SHAHARSOZLIK OBYEKTLARINING SILJISH JARAYONLARIDAGI MUSTAHKAMLIGINI FRAKTAL YONDASHUVGA ASOSLANGAN MATEMATIK MODELI

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 83 SHAHARSOZLIK OBYEKTLARINING SILJISH JARAYONLARIDAGI MUSTAHKAMLIGINI FRAKTAL YONDASHUVGA ASOSLANGAN MATEMATIK MODELI Sh.A. Anarova1, M.N. Samidov2, O.A. Amonova 1,2,3 Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU, Toshkent, O‘zbekiston https://doi.org/10.5281/zenodo.17712646 Annotatsiya. Mazkur maqolada shaharsozlik obyektlarining siljish jarayonlaridagi mustahkamligini fraktal yondashuvga asoslangan matematik modeli ishlab chiqish ketma-ketligi batafsil bayon etilgan. Mustahkamlikning umumlashgan mezonlari modeli keltirilgan. Olingan natijalar formulalar koʻrishda ifodalangan. Kalit so‘zlar: fraktal, mezon, mustahkamlik, matematik model, siljish, normal kuchlanish, urinma kuchlanish KIRISH. Zamonaviy shaharsozlikda infratuzilma obyektlarining mustahkamligi va xavfsizligini baholash muhim ahamiyatga ega. Anʻanaviy usullar koʻpincha makro darajadagi parametrlarni hisobga oladi, ammo fraktal tuzilishli materiallarning mikro darajadagi xattiharakatlarini toʻliq aks ettira olmaydi. Foydalanish jarayonida haddan tashqari qiyshayishga uchragan bino va inshootlarning konstruktiv elementlari (KE) ham metall, ham metall bo‘lmagan materiallardan tayyorlanishi mumkin. Shuning uchun, konstruktiv elementlarning chegaraviy holatini baholash uchun umumlashtirilgan mezonni ishlab chiqish murakkab va dolzarb masala hisoblanadi. Haddan tashqari qiyaliklarga uchragan bino va inshootlarning hamda ularning konstruktiv elementlarining kuchlanish holatini (KH) ob’ektiv baholamasdan, ularning rejalashtirilgan balandlik holatini tiklashning optimal usulini tanlash, binolarning qolgan xizmat muddatini aniqlash asosida texnologik jarayonni boshqarish algoritmini ishlab chiqish, shuningdek, inshootlarni ta'mirlashdan keyin ularning xizmat muddatini baholash mumkin emas. Ushbu masalani hal qilish yo‘nalishlaridan biri binolar, inshootlar va ularning konstruktiv elementlarining kuchlanish holatini baholash uchun ma’lum umumlashtirilgan mezonlarni qo‘llash usulini ishlab chiqish bo‘lishi mumkin, bu, albatta, ma’lum umumlashtirilgan mezonlar yordamida, masalan, umumlashtirilgan mezonlar tenglamasiga kiritilgan asosiy fizik va mexanik parametrlar o‘rtasidagi fizik munosabatlarni qo‘shimcha o‘rganish asosida konstruktiv elementlarning kuchlanish holatini kuzatishning ishonchliligini oshirishni talab qiladi. USULLAR VA MODELLAR. Konstruktiv elementlar materialining tekis kuchlanish holatini baholashning ma’lum umumlashtirilgan mezonlaridan biri Pisarenko-Lebedev mezoni [1]: ( ) 22 1 2 1 2 1 . 1; hal         − − − − = (1) bu yerda  - siljish deformatsiyasining ishtirok etish darajasini belgilovchi parametr bo‘lib, materialning bo‘shashishi va makroyoriqlar hosil bo‘lishi uchun qulay sharoit yaratadi; 12 ,  – asosiy choʻzilish kuchlanishlari; .hal  - halokatli bir o‘qli kuchlanish, ya’ni fizik jihatdan u eng yuqori chegaraviy .cheg  kuchlanishiga mos keladi. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 84 [1] ishda material 1  = plastik holatda bo‘lgani uchun (1) formula fon Mizes-Gencki mezonining tenglamasiga mos kelishi ko‘rsatilgan; agar konstruktiv elementlarning materiali mo‘rt bo‘lsa, unda yetarli aniqlik bilan 0  = va (1) mezon maksimal normal kuchlanish mezoniga mos keladi hamda deyarli barcha materiallar 01   oralig‘ida  qiymatiga ega bo‘lishi mumkin. Umumlashgan Pisarenko-Lebedev mezoni uchun (1) tenglamadan kelib chiqadiki, u konstruksiya elementlarni ishlab chiqarish jarayonida hosil bo‘lgan materialning kuchlanish holatini, ya’ni .qold  ni hisobga olmaydi. Ma’lumki, tekis kuchlanish holatida makroyorilish ochilganda, asosiy rolni yoriqning bo‘ylama o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan asosiy cho‘zilish kuchlanishi 1  o‘ynaydi, shuning uchun makroyorilish 1  va .qold  kuchlanishlari bir xil yo‘nalishda harakat qiladigan va ishorasi bo‘yicha mos keladigan local sohada sodir bo‘ladi, ya’ni ular superpozitsiya qonuniga [2] va (1) tenglamaga mos keladi hamda umumlashtirilgan mezon quyidagi ko‘rinishni oladi: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 . 2 1 . 1 . . 1, qold qold qold hal           + + − + + − + = bu yerda .qold  – qonunga muvofiq o‘zgarib turadigan, qayta tiklanishidan oldin konstruksiya elementlarш materialidagi qoldiq mexanik kuchlanish qiymati [6]: .0 cos2 . qold S l    = Yemirilish mexanikasining asosi mustahkamlik mezonlari bilan shakllanadi, ular materialning yuk ko‘tarish qobiliyati tugash nuqtasini belgilaydi. Biroq, mustahkamlik mezonlari tutash muxit mexanikasidagi muvozanat va harakat tenglamalaridan kelib chiqmaydi, balki yorilgan jismning yakuniy muvozanatini hal qilishda qo‘shimcha shart bo‘lib xizmat qiladi. Mezon formulalari o‘ziga xos xususiyatlarni o‘z ichiga oladi: birliklar sifatida uzunlik, maydon yoki hajm. Biroq, agar o‘rganilayotgan obyektning chegarasi mikro darajada juda chuqur (notekis) bo‘lsa, real uzunlik, maydon va hajm an’anaviy nazariya tomonidan hisoblanganlardan farq qiladi, bu esa eksperimental ma’lumotlar bilan bir qator qarama-qarshiliklarga olib keladi. Muayyan xususiyatlarni aniqlashda fraktal tuzatishni kiritish sirt notekisligi va yemirilish jarayonining o‘ziga o‘xshashligini ta’minlaydi. NATIJALAR VA MUHOKAMALAR. Fraktal yondashuvning umumiy sxemasi quyidagi bosqichlarni o‘z ichiga oladi: • mikro darajada, notekis yoriqning profili α o‘lchamli mos keladigan fraktal obyekt bilan yaqinlashtiriladi, bu yerda 1 < α < 2; • fraktal notekislik α o‘lchamli sharlar bilan qoplash orqali “silliqlanadi”; real yoriq uzunligini baholash uchun α o‘lchamli entropiya o‘lchovi tuziladi; • makro darajada, yoriq silliq kontur ko‘rinishiga ega, shuning uchun yemirilish masalalarining klassik formulalari o‘z kuchini yo‘qotmaydi; yoriqning fraktal mikroxususiyatlarining tashuvchisi qo‘shimcha parametr bu - fraktal o‘lcham α. Shunday qilib, taklif qilingan sxema bo‘yicha fraktal yondashuv, chiziqli yemirilish mexanikasi doirasida qolib, nafaqat masalalarni hal qilishda real yoriqning mikrotuzilmasining geometrik xususiyatlarini tavsiflovchi qo‘shimcha parametrni jalb qilish, balki yemirilish jarayoni mikro - va makro darajalardagi jarayonlar to‘plami ekanligini qisman aks ettirish imkonini beradi. Shuni ta’kidlash kerakki, haqiqiy yoriqlarning mikroskopik notekisligini modellashtirish THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 85 uchun fraktal egri chiziqlardan (yassi holatda) foydalanish ma’lum bir cheklovni anglatadi: real yoriqning egriligi, uning maydoni kabi cheklangan, shuning uchun fraktal modelning qo‘llanilishining tabiiy pastki chegarasi mavjud. Metallar uchun bu dona yoki subdona hajmi. Boshqacha qilib aytganda, pastki chegarani matematik ma’noda emas, balki fizik ma’noda tushunish