Uma introdução à teoria da complementaridade na educação matemática

51 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DA COMPLEMENTARIDADE NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA https://doi.org/10.5281/zenodo.15306478 AN INTRODUCTION TO COMPLEMENTARITY THEORY IN MATHEMATICAL EDUCATION BARROS, Luiz Gonzaga Xavier de, Doutor* FRANÇA, Sávio Mendes, Doutor** *Universidade Santa Cecília – UNISANTA Rua Oswaldo Cruz, 277 – Boqueirão, Santos/SP CEP: 11045-907 Tel: (13) 3202-7100 [email protected] **Faculdade de Tecnologia de Praia Grande – FATEC-PG Praça 19 de Janeiro, 144, Boqueirão, Praia Grande/SP CEP: 11700-100 - Tel:(13) 3591-1303 [email protected] RESUMO Na área de Educação Matemática, muitos trabalhos acadêmicos têm como objetivo identificar um entendimento de aspectos epistemológicos do ensino e aprendizagem da Matemática. Algumas pistas para essa busca podem ser encontradas na História e na Filosofia da Matemática, pois por meio do estudo de como ocorreu a construção do conhecimento da Matemática, pode-se compreender melhor o processo de ensino e aprendizagem dessa ciência. O Princípio da Complementaridade na Educação Matemática se transformou numa ferramenta muito eficaz para a interpretação desses aspectos epistemológicos, pois se apropria de conhecimentos da História, da Filosofia e da Semiótica para estudar as relações dinâmicas existentes nos processos de ensino e aprendizagem da Matemática ou na construção do conhecimento matemático. Por fim este artigo tem como objetivo apresentar o Princípio da Complementaridade na Educação Matemática para que, por meio dele, se tenha uma interpretação de como pode ocorrer o ensino e aprendizado de conhecimentos técnicos ou tecnológicos por meio do Princípio da Complementaridade, tomando por base o que já foi feito na Educação Matemática. PALAVRAS-CHAVE: Complementaridade. História da Matemática. Filosofia. Educação Matemática. Educação Tecnológica. ABSTRACT In Mathematics Education area, many academic papers are intended to identify an understanding of epistemological teaching and learning of Mathematics. Some clues to this search can be found in the History and Philosophy of Mathematics, because through the study of how the knowledge construction of Mathematics, one can better understand the teaching and learning process of this science. The Principle of Complementarity in Mathematics Education 52 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 has become a very effective tool for the interpretation of these epistemological aspects because it appropriates knowledge of History, Philosophy and Semiotics to study dynamic relations existing in the processes of teaching and learning Mathematics or in the construction of mathematical knowledge. Finally, this article aims to present the Principle of Complementarity in Mathematics Education so that, through it, a portrayal of how the teaching and learning of Technological or technical knowledge can occur through the Principle of Complementarity, based on what has been done in Mathematics Education. KEYWORDS: Complementarity. History of Mathematics. Philosophy. Mathematics Education. Technological Education. INTRODUÇÃO O Princípio da Complementaridade, em linhas gerais, afirma que, para caracterizar certos fenômenos ou conceitos é necessário apresentar características que, embora aparentemente contraditórias, se complementam para uma descrição completa. Foi apresentado pelo físico Niels Bohr na primeira metade do século XX com o objetivo de oferecer um ponto de vista conciliador na explicação de alguns fenômenos físicos que, quando estudados por meio da Física Clássica, apresentavam representações distintas das obtidas por meio da Física Quântica. O Princípio da Complementaridade na Educação Matemática (PCEM), uma adaptação do Princípio da Complementaridade de Bohr, foi apresentado em 2003, por Michael Friedrich Otte no artigo: “Complementarity, Sets and Numbers”, publicado na revista “Educational Studies in Mathematics Education”. Tem como objetivo mostrar, com o auxílio da Semiótica, a importância da História da Matemática e da Filosofia da Matemática para as pesquisas em Educação Matemática por meio das interpretações das complementaridades existentes na construção ou obtenção dos conhecimentos matemáticos. Desde então, o PCEM tem se mostrado como uma teoria científica e filosófica muito eficaz para a interpretação de fatos ou conceitos da Matemática, da História da Matemática ou da Filosofia da Matemática. Além disto, por meio do PCEM é possível encontrar explicações para aspectos epistemológicos e cognitivos da construção ou do aprendizado do conhecimento matemático. Devido ao fato de apresentar na sua estrutura, simultaneamente, características de ciência e de linguagem, a Matemática pode ser caracterizada como uma atividade semiótica. A relação dinâmica entre ciência e linguagem permite que situações da Educação Matemática possam ser estudadas epistemologicamente utilizando o PCEM. Por exemplo, a Matemática, vista como linguagem, apresenta duas formas: a linguagem geométrica e a linguagem algébrica, as quais são complementares, reflexo da complementaridade que existe na Matemática, vista como ciência, quando observamos a relação dinâmica entre a Álgebra e a Geometria (BARROS e FRANÇA, 2018, p.3). 53 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 1. O PRINCÍPIO DA COMPLEMENTARIDADE DE NIELS BOHR Niels Henrik David Bohr nasceu em 7 de outubro de 1885 em Copenhague na Dinamarca e faleceu em 18 de novembro de 1962, também em Copenhague. Foi um físico cujos trabalhos trouxeram um ponto de vista conciliador entre a Física Newtoniana Clássica e a Física Quântica Moderna, auxiliando assim, na explicação e compreensão de alguns fenômenos atômicos estudados no início do século XX. Em 1923, formulou o Princípio da Correspondência e, em 1927, o Princípio da Complementaridade. Entre os vários prêmios que Niels Bohr recebeu ao longo de sua vida, está o Nobel de Física em 1922. Em 1927, no Congresso Internacional de Física em memória do centenário da morte de Alessandro Volta, realizado na cidade de Como, na Itália, Niels Bohr apresentou pela primeira vez a sua concepção filosófica sobre as formas distintas de interpretação de fenômenos físicos, por meio da Física Clássica e da Física Quântica. A concepção de Bohr tinha como objetivo observar a complementaridade existente entre estes dois ramos da Física. Posteriormente, essa concepção se mostrou mais abrangente do que sua própria intensão inicial, atingindo os variados campos das ciências, como por exemplo, na Biologia, da Psicologia, da Educação entre outros. Ao apresentar o Princípio da Complementaridade, Niels Bohr usou apenas ideias simples para descrever o seu ponto de vista metodológico, sem apelar a aspectos teóricos e matemáticos, mas que tinham como finalidade dar consenso à controvérsia existente entre os pontos de vista de diversos cientistas renomados da época. Essa controvérsia se dava, principalmente, pelo fato de existir naquela época, uma dicotomia no estudo de alguns fenômenos físicos que podiam ser descritos, concomitantemente e de forma distinta, através da Física Clássica e através da Física Quântica. O principal exemplo da dicotomia existente entre a Física Clássica e a Física Quântica, e que foi usado por Bohr em sua apresentação de 1927, se refere à interpretação da propagação da luz dada na época. Tanto a Física Clássica quanto a Física Quântica apresentavam formas distintas de descrição da propagação da luz no espaço. Na interpretação da Física Clássica, dada pelo cientista escocês James Clerk Maxwell (1831 - 1879), o estudo da propagação da luz é realizado através da teoria das ondas eletromagnéticas. Já na interpretação da Física Quântica, o estudo da propagação da luz é feito por meio da teoria da radiação de matéria, mais especificamente pela radiação de partículas fotoelétricas, chamadas na época de quantum e hoje conhecidas como fótons, seguindo o princípio fundamental da Física Quântica do físico e matemático alemão Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858 - 1947). 54 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 Havia desta forma, duas teorias distintas para o estudo da propagação da luz e também existia, na época, a necessidade de contornar essa dicotomia, procurando-se encontrar fatos que levassem à imersão de uma teoria dentro da outra. No artigo “As raízes da Complementaridade”, de Holton (1984), para ilustrar a controvérsia existente entre a Física Clássica e a Quântica naquela época, encontra-se uma citação feita por Albert Einstein (1879 – 1955) em 1924: Agora temos duas teorias da luz, ambas indispensáveis, porém admitamos, sem nenhuma conexão lógica entre si, apesar de vinte anos de enorme esforço dos físicos teóricos (EINSTEIN apud HOLTON, 1984, p.50). Na impossibilidade de uma imersão de uma teoria na outra, Bohr propôs que não devíamos evidenciar a dicotomia existente entre as duas teorias, como no exemplo da propagação da luz, mas que devíamos nos atentar à complementaridade das possíveis interpretações de um fenômeno tanto da Física Clássica quanto da Física Quântica. Em suma, Bohr propôs que, quando é possível, o entendimento dos resultados de um fenômeno pode ser apresentado por meio de um modelo complementar de descrição. Ou seja, ele propôs que existe uma Complementaridade entre as representações da Física Clássica e da Física Quântica. Outro exemplo que também pode ser interpretado pela proposta de Bohr, é obtido na análise da interferência do observador ou dos instrumentos utilizados na observação de um fenômeno, no próprio fenômeno. Por um lado, enquanto na Física Clássica a descrição de um fenômeno