Wzory Rzeczywistości. Tom II:Teoria pola informacyjnego z pamięcią (IFM)

WZORY RZECZYWISTOŚCI TOM II:TEORIA POLA INFORMACYJNEGO Z PAMIĘCIĄ Andrzej Orzechowski Kraków Wersja 1.0 grudzień 2025 STOPKA REDAKCYJNA Tytuł: Wzory Rzeczywistości. Tom II:Teoria pola informacyjnego z pamięcią (IFM) Autor: Andrzej Orzechowski Wersja: 1.0 (grudzień 2025) Miejsce wydania: Kraków Rok wydania: 2025 Skład: LyX / L A T EX Licencja: Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowa (CC BY 4.0). Kontakt: andrzejorzecho[email protected] Abstrakt Tom II serii Wzory rzeczywistości rozwija i porządkuje matematycznie teorię informacyjnego pola z pamięcią (Informational Field with Memory, IFM), której intuicyjną, fenomenologiczną wersję przedstawiono w Tomie I. Świat opisywany jest tutaj jako pole informacji S(t) w przestrzeni Hilberta kanałów (ciało, głos, obrazy, myśli itd.), połączonych strukturą grafu. Na tej bazie wprowadzone zostają: Laplasjan grafowy oraz jego frakcyjne uogólnienia, funkcjonał „łagodności” pola i metryka efektywna wyznaczająca gradientową dynamikę dążenia świata do stanów bardziej uporządkowanych. Kluczową rolę odgrywa operator pamięci, modelowany jako splot w czasie z odpowiednio dobranym jądrem (w tym jądra o charakterze frakcyjnym), co prowadzi do równań ewolucyjnych z pamięcią. Książka omawia warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązań takich równań oraz analizuje stabilność w sensie Lyapunowa i stabilność typu Input-to-State dla IFM objętego ograniczeniami (stożki dopuszczalnych aktów). Szczegółowo formalizowane są pojęcia aktu, autonu, aktorium i panaktorium oraz ich relacja do „kwantowej geometrii oddźwięku” (KGO) i znanych teorii fizycznych. Tom adresowany jest do czytelników zainteresowanych związkami między teorią informacji, matematyką układów dynamicznych, fizyką teoretyczną i naukami o złożoności. Stanowi on matematyczny rdzeń teorii IFM, przygotowujący grunt pod zastosowania w opisie fizyki, biologii oraz systemów poznawczych w kolejnych tomach serii. Abstract Volume II of the Patterns of Reality series develops and systematizes the mathematical core of the theory of an Informational Field with Memory (IFM), whose intuitive and phenomenological version was introduced in Volume I. The world is described here as an information field S(t) in a Hilbert space of informational channels (body, voice, images, thoughts, etc.) coupled by a weighted graph structure. On this basis, the book introduces the graph Laplacian and its fractional generalizations, an informational “smoothness” functional, and an effective metric that together generate a gradient flow driving the world towards more ordered, smoother configurations. A central role is played by the memory operator, modeled as a time convolution with a suitable kernel (including fractional-type kernels), which leads to evolution equations with memory. The monograph discusses conditions for existence and uniqueness of solutions to such equations and analyzes Lyapunov stability and Input-to-State Stability for IFM under constraints (cones of admissible acts). It provides a detailed formalization of act, auton, actorium and panactorium, and relates IFM to the idea of Quantum Echo Geometry (KGO) and, in a programmatic way, to known physical theories. The volume is aimed at readers interested in the interplay between information theory, the mathematics of dynamical systems, theoretical physics and complexity science. It provides the mathematical backbone of the IFM framework and prepares the ground for its applications to physics, biology and cognitive systems in subsequent volumes of the series. 1 SPIS TREŚCI Wstęp 1. Pole informacji, treść i akt 1.1. Przestrzeń cech i pole informacji 1.2. Stan pola a treść doświadczenia 1.3. Akton jako operator na polu 1.4. Aktorium Σjako pole wspólne 1.5. Stan pola, treść i akt – syntetycznie 2. Przestrzeń relacyjna i Laplasjan grafowy 2.1. Przestrzeń relacyjna: usuwanie wspólnego offsetu 2.2. Graf kanałów i Laplasjan grafowy 2.3. Chropowatość jako wyrażenie kwadratowe 3. Metryka efektywna i funkcjonał łagodności 3.1. Metryka efektywna na przestrzeni stanów 3.2. Funkcjonał łagodności: H jako „energia” membrany 3.3. Niezmienniczość na dodanie stałego wektora 3.4. Łagodność jako kierunek dynamiki 4. Naturalny gradient i równanie wygładzania 4.1. Gradient funkcjonału kwadratowego 4.2. Projekcja ortogonalna i jej rola 4.3. Ruch „czystego wygładzania” jako spadek po gradiencie 4.4. Semigrupa e−ηLGi obraz dyfuzji 4.5. Znaczenie dla IFM 5. Pełny funkcjonał H i spływ po gradiencie 5.1. Spływ po gradiencie funkcjonału H 5.2. Składnik stabilizujący: odległość od stanu neutralnego 5.3. Składnik temporalny: gładkość w czasie 5.4. Pełny funkcjonał H jako suma składników 5.5. Warunki istnienia, jednoznaczności i stabilności trajektorii IFM 6. Frakcyjny Laplasjan i dynamika nielokalna 6.1. Motywacja: dlaczego frakcyjny Laplasjan? 6.2. Definicja frakcyjnej potęgi (−LG)γ/2 6.3. Równanie z frakcyjnym Laplasjanem 6.4. „Pamięć struktury” i nielokalność 6.5. Rola frakcyjnej dyfuzji w IFM 7. Operator pamięci K i jądra pamięciowe 7.1. Pamięć jako operator splotowy w czasie 7.2. Lokalny i globalny oddźwięk 7.3. Pamięć w funkcjonale energii 7.4. Równanie IFM z operatorem pamięci 7.5. Warunki na jądra pamięciowe: przyczynowość i stabilność 7.6. Pamięć jako oddźwięk w czasie, frakcyjne pochodne i równania z pamięcią 8. Cel G, uwaga A(t)i stożek możliwości 8.1. Wzorzec G jako stan docelowy pola 8.2. Uwaga A(t)jako wzmocnienie kierunku celu 2 8.3. Prosta dynamika przy samym celu 8.4. Stożek możliwości: ograniczenia ruchu pola 8.5. Cel, uwaga i stożek możliwości jako struktura sterowania 9. Akt jako operator sterujący w równaniu głównym IFM 9.1. Pełne równanie ruchu z aktem 9.2. Parametry aktu: αwrite, αread, G(t), A(t) 9.3. Akt jako operator sterujący 9.4. Wolność jako mody 9.5. Akt jako kształtowanie, a nie przerwanie biegu 10. Operator porządkujący Qβi operator MU (kanał słów) 10.1. Rozsypane fragmenty i entropia treści 10.2. Operator Qβ: porządkowanie przez koncentrację rozkładu uwagi 10.3. Operator MU: stop-gradient na gałęzi słów 10.4. Włączenie Qβi MU do równania głównego 11. Równanie obserwacji i kanały informacji 11.1. Równanie obserwacji: formalna postać 11.2. Kanały informacji i projekcje na podprzestrzenie 11.3. Szum obserwacji i niedokładność raportu 12. Dostęp i reaktywność jako wielkości matematyczne 12.1. Reaktywność jako pochodna treści względem pola 12.2. Access jako przepływ informacji S→C→Iw czasie 12.3. „Zdrowy” zakres Access i reaktywności 13. Funkcja kosztu, stabilność Lyapunowa i ISS 13.1. Funkcja kosztu L(S, u): energia świata i cena aktu 13.2. Dyskretna wersja pętli A–U–M 13.3. Funkcja kosztu jako wskaźnik „zdrowej pętli” 14. Dyskretna postać równania IFM 15. Proste modele niskowymiarowe 15.1. Access i reaktywność w modelu trójkanałowym 15.1.1. Jakobian obserwacji 15.1.2. Reaktywność 15.1.3. Access 15.2. Punkty równowagi i bifurkacje 16. Przykłady z praktyki i ich opis w języku IFM 16.1. Scena stresu w języku IFM 16.2. Ból w języku IFM 16.3. Konflikt wewnętrzny a wiele minimów H 16.4. Dane empiryczne i rekonstrukcja IFM 17. Od pola lokalnego do panaktorium 17.1. Od jednego aktonu do aktorium Σ 17.2. Panaktorium Λ 18. Relacja IFM do KGO i struktur 18.1. IFM jako lokalna wersja KGO 18.2. Od pola S do pola ciągłego na czasoprzestrzeni 18.3. Operator ruchu w ramie KGO 18.4. Równania KGO i IFM 3 18.5. Dwa przekroje tej samej struktury 19. Dobrze postawione równanie IFM z pamięcią 19.1. Przestrzeń stanów i zapis pełnego równania IFM 19.2. Rozwiązania i dobrze postawione równanie 19.3. Założenia regularności 19.4. Istnienie i jednoznaczność lokalna 19.5. Przedłużalność globalna i półprzepływ IFM 19.6. Znaczenie istnienia i jednoznaczności w języku IFM 20. Aktorium, panaktorium i KGO jako rozszerzenie IFM 21. Nawyki, auton i domknięcie struktury IFM 21.1. Nawyki jako atraktory w przestrzeni stanów 21.2. Auton („ja”) jako struktura projekcji, stożka i obserwacji 21.3. Przestrzeń możliwych aktów i wolność 21.4. Minimalne założenia analityczne dla równania IFM 21.5. Ujednolicenie notacji: QβiEβ Uwaga o jednostkach Zakończenie Aneks A Aneks B Bibliografia WSTĘP „Matematyczny aparat użyty w tej książce (przestrzenie Hilberta, Laplasjany grafowe, operatorowe równania z pamięcią, stabilność typu ISS i inny) opiera się na standardowych narzędziach, opisanych m.in. w [Chung, Khalil, Sontag, Metzler & Klafter]. Nowość IFM dotyczy sposobu ich złożenia i interpretacji ontologicznej.” Tom II zbiera w całość to, co w Tomie I zostało opisane językiem fenomenologicznym jako Aktowy Model Informacji (AMI), i przekłada to na spójny język matematyczny pola informacji z pamięcią – IFM (Informational Field with Memory). W Tomie I punktem wyjścia było doświadczenie: membrana, na której pojawia się świat; oddźwięk ciała, emocji i myśli; akt jako skierowanie się „ku czemuś”; łagodność jako kierunek, w którym świat sam chce iść. Matematyka była tam obecna tylko w tle – jako metafora gradientu, energii, przepływu, nie jako precyzyjna konstrukcja. Ten tom odwraca akcenty. W centrum staje równanie ruchu pola informacji S(t)w przestrzeni Hilberta H, funkcjonał energii (łagodności) H(S), operator pamięci Koraz pełna pętla sterowania: cel G, uwaga A(t), stożek możliwości C(S, t)i akt jako operator, który realnie modyfikuje dynamikę. AMI pozostaje punktem odniesienia, ale jego główne pojęcia – pole, oddźwięk, akt, łagodność, dostęp – otrzymują tu jednoznaczne definicje w języku równań. Od membrany do pola S W Tomie I „membrana” była obrazem tego, co akton przeżywa jako swój świat: powierzchnią, na której odciskają się ciało, emocje, obrazy, słowa, relacje. W Tomie II ten obraz zostaje sformalizowany jako pole informacji 4 S(t)∈H, gdzie Hjest rzeczywistą przestrzenią Hilberta opisującą kanały danego aktonu (ciało, głos, obrazy, myśli itd.). Każdy kanał jest wymiarem lub podprzestrzenią w H, a graf kanałów – z wagami Wij – określa, jak mocno poszczególne kanały są ze sobą sprężone. Pierwsza część tomu wprowadza geometrię tego pola. Na grafie kanałów definiujemy Laplasjan LGoraz chropowatość Hrough(S) = 1 2X i,j Wij (Si−Sj)2, która mierzy „zgrzyty” między kanałami. Pełen funkcjonał Hłączy chropowatość z innymi składnikami (np. odległością od stanów neutralnych), a dynamika bez aktu ma postać gradientowego spływu ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥S(t), gdzie Geff jest metryką efektywną, a Π⊥– projekcją na część relacyjną (usuwającą wspólny offset). W Tomie I mówiliśmy: „świat sam dąży do łagodności”. Tutaj to zdanie staje się dosłowne: bez aktu i bez zewnętrznych pobudzeń pole Sspływa po krajobrazie Hw dół, w stronę jego minimów. Pamięć jako operator Ki frakcyjny Laplasjan Drugi filar AMI to oddźwięk – fakt, że świat reaguje nie tylko na to, jaki jest „teraz”, ale także na to, jaki był. W tym tomie oddźwięk przyjmuje postać operatora pamięci (KS)(t) = Zt 0 K(t−τ)S(τ)dτ, gdzie K(·)jest jądrem pamięciowym wartości w operatorach na H. Ta sama matematyka opisuje pamięć krótką (jądra szybko zanikające) i długą (jądra o wolnym spadku). Pojawia się też funkcjonał pamięci Hmem[S(·)] = 1 2ZT 0ZT 0 S(t)⊤K(|t−τ|)S(τ)dτ dt, który można czytać jako energię „sprężyn czasowych” łączących historię pola. Nielokalność przestrzenna z Tomu I – intuicja, że „odległe fragmenty pola trzymają się razem” – zostaje opisana przez frakcyjny Laplasjan (−LG)γ/2. Zastąpienie −LGjego potęgą ułamkową w równaniu ˙ S=−ν(−LG)γ/2S pozwala modelować światy, w których drobne lokalne zgrzyty wygładzają się szybko, ale duże, globalne