Optimale Diplomatie in mehrdimensionalen Meinungsräumen und die zwölf Geschworenen

Optimale Diplomatie in mehrdimensionalen Meinungsräumen und die zwölf Geschworenen Bachelorarbeit vorgelegt am 31.07.2017 Autor: Julia Kunkel geb. am 16.11.1995 Matrikelnr.: 1367603 Betreuer: Prof. Dr. Jörg Rambau Lehrstuhl für Wirtschaftsmathematik Zweitkorrektur: Prof. Dr. Kurt Chudej Mein besonderer Dank geht an die Hanns-Seidel-Stiftung sowie das Bundesministerium für Bildung und Forschung ohne deren finanzielle und ideelle Förderung mein Studium in dieser Form nicht möglich wäre. Die Grafik des Deckblatts wurde entnommen aus [1]. Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 1.1 Geschworenengerichte in den USA . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Abstract „Twelf Angry Men“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Aufbau und Zielsetzung der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Modelle zur Meinungsbildung in Gruppen 4 2.1 Agentenmodell ........................... 4 2.2 Bounded-Confidence Modell im eindimensionalen Raum . . . . . 5 2.3 Bounded-Confidence Modell im mehrdimensionalen Raum . . . . 8 2.4 Optimale Steuerung von Meinungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3 Analyse der Meinungsdynamik in „Twelf Angry Men“ 12 3.1 Abstimmungsrunden als optimales Diplomatieproblem . . . . . . 12 3.2 Meinungsdynamik in „Twelf Angry Men“ . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Grenzen der Realisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 „Twelf Angry Men“ als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems 19 4.1 Optimale Diplomatie in mehrdimensionalen Meinungsräumen . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Realsierung der Dynamik aus „Twelf Angry Men“ . . . . . . . . . 20 4.3 Verallgemeinerung der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.4 Ausblick............................... 33 5 Simulation 34 5.1 Funktionen ............................. 34 5.2 Programmierung .......................... 34 1 Einleitung 1.1 Geschworenengerichte in den USA Bis heute ist es in den Vereinigten Staaten von Amerika üblich, dass Prozesse zu Strafund Zivilfragen von einem sog. Geschworenengericht, auch Jury genannt, entschieden werden. Eine begangene Tat wird zunächst lokalisiert und an den zuständigen Bundesgerichtsbezirk weitergegeben. Per Zufall wird ein Pool aus potentiellen Laienrichtern gebildet. Dieser setzt sich aus registrierten Wählern und Einwohnern mit Führerschein zusammen. Im Anschluss daran wird geprüft, ob die Personen für die Aufgaben eines Jurymitglieds hinreichend qualifiziert sind. Das Mindestalter für einen Geschworenen beträgt 18 Jahre. Weitere Voraussetzungen sind die amerikanische Staatsbürgerschaft und ausreichende Englischkenntnisse. Außerdem müssen die potentiellen Juroren seit mindestens einem Jahr im entsprechenden Gerichtsbezirk wohnen. Vom Geschworenengericht ausgeschlossen werden Personen, die in ein laufendes Gerichtsverfahren verwickelt sind, eine Freiheitsstrafe verbüßen oder deren Bürgerrechte noch nicht rehabilitiert sind. Gleiches gilt für psychisch nicht zurechnungsfähige Bürger. Eine Berufung ins Geschworenengericht ist verpflichtend. Die ausgewählten Personen werden zunächst zur voir dire geladen. Dies ist eine Anhörung aller potentiellen Laienrichter. Anwälte und Richter des Prozesses können daraufhin ein Jurymitglied ablehnen, wenn der Verdacht bestehet, dass es den Fall unfair beurteilen würde. Insbesondere, wenn die Person über Vorwissen zum Fall verfügt, eine involvierte Person kennt oder starke Vorurteile gegenüber einer Partei des Prozesses aufweist. (Siehe [2], [3]). Je nach Art des Prozesses ist die Zusammensetzung und Aufgabe der Jury verschieden. Im Zivilprozess muss das Geschworenengericht mindestens sechs Personen zählen. Diese müssen einstimmig entscheiden, ob die Beweise überwiegen oder nicht. In einem Strafprozess befinden zwölf Geschworene, die sogenannte trial jury, über die Schuld des Angeklagten. Besteht ein begründeter Zweifel an dieser, so muss der Angeklagte freigesprochen werden. Zuerst findet ein gewöhnliches Gerichtsverfahren statt, dem die Jurymitglieder beisitzen. Nach dem Unmittelbarkeitsprinzip bekommen sie die Fakten des Falls dargelegt und der Richter erklärt ihnen die Rechtslage zur Verhandlung. Anschließend zieht sich das Geschworenengericht in einen abgeschirmten Raum zurück. Einer der Juroren hat die Rolle der foreperson inne. Dieser leitet die Diskussion innerhalb der Jury, die nun zwischen Fakten und Behauptungen unterscheiden muss. Das Urteil der Geschworenen ist endgültig und muss nicht begründet werden. (Siehe [2]). 1 1.2 Abstract „Twelf Angry Men“ Im amerikanischen Klassiker „Twelf Angry Men“, der 1955 veröffentlicht wurde, wird die umstrittene trial jury dargestellt. Das Drama beschreibt die Urteilsfindung eines Geschworenengerichts in einem Mordfall. Ein 16-jähriger, im Ghetto aufgewachsener Junge mit Migrationshintergrund wird beschuldigt in einem Streit seinen Vater erstochen zu haben. Die Beweislage scheint zunächst eindeutig. Eine Nachbarin behauptet den Mord durch das Fenster gesehen zu haben. Ein weiterer Anwohner gibt an, Schreie gehört und die Flucht des Jungen beobachtet zu haben. Die Tatwaffe wird eindeutig identifiziert. Nach Schließung der Beweisaufnahme deutet alles auf die Schuld des Angeklagten hin. Elf Jurymitglieder sind sich sofort darüber einig, dass der Angeklagte schuldig ist. „Juror 8“ möchte sich der Mehrheitsmeinung allerdings nicht anschließen. Er kritisiert das vorschnelle, subjektive Urteil seiner Kollegen und zweifelt die in der Verhandlung vorgebrachten Beweise an. Die übrigen Geschworenen werden durch vielerlei Einflüsse gelenkt. Zeitdruck, Vorurteile, Familienhintergründe und andere Faktoren verhindern eine objektive Urteilsfindung. Im weiteren Verlauf des Stücks kann „Juror 8“ immer mehr Geschworene von seinem Standpunkt überzeugen. Einerseits werden nach und nach Widersprüche zwischen den Zeugenaussagen und Beweisen aufgedeckt. Andererseits gestehen sich immer mehr Geschworene die eigene Befangenheit ein. Am Ende des Dramas lautet das überraschende Urteil der Jury not guilty - nicht schuldig. (Vgl. [8]). Das Stück ist als vielschichtige Gesellschaftsund Systemkritik zu verstehen. Unter anderem am Jurysystem. Trotz voir dire kann Voreingenommenheit seitens der Juroren nicht ausgeschlossen werden. Vor allem aber ist das Buch ein Appell an die amerikanische Bevölkerung, ihre Verantwortung als Jurymitglied ernst zu nehmen und nicht leichtfertig mit dem Leben eines Angeklagten umzugehen. Neben der Kritik, die das Buch Twelf Angry Men vermittelt stellt sich dem Leser oder Zuschauer des gleichnamigen Films eine weitere Frage: Wie schafft es „Juror 8“ alle anderen Geschworenen von der Unschuld des Angeklagten zu überzeugen? Mit welcher Strategie überzeugt er die restlichen Anwesenden? Vertritt er eine klare Position oder geht er auf Argumente anderer ein und wie stark beeinflussen sich die übrigen Juroren gegenseitig? 