sofre pequena interferência do observador ou dos instrumentos utilizados, motivo pelo qual essa interferência é desprezada. Por outro lado, na Física Quântica, tal interferência é relevante e um fenômeno não pode ser interpretado sem que sejam levados em conta a participação do observador ou os instrumentos utilizados, isto é, o observador e seus instrumentos fazem parte do experimento. Existe também o problema das interferências externas de outros fenômenos num fenômeno específico que esteja sendo estudado, como por exemplo, a interferência da luz no estudo do movimento de grandes objetos. Na descrição deste tipo de fenômeno pela Física Clássica, embora exista uma pequena interferência externa de outros fenômenos, isso não é levado em conta, fazendo com que o sistema observado seja considerado fechado, a interferência da luz neste tipo de movimento, em geral, tão pequena que é desprezada. Na descrição de um fenômeno pela Física Quântica, as interferências externas são extremamente importantes e a interpretação de um fenômeno não pode ser feita sem se levar em conta essa interferência, por exemplo, a interferência da luz no estudo do movimento dos 55 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 elétrons de um átomo, torna esse movimento arbitrariamente impreciso e, portanto, a sua participação é extremamente relevante. Segundo Bohr, ambas descrições (a clássica e a quântica) devem ser consideradas verdadeiras apesar de não poderem ser utilizadas ao mesmo tempo. Na Física Clássica, a separação de um fenômeno estudado das interferências externas ou do observador, ocorre naturalmente e o mesmo já não pode ser dito sobre a Física Quântica. Holton (1984) ainda descreve que posteriormente, em 1949, Bohr acrescenta sobre a palestra que havia dado em 1927: Numa palestra naquela ocasião, defendi um ponto de vista convenientemente denominada complementaridade, adequado para abarcar os aspectos característicos da individualidade dos fenômenos quânticos e, ao mesmo tempo, esclarecer aspectos peculiares observáveis neste campo de experiência. Por esta razão, é decisivo reconhecer que, embora os fenômenos transcendam em muito à abrangência da explicação da Física Clássica, a representação de toda evidência deve ser expressa em termos clássicos (BOHR apud HOLTON, 1984, p.51). Resumidamente, muito embora um fenômeno apresente diversas características, muitas delas podem não ser observadas num único experimento específico e devemos, então, nos atentar ao fato de que todo experimento é individual e único. As interferências ao qual está sujeito, quer sejam do observador e seus instrumentos, quer sejam externas, são motivos pelos quais, um experimento deve ser descrito de forma clássica, com o objetivo de uma explicação simples, geral e conciliadora. Para esclarecer ainda mais a participação do observador e seus instrumentos no estudo de um determinado fenômeno, por meio de um experimento, realizado sobre determinadas condições, Holton (1984) então resume em seu artigo o seguinte: O que Bohr estava mostrando, em 1927, era a descoberta curiosa de que no domínio atômico, a única maneira pela qual o observador (incluindo seu equipamento) podia não ser envolvido era se ele não observasse nada. Tão logo monta seu equipamento de observação, o sistema que escolheu para a observação e os instrumentos de medida para realizar o trabalho, formam um todo inseparável (HOLTON, 1984, p.51). Além disso, um único experimento não é capaz de mostrar simultaneamente aspectos da Física Clássica e da Física Quântica. Ele mostrará somente uma das duas possibilidades, como por exemplo, um experimento sobre a propagação da luz não é capaz de mostrar simultaneamente aspectos de onda eletromagnética e de radiação de partículas. Desta forma, somente a totalidade das diferentes condições experimentais que um fenômeno pode ter e a sua representação nas duas correntes da Física, é que podem caracterizar de fato o fenômeno estudado, ou seja, através da Complementaridade entre a Física Clássica e a Física Quântica. 56 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 2. O PRINCÍPIO DA COMPLEMENTARIDADE NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA Descrever o PCEM como uma metodologia científica e filosófica não é um trabalho fácil. Isto ocorre pelo fato de relacionar a Filosofia e a História da Matemática com a Educação Matemática e consequentemente com a Matemática e suas aplicações (ciências humanas com ciências exatas), por meio de processos semióticos. Devido a esta dificuldade, o PCEM não possui uma definição, mas sim um conceito. Pode-se observar apenas que existe uma sutil diferença entre definição e conceito. No meio científico filosófico é preciso trabalhar muito bem com as ideias, conceitos são criados a partir da interação entre as ideias e se caracterizam por possuírem um aspecto de