НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОТ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ ЖЕСТКОГО ШАР В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 194 НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ ОТ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ, РАСПОЛОЖЕННОЙ ВБЛИЗИ ЖЕСТКОГО ШАР В УПРУГОМ ПРОСТРАНСТВЕ А.М.Шукуров1, А.У.Жабборов1, Э.А.Мусурмонов1, М.О.Мусурмонова2 1 Каршинский государственный университет, Karshi, Uzbekistan 2 Шахрисабзский государственный педагогический институт, Шахрисабз, Uzbekistan https://doi.org/10.5281/zenodo.17740335 Аннотация. В работе рассматривается задача о распространении нестационарных поперечных волн от сферической полости вблизи жесткого шара в упругом пространстве. Для решения задачи использовались интегральное преобразование Лапласа по безразмерному времени и метод неполного разделения переменных. В пространстве изображения задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, решение которой ищется в виде бесконечных рядов по экспонентам. Для коэффициентов рядов получены рекуррентные соотношения и начальные условия для них, что позволяет получить решение бесконечной системы без использования метода редукции. Получены формулы для компонент вектора перемещений и тензора напряжений. Переход к оригиналам осуществляется с помощью теории вычетов. Были проведены численные эксперименты, результаты которых представлены в виде графиков. Ключевые слова: сферическая полость, жесткий шар, преобразование Лапласа, изображение, бесконечная система, рекуррентные соотношения, упругая среда, напряжение, перемещение, нестационарная волна. Abstract: The paper considers the problem of propagation of unsteady transverse waves from a spherical cavity near a rigid sphere in an elastic space. To solve the problem, the integral Laplace transform with respect to dimensionless time and the method of incomplete separation of variables were used. In the image space, the problem is reduced to solving an infinite system of linear algebraic equations, the solution of which is sought in the form of infinite series in exponentials. For the coefficients of the series, recurrence relations and initial conditions for them are obtained, which allows one to obtain a solution to an infinite system without using the reduction method. Formulas for the components of the displacement vector and the stress tensor are given. The transition to the originals is carried out using the theory of residues. Numerical experiments were carried out, the results of which are presented in the form of graphs. Keywords: spherical cavity, rigid ball, Laplace transform, image, infinite system, recurrence relations, elastic medium, stress, displacement, non-stationary wave. Введение. Математическое моделирование и исследование нестационарных волновых процессов в сплошных средах представляет собой сложное и, вместе с тем, актуальное направление волновой динамики механики деформируемого твердого тела. Актуальность проблем волновой динамики деформируемых тел обусловлена развитием различных областей техники, созданием новых конструкций, работающих при динамических нагрузках, а также проблемами геофизики, сейсмологии, нефтеразведки, добывающей промышленности, строительства гражданских и промышленных сооружений. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 195 В настоящее время существует большое количество научных работ, посвященных исследованию распространения и дифракции волн в сплошных средах. Например, В работе [1] предложена трехмерная методика моделирования ударно-волновых процессов, как в жидкостях, так и в твердых телах, а также для моделирования задач взаимодействия жидкости и конструкции. Используется трехмерное и зависящее от времени решение задачи Римана, что обеспечивает второй порядок аппроксимации по времени и пространству в области гладких решений. Приведены результаты численного моделирования процессов удара ледяных фрагментов по титановой пластине, разгона продуктами детонации деформируемых упругопластических тел различной формы и прокалывания алюминиевой пластины стальными ударниками. В статье [2] построен метод решения краевой задачи для эллиптического пограничного слоя, возникающего в тонкостенных оболочках вращения при ударах нормального типа по лобовым поверхностям. Предлагаемый в работе метод решения уравнений эллиптического пограничного слоя основан на использовании асимптотического представления образов решения Лапласа (по времени) в экспоненциальной форме и представлен численный расчет нормального напряжения на основе полученных аналитических решений для случая сферической оболочки. В монографии [3] приведены результаты систематических исследований по проблеме нестационарного взаимодействия тонкостенных и сплошных деформируемых тел сферической формы с упругими и акустическими средами. Распространение нестационарных волн сдвига от сферического включения в упругом полупространстве изучено в работе [4]. Получены формулы для компонент вектора смещения и тензора напряжения. В [5] исследованы стационарные колебания подземного трубопровода, вызванные косым падением плоской сейсмической волны. Показано, что косая волна может быть представлена в виде нескольких продольных и поперечных волн, распространяющихся вдоль трубопровода с большими скоростями. Приведена постановка связанной задачи совместных продольных колебаний упругого грунта и трубопровода. Решения для трубопроводов в сверхзвуковом и дозвуковом режимах демонстрируют различный характер их поведения, что следует учитывать при сейсмических расчетах. Данная работа посвящена изучению задачи о распространении нестационарных поперечных волн от сферической полости, расположенной вблизи жесткого шар в упругом пространстве, а также разработке алгоритма решения задачи и исследованию нестационарных поперечных волновых процессов в упругом пространстве. Постановка задачи. Пусть в бесконечной линейно-упругой однородной изотропной среде расположена сферическая полость радиуса 1 R вблизи жесткого