2 1.3 Aufbau und Zielsetzung der Arbeit Mögliche Antworten auf diese Fragen könnten durch literarische Analyseverfahren erörtert werden. Wir nehmen hingegen eine naturwissenschaftliche Sichtweise ein. Das Geschehen aus „Twelf Angry Men“ möchten wir in ein mathematisches Modell übertragen. Menschliches Denken und daraus resultierendes Verhalten unterliegt jedoch keinen physikalischen Gesetzmäßigkeiten. Wir sind deshalb nicht in der Lage einheitliche Regeln für die Meinungsentwicklung von Menschen aufzustellen. Ein Modell, das Meinungsdynamiken exakt realitätsgetreu nachstellt werden wir nicht finden. Aus diesem Grund betrachten wir ein vereinfachendes Modell. Darin unterstellen wir den Menschen einige plausible Verhaltensweisen. Mit einer solchen Nachahmung können wir keine belastbaren Aussagen über die Phänomene in der „realen“ Welt treffen. Auch sind wir nicht im Stande Meinungsentwicklungen für zukünftige, ähnliche Situationen vorherzusagen. Jedoch ist es möglich, den Einfluss verschiedener Parameter auf unser Modell zu analysieren. Dadurch erhalten wir Ideen für mögliche Gesetzmäßigkeiten in der wirklichen Welt. Umgekehrt sind wir in der Lage, Behauptungen aus der realen Welt auf ihre Standhaftigkeit zu testen. Finden wir in unserem Modell ein Gegenbeispiel zu einer solchen These, so muss es weitere Einflussfaktoren geben, die wir nicht berücksichtigt haben. In der vorliegenden Arbeit möchten wir ein solches vereinfachendes Modell finden. Dieses soll das Abstimmungsverhalten aus „Twelf Angry Men“ erzeugen können. Wir gehen dazu folgendermaßen vor: 1. Wir betrachten ein populäres Modell zur Meinungsbildung in Gruppen. Insbesondere beschäftigen wir uns mit dem Sonderfall, dass ein Gruppenmitglied strategisch handelt und ein bestimmtes Ziel verfolgt. 2. Wir analysieren die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ und überprüfen, inwiefern diese mit dem kennengelernten Modell darstellbar ist. 3. Wir lassen zu, dass der Meinungsraum des Modells um beliebig viele Dimensionen erweitert wird. 4. Wir suchen Instanzen dieses Modells, die die Meinungsdynamik des amerikanischen Klassikers erzeugen. 3 2 Modelle zur Meinungsbildung in Gruppen Zunächst suchen wir ein Modell, das eine Gruppe von Personen, die in mehreren Runden ihre Meinung bildet, mathematisch beschreibt. Dazu bedienen wir uns dem von Hegselmann und Krause aufgegriffenen Agentenmodell. (Vgl. [7, S.3]). Im Anschluss treffen wir Annahmen über die sozialen Wechselwirkungen zwischen den Gruppenmitgliedern. Wir übernehmen die Idee des beschränkten Vertrauens von Krause. (Vgl. [4, S.5]). Zusätzlich gehen wir davon aus, dass „Juror 8“ im amerikanischen Klassiker versucht die übrigen Geschworenen von seiner Meinung zu überzeugen. Dieses Verhalten modellieren wir unter Zuhilfenahme des sogenannten Campaign Problem, welches von Hegselmann et. al. formuliert wurde. (Vgl. [6, S.8]). 2.1 Agentenmodell Wir betrachten ninteragierende Personen, die wir im Folgenden Agenten nennen. Jeder der n∈NAgenten hat eine anfängliche Meinung, die Startmeinung. Abhängig von der Thematik kann diese einoder mehrdimensional sein und wir können die Ansicht eines Agenten durch einen entsprechend großen, reellen Vektor darstellen. In mehreren Runden bilden die Mitglieder der Gruppe ihre Meinungen neu. Ziel ist es sich i.d.R. auf eine einzelne Meinung zu einigen. In mehreren Runden vertreten alle Agenten öffentlich ihre Ansicht. Dies kann beispielsweise in Form von Reden oder schriftlichen Stellungnahmen geschehen. Am Ende einer Periode legt jeder Agent seine Meinung neu fest. Wir definieren einen diskreten Zeithorizont T:={0,1,2,...}, der die Anzahl der Runden repräsentiert. Die Meinung eines Agenten i∈ {1,2,...n}zu einem Zeitpunkt t∈Tbezeichnen wir mit xi(t). Ein G7-Treffen beispielsweise können wir mit dem Agentenmodell beschreiben. Jeder teilnehmende Politiker entspricht einem Agenten. In mehreren Verhandlungsrunden legen diese ihre dreidimensionalen Meinungen zu den Themen Umwelt-, Sicherheitsund Verteidigungspolitik dar. Nach jeder Verhandlungsrunde positionieren sich alle Beteiligten zu den besprochenen Themen. Ziel der Konferenz ist es, am Ende der Verhandlungen einen Konsens zu erreichen und daraus ein gemeinsames politisches Handeln abzuleiten. Um ein konkretes Modell für die Meinungsbildung einer Gruppe aufstellen zu können, müssen wir festlegen, nach welcher Vorschrift sich die Meinungen in jeder Runde neu bilden. Dafür verwenden wir das gewichtete, arithmetische Mittel. Für jeden Agent ibezeichnen wir mit ai j(t,x(t)) ∈Rdie Gewichtung der Meinung von Agent j. Wessen Ansichten ein Agent einbezieht kann vom aktuellen Zeitpunkt t∈Toder der Gesamtheit der Meinungen x(t):= (x1(t),x2(t),...xn(t)) in dieser Runde abhängen. Es muss dabei für festes t∈Tgelten, 4 dass ∑n j=0ai j(t,x(t)) = 1∀i∈ {1,2,...,n}. Außerdem müssen alle Gewichte positiv oder null sein. Wir definieren eine n×nMatrix A(t,x(t)) := (ai j(t,x(t))) für i,j∈ {1,2,...n},t∈T, die wir Gewichtematrix nennen. Nun können wir den Meinungsbildungsprozess der nAgenten kompakt darstellen: •xi(t+1) = ai1(t,x(t))x1(t)+ai2(t,x(t))x2(t)+...+ain(t,x(t))xn(t) •x(t+1) = A(t,x(t))x(t) für t∈T,i∈ {1,2,...n}. (Siehe [7]). Wir möchten eine mathematische Analyse und konkrete Simulationen zur Meinungsbildung in Gruppen durchführen. Aus diesem Grund brauchen wir eine einheitliche Regel zur Berechnung der Gewichtematrix. Eine dafür häufig verwendete Vorschrift ist die Bounded-Confidence Regel. Mit Hilfe dieser Vorschrift spezifizieren wir das aufgestellte Agentenmodell. Das resultierende Bounded-Confidence Modell bildet die Grundlage aller Überlegungen in dieser Arbeit. 