constante construção ao invés das definições, que estão mais presentes no meio científico matemático, elas, por sua vez, devem ser claras, precisas e concisas, por possuírem um aspecto mais estático. Existe uma relação dinâmica complementar entre definição e conceito que também é caracterizada pelo PCEM e, esta relação, também tem uma grande importância para a Educação Matemática. Além disso, existem muitos detalhes e nuances importantes de caráter epistemológico e cognitivo que podem ser encontrados no PCEM e que passariam despercebidos, através de apenas uma simples tentativa de reduzi-lo a uma descrição lógica. Otte (2003) descreve uma caracterização do PCEM a partir da descrição de aspectos complementares obtidos pelo estudo da relação dinâmica entre sentido e referência na Matemática, usando como exemplo o estudo das noções de conjuntos e de números. Percebe-se que a Matemática pode ser caracterizada como uma atividade semiótica, devido ao fato de apresentar ao mesmo tempo, na sua estrutura, características de ciência e de linguagem. Por ser ciência a Matemática apresenta características de descoberta, assim como ocorre nas ciências naturais. Por ser linguagem, a Matemática passa a ser de fato uma atividade semiótica e apresenta características de criação, assim como ocorre nas artes em geral. A História da Matemática mostra que a construção do conhecimento matemático ocorreu tanto por criação como por descoberta, pois quando um determinado conhecimento matemático, necessário para se resolver um determinado problema, ainda não existia, foi a mente humana, a partir da intuição e de experimentos mentais de um ou mais cientistas matemáticos, que criou a solução para o problema. A partir da criação dessa estrutura matemática inicial, outros cientistas matemáticos descobriram as propriedades decorrentes desta criação e assim sucessivamente, novas definições foram criadas e novas propriedades 57 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 foram descobertas, produzindo assim, uma teoria completa através de um processo dinâmico que alterna características de criação e descoberta. Essa alternância entre as características de descoberta e criação no processo de construção do conhecimento matemático, por muitas vezes, torna difícil uma caracterização ou distinção entre elas no contexto como um todo. Percebe-se com isto, que descoberta e criação são características intrínsecas que coexistem simultaneamente neste processo (BARROS e FRANÇA, 2018, p.11). Outro exemplo de Complementaridade que ocorre na Matemática é a relação dinâmica entre a Álgebra e a Geometria. Por exemplo, somente foi provado, por meio da Álgebra, que não é possível duplicar um cubo (uma questão geométrica). Outro exemplo, o produto notável (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (uma questão algébrica), primeiro foi provado com o uso da Geometria, e por este motivo, valia apenas para grandezas positivas. Posteriormente a Álgebra permitiu a generalização desta fórmula. Observa-se, que a Matemática é rica em características complementares e para um bom entendimento do conceito do PCEM, é de grande utilidade a descrição de exemplos de como ocorrem essas complementaridades na Matemática. Por este motivo, será apresentada, a seguir, uma descrição das relações dinâmicas existentes entre o par intensão e extensão, sob alguns aspectos filosóficos e semióticos. Essas relações podem ser aplicadas em vários contextos do processo de construção ou obtenção do conhecimento matemático, auxiliando assim, numa melhor compreensão dos detalhes do PCEM. 3. A COMPLEMENTARIDADE ENTRE INTENSÃO E EXTENSÃO Neste tópico será feita uma interpretação da complementaridade entre os entes filosóficos intensão e extensão na Educação Matemática. Por esta razão é de grande interesse entender o significado destes dois entes. Segundo Abbagnano (2000, p.39) os termos intensão e extensão são apresentados juntos e são definidos por Hamilton como: "A quantidade interna de uma noção, sua Intensão ou compreensão, é constituída por diferentes atributos cuja soma é o conceito, no sentido de que este reúne os vários caracteres conexos num todo pensado. A quantidade externa de uma noção, ou a sua extensão, é constituída pelo número de objetos que são pensados imediatamente através do conceito". Além disso, em Abbagnano (2000) encontra-se também: O uso desses dois termos ainda prevalece na lógica contemporânea, que os associou à distinção estabelecida por Frege 58 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 entre sentido e significado. Frege disse: "Ao pensarmos num signo, deveremos ligar a ele duas coisas distintas: não só o objeto designado, que será denominado significado daquele signo, mas também o sentido ao signo, que denota a maneira como esse objeto nos é dado". Obviamente, o objeto é a extensão; o sentido é a