TRANSVERSIAL-IZOTROP PLASTINALARDA MAGNETO-ELASTIK TEBRANISHLARNING SONLI MODELI VA HISOBLASH TAJRIBALARI

THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 635 TRANSVERSIAL-IZOTROP PLASTINALARDA MAGNETOELASTIK TEBRANISHLARNING SONLI MODELI VA HISOBLASH TAJRIBALARI Nuraliev Faxriddin Murodillaevich1, Tojiev Nuriddin Shukur oʻgʻli2 1Muhammad al-Xorazmiy nomidagi Toshkent axborot texnologiyalari universiteti, t.f.d., 2Raqamli texnologiyalar va sun'iy intellektni rivojlantirish ilmiy-tadqiqot instituti, tayanch doktorant https://doi.org/10.5281/zenodo.17814583 Annotatsiya. Ushbu maqolada transversial-izotrop plastinalarning tashqi magnit maydon ta’sirida yuzaga keladigan magneto-elastik tebranishlari R-funksiya usuli yordamida modellashtirilgan. Tadqiqotda plastina materialining transversial-izotrop xossalari, elastik va elektromagnit o‘zaro ta’sir jarayonlari inobatga olingan. Magneto-elastik muvozanat tenglamalari asosida R-funksional formulalar tuzildi va ularning sonli yechimlari kompyuter yordamida tahlil qilindi. Olingan natijalar plastina qalinligi, elastik modullar nisbati hamda magnit induksiya zichligining o‘zgarishi tebranish chastotasiga sezilarli ta’sir ko‘rsatishini namoyish etdi. Taklif etilgan yondashuv murakkab shaklli konstruktiv elementlarning elektromexanik barqarorligini baholashda va ilg‘or kompozit materiallar dinamikasini o‘rganishda qo‘llanishi mumkin. Kalit so‘zlar: transversial-izotrop plastina, magneto-elastik tebranish, R-funksiya usuli, sonli modellashtirish, elektromagnit maydon, differensial tenglamalar, tebranish chastotasi, kompozit materiallar. Ushbu ishida Gamilton-Ostrogradskiy variatsiyali tamoyili asosida plastinaning chiziqli matematik model keltirib chiqarilgan[2]. Plastinaning harakat tenglamasini ishlab chiqishda koʼchishning oʼzgarish qonunlari sifatida Temoshiko gipotezasidan foydalanamiz 00 1 2 3 ( , , ) ( , , ), ( , , ) ( , , ), ( , , ). '' w J w J u u x y t z x y t u v x y t z x y t u w x y t x G y G   = − + = − + =  (1) Bu yerda: ,,u v w − ko‘chish: ,  − burchak Gamilton-Ostrogradkiy variatsion tamoyilining umumiy ko‘rinishi [2]. 0; (2) t (δK δΠ +δA)dt =−  Bu yerda: δ− variatsiya hosilasi, К – kinetik energiya, П – potensial energiya, А – tashqi hajm va sirt kuchlari bajargan ishi. Kinetik energiyaning oʼzgarishini hisoblashda quyidagi munosabatdan foydalanamiz: Variatsiya ostidagi kinetik energiyaning umumiy koʼrinishi: 33 1 1 2 2 ; t t V uu u u u u Кdt dVdt t t t t t t              = + +           (3) Bu yerda: ρ – materialning zichligi; 1 2 3 ,,u u u − ko‘chish, V− hajmi, t− vaqt. THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 636 Variatsiya ostidagi kinetik energiyaning vaqt buyicha bo‘laklab integrallaymiz.Natijada variatsion kinetik energiyaning umumiy koʼrinishi hosil boʼldi: 00 22 0 0 0 0 22 2 2 2 2 2 3 00 2 2 2 2 2 ( ) ( ) '' ( ) ( ) ' ' ' ' ( ) ( ) ( ' ' 12 t x y t JJ u v w Kdt h h u h h v h w t G t t G t t J J J J uv h h h h dxdy G t G t G t G t JJ u v w h h h u h h v h t G t t G t