kerak. Boshqa tomondan, matematik fraktal cheksiz egri-bugri va cheksiz uzunlikka ega. Shuning uchun, fraktal model qo‘llanilishning yuqori chegarasiga ega. [1] da ta’kidlanganidek, “...qo‘llanilishning yuqori chegarasi jismning geometrik o‘lchamlari, yoriq hajmi, tashqi maydonlarning ko‘pjinsliligini xarakterli shkalasi va boshqalar bilan bog‘liq”. Shunday qilib, fizik obyektlarning fraktal xususiyatlari namoyon bo‘ladigan intervalning cheklanganligi, fraktal xususiyatlarni topishda tadqiqotchi bu intervalni o‘zi tanlashi kerakligini oldindan belgilab beradi. Amalda, fraktal obyektlar yordamida olingan barcha munosabatlar faqat taxminan bajariladi. Real yoriqning fraktal modeli. Matematik model. Real obyektlarning tuzilishini hisobga olish zarurati tutash muxit mexanikasida birlik hajm elementini aniqlashning an’anaviy usuliga zid keladi. Odatda, yemirilish jarayonining matematik modelini yaratishda yoriqsimon nuqsonlarni o‘z ichiga olgan muhit uch o‘lchovli Evklid fazosi bilan bog‘liq bo‘lib, materialning strukturaviy mikronuqsonlarini hisobga olishni deyarli imkonsiz. Yemirilish bilan bog‘liq fazo tuzilishini matematik tadqiqi 1950-yillarda boshlangan va hatto o‘shanda ham ideal jismning ichki metrikasi real materialning metrikasiga mos kelmasligi ko‘rsatilgan. I.A. Miklashevichning [8] fikriga ko‘ra, yemirilish bilan bog‘liq fazo "turli geometrik tuzilishga ega fazo"dir. Shuni ta’kidlash kerakki, faqat matematik fraktallar ideal o‘ziga o‘xshashlikka ega, real fraktallar esa ko‘p hollarda faqat statistik ma’noda o‘ziga o‘xshashdir, ya’ni kichik bir parcha kattalashtirilganda, katta obyektning strukturaviy xususiyatlari faqat o‘rtacha hisobda takrorlanadi, shuning uchun matematik fraktalni faqat real yemirilish jarayonining (shakllanayotgan yoriq) yaqinlashishi sifatida ko‘rib chiqish mumkin. Shunday qilib, fraktal obyektlar yoriqlar mexanikasi uchun muhim xususiyatga ega: asosan o‘ziga o‘xshashlik. Fraktal obyektlar kasr o‘lchamlariga ega ekanligi ko‘p marta ta’kidlangan va bu o‘lcham bilan o‘ziga o‘xshashlik o‘rtasidagi bog‘liqlik aynan o‘ziga o‘xshashlik kasr o‘lchamlariga ega to‘plamlarni eng oddiy tarzda qurish imkonini berishidadir. Ta’rifga ko‘ra, metrik fazoning o‘xshashlik transformatsiyasi - bu fazoning o‘ziga shunday xaritalashki, nuqtalar orasidagi barcha masofalar bir xil nisbat bilan o‘zgartiriladi. Bundan tashqari, o‘ziga o‘xshash obyektlar affin transformatsiyasi ostida o‘zgarmasdir: , 1,..., i i i x x i d  →= bu yerda transformatsiya i  miqdorlarining har biriga shunday ta’sir qiluvchi guruh tuzilishiga egaki, i  1  to‘plamining miqdorlaridan birining funksiyasi bo‘lishi kerak: 1 i i   = i  kattaliklari o‘z-o‘ziga o‘xshash obyektning masshtablash xususiyatlarini tavsiflaydi, ular notekislik indekslari deb ham ataladi. Boshqa tomondan, yemirilish yuzasining notekisligi amalda turli eksperimental usullar yordamida aniqlanishi mumkin bo‘lgan maksimal yoriq profili amplitudasini anglatadi. Ma’lumki, yoriq yuzasi profilining balandligi z va joriy o‘lchash pozitsiyasi R o‘zaro proporsional: THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 86 zR  Shunday qilib, ξ ko‘rsatkichi o‘zining fizik ma’nosida ma’lum bir masshtab darajasida o‘ziga o‘xshash jarayonlar uchun notekislik indeksiga mos keladi. 