wzorce utrzymują się długo. Jest to przestrzenna 5 analogia pamięci czasowej: frakcyjny Laplasjan koduje „pamięć struktury” w grafie kanałów. Cel, uwaga i stożek możliwości Trzeci kluczowy motyw AMI to akt: sytuacja, w której akton nie tylko doświadcza świata, ale „robi coś” ze swoim polem. W Tomie I akt był opisany fenomenologicznie: jako wzięcie czegoś na ekran, jako skierowanie się ku pewnemu sposobowi bycia. W Tomie II akt przyjmuje postać wyraźnej struktury sterowania: - cel G∈H– wyróżniony stan pola, „wzorzec docelowy”, - uwaga A(t)≥0– czasowy profil wzmocnienia celu, - stożek możliwości C(S, t)⊂TSH– zbiór dopuszczalnych wektorów prędkości w punkcie Si chwili t. W najprostszej wersji sam składnik celu ma postać ˙ S(t) = αwrite A(t)(G−S(t)), co opisuje wykładnicze zbliżanie się Sdo Gze „szybkością pisania” αwriteA(t). W pełnym równaniu IFM cel dodaje się do naturalnego spływu po H: ˙ S(t) = Fświat(S, t) + αwrite A(t) (G(t)−S(t)),˙ S(t)∈C(S, t), gdzie Fświat zbiera gradient H, pamięć K, sprzężenia z aktorium Σi szumy. Stożek C(S, t)przypomina, że nie każdy matematyczny kierunek jest realnie dostępny: ciało, historia i warunki świata zawężają przestrzeń możliwych ruchów. W tym języku „wolność” z Tomu I nie oznacza zawieszenia dynamiki, ale realną możliwość modyfikowania parametrów aktu: wyboru G(t), kształtu A(t), oraz pośrednio wzmocnień αread iαwrite w ramach tego samego Fświat. Porządkowanie treści i rola słów Tom I mocno podkreślał, że różnica między chaosem a uporządkowaną wiedzą nie polega na liczbie treści, ale na ich organizacji. W Tomie II ta intuicja przybiera postać operatora porządkującego Qβ, który działa na współczynniki „kawałków treści” i obniża entropię rozkładu p(S)=(p1(S), . . . , pn(S)), Hent(p) = −X i pilog pi, przy zachowaniu normy ∥S∥. Formalnie Qβrobi to poprzez nieliniowe przeskalowanie pi7→ pβ ii renormalizację – wzmacniając elementy już istotne, a neutralnie reorganizując strukturę. Szczególna uwaga została poświęcona kanałowi słów. Jego aktywność może obniżać H(gdy werbalizacja porządkuje pole), ale może też zacząć „pracować dla siebie”, podnosząc koszt. Operator MU jest nieliniowym „hamulcem” na gałęzi słów: gdy wkład słów w chwilową zmianę Hstaje się dodatni, MU stopniowo tłumi semantyczny komponent pola, redukując normę ∥ΠwordS∥. Dzięki 6 temu słowa mogą pozostać w treści, ale przestają sterować dynamiką wtedy, gdy systematycznie ją destabilizują. Obserwacja, Access i reaktywność W Tomie I wyraźnie odróżnialiśmy „świat na membranie” od tego, co jest w danej chwili świadome i co można zraportować. Tom II formalizuje tę różnicę przez równanie obserwacji I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread+ Ξ(t), gdzie I(t)jest treścią obserwacji, C(t)– kontekstem, f– operatorem obserwacji, a Ξ(t)– szumem obserwacji. Wprowadzamy projekcje kanałowe i operator ΠS→C, który wybiera z pola te komponenty, które są w ogóle „widoczne” w danym kontekście (ciało, głos, myśli, zadanie...). Na tym tle definiujemy dwie kluczowe wielkości: - reaktywność R(C, S) =  J(C, S) , J(C, S) = ∂I ∂S (C, S), która mierzy lokalne wzmocnienie małej zmiany w Sw treści I; - Access Access(t) =  ΠS→C(t)J(C(t), S(t)) ˙ S(t) , czyli aktualny przepływ informacji z pola do treści, wzdłuż rzeczywistej trajektorii S(t). To, co w Tomie I nazywaliśmy „dostępem świata do siebie” oraz „nadreaktywnością” pętli świadomość–akt–świat, przyjmuje tu formę nierówności na Ri Access oraz warunków stabilności w sensie Lapunowa i ISS (input-to-state stability). Aparat ISS pozwala precyzyjnie sformułować, kiedy pętla S→I→akt →S jest stabilna wobec zakłóceń i szumów, a kiedy ma tendencję do rozjazdu. Proste modele i sceny z życia Aby oderwać się od samej abstrakcji, w końcowej części tomu wprowadzamy niskowymiarowe modele z kilkoma kanałami (np. ciało–głos–myśli) i pokazujemy na wykresach, jak zmiana parametrów W,κ,αread,αwrite czy kształtu Kprowadzi do różnych jakościowych zachowań: pojedynczego minimum, wielu stabilnych stanów, bifurkacji, oscylacji, utraty stabilności ISS. Na tym tle wracamy do scen znanych z Tomu I: stresu, bólu, konfliktu wewnętrznego. Pokazujemy, jak można je czytać jako trajektorie S(t)w krajobrazie Hz pamięcią Ki jak w danych (z sensorów ciała, głosu, aktywności neuronalnej) można przybliżać chropowatość, Access, reaktywność oraz spadek funkcjonału kosztu w czasie. Aktorium, panaktorium i KGO Tom II kończy się wyjściem poza pojedynczego aktona. Wprowadzamy aktorium Σjako rodzinę pól 7 jeszcze funkcję celu oraz funkcjonał kosztu związany z aktonem, stąd w dynamice pojawią się przepływy gradientowe względem tego kosztu. Tutaj istotne jest samo rozdzielenie poziomów: stan pola jest obiektem w H, natomiast akton jest rodziną operatorów, które przekształcają ten stan i generują treść poprzez równanie obserwacji. Na poziomie fenomenologicznym można powiedzieć, że akton to strumień wiedzenia przywiązany do pewnej membrany w S; na poziomie matematycznym – to zestaw reguł, według których stan membrany jest odczytywany i modyfikowany w czasie. 1.4 Aktorium Σjako pole wspólne Pojedynczy akton nigdy nie istnieje w pustce. Zawsze współdzieli część swojego świata z innymi aktonami: ludźmi, organizmami, systemami technologicznymi. W IFM opisujemy tę wspólną warstwę pola jako aktorium, oznaczane przez Σ. W Tomie I mówiliśmy o aktorium jako o pojedynczym świecie w panaktorium, czyli o wspólnej scenie, na której spotykają się różne „ja”. Tutaj definiujemy je jako obiekt tego samego typu co S, ale odnoszący się jednocześnie do wielu aktonów. Niech {S(i)}n i=1 będzie rodziną stanów pól przypisanych poszczególnym aktonom. Pole wspólne modelujemy jako funkcję Σ:Ω×[0, T]→Rk, gdzie kjest liczbą kanałów wspólnych, na przykład kanałów opisujących otoczenie fizyczne, klimat emocjonalny grupy czy strukturę rozmowy. W najprostszym przypadku można traktować Σjako funkcjonał pól indywidualnych: dla każdej chwili ti punktu xdefiniujemy Σt(x) = FS(1) t(x), . . . , S(n) t(x) z odpowiednio dobraną funkcją F. Funkcja Fmoże być zwykłą średnią ważoną, Σt(x) = n X i=1 wiS(i) t(x), gdzie współczynniki wisą nieujemne i sumują się do jedności, albo bardziej złożonym, nieliniowym funkcjonałem, który uwzględnia korelacje stanów poszczególnych aktonów. W Tomie I interpretowaliśmy Σjako „klimat informacyjny”, w którym zanurzone są wszystkie membrany; powyższy zapis jest jego uściśleniem. W bardziej ogólnym ujęciu Σma własną dynamikę, sprzężoną z polami S(i), jednak nadal jest elementem przestrzeni Hilberta L2(Ω; Rk). Możemy zatem traktować Σtjako wektor w pewnej przestrzeni wspólnej, na którym działają operatory opisujące interakcje społeczne, kulturowe i technologiczne. Równanie 14 ruchu dla Σbędzie wtedy miało postać analogiczną do równania IFM dla pojedynczego świata aktonu, z dodatkowymi członami reprezentującymi uśrednianie po aktonach i długotrwały oddźwięk w polu wspólnym. Ważne jest, że akt aktonu praktycznie nigdy nie działa wyłącznie na „jego” polu S(i). Zawsze, poprzez sprzężenia, wpływa także na Σ, a za jej pośrednictwem na pola innych aktonów. W przykładzie wspólnego obiadu rodzinnego każda wypowiedź jednego z uczestników jest zastosowaniem pewnego operatora Uθ, który zmienia jego własny stan S(i), ale również przekształca Σ, a przez to modyfikuje stany pozostałych uczestników. Ten sam formalizm, oparty na polach indywidualnych, polu wspólnym i operatorach aktu, będzie później używany do opisu społeczeństw, kultur i tradycji duchowych. W tej perspektywie miasto, wspólnota czy tradycja religijna stają się określonymi konfiguracjami Σ z własnym kosztem i oddźwiękiem, dokładnie tak, jak w Tomie I interpretowaliśmy membranę zbiorową. 1.5 Stan pola, treść i akt – syntetycznie Możemy teraz precyzyjnie rozdzielić trzy poziomy, które będą powracać w całym tomie. Stan pola Stjest obiektem matematycznym: punktem w przestrzeni Hilberta H, który koduje rozkład potencjalnych treści w przestrzeni cech Ω. Treść doświadczenia Itjest wynikiem działania funkcji obserwacji na S, zależnym od kontekstu C: It=St+f(Ct, St). Akt jest konkretnym zastosowaniem operatora Uθdo S(często w sprzężeniu z aktualną treścią I), które zmienia stan pola w czasie, a pośrednio także kształt aktorium Σ. Akton jest tym, kto posiada rodzinę takich operatorów i dla kogo równanie obserwacji ma sens, tzn. dla kogo istnieje nierozerwalny związek między zmianami w S, wyborem kontekstu Ca pojawianiem się treści I. W kolejnych rozdziałach będziemy stopniowo dodawać do tego obrazu kolejne elementy: geometrię grafową między kanałami, funkcjonał kosztu H, naturalny gradient, metrykę efektywną Geff oraz operator pamięci K. Już na tym etapie wprowadzimy konwencję notacyjną, która będzie obowiązywała w całym tomie i która jest spójna z użyciem funkcjonału kosztu w Tomie I. Pisząc H(S), mamy na myśli funkcjonał kosztu zastosowany do „aktywnej” części pola, to znaczy H(S) := HΠ⊥SΠ⊥, gdzie Π⊥jest ortogonalnym rzutem na wyróżnioną podprzestrzeń H, zdefiniowaną w dalszej części tomu. W ten sposób notacja H(S)pozostaje zwięzła, ale w każdym miejscu jest jednoznacznie rozumiana jako funkcja tej samej, istotnej z punktu widzenia kosztu części pola. Podobnie już tutaj zaznaczamy, że efektywna metryka Geff, używana w definicjach gradientu naturalnego, jest domyślnie operatorem dodatnio określonym 15 wH, który może zależeć od stanu S. Oznacza to, że gradient naturalny funkcjonału H, liczony względem tej metryki, będzie miał postać ∇Geff H(S) = Geff(S)−1∇H(S), gdzie ∇H(S)jest standardowym gradientem względem iloczynu skalarnego wH. Przez gradient w tym sensie rozumiemy element ∇H(S)∈ H, który spełnia zależność d dεH(S+ε δS)ε=0 =⟨∇H(S), δS⟩H dla wszystkich dopuszczalnych przyrostów δS. Dokładne własności Geff oraz wynikające z nich różnice między gradientem euklidesowym a gradientem naturalnym zostaną rozwinięte w późniejszych rozdziałach, zarówno na poziomie formalnym, jak i w przykładach zaczerpniętych z fizyki, psychologii i nauk społecznych. Mamy zatem trzy precyzyjne poziomy. Pole jako struktura informacji opisane przez Sjest obiektem w przestrzeni Hilberta H. Treść jako wynik aktu obserwacji opisana przez Ijest funkcją SiC, w której pojawia się zarówno projekcja pola, jak i szum aktu. Akt jako operator Uporusza polem w czasie i pośrednio kształtuje aktorium Σ, od którego z kolei zależy otoczenie innych aktonów. Te trzy poziomy – pole, treść i akt – będą tworzyć matematyczny szkielet całego IFM/AMI w dalszej części tego tomu. 2 Przestrzeń relacyjna i Laplasjan grafowy W poprzednim rozdziale opisaliśmy pole informacji S jako wektor w przestrzeni Hilberta: stan świata w danej chwili to punkt w H, a jego zmiany opisujemy za pomocą równań ewolucyjnych. Taki opis jest poprawny matematycznie, ale ma pewną istotną wadę koncepcyjną. Traktuje on wprost wartości absolutne w kanałach, podczas gdy dla IFM najważniejsze są relacje między kanałami. Dwa światy, w których wszystkie kanały są po prostu głośniejsze o tę samą stałą, są dla aktonu fenomenologicznie bardzo podobne. Dzień, w którym wszystkie sygnały są o dziesięć procent mocniejsze, na przykład dlatego, że jesteśmy bardziej pobudzeni fizjologicznie, nie jest innym światem; to raczej ten sam układ relacji, tylko w innej skali. To prowadzi nas do pojęcia przestrzeni relacyjnej oraz do matematycznego narzędzia, które mierzy „zgrzyt” między kanałami: Laplasjanu grafowego. 