шара радиуса 2 R , расстояние между центрами, которых равно l , где 12 l R R+ . Движение среды рассматривается в двух сферических системах координат ( r ,   ,   ), начальные точки O которых находятся соответственно в центрах полости и шара ( 1,2= ). В начальный момент 0= времени к внутренней поверхности сферической полости приложена осесимметричная заданная касательная поверхностная нагрузка 11 ( , )q , что образует вращательное движение среды вокруг оси, проходящей через центры сфер 11 11 11 ( , ) rrR q =  =   . (1) На поверхности шара перемещение равно нулю THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 196 222 0 rR w== . (2) С учётом осевой симметрии задачи движение среды относительно потенциала  описывается волновым уравнением 2 2 2 sinr      =   −   , (3) 2 22 11 sin sin r r r r r                    = +               , 1,2= , где точками обозначено дифференцирование по времени. Начальные условия – однородные 00 0 = =  =  = . (4) На бесконечности отсутствует возмущение lim 0 r→ = . (5) Метод решения. Начально-краевая задача решается с применением интегрального преобразования Лапласа по времени  и методом неполного разделения переменных. В пространстве изображений Лапласа решение волнового уравнения разыскивается в виде бесконечного ряда по полиномам Гегенбауэра 32 1(cos ) n C−  2 32 1 2 1 11 sin ( ) ( ) (cos ) LL n n n n A s K r s C r   +  −  = =    = −    , где 12() n Kx + - модифицированные функции Бесселя второго рода; () L n As  - неизвестные функции параметра s . С использованием теоремы сложения [6] задача сведена к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений, которую запишем в виде системы матричных уравнений. Решение системы матричных уравнений ищется в виде бесконечных рядов по экспонентам. Получены рекуррентные соотношения для коэффициентов бесконечных рядов и начальные условия к ним. Рекуррентные соотношения позволяют определить все элементы в виде рациональных функций параметра преобразования Лапласа s , что позволяет вычислить их оригиналы, следовательно, и оригиналы коэффициентов ряда для компонент перемещения и напряжения среды с использованием теории вычетов [7]. В пространстве изображений найдены выражения для коэффициентов рядов компонент смещений и тензора напряжений: 3 2 1 ( , ) ( ) L nn w r s D r s r      = −  , 4 3 ( , ) ( ) L r n n r s D r s r        =  , ( , ) , , 0 1 ( , ) ( ) ( ) () rs Ln nm nm ijk n i j k D r s R r s a s e rs  −   =   =  +   ( , ) 1 1 ( ) ( ) ( ) p l s i j k nm np ijk p G r s S s a s e x y z  −  − − −  =  +    , 3,4m= ; 2 mod 1 =  + , 1,2= . Результаты и обсуждение. Для примера рассматривается нестационарные THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 197 поперечные колебания упругого пространства со сферической полостью и жестком шаром в стальной ( 10 20.1 10A= Pa, 0.3= , 3 7800 /kg m= ) упругой среде. Расстояние между центрами полости и шара равно 3.5l= . В условии (1) в качестве закона изменения заданной касательной нагрузки по времени выбиралась функция Хэвисайда 1 1 0 ( , ) ( )q q H  =  , 01q= и безразмерные параметры принимались равным значениям 11.0R= , 21.5R= , 0.2875= , 1.0= . Числовые результаты получены с учётом семи членов рядов по полиномам Гегенбауэра. Результаты численных экспериментов представлены в виде графиков изменения компонент 11 r  тензора напряжения и 1 w вектора смещения по безразмерному времени  . На рис. 1 представлены графики изменения тангенциального 11 r  напряжения по времени в точках среды: 11.2r= , 14 =  (сплошная кривая), 11.5r= , 14 =  (штриховая кривая) и 11.8r= , 14 =  (точечно-штриховая кривая). Рис. 1. Рис. 2. На рис. 2 построены кривые, характеризующие изменения компоненты 1 w перемещения от времени в различных точках среды: 11.2r= , 14 =  (сплошная кривая), 11.5r= , 14 =  (штриховая кривая) и 11.8r= , 14 =  (точечно-штриховая кривая). Графики показывают, что с приходом волны появляется скачок. С увлечением расстояния 1.2, 1.5, 1.8r= уменьшаются скачки. Графики демонстрируют влияние отраженных от жесткого шара волн на напряженно-деформированное состояние среды. Из графиков видно, что напряжение и перемещение равны нулю до момента прихода первой упругой волны. Для моментов 5 нестационарное состояние среды практически переходит к стационарному состоянию. Заключение. Разработан алгоритм решения задачи о нестационарных поперечных волнах от сферической полости, расположенной вблизи жесткого шара в упругом пространстве. Получены численные результаты, которые представлены в виде графиков. Полученные результаты работы могут быть использованы в области геофизики, сейсмологии и проектных организаций при строительстве сооружений, а также при THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 198 проектировании подземных резервуаров. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Abuziarov M. H., Glazova E. G., Kochetkov A. V., and Krylov S. V., On New Method and 3D Codes for Shock Wave Simulation in Fluids and Solids in Euler Variables based on a Modified Godunov Scheme, WSEAS TRANSACTIONS on FLUID MECHANICS, 2023, Vol. 13, pp. 173 - 192. DOI: 10.37394/232013.2023.18.17 2. Kirillova I.V., "Elliptic Boundary Layer in Shells of Revolution under Surface Shock Loading of Normal Type," Mech. Solids. 2024, Vol. 59, No.5, pp. 2686-2693. DOI: 10.1134/S0025654424604397 3. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В. Нестационарная аэрогидроупругост тел сферической формы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.–мат. лит, 1990. – 264 с. 4. Горшков А.Г., Тарлаковский Д.В., Шукуров А.М. Распространение нестационарных волн сдвига от сферического включения в упругом полупространстве // Известия РАН, МТТ., № 6. – 2004. – С. 62–68. 5. Исраилов М.Ш., «Действие косой сейсмической волны на подземный трубопровод», Механика твердого тела, т. 57, вып. 5, с. 1006-1015 (2022) DOI 10.3103/S0025654422050089 6. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. – Минск: Наука и техника, 1968. – 584 с. 7. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1987. – 688 с.