IFS USULI ASOSIDA JAKKARD GAZLAMA NAQSHLARIGA RAQAMLI ISHLOV BERISHNING FRAKTALLI MODELLARINI ISHLAB CHIQISH

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 141 IFS USULI ASOSIDA JAKKARD GAZLAMA NAQSHLARIGA RAQAMLI ISHLOV BERISHNING FRAKTALLI MODELLARINI ISHLAB CHIQISH Sh.A. Anarova1, M.Sh. Bekmurodova2 1,2 Muhammad al-Xorazmiy nomidagi TATU, Toshkent, O‘zbekiston https://doi.org/10.5281/zenodo.17739992 Annotatsiya. Ushbu maqolada jakkard gazlamalar xususiyatlari va ularni ishlab chiqarish texnalogiyasi tavsif qilingan. Jakkard gazlamalariga raqamli ishlov berishda fraktal naqshlarni qo‘llashning ahamiyati va samaradorligi tahlil qilingan. IFS ning affin transformatsiyasi usuli asosida fraktal naqsh hosil qiluvchi tenglamalar qurilgan. Shu tenglamalar yordamida asosi aylanadan iborat geomatrik shakl bo‘lgan fraktal naqsh hosil qiluvchi fraktal model ishlab chiqilgan. Dasturiy muhit yordamida n ta iteratsiyaga ega fraktal naqshlar olingan. Hosil bo‘lgan fraktal naqshlarni gazlamalarga moshlashtirish modellari ishlab chiqilgan. Kalit so‘zlar: fraktal naqsh, IFS usuli, rekursiya, mashtablash, burish, ko‘chirish, logarifmik zichlik. KIRISH. Fraktal naqshlar Jakkard gazlamalarida ishlatilganda, ular nafaqat estetik jihatdan chiroyli bo‘ladi, balki matoning strukturasini va sifatini ham boyitadi. Jakkard texnologiyasi bu naqshlarni yaratishda yuqori darajada moslashuvchanlikni ta’minlaydi, bu esa dizaynerlarga yangi va innovatsion uslublarni yaratish imkonini beradi. Jakkard gazlamasi o‘ziga xos tuzilishga ega bo‘lgan to‘qimachilik materiali bo‘lib, unda turli rangli iplar asosida murakkab naqshlar yaratiladi. Bu gazlama naqshli matolarni ishlab chiqarish uchun maxsus Jakkard to‘quv mashinasi yordamida ishlab chiqariladi. Fransuz ixtirochisi Jozeph-Marie Jakkard 1804 yilda jakkard to‘quv mashinasini ixtiro qilib, to‘qimachilikning naqshli tuzilishini yaratishga imkon bergan va to‘qimachilik sanoatiga inqilobiy o‘zgarishlar kiritgan [1]. Jakkard to‘quv mashinasi keng imkoniyatlarga ega bo‘lib, matoning har bir ipini alohida boshqaradi. Bu esa juda murakkab va detalga boy naqshlar yaratish imkonini beradi. Ranglarning ko‘pligi va naqshlarning murakkabligi tufayli jakkard gazlamalari ko‘plab rangli va geometrik tasvirlarni o‘z ichiga olishi mumkin. Jakkard gazlamalarning jakkard brokadi, jakkard atlasi, jakkard shifoni kabi turlari mavjud bo‘lib, ular turli sohalarda: pardalar, choyshablar, poyabzallar, kiyim-kechaklar ishlab chiqishda qo‘llaniladi [2,5,6]. To‘qimachilikda to‘quv dizayni ko‘pincha IFS va L-tizimlari usullari tomonidan o‘zigao‘zi o‘xshashligini hisobga olgan holda amalga oshiriladi. To‘qimachilik naqshli dizaynida fraktal tasvirlarning dizayni va qo‘llanilishini ikki qismga bo‘lish mumkin. Ulardan birinchisi to‘g‘ridanto‘g‘ri to‘qilgan naqsh dizayni sifatida yaratilgan tasvirlardan foydalanish. Ikkinchisi - rasmlardan to‘qimachilik naqsh dizaynining elementi sifatida foydalanishdir. Ko‘pincha gul turlarining klassik tartibga solinishi ikki tomonli uzluksizligi, to‘rt tomonli uzluksizlik va tarqoq permutatsiya yo‘li bilan amalga oshiriladi. MATERIALLAR VA USULLAR. Fraktal tuzilishlarni hosil qilishning usullaridan biri iteratsion funksiyalar tizimi (IFS-Iterated Funksion Systems) 1980-yillarning o‘rtalarida ishlab chiqilgan. Iteratsion funksiyalar tizimi fraktal shakllarni generatsiyalashning keng tarqalgan THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 142 usullaridan biri, shu bilan birga IFS siquvchi affin almashtirishlar to‘plamidir [3,10,13]. IFS usulining matematik jihatlari Jon Xatchinson tomonidan ishlab chiqilgan. Jorjia texnologiya instituti matematigi Maykl Barnsliyning izlanishlari orqali IFS usuli keng tarqaldi [4,11]. Ko‘pgina masalalarni matematik o‘rganish uchun nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi, shuningdek natijalarni umumlashtirish uchun ushbu yondashuv yaxshi natija beradi. Fraktallarni qurish tartibi ya’ni bir to‘plamdan boshqa to‘plamga o‘tish iterativ jarayon hisoblanadi. Har bir bosqichda oldingi bosqichdan olingan to‘plam transformatsiyalanadi. Bu jarayonni rus olimlari L.M. Pererva va V.V. Yudin quyidagi algoritm orqali ifodalashni taklif etgan [11]: 11, 2,...( ), i i i E T E i − == (1) bu yerda, 1 () ii TE − - transformatsiyalar, i - amalga oshiriladigan qadamlar soni, 10 () i EE − - boshlang‘ich ixcham to‘plam. Takrorlash jarayonining har bir bosqichida bir xil turdagi transformatsiyalar amalga oshiriladi. Har bir qadamda, turli xil o‘zgarishlar quyidagicha tavsiflanadi: 1 ( ) ( ). n j j T E T E = = (2) Ushbu formula Xatchinson o‘zgarishlari (transformatsiyalari) deyiladi. Xatchinson o‘zgarishlari elementar transformatsiyalarni tanlash orqali har xil tuzilishdagi fraktallarni qurishga imkon beradi. Shuni ta’kidlash kerakki, agar oldindan belgilangan dastlabki ixcham to‘plam 0 E tanlash orqali 1 () ii TE − - transformatsiyalardan olingan natija butunlay mustaqil bo‘ladi. L-tizimlar usuli bir necha tillarning yetarli darajada oddiy grammatikasi bo‘lib, ular ustida turli muhitlar yordamida inisiator va almashtirishlarni bayon etuvchi Logo tilining analogik vositalaridir (tekislikda va fazoda oddiy geometrik shakllarni mumkin bo‘lgan almashtirishlarini aksiomatik bayon etish) [8,10]. “F” - α yo‘nalishda h qadam oldinga iz qoldirib; “f” - α yo‘nalishda h qadam oldinga iz qoldirmay; “+” - β burchak ostida (soat strelkasi bo‘yicha) o‘ngga burilish; “-” - β burchak ostida (soat strelkasi bo‘yicha) chapga burilish; “[“ - (x,y,α) boshlang‘ich holatini xotiraga saqlab qolish; “]” - oxirgi saqlanganlarni holati (x,y,α) ni eslab qolish. “&” - bir dаrаjа tepаgа kо‘tаrish; “^” – bir dаrаjа pаstgа tushish; “\\” - bir dаrаjа sоаt yо‘nаlishi bо‘yichа аylаntirish; “/” - bir dаrаjа sоаt yо‘nаlishigа teskаri аylаntirish; “|” - 180 dаrаjа burish (vertikal); “"” - jоriy uzunlikni qаdаm kаttаligi о‘lchоvi bilаn kо‘pаytirish; “!’ - jоriy qаlinlikni qаlinlik о‘lchоvida kо‘pаytirish; “;” - joriy burchаkni burchаk о‘lchоvida kо‘pаytirish; “_” - jоriy uzunlikni qаdаm о‘lchаmlаri о‘lchоvigа bо‘lish. L-tizimlar usuli yordamida ko‘pgina aniq o‘xshash fraktallarni qurish mumkin, ya’ni Kox qor tomchisi, Serpin uchburchaklari, Peano egri chiziqlari va boshqa murakkab qurishlar ham amalga oshiriladi [10,11,13]. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 143 NATIJALAR VA MUHOKAMA. Aylana ichkiga chizilgan uchburchaklardan iborat murakkab geometrik shaklni IFS affin transformatsiyalari yordamida rekursiv o‘zgartiramiz va n ta takrorlashda biz turli naqshlarni olamiz. Faraz qilaylik, k C aylananing va unda 6 ta nuqtani birlashtiruvchi chiziqlardan iborat geomatrik shaklning geometrik modelini ishlab chiqaylik. 