказа линейно зависят от наработки машины: ct t () =+303,; λtt () =+0 04 0 025,, . Потери D от остановки производства варьировались от 0 до 200 (т. е. до 20-кратной стоимости новой машины). На рис. 1 приведены зависимости оптимального срока службы машины (T, годы) и соответствующей РС единицы работы машины (p) от вызываемых отказами О ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ 91 ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 потерь (D). Аналогичный характер имеют эти зависимости и при других функциях c(t) и λ(t). Как мы видим, с ростом потерь от отказа оптимальный срок службы (предельная наработка) снижается, вначале быстро, затем — все медленнее. РС единицы работ при этом растет медленнее, чем по линейному закону. Обратим внимание на следующие важные обстоятельства. 1. Допустим, что по каким-то причинам машины данной марки стали требовать дополнительных постоянных затрат c* в единицу времени. При этом интенсивность ее операционных затрат машины c(t) заменится на c(t)+c*. Легко убедиться, что от этого оптимальный срок службы не изменится, а РС единицы выполняемых машиной работ увеличится на c*. Это позволяет в практических расчетах не учитывать постоянных (не зависящих от состояния машины) операционных затрат. 2. Допустим, что опасность отказа машины по каким-то причинам выросла на некую постоянную величину λ*, так что функция λ(t) заменится на λ(t)+λ*. Легко убедиться, что при этом оптимальный срок службы машины и РС единицы выполняемых ею работ изменятся так же, как и в случае увеличения ставки дисконтирования на λ*. 3. ОПТИМИЗАЦИЯ СРОКА СЛУЖБЫ МАШИНЫ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ВРЕМЕНИ ИСПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗА РЕЗЕРВНОЙ МАШИНЫ В разд. 2 предполагалось, что отказавшая машина заменяется новой мгновенно (или по крайней мере до момента устранения последствий отказа). Однако ввод в эксплуатацию новой машины предполагает ее приобретение, доставку, установку и подготовку к работе. Такие операции требуют времени, вообще говоря, случайного. Поэтому отказ основной (работающей) машины будет приводить к потерям всегда, если только в момент отказа не будет готовой к работе резервной машины, которую необходимо было заранее заказать. При этом выбрать подходящий момент заказа затруднительно, поскольку срок исполнения заказа случайный, а основная машина может отказать в любое время. Кроме того, даже если в момент отказа машины на предприятии имелась готовая к работе резервная машина, то она была введена в эксплуатацию раньше. Но тогда становится неясным, почему ее до этого не использовали по назначению (т. е. не сделали основной). Ответить на подобные вопросы можно, сделав предметом рассмотрения не одну (основную) машину, а комплекс из двух взаимозаменяемых машин одной марки — основной и резервной, и решать задачу оптимального управления этим комплексом. Далее мы изложим это решение, используя те же обозначения, что и в предыдущем разделе. Однако при этом уже не удается повторить рассуждения предыдущего раздела и получить сравнительно простой критерий и расчетные формулы для оптимальных сроков службы машин и РС единицы выполняемых ими работ. Опишем процесс функционирования комплекса более подробно. В нормальной ситуации в комплекс входят две машины одной марки — основная (работающая) и резервная. При этом основной можно назначить любую из двух машин (вторая при этом становится резервной). Смена ролей (переназначение) машин предполагается мгновенной 6. Если основная машина отказала или ее дальнейшая работа оказывается неэффективной, ее утилизируют. Тогда заказывается готовая к работе новая машина той же марки, а в комплексе остается только одна машина. Однако если и эта машина откажет до исполнения заказа или дальнейшая ее работа будет признана неэффективной, ее утилизируют, возникают потери D от отказа, а в комплексе не остается ни одной машины. 6 Это означает, что время смены ролей пренебрежимо мало, а соответствующая техническая система некритична к остановкам небольшой длительности.                   