intensão. Essa distinção é repetida ou pressuposta por quase toda lógica contemporânea. E ainda Abbagnano (2000) acrescenta: A Intensão de um termo é definida por Lewis como "a conjunção de todos os outros termos, cada um dos quais deve ser aplicável àquilo a que o termo é corretamente aplicável". Nesse sentido, a intensão (ou conotação) é delimitada por toda definição correta do termo e representa a intenção de quem o emprega por isso, tem o significado primeiro de "significado". A extensão (ou denotação) de um termo, porém, é a classe das coisas reais às quais o termo se aplica. Para interpretarmos a intensão e a extensão nas expressões linguísticas, é preciso primeiro entender que um juízo (ideia, conceito ou conhecimento) pode ser interpretado como uma proposição, e, por sua vez, uma proposição é uma relação entre um sujeito e um predicado. Sujeito e predicado são expressões linguísticas. Em Semiótica as expressões linguísticas podem ser classificadas em dois tipos, com características diferentes quanto ao número de elementos que ela representa. Elas podem representar termos singulares ou podem representar termos gerais. Em geral, os sujeitos estão associados a um único elemento ou a um único conjunto de seres ou objetos, concretos ou abstratos. Desta forma, o sujeito de uma proposição, em geral, está associado a uma expressão linguística que é um termo singular. Por outro lado, os predicados indicam uma propriedade ou uma característica que o sujeito (termo singular) pode ter. Desta forma, o predicado de uma proposição, em geral, está associado a uma expressão linguística que é um termo geral. Os termos gerais que estão associados a um predicado, podem ser interpretados de duas maneiras distintas. A primeira se refere à característica ou propriedade que o predicado estabelece e a segunda se refere ao conjunto de todos os indivíduos (seres ou objetos, concretos ou abstratos) que estão associados à característica ou propriedade que o predicado estabelece. O conjunto de todos os indivíduos ao qual a expressão linguística do predicado se aplica, isto é, que faz com que a proposição como um todo seja verdadeira, é chamado de extensão da expressão linguística do predicado. Por outro lado, a propriedade ou característica à qual o predicado se refere, é um conceito que possui um significado cognitivo e, por este motivo, é chamado de intensão da expressão linguística do predicado. 59 Revista Processando o Saber • ISSN 2179-5150 • Ano 12 • nº 12 • 2020 Por exemplo, na proposição “O Brasil é um país da América do Sul”. Brasil é o sujeito da proposição e, portanto, é um termo singular. País da América do Sul é o predicado. O predicado indica a característica de algum país estar geograficamente na América do Sul e esta é a sua intensão, mas a sua extensão é o conjunto de todos os países que pertencem à América do Sul. Pode-se perceber, por este exemplo, que um predicado está associado a uma intensão e cada intensão determina uma única extensão. Porém existem situações em que uma mesma extensão pode ser determinada por intensões diferentes. Por exemplo, pode-se perceber este fato através das proposições: “O número 3 é um número primo maior que 2 e menor que 10” e “O número 5 é um número ímpar maior que 2 e menor que 8”. Na primeira proposição o sujeito é o “número 3” e o predicado é um “número primo maior que 2 e menor que 10”. Este predicado indica a propriedade de um número ser primo e ao mesmo tempo é maior que 2 e menor que 10 e esta é a intensão deste predicado, mas a extensão deste predicado é o conjunto {3,5,7} que é o conjunto de todos os números que satisfazem a propriedade associada à intensão. Na segunda proposição o sujeito é o “número 5" e o predicado é “número ímpar maior que 2 e menor que 8”. Este predicado indica a propriedade de um número ser ímpar e ao mesmo tempo ser maior que 2 e menor que 8 e esta é a intensão deste predicado, mas a extensão deste predicado é o conjunto {3,5,7} que é o conjunto de todos os números que satisfazem a propriedade associada à intensão. Observa-se que a intensão da primeira proposição é diferente da intensão da segunda proposição, pois o conceito de número primo maior que 2 e menor que 10 é diferente do conceito de número ímpar maior que 2 e menor que 8. Porém observa-se que a extensão do predicado da primeira proposição é a mesma extensão do predicado da segunda extensão, o conjunto {3,5,7}. A extensão de um predicado de uma proposição pode ser um conjunto infinito, um conjunto finito ou o conjunto vazio. Exemplos para tais afirmações são: Para a primeira “O número 4 é um número par”, pois a extensão do predicado “número par” é um conjunto com infinitos elementos. Para a segunda “O Brasil é um país da América do Sul”, pois a extensão do predicado “país da América do Sul” é, obviamente um conjunto com uma quantidade finita de elementos.