IKKINCHI TARTIBLI HOSILASI KVADRATI BILAN INTEGRALLANUVCHI FUNKSIYALAR FAZOSIDA KVADRATUR FORMULANING EKSTREMAL FUNKSIYASI

512 IKKINCHI TARTIBLI HOSILASI KVADRATI BILAN INTEGRALLANUVCHI FUNKSIYALAR FAZOSIDA KVADRATUR FORMULANING EKSTREMAL FUNKSIYASI Ulikov Shukurillo Shavkatovich Oriental universiteti katta oʻqituvchisi [email protected] Annotatsiya: Ushbu ishda, (2) 2(0,1)W -fazosida yaʼni 2-tartibli umumlashgan hosilasi   0,1 kesmada kvadrati bilan jamlanuvchi funksiyalar fazosida optimal kvadratur formulani qurishni koʻrib chiqamiz. Bundan tashqari, chiziqli uzluksiz funksionalning umumiy koʻrinishi toʻgʻrisidagi Riss teoremasidan foydalanib, kvadratur formulaning xatolik funksionali ekstremal funksiyasini topish oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masala yechishga keltiriladi. Bu chegaraviy masalani yechish orqali kvadratur formulaning xatolik funksionalining ekstremal funksiyasining koʻrinishi olinadi. Kalit soʻzlar: Kvadratur formula, ekstremal funksiya, xatolik funksionali. Abstract: In this paper, letʼs consider constructing an optimal quadrature formula in the (2) 2(0,1)W -space i.e. in the space of functions whose generalized derivative of order 2 is summed by its Square in the cross section   0,1 . Furthermore, using Reesʼs theorem on the general appearance of a linear continuous functional, finding the errorfunctional extreme function of a quadrature formula is brought to solve the boundary problem for Ordinary Differential Equations. By solving this boundary problem, a representation of the extreme function of the error functional of the quadrature formula is obtained. Keywords: Quadrature formula, extreme Function, Error functional. Kirish. Masalani qoʻyilishi. Odatda amaliy masalalarni aniq integralni hisoblashga keltirilganda, ishning eng qiyin qismi allaqachon ortda qolganligini aytishimiz mumkin. Bundan tashqari, agar integral ostidagi funksiya ()fx ga teng boʻlsa, uning boshlangʻichini ()Fx funksiya elementari sifatida ifodalash mumkin boʻlsa, unda aniq integralning qiymatini ushbu ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a=−  formuladan foydalanib osongina olish mumkin. Amalda, bu baʼzan sezilarli qiyinchiliklarga olib kelishi mumkin, chunki integral ostidagi funksiyaning boshlangʻichi ()Fx juda murakkab koʻrinishga ega boʻlishi mumkin. Bu usul mutlaqo yaroqsiz boʻlib chiqishi mumkin, agar (bu tez-tez sodir boʻladi) funksiyasi ()Fx elementar funksiyalar orqali ifodalanmaydi. Alohida maxsus funksiyalar uchun ularning qiymatlari jadvalga kiritilgan, boshqa hollarda, aniq integral integralni u yoki bu turdagi qatorlarga yoyish orqali hisoblanishi mumkin. 513 Baʼzan baʼzi aniq integrallarni kompleks oʻzgaruvchining funksiyalari nazariyasidan foydalanib hisoblash mumkin. Agar ushbu usullar mos boʻlmasa, u holda aniq integralning qiymati raqamli integratsiya formulalari deb ataladigan formulalar yordamida raqamli tarzda hisoblanishi mumkin, yaʼni kvadratura formulalari. Kvadratura usuli koʻp hollarda boshqa usullarga nisbatan kamroq hisoblash kuchini talab qiladi. Ayrim integrallarning qiymatlarini eng yuqori aniqlikda va arzon narxlarda taxminiy hisoblash hisoblash matematikasining dolzarb muammolaridan biridir. Qaralayotgan funksiyalar sinfida kvadratur formulaning maksimal xatoligi kvadratur formulalar nazaryasining muhim masalasi hisoblanadi. Biz quyidagi koʻrinishda kvadratur formulani qaraymiz [1-2] ( ) ( ) 1 0 0 1( ) [ ] N х dx k h      =   bu yerda   k  - (1) kvadratur formulaning hozircha nomaʼlum koeffitsiyentlari, 1 / ,hN= N− natural son, integral ostidagi ( ) x  funksiya (2) 2(0,1)W fazoga tegishli. Bunda (2) 2(0,1)W fazo bu birinchi tartibli hosilasi absolyut uzluksiz va ikkinchi tartibli hosilasi 2(0,1)L ga tegishli barcha funksiyalar sinfi. Ushbu (2) 2(0,1)W fazo ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 22 0 ,. W dх d х d х d х dx dx dx dx dx       =  +     (2) skalyar koʻpaytmaga nisbatan Gilbert fazosi boʻladi. Bu yerda (2)- skalyar koʻpaytma yordamida ( ) ( ) 1 222 2 1 2 0 d x d x dx dx