1939-yilda, yemirilish jarayonining o‘ziga o‘xshash tabiati kashf etilishidan oldin ham, W. Weibull po‘latning cho‘zilish kuchi bo‘yicha eksperimental ma’lumotlarni taxminiy hisoblash uchun funksiyani kiritgan: ( ) 1, , , , 0, tm et Ft t         − −   − =   bu yerda ξ taqsimot shakli parametri; β masshtab parametri; μ siljish parametri. ξ = 1 va ξ = 2 holatlari mos ravishda eksponensial va Reyli taqsimotlarini tavsiflaydi. Funksiya shaklini tahlilidan ta’kidlash mumkinki, yemirilish yuzasi shaklining notekislik indeksiga funksional bog‘liq ekanligini. Shunday qilib, qattiq jismdagi haqiqiy notekis yoriqqa eng yaqin matematik model matematik fraktal obyektdir. Modelning fraktal o‘lchami yemirilishning fraktal xususiyatlarini tavsiflashda masshtablash parametri sifatida ishlatilishi kerak. Shuni ta’kidlash kerakki, yemirilishning fraktal xususiyatlari turli yo‘llar bilan namoyon bo‘ladi. Bir tomondan, fraktal xususiyatlar kuzatuvchidan mustaqil ravishda to‘g‘ridan-to‘g‘ri o‘lchanadigan miqdorlarga, masalan, yoriq uzunligi va sirt profiliga ega. Boshqa tomondan, ular yemirilish tenzori kabi yemirilish bilan bog‘liq xususiyatlarning fraktal taqsimoti. Bu holda, fraktal xususiyatlar shunchaki kuzatuvchining ob’ektlarni talqin qilishi bo‘lib, ob’ektning ham, kuzatuvchining ham xususiyatlarini aks ettiradi. Shuning uchun, ushbu ish bilan birga ko‘pgina eksperimental va nazariy tadqiqotlar birinchi turdagi fraktal xususiyatlarni aniqlashga bag‘ishlangan. Fraktal o‘lcham haqiqiy yoriq profilining notekislik darajasiga mos kelishi va 1 dan 2 gacha bo‘lgan oraliqda bo‘lishi kerak. 0 dan 1 gacha bo‘lgan o‘lchamga ega fraktal obyekt yordamida hosil bo‘layotgan yemirilish yuzasining ko‘ndalang kesimini modellashtirish tavsiya etiladi. Fraktal o‘lchami 1 ga teng bo‘lgan holat tanada mutlaqo silliq yoriq paydo bo‘lishiga mos keladi, fraktal o‘lchami esa nolga teng bo‘lgan holda mukammal uzluksiz, nuqsonsiz muhitga mos keladi, bu ikkala holatda ham haqiqiy materiallar uchun deyarli imkonsizdir. Yoriqning fraktal o‘lcham indeksining kuchlanish intensivligi koeffitsienti qiymatiga ta’siri Yoriq konturining mikrostrukturaviy xususiyatlarini hisobga oladigan maxsus parametrning kiritilishi mustahkamlik xususiyatlarini aniqroq baholash imkonini beradi. Boshqa tomondan, model yorig‘ining fraktal o‘lchamini yechim algoritmiga kiritgandan so‘ng, ma’lum nazariy taxminlar va eksperimental tadqiqotlar bilan mos keladigan g‘ayrioddiy masshtablash koeffitsienti paydo bo‘ladi. Masalan, klassik mexanika yoriq uzunligini strukturaning yoriq qarshiligi parametrlaridan biri sifatida belgilaydi. V.V.Novojilov sinish mexanikasi uzunlik o‘lchamining yashirin parametrini o‘z ichiga olishini ta’kidladi. Yana bir misol - kuchlanish intensivligi koeffitsienti. Yuklanishning umumiy holatida, kuchlanish tensorining komponentlari va yoriq old konturidagi ixtiyoriy nuqtaning kichik qo‘shnisidagi siljish vektori quyidagicha ifodalanadi ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 ; 2 ij ij r K f O r        =+  THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 87 2 2 i uK  = (2) bu yerda r, θ - ixtiyoriy nuqtaning qutb koordinatalari; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , , , ij ij ij i i i f f f          - tashqi yukga yoki jismning va yoriqning o‘lchamlari va geometriyasiga bog‘liq bo‘lmagan qutb burchagining o‘lchovsiz funksiyalari. K1, K2 va K3 koeffitsientlari yoriq mavjudligi sababli jismdagi kuchlanish va siljishlarning qayta taqsimlanishini tavsiflaydi hamda jismga qo‘llaniladigan yukning kattaligi, jismning o‘lchami va geometriyasi