НЕЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ СЛОЯ ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ ДНОМ

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 172 НЕЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЙ СЛОЯ ЖИДКОСТИ НАД ТВЕРДЫМ ДНОМ Ш.Р. Сеттиев Университет Перфект, Узбекистан https://doi.org/10.5281/zenodo.17725918 Аннотация. В данной работе изучается вопросы волнообразование на свободной и донной поверхностях. Рассматривается математическая модель течений вязкой несжимаемой жидкости по наклонной плоскости под действием силы тяжести над песчаным дном. Анализ нелинейной неустойчивости течения проводится на основе теории нелинейной гидродинамической неустойчивости. Ключевые слова: угол наклона, число Фруда, песчаное дно, гидродинамическая неустойчивость, нейтральные кривые, наносы, уравнение Навье-Стокса, коэффициент сопротивления. Abstract. This paper studies the issues of wave formation on free and bottom surfaces. Mathematical model of viscous incompressible fluid currents along inclined plane under action of gravity above sand bottom is considered. The analysis of nonlinear flow instability is based on the theory of nonlinear hydrodynamic instability. Keywords: inclination angle, Froude number, sand bottom, hydrodynamic instability, neutral curves, sediments, Navier-Stokes equation, drag coefficient Введение. Математическое моделирование играет главную роль при изучении гидродинамики природных процессов, Важными и в теоретическом и прикладном аспектах являются вопросы проектирования и стабильной безопасной эксплуатации гидротехнических сооружений. В связи с этим особый теоретический и практический интерес представляет численное моделирование течений в реках и каналах, а также в бороздах с размываемым песчаным дном. При таких течениях главную роль играет число Фруда Fr . При достаточно больших скоростях происходит размыв песчаного дна и течение становится хаотическим (турбулентным). При спокойном течении также наблюдается переформирование песчаного дна. Образующиеся в таких течениях волновые структуры по механизму формирования и своим характеристикам подразделяется на две группы. К первой относятся волновые движения, связанные с наличием свободной поверхности потока. Они существуют и при течении жидкости над недеформируемым дном. Эти волны формируются при достаточно больших числах Fr . При небольших скоростях жидкости, при которых число Фруда существенно меньше критического значения c Fr , но достаточно для начала движения донных частиц в узком придонном слое или во взвешенном состоянии, возможно возникновение волновых структур второго типа. Следует отметить, что механизм неустойчивости, ведущий к образованию поверхностных или донных волн, также вызывает деформирование другой границы потока. Здесь и далее неустойчивость означает гидродинамическую неустойчивость, т.е. неустойчивость по отношению к малым возмущениям. В работе [1] было изучена математическая модель задачи течении вязкой THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 173 несжимаемой жидкости по наклонной плоскости над песчаным дном на основе линейной теории гидродинамической неустойчивости. При этом задача сведена к отысканию собственных значений. Исследованы вопросы волнообразования на свободной и донной поверхностях жидкости при малых числах Фруда. Определены области неустойчивости течений при любых числах Фруда. Полученные результаты сравнивались с экспериментальными данными и с результатами других авторов по данной теме. Эти результаты позволяют определить области неустойчивости песчаных и поверхностных волн при различных значениях свободных параметров. Но нам пока неизвестно, как ведет себя амплитуда возмущений, как изменятся поверхностные и песчаные волны со временем. Для этого нам необходимо изучать поведения амплитуды возмущения со временем. Чтобы решить эти вопросы изучим волнообразования в течениях над песчаным дном на основе нелинейного анализа теории гидродинамической устойчивости. При анализе нелинейной неустойчивости нам приходится иметь дело с нелинейными членами, которых в предыдущей работе пренебрегали. Постановка задачи и методы решение. Основная система уравнений которое получена в работе [1] ( ) )1( 1 )()( )( 0 )()( 2 )( cos sin 2 )( cos 22 2 2 22 2                  −=   +   +   − =   +   +   =   +   +   + −  + −=   +   +   + + −  + −=   +   +   bs y xb b bs b b q y q x q t h p q y hs x suh sh t y h x uh t h h uu y hh Fryx u t Frh uu x hh Fry u x u u t u            с определяющими