dx         =+           (3) aniqlanadi. (1)-kvadratur formulaning xatoligi deb ( ) 1 0 0 ( ) [ ] N x dx k h      = −  (4) ayirmaga aytiladi va bu ayirmaga (2) 2(0,1)W fazosida aniqlangan quydagi xatolik funksionali mos keladi ( ) [0,1] 0 ( ) ( ) [ ] , N x i x k x h     = = − −   (5) bu yerda [0,1] ()ix -[0,1] kesmaning xarakteristik funksiyasi, )(х  -Dirakning deltafunksiyasi. Odatda, ()х funksionalning ()х  funksiyadagi qiymati quyidagicha aniqlanadi ( ) , ( ) ( )x x dx   − =  . (6) 514 (6) tenglikka asosan, (5) formulani etiborga olib, (4) ayirma haqiqatdan ham, ()х xatolik funksionalining ()х  dagi qiymati ekanligiga ishonch hosil qilamiz, yaʼni ( ) ( ) ( ) [0,1] 0 , ( ) ( ) ( ) [ ] N x x dx i x k x h x dx         = − −  = = − −  =      ( ) ( ) ( ) 1 [0,1] 00 0 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] . NN i x x dx k x h x dx x dx k h            == − = − −  = −   Demak, ( ) 1 0 0 ( , ) ( ) [ ] N x dx k h       = =−    (7) kvadratur formulaning (7) xatoligi (2) 2(0,1)W fazosida chiziqli funksionalni aniqlaydi, bu yerda (2) 2 W fazo (2) 2 W fazoga qoʻshma fazo. U holda, Koshi-Shvars tengsizligidan xatolikning absolyut qiymati yuqoridan quyidagicha baholanadi: (2) (2)* 22 ( , ) | (0,1) | (0,1)WW   Bu tengsizlikdan biz (1) kvadratur formulaning (7) xatoligi ()х xatolik funksionalining (2) 2 (2)* 2(2) ,0 2 | (0,1) 1 ( , ) | (0,1) ( , ) | (0,1) sup sup W WW      = ==   normasi orqali baholanishini xulosa qilamiz. Yuqoridagi tengsizlikdan koʻrinadiki, (4) xatolikning absolyut qiymatini yuqoridan baholash uchun, (5) xatolik funksionalining normasini topish talab etiladi. Buning uchun esa mos ekstremal funksiyani aniqlash kerak. Quyida aynan shu ekstremal funksiyani aniqlash masalasini qaraymiz. Ushbu masalani yechish uchun, exstremal funksiya taʼrifidan foydalanamiz. Maʼlumki, Koshi-Shvarts tengsizligini tenglikka aylantiruvchi ()Ux  funksiyaga ekstremal funksiya deyiladi, yaʼni (2)* (2) 22 ( , ) (0,1) (0,1) .U W U W=   (8) )1,0( )( 2 m W Gilbert fazosida chiziqli uzluksiz funksionalning umumiy koʻrinishi haqidagi Riss teoremasidan foydalanib quyidagini yozamiz. (2)* (2) 22 (0,1) (0,1) .W U W=  ( 9 ) Shuningdek, (8) va (9) dan quyidagi xulosaga ega boʻlamiz: 2 (2)* 2 ( , ) (0,1) .UW=   ( 10 ) Boshqa tomondan, xuddi shu teorema boʻyicha, (2) 2(0,1)W fazoning har qanday ()x  elementi uchun ushbu tenglikni olamiz ( , ) , ,U  =  bu yerda 515 ( ) ( ) ( ) ( ) 22 1 22 0 ,dх d U х d х dU х U dx dx dx dx dx     =  +      . ( 11 ) Aytaylik, ()x  funksiya (2) 2(0,1)W fazoga tegishli cheksiz differensiallanuvchi funksiya boʻlsin, yaʼni. ( ) ( ) ( ) 0,1 .xC    (11) tenglikning oʻng tomonini boʻlaklab integallab quyidagini hosil qilamiz (4) (2) ( ) ( ) ( ).U x U x x−=   (12 ) ( ) (3) (1) 1 ( ) ( ) 0, 0 x U x U x x = −= =  (13) (2) 1 ( ) 0. 0 x Ux x == =  (14) Teorema 1. (12)-(14) chegaraviy masalaning yechimi (1) kvadratur formulaning (5) xatolik funksionali ekstremal funksiyasi boʻlib, quyidagi koʻrinishga ega. 20 ( ) ( )* ( )U x x x P  =+  , bu yerda 2() 22 xx signx e e xx  −  − =−   (1 5 ) ushbu 42 42 dd dx dx − differensial operatorning fundamental yechimi, 1, 0, 0, 0, 1, 0, x signx x x    ==  −  0 P -ixtiyoriy oʻzgarmas son. Xulosa. Shunday qilib, biz ushbu ishda (2) 2(0,1)W fazoda optimal kvadratura formulasini qurishni koʻrib chiqdik. Bundan tashqari, kvadratura formulalarining ekstremal funksiyasini topdik keying ishlarimizda xatolik funksionalining normasini koʻrinishini topishni amalga oshiramiz. . Foydalanilgan adabiyotlar 1. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. – М.: Наука. 1974. 808 с. 2. Соболев С.Л., Васкевич В.Л. Кубатурные формулы. - Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1996. - 484 с. 3. Рамазанов М.Д. Теория решетчатых кубатурных формул с ограниченным пограничным слоем. – Уфа, 2009. - 178 с. 4. Шадиметов Х.М., Нуралиев Ф.А., Уликов Ш.Ш., Абдукайимова Г.А., Квадратнормы функционала погрешности квадратурных формул в факторизованном пространстве Соболева –Проблемы вычыслительной и прикладной математики, Ташкент N-4(34) 2021.