2.1 Przestrzeń relacyjna: usuwanie wspólnego offsetu Na potrzeby tego rozdziału upraszczamy sytuację do przypadku, gdy w jednej chwili czasu mamy skończoną liczbę kanałów. Stan pola można wtedy zapisać jako wektor S= (S1, . . . , Sm)⊤∈Rm, 16 gdzie Sijest aktualną wartością i-tego kanału. Można myśleć o tych kanałach jako o konkretnych modalnościach, na przykład „ciało”, „głos”, „obraz”, „słowa”, „zadanie”, jednak na poziomie formalnym są to po prostu współrzędne wektora w przestrzeni Rm. Wektor 1= (1,...,1)⊤∈Rm reprezentuje kierunek, w którym „wszystko rośnie jednakowo”. Jeżeli do S dodamy wektor α1dla dowolnego α∈R, to wszystkie kanały podniosą się o tę samą wartość. Z punktu widzenia IFM interesujące jest to, co w Snie jest takim wspólnym ruchem, lecz różnice między kanałami. Dlatego wprowadzamy rzut na przestrzeń relacyjną, czyli na podprzestrzeń ortogonalną do kierunku 1. Niech ∥ · ∥ oznacza zwykłą normę euklidesową w Rm. Definiujemy operator projekcji ortogonalnej Π⊥=I−1 ∥1∥211⊤, gdzie Ijest macierzą jednostkową, a 11⊤to macierz rangi jeden, która każdemu wektorowi przypisuje jego rzut na kierunek 1. Ponieważ ∥1∥2=m, powyższy wzór przyjmuje postać Π⊥S=S−1 mm X i=1 Si1. Nowy wektor Srel := Π⊥S nazywamy stanem w przestrzeni relacyjnej. Ma on dwie kluczowe własności, które warto zapisać explicite. Po pierwsze, Srel jest ortogonalny do 1. Ortogonalność w sensie euklidesowym oznacza, że ich iloczyn skalarny jest równy zero, ⟨Srel,1⟩= 0, co we współrzędnych daje warunek m X i=1 (Srel)i= 0. Przestrzeń relacyjna, czyli obraz operatora Π⊥, składa się zatem ze wszystkich wektorów w Rm, których suma współrzędnych jest równa zero. Po drugie, Srel zawiera wyłącznie informację o różnicach między kanałami, niezależną od globalnego offsetu. Jeżeli do Sdodamy wektor α1, to otrzymamy Π⊥(S+α1)=Π⊥S+αΠ⊥1. 17 Ponieważ Π⊥1= 0, dostajemy prostą zależność Π⊥(S+α1)=Π⊥S, czyli stan relacyjny nie zmienia się przy dodaniu stałego offsetu do wszystkich kanałów. W praktyce oznacza to, że Srel ignoruje fakt, czy dany dzień jest ogólnie głośniejszy lub cichszy; liczy się tylko to, który kanał jest bardziej pobudzony niż inne, a który jest obniżony. W ogólniejszym przypadku, gdy Sjest funkcją w przestrzeni Hilberta H=L2(Ω;Rm), operator Π⊥rozszerzamy, działając punktowo po x∈Ω. Dla każdego punktu xprzestrzeni cech definiujemy (Π⊥S)(x)=Π⊥(S(x)). Innymi słowy, dla każdego xbierzemy wektor wartości kanałów S(x)∈Rm, usuwamy z niego wspólny offset i otrzymujemy wektor relacyjny w Rm. Całość stanowi element podprzestrzeni Hrel ⊂ H z warunkiem, że suma po kanałach jest równa zero prawie wszędzie, to znaczy poza zbiorem o mierze zero w Ω. Operator Π⊥jest wtedy ograniczonym operatorem liniowym w Hi stanowi podstawowe narzędzie przejścia od opisu absolutnego do opisu relacyjnego. W dalszej części tomu będziemy konsekwentnie pisać H(S), mając na myśli funkcjonał kosztu zastosowany do części ortogonalnej pola. Zgodnie z konwencją wprowadzoną w Rozdziale 1 rozumiemy zatem H(S) := H[Π⊥SΠ⊥], tak aby globalny offset nie wpływał na wartość kosztu. W tym sensie to nie absolutne poziomy pobudzenia w kanałach są karane przez H, lecz ich relacyjna konfiguracja. 2.2 Graf kanałów i Laplasjan grafowy Dotychczas traktowaliśmy wszystkie kanały jednakowo. W rzeczywistych systemach tak nie jest. Jedne kanały są silnie sprzężone, jak na przykład ciało i emocje, inne słabiej, jak ciało i abstrakcyjne rozumowanie, a jeszcze inne praktycznie wcale. Aby uchwycić tę strukturę sprzężeń, wprowadzamy graf kanałów. Rozpatrujemy prosty, ważony graf nieskierowany, którego wierzchołkami są kanały 1, . . . , m. Dla każdej pary kanałów ioraz jliczba Wij ≥0opisuje „siłę sprężyny” między tymi kanałami. Wartość Wij = 0 oznacza brak bezpośredniego sprzężenia, natomiast duża wartość Wij oznacza silną tendencję kanałów ioraz jdo podążania razem, na przykład silną korelację lub ścisłą współpracę funkcjonalną. Macierz Wdefiniujemy jako macierz (Wij)m i,j=1, dla której zakładamy, że Wij =Wji ≥0, Wii = 0. 18 Symetria Wodzwierciedla fakt, że siła sprzężenia między kanałami ioraz j jest taka sama w obu kierunkach. Z macierzy Wbudujemy macierz stopni D, definiując D= diag(d1, . . . , dm), di= m X j=1 Wij. Współczynnik dijest sumą wag wszystkich krawędzi wychodzących z wierzchołka i, to znaczy mierzy łączną „sumaryczną siłę” połączeń danego kanału z resztą. Na tej podstawie definiujemy Laplasjan grafowy LG=D−W. Jest to klasyczny obiekt teorii grafów i analizy spektralnej na grafach. W kontekście IFM najważniejsze są trzy własności Laplasjanu. Po pierwsze, jeśli Wjest symetryczna, to LGrównież jest macierzą symetryczną, czyli spełnia L⊤ G=LG. Symetria zapewnia, że wszystkie wartości własne Laplasjanu są rzeczywiste, a przestrzeń Rmmożna rozłożyć ortogonalnie względem jego wektorów własnych. Po drugie, Laplasjan grafowy jest półdodatnio określony. Dla każdego wektora v∈Rmzachodzi równość v⊤LGv=1 2 m X i,j=1 Wij(vi−vj)2≥0. Wynika to z prostego przekształcenia algebraicznego, które rozwija wyrażenie v⊤(D−W)v. Równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy na każdej spójnej składowej grafu wszystkie współrzędne visą równe. Innymi słowy, wektor vma zerową „energię sprężynową”, jeżeli na każdym połączonym fragmencie grafu wszystkie kanały są ustawione na tym samym poziomie. Po trzecie, jądro Laplasjanu jest generowane przez wektor 1, jeśli graf jest spójny. Zauważmy, że LG1= 0, ponieważ dla każdego izachodzi (LG1)i=di− m X j=1 Wij = 0. Jeśli graf jest spójny, to ker LG= span{1}, 19 co oznacza, że jedynymi wektorami o zerowej energii są wektory stałe. Laplasjan jest zatem niewrażliwy na dodanie stałego offsetu: wszystkie wektory postaci α1mają zerową chropowatość w sensie zdefiniowanym poniżej. Interpretacja sprężynowa jest szczególnie intuicyjna. Wyobraźmy sobie, że każdy kanał ijest punktem na osi, połączonym sprężynami z innymi punktami zgodnie z macierzą wag W. Wtedy energia sprężynowa układu jest proporcjonalna do wyrażenia 1 2 m X i,j=1 Wij(vi−vj)2. Jeśli wszystkie kanały są ustawione na tym samym poziomie, energia wynosi zero; gdy kanały „rozjeżdżają się”, energia rośnie. Laplasjan grafowy jest właśnie operatorem, którego związany z nim funkcjonał kwadratowy mierzy tę różnicę poziomów. W języku IFM operator LGbędzie jednym z głównych składników funkcjonału kosztu H. Wyrażenie S⊤LGSbędzie mierzyć, jak bardzo aktualna konfiguracja kanałów „zgrzyta” z punktu widzenia struktury grafu, to znaczy jak bardzo odbiega od zgodności wymuszanej przez połączenia między kanałami. W połączeniu z rzutem Π⊥pozwoli to precyzyjnie uchwycić te różnice, które są fenomenologicznie istotne, ignorując jednocześnie globalne przesunięcia poziomu wszystkich kanałów. 2.3 Chropowatość jako wyrażenie kwadratowe Mając zdefiniowany graf kanałów i jego Laplasjan, możemy formalnie zdefiniować chropowatość konfiguracji S. Definiujemy funkcjonał R(S) = 1 2 m X i,j=1 Wij(Si−Sj)2. Jak już widzieliśmy, można go zapisać w postaci macierzowej R(S) = 1 2S⊤LGS, co wynika bezpośrednio z definicji LG=D−Woraz prostego rachunku macierzowego. Intuicyjnie R(S)jest miarą „zgrzytu” między kanałami. Jeżeli wszystkie współrzędne Sisą równe, co odpowiada sytuacji, w której świat jest w tamtym momencie równomierny we wszystkich kanałach, to zachodzi R(S) = 0. Jeżeli sąsiednie kanały, które według macierzy wag Wpowinny być podobne, mają bardzo różne wartości, wtedy R(S)przyjmuje duże wartości. W szczególności zgrzyty między kanałami silnie połączonymi (z dużym Wij) są karane bardziej niż zgrzyty między kanałami połączonymi słabo. Istotną własnością Rjest jego niezmienniczość względem dodania stałej. Dla każdego α∈Rzachodzi 20 R(S+α1) = R(S). Łatwo to sprawdzić, zauważając, że różnice (Si+α)−(Sj+α)są równe Si−Sj, a zatem wszystkie składniki sumy w definicji Rpozostają takie same. Z tego względu naturalne jest traktowanie Rjako funkcjonału zdefiniowanego na przestrzeni relacyjnej. Ponieważ Π⊥usuwa dokładnie ten składnik, na który Ri tak nie reaguje, mamy R(S) = R(Srel), gdzie Srel = Π⊥S. Z punktu widzenia dalszej dynamiki ważne jest również to, że Rjest funkcjonałem kwadratowym, a jego gradient w zwykłym sensie euklidesowym ma prostą postać. Pochodna Rpo S, liczona względem standardowego iloczynu skalarnego w Rm, jest równa ∇SR(S) = LGS. Można to sprawdzić, różniczkując jawnie postać macierzową R(S) = 1 2S⊤LGS i korzystając z symetrii LG. Gradient ten można interpretować jako wektor „sił sprężynowych”. Dla każdego kanału iwspółrzędna (LGS)i= m X j=1 Wij(Si−Sj) mierzy, jak bardzo i w jakim kierunku kanał ijest „ciągnięty” przez inne kanały. Ruch wzdłuż wektora −∇SR(S)oznacza zatem stopniowe wyrównywanie poziomów kanałów zgodnie z ich połączeniami w grafie. Kanały silnie połączone przez Wbędą miały tendencję do szybkiego uśredniania swoich wartości. W modelach ciągłych, w których Sjest elementem przestrzeni H=L2(Ω;Rm), rozumiemy powyższe równania punktowo po x∈Ω. Dla każdego punktu x mamy wektor S(x)∈Rm, dla którego chropowatość lokalna jest równa 1 2S(x)⊤LGS(x), a całkowita chropowatość pola jest zadana całką R(S) = 1 2ZΩ S(x)⊤LGS(x)dµ(x). Gradient w sensie przestrzeni Hilberta Hprzyjmuje wtedy postać (∇R(S))(x) = LGS(x), co oznacza, że Laplasjan grafowy działa niezależnie w każdym punkcie przestrzeni cech. Taka postać będzie szczególnie ważna przy zapisie równań ewolucyjnych pola. W kolejnych rozdziałach włączymy R(S)jako składnik głównego funkcjonału H. Z punktu widzenia dynamiki będzie on odpowiadał za tendencję pola Sdo łagodności w przestrzeni kanałów. Dynamiczne równanie IFM będzie zawierać człon postaci 21 −νLGS, gdzie ν > 0jest parametrem dyfuzji po grafie. Człon ten będzie rozpraszał lokalne zgrzyty i sprawiał, że są one mocniej odczuwane i szybciej wyrównywane, jeśli dotyczą kanałów silnie sprzężonych przez wagi Wij. Na tym etapie możemy ująć całość w trzech powiązanych intuicjach, zachowując jednocześnie pełną ścisłość matematyczną. Po pierwsze, przestrzeń relacyjna, czyli obraz Π⊥, usuwa wspólny offset: to, co jest jedynie tłem jednakowo podnoszącym wszystkie kanały, nie jest istotne dla funkcjonału kosztu. Po drugie, graf kanałów i jego Laplasjan LGkodują strukturę sprzężeń między kanałami i określają, które kanały powinny „żyć razem” i w jakim stopniu. Po trzecie, chropowatość R(S) = 1 2S⊤LGS jest matematyczną miarą zgrzytu między kanałami i będzie jednym z filarów funkcjonału Horaz źródłem gładzącej części dynamiki IFM, zdefiniowanej w dalszych rozdziałach. 3 Metryka efektywna i funkcjonał łagodności W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy przestrzeń relacyjną oraz Laplasjan grafowy LG, który mierzy „zgrzyt” między kanałami: konfiguracje, w których kanały połączone silnymi sprężynami Wij są bardzo rozjechane, mają wysoki koszt chropowatości. Dotąd zakładaliśmy jednak milcząco, że wszystkie kierunki w przestrzeni stanów Ssą kosztowne w ten sam sposób. Taki obraz jest zbyt prosty. W realnych systemach pewne zmiany w polu przychodzą łatwo, inne są bardzo trudne; niektóre kombinacje kanałów są „lekko poruszane”, inne wymagają dużego wysiłku fizycznego lub informacyjnego. W tym rozdziale formalizujemy tę intuicję, wprowadzając metrykę efektywną na przestrzeni stanów oraz zbudowany na niej funkcjonał łagodności H, który będzie pełnił rolę głównego „krajobrazu energii” dla dynamiki IFM. Od tego miejsca, zgodnie z konwencją wprowadzoną w poprzednich rozdziałach, pisząc H(S)będziemy mieli na myśli H[Π⊥SΠ⊥], to znaczy funkcjonał kosztu działający na części relacyjnej pola, po odrzuceniu wspólnego offsetu. 3.1 Metryka efektywna na przestrzeni stanów Zacznijmy od sytuacji skończenie wymiarowej, w której stan pola w jednej chwili jest wektorem S∈Rm. Dotąd posługiwaliśmy się standardowym iloczynem skalarnym u·v=u⊤vi odpowiadającą mu normą euklidesową ∥u∥2=u⊤u. Taki wybór odpowiada układowi, w którym wszystkie kierunki w przestrzeni S są „równo ważne” i jednakowo dostępne. Chcemy teraz wprowadzić strukturę, która odzwierciedla wewnętrzną mechanikę konkretnego systemu: ograniczenia ciała, dynamikę kanałów, ich różną bezwładność i sprzężenia. 