t                                 = + + + + +            + + + + −            − + + + + −        4 3 4 2 2 2 2 22 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 ) 12 ( ) ( ) ' ' ' ' t x y w h w w x t y t J J J J uv h h h h dxdydt G t G t G t G t          −+           + + + +        (4) (1) Gamilton-Ostrogradskiy variatsin tamoyiliga asosan , ikkinchi navbatda variatsion potensial energiyaning umumiy ko‘rinishini hisoblab chiqamiz.Bu yerda biz quyidagi ketma ketlikdagi amallarni bajaramiz. Variatsion potensial energiyaning umumiy ko‘rinishi: , x x y y xy xy V П dV         = + +   (5) bunda: ,, x y xy    − deformatsiyalar, ,, x y xy    − kuchlanishlar. Koshi munosabatiga koʻra chiziqli deformasiya elementlari tenzor koʻrinishidan va (1) Temoshinko gipotezasidan foydalanib quyidagilarga ega boʻlamiz. Variatsion potensial energiyaning formulasiga ifodadagi ,, x y xy    - larni keltirib quyamiz. Bu yerda: ,, x y xy MMM - egilish va buralish momentlari; ,, x y xy N N N - normal va urunma kuchlari. Variatsiya ishi.Elektromagnit kuchlarni hisobga olgan holda tashqi kuchlar bajargan variatsion ishning umumiy koʼrinishi. NatiNatijada quyidagi (18) variasion potensial energiyaning umumiy koʻrinishi hosil boʻldi: 00 '' 00 '' 2 11 22 11 22 11 ( ) ( ) ( 22 x x xy x xy x xy yx xy y y xy y xy y xy xy y xy xy x xy M J J ww П N u N v M w M N N dy x x y G G MM JJ w N v N u w w M N N dx x y y G G N N N M Nuv x y y x x y                     = + − + − + + +         + + + + − + + −           − + + + +           2 2 22 0 0 0 0 ' ' ' ' ) (6) 11 ( ) ( ) 22 y x xy y xy x M Mw xy N N N J N J J J dxdy G x G y G y G x      + + +       + + + +       THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 637 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7) ( ) ( ) ( ) x y z t t v x zx y zy z zz z t y x x xx y xy z xz x t y z x yx y yy z yz Adt X K u Y K u Z K u dvdt q T u q T u q T u dxdydt P T u P T u P T u dzdydt F T u F T u F T u                  = + + + + + +   + + + + + + +   + + + + + + +   + + + + + +     y t x z dzdxdt    tashqi kuchlar bajargan ishning variasiyasiga mos ravishda oʻrinlarni almashtirib va tegishli amallarni bajarib, shuningdek oʻxshash hadlarni ixchamlash orqali biz quyidagi ifodaga ega boʻlamiz: 0 ( ) ( ) ' 0 ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) (8) 0 ( ) ( ) ' x x x x y y y y z z Px Txx Px Txx J Adt R q T u R q T x zx x zx G t t x y J R q T v R q T R q T w dxdydt y zy y zy z zz G ww z q T z q T dxdydt x zx y zy xy txy z J N N u N N G               = + + + + + + + +         + + + + + + + + + + + + −     − + + + +       + + + + 0 ( ) ( ) ( ) ' 00 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '' Py Txy Py Txy Pz Txz Fx Tyx Fx Tyx Fy Tyy Fy Tyy Fz Tyz J N N v N N N N w dydt G ty x JJ N N u N N N N v N N N N w dxdt GG tx y           + + + + + + +     + + + + + + + + + +    Hosil boʼlgan Variatsiya potentsial energiya, kinetik energiya hamda ish variatsiyasini (2) formulaga keltirib qoʼyamiz va umumiy harakat tenglamasi hosil qilamiz. Shu bilan birga boshlagʼich va chegaraviy shartlarni ham keltirib oʼtamiz. 