2.2 Bounded-Confidence Modell im eindimensionalen Raum Das Konzept des beschränkten Vertrauens unterstellt Menschen, dass sie sich, bezüglich einer Meinung zu einem Thema, nur von Personen beeinflussen lassen, die eine ähnliche Ansicht wie sie selbst vertreten. Ausgangsspunkt des BoundedConfidence Modells ist ein Agentenmodell mit nAgenten, diekretem Zeithorizont Tund eindimensionalen Meinungen, d.h. d=1. Die Ansicht xi(t)eines Agenten izu einem Zeitpunkt t∈Tentspricht demnach einer reellen Zahl. Wir nehmen an, dass jeder Agent ieinen sogenannten Konfidenzradius εi∈Rfestsetzt. Dieser gibt an, wie ähnlich eine Meinung zur der des Agenten isein muss, damit er sie in der Meinungsbildung berücksichtigt. Agent iwird zu einem Zeitpunkt t∈ Tdie Meinung von Agent jdemnach genau dann berücksichtigen, wenn sie in seinem Konfidenzintervall I(i,x(t)) :={1≤k≤n||xi(t)−xk(t)| ≤ εi}liegt. Wir gehen davon aus, dass ein Agent allen Agenten, die in seinem Konfidenzintervall enthalten sind, gleich starke Beachtung schenkt. Die Gewichtematrix A, auch εVertrauensmatrix genannt, können wir durch folgende Regel berechnen: A(X)i,j=(1 |I(i,x(t))|wenn j∈I(i,x(t)) 0 sonst für i,j∈ {1,2,...n},t∈T. Die Dynamik des Systems ist gegeben durch: •xi(t+1) = |I(i,x(t))|−1∑j∈I(i,x(t)) xj(t) •x(t+1) = A(X)x(t) 5 für i,j∈ {1,2,...n},t∈T. (Siehe [4, S.5]). Für den Spezialfall, dass im Bounded-Confidence Modell alle Agenten den gleichen Konfidenzradius haben, d.h. εi=εj∀i,j∈ {1,2,...n}, ergeben sich einige Besonderheiten des Modells. Definition 2.1 (Riss zwischen eindimensionalen Meinungen) Für eine Instanz des Bounded-Confidence Modells mit n Agenten, diskretem Zeithorizont T, eindimensionalen Meinungen und uniformem Konfidenzradius εsprechen wir von einem Riss zwischen Agent i und j zum Zeitpunkt t ∈T wenn gilt: xi(t)<xj(t)@k∈ {1,2,...n}mit xi(t)<xk(t)<xj(t)und es gilt |xi(t)−xj(t)|>ε. (Vgl. [7, S.7-8]). Lemma 2.1 Sei eine Instanz des Bounded-Confidence Modells mit n Agenten, eindimensionalen Meinungen, einem diskreten Zeithorizont T und uniformem Konfidenzradius εgegeben, dann gilt: 1. Die Ordnung der Meinungen bleibt erhalten: xi(t)≤xj(t)⇒xi(t+1)≤xj(t+1), für alle i,j∈ {1,2,...n}, t ∈T. 2. Haben zwei Agenten zu einem Zeitpunkt die gleiche Meinung, so bleibt die Meinung ab dann immer gleich: xi(t) = xj(t)⇒xi(t+1) = xj(t+1), für alle i,j∈ {1,2,...n}, t ∈T. 3. Ein Riss nach Definition 2.1 zwischen zwei Agenten ist endgültig. (Vgl. [7, S.8]). Wir veranschaulichen einen Beweis zu (1) und belegen (2) und (3): 1. O.E.d.A betrachten wir den Fall xi(t)<xj(t)(für xi(t) = xj(t)siehe (2)). Wir wollen nun zeigen, dass dann xi(t)≤xj(t). Dazu definieren wir uns drei Mengen: Setze C:=I(i,x(t))∩I(j,x(t)),L:=I(i,x(t))\Cund R:=I(j,x(t))\C. Da xi(t)<xj(t)gilt xl(t)<xc(t)<xr(t)für alle l∈L,c∈C,r∈R. Daraus folgt die Behauptung. (Siehe [6, S.12]). Die definierten Mengen können leer sein. Wir betrachten die vier möglichen Kombinationen aus leeren und nicht leeren Mengen um zu sehen, in welchem Fall zwei Meinungen gleich werden und wann die „<“- Relation erhalten bleibt: •R=/0 =L xi(t)xj(t)R c ε 6 Ein Austausch von Meinungen lediglich durch Abstimmungen ist dabei nicht ausreichend. Die Ansicht eines Agenten zu einem Thema haben wir im optimalen Diplomatieproblem als Zahl aus dem reellen, abgeschlossenen Einheitsintervall definiert. Folglich kann ein Agent überabzählbar viele Meinungen annehmen. Diese können wir durch eine Abstimmung nicht vollständig abfragen. Damit wir entscheiden können, ob die Ansicht eines „Agenten A“ im Konfidenzintervall eines „Agenten B“ liegt, müssen wir die genauen Standpunkte der beiden Agenten im Meinungsraum kennen. Denken wir dazu an unser Beispiel zum G7-Gipfel zurück. Eine Abstimmung am Ende eines Verhandlungstages macht nur Sinn, wenn zuvor diskutiert wurde und jeder Politiker seinen Standpunkt klar gemacht hat. Wissen wir lediglich, wer zuletzt für oder gegen eine politisch brisante Entscheidung gestimmt hat, können wir nicht einschätzen, welche Motive dahinter stecken. Ob das Gegenüber ähnliche Interessen verfolgt bleibt fraglich. Eine Meinungsbildung mit Berücksichtigung ähnlicher Meinungen ist nicht möglich. Zusätzlich müssen wir bedenken, dass wir für Instanzen eines optimalen Diplomatieproblems einen einheitlichen Konfidenzradius unterstellen. Dies mag nicht immer realistisch sein. Wir könnten vermuten, dass Juroren mit radikalen Meinungen einen geringeren Vertrauensradius an den Tag legen als ein gemäßigter Geschworener. Auch hängt die Toleranz gegenüber den anderen Jurymitgliedern sicherlich von der Homogenität der Gruppe ab. Da wir dies jedoch nicht belegen können und eine Analyse eines optimalen Diplomatieproblems mit inhomogenen Konfidenzradien den Rahmen dieser Arbeit sprengen würde, geben wir uns mit einem uniformen Konfidenzradius zufrieden. Erfüllt das Geschehen im Drama „Twelf Angry Men“ die Voraussetzungen (1)-(7)? „Twelf Angry Men“ als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems Betrachten wir dazu die Meinungsdynamik des amerikanischen Klassikers. Im Film tagt eine Runde von zwölf Geschworenen, um das Urteil des Gerichts zu einem Mordfall zu diskutieren. Wir gehen davon aus, dass „Juror 8“ als einziger strategisch handelt. Übertragen wir dies in unser Diplomatieproblem, so sprechen wir von zwölf Agenten unter denen sich ein Stratege befindet. Im Drama werden zunächst die Startmeinungen aller Geschworenen abgefragt. Es folgen sechs weitere Abstimmungen. Im Anschluss bildet jeder Geschworene sein endgültiges Urteil. Für die entsprechende Instanz des Diplomatieproblems definieren wir einen diskreten Zeithorizont T={0,1,2,3,4,5,6}. Jeder Schöffe bildet nach einer Abstimmung seine Meinung über die Schuld des Angeklagten neu. Im Stück „Twelf Angry Men“ findet durch intensive Diskussionen zwischen den Wahlen ein Meinungsaustausch innerhalb der Jury statt. Für Instanzen des Diplomatieproblems definieren wir, dass die Meinung eines Agenten zwischen 1 ∈R: 13 „völlig von der Schuld des Angeklagten überzeugt“ und 0 ∈R: „völlig von der Unschuld des Angeklagten überzeugt“ variieren kann. Die möglichen Meinungen zur Schuld des jungen Mannes können wir somit durch das Intervall [0,1]⊂R vollständig beschreiben. Die Juroren im Film bzw. Buch „Twelf Angry Men“ können entweder für schuldig oder nicht schuldig abstimmen. Dies modellieren wir durch den Schwellwert 1 2∈[0,1]⊂R. Stimmt ein Juror für schuldig, so hat der Agent, der diesen Juroren in unserem Modell repräsentiert in der entsprechenden Runde eine Meinung >1 2. Eine Abstimmung für nicht schuldig wird folglich dargestellt durch eine Meinung ≤1 2des entsprechenden Agenten. Dies bedeutet wir nehmen an, dass die Geschworenen im Zweifel für den Angeklagten abstimmen. Wir unterstellen „Juror 8“, dass er möglichst viele Geschworene von der Unschuld des Angeklagten überzeugen möchte. Übersetzt in unser Diplomatieproblem