1) Boshlang‘ich shakl chizmasining amaliy formulalarini hisoblanadi: 22 cos , sin . 33 k k k C   =  , 1(cos ,sin ), 3 k m k m m QC  =+ bu yerda 0 60 ( 0...5). mmm  =  = 2) (1) formuladagi Xatchinson rekursiv funksiyasi qo‘llanilib, 𝑓 𝑖(𝑇𝑛−1(𝐸)) aylana va undagi 6 ta nuqta va chiziqlar ham masshtablangan va ko‘chirilgan holda iteratsiyalanadi: a) b) 4-rasm. a) Boshlang‘ich geometrik shakl, b) geometrik shaklning birinchi iteratsiyadagi ko‘rinishi Bunday holda, aylana ichidagi uchburchakning uchlari keyingi iteratsiyada kichik doiralarning markazlarini tashkil qiladi. n takrorlashda simmetrik asosli murakkab fraktal naqsh hosil bo‘ladi (5-rasm). 0 F 1 F 2 F 4 F 5-rasm. Iteratsiyaning dastlabki to‘rtta qadami uchun hosil qilingan fraktallar Ushbu jarayon uchun rekursiv funksiyalar quyidagicha hosil qilinadi: 1 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),F f F f F f F f F f F f F=      2 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),F f F f F f F f F f F f F=      … 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). n n n n n n n F f F f F f F f F f F f F − − − − − − =      0 , n n FF  = =U THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 144 10 1 () m n i n i F f F F − = = U . 0 F sifatida i=0 holat uchun quyidagi dastlabki geometrik shaklni tanlab olamiz va rasmdagi 0 F , 1 F , 2 F , 4 F natijalarni hosil qilamiz: Ikki o‘lchovli IFS 2 dan 2 ga o‘tuvchi n ta chekli sonli funksiyalar to‘plamidir. Ushbu tizim 2 funksiyalar to‘plami bo‘lib, u Xatchinsonning rekursiv to‘plam tenglamasining statsionar nuqtasi hisoblanadi:   12 , ,..., n F F F F= , 22 : i F→ Har bir i F transformatsiya affin va nochiziqli funksiyalar kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi. ( , ) . i i i j i i i a b e x T x y c d f y      =+           (4) Barnsley tomonidan amalga oshirilgan funksiyalar i F chiziqli ko‘rinishga ega texnik jihatdan ular affinning xususiyatiga ega bo‘lib, har biri masshtablash, burish, ko‘chirish va akslantirishni ifodalashga qodir bo‘lgan 2x3 matritsa orqali ifodalanadi: ; ( , ) . i i i i i i i a x b y c F x y d x e y f ++  =++  (5) Fraktal fleym IFS usulining kengaytirilgan ko‘rinishidir. Fraktal fleym algoritmi mohiyatan IFS g‘oyasiga asoslanadi [4,11]. Ushbu jarayonda tasvirni hosil qilish uchun variatsiya turlari va “Chaos Game” deb ataluvchi stoxastik algoritm markaziy o‘rin tutadi. Ushbu algoritmlarni umumlashtirish munkin, bunda birinchi qadam sifatida faqat affin funksiyalar emas, balki funksiyalarning kengroq sinfidan foydalaniladi. Buning uchun 2 dan 2 ga o‘tuvchi j V nochiziqli funksiyani affin funksiyalar bilan kompozitsiyalanadi: ; ( , ) . i i i ij ii a x b y c F x y V d x e y f ++  =++  (6) Har bir shunday funksiya j V variatsiya deb ataladi. Variatsiyalarni yanada umumlashtirish mumkin, bunda butun parametr j o‘rniga aralash vektor ij v qo‘yiladi va har bir variatsiya uchun bitta koeffitsiyent belgilanadi. ; ( , ) . i i i i ij j ji i i a x b y c F x y v V d x e y f ++  =++   (7) Gazlama naqshlari uchun tasvir takrorlanadigan bo‘lishi zarur. Hosil qilingan tasvir gazlama naqshi sifatida qo‘llanishi uchun cheksiz takrorlanadigan ko‘rinishga keltiriladi. Takrorlanadigan transform texnikasi naqshning chegarasida uzluksizlikni ta’minlaydi. Buning uchun (x,y) koordinatalarini katak min max ( , )xx min max ( , )yy ga normallashtirib, modul operator bilan o‘raladi: THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 145 min max min xx uxx − =− , min max ; min yy vyy − =− (8) mod1uu = , mod1vv = So‘ngra naqsh qayta moslashtiriladi: min max min ()x x u x x  = + − , min max min ( ).y y v y y  = + − (9) Natijada naqshlar cheksiz mozaika ko‘rinishida joylashadi. Bu esa gazlamani loyihalashda qo‘llaniladi. Gazlama cho‘zilishini kompensatsiya qilish. Gazlama ishlab chiqarishda cho‘zilish faktorlarini hisobga olish kerak. Gazlama to‘qish jarayonida yuzaga keladigan cho‘zilish va deformatsiyalarni bartaraf etish uchun cho‘zilish transformatsiyasini qo‘llash mumkin. Bu bosqich naqshning real gazlamada to‘g‘ri aks etishini ta’minlaydi. Agar cho‘zilish matritsasi quyidagicha bo‘lsa: 0. 0 x y s Ms  =  (10) Unda kompensatsiya uchun teskari transformatsiya qo‘llanadi: 11/ 0 . 0 1/ x y s Ms − =  (11) Nuqta markazga nisbatan o‘zgartiriladi: 1. cc cc x x x xMy y y y − −      =+      −      (12) Bu orqali ishlab chiqarishdagi deformatsiyalarni oldindan kompensatsiya qilish mumkin. To‘quv iplarini moslashtirish hosil qilingan fraktal tasvirni toʻqimachilikdagi tikuv mashinasining tikuv jarayoni va mavjud ip palitrasi bilan mos keladigan ko‘rinishga aylantirish jarayonidir. Bundan maqsad ekranda ko‘ringan fraktal tasvirning haqiqiy material (ip, tolali tekstura) ustida xuddi shunday ko‘rinish berishini ta’minlash hisoblanadi. Bunda olingan fraktal tasvir mashina rezolyutsiyasiga moslashtiriladi ya’ni tasvirdagi piksellar bir yoki bir necha to‘quv ipi bilan ifodalanadi. Buning uchun logarifmik zichlik funksiyasini qo‘llash mumkin. Logarifmik zichlik va rang bo‘yicha akkumulyatsiya. Generatsiya qilingan nuqtalar histogram asosida yig‘iladi va log-zichlik funksiyasi yordamida normallashtiriladi. Shu bilan birga, nuqtalarning rang bo‘yicha akkumulatsiyasi amalga oshiriladi, bu esa naqshning estetik qirralarini kuchaytiradi. Har bir generatsiya qilingan nuqta histogramda yig‘iladi: 1 ( , ) ( , ). N kk k H x y x x y y  =  = − −  (13) Logarifmik zichlik normalizatsiyasi qo‘llanadi: ( , ) log(1 ( , )).I x y H x y=+ (14) Bu esa tasvirni vizual jihatdan boy qiladi. Rang akkumulatsiyasi har bir funksiya i F ga rang i C biriktiriladi. Iteratsiyada C akkumulatsiya qilinadi: 1(1 ) . k i k C C C  += + − (15) THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 146 Jakkard to‘quv jarayoniga moshlashtirgan holda quyidagiga ega bo‘lamiz: log(1 ) . log(1 max) C BC   + =+ (16) bu yerda c - bir to‘quv katagiga tushgan piksellar soni,  - kontrast nazorat koeffitsiyenti. Har bir piksel to‘quv katagi kombinatsiyasiga aylantiriladi. 6-rasm. IFS usulida hosil qilingan fraktal naqshlarning gazlamalardagi vizualizatsiyasi Yakuniy gazlama uchun fraktal naqsh yuqoridagi algoritmlarni bir biriga moslashtirib ketma-ket bajarish orqali hosil qilinadi. L-tizimlar usulidan foydalanib Tubbutoq fraktalini aksiomatik ishlab chiqamiz. Aksioma: F Qoida: F[+FF][-FF]F[-F][+F]F Burchak: 36° W0 = F[+FF][-FF]F[-F][+F]F, W1 =F, W2 = W1(W0), W3 = W2(W1), … Wn = Wn-1(Wn-2). 