5Q ˥˻˾˶˽˶% Q 5 Рис. 1. Влияние потерь от отказа на оптимальный срок службы машины (T) и РС единицы выполняемых ею работ (p) ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 92 СМОЛЯК Заказ машины стоимостью K оплачивается в момент его исполнения. Срок исполнения заказа — случайный. Примем, что вероятность исполнения заказа в любом отрезке времени длительности ds равна γds, так что срок исполнения заказа имеет экспоненциальное распределение со средним значением 1/γ, а вероятность исполнения заказа за время sgs −−− 1e. Процесс функционирования комплекса будем рассматривать в дискретном времени, меняющемся с малым шагом h. При этом шаг j будет отвечать отрезку времени [jh, jh+h]. Характеристики машины на отдельных шагах мы определяем по следующим приближенным формулам: α = e −rh — коэффициент дисконтирования затрат и выгод (к предыдущему шагу); с i = [c(ih+h)+c(ih)]/2 — операционные затраты на текущем шаге машины с наработкой ih в начале шага i; λiih ih h=− − +1exp[() ( )]ΛΛ — вероятность отказа этой машины на шаге i; bphc rh ii rh =− () − () − 1e — приближенное значение дисконтированных к началу шага i выгод от работы этой машины (при отсутствии отказа); δγ =−− 1eh — вероятность исполнения заказа на данном шаге (при условии, что к началу шага заказ сделан, но не исполнен). Введем следующие обозначения для состояний комплекса: (i, j) — одна машина комплекса имеет наработку ih, вторая — jh; (i, *) — основная машина имеет наработку ih, а заказ новой машины не исполнен; (*, *) — основная и резервная машины отсутствуют, заказы новых машин не исполнены. Будем искать для каждого состояния комплекса оптимальное управленческое решение, дающее наибольшую ОСДВ от его последующего использования. ОСДВ от оптимального функционирования комплекса в указанных состояниях будем обозначать соответственно VVVV ij ji i,,*** ,,.= Поскольку с ухудшением состояния машин ОСДВ от их использования не возрастает, указанные величины должны не возрастать по i и j. Рассмотрим возможные состояния комплекса и выясним, к каким ОСДВ они приводят. 1. Комплекс находится в состоянии (*, *). Здесь возможны три случая: – оба заказа новых машин будут исполнены. Тогда их придется оплатить, а комплекс перейдет в состояние (0, 0), которому отвечают ОСДВ V0,0. Вероятность такого случая равна δ2; – будет исполнен только один заказ новой машины. Тогда его придется оплатить, а комплекс перейдет в состояние (0, *). Вероятность такого случая равна 2 1δδ();− – ни один заказ новой машины не будет исполнен. Тогда комплекс к началу следующего шага останется в прежнем состоянии (*, *). Вероятность такого случая равна ( )12 −δ . Учитывая вероятности этих случаев, найдем соответствующую ОСДВ: VVK VK V ** , * **,=− () +− () − () +− () δδδαδ 2 00 0 2 221 1 откуда следует, что VVK VK ** , * /.=− () +− () − () ⎡ ⎣⎤ ⎦−− () () δδδ αδ 2 00 0 2 2 2 1 1 1 (5) 2. Комплекс находится в состоянии (i, *). Здесь владелец может либо утилизировать машину, после чего комплекс перейдет в состояние (*, *), которому отвечает ОСДВ V** , либо продолжить ее работу в течение шага. При втором решении возможны три случая: – заказ новой машины будет исполнен. Тогда его придется оплатить, а комплекс окажется в состоянии (i, 0). Вероятность такого случая равна δ; – заказ новой машины не будет исполнен, но машина откажет и будет утилизирована. Тогда возникнут потери D от отказа, а комплекс перейдет в состояние (*, *). Вероятность этого случая равна ( )1−δ λi; – заказ новой машины не будет исполнен, но машина не откажет. Тогда ее работа принесет выгоды bi. При этом в конце шага машина будет иметь наработку ih+h, так что комплекс перейдет в состояние (i+1, *). Вероятность этого случая равна ( )( )11−−δλ i. Учитывая вероятности указанных случаев, найдем ОСДВ от второго решения: δδλδλαVK VD bV ii iii, * . 0 1 111− () +− () − () +− () − () + () +>> Лучшим будет решение, дающее наибольшую ОСДВ, поэтому VVVK VD bV iii iii***, * ;=− () +− () − () +− () − () ++ max δδλδλα 0 1 111 >> (() {} . (6) О ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ 93 ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 При этом состояния (i, *), в которых VV i*** = , оказываются предельными, а соответствующую основную машину необходимо будет утилизировать. 3. Комплекс находится в состоянии (i, j). Здесь владелец может принять одно из следующих решений. Решение 0. Утилизировать обе машины комплекса и заказать новые. Это решение мы рассматривать не будем по следующей причине. Дело в том, что в момент, когда владелец утилизирует одну из машин, комплекс перейдет в другое состояние, в котором утилизация второй машины может оказаться неэффективной. Решение 1. Утилизировать первую машину. Тогда возникнет состояние (j, *), в котором оптимальное управление комплексом даст ОСДВ Vj*. Решение 2. Утилизировать вторую машину. Аналогично, этому решению будет отвечать ОСДВ Vi*. Решение 3. Сделать первую машину основной на один шаг, вторую — резервной. При этом возможны два случая: – с вероятностью λi машина откажет и будет утилизирована, а комплекс перейдет в состояние (j, *). При этом ОСДВ составит Vj*; – отказа не будет, тогда машина за период принесет выгоды bi, а в конце периода возникнет состояние (i+1, j). Здесь ОСДВ составит bV iij ++ α1, . Учитывая вероятности обоих случаев, получим ОСДВ от данного решения — λλα ij i i i j VbV >+− () + () + 11, . Решение 4. Сделать первую машину резервной, вторую — основной. Аналогично рассуждая, получим, что этому решению отвечает ОСДВ λλα ji j j j i VbV *, +− () + () + 11. Учтем, что оптимальное решение должно приводить к наибольшей ОСДВ. Поэтому VVV bVVV bV ij j i j i i i j i j i j j i =max ** ,** ;;;λλα λλα+− () + () +− () + + 11 1,,. j+ () } { 1 (7) Остается заметить, что величина V 0,0 отражает ОСДВ от наиболее эффективного использования комплекса из двух новых готовых к работе машин, имеющего РС 2K. Но согласно теории стоимостной оценки и (МСО, 2022; Смоляк, 2022) РС объекта равна ОСДВ от его последующего наиболее эффективного использования 7. Отсюда вытекает недостающее условие для определения неизвестной РС единицы работ p: V 0,0 = 2K. (8) Заметим, что, как и в разд. 2, оптимальная политика и значения Vi, j не изменятся, если функцию c(t) уменьшить на константу и одновременно увеличить на ту же константу РС выполняемых машиной за шаг работ (p). При h→0 равенства (5)–(8) приводят к системе уравнений динамического программирования в дифференциальной форме для функций V(t, s) и V(t, *) (мы не приводим их, поскольку они не поддаются аналитическому решению). Приближенные значения этих функций можно найти, решив систему (5)–(8) и используя формулы: Vihjh V Vih V ij i () (),,,*. * ≈≈ (9) Пример 2. В этом примере время измерялось в годах и использовалась та же исходная информация, что и в примере 1. Кроме того, принималось, что средний срок исполнения заказа — 2 месяца, так что γ = 6. Система (5)–(8) решалась при разной длительности шага h. По найденным значениям Vi, j и Vi* с помощью формул (9) строились и затем сопоставлялись зависимости V(t, s) и V(t, *). Оказалось, что такие зависимости становятся практически неразличимыми уже при шаге h<0,1 (примерно 1месяц). 7 Такое рассуждение может вызвать возражения, поскольку машины комплекса могут утилизироваться и заменяться новыми, так что состав комплекса со временем меняется. Однако рассуждения остаются в силе, а в модели ничего не изменится, если принять, что отказавшей машине проводится ремонт стоимостью K, переводящий ее в новое состояние, но требующий случайного времени. ЭКОНОМИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ том 61 № 4 2025 94 СМОЛЯК На рис. 2–4 приводятся зависимости V(t, 0), V(t, t) и V(t, *) при разных значениях потерь D от отказа. Они отражают ОСДВ от использования комплекса, включающего машину с наработкой t, при разных условиях: V(t, 0) — вторая готовая к работе машина — новая; V(t, t) — вторая готовая к работе машина имеет ту же наработку t; V(t, *) — второй машины нет (заказ новой машины не исполнен). Результаты расчетов позволяют установить предельные состояния комплекса, т. е. те состояния, в которых одну из машин следует утилизировать. Заметим, что если некоторое состояние комплекса — предельное, то такими же будут и состояния, где машины имеют не меньшую наработку. Границы области предельных состояний (t, s) для некоторых значений потерь от отказа D показаны на рис. 5. Поскольку состояния (t, s) и (s, t) не различаются, на рисунке показана лишь половина этой границы, отвечающая случаю s < t. Как мы видим, если потери от отказа невелики, то при хорошем состоянии одной из машин вторую выгодно использовать в течение довольно длительного срока, даже если ее работа убыточна. Аналогичная ситуация возникает и при отсутствии резервной машины (когда заказ новой еще не исполнен), т. е. в состояниях (t, *). Здесь срок службы основной машины также может быть достаточно большим, и в ожидании резервной машины основная может работать длительное время, даже принося убытки. Это означает, что заранее назначать сроки службы (предельную наработку) основной и резервной машинам нерационально — решения об утилизации одной из них должны приниматься в зависимости от наличия и состояния другой.           7U U % % % % % % % % % ס ס              7U U % % % % % % % % % ס             7UU U % % % % % % %                      T U % % % % Рис. 2. Влияние потерь от отказа на ОСДВ от оптимального использования комплекса, в котором вторая машина — новая Рис. 4. Влияние потерь от отказа на ОСДВ от оптимального использования единственной машины комплекса (заказ резервной машины не исполнен) Рис. 3. Влияние потерь от отказа на ОСДВ от оптимального использования основной и резервной машин с одинаковой наработкой Рис. 5. Границы области предельных состояний комплекса (t, s) при s<t для некоторых значений потерь от отказа D