lautet das Zielintervall des strategischen Agenten [0,1 2]⊂R. Unsere Modellierung der Abstimmungsrunden aus „Twelf Angry Men“ erfüllt die Voraussetzungen (1)-(6). Wir stehen nun vor der Frage, ob die Meinungsdynamik des Dramas durch die Bounded-Confidence Regel erklärt werden kann. Dazu überprüfen wir, ob die im Klassiker beschriebenen Meinungsverläufe den Regelsätzen (1) und (2) aus Lemma 2.1 genügen. Ein Dynamik muss Regelsatz (3) aus Lemma 2.1 nicht erfüllen, um als Instanz für das Diplomatieproblem in Frage zu kommen. Da der Stratege unabhängig von den übrigen Agenten agiert ist er in der Lage seine Meinung so zu wählen, dass ein vorhandener Riss behoben wird. 3.2 Meinungsdynamik in „Twelf Angry Men“ Um zu überprüfen, ob die Dynamik des amerikanischen Klassikers durch die Bounded-Confidence Dynamik erklärt werden kann, analysieren wir den genauen Abstimmungsverlauf aus „Twelf Angry Men“. Abbildung 1 veranschaulicht diesen. Die rote Farbe entspricht dabei einem Votum für schuldig ein grünes Kästchen für nicht schuldig. Abbildung 1: Verhalten der Geschworenen in den Abstimmungsrunden. 14 Zwar können wir der Tabelle entnehmen, wann welcher Geschworene für schuldig bzw. nicht schuldig abstimmt, jedoch ist der genaue Meinungsverlauf und die Ordnung der Ansichten dadurch nicht eindeutig festgelegt. Unser Ziel ist es, die Dynamik durch die Bounded-Confidence Regel bei eindimensionalen Meinungen zu erklären. Eine notwendige Bedingung, dass dies möglich ist, ist die Einhaltung der Regelsätze (1) und (2) aus Lemma 2.1. Diese besagen, dass keine Meinungen ihre Ordnung im Meinungsraum wechseln dürfen. Außerdem müssen gleiche Meinungen in allen weiteren Abstimmungsrunden gleich bleiben. Abbildung 2: Verhalten der Geschworenen in den Abstimmungsrunden, absteigend sortiert nach dem ersten Wechsel zu nicht schuldig. Um den Meinungsverlauf besser zu erkennen, sortieren wir die Tabelle in Abbildung 1 nach dem Zeitpunkt, zu dem die Juroren zum (ersten) Mal für nicht schuldig abstimmen. Betrachten wir Abbildung 2. Bis auf „Juror 12“ wechselt jeder Geschworene genau einmal seine Meinung von schuldig nach nicht schuldig. Da in der Abstimmungsrunde vier nach fünf kein anderer Geschworener als „Juror 12“ sein Abstimmungsverhalten ändert, können wir eine Reihenfolge für die Meinungen der jeweiligen Agenten finden, die kompatibel mit (1) und (2) aus Lemma 2.1 ist. Eine solche Ordnung nennen wir zulässig. Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, dass die Meinungsverläufe des Stücks „Twelf Angry Men“ dargestellt werden und die Reihenfolge der Ansichten trotzdem zulässig ist? Zum einen dürfen nur Meinungen solcher Agenten gleich sein, die den gesamten Zeithorizont über ausschließlich gleichzeitig den Schwellwert 1 2überschreiten. Beispielsweise dürften die Agenten, die „Juror 5“ und „Juror 11“ repräsentieren, mit der gleichen Startmeinung modelliert werden. Beide Jurymitglieder votieren in sämtlichen Abstimmungen identisch. Außerdem muss die Startmeinung eines Agenten genau dann echt kleiner als die eines anderen sein, wenn er in einer früheren Runde von einer Meinung >1 2zu einer Ansicht ≤1 2 wechselt, da sich sonst die Ordnung der Meinungen verändern würde. Anschaulich gesprochen muss ein Geschworener, der in einer früheren 15 Abstimmungsrunde von unschuldig zu schuldig wechselt, von Anfang an weniger stark von der Schuld des Angeklagten überzeugt gewesen sein. Aufgrund dieser Vorgaben ergeben sich 16 zulässige Möglichkeiten, die Startansichten der Agenten zu ordnen. Einige Beispiele zulässiger Anfangsmeinungen eines Modells für die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ sind: 1. x9(0)<x5(0)≤x11(0)<x2(0)≤x6(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x4(0)≤ x10(0)<x3(0) 2. x9(0)<x11(0)≤x5(0)<x2(0)≤x6(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x10(0)≤ x4(0)<x3(0) 3. x9(0)<x11(0)≤x5(0)<x6(0)≤x2(0)<x1(0)≤x7(0)<x12(0)<x4(0)≤ x10(0)<x3(0). Da „Juror 8“ diplomatisch handelt und damit nicht an die Bounded-Confidence Regel gebunden ist, muss dieser in der Reihenfolge der Startmeinungen nicht berücksichtigt werden. In Abbildung 2 fällt besonders das Abstimmungsverhalten von „Juror 12“ auf. Dieses Verhalten stellt wie zwar keinen Konflikt mit Lemma 2.1 dar. Es macht uns jedoch stutzig, dass sich die Meinung von „Juror 12“ als einzige nicht monoton entwickelt. Wir stellen uns daher die Frage: Sind Meinungsverläufe, die nach der Bounded-Confidence Regel aktualisiert werden, immer monoton? Beispiel 3.1 zeigt, dass dies nicht der Fall ist und der Meinungswechsel von „Juror 12“ modelliert werden kann. Beispiel 3.1 Gegeben sei eine Instanz des Bounded-Confidence Modells mit zwölf Agenten, eindimensionalem Meinungsraum und uniformem Konfidenzradius ε= 1 5. Wir betrachten nur eine Runde, d.h. T ={1}. Die Startmeinungen sind wie folgt: x(0) = 0,51 0,55 0,72 0,72 0,72 0,72 0,31 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11T Nach einer Runde ergibt sich die in Abbildung 3 veranschaulichte Dynamik. Zu sehen ist, dass x0(1)<0,5<x0(0)<x0(2). Die übrigen Agenten überschreiten den Schwellwert 1 2nicht. 16 Abbildung 3: Die Meinung von „Agent 0“ entwickelt sich nicht monoton. Im Rahmen unserer Analyse konnten wir keinen Anhaltspunkt dafür finden, dass sich die Abstimmungsrunden aus dem Drama „Twelf Angry Men“ nicht als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems nach Abschnitt 2.4 darstellen lassen. Versuchen wir daraufhin konkrete Anfangsparameter zu finden, die die Dynamik des Stücks erzeugen, gelangen wir allerdings schnell an unsere Grenzen. 3.3 Grenzen der Realisierbarkeit Wir versuchen nun die Parameter des Diplomatieproblems so festzulegen, dass exakt die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ erzeugt wird. Dazu wählen wir ein Profil für die Startmeinungen aus den von uns als zulässig erklärten. Zusätzlich müssen wir beachten, dass die Abstände zwischen den Agenten „passend“ sind. Agenten, die Juroren präsentieren, welche in irgendeiner Abstimmung unterschiedlich votieren, dürfen bis zu diesem Zeitpunkt nicht die gleiche Meinung annehmen. Ansonsten bleiben diese Meinungen gleich (siehe Lemma 2.1 (1)) und ein unterschiedliches Abstimmungsverhalten ist nicht mehr möglich. Werfen wir einen Blick auf den Beweis von Lemma 2.1 (2) so können wir diese Voraussetzung spezifizieren. Mindestens einer der zwei Agenten, deren Meinung nicht gleich werden soll, muss von Agenten außerhalb der Schnittmenge ihrer beiden Konfidenzradien beeinflusst werden. Darüber hinaus müssen wir das Abstimmungsverhalten von „Juror 12“ beachten. Die Abstände zwischen den Meinungen aller Agenten müssen folgendermaßen konstruiert sein: Von Runde drei auf vier muss der Agent, der „Juror 12“ repräsentiert, seine Meinung unter den Schwellwert 1 2ändern. Dazu muss er genügend Meinungen aus dem Zielintervall in seine Entscheidung einbeziehen. Gleichzeitig sollen sich möglichst viele dieser Meinungen aus dem Konfidenzradius weg entwickeln. Stattdessen müssen mehr Agenten mit Meinungen >1 2in das Konfidenzinervall rücken, sodass der Agent für „Juror 12“ in Runde fünf erneut eine Meinung >1 2annimmt. 