1-qadam F 2-qadam F[+FF][-FF]F[-F][+F]F 3-qadam F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[+F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F] [+F]F][-F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[-F [+FF][-FF]F[-F][+F]F][+F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F 4-qadam F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[+F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F] [+F]F][-F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[-F [+FF][-FF]F[-F][+F]F][+F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[+F[+FF][-FF]F[- F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F[+F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F] [+F]F][-F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[-F [+FF][-FF]F[-F][+F]F][+F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F][-F[+FF][-FF]F[- F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F[+F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[F][+F] F][-F[+FF][-FF]F[-F][+F]FF[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[-[+FF][-FF]F[- F][+F]F][+F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F[-F[+FF][- FF]F[-F][+F]F][+F[+FF][-FF]F[-F][+F]F]F[+FF][-FF]F[-F][+F]F Quyidagi natijaga ega bo‘lamiz (7-rasm). THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 147 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 7-rasm. Tubbutoq fraktal naqshlarning n ta iteratsiyada hosil qilinishi L-tizimlari usuli qoidasiga asosan “+” - o‘ngga, “-” - chapga burilish belgilashlari kiritilgan va bu burilishlar ma’lum burchak graduslari asosida amalga oshiriladi. Yuqoridagi zigzag naqshidagi burilish parametrlariga qo‘shimcha burchak parametri  ni kiritsak, bunda “+  ” ni o‘ngga, “-  “ ni chapga burish deb ifodalash mumkin. Endi, zigzag naqshidagi qayrilishni ifodalash uchun diametri d ga teng bo’lgan o‘ngga qayriluvchi yarim aylana d R , chapga qayriluvchi yarim aylana d L larni quyidagicha ifodalash mumkin: ( ) ; k dd RF   → + + (17) .() k dd LF   → − − (18) bu yerda d qiymati sin( / 2 )dk   va  esa /2k  . Misol uchun, k = 10 bo‘lsa, har bir  + qabul qilish 9 gradusga buriladi. Bunda k ning qiymati oshirilishi orqali d R yarim aylananing shakli aniqlikka yaqinlashadi. Shuni ta’kidlash kerakki, bu yerda R va L buyruqlari oddiy “turtle graphics” dasturidagi o‘ngga va chapga burilish buyruqlari emas. Keyingi o‘rinlarda d R ni mos ravishda «+», d L ni esa «–» bilan belgilash mumkin. F belgisini ma’lum bir masofa, masalan L bo‘yicha oldinga harakatlanish deb olinsa, oldinga harakatlanish uchun ikkita alohida FF belgisini qabul qilamiz. Takrorlangan belgilar uchun esa ko‘paytirish belgisini ishlatish mumkin, masalan, 4 ta F ni belgilash uchun 4F deb qabul qilamiz. Ya’ni F4 = FFFF. Endi zigzag naqshining teskari yo‘nalishini manfiy daraja bilan bergilansa, 11 ... kk cc −− ni 1 )( ... kk cc − ko‘rinisida belgilash mumkin bo‘lganidek, 1 ()  − − ni  + , 1 ()  − + ni esa  − deb olamiz. Xuddi shuningdek, 1 d L− - d R , 1 d R− esa d L bo‘ladi, 1 F− oddiygina F ning teskarisi bo‘ladi. Lindenmayer qoidasiga asosan 1... k F c c→ bo’lsa, unga 11 1 ( ... ) k ccF−− → bo‘ladi (bu yerda 1 F− belgisi alohida ramz sifatida qaraladi). Rekursiyadan foydalanib yagona zigzag tasvirini chizishda, boshlang‘ich va oxirgi nuqtalar orasidagi masofa L ga teng bo‘lishi uchun quyidagi tenglama kerak bo‘ladi: 4 3 4 4 4 3 L s s s s s s s s s s s s F F R F F L F R F F L FF−− = − + (19) bu yerda 2 / 8sL= (umumiy qoida sifatida 2 / 8s L N= ). THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 148 8-rasm. N = 1,2 zigzag naqshining yo‘nalish chiziqlari Lindenmayer yondashuvida o‘lchov parametrlarini tashlab yuboramiz va atamani n marta qoida qo‘llash (rekursiya darajasi n) orqali kengaytirib yuborish mumkin. Bu yerda yarim doiralar diametri qo‘shni F bosqichlarining uzunligiga teng bo‘lishi nazarda tutiladi. 