va eng muhimi, yoriqning uzunligi va shaklining funksiyalari hisoblanadi. Lokal kuchlanishlarning kattaligi bu koeffisientlarga mutanosib bo‘lganligi sababli, kuchlanish holati ko‘pincha σij ni hisobga olmagan holda Kα qiymatidan foydalanib baholanadi. Asimptotik ifodalar (2) ni olishda yoriq to‘g‘ri chiziq sifatida modellashtirilgan va real notekislik e’tiborga olinmagan. Aksincha, A.A. Shanyavskiy tomonidan olib borilgan fizik yoriq notekisligi kuchlanish intensivligi omiliga ta’siri bo‘yicha tadqiqotlar shuni ko‘rsatdiki, bu qiymatni baholashda bir vaqtning o‘zida relyef balandligi va yoriq o‘sishi yo‘nalishi bo‘yicha va unga perpendikulyar bo‘lgan relyef profili xususiyatlarini hisobga olish kerak. Miklashevich [8] ta’kidlaganidek, yoriqning fraktal o‘lchami ushbu omillarning intensivlik koeffitsientiga ta’sirini integral baholash sifatida xizmat qilishi mumkin. Hozirgi vaqtda real obyektlarning fraktal o‘lchamini aniqlash uchun juda ko‘p tajribalar o‘tkazilmoqda va yoriqning fraktal modelining o‘lchami sifatida o‘rganilayotgan real yemirilish yuzasi profilining o‘lchamini tanlash tabiiy bo‘lar edi. Biroq, fizik fraktallarning o‘lchamini aniqlashning mavjud usullari nisbatan ko‘p bo‘lishiga qaramay, turli usullar turli natijalar beradi. Mavjud usullardan birini afzal ko‘rish uchun hech qanday asos yo‘q, chunki u yoki bu usul bilan olingan raqamli o‘lcham qiymatlari bir-biri bilan o‘zaro bog‘liq va o‘rganilayotgan sirtlarning xususiyatlarini aks ettiradi. Shuning uchun, hatto tabiati jihatidan o‘xshash obyektlar uchun ham, obyektning fraktal o‘lchamini uning xarakterli xususiyati deb hisoblash mumkin emas, bu o‘lchamni o‘lchash uchun ishlatiladigan usulga hech qanday murojaat qilinmaydi. Bunday qiyinchiliklar fraktal o‘lchamni baholashning umumiy algoritmi bilan bog‘liq: o‘rganilayotgan fazo kichik kublarga bo‘linadi, qiziqish nuqtalari to‘plamini qoplash uchun zarur bo‘lgan eng kam sharlar soni hisoblanadi va to‘plam o‘lchamining o‘lchovi olinadi. Shunday qilib, ε masshtab darajasi va qamrovni tanlash fraktal o‘lchamga sezilarli ta’sir ko‘rsatadi. Muhim va fundamental holatni qayd etamiz: strukturaning fraktal o‘lchamini matematik ta’riflashda u ko‘rib chiqilayotgan fazoning o‘lchami ishlatilmaydi, bu esa umumlashtirilgan bo‘shliqlarni kiritishdan qochish imkonini beradi, masalan, Miklashevich [8] yemirilish jarayonini tasvirlash uchun Finsler fazosidan foydalanadi. Boshqacha qilib aytganda, fraktal obyektlarni fazoga joylashtirilgan nuqtalar to‘plami sifatida ko‘rish mumkin. To‘rtburchak plastinkani izotrop muhitda ko‘rib chiqing. Plastinkaning uzunligi va kengligi uning qalinligiga nisbatan katta deb taxmin qilinadi, bu qulaylik uchun birlikka teng deb taxmin qilinadi: a = 1, b = 1. Plastinkada 2l qisqa uzunlikdagi (l = a, l = b) to‘g‘ri, o‘tkazuvchi yoriq shaklidagi nuqson mavjud. ≈10-6 shkalasida yoriq bo‘shlig‘ini hosil qiluvchi sirtlar har bir sirt kesimida fraktal o‘lcham α bilan tavsiflangan notekislikka ega. Plastinka yoriq tekisligiga p kuchlanish bilan ortogonal yo‘nalishda bir tekis cho‘zilgan. Kuchlanish intensivligi koeffitsientini baholash kerak. Makro darajadagi yoriq silliq to‘g‘ri chiziqli kesma ko‘rinishiga ega bo‘lganligi sababli, THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 88 chiziqli yemirilish mexanikasining klassik yechimidan foydalanib va faraz qilib, quyidagilarni hosil qilamiz: ( ) ( ) ( ) ( ) 1/2 112 32, 32 2 f xl p Kll   + + =+ 21 3 1 3 , , , , 2 2 2 2 l l xl Fl  − +  +   bu yerda ( ) 21 , ; ;F a b c x – gipergeometrik funksiya. Olingan ifodani o‘zgartirish uchun ( ) 21 , ; ;F a b c x funksiya xususiyatidan foydalananiladi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21 , ; ;1 c c a b F a b c c a c b   − − = −  − ( ) 0; 0; 0c a b c a c b− −  −  −  shartda. Natijada 1f K ifoda quyidagi ko‘rinishni oladi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1/ 2 , 21 f l p Kl    − =  + (3) Agar (2) ga 1  = qo‘ysak, bir o‘lchovli kesimga mos keladigan klassik ifodani hosil bo‘ladi, ya’ni: 11 . f K K p l  == Qat’iy p va l uchun (3) bog‘liqlikni tahlil qilib, fraktal o‘lchamning oshishi bilan (mikro darajadagi yoriq konturining notekisligi) kuchlanish konsentratorlari yaqinidagi kuchlanish intensivligi pasayishini ta’kidlaymiz. Olingan xulosa materialshunoslik tamoyillariga to‘liq mos keladi. Fraktal yoriqning sinergetik modelining matematik tavsifiga kasrli integro-differentsial hisoblash nazariyasini qo‘llash. Avvaldan shakllangan yoriqning profilini tavsiflash uchun har bir nuqtada differensiallanmaydigan uzluksiz funksiya bilan tavsiflangan, o‘lchamlari 1<α<2 bo‘lgan fraktal obyektni tanlash kerak. Bu muammoni qisman Hausdorff o‘lchovining matematik ta’rifidan foydalanib, fraktal kesimlarga kasr o‘lchovlarini kiritish orqali hal qilish mumkin. Yagona o‘lchovning mavjudligi integrallashni qo‘llash imkonini beradi; ammo, butun son tartibini integrallash (va differensiallash) ning matematik apparati yetarli bo‘lmaydi, chunki uni kasr tartib o‘lchamlariga ega tuzilmalarni tasvirlash uchun ishlatish juda qiyin. Shu maqsadda yemirilish mexanikasidagi muammolarni yechishda fraktal yondashuvni amalga oshirish imkonini beruvchi kasr hisoblashning differensial apparatiga murojaat qilinadi. Endi navbatdagi masala uchun zarur bo‘lgan kasr integrallari va hosilalarining ta’riflari ko‘rib chiqiladi. n-marta integral uchun formula ma’lum quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ... 1! x x x x n a a a a dx dx x dx x t t dt n  − =− −     isbotini matematik induksiya usuli bilan osongina amalga oshirish mumkin. Shuni ta’kidlash joizki, oxirgi ifodaning o‘ng tomonidagi ( ) ( ) 1!nn− =  ga n ning butun bo‘lmagan qiymatlari uchun ham ma’no berilishi mumkin. Shuning uchun, butun son bo‘lmagan tartibli integrallashni quyidagicha ta’riflash tabiiydir. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 89 ( ) ( ) 1,x L a b   bo‘lsin, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,; x a a t I x dt x a xt     += −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1,; b a x t I x dt x b tx     −= −  (4) Bu yerda α > 0 bo‘lganlar α tartibli kasr integrallari (kasr Riman-Lyuvil integrallari) deb ataladi. Ulardan birinchisi o‘ng, ikkinchisi chap tomondan olinadigan integrallardir. Kasrli differensiallash kasrli integrallashga teskari amal sifatida qaraladi. [a, b] oralig‘ida aniqlangan f(x) funksiya uchun α, 0< α < 1 tartibli kasr hosilalari (Riman-Lyuvill hosilalari) mos ravishda chap va o‘ng tomonli shaklga ega. ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 1 x a a ft d D f x dt dx xt    +=− −  ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 1 b b x ft d D f x dt dx tx    −=− − −  Agar ( )   ( ) ,f x AC a b , u holda ( ) fx funksiyasi deyarli hamma joyda hosilalarga ega ( ) a D f x  + va ( ) b D f x  − , 0< α < 1. Quyidagi 1   holat uchun: agar α butun son bo‘lsa, u holda α tartibli kasr hosilasi oddiy differentsiallash sifatida tushuniladi; agar α butun son bo‘lmasa, u holda ( ) ( ) ( ) ( )   1 1; 1; nx an a ft d D f x dt n n dx xt    +−+  = = +  −  −  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1 1, 1. nnb bn x ft d D f x dt n n dx tx    −−+ − =− = +  −  −  Avval ta’kidlab o‘tilganidek, fraktal egri chiziqlar uchun universal qoplovchi element αo‘lchovli Hausdorff o‘lchovi sifatida belgilangan hajmga ega α-o‘lchovli shar bo‘lishi mumkin (t sharning diametri) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 , bu erda , 2 3. 21 2 h t t           = =   + (5) 12   uchun (5) ifoda sharning α-o‘lchovli ko‘ndalang kesimining yuzi sifatida, 01   uchun esa diametrning α-o‘lchovli uzunligi sifatida qaralishi mumkin. Boshqa tomondan, α-o‘lchovli o‘lchovni (α-1)-o‘lchovining odatdagidek integrallash orqali olish mumkin ( ) ( ) ( ) 1 0 . tdx ht tx    − =−  (4) ifodani hisobga olgan holda, Hausdorff entropiyasi o‘lchovi quyidagicha yozilishi mumkin THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 90 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 11 00 11 . tt dx h t dx I t x t x           + −− =  = =  −−  (6) bu yerda ( ) ( ) 0 I  + - ( ) ( ) ( )       = funksiyasidan α tartibli kasr integralidir. (6) ifodadan kelib chiqadiki, geometrik fraktal obyektning α-o‘lchovli Hausdorff o‘lchovi (α-1)-o‘lchovining kasrli integrallash amali yordamida tuzilishi mumkin. Masshtablash ko‘rsatkichi α o‘lchangan fraktal to‘plamning lokal xususiyatlarini tavsiflaydi. Geometrik jihatdan (6) ifodani quyidagicha talqin qilish mumkin. α o‘lchamli yassi fraktal konturning x o‘qi bo‘ylab (0, t) sohani qaraymiz. (0, t) oralig‘idagi fraktal kesimning “uzunligi” ( ) 1 1 tx  − − − funksiyasi bilan hosil qilingan egri chiziqli trapetsiyaning maydoniga beriladi, boshqacha qilib aytganda, ko‘rib chiqilayotgan konturning notekis kesimining bir necha “tekislanishi” sodir bo‘ladi. Shunday qilib, “tekislash”dan so‘ng, makro darajadagi (0, t) kesma silliq egri chiziq ko‘rinishiga ega bo‘ladi, bu esa chiziqli mexanika doirasida sinish jarayonini tasvirlash uchun haqiqiy yoriqning fraktal modelidan foydalanish imkonini beradi. XULOSA. Taklif etilayotgan fraktal yondashuv “silliqlovchi” entropiya o‘lchovini qurishga asoslanganligi sababli, uni qattiq jismlarning yemirilish mexanikasi masalalarini yechishda qo‘llanilishi fraktal yoriqlarni Evklid fazosiga o‘rnatilgan struktura sifatida ko‘rib chiqishga imkon beradi va shu bilan fazodagi nuqtalar orasidagi masofani aniqlashning hojati qolmaydi, haqiqiy yoriq hosil bo‘lishiga alohida ehtiyoj ham bo‘lmaydi; mikro darajadagi yoriqning fraktal notekisligini “silliqlash” uni makro darajada bir o‘lchovli silliq yoriq sifatida ko‘rib chiqishga imkon beradi va shu tariqa chiziqli mexanikaning qo‘llanilish doirasini real yoriqlarga yaqin bo‘lgan yoriqlarga kengaytirish mumkin bo‘ladi; fraktal yondashuvni ishlab chiqishda kasr hisoblashning integro-differentsial apparatidan foydalanish yoriqning haqiqiy uzunligini baholash uchun ifoda olish imkonini berdi; α-o‘lchovli qoplama konstruktsiyasidan foydalangan holda fraktal konturning “uzunligi” α-1 tartibli funksiya bilan hosil qilingan egri chiziqli trapesiyaning maydoniga beriladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR [1] Шокарев В.С. Уточненный критерий Писаренко-Лебедева для оценки напряженного состояния конструктивных элементов зданий и сооружений [2] Чаусов Н. Г. Особенности разрушения пластичных листовых материалов / Н. Г. Чаусов, А. А Лебедев // Проблемы прочности, 2003, №4. – С. 5-13. [3] Кучеренко И.В., Никитенко А.Ф. обобщенный критерий прочности и его использование в расчетной практике // Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2295–2296 [4] Никитенко А.Ф., Коврижных А.М., Кучеренко И.В. Единый (обобщенный) критерий прочности материалов. Сообщение 1 // Изв. вузов. Строительство. 2006. №11−12. С. 4−11. [5] Никитенко А.Ф., Коврижных А.М., Кучеренко И.В. Единый (обобщенный) критерий прочности материалов. Сообщение 2 // Изв. вузов. Строительство. 2007. №1. С. 33−38. [6] Никитенко А.Ф., Кучеренко И.В. Экспериментальное обоснование обобщенного критерия прочности // Математическое моделирование и краевые задачи: Тр. Седьмой THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 91 Всерос. науч. конф. Ч. 1. Самара. 2010. С. 237−240. [7] Никитенко А.Ф., Резников Б.С., Кучеренко И.В. Предельные нагрузки при неупругом деформировании элементов конструкций // Изв. вузов. Строительство. 2009. №6. С. 83−96. [8] Никитенко А.Ф., Резников Б.С., Кучеренко И.В. Предельные нагрузки при неупругом деформировании элементов конструкций // Изв. вузов. Строительство. 2010. №8. С. 12−20. [9] Латышев О. Г., Корнилков М. В. Направленное изменение фрактальных характеристик, свойств и состояния пород поверхностно-активными веществами в процессах горного производства: научная монография / О. Г. Латышев, М. В. Корнил-ков; Урал. гос. горный ун-т. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2016. – 407 с. [10] Щелокова М.А., Слободян С.Б., Дырда В.И. Фрактальный подход к механике разрушения твердых тел // Щелокова М.А., Слободян С.Б., Дырда В.И., 2018. – 34с. [11] Белов А.В., Неумоина Н.Г. Об использовании обобщенного критерия прочности Писаренко-Лебедева в расчетах на прочность при неизотермических процессах нагружения // International journal of applied and fundamental research №9, 2014 – Pp. 8-10 [12] Васильев А.С. Математическое моделирование и численное исследование композитных материалов в области предельной прочности // Диссертация на соискание ученой степени канд. техн. наук. Комсомольск – на Амуре – 2016. – 165 с. [13] Щелокова, М.А. Исследование фрактальных особенностей вершины трещиноподобного дефекта конструкции / М.А. Щелокова // Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. – Дніпропетровськ: Дніпропетровський національний університет, 2003. – Вип. 7. – С. 134-141. [14] Мосолов, А.Б. Автомодельность и фрактальная геометрия разрушения / А.Б. Мосолов, О.Ю. Динариев //Проблемы прочности. –1988. – № 1. – С. 3-7. [15] Миклашевич, И.А. Микромеханика разрушения в обобщенных пространствах / И.А. Миклашевич. – Минск: Логвинов, 2003. – 194 с. [16] Литвинский Г.Г. Аналитическая теория прочности горных пород и массивов. – Монография/ДонГТУ. –Донецк: Норд-Пресс, 2008. – 207 с. [17] Матвиенко, Ю. Г. Модели и критерии механики разрушения / Ю.Г. Матвиенко. – М.: Физматлит, 2006. – 328с. [18] Орешко Е.И., Ерасов В.С., Гриневич Д.В., Шершак П.В. Обзор критериев прочности материалов // ТРУДЫ ВИАМ №9 (81) 2019, DOI: 10.18577/2307-6046-2019-0-9-108-126 [19] Anarova Sh.A., Samidov M.N., Qarshiyeva S.B. Investigation of strength criteria for constructions with complex structures in urban planning // Science and innovation international scientific journal volume 4 issue 10 october 2025 issn: 2181-3337 | scientists.uz – Pp. 88-95