17 Zusätzlich zu all diesen Anforderungen an die nicht strategischen Agenten wissen wir, dass der Diplomat in unserem Modell immer eine Meinung <1 2vertritt. Daher müssen wir darauf achten, dass kein Riss zwischen zwei Agenten mit Meinungen oberhalb des Schwellwerts 1 2entsteht. Dieser kann innerhalb der BoundedConfidence Dynamik nicht rückgängig gemacht werden (siehe Lemma 2.1 (3)). Es ist dann nicht mehr möglich den Agenten mit der größeren Meinung in das Zielintervall zu lenken. Durch reines Kombinieren und Austesten von Startwerten und Strategien des Diplomaten finden wir keine Instanz, die all diesen Forderungen gerecht wird. Zwar können wir in unserer Analyse keine Belege dafür finden, dass eine solche Instanz nicht existiert. Es erscheint uns trotzdem kaum möglich die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ durch ein optimales Diplomatieproblem mit eindimensionalem Meinungsraum darzustellen. 18 4 „Twelf Angry Men“ als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems Unser Ziel ist es, Instanzen für ein optimales Diplomatieproblem zu finden, die die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ erzeugen. Im Diplomatieproblem mit eindimensionalem Meinungsraum können wir keine solche Instanz finden. Mehrdimensionale Meinungsräume könnten das Problem beheben, da wir dort keine Beschränkungen bezüglich der Ordnung der Meinungen haben (siehe Beispiel 2.1) und die indirekte Beeinflussung zwischen den Agenten besser Steuern können. In Abschnitt 2.3 ist eine Regel für die Entwicklung von mehrdimensionalen Meinungen beschrieben. Wir führen nun die verschiedenen Modelle zusammen und definieren ein optimales Diplomatieproblem für mehrdimensionale Meinungen. 4.1 Optimale Diplomatie in mehrdimensionalen Meinungsräumen Wir gehen davon aus, dass es eine unbestimmte Anzahl an Aspekten gibt, die die Meinung der Geschworenen dem Prozess gegenüber beeinflussen. Beispielsweise könnten Zeitdruck, Vorurteile gegenüber der Gewalttätigkeit von Migranten oder der familiäre Hintergrund eine Rolle spielen. Ausgangspunkt bleibt das Diplomatieproblem aus Kapitel 2.4 mit nAgenten, einem Strategen und einem diskreten Zeithorizont T. Wir erweitern den Meinungsraum unseres Modells auf den mdimensionalen Raum wobei m∈Nbeliebig aber fest ist. Wie im ursprünglichen Diplomatieproblem beschränken wir die möglichen Werte, die eine Meinung annehmen kann. Für die Ansicht von Agent isoll gelten: xi(t)∈[0,1]m⊂Rm∀i∈ {1,2,...,n},t∈T. Ziel des Diplomaten ist es, die Meinungen der nicht strategischen Agenten in eine gewünschte Richtung zu beeinflussen. Dabei kann er Interesse an der Beeinflussung von mindestens einer und maximal mMeinungskomponenten haben. Ein Politiker in unserem Beispiel zum G7-Gipfel könnte das Ziel haben, ein Freihandelsabkommen zwischen seinem und einem anderen Staat durchzusetzen. Welche Restriktionen für die Klimaerwärmung beschlossen werden und ob einheitliche Verpflichtungen zur Aufnahme von Flüchtlingen festgesetzt werden sind für ihn nebensächlich. Ebenso gut kann jener Politiker jedoch auch in allen drei Diskussionspunkten ein Ziel anstreben. Wir schreiben für ein Zielintervall des Strategen in Dimension k:[l,r]k⊂[0,1]⊂ Rmit l<r,k∈ {1,2,...,m}. Der Stratege legt q∈ {1,2,...,m}Zielintervalle fest. Er möchte die Anzahl an Meinungskomponenten, die am Ende des Zeithorizonts innerhalb der jeweiligen Dimensionen der qZielintervalle liegen, maximieren. Es 19 spielt dabei keine Rolle, ob ein Agent in einer oder allen qDimension in das Zielintervall gelenkt wird. Wir „zählen“ am Ende des Zeithorizonts für jede Dimension unabhängig wie viele Meinungen sich innerhalb des jeweiligen Zielintervalls befinden. Um dieses Ziel zu erreichen, wählt der Diplomat in jeder Runde unabhängig von den übrigen Agenten seine Ansicht aus [0,1]⊂R. Die Meinungsveränderungen der nicht strategischen Agenten berechnen wir nach der Bounded-Confidence Regel im mehrdimensionalen Raum, wie in Abschnitt 2.3 beschrieben. Eine Folge von Abstimmungsrunden in einer Gruppe von nPersonen kann unserer Definition zu Folge als Instanz des optimalen Diplomatieproblems mit mehrdimensionalem Meinungsraum beschrieben werden, wenn die Punkte (1)-(4) aus Abschnitt 3.1 erfüllt sind und zusätzlich gilt: 1. Die Meinung eines Person ist als Vektor aus [0,1]m⊂Rmdarstellbar. 2. Der strategische Teilnehmer kann maximal mZielintervalle aufstellen. Jedes dieser Zielintervalle ist Teilmenge von [0,1]⊂R. 3. Die Dynamik der nicht strategischen Personen verstößt nicht gegen Lemma 2.2 (1). 4.2 Realsierung der Dynamik aus „Twelf Angry Men“ In Kapitel 3 zeigen wir bereits, dass das Geschehen in „Twelf Angry Men“ den Punkten (1)-(4) aus Abschnitt 3.1 genügt. Wir müssen die Dynamik so modellieren, dass sie zusätzlich die Punkte (1)-(3) aus Abschnitt 4.1 erfüllt. Im Gegensatz zum Diplomatieproblem mit eindimensionalen Meinungen, haben wir hierbei keine Vorgaben zur Ordnung der Meinungen. In Beispiel 2.1 ist gezeigt, dass sich die Reihenfolge von Meinungen innerhalb der Bounded-Confidence Dynamik verändern kann, sofern wir mehrere Meinungsaspekte betrachten. „Juror 8“ möchte die Geschworenen von der Unschuld des Angeklagten überzeugen. Wir gehen davon aus, dass er keine weiteren Ziele verfolgt, sodass in unserer Modellinstanz ein Zielintervall existiert. Wie im Modell mit eindimensionalem Meinungsraum definieren wir dieses als [0,1 2]⊂R. Weiter müssen wir Forderung (3) erfüllen. Im Drama gibt es keine Situation, in der sich offensichtlich gleiche Meinungen voneinander entfernen. Daraus folgt: Wir können die Abstimmungen des Dramas als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems bei mehrdimensionalem Meinungsraum auf Grundlage der Bounded-Confidence Dynamik modellieren. Zunächst legen wir fest, welcher Agent im Weiteren das Verhalten welches Juroren repräsentieren soll. 20 Agent 1←→ Juror 1 Agent 2←→ Juror 2 Agent 3←→ Juror 3 Agent 4←→ Juror 4 Agent 5←→ Juror 5 Agent 6←→ Juror 6 Agent 7←→ Juror 7 Agent 8←→ Juror 9 Agent 9←→ Juror 10 Agent 10 ←→ Juror 11 Agent 11 ←→ Juror 12 Agent 12 ←→ Juror 8 Darüber hinaus möchten wir den Abstimmungsverlauf aus „Twelf Angry Men“ kompakt darstellen. Dazu definieren wir für jede Abstimmungsrunde eine Menge Ut+1,t∈T. Diese enthält den Index aller Agenten, die beim „updaten“ ihrer Meinung zum Prozess von Runde tnach t+1 den Schwellwert 1 2überschreiten. U1:={8},U2:={5,10},U3:={2,6},U4:={1,7,11},U5:={11}, U6:={4,9,11},U7:={3}. Wir möchten nun die Meinungsdynamik des Films als Instanz eines optimalen Diplomatieproblems mit mehrdimensionalen Meinungen darstellen. Ein Meinungsaspekt ist nach wie vor die Ansicht der Juroren zum Mordprozess. Diesen modellieren wir in Dimension null. „Agent 12“ handelt strategisch. Sein Zielintervall lautet [0,1 2]0⊂R. Die Modellierung der nullten Dimension inklusive des Schwellwerts 1 2übernehmen wir aus dem Diplomatieproblem mit eindimensionalen Meinungen. Wie viele weitere Dimensionen unser Beispiel haben soll können wir frei wählen. Wir stellen jedoch fest: Je weniger Dimensionen wir ansetzen, desto komplizierter wird es, die Beeinflussung zwischen den nicht strategischen Agenten zu kontrollieren. Möchten wir beispielsweise, dass kein Agent einem anderen vertraut. Es wird schwierig zwölf Meinungen im Intervall [0,1]⊂Rauf solche Art zu verteilen, dass für alle Agenten iund jgilt: |xi(t)−xj(t)|>εfür t∈T, wenn wir nicht ε=0 wählen möchten. Haben wir mehr Dimensionen zur Verfügung, so genügt es, in jeder davon die Meinung einiger Paare von Agenten weit genug voneinander zu differenzieren. Daher betrachten wir zunächst den Extremfall, dass es zu Beginn überhaupt keine indirekte Beeinflussung zwischen den Agenten gibt. Im Anschluss versuchen wir die Anzahl der Dimensionen immer weiter zu reduzieren. Instanzen mit zwölfdimensionalem Meinungsraum. Eine naheliegende Idee indirekte Beeinflussung zwischen den Agenten zu vermeiden ist eine Instanz mit zwölfdimensionalen Meinungen aufzustellen. Die nullte Dimension des Meinungsraums steht für die Ansicht der Agenten zum Prozess. Jede weitere Dimension definieren wir jeweils als Gesamtheit der Ansichten eines nicht diplomatischen Agenten. Vertritt „Agent 1“ beispielsweise die 21 Meinung 0 in einer Dimension zum Wetter, was als neutrale Haltung definiert sei. Seine Vorurteile gegenüber Migranten liegen bei 1 3∈[0,1]⊂Rund es ist ein familiärer Hintergrund gegeben, der die Meinung des Agenten zum Prozess beeinflusst. Dann definieren wir eine Dimension, in der ein Agent die Meinung 1 ∈R vertritt, wenn er in allen diesen Aspekten genau die gleiche Meinung wie „Agent 1“ teilt. Wie in unserem Modell aus Abschnitt 3.1, nehmen zu Beginn alle nicht strategischen Agenten in Dimension null eine Meinung aus (1 2,1]⊂Ran. Im Extremfall gibt es so viele weitere Aspekte und die Agenten haben solch individuelle Meinungen, dass alle Agenten in einer Dimension die Meinung „1“ vertreten. In allen anderen Dimensionen - außer der zum Prozess - teilen sie die Ansicht „0“. Wir versuchen nun konkrete Eingabeparameter und eine Strategie für den Diplomaten zu finden, sodass sich der Meinungsverlauf aus „Twelf Angry Men“ ergibt. Wir testen zunächst, ob es reicht, dass die komplette „Überzeugungsarbeit“ durch den Diplomaten geleistet wird. Instanz 1 Wir wählen n =12,d=12,T={0,1,2,3,4,5,6},ε=1 2uniform. „Agent 12“ ist der Stratege. X(0)∈R12×12 fasst die Startmeinungen der Agenten zusammen. Dabei entspricht jede Zeile der Matrix der Meinung eines Agenten xi(0)∈R12,i∈ {1,2,...,12} X(0) =                     3/410000000000 3/401000000000 3/400100000000 3/400010000000 3/400001000000 3/400000100000 3/400000010000 3/400000001000 3/400000000100 3/400000000010 3/400000000001 1/400000001000                     . Für den Strategen wählen wir: xk 12(t) =      1 4für k =0 1 2wenn k ∈Ut 0sonst für t ∈T\{4}und x12(4) = 3/500000000001T. 22 Da wir den Konfidenzradius deutlich kleiner wählen, als in den übrigen Instanzen, müssen wir die Startmeinungen zum Prozess näher an den Schwellwert 1 2setzen, um die Meinung der Agenten unter den Schwellwert zu lenken. Anhand der Grafik können wir nicht mehr klar erkennen, welche Meinungen den Schwellwert 1 2 unterschritten haben. Anhand der Simulationsergebnisse wissen wir jedoch, dass Instanz 4 das Meinungsverhalten aus „Twelf Angry Men“ korrekt darstellt. Im Rahmen dieser Arbeit kann keine Instanz für das optimale Diplomatieproblem mit weniger als vier Meinungsdimensionen gefunden werden, die das Abstimmungsverhalen aus „Twelf Angry Men“ erzeugt. Wir können daraus nicht schließen, dass keine solche Instanz existiert. Jedoch wissen wir nun, dass wir maximal vier Meinungsaspekte benötigen, um die Dynamik des Films bzw. Buchs mit unserem Modell zu erklären. Auf Grundlage der Simulationsergebnisse können wir außerdem einige generelle Überlegungen zum optimalen Diplomatieproblem mit mehrdimensionalem Meinungsraum anstellen. 4.3 Verallgemeinerung der Ergebnisse In den vorigen Abschnitten übersetzen wir eine gegebene eindimensionale Meinungsdynamik in eine Instanz des optimalen Diplomatieproblems. Dies fällt uns umso leichter, je größer die Anzahl an zusätzlichen Dimensionen des Meinungsraums ist. Führt eine Erhöhung der Dimensionen des Meinungsraums immer dazu, dass mehr Dynamiken dargestellt werden können? Eine erste Antwort liefert uns Lemma 4.1. Lemma 4.1 Gegeben sind die Startmeinungen für eine Instanz des optimalen Diplomatieproblems mit n Agenten, m−dimensionalem Meinungsraum und einem uniformen Konfidenzradius ε. Alle Meinungsdynamiken, die durch diese Instanz erzeugt werden können, sind auch durch eine Instanz des optimalen Diplomatieproblems mit l−dimensionalem Meinungsraum ∀l∈Nmit l >m erreichbar. Wir beweisen das Lemma per Induktion nach l: Induktionsanfang: l=m+1. Wir setzen die Startmeinungen sämtlicher Agenten in den ersten mDimensionen wie in der Instanz mit m−dimensionalen Meinungen. Für die Startmeinungen in der m+1. Dimension wählen wir ein Duplikat einer beliebigen Komponente der Instanz mit mMeinungsdimensionen. Das Verhalten des Strategen wählen wir in dieser neuen Dimension identisch zum Meinungsverhalten in der Duplizierten. ∀i,j∈ {1,2,...,n},t∈Thaben wir das Konfidenzintervall definiert als: I(i,X(t)) = {k∈ {1,...,n}|kxi(t)−xj(t)k≤εi}wobei k·kdie in 2.2 definierte Maximumsnorm sei. Erweitern wir die Differenz xi(t)−xj(t)um eine bereits vorhan29 dene Komponente, so ändert dies nichts am Ergebnis der Maximumsnorm über die gesamte Differenz. Dies bedeutet: Die Gewichtematrix der Instanz mit m+1 Dimensionen ist identisch zu der in der Instanz mit mDimensionen. Dementsprechend ergibt sich in den ersten mDimensionen der Instanz mit m+1 Dimensionen die gleiche Dynamik wie in der Instanz mit mDimensionen. Daraus folgt die Behauptung. Induktionsannahme: ∀lmit l>m: Es existiert eine Instanz des optimalen Diplomatieproblems mit l−dimensionalem Meinungsraum die alle Dynamiken erzeugen kann, die im optimalen Diplomatieproblem mit mDimensionen erreicht werden. Induktionsschritt: l→l+1. Laut Induktionsannahme wissen wir, dass für lDimensionen alle Dynamiken aus einer Instanz mit mDimensionen erzeugt werden können. Duplizieren wir eine weitere Dimension nach dem Schema aus der Induktionsannahme, so folgt nach der Argumentation in der Induktionsannahme die Behauptung.  