8-rasmdagi N=1, N=2 va N=3 holatlari uchun formulalar quyidagicha ifodalanadi: 22 4 4 4 8 66 2 2 2 2 44 66 6 6 6 3 4 2 4 4 6 6 4 6 6 6 36 () () 1 2 ) 3 ( N F F R FL RF LF N F FR LF RF FL FR F L RF LF N F FR LF F R FL RF FL FR LF RF FL R F LF −− − − − − − − − − −− = → − + = → − + = → − + F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Bunday formulalar zigzaglarni o‘qitish uchun oson. Har bir F4 - bu «zig» va har bir F-4 - bu «zag» ni ifodalaydi. 9-rasmda qabul qilingan mo‘ljal bo‘yicha, «zig» yuqoriga harakat qilsa, «zag» esa pastga harakat qiladi. Boshqa barcha elementlar zig va zagni hosil qiladigan sikllarni quradi. 9-rasm. Naqshdagi zig va zag yo‘nalishlar Ushbu naqshlarning to‘quv jarayonida to‘g‘ri tesellatsiya (to‘quv jarayonida iplar joylashuvida bo‘sh joy qolmasligi) qilinishini ta’minlash uchun har bir katakchada ikki diagonal zigzag naqshini chizish kerak. Shunday qilib, ular 12 8 ga (ingichka iplar uchun), 12 16 ga (o‘rta qalinlikdagi iplar uchun) va 12 24 ga (qalin iplar uchun) qisqaradi. Umuman olganda, ular 12 8N ga qisqaradi. Rekursiyaning ta’siri 10-rasmda ko‘rsatilgan. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 149 10-rasm: Fraktal chiziqli zigzag naqshining n = 2 rekursiyadagi ko‘rinishi XULOSA. IFS va L-tizimlari usullari asosida gazlama naqshlariga raqamli ishlov berish natijasida fraktal tuzilishli naqshlarni modellashtirish samaradorligi aniqlandi. Ushbu yondashuv yordamida naqshlarning o‘z-o‘ziga o‘xshashligi, murakkabligi va estetik uyg‘unligi yuqori darajada saqlanadi. Tadqiqot jarayonida IFS va L-tizimlar algoritmlari orqali naqsh elementlarini takroriy transformatsiyalar asosida yaratish, ularning masshtablanish xususiyatlarini matematik modellashtirish imkoniyati ko‘rsatildi. Fraktal modellarni qo‘llash gazlama dizaynida yangi, takrorlanmaydigan geometrik kompozitsiyalar hosil qilishga imkon berdi. Natijada, ushbu usul zamonaviy raqamli to‘qimachilikda avtomatlashtirilgan naqsh generatsiyasi uchun istiqbolli yo‘nalish sifatida tavsiya etiladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Казарновская Г.В.*, Пархимович Ю.Н., Балашов П.Е.. Автоматизированное проектирование модельных переплетений для жаккардовых тканей по мотивам слуцких поясов. Беларусь 2020. -С. 1-8. 2. Дзембак Н. М. Конструирование жаккардовых тканей. Учебное пособие. СанктПетербург 2018. -C. 5-8. 3. Barnsley M.F., Lyman P.H. Fractal image compression. Vol. 366. Wellesley: AK peters, 1993. -P. 18-23 4. Iasef M.R., Mario S. Fraktal-Based Generative Design of Structural Trusses Using Iterated Function System. Multi-science publishing co. 2014. doi.org/10.1260/0266-3511.29.4.181. 5. Lisha L., Xiaoxia S. Process Realization of Fractal Pattern in Computer Jacquard Knitting Fabric. China 2016. -P. 20-26. 6. Yanyan G. Research and application of fractal geometry in clothing pattern design. Shanghai. Shanghai university of engineering science. Shanghai, P R. China 2011. -P. 1-4. 7. Lisha L., Xiaoxia S. The technological achievement of Morocco porcelain pattern on knitted jacquard fabrics. China 2016. -P. 108-110. 8. Lindenmayer A. The Algorithmic Beauty of Plants // Springer-Verlag, New York. 2004. -P. 240 .