соотношениями для q и bs q 2() 0.37 1 5.75 lg 2 tan 2 np sb Fr w h qg kd          − = − −   2 2 2 22 () 0.65 0.00144 1 bs B p Fr u Bs qu he     −  + = + −   −  где c c gH U Fr = - число Фруда,  - коэффициент сопротивления, 22 1.8 p w Bu  =+ и s p   = . В системе (1) 5 уравнений 5 неизвестных shhu b,,,,  . Система (1) имеет следующее стационарное решение THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 174 1)(,0)(,0,1 0000 ==== sb hhu  (2) которое соответствует течению слоя постоянной толщины c H над деформируемым дном. Это решение существует при выполнении равенства 2 sin 2  = Fr Выражения для 0 s получаем из соображения, что стационарное решение удовлетворяет последним двум уравнениям системы (1) т.е. 0= bs q , ( ) 2 0 0.00114 1 exp B p Fr sB  − =− (3) где 0 s задает концентрации взвешенных наносов или, иначе говоря, мутность потока. Для исследования нелинейной устойчивости течения (2), (3) искомое решение (1) в нестационарном случае представляется в виде: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tyxhhtyxhtyxtyxtyxuutyxu bbb ,,)(,,,,,,,,,,,, 101010 +=+=+=  ( ) ( ) tyxssstyxhhh ,,,,, 1010 +=+= (4) где 1,1)(,1,1,1 11111  shhu b  -малые возмущения. Исследование в такой постановке весьма затруднительно и требует объемной вычислительной работы, поэтому мы моделируем в одномерной постановке. Итак, ограничиваемся рассмотрением задачи в одномерной постановке, т.е. искомые функции зависят только от ),( tx . Это может быть применено для задач, в которых по ширине нет перетока, т.е. ( ) 0,, =tyx  поэтому остаются неизвестные функции ( ) ( ) ( ) ( ) txhtxstxhtxu b,,,,,,, , кроме того 0,0,0 =   =   =   y h y h y ub (т.е. по ширине размыв поверхности происходит равномерно одинаково). Тогда система уравнений (1) примет вид: ( ) ( )              −=   +   − =   +   +         +   =   +   +   +−  + −=   +   bs xb b bs b q x q t h p q x s uh t s h x uh t h s x u h x h u t h Frh u x hh Frx u u t u 1 )5( )( 0 sin 2 )( cos 2 2 2    с определяющими соотношениями для q и bs q . Соотношения для х q : THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 175 x h u w kd h uuFrqb p nх  −        −−−=    37.0 lg 2 75.51)( 2 (6) где 6.0 4.1         = n u k  , а соотношения для bs q имеет вид: , 1 00144.0 2 65.0 22 u e Bs h uFr qB p bs         − −= −   (7) где u w Bp  8.1= . Предполагается, что в начальный момент задаются глубина потока, скорость течения, донная поверхность и концентрация взвешенных наносов в потоке жидкости. Для функций ( ) ( ) ( ) ( ) txhtxstxhtxu b,,,,,,, имеем следующие начальные условии: ( ) ( ) ( ) ( ) )(0,),(0,),(0,),(0, 0000 xhxhxsxsxhxhxuxu bb ==== (8) В качестве граничных условий примем периодичность по x искомых функций, ( ) ( ) ( ) ( ) ),(,2),,(,2 ),,(,2),,(,2 txhtxhtxstxs txhtxhtxutxu bb =+=+ =+=+   (9) Для решения системы уравнений (5) с начальными (8) и граничными (9) условиями обратимся к спектральным методам Галеркина. Известно, что когда граничные условия являются периодическими, целесообразно искомые функции разложить в Ряды Фурье в виде: ,)(exp)(),( inaxtatxf N Nn na  −= = (10) где )(tan коэффициенты разложение в ряд Фурье и Nnaa n n,...,2,1, == − . n a− означает комплексное сопряжение. Так что искомые функции будут нестационарными, периодическими по x с волновым числом  . Для того чтобы выполнить условия (8) в начальный момент необходимо знать коэффициенты разложения n a в ряд Фурье. Так как по условию (8) начальный момент задается функции, то по известной функции через быстрое преобразование Фурье находим его коэффициенты разложения. ,)(exp)0()0,( 0inaxaxf N Nn na  −= = THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 176 .)exp()0,( 2 0 0dxinaxxfa an  =  Положив 0 )0( nn aa = , обеспечивается выполнение начальных условий. Результаты и обсуждение. Изучение волнообразования на донных и свободных поверхностях жидкости привело к необходимости отдельного изучения поведения поверхностных волн на рассматриваемой математической модели. Исследуем математическую модель в случае твердого недеформируемого дна. Этот случай часто называет классическим случаем, так как в этом случае изучается только поведение поверхностных волн. Численные результаты показали, что несмотря на малость амплитуды поверхностная волна стремится к опрокидыванию. Этот частный случай можно реализовать, принимая consthb= (донная поверхность не меняется со временем), 0,0,0 === bs qqs , (отсутствуют взвешенные и влекомые наносы и, соответственно, вертикальный массообмен между ними) в основных уравнениях рассматриваемой