Wir wissen nun: Erhöhen wir die Zahl an Dimensionen des Meinungsraums im Diplomatieproblem, so können wir immer mindestens genauso viele Dynamiken erzeugen, wie mit geringer dimensionierten Instanzen. Zusätzlich können wir Verläufe beschreiben, die in eindimensionalen Meinungsräumen nicht darstellbar sind. Darunter fallen beispielsweise solche, in denen sich die Ordnung der Meinungen ändert (siehe dazu Beispiel 2.1). Im vorigen Kapitel haben wir eine Dynamik bezüglich eines Aspekts gegeben. Wir erweitern daraufhin die Eindimensionalität des Meinungsraum um die Anzahl an nicht strategischen Agenten. Im betrachteten Beispiel ist es nicht möglich, die vorgegebene Dynamik zu erzeugen. Dies begründen wir dadurch, dass Restriktionen für das Verhalten des Diplomaten gegeben sind. Dies hat zur Folge, dass die Meinungsdynamik aus „Twelf Angry Men“ nur durch zusätzliche, indirekte Beeinflussung innerhalb der nicht strategischen Agenten entstehen kann. Wir nehmen im Weiteren an, dass keine Restriktionen für die Meinung des Diplomaten existieren. Wir wollen spezifizieren, in welchen Fällen reine Diplomatie ohne zusätzliche, indirekte Beeinflussung scheitert. Dies trifft auf Meinungsverläufe zu, ...: •...in denen ein Agent seine Meinung in einer Meinungsaktualisierung um mehr als ε 2∈[0,1 2]⊂Rverändert. •...in denen zwei Agenten gleichzeitig ihre Meinung in entgegengesetzte Richtungen verändern. 30 •...in denen die Meinungsveränderung zweier Agenten, zwischen denen ein Riss besteht, das gleiche Vorzeichen hat. Wir fassen zusammen: •Je mehr Dimensionen der Meinungsraum eines Diplomatieproblems vereint, desto mehr verschiedene Dynamiken können wir darin erzeugen. •Es gibt gewisse Meinungsverläufe, die nicht ohne indirekte Beeinflussung innerhalb der nicht strategischen Agenten auskommen. Wir betrachten im Folgenden nur noch Meinungsverläufe, die sich rein durch das Agieren des Diplomaten erklären lassen. Wir wollen, dass eine solche Dynamik tatsächlich ausschließlich durch die Beeinflussung des Strategen entsteht. Um wie viele Dimensionen, wir den Meinungsraum erweitern müssen, damit wir alle erdenklichen Dynamiken auf diese Art realisieren können, zeigen die nachstehenden Lemmata. Lemma 4.2 Wir betrachten ein Diplomatieproblem mit n-Agenten, n−dimensionalem Meinungsraum, diskretem Zeithorizont T und uniformem Konfidenzradius ε. Dann kann für jede Dynamik mit Folgenden Eigenschaften eine Instanz gefunden werden, die die Dynamik nur durch Beeinflussung des Agenten erzeugt: 1. Die Dynamik kann durch reine Diplomatie erklärt werden. 2. In jeder Runde verändert maximal ein Agent seine Meinung. Beweis: Wir bilden in der nullten Dimension das Geschehen der geforderten Dynamik ab. In allen anderen Dimensionen setzen wir die Meinungen wie folgt fest: xk i(0) = (1 für k=i 0 sonst für alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {0,1,2,...,n−1}. Ändert Agent ivon Runde tnach t+1 seine Meinung, wobei t∈T, so erzeugen wir dies durch folgende Strategie des Agenten: xk Diplomat(t) = (1 für k=i 0 sonst für alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {1,2,...,n−1}und einer der Dynamik entsprechenden Wahl für x0 Diplomat(t). 31 Lemma 4.3 Wir betrachten ein Diplomatieproblem mit n-Agenten, 2n−1+1dimensionalem Meinungsraum und uniformem Konfidenzradius ε. Dann kann für jede Dynamik, die durch reine Diplomatie erklärbar ist, eine Instanz gefunden werden, die die Dynamik nur durch Beeinflussung des Agenten erzeugt. Beweis: Wir bilden in der nullten Dimension das Geschehen der geforderten Dynamik ab. Für alle anderen Dimensionen definieren wir eine MengeUk,k∈ {0,1,2,...,2n−1}. Die Vereinigung dieser Mengen entspricht der Potenzmenge der Agentenindizes (nur der nicht strategischen Agenten). Wir setzen die Meinungen wie folgt fest: xk i(0) = (1 für k∈Uk 0 sonst für alle i∈ {1,2,...,n−1},k∈ {0,1,2,...,2n−1}. Ändert in einer Menge von Agenten jeder aus dieser von Runde tnach t+1 seine Meinung, wobei t∈T, so entspricht diese Menge einer Menge Ukfür irgendein k∈ {0,1,2,...,2n−1. Der Stratege wählt dann die Strategie: •xk Diplomat(t) = 1 •x0 Diplomat(t)entsprechend der gegebenen Dynamik •xl Diplomat(t) = 0∀l∈ {0,1,2,...2n−1}\k  Unsere Vermutung aus Kapitel 4.3 bestätigt sich. Je mehr Dimensionen der Meinungsraum innehat, desto größer ist der Handlungsspielraum des Diplomaten. 32 4.4 Ausblick Im Verlaufe dieser Arbeit konnten wir Instanzen finden, die die Meinungsdynamik in „Twelf Angry Men“ als optimales Diplomatieproblem darstellen. Dabei nehmen wir an, dass sich die Meinungen der Agenten aus mindestens vier Komponenten zusammensetzen. Beim Versuch die Dynamik mit eindimensionalen Meinungen darzustellen scheitern wir. Daraus können wir eine Vermutungen über das tatsächliche Geschehen ableiten: Die Geschworenen fällen ihr Urteil zum Mordprozess nicht nur auf Grundlage der Meinungen der anderen Juroren zum Prozess. Weitere Faktoren werden bei der Meinungsbildung berücksichtigt. Diese Aspekte können jedoch auf mindestens vier entscheidende reduziert werden. Außerdem muss zusätzlich zur Diplomatie von „Juror 8“ eine gegenseitige Beeinflussung der Juroren stattfinden. Möchte man das Geschehen in „Twelf Angry Men“ mit eindimensionalen Meinungen erklären, so reichen die Gegebenheiten in unserem Modell möglicherweise nicht aus. Eine Argumentation muss sich dann auf Annahmen stützen, die wir in der vorliegenden Arbeit nicht betrachten. Eine Idee ist die Verwendung nicht uniformer Konfidenzradien. Wir gehen davon aus, dass alle Geschworenen gleich tolerant sind. Dies kann, insbesondere aufgrund des Verhaltens von „Juror 3“ und „Juror 10“, in Frage gestellt werden. Außerdem ist es denkbar, dass die Juroren nicht allen Kollegen, die innerhalb ihres Konfidenzintervalls liegen gleich starke Beachtung schenken. „Juror 2“ beispielsweise wird im Drama als sehr schüchtern dargestellt. Es scheint plausibel, dass die Geschworenen seine Meinung weniger stark beachten als die von charismatischen Figuren. Zusammengefasst konnte, mit den in dieser Arbeit getroffenen Annahmen, nicht abschließend geklärt werden, ob die Meinungsdynamik aus Twelf Angry Men durch das optimale Diplomatieproblem mit eindimensionalen Meinungen dargestellt werden kann. In einer weiterführenden Arbeit könnte die Fragestellung auf die genannten abgewandelten Modelle übertragen werden. 33 5 Simulation Um die Dynamik von Beispiel-Instanzen eines optimalen Diplomatieproblems exakt berechnen zu können, wurde im Rahmen dieser Arbeit eine Simulation entwickelt. 5.1 Funktionen Die Simulation bietet zum einen die Möglichkeit die Dynamik einer Instanz des Bounded-Confidence Modells berechnen zu lassen. Folgende Parameter müssen dazu gesetzt werden: 1. Anzahl der Agenten 2. Anzahl der Dimensionen 3. Anzahl an Runden 4. Konfidenzradius 5. Startmeinungen aller Agenten in allen Dimensionen. Nach Eingabe der Startwerte berechnet das Programm für jede Runde die Entwicklung der Meinungen. Außerdem öffnet sich für jede Dimension des Meinungsraums eine Grafik. In dieser wird auf einem XY-Diagramm die Meinung sämtlicher Agenten je Runde eingezeichnet. Zum anderen können wir Beispiele für das optimale Diplomatieproblem testen. Auch hier müssen die zuvor aufgezählten Parameter festlegt werden. Der Diplomat ist dabei in der Anzahl an Agenten enthalten und wird immer durch den Agenten mit dem höchsten Index repräsentiert. Zusätzlich muss eine Startmeinung für den Diplomaten gewählt werden. Nach jeder Runde wird der Nutzer nach der Meinung des Diplomaten in dieser gefragt. Den Verlauf der Meinungen in allen Dimensionen des Meinungsraums können wir währenddessen in entsprechend vielen Grafikfenstern verfolgen. In beiden Simulationsmöglichkeiten werden alle Zwischenergebnisse sowie die Endmeinung berechnet und sowohl in Bruch, als auch Dezimalform ausgegeben. Alle Einund Ausgaben erfolgen dabei auf der Konsole. 34 5.2 Programmierung Die Simulation wurde in Java unter Zuhilfenahme der Oberfläche Eclipse programmiert. Die Meinungsverläufe werden in der Simulation visuell unterstützt. Hierzu wurde das Zusatzpaket JFreeChart verwendet. Alle Berechnungen innerhalb der Simulation wurden ausschließlich mit rationalen Zahlen durchgeführt. Der Grund hierfür ist die numerisch bösartige Dynamik des Bounded-Confidence Modells. In jedem Schritt der Meinungsbildung führen wir eine Rechnung der Form |a−b| ≤ εdurch wobei a,b,ε∈[0,1]. Da das reelle, abgeschlossene Einheitsintervall überabzählbar viele Zahlen beschreibt, ist es nicht möglich dieses am Computer vollständig darzustellen. Bei Rechnungen und Vergleichen von sehr ähnlichen Zahlen kommt es daher bei der Verwendung von gängigen Datentypen, wie beispielsweise double, immer wieder zu Fehlern. Die Veränderungen von Meinungen hängen im Bounded-Confidence Modell lediglich davon ab, welche Meinungen im Konfidenzintervall der Agenten liegen. Fehlentscheidungen bei obiger Vergleichsoperation können zu völlig anderen Ergebnissen führen. (Vgl. [6, S.10]). Aus diesem Grund wurde für diese Arbeit eine eigene Klasse Rationalnumber implementiert. Ein Objekt daraus setzt sich aus einem Zähler und einem Nenner zusammen. Die Klasse beinhaltet Methoden für die Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division). Außerdem sind alle Arten des Vergleichs möglich. Weiter hält die Klasse Methoden bereit, die Betrag, Nenner und Zähler eines Bruchs zurückgeben. Ebenso kann der Bruch in einen String umgewandelt und ausgegeben werden. Auch eine Methode zum Kürzen der rationalen Zahl wurde implementiert. Als Hilfsmethoden sind das Berechnen eines größten gemeinsamen Teilers, sowie des kleinsten gemeinsamen Vielfachen möglich. Abhängig von den Startwerten und der Anzahl der Runden, steigen die Werte von Zähler und Nenner der Brüche in den Berechnungen sehr stark an. Daher wurde diesen der Datentyp BigInteger zugewiesen. Dieser legt Zahlen dynamisch groß an, sodass es - im Gegensatz zur normalen Integer Klasse - keine Größenbeschränkung der Zahlen gibt und dadurch keine Überläufe entstehen [9]. Zur Visualisierung der Daten werden Dezimalzahlen benötigt. Dazu werden Zähler und Nenner der berechneten Brüche in den Datentyp BigDecimal als Pendant zur BigInteger Klasse umgewandelt (für Details vgl. [9]). Die rationale Zahl kann nun dividiert und gerundet werden. Im Programm ist dabei eine Genauigkeit von neun Nachkommastellen festgesetzt. Auf der beiliegenden CD befindet sich der Quellcode aller geschriebenen Klassen. 35 Literatur [1] Valeria Maltoni. http://www.conversationagent.com/2017/05/seek-first-tounderstand.html. Aufgerufen am 30.07.2017. [2] United States Courts. http://www.uscourts.gov/services-forms/jury-service. Aufgerufen am 04.07.2017. [3] Legal Information Institute. https://www.law.cornell.edu/uscode/text/28/1865. Aufgerufen am 04.07.2017. [4] Ulrich Krause. A discrete nonlinear and non-autonomous model of consensus formation. Communications in Difference Equations, pages 227–236, 2000. [5] Jan Lorenz. Mehrdimensionale Meinungsdynamik bei wechselndem Vertrauen. Master’s thesis, Universität Bremen, 2003. [6] Rainer Hegselmann et al.. Optimal opinion control: the campaign problem. Journal of Artificial Societies and Social Simulation, 18(3), 2015. [7] Ulrich Krause, Rainer Hegselmann. Opinion dynamics and bounded confidence: models, analysis and simulation. Journal of Artifical Societies and Social Simulation, 5(3), 2002. [8] Reginald Rose. 12 angry man. Penguin Books, 2006. [9] Christian Ullenboom. Java ist auch eine Insel, Volume 10. Rheinwerk Comptuing, 2011. 36 Selbstständigkeitserklärung Ich, Julia Kunkel, erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit mit dem Titel „Optimale Diplomatie in mehrdimensionalen Meinungsräumen und die zwölf Geschworenen“ selbstständig und nur unter Verwendung der angegebenen Quellen und Hilfsmittel verfasst habe. Zitate wurden als solche kenntlich gemacht. Ebenso versichere ich hiermit, dass weder ich, noch eine dritte Person diese Arbeit bereits zur Erlangung eines akademischen Grades an einer Hochschule eingereicht hat. Mir ist bekannt, dass die Nichteinhaltung dieser Erklärung zu einer Benotung mit der Bewertung „nicht ausreichend“ führt. ________________ Bayreuth, den 31.07.17