22 0 22 22 0 22 22 2 2 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 2 10 '2 10 '2 0 12 12 ' xy x xx y xy yy xy y x zz N JN u h h R q T x zx G x y tt NN J v h h R q T y zy G y x tt MM M w h w h w h R q T z zz xy t x t y t x y JJ u hh GtG                 + + + + + + + =     + + + + + + + =        − − + + + + + + + =         +  2 00 2 2 ' ' 2 22 0 0 0 0 2 2 2 ' ' (9) 10( ) 0 2' ' 10( ) 0. ' 2 ' ' xy x xx y xy yy J N J N J R q T x zx x y G t G G J NN J J J J v h h R q T y zy G y x G t G t G G                   + + + + + + =     + + + + + + + =    bunda ,,u v w − plastinaning egilishlari; h− plastinaning qalinligi; 11 22 12 ,,M M M − egilish va buralish momentlari; 11 22 12 ,,N N N − normal va urunma kuchlar, THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 638 , , , , , x y z x y z R R R    − elektromagnit maydon va hajmiy kuchlari; , , , , , zx zy zz x y z T T T q q q − sirt kuchlarini tashkil etuvchilari; , , , , , , Px Py Pz Fx Fy Fz N N N N N N , , , , , Txx Txy Txz Tyx Tyy Tyz N N N N N N − kontur kuchlarini tashkil etuvchilari. Bunda masalalarni echish jarayoni quyidagi bosqichlardan iborat: 1. Nochiziqli xususiy hosilali differensial tenglamalar tizimlarini echishda chiziqlantirish usulini qoʻllash. 2. Berilgan chegaraviy shartlarga mos keladigan koordinata funksiyalari ketmaketligini (echimlar tuzilmalarini) V.L. Rvachevning R-funksiya usuli yordamida qurish. 3. Fazoviy oʻzgaruvchilarga nisbatan diskretizasiya, diskret tenglamalar ya'ni diskret tenglamalarni Nyumark usuli va Bubnov-Galerkin variasion usuli yordamida qurish. 4. Diskret tenglamalarni echish va echimlar tuzilmalarining noma'lum komponentalarini topish. 5. Noma'lum funksiyalarni aniqlash. Plastina oʻrta sirtining tangensial va normal koʻchishlarini aniqlash. Anizotrop plastinalarning magnitelastiklik masalasini echishda hisoblash tajribalari 1-jadval. Chegaralari sharnirli mahkamlanish holatida boʻlgan anizotrop plastinaga elektromagnit maydon kuchlarning ta'sirini baholash x Wмех Wмаг+мех x Wмех Wмаг+мех -2 0 0 2 0 0 -1,9 0,006310 0,007819 1,9 0,006310 0,007819 -1,8 0,010125 0,012547 1,8 0,010125 0,012547 -1,7 0,009253 0,011466 1,7 0,009253 0,011466 -1,6 0,005235 0,006487 1,6 0,005235 0,006487 -1,5 0 0 1,5 0 0 -0,5 0 0 0,5 0 0 -0,4 0,006945 0,008606 0,4 0,006945 0,008606 -0,3 0,012140 0,015043 0,3 0,012140 0,015043 -0,2 0,015631 0,019369 0,2 0,015631 0,019369 -0,1 0,017602 0,021812 0,1 0,017602 0,021812 0 0,018235 0,022596 0 0,018235 0,022596 THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 639 1-rasm. Plastinaning chegaralari sharnirli mahkamlanish holatida boʻlganda, elektromagnit maydon kuchlarning ta'siri Mazkur hisoblash tajribasi xulosasi shuni koʻrsatadiki ularning oʻzaro farqi 19.5% gachani tashkil qildi. Xulosa:Ushbu ikkinchi bobda elektro-magnit maydonda joylashgan murakkab shaklga ega chiziqli tranversial-izotrop plastinalar elektro-manitelastiklik masalasining matematik modeli ishlab