22 Definiujemy metrykę efektywną Geff jako macierz symetryczną, dodatnio określoną: Geff ∈Rm×m, G⊤ eff =Geff, u⊤Geffu > 0dla każdego u= 0. Macierz ta wyznacza nowy iloczyn skalarny na Rm: ⟨u, v⟩G:= u⊤Geffv oraz odpowiadającą mu normę ∥u∥2 G:= ⟨u, u⟩G=u⊤Geffu. Można powiedzieć, że ∥u∥2 Gmierzy koszt ruchu w kierunku u. Kierunek ujest „lekki”, jeśli wartość ∥u∥2 Gjest mała, to znaczy układ łatwo porusza się wzdłuż u, bo taka zmiana struktury pola nie wymaga dużego wysiłku. Kierunek vjest „ciężki”, jeśli wartość ∥v∥2 Gjest duża, czyli nawet mały krok w tę stronę jest kosztowny. W tym sensie metryka efektywna koduje anizotropię przestrzeni stanów: różne kierunki mogą być fizycznie lub fenomenologicznie różnie dostępne. Zmiana w kanale „myśli” może wymagać niewielkiego realnego ruchu ciała, ale próba gwałtownej zmiany w kanale „ciało” może pociągać za sobą dużą pracę. Odpowiedni wybór Geff sprawia, że dynamika IFM będzie od początku respektowała te różnice. W wersji funkcjonalnej, gdy Stjest elementem przestrzeni Hilberta H=L2(Ω;Rm), metryka efektywna jest zadana przez operator dodatnio określony Geff :H → H, samosprzężony względem standardowego iloczynu skalarnego w H. Iloczyn skalarny zdefiniowany przez metrykę efektywną ma wtedy postać ⟨u, v⟩G:= ⟨u, Geffv⟩H, gdzie ⟨·,·⟩Hjest zwykłym iloczynem skalarnym w H. Zachowujemy pełną analogię ze skończenie wymiarowym przypadkiem; różnica polega jedynie na tym, że zamiast macierzy pracujemy z operatorem liniowym na przestrzeni funkcji. Kluczowe jest teraz doprecyzowanie zależności Geff od stanu. W najprostszej wersji można traktować Geff jako stałą macierz lub stały operator, niezależny od S. Wówczas geometria przestrzeni stanów jest sztywna: to jedna, raz na zawsze zadana metryka. W bardziej realistycznych modelach Geff może zależeć od S, to znaczy w różnych obszarach przestrzeni stanów ruch w tych samych kierunkach może być różnie kosztowny. Formalnie oznacza to, że zamiast jednej macierzy mamy odwzorowanie 23 Jest to projekcja ortogonalna na podprzestrzeń wektorów o sumie współrzędnych równej zero, to znaczy na przestrzeń relacyjną. Działa ona w bardzo prosty sposób. Jeżeli Sjest wielokrotnością wektora 1, to znaczy S=α1dla pewnego α∈R, otrzymujemy Π⊥S= 0. Jeżeli natomiast suma współrzędnych Sjest równa zero, to Π⊥S=S. Projekcja ta ma dwie ważne własności algebraiczne. Symetria, wyrażona równością Π⊤ ⊥= Π⊥, oznacza, że Π⊥jest rzutem ortogonalnym względem standardowego iloczynu skalarnego. Idempotentność, wyrażona równością (Π⊥)2= Π⊥, oznacza, że po jednokrotnym rzutowaniu zostajemy już w przestrzeni relacyjnej; kolejne zastosowania Π⊥nie wnoszą nic nowego. W połączeniu z Laplasjanem grafowym otrzymujemy operator A= Π⊥LGΠ⊥. Najpierw usuwamy ze stanu Skomponent wspólny wszystkim kanałom, następnie mierzymy chropowatość LGw tej przestrzeni, a na końcu znów pozostajemy w części relacyjnej, ponieważ Π⊥eliminuje ewentualne ślady składowej stałej. Składnik w kierunku 1, odpowiadający ogólnej głośności tła, nie wpływa więc ani na wartość R, ani na jego gradient. Gradient funkcjonału chropowatości ma zatem postać ∇SR(S)=Π⊥LGΠ⊥S. Wektor ten jest zawsze prostopadły do 1. Oznacza to, że zmiany generowane przez gradient Rnie dodają ani nie odejmują globalnego offsetu, ale modyfikują wyłącznie strukturę relacyjną pola. Na poziomie intuicyjnym można powiedzieć, że ∇SR(S)wyraża czystą „siłę sprężynową” między kanałami, pozbawioną jakiegokolwiek wpływu globalnego podniesienia lub obniżenia wszystkich sygnałów naraz. W opisie funkcjonalnym, gdy Sjest elementem przestrzeni Hilberta H=L2(Ω;Rm), operator Π⊥działa punktowo po x∈Ω, to znaczy (Π⊥S)(x)=Π⊥(S(x)). Laplasjan grafowy LGrównież działa wyłącznie w indeksie kanału, dla każdego xprzekształcając wektor S(x)∈RmwLGS(x). Cały operator A= Π⊥LGΠ⊥staje się wtedy ograniczonym, samosprzężonym operatorem na H, a gradient Rma postać 30 (∇R(S))(x)=Π⊥LGΠ⊥S(x). Dalsza analiza przenosi się wówczas słowo w słowo z przestrzeni Rmna poziom pola funkcjonalnego. 4.3 Ruch „czystego wygładzania” jako spadek po gradiencie Mając jawne wyrażenie na gradient R, możemy zapisać najprostszą możliwą dynamikę: spływ po gradiencie funkcjonału chropowatości. Rozważamy równanie ewolucji ˙ S=−νΠ⊥LGΠ⊥S, gdzie ν > 0jest parametrem określającym szybkość wygładzania. Równanie to można odczytywać w następujący sposób: w każdej chwili pole Szmienia się w kierunku przeciwnym do gradientu R, a tempo tej zmiany jest proporcjonalne do wielkości gradientu. Jeżeli konfiguracja Sma dużą chropowatość, to ∥Π⊥LGΠ⊥S∥jest duża i układ szybko ściąga zgrzyty między kanałami. Gdy Szbliża się do konfiguracji łagodnej, w której Rprzyjmuje małe wartości, gradient maleje, a ruch spowalnia. Z punktu widzenia klasycznej teorii równań gradientowych jest to typowe zachowanie spływu po potencjale: dynamika ma tendencję do zatrzymywania się w minimach R. Aby to zobaczyć precyzyjnie, obliczamy pochodną Rwzdłuż trajektorii t7→ S(t), będącej rozwiązaniem równania gradientowego. Zakładamy dostateczną gładkość R, tak aby można było stosować regułę łańcuchową. Otrzymujemy d dtR(S(t)) = ∇SR(S(t)),˙ S(t). Podstawiając ∇SR(S)=Π⊥LGΠ⊥Soraz ˙ S(t) = −νΠ⊥LGΠ⊥S(t), dostajemy d dtR(S(t)) = Π⊥LGΠ⊥S(t),−νΠ⊥LGΠ⊥S(t). Korzystając z faktu, że Π⊥LGΠ⊥jest operatorem symetrycznym i półdodatnio określonym, możemy zidentyfikować prawą stronę z ujemną wartością normy kwadratowej: d dtR(S(t)) = −ν∥Π⊥LGΠ⊥S(t)∥2≤0. Pochodna Rjest więc zawsze niedodatnia, a zatem Rjest funkcją nierosnącą w czasie wzdłuż rozwiązań tego równania. Maleje ściśle, dopóki Π⊥LGΠ⊥S(t) 31 jest różne od zera, i staje się stała dopiero wtedy, gdy układ osiągnie stan spełniający Π⊥LGΠ⊥S= 0. Stany takie interpretujemy jako „idealnie łagodne” z punktu widzenia grafu i przestrzeni relacyjnej: są to konfiguracje, w których wszystkie siły sprężynowe równoważą się i nie ma już żadnej chropowatości do wygładzenia. W szczególnym przypadku, gdy Snależy od początku do przestrzeni relacyjnej, to znaczy suma współrzędnych Sjest równa zero i stan ten jest podtrzymywany w czasie, projekcja Π⊥działa jak tożsamość i równanie przyjmuje prostszą postać ˙ S=−νLGS przy założeniu PiSi(t)=0dla wszystkich t. Jest to standardowe równanie dyfuzji na grafie, w którym LGpełni rolę generatora semigrupy wygładzającej. W wersji funkcjonalnej, dla S∈ H, otrzymujemy analogiczne równanie ∂tS(t, x) = −ν LGS(t, x), rozumiane dla prawie wszystkich x∈Ω. Naturalny gradient w metryce efektywnej wprowadzonej w poprzednim rozdziale pozwoli w kolejnych etapach zastąpić −νΠ⊥LGΠ⊥przez −Geff(S)−1∇SR(S) = −Geff(S)−1Π⊥LGΠ⊥S. Zyskamy wtedy dynamikę, w której geometria pola jest kształtowana nie tylko przez strukturę grafu, ale też przez anizotropię metryki efektywnej. W tym rozdziale skupiamy się jednak na bazowej sytuacji, w której Geff =I, aby wyraźnie zobaczyć czyste wygładzanie chropowatości. 4.4 Semigrupa e−ηLGi obraz dyfuzji Rozwiązania równania ˙ S=−νLGS można zapisać w postaci S(t) = e−νtLGS(0), gdzie e−νtLGjest operatorem semigrupowym generowanym przez −LG. Definicję tę można rozumieć na dwa równoważne sposoby: przez szereg potęgowy e−νtLG= ∞ X k=0 (−νt)k k!Lk G lub przez analizę spektralną operatora LG. 32 Niech {λk}m−1 k=0 będą wartościami własnymi LG, a {v(k)}m−1 k=0 odpowiadającą im ortonormalną bazą wektorów własnych. Dla grafu spójnego zawsze mamy λ0= 0, odpowiadające wektorowi stałemu 1, oraz λk>0dla k≥1. Każdy stan początkowy S(0) można rozłożyć w tej bazie jako S(0) = m−1 X k=0 αkv(k). Wówczas działanie semigrupy ma postać S(t) = e−νtLGS(0) = m−1 X k=0 αke−νtλkv(k). Każda składowa odpowiadająca dodatniej wartości własnej λk>0jest tłumiona z szybkością wykładniczą e−νtλk. Im większa wartość własna, tym szybsze tłumienie. Jedyny składnik, który nie zmienia się w czasie, to ten w kierunku jądra LG, czyli proporcjonalny do 1. Jeśli pracujemy wyłącznie w przestrzeni relacyjnej, to ten stały składnik jest od razu usunięty przez Π⊥i układ zmierza do zera. Na gruncie IFM można interpretować te fakty w następujący sposób. Wszystkie „falistości” konfiguracji S, to znaczy rozbieżności między kanałami, są stopniowo wygładzane pod wpływem dynamiki. Składowe odpowiadające wysokim wartościom własnym, związane z drobnymi, lokalnymi zgrzytami, znikają najszybciej. Składowe odpowiadające niższym wartościom własnym, odpowiadające bardziej globalnym wzorom, wygaszają się wolniej. Czyste wygładzanie po czasie tma więc działanie operatora e−ηLG, gdzie η=νt można interpretować jako „głębokość wygładzania”. Dla małych wartości ηoperator tylko lekko rozprasza chropowatość, dla dużych niemal całkowicie ją usuwa, pozostawiając jedynie część stałą lub zero w przestrzeni relacyjnej. W wersji dyskretnej, z krokiem czasowym h > 0, prosta metoda Eulera w przód Sn+1 =Sn−hνLGSn może być rozumiana jako przybliżenie operatora e−hνLGprzez pierwszy wyraz szeregu Taylora. Dla zachowania stabilności konieczne jest dobranie kroku hw zależności od największej wartości własnej LG; zagadnienie to powróci przy dyskretyzacji pełnego równania IFM. 4.5 Znaczenie dla IFM Równanie ˙ S=−νΠ⊥LGΠ⊥S jest najprostszą dynamiką świata IFM: opisuje sytuację, w której nie działa żaden akton, nie ma pamięci i nie zostały zadane żadne cele. Świat taki podlega czystemu wygładzaniu chropowatości w przestrzeni relacyjnej. 33 W tym rozdziale nie ma jeszcze funkcjonału celu, nie ma aktu, nie ma operatorów porządkujących ani pamięci. Istnieje tylko pole S, jego struktura relacyjna oraz naturalny, euklidesowy gradient funkcjonału R. W dalszych częściach tomu będziemy konsekwentnie dokładali kolejne składniki: metrykę efektywną Geff, pełny funkcjonał Hopisujący nie tylko chropowatość, lecz także oddalenie od centrum i wpływ pamięci, operator pamięci Koraz człony związane z aktem i uwagą. U podstaw IFM leży jednak właśnie ten prosty obraz: świat, który „nic nie robi”, łagodnieje. Zgrzyty między kanałami są wygładzane przez wewnętrzną sprężynową geometrię grafu, aż do osiągnięcia stanów łagodnych w przestrzeni relacyjnej. Wszystko, co dokładamy później – pamięć, cel, akt – jest modyfikacją lub modulacją tego bazowego ruchu gradientowego. 5 Pełny funkcjonał H i spływ po gradiencie W poprzednim rozdziale rozważaliśmy najprostszy możliwy przypadek: pole S, które „samo z siebie” wygładza swoją chropowatość, poruszając się po gradiencie funkcjonału Rzbudowanego z Laplasjanu grafowego. Był to model świata, w którym nie ma działania aktonu, nie ma pamięci i nie ma wyróżnionego stanu neutralnego; istnieje tylko wewnętrzna geometria sprężyn między kanałami, która dąży do łagodności w przestrzeni relacyjnej. W pełnym IFM taki czysty ruch jest tylko jednym składnikiem większej całości. Pole informacji nie tylko wygładza zgrzyty między kanałami, ale także ma tendencję do powrotu w okolice stanów neutralnych, „nie lubi” zbyt gwałtownych zmian w czasie oraz reaguje na ślady przeszłości. Wszystkie te efekty są zebrane w jednym obiekcie: pełnym funkcjonale H. To on opisuje krajobraz energii membrany; stan Szachowuje się jak kula tocząca się po tym krajobrazie. W tym rozdziale formalizujemy tę metaforę. Najpierw zapisujemy ogólne równanie spływu po gradiencie H, następnie rozkładamy Hna składniki odpowiadające chropowatości, stabilizacji wokół stanu neutralnego oraz gładkości w czasie, a na końcu szkicujemy warunki, pod którymi dynamika jest dobrze określona i stabilna. Zgodnie z konwencją przyjętą wcześniej, pisząc H(S)mamy na myśli Hzastosowane do części relacyjnej, to znaczy H(S) := H[Π⊥SΠ⊥]. 