системы. В этом случае система (5) имеет вид:        =   +   +   +−   −=   +   )12(0 sin 2 cos 2 2 2 x u h x h u t h Frh u x h Frx u u t u    После подстановки ( ) ( ) ( ) ( ) txhhtxhtxuutxu ,,,,, 1010 +=+= система (12) преобразуется в систему где неизвестными являются малые возмущении 1 u и 1 h . Таким образом полученную систему относительно 1 u и 1 h с учетом периодичности граничных условий решаем псевдоспектральным методом Галеркина. В работе [1] показано, что в этом случае критическое значение числа Фруда определялось по соотношению )13( 2 111 1     −+= FrFr i Fr c   Если угол наклона 1  , то критическое число Фруда 2 c Fr . Неустойчивость течения следует при .2 c Fr В нелинейном анализе проведенные численные расчеты действительно подтвердили что неустойчивость течение начинается при .2 c Fr Кроме того несмотря на малость амплитуды возмущений, поверхностные волны разрушаются (рис. 1). THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 177 Рис. 1. Изменение свободной поверхности h и амплитуды max h при разных безразмерных t , начальному состоянию соответствует 0=t . Чтобы проанализировать это явление, мы рассмотрели фазовые скорости каждой гармоники, участвующей в разложении (рис. 2). Скорость Cn для каждой n – й гармоники определяли по формуле , 1 dt dP nN Cn n− −=      − + =dt da a dt da a aadt dP nr ni ni nr ninr n 22 1 , где )()()( tiatata ninrn+= . Действительная часть комплексной частоты обычно определяет фазовую скорость. Эту характеристику определяет действительная часть, n a , т.е. nr a . Целесообразно будет в таких случаях рассмотреть еще и спектры гармоник, т.е. энергетические характеристики. 2 )( kkASP = , где )(kA - амплитуда гармоник, k - номер гармоники (рис.3). Рис. 2. Фазовые скорости гармоник. k c –фазовая скорость, k –номер гармоник, t –безразмерное время THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 178 Рис. 3. Спектр гармоник. SP –спектр гармоник, k –номер гармоник, t –безразмерное время Заключения Полученное аналитическое выражение (13) согласуется с результатами работ [4,5,6], где подтверждается, что неустойчивость течения начинается при .2Fr Кроме того, в этих же монографиях показано опрокидывание поверхностной волны с малой амплитудой. Это объясняется нелинейностью уравнений и негидростатичностью давления на поверхности волны. Для этого в основное уравнение вводится дисперсионный параметр [2,3,4] и при достаточно больших значениях этого параметра получает гладкие решение. Надо отметить, что в этих монографиях рассмотрены большие значения числа Фруда c FrFr  и большие уклоны дна. При анализе фазовой скорости выявлено, что фазовая скорость второй моды отличается от других В монографии [4] тоже отмечено такой случай, что и подтверждает наши численные расчеты в нелинейном анализе, так как в рассмотренном случае с твердым дном полученные результаты (для фазовых скоростей каждого гармоники) показывают, что фазовая скорость ( ) 1−N -й гармоники (это соответствует второй гармонике) отличается от фазовых скоростей других гармоник (рис. 2.). Усиление или ослабление возмущений объясняется внутренними свойствами течения. Если амплитуда волны возрастает, как )exp( tci формально она может превзойти любую заданную величину, но в действительности этого не происходит так, как с увеличением амплитуды усиливается нелинейные взаимодействия возмущений, возбуждается более короткие волны, изменяется среднее течения. В результате перераспределения энергии волновое возмущения может стабилизироваться со временем и в слое установиться квазистационарное периодические течения с постоянной характерной амплитудой [6]. Эту утверждению нетрудно заметит на рис. 1. где амплитуда возмущение стабилизируется. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 179 Литература 1. Aripov М., Rajabov J. and Sеttiev SH. - About one of the mathematical models of viscous flow incompressible fluid above sandy bottom. “Journal of Physics: Conference Series”, 2021. 2. Гаврилова К.Н. - Гидравлический прыжок в наклонных каналах. Журнал “Сибирские электронные математические известия”, 2008. 3. Гаврилова К.Н. - Влияние дисперсии и топографии на динамику тонкого слоя жидкости. Журнал “Прикладная механика и теоретическая физика”, 2004. 4. Ляпидевский В.Ю., Тешуков В.М. - Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Издательство “СО РАН”, 2000. 5. Уизем Дж. - Линейные и нелинейные волны. Издательство “Мир”, 1977. 6. Шкадов В.Я. - Некоторые методы и задачи теории гидродинамической устойчивости. Издательство “МГУ”, 1973.