chiqildi. Bunda elektro-magnitelastik yupqa tranversial-izotrop plastinaning geometrik chiziqli deformasiyalanish holatiga elektro-magnit maydon ta'sirlari oʻrganildi;GamiltonOstrogradskiy variasion tamoyili asosida Temoshinko gipotezasi, Koshi munosabatlari, Guk qonuni, Maksvell elektromagnit tenzor koʻrinishlaridan foydalanib, potensial energiya, kinetik energiya va tashqi kuchlar bajargan ishning variasion koʻrinishlari aniqlanildi. Natijada koʻchishga nibatan boshlangʻich va chegaraviy shartlarga ega, xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamalar tizimi koʻrinishidagi matematik modeli olindi.Ishlab chiqilgan matematik modeldan telektro-magnit maydonda joylashgan murakkab shaklga ega tranversial-izotrop plastinalarning elektro-magnitelastiklik masalalarini tadqiq qilishda foydalanish mumkin. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Faleh N. M., Abboud I. K., Nori A. F. Nonlinear stability of smart nonlocal magneto-electrothermo-elastic beams with geometric imperfection and piezoelectric phase effects // Smart Structures and Systems. (2020). 25, №. 6, pp. 707–717. 2. Ghazaryan Karen, Piliposyan Davit, Piliposian Gayane. Electro-Magneto-Elastic Coupled Waves in Piezoactive Periodic Structures // Mechanics and Physics of Microstructured Metamaterials. (2019). pp.229-240. 3. Hosseini M., Mofidi M. R., Jamalpoor A., Safi Jahanshahi M. Nanoscale mass nanosensor based on the vibration analysis of embedded magneto-electro-elastic nanoplate made of FGMs via nonlocal Mindlin plate theory // Microsystem Technologies. (2018). 24(5), 2295–2316. 4. Mirzааxmedоv M.K.,Tоjiyev N., Jо’rаyev M. Plаstinаlаr nаzаryаsining rivоjlаnish bоsqichlаri vа аsоsiy qоnunlаri// “Glоbаllаshuv dаvridа fаn, tа’lim vа ishlаb chiqаrishning о’zаrо hаmkоrligi mаsаlаlаri” xаlqаrо ilmiy-аmаliy kоnferensiyа, Jizzаx, 2024 yil 5-6 аprel. 557-560 b. 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025 - 2 - 1 , 5 - 1 - 0 , 5 0 0 , 5 1 1 , 5 2 x W(x,y,t), xϵ[-2;2], y=0, t=1 Электромагнит майдон кучлар таъсири қаралмаган Электромагнит майдон кучлар таъсир қилганда THE VI INTERNATIONAL SCIENTIFIC CONFERENCE “SCIENTIFIC FOUNDATIONS FOR THE USE OF INFORMATION TECHNOLOGIES OF A NEW LEVEL AND MODERN PROBLEMS OF AUTOMATION”, NOVEMBER 20, 2025 640 5. Mirzааxmedоv M.K.,Tоjiyev N. Yupqа plаstinаlаr hаqidа аsоsiy tushunchаlаr vа gipоtezаlаr// “О‘zbekistоndа uchinchi renessаns vа innоvаtsiоn jаrаyоnlаr” xаlqаrо ilmiy-аmаliy аnjumаn, «Hаyоt nаshri-2020» nаshriyоti 2024 yil 24 аprel, Аndijоn. 96-100 b. 6. Nurаliyev F.M., Mirzааxmedоv M.K.,Tоjiyev N.Sh. Sоlutiоn оf the terhmо-electrо-mаgnetоelаstisity prоblems оf thin plаte by cоmplex fоrms// IX Xаlqаrо ilmiy "Аmаliy mаtemаtikа vа аxbоrоt texnоlоgiyаlаrining dоlzаrb muаmmоlаri" - Аl-Xоrаzmiy 2024" kоnferensiyаsi. 2223 оktаbr. Tоshkent.Pp.78-79. 7. Nurаliyev F.M., Mirzааxmedоv M.K., Tоjiyev N., Tоhirоv B. Murаkkаb shаkldаgi yupqа plаstinаlаrni termо-elektr-mаgnit-elаstik chiziqli defоrmаtsiyаlаnish jаrаyоnlаrini hisоblаsh dаsturi. DGU 40911