5.1 Spływ po gradiencie funkcjonału H Punktem wyjścia jest założenie, że w wersji bazowej ruch pola Sjest ruchem gradientowym. W każdej chwili Szmienia się w kierunku, który najszybciej zmniejsza wartość funkcjonału H. Najpierw rozważmy sytuację z metryką euklidesową, w której metryka efektywna Geff jest równa macierzy jednostkowej. Wtedy równanie ruchu przyjmuje postać 34 ˙ S=− ∇SH[Π⊥S], gdzie ∇SH[Π⊥S]oznacza gradient funkcjonału Hwzględem S, przy uwzględnieniu faktu, że Hzależy bezpośrednio tylko od części relacyjnej Π⊥S. Znak minus wyraża to, że pole spływa w dół: w każdym punkcie przestrzeni stanów S porusza się w kierunku przeciwnym do głównej osi wzrostu H. Krajobraz energii można sobie wyobrazić jako powierzchnię w przestrzeni stanów, a sam stan S jako kulę, która toczy się po tej powierzchni w stronę niższych poziomów H. W ogólniejszej wersji, gdy obowiązuje metryka efektywna Geff(S), naturalny gradient jest zdefiniowany tak, aby spełniać równanie ⟨∇GH(S), v⟩G=dH(S)[v] dla każdego wektora v, gdzie dH(S)[v]jest pochodną kierunkową Hw punkcie Sw kierunku v, a ⟨·,·⟩Gjest iloczynem skalarnym zadanym przez Geff . Jak pokazano wcześniej, prowadzi to do zależności ∇GH(S) = Geff(S)−1∇H(S), gdzie ∇H(S)jest gradientem w standardowym iloczynie skalarnym. Pełne równanie spływu po gradiencie w metryce efektywnej ma więc postać ˙ S=−Geff(S)−1∇SH[Π⊥S]. Przy takim zapisie kierunek ruchu zależy zarówno od kształtu funkcjonału H, jak i od „bezwładności” systemu zapisanej w Geff(S). Sam fakt, że dynamika ma charakter gradientowy, ma dwie istotne konsekwencje. Pierwsza dotyczy monotoniczności Hwzdłuż trajektorii S(t). Przy dostatecznej gładkości Hmożemy zapisać d dtH[Π⊥S(t)] = ∇SH[Π⊥S(t)],˙ S(t). W przypadku metryki euklidesowej, po podstawieniu ˙ S(t) = − ∇SH[Π⊥S(t)], otrzymujemy d dtH[Π⊥S(t)] = − ∇SH[Π⊥S(t)] 2≤0. Wartość funkcjonału Hwzdłuż trajektorii jest zatem funkcją nierosnącą; maleje ściśle, dopóki gradient nie zniknie. Druga konsekwencja dotyczy stanów równowagi. Każdy stan S⋆, dla którego ∇SH[Π⊥S⋆]=0, jest punktem stacjonarnym dynamiki. Trajektoria, która startuje dokładnie w S⋆, pozostaje w nim: S(t)≡S⋆jest rozwiązaniem równania spływu po gradiencie. Takie stany pełnią rolę konfiguracji spoczynkowych membrany. 35 W obecności metryki efektywnej obie własności zachowują się analogicznie, z tą różnicą, że zamiast normy euklidesowej pojawia się norma w metryce Glub kombinacja norm. W szczególności pozostaje prawdziwa nierówność typu d dtH[Π⊥S(t)] ≤0, o ile Geff(S)jest dodatnio określony i wystarczająco regularny. 5.2. Składnik chropowatości: Laplasjan grafowy Pierwszym i najważniejszym składnikiem Hjest ten, który poznaliśmy już jako funkcjonał chropowatości. W przestrzeni relacyjnej stan pola ma postać Srel = Π⊥S. Graf kanałów, opisany przez macierz wag Wi Laplasjan LG=D−W, mierzy, jak bardzo rozjeżdżają się kanały połączone sprężynami. Naturalnym wkładem do Hjest funkcjonał Hrough[Π⊥S] = 1 2⟨Π⊥S, LGΠ⊥S⟩G. W metryce euklidesowej jest to uogólniona wersja funkcjonału R(S) = 1 2S⊤LGS, z tym, że zawsze działamy na części relacyjnej Π⊥S. W praktyce oznacza to, że Hmierzy „zgrzyt” między kanałami wyłącznie w tej części pola, która niesie informację relacyjną, a ignoruje wspólne podniesienie wszystkich kanałów. Gradient składnika Hrough generuje właśnie ruch czystego wygładzania, analizowany w Rozdziale 4. Gdyby Hskładało się tylko z Hrough, równanie ruchu (w metryce euklidesowej) przyjmowałoby postać ˙ S=− ∇SHrough[Π⊥S] = −Π⊥LGΠ⊥S, co odpowiada sytuacji, w której membrana łagodzi różnice między kanałami aż do osiągnięcia stanów, w których siły sprężynowe na grafie równoważą się w przestrzeni relacyjnej. 5.2 Składnik stabilizujący: odległość od stanu neutralnego Świat rzeczywisty nie jest jednak czystą dyfuzją po grafie. Konfiguracje pola S nie mogą rozchodzić się bez ograniczeń: istnieją zakresy fizjologiczne, typowe poziomy napięcia, „środki ciężkości” zachowania. Aby uchwycić tę tendencję do powrotu w okolice typowych stanów, wprowadzamy do Hskładnik stabilizujący, który preferuje pewien wektor cjako stan neutralny. Najprostsza wersja takiego składnika ma postać Hcenter(S) = κ 2∥S−c∥2 G, 36 gdzie cjest ustalonym wektorem neutralnym, a κ > 0parametrem sztywności. Gdybyśmy rozważali dynamikę składającą się tylko z tego termu, to w metryce euklidesowej otrzymalibyśmy ˙ S=− ∇SHcenter(S) = −κ(S−c), czyli proste równanie relaksacji, w którym Szbiega wykładniczo do stanu c. W pełnym funkcjonale Hskładnik stabilizujący współdziała z chropowatością. Z jednej strony membrana łagodzi różnice między kanałami, z drugiej – całość ma tendencję do powrotu w okolice c. W praktycznych modelach składnik stabilizujący nie musi obejmować wszystkich kanałów. Można zdefiniować go tak, aby działał tylko na pewien podzbiór współrzędnych S, na przykład silnie stabilizować kanały odpowiadające za napięcie mięśniowe, a pozostawić większą swobodę kanałom abstrakcyjnego myślenia. Formalnie jest to równoznaczne z wyborem odpowiedniego coraz modyfikacją metryki Geff, tak by pewne kierunki w przestrzeni stanów były bardziej karane niż inne. 5.3 Składnik temporalny: gładkość w czasie Trzeci typ składnika, który naturalnie pojawia się w funkcjonale H, dotyczy nie jednego stanu S, lecz całej trajektorii. Membrana, która wykonuje bardzo gwałtowne ruchy, zmieniając konfigurację kanałów z chwili na chwilę w sposób dramatyczny, jest kosztowna zarówno fizycznie, jak i informacyjnie. W opisie IFM chcemy preferować ruchy, w których zmiany są gładkie w czasie. W wersji dyskretnej, dla sekwencji stanów S0, . . . , SN, można wprowadzić funkcjonał Htime(S0, . . . , SN) = λ 2 N−1 X t=0 ∥St+1 −St∥2 G, gdzie λ > 0określa koszt szybkości zmian. W wersji ciągłej odpowiada mu funkcjonał trajektorii Htime[S(·)] = λ 2ZT 0 ∥˙ S(t)∥2 Gdt. Taki składnik nie pojawia się bezpośrednio w lokalnym równaniu ruchu jako zwykły gradient względem Sw danej chwili, ponieważ zależy od całej historii trajektorii. Zyskuje znaczenie, gdy patrzymy na problem w wersji wariacyjnej: zamiast pojedynczego równania różniczkowego rozważamy zadanie znalezienia całej ścieżki t7→ S(t), która minimalizuje całkowity koszt. Wtedy Htime działa jak termin odpowiadający za inercję ruchu: preferowane są trajektorie o małej krzywiźnie w czasie, w których kolejne stany S(t)są do siebie podobne. W dalszej części tomu, przy wprowadzaniu operatora pamięci Ki funkcjonałów opisujących oddźwięk w czasie, powrócimy do tego typu składników jako do elementu opisującego „bezwładność” ruchu membrany. 37 5.4 Pełny funkcjonał H jako suma składników W przedstawionym obrazie pełny funkcjonał łagodności Hmożna zapisać schematycznie jako sumę kilku typów wkładów, zależnych zarówno od aktualnego stanu S, jak i od historii: H[Π⊥S;historia] = Hrough[Π⊥S] + Hcenter(S) + Htime[S(·)] + inne składniki. Pod określeniem „inne składniki” kryją się przede wszystkim wkłady pamięci, zapisywane później za pomocą operatora K, składniki związane z kontaktem z innymi aktonami oraz ewentualne dodatkowe potencjały narzucone przez warunki zewnętrzne. Istotne jest to, że każdy z wymienionych elementów ma jasną interpretację geometryczną i fenomenologiczną. Składnik Hrough mierzy strukturę relacyjną między kanałami i karze chropowatość względem grafu połączeń. Składnik Hcenter mierzy oddalenie od stanu neutralnego ci odpowiada za relaksację w kierunku typowych konfiguracji. Składnik Htime mierzy gwałtowność zmian w czasie i wprowadza preferencję dla ruchów miękkich, pozbawionych szarpnięć. Ruch gradientowy względem H jest zatem kompromisem między trzema tendencjami: dążeniem do łagodności relacyjnej, dążeniem do powrotu do środka oraz dążeniem do gładkości w czasie. W pełnym modelu IFM do tej struktury zostanie dołożony akt aktonu, który wprowadzi dodatkowe, aktywne zmiany w S, często sprzeczne z czystym spływem po gradiencie H. Wtedy pole informacji nie tylko „spływa” po krajobrazie H, ale także jest przez akton świadomie wypychane na nowe obszary, co w kategoriach matematycznych będzie modelowane przez dodatkowe składniki w równaniu głównym. 5.5 Warunki istnienia, jednoznaczności i stabilności trajektorii Aby równanie ˙ S=− ∇SH[Π⊥S] nie pozostało czysto metaforyczne, potrzebujemy kryteriów, które gwarantują istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla zadanych warunków początkowych S(0) = S0, a także ich podstawowe własności, takie jak ograniczoność w czasie. W klasycznej teorii równań różniczkowych zagadnienia te opisuje twierdzenie Picarda–Lindelöfa o istnieniu i jednoznaczności oraz wyniki o stabilności rozwiązań gradientowych. Po pierwsze, gradient Hjako funkcja Spowinien być przynajmniej lokalnie Lipschitzowski. Istnieje wówczas stała Moraz taki obszar przestrzeni stanów, że dla wszystkich SiS′należących do tego obszaru zachodzi nierówność  ∇SH[Π⊥S]− ∇SH[Π⊥S′] ≤M∥S−S′∥. 38 Warunek ten jest spełniony w praktyce, gdy Hjest zbudowany z gładkich składników wielomianowych i kwadratowych, takich jak chropowatość, odległość od centrum i energia prędkości. Lokalna Lipschitzowskość zapewnia istnienie i jednoznaczność rozwiązań przynajmniej na pewnym przedziale czasu. Po drugie, funkcjonał Hpowinien być ograniczony z dołu, a najlepiej koercywny. Ograniczenie z dołu oznacza istnienie stałej Ktakiej, że H(S)≥K dla wszystkich S. Koercywność oznacza, że H(S)dąży do nieskończoności, gdy ∥S∥dąży do nieskończoności. Połączenie tych dwóch własności z monotonicznością Hw czasie daje kontrolę nad trajektorią. Ponieważ Hmaleje wzdłuż rozwiązań, a nie może spaść poniżej K,S(t)musi pozostawać w obszarze, w którym Hnie przekracza wartości H(S0). Jeśli Hjest koercywny, obszar ten jest zbiorem ograniczonym w przestrzeni stanów; trajektoria nie może więc „uciec” do nieskończoności. Po trzecie, istotna jest struktura samego krajobrazu H. Jeżeli Hjest ściśle wypukły na przestrzeni relacyjnej (to znaczy po uwzględnieniu faktu, że kierunek 1jest obojętny), to istnieje dokładnie jeden globalny minimizer S⋆, a każda trajektoria spływu gradientowego zbiega do tego punktu równowagi. W wielu realistycznych przypadkach Hbędzie jednak tylko częściowo wypukły albo w ogóle niewypukły, co oznacza istnienie wielu minimów lokalnych. Wtedy dynamika gradientowa staje się czuła na warunki początkowe: różne punkty startowe prowadzą do różnych konfiguracji spoczynkowych. W perspektywie IFM nie jest to defekt, lecz naturalny opis sytuacji, w której różne historie aktonu prowadzą do różnych „ustawień” membrany. Po czwarte, jeśli uwzględnimy metrykę efektywną Geff, warunki istnienia, jednoznaczności i stabilności przenoszą się wprost, pod warunkiem, że Geff (S) pozostaje dodatnio określony i wystarczająco regularny. Wówczas zawsze można matematycznie przejść do nowych współrzędnych, w których metryka ma postać jednostkową, a równanie dynamiki zachowuje strukturę spływu po gradiencie odpowiednio przekształconego funkcjonału. Pełny funkcjonał Hi równanie spływu po gradiencie tworzą zatem matematyczny rdzeń dynamiki IFM. To, co w Tomie I opisywaliśmy metaforycznie jako membranę, która dąży do łagodności, utrzymuje się w pobliżu środka i unika gwałtownych szarpnięć, tutaj przyjmuje postać precyzyjnych równań różniczkowych na przestrzeni stanów. W kolejnych rozdziałach ten rdzeń zostanie rozbudowany o operator pamięci K, który wprowadzi oddźwięk i zależność od przeszłości, oraz o człon aktu, dzięki któremu akton nie tylko spływa po H, ale także aktywnie kształtuje jego krajobraz. 6 Frakcyjny Laplasjan i dynamika nielokalna W dotychczasowym opisie „naturalnej” dynamiki pola Sprzyjęliśmy, że wygładzanie struktur jest lokalne na grafie kanałów. Operator Laplasjana grafowego 39 w tym języku jako długozasięgowe oddźwięki dawnej dynamiki. Na poziomie pojedynczego aktonu struktura jest analogiczna, tylko w mikroskali: ciało, emocje, myśli i nawyki rezonują z dawnymi stanami pola S(τ)za pośrednictwem tego samego operatora K. 7.3 Pamięć w funkcjonale energii Wcześniej funkcjonał Hzależał przede wszystkim od pojedynczego stanu S(t). Wprowadzając pamięć, możemy rozszerzyć go tak, aby zależał od całej trajektorii S(·). Jednym z naturalnych sposobów jest wprowadzenie funkcjonału pamięci Hmem[S(·)] = 1 2ZT 0ZT 0 S(t)⊤K(|t−τ|)S(τ)dτ dt. W tym zapisie Kjest jądrem symetrycznym względem czasu: wpływ stanu w chwili τna stan w chwili tzależy od modułu różnicy |t−τ|. Pamięć staje się tutaj wyraźnie obiektem energetycznym. Jeżeli K≡0, wkład pamięciowy znika iHmem = 0. Gdy Kjest niezerowe i karze duże rozpiętości między stanami S(t) iS(τ), konfiguracje, w których historia pola jest „poszarpana”, mają większy koszt energetyczny. Funkcjonał Hmem można interpretować jako energię sprężyn czasowych, które łączą aktualne i przeszłe stany membrany. Gdy S(t)znacząco odbiega od tego, czym było wcześniej, odpowiednie „sprężyny” zostają rozciągnięte, a energia H rośnie. Jeśli natomiast pole zmienia się łagodnie, wartości S(t)iS(τ)pozostają blisko siebie i wkład pamięciowy jest niewielki. Pełen funkcjonał można wtedy zapisać w postaci Hcalk[S(·)] = ZT 0Hlokalny[S(t)] + 1 2Zt 0 S(t)⊤K(t−τ)S(τ)dτdt, gdzie Hlokalny jest częścią funkcjonału zależną tylko od bieżącego S(t)(na przykład chropowatością, odległością od stanu neutralnego i innymi lokalnymi składnikami z Rozdziału 5). Jeżeli potraktujemy ruch Sjako problem wariacyjny i będziemy chcieli minimalizować Hcalk po wszystkich trajektoriach S(·), równania Eulera–Lagrange’a dla tego funkcjonału będą zawierały zarówno gradient lokalny ∇SHlokalny, jak i wkład pochodzący z części pamięciowej. Ten wkład przyjmuje postać operatora splotowego Kdziałającego na historię S. W ten sposób człon pamięciowy pojawia się w równaniu ruchu jako naturalna pochodna funkcjonału energetycznego, a nie jako „dopisany ręcznie” efekt. Pamięć staje się dodatkowym wymiarem energii: Hjest większy nie tylko wtedy, gdy membrana ma duże napięcie w chwili t, lecz także wtedy, gdy jej historia w czasie jest niespójna. 7.4 Równanie IFM z operatorem pamięci Wzorem klasycznych równań z pamięcią w mechanice ośrodków lepkosprężystych rozszerzamy dotychczasową dynamikę o oddźwięk zapisany przez K. W 46 najprostszej wersji równanie IFM z pamięcią przyjmuje postać ˙ S(t) = − ∇SHlokalny[Π⊥S(t)] −Zt 0 K(t−τ)S(τ)dτ. Pierwszy składnik po prawej stronie jest tym samym gradientowym członem, który opisaliśmy wcześniej: obejmuje chropowatość, stabilizację wokół stanu neutralnego oraz inne lokalne potencjały zebrane w Hlokalny. Drugi składnik jest głosem przeszłości. Stan S(τ)sprzed czasu s=t−τwpływa na aktualną prędkość ˙ S(t)z wagą K(s). Kształt jądra pamięciowego decyduje o charakterze tej zależności. Jeśli K(s) jest ostro skupione w pobliżu zera, system ma krótką pamięć: reaguje na historię z ostatnich chwil, a wcześniejsze stany mają śladowe znaczenie. Jeżeli K(s) ma długi ogon, dawne konfiguracje S(τ)wciąż oddziałują na teraźniejszość. W granicznych przypadkach można otrzymać równania, w których przeszłość jest niemal tak samo ważna jak stan bieżący. W kontekście kosmologicznym IFM ten sam operator Kstaje się elementem bardziej złożonego operatora generującego całą dynamikę pola w skalach kosmicznych. W takiej wersji pamięć pojawia się nie tylko na poziomie pojedynczego aktonu, ale także jako własność całego pola kosmicznego, sprzężona z geometrią czasoprzestrzeni. W tym tomie pozostajemy jednak przy formalnym opisie na poziomie pojedynczego pola S(t). 7.5 Warunki na jądra pamięciowe: przyczynowość i stabilność Aby równanie z pamięcią było sensowne fizycznie i dobrze postawione matematycznie, jądro Kmusi spełniać określone warunki. Po pierwsze, wymagana jest przyczynowość. Formalnie wyrażamy ją przez założenie, że K(s)=0dla s < 0. Wtedy w definicji splotu (KS)(t) = Z∞ −∞ K(t−τ)S(τ)dτ bieżący ruch zależy wyłącznie od wartości S(τ)dla τ≤t. W wersji ograniczonej do przedziału [0, T]przyczynowość sprowadza się do całkowania od 0do t, tak jak przyjęliśmy na początku. Po drugie, istotna jest całkowalność lub odpowiednia ograniczoność jądra. Jeżeli Kma skończoną normę w sensie Z∞ 0 ∥K(s)∥ds < ∞, to pojedynczy impuls w S(τ)nie może generować nieskończonego rezonansu w czasie. Oddźwięk stopniowo słabnie, a (KS)(t)pozostaje dobrze określony. W wersji dyskretnej analogiczną rolę odgrywa warunek sumowalności 47 X n≥0 ∥Kn∥<∞. Po trzecie, ważna jest struktura energetyczna jądra. Funkcjonał pamięci Hmem[S(·)] = 1 2ZT 0ZT 0 S(t)⊤K(|t−τ|)S(τ)dτ dt powinien być półdodatni, to znaczy Hmem ≥0dla każdej trajektorii S(·). Zapobiega to sytuacji, w której sama pamięć generuje niestabilności, „pompując” energię do układu. Technicznie warunek ten jest powiązany z dodatniością pewnych części rzeczywistych transformat Fouriera lub Laplace’a jądra K, co jest standardowe w teoriach z pamięcią. Dla naszych potrzeb wystarczy intuicja: pamięć ma przechowywać i rozpraszać energię, a nie ją tworzyć. Po czwarte, z punktu widzenia regularności równań wygodne jest, aby K było przynajmniej funkcją ciągłą lub słabo gładką. Zapewnia to, że (KS)(t)jest funkcją czasu dostatecznie regularną, co ułatwia analizę równań ewolucyjnych z członem pamięciowym. Przy spełnieniu powyższych założeń równanie z operatorem pamięci Kjest zwykle dobrze postawione. Standardowe twierdzenia z teorii równań całkowo– różniczkowych zapewniają wtedy istnienie i jednoznaczność rozwiązań dla zadanych warunków początkowych oraz kontrolę nad wzrostem energii w czasie. Szczegółowe wersje tych twierdzeń oraz ich uogólnienia na przypadek operatorów nieskończenie wymiarowych będą omówione w dodatku technicznym tomu. 7.6 Pamięć jako oddźwięk w czasie, frakcyjne pochodne i KGO Operator splotowy Kjest blisko spokrewniony z konstrukcjami frakcyjnymi, które wprowadziliśmy wcześniej w przestrzeni kanałów. W Rozdziale 6 nielokalność w przestrzeni opisywaliśmy przez frakcyjny Laplasjan (−LG)γ/2. Tam aktualny stan S„odczuwał” nie tylko wartości w najbliższych sąsiadach, lecz także bardziej odległe regiony grafu. Tutaj nielokalność pojawia się w czasie: ˙ S(t)zależy od całej historii S(τ)z przeszłości. W wielu teoriach dynamiki z pamięcią operator splotowy z jądrem Kmożna utożsamić z pochodną frakcyjną w czasie. Przykładowo, pochodne Riemanna– Liouville’a lub Caputo rzędu α∈(0,1) można zapisać jako operatory splotowe z jądrami typu K(s)∼s−α. Wtedy równanie ruchu przyjmuje schematycznie postać Dα tS(t) = (siły lokalne w S), gdzie Dα tjest pochodną frakcyjną, czyli odpowiednio dobranym operatorem pamięciowym. W języku IFM oba obrazy są równoważne. Można myśleć o Kjako o jądrze frakcyjnej pochodnej w czasie, rozciągającej wpływ przeszłości na teraźniejszość w sposób ciągły i pozbawiony wyróżnionego opóźnienia. Można też 48 pozostać przy prostym zapisie z jądrem K(t−τ), interpretując oddźwięk jako superpozycję wielu opóźnionych efektów. W dalszych częściach tomu operator Kstanie się stałym składnikiem równania IFM, obok gradientu funkcjonału Hi członów opisujących akt aktonu. Pełne równanie ruchu będzie więc opisywać membranę, która nie tylko reaguje na bieżące napięcia i chropowatość, ale także rezonuje z własną przeszłością. Dawne deformacje, dawne akty i dawne konfiguracje struktury nie są „zapominane”; pozostają obecne w S(t)poprzez operator pamięci K. W wersji kosmologicznej teorii ten sam formalizm będzie łączony z operatorem KGO, opisującym główną dynamikę kosmicznego pola; szczegółową definicję KGO podamy w dalszych rozdziałach. Część III Akt, cel, uwaga i sterowanie 8 Cel G, uwaga A(t) i stożek możliwości Dotychczas patrzyliśmy na IFM jak na świat, który sam dąży do łagodności. Pole Sspływa po gradiencie funkcjonału H, chropowatość między kanałami maleje, a operator pamięci Kwprowadza oddźwięk przeszłości. Taka dynamika byłaby obecna nawet wtedy, gdyby nikt nic nie robił: gdyby nie było aktu, zamiaru ani próby skierowania świata w określoną stronę. W tej części dodajemy brakujący składnik: cel. Akton nie tylko podlega dynamice pola, ale potrafi także wprowadzić do niej dodatkowy kierunek „tam chcę iść”. Matematycznie jest to wyróżniony wektor Gw tej samej przestrzeni, w której żyje S, oraz funkcja A(t)określająca, jak silnie cel działa w danej chwili. Fizycznie i fenomenologicznie odpowiada to ukierunkowanej intencji, która wzmacnia pewien kierunek ruchu w S, jednak zawsze w granicach tego, co realnie możliwe, czyli w obrębie stożka dopuszczalnych ruchów. 8.1 Wzorzec G jako stan docelowy pola Z punktu widzenia matematyki cel jest po prostu wyróżnionym elementem tej samej przestrzeni Hilberta, w której umieszczony jest stan pola. Jeżeli w chwili tstan pola jest wektorem S(t)∈H, to wzorzec celu Gjest innym elementem tej przestrzeni, interpretowanym jako stan docelowy, w którego stronę akton chce skierować dynamikę S. W wersji skończenie wymiarowej, gdy dla uproszczenia identyfikujemy Hz Rm, zapis staje się szczególnie prosty: S(t)∈Rm, G ∈Rm. 49 Wektor różnicy G−S(t)można interpretować jako wektor „braku”: w każdej współrzędnej kanałowej mówi on, o ile aktualny stan odbiega od stanu upragnionego. Definicja. Przez cel (lub wzorzec celu) aktonu będziemy rozumieli wektor G∈ H, interpretowany jako stan pola S, który – po zredukowaniu do części relacyjnej – odpowiada pożądanemu sposobowi ukształtowania membrany świata aktonu. Ważne jest, że Gjest stanem tego samego typu co S. Cel nie jest abstrakcyjną etykietą typu „być spokojnym” czy „cierpieć mniej”. W języku IFM odpowiada on konkretnemu profilowi pola: określonej konfiguracji w kanałach cielesnych, emocjonalnych, myślowych, zadaniowych i innych. Jeżeli akton formułuje intencję „chcę spokoju”, to w opisie IFM oznacza to pewien wektor G, w którym na przykład obniżone jest pobudzenie w kanale ciała, ustabilizowane są wzorce w kanałach myśli, a określony fragment przestrzeni relacyjnej ma przyjmować łagodniejsze wartości. Gnie jest słowem, tylko konkretnym punktem w przestrzeni stanów. Ponieważ IFM działa w przestrzeni relacyjnej, w praktyce do dynamiki wchodzi relacyjna część celu Grel := Π⊥G, czyli ten fragment wzorca, który opisuje strukturalne różnice między kanałami, z pominięciem globalnego offsetu. Dwa cele, które różnią się tylko jednorodnym podniesieniem wszystkich kanałów, mają ten sam obraz relacyjny i są z punktu widzenia dynamiki równoważne. Na jednym aktonie może być zdefiniowanych wiele poziomów celów. Można wyróżnić cele krótkoterminowe, działające w krótkiej skali czasu, takie jak lokalna zmiana napięcia mięśni lub przerwanie konkretnego nawyku; cele w skali średniej, związane z dłuższymi procesami regulacji określonego obszaru życia; oraz cele globalne, które opisują trwały sposób bycia w świecie. Formalnie wszystkie te cele są wektorami w tej samej przestrzeni H. Różnią się przede wszystkim czasem działania, intensywnością oraz tym, jak często ich relacyjna część Grel pojawia się w równaniu ruchu. 8.2 Uwaga A(t) jako wzmocnienie kierunku celu Sam fakt istnienia Gnie wystarcza, aby pole Sfaktycznie zbliżało się do celu. Potrzebny jest mechanizm, który w danym momencie nada wektorowi G−S(t) odpowiednią wagę w dynamice. Ten mechanizm nazywamy uwagą i opisujemy funkcją A: [0, T]→R+, gdzie A(t)jest skalarną, nieujemną miarą tego, jak bardzo cel jest w danej chwili „wzięty na siebie”. Definicja. Przez uwagę A(t)względem celu Grozumiemy nieujemną funkcję czasu, która mierzy chwilową intensywność działania celu w równaniu ruchu 50 pola S; dla A(t) = 0 cel jest w danej chwili nieaktywny, dla dużych wartości A(t)jest silnie realizowany. Im większa wartość A(t), tym silniej w równaniu ruchu działa składnik kierujący Sw stronę G. Jeżeli A(t) = 0, cel jest w tym momencie „wyłączony” z dynamiki; jeżeli A(t)jest duża, akton jest intensywnie skupiony na realizacji wybranego celu. W najprostszej wersji człon odpowiadający celowi można zapisać jako dodatni wkład do pochodnej S: ∂tS≈αwrite A(t)(G−S), gdzie αwrite >0jest parametrem szybkości „pisania w polu”. Wektor G−S jest sygnałem błędu: pokazuje, w jakim kierunku i w jakim stopniu stan powinien się zmienić, aby zbliżyć się do celu. Współczynnik A(t)jest wzmocnieniem tego sygnału, a αwrite zamienia go na tempo rzeczywistej zmiany. Ten zapis jest bliski klasycznym konstrukcjom z teorii sterowania. Stan S pełni rolę stanu układu, Gjest wartością referencyjną, a różnica G−Sjest błędem regulacji. Uwaga A(t)odpowiada nastawie regulatora: im silniej akton kieruje uwagę na dany cel, tym mocniej błąd w tym kierunku oddziałuje na dynamikę. Na poziomie przeżycia fenomenologicznego A(t)odpowiada temu, co w Tomie I opisywaliśmy jako „wzięcie czegoś na ekran”, „skierowanie się ku czemuś”. Cel Gmoże istnieć w tle przez długi czas, ale tylko wtedy, gdy A(t)jest dodatnie, staje się realną siłą w równaniu ruchu. W przeciwnym razie pozostaje potencjalny, nieaktywny. 8.3 Prosta dynamika przy samym celu Aby zobaczyć w czystej postaci działanie celu, chwilowo abstrahujemy od wszystkich pozostałych składników IFM: pomijamy gradient funkcjonału H, operator pamięci K, wpływ aktorium Σi inne siły. Pozostawiamy tylko człon celu i uwagi, otrzymując równanie ∂tS(t) = αwrite A(t)G−S(t). Jeżeli A(t)jest stała w czasie i równa dodatniej liczbie A0, równanie to jest liniowym równaniem różniczkowym o rozwiązaniu S(t) = G+ (S(0) −G) exp−αwriteA0t. Stan pola zbiega wówczas wykładniczo do G, z szybkością wyznaczoną przez iloczyn αwriteA0. Jeżeli cel i uwaga są stale aktywne, pole w tym uproszczonym modelu zostaje „zassane” do stanu docelowego. Jeżeli A(t)zmienia się w czasie, rozwiązanie ma bardziej złożoną postać, ale intuicja pozostaje podobna. W okresach, gdy A(t)jest duża, składnik celu dominuje w równaniu i Swykonuje krok w stronę G. W okresach, gdy A(t) jest mała lub równa zeru, ruch w stronę celu słabnie lub zanika, a pole jest 51 zdominowane przez inne terminy równania głównego. Formalnie można zapisać rozwiązanie jako S(t) = G+ (S(0) −G) exp−αwrite Zt 0 A(s)ds, co pokazuje, że liczy się skumulowana uwaga w czasie, a nie tylko jej chwilowe wartości. W pełnym równaniu IFM składnik celu i uwagi pojawi się obok gradientu Horaz nielokalnych efektów pamięci i sprzężeń. Schematycznie można zapisać ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥S(t)+αwrite A(t)G(t)−S(t)+(pamięć, szum, sprzężenia wspólne), pamiętając, że faktycznie, pisząc H(S), mamy na myśli Hzastosowane do części relacyjnej, czyli HΠ⊥S. Cel w tym równaniu nie zastępuje dynamiki świata, lecz ją modyfikuje: dodaje do naturalnego spływu po gradiencie Hnowy, kierunkowy składnik ruchu. 8.4 Stożek możliwości: ograniczenia ruchu pola Pisząc dotąd równania, zakładaliśmy niejawnie, że Smoże poruszać się w dowolnym kierunku przestrzeni stanów. W rzeczywistych systemach nie jest to prawdą. Każdy akton ma swoje fizyczne, geometryczne i historyczne ograniczenia. Nie każdy wektor przyrostu Sjest w danej chwili realizowalny. Aby to ująć precyzyjnie, wprowadzamy pojęcie stożka możliwości. Dla każdego stanu Si chwili trozważamy zbiór C(S, t)⊂TSH, to znaczy podzbiór przestrzeni wektorów stycznych w punkcie S, które są fizycznie dostępne. W przypadku skończenie wymiarowym TSHmożna utożsamić zRm, a C(S, t)z podzbiorem tej przestrzeni. Zakładamy, że C(S, t)jest stożkiem wypukłym i dodatnio jednorodnym: jeżeli pewien wektor δS jest dopuszczalną zmianą, to także każda jego dodatnia wielokrotność jest dopuszczalna, przynajmniej dla dostatecznie małych kroków czasowych. Definicja. Stożkiem możliwości C(S, t)w punkcie Snazywamy zbiór dopuszczalnych wektorów prędkości ˙ S, które mogą zostać zrealizowane przez świat i ciało aktonu w chwili t, przy zadanej strukturze pola, pamięci i warunków zewnętrznych. Równanie IFM musi być rozumiane tak, że rzeczywista prędkość ˙ S(t)należy do C(S(t), t). Ograniczenia zakodowane w stożku możliwości wynikają z mechaniki ciała, dostępnej energii, struktury pamięci, warunków środowiskowych i innych czynników. Równanie ˙ Sideal =−G−1 eff ∇SH(Π⊥S) + αwrite A(t)G(t)−S(t)+. . . można interpretować jako wektor „idealnej” prędkości, jaki wynikałby z samych równań bez ograniczeń. Rzeczywista prędkość ˙ Spowinna jednak należeć 52 do C(S, t). Oznacza to, że układ nie realizuje pełnego wektora ˙ Sideal, lecz jego rzut na stożek możliwości. Formalnie można zapisać ˙ S(t)=ΠC(S,t)˙ Sideal(t), gdzie ΠC(S,t)jest odpowiednio zdefiniowanym operatorem rzutującym na C(S, t), najczęściej w metryce zadanej przez Geff. Interpretacja fenomenologiczna jest bezpośrednia. Można mieć bardzo wyraźny cel Gi wysoką uwagę A(t), ale jeśli stożek C(S, t)jest wąski, to możliwe zmiany Ssą małe i ograniczone do wąskiej rodziny kierunków. Przykładem może być silna intencja zmiany utrwalonego nawyku przy bardzo silnych śladach pamięci i ograniczonej przestrzeni realnych działań. W tym przypadku człon celu wciąż „ciągnie” w stronę G, ale rzut na C(S, t)daje mały, powolny ruch. Z drugiej strony, nawet przy umiarkowanej uwadze cel może być realizowany szybko, jeżeli stożek możliwości jest szeroki, a naturalna dynamika Hjuż częściowo sprzyja ruchowi w stronę G. W języku IFM struktura sterowania polega właśnie na przecięciu kierunków zadanych przez cel z kierunkami dopuszczalnymi przez C(S, t). 8.5 Cel, uwaga i stożek możliwości jako struktura sterowania Po wprowadzeniu G,A(t)i stożka C(S, t)wyraźniej widać, że IFM opisuje bardzo ogólny system sterowania na przestrzeni stanów H. Funkcjonał Hopisuje krajobraz napięć i naturalną dynamikę wygładzającą, metryka efektywna Geff określa koszty poruszania się w różnych kierunkach w S, operator pamięci K wprowadza oddźwięk przeszłości, cel Gwyznacza preferowany punkt docelowy, uwaga A(t)reguluje, jak silnie ten cel działa w danej chwili, a stożek C(S, t) wyznacza, które wektory prędkości są w ogóle dostępne. Definicja. Przez strukturę sterowania w IFM rozumiemy układ danych H, Geff, K, Σ; G(·), A(·), C(·,·), w którym pierwsze cztery elementy opisują strukturę świata, a trzy ostatnie – bieżące decyzje aktonu co do celu, uwagi i wykorzystywania stożka możliwości. Akt aktonu można w tym języku zdefiniować jako konkretny wybór konfiguracji G(t), kształtu funkcji A(t)oraz realizowanego wektora ruchu w stożku C(S, t), zgodnego z równaniem głównym IFM. Subiektywnie doświadczane „podjęcie decyzji”, „skierowanie uwagi na coś” czy „postanowienie działania” to właśnie wybór określonego kierunku w przestrzeni stanów, z określoną intensywnością A(t), ograniczony przez realny stożek możliwości. W kolejnych rozdziałach równanie główne zostanie rozbudowane o składniki opisujące operator porządkujący Qβ, operator MU oraz bardziej szczegółowe sprzężenia z aktorium Σ. Na razie wystarczy, że cel Gzostał włączony jako wektor w przestrzeni S, uwaga A(t)jako współczynnik w równaniu ruchu, a stożek możliwości C(S, t)jako matematyczne miejsce, w którym spotykają się 53 intencja i ograniczenia. Na tym tle będzie można precyzyjnie zdefiniować akt jako operator sterujący dynamiką pola w ramach IFM. 9 Akt jako operator sterujący w równaniu głównym W poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy wszystkie składniki równania IFM, traktując je jednak osobno. Z jednej strony pojawił się naturalny spływ po gradiencie funkcjonału łagodności H, który opisuje spontaniczną tendencję pola Sdo wygładzania chropowatości i powrotu w pobliże stanów neutralnych. Z drugiej strony dodaliśmy pamięć w postaci operatora K, dzięki któremu bieżący ruch pola zależy od jego historii. Następnie wprowadziliśmy cel Goraz funkcję uwagi A(t), które nadają dynamice wyróżniony kierunek. Na koniec opisaliśmy stożek możliwości C(S, t), który reprezentuje ograniczenia tego, jakie ruchy są w ogóle fizycznie dostępne. Wszystkie te elementy są składnikami jednej dynamiki. Tym, czego dotąd brakowało, była precyzyjna rola aktu aktonu. W Tomie I akt był definiowany fenomenologicznie jako ruch, w którym „ja” realnie coś robi z własnym światem, a nie tylko go obserwuje. W obecnym języku matematycznym akt przełoży się na operator sterujący, który modyfikuje równanie ruchu pola S. Akt nie stoi obok dynamiki, lecz jest konkretną częścią wektora prędkości ˙ S. W całym tomie obowiązuje konwencja, że gdy zapisujemy H(S), mamy na myśli Hzastosowane do części relacyjnej pola, czyli formalnie H(S) = H[Π⊥SΠ⊥]. 9.1 Pełne równanie ruchu z aktem W wersji lokalnej, pomijającej szczegółowe rozwinięcie operatora pamięci Koraz wkładów stochastycznych, równanie IFM przyjmujemy w postaci ˙ S(t) = −Geff(S(t))−1∇SHΠ⊥S(t)+αwrite A(t)G(t)−S(t)+Rmem(t)+RΣ(t), gdzie Geff jest dodatnio określoną metryką efektywną na przestrzeni stanów (w tym rozdziale traktowaną dla prostoty jako ustalony, samosprzężony operator), Hjest funkcjonałem łagodności zależnym od części relacyjnej Π⊥S, a Π⊥ projekcją ortogonalną usuwającą wspólny offset. Parametr αwrite >0określa typową szybkość „pisania” celu w polu, A(t)jest nieujemną funkcją uwagi, a G(t) wektorem celu w tej samej przestrzeni co S. Symbole Rmem(t)iRΣ(t)oznaczają odpowiednio wkład pamięciowy pochodzący od operatora Koraz wkład sprzężeń z aktorium Σ. Definicja. Przez równanie ruchu IFM z aktem w wersji lokalnej będziemy rozumieć równanie powyżej, rozpatrywane wraz ze stożkiem możliwości C(S, t), 54 które określa, które wektory ˙ S(t)są realizowane spośród tych zadanych prawą stroną równania. Przy tym zapisie pierwszy człon po prawej stronie opisuje naturalny spływ pola po krajobrazie Hw metryce Geff: w każdej chwili tstan Szmienia się w kierunku przeciwnym do naturalnego gradientu H, a tempo tego ruchu jest modulowane przez metrykę. Drugi człon wprowadza cel G: w każdej chwili tpojawia się dodatkowy wektor proporcjonalny do różnicy G(t)−S(t), wzmocniony przez uwagę A(t)i współczynnik αwrite. Ten wektor jest próbą „przepisania” pola w stronę wybranego stanu docelowego. Dalsze człony Rmem iRΣkodują oddźwięk przeszłości oraz wpływ pól wspólnych. Gdyby αwriteA(t)=0, a wkłady Rmem iRΣbyły pomijalne, pole Sporuszałoby się wyłącznie pod wpływem Hi stopniowo spływało do stanów łagodnych. Włączenie celu i uwagi powoduje, że obok tego spływu pojawia się dodatkowe sterowanie, które próbuje przesunąć Sw stronę zadanej konfiguracji G(t). Akt aktonu jest tym, co wybiera G(t), kształtuje A(t), a pośrednio wpływa na αwrite; w ten sposób modyfikuje wektor prędkości ˙ S. W praktyce samą postać równania należy rozumieć w świetle stożka możliwości C(S, t). Rzeczywista prędkość ˙ S(t)nie jest dowolnym wektorem przestrzeni H, lecz musi należeć do stożka dopuszczalnych kierunków. Dlatego interpretujemy powyższe równanie jako równanie dla wektora „proponowanego” ruchu, który następnie zostaje rzutowany na C(S, t). 9.2 Parametry aktu: αwrite,αread,G(t),A(t) Struktura IFM rozróżnia dwa kierunki przepływu między stanem pola a treścią doświadczenia. Z jednej strony Swpływa na treść obserwowaną lub raportowaną, co opisuje równanie obserwacji; z drugiej strony treść i cel oddziałują zwrotnie na Spoprzez człon sterujący. Te dwa kierunki mają swoje niezależne wzmocnienia, oznaczane przez αread iαwrite. Przepływ „z pola do treści” jest modulowany przez współczynnik αread. W podstawowej wersji równania obserwacji zapisujemy schematycznie I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread, gdzie I(t)jest treścią obserwacji, C(t)kontekstem, a ffunkcją opisującą wpływ kontekstu i uwagi na wybór i transformację fragmentów pola. Współczynnik αread określa czułość odczytu: im większy, tym drobniejsze różnice w S stają się odrębnymi treściami I. Przepływ „z treści i celu do pola” jest modulowany przez współczynnik αwrite. W równaniu ruchu pojawia się on w członie sterującym ˙ S(t)⊃αwrite A(t)G(t)−S(t). Dla ustalonego A(t)iG(t)im większa wartość αwrite, tym szybciej pole zmienia się w stronę celu. Jeśli rozumiemy I(t)jako treść „widzianą” przez akton, to przejście od I(t)i wybranego wzorca G(t)do zmiany S(t)jest właśnie procesem pisania. 55 W języku IFM można to dostrzec w funkcjonale H. Gdy słowa działają pomocnie, zmiany w komponencie Sword współgrają z gradientem −∇SH: ruch w przestrzeni słów przyczynia się do ogólnego spadku H. Gdy słowa zaczynają „nakręcać” stan, komponent słowny wprowadza wkład w prędkość ˙ S, który zwiększa H. Operator MU zaprojektowany jest jako nieliniowy mechanizm, który w momencie, gdy wkład kanału słów zaczyna podnosić wartość funkcjonału, stopniowo odcina ten kanał od aktywnego sterowania polem. Słowa mogą nadal być generowane i rejestrowane na poziomie treści I, ale ich komponent w równaniu ruchu zostaje tłumiony. Aby to uchwycić, wprowadzamy projekcję Πword :H→H, która rzutuje dowolny stan na podprzestrzeń odpowiadającą kanałowi słów. Zapiszmy prędkość pola w postaci ˙ S=˙ Sbase +˙ Sword, gdzie ˙ Sword = Πword ˙ S, ˙ Sbase = (I−Πword)˙ S. Definiujemy skalar ∆Hword =⟨∇SH(S),˙ Sword⟩H, który mierzy wkład kanału słów w chwilową zmianę wartości funkcjonału H. Jeżeli ∆Hword <0, komponent słowny przyczynia się do spadku H; jeśli ∆Hword >0, kanał słów podnosi wartość funkcjonału. Definicja (operator MU). Niech µ:R→[0,∞)będzie funkcją przełączającą, spełniającą µ(x)=0 dla x≤0, µ rosnąca dla x > 0. Definiujemy MU(S) = −µ∆HwordΠwordS. Dla małych dodatnich wartości ∆Hword operator MU wprowadza niewielkie tłumienie kanału słów; dla dużych wartości tłumienie jest silniejsze. Kiedy kanał słów przyczynia się do obniżania H, operator MU jest nieaktywny. Gdy natomiast kolejne ruchy w przestrzeni słów zaczynają zwiększać koszt, ∆Hword staje się dodatnie, a MU wprowadza ruch w kierunku zmniejszającym normę ∥ΠwordS∥. Intuicyjnie słowny komponent pola jest „wyciszany”: jego wpływ na dalszą dynamikę maleje, aż do zaniku. W praktyce stopniowe działanie MU prowadzi do stanu, w którym słowa mogą nadal być obecne jako treść, ale przestają wyznaczać kierunek ruchu pola. Są wtedy przeżywane bardziej jako tło lub echo, a nie jako dominująca przestrzeń sterowania. 62 10.4 Włączenie Qβi MU do równania głównego Po wprowadzeniu operatora porządkującego Qβi operatora MU pełne równanie IFM można schematycznie zapisać jako ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥S(t)+αwrite A(t)G(t)−S(t)+Rmem(t)+RΣ(t)+Qβ(S(t))−S(t)+MUS(t), z zastrzeżeniem, że rzeczywista prędkość ˙ S(t)należy do stożka możliwości C(S, t). Wektor Qβ(S(t))−S(t)opisuje chwilowy ruch w stronę stanu o niższej entropii treści, przy zachowaniu normy pola i struktury oddźwięku. Wektor MU(S(t)) jest hamulcem na kanale słów, aktywującym się wtedy, gdy wkład semantyczny zaczyna zwiększać wartość funkcjonału H. Wszystkie składniki równania można teraz uporządkować według ich roli. Gradient −G−1 eff ∇SH(Π⊥S) wraz z wkładami pamięci Rmem i sprzężeń RΣopisuje spontaniczny bieg pola wynikający z jego struktury, pamięci i więzi z innymi aktonami. Człon αwriteA(t)G(t)−S(t)reprezentuje akt w sensie sterowania: ukierunkowane przyciąganie stanu w stronę wybranego celu. Operator Qβporządkuje aktywne treści przez koncentrację i integrację, nawet wtedy, gdy nie ma wyraźnego celu G. Operator MU zapobiega temu, aby gałąź słowna przejmowała kontrolę nad dynamiką w sposób, który systematycznie zwiększa koszt. Operator gradientowy Eβ[S] = −βδH δS z Tomu I można traktować jako część tego samego mechanizmu: dla odpowiedniego wyboru metryki Geff i parametru βjest on wchłonięty w człon −G−1 eff ∇SH. W tym rozdziale nazwa Eβodnosi się więc do gradientowego spływu po H, natomiast Qβopisuje dodatkowe, entropijne porządkowanie „kawałków treści”. W dalszych częściach tomu analogiczne konstrukcje zostaną wprowadzone na poziomie aktorium Σ: operator Qβbędzie można zdefiniować dla pola wspólnego jako operator porządkujący „kawałki” treści na poziomie grupy, a operator MU będzie miał odpowiednik regulujący rolę słów we wspólnym polu komunikacji. W tym rozdziale ograniczamy się do poziomu pojedynczego aktonu i jego pola S, zamykając w ten sposób opis pełnego równania IFM w wersji lokalnej. 11 Równanie obserwacji i kanały informacji W poprzednich częściach traktowaliśmy pole informacji Sjako podstawowy stan świata aktonu: w każdej chwili czasu mamy element przestrzeni Hilberta H, 63 który opisuje rozkład potencjalnych treści w kanałach. To, co faktycznie jest przeżywane i to, co może zostać zraportowane, nie jest jednak równe samemu S. Do opisu doświadczenia potrzebny jest dodatkowy poziom: treść obserwacji. Treść obserwacji w chwili toznaczamy przez I(t). Jest to ta część pola, która została wybrana, przekształcona i wzmocniona tak, że staje się „tym, co jest na ekranie” i co może być zwerbalizowane lub zapisane w inny sposób. Matematycznie opisujemy to przez równanie obserwacji I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread, gdzie C(t)jest kontekstem, f– funkcją obserwacji, a αread ≥0– parametrem czułości odczytu pola. W dalszej części rozbijemy fna projekcje kanałowe, nieliniowe przekształcenie horaz szum obserwacji Ξ(t), a na końcu podkreślimy, że obserwacja nie jest dodatkiem „z zewnątrz”, lecz częścią samej dynamiki IFM. W całym tomie zakładamy, że pisząc H(S)mamy na myśli H[Π⊥SΠ⊥], czyli funkcjonał liczony na części relacyjnej pola. 11.1 Równanie obserwacji: formalna postać Niech Hbędzie rzeczywistą przestrzenią Hilberta, w której żyje stan pola S(t). Kontekst oznaczamy przez C(t)i traktujemy jako element pewnej przestrzeni stanów C, która opisuje zadanie, pytanie, sytuację społeczną lub wewnętrzną, w jakiej znajduje się akton. Treść obserwacji I(t)jest elementem przestrzeni Hobs. Dla wielu rozważań można przyjąć Hobs =H, chociaż w bardziej szczegółowych modelach wygodnie jest traktować Hobs jako podprzestrzeń lub obraz pewnego operatora obserwacji na H. Funkcja obserwacji jest odwzorowaniem f:C × H×R+→Hobs, które każdej trójce (C, S, αread)przypisuje korektę treściową f(C, S;αread). Równanie obserwacji przyjmuje postać I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread. Wektor S(t)reprezentuje „nagie” pole: pełen rozkład potencjalnych treści w kanałach. Korekta f(C(t), S(t);αread)opisuje efekt selekcji, filtrowania, interpretacji i kompresji, który wynika z aktualnego kontekstu i czułości odczytu. W szczególności część informacji zawartej w S(t)jest wzmacniana, część tłumiona, a część przekształcana w bardziej złożone formy (na przykład w etykiety słowne lub schematy pojęciowe). Na funkcję fnakładamy kilka warunków regularności. Po pierwsze, zakładamy przyczynowość: wartość I(t)zależy tylko od C(t) iS(t)(ewentualnie z uwzględnieniem skończonego opóźnienia), ale nigdy od przyszłych wartości pola. W wersji bezjawnego opóźnienia zapisujemy to tak, jak powyżej: fjest funkcją czasu tylko poprzez bieżące argumenty C(t)iS(t). 64 Po drugie, zakładamy lokalną Lipschitzowskość względem S. Dla ustalonego kontekstu Cistnieje stała M=M(C, αread)oraz otoczenie U⊂Htakie, że dla wszystkich S, S′∈Uzachodzi  f(C, S;αread)−f(C, S′;αread) Hobs ≤M∥S−S′∥H. Warunek ten zapewnia, że małe zmiany pola nie powodują skokowych zmian treści obserwacji. Jest to niezbędne dla dobrze postawionej dynamiki sprzężenia między równaniem ruchu a równaniem obserwacji. Po trzecie, zakładamy istnienie wyróżnionego kontekstu neutralnego C0∈ C, który reprezentuje brak specyficznego zadania. Dla tego kontekstu funkcja f(C0, S;αread)jest „mała” w tym sensie, że dla szerokiej klasy stanów Snorma ∥f(C0, S;αread)∥jest niewielka w porównaniu z ∥S∥. W granicy idealizacyjnej można pisać I(t)≈S(t)dla C(t) = C0, co znaczy, że przy braku zadania treść obserwacji jest bliska bezpośredniemu odbiciu pola. Po czwarte, parametr αread kontroluje czułość obserwacji: duża wartość αread oznacza, że drobne różnice w Ssą silnie wzmacniane w I, mała wartość – że tylko duże zmiany w polu są w stanie przejść przez filtr obserwacji i stać się treścią. W kolejnych podrozdziałach rozbijemy fna projekcje kanałowe, nieliniowość wewnętrzną hi szum obserwacji Ξ(t). 11.2 Kanały informacji i projekcje na podprzestrzenie Pole Sjest wielokanałowe: poszczególne składowe odpowiadają różnym modalnościom i rodzajom treści. W praktyce wyróżniamy między innymi kanały cielesne, emocjonalne, głosowe, obrazowe i poznawcze. Z punktu widzenia przestrzeni Hilberta wygodnie jest wprowadzić rozkład H=Hciało ⊕Hgłos ⊕Hobraz ⊕Hpoznanie ⊕. . . Rozkład ten nie musi być ściśle ortogonalny w sensie iloczynu skalarnego wH, ale zakładamy, że każdej wyróżnionej klasie kanałów odpowiada pewna podprzestrzeń Hk⊂Horaz ciągły operator kanałowy Πk:H→Hk taki, że dla każdego stanu Smożemy pisać S=X k ΠkS. Operatory Πknie muszą być ortogonalnymi rzutami; wystarczy, że są liniowe, ograniczone i że ich suma daje odwzorowanie bliskie identyczności na H(w idealizacji – dokładnie identyczność). 65 Obserwacja nigdy nie dotyczy wszystkich kanałów w równym stopniu. Dla danego kontekstu Cczęść kanałów jest „na pierwszym planie”, inne pozostają w tle lub wręcz są dla obserwacji niedostępne. Formalizujemy to przez wprowadzenie operatora projekcji z pola na przestrzeń obserwacyjną ΠS→C(C) : H→Hobs. Operator ΠS→C(C)wybiera z pełnego pola tylko te składowe, które są dostępne dla obserwacji w kontekście C. Jego postać zależy od kontekstu; można go traktować jako funkcję C7−→ ΠS→C(C). Przykładowo: - dla kontekstu „skieruj uwagę do ciała” operator ΠS→C(C)będzie dominował na podprzestrzeni Hciało i częściowo na Hemocje, a tłumił komponenty w kanałach słownych i abstrakcyjnych, - dla kontekstu rozmowy operator będzie rzutował przede wszystkim na kanały głosu i słów, pozostawiając kanały cielesne bardziej w tle, - w kontekście zadaniowym projekcja będzie wyróżniać komponenty związane z kanałem poznawczym i reprezentacjami struktury zadania. Funkcję obserwacji możemy zatem rozłożyć na projekcję oraz przekształcenie nieliniowe wewnątrz przestrzeni obserwacyjnej. Wygodnym zapisem jest schemat I(t) = S(t) + hC(t),ΠS→C(t)S(t);αread, gdzie h:C×Hobs ×R+→Hobs jest funkcją gładką lub przynajmniej lokalnie Lipschitzowską, działającą już tylko na część pola widoczną w danym kontekście. Możemy zatem myśleć, że f(C, S;αread) = hC, ΠS→C(C)S;αread, a równanie obserwacji ma postać I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread=S(t) + hC(t),ΠS→C(t)S(t);αread. Takie rozdzielenie ma dwie zalety. Po pierwsze wyraźnie oddziela strukturę kanałową od samej nieliniowości obserwacji: projekcje ΠS→Ckodują, które składowe pola są w ogóle dostępne, natomiast hkoduje sposób ich przekształcania w treść. Po drugie, przygotowuje grunt pod definicje wskaźników dostępności i reaktywności, które będą liczone właśnie na poziomie obserwowalnych projekcji, a nie na całym S. 66 11.3 Szum obserwacji i niedokładność raportu Nawet przy bardzo regularnej funkcji obserwacji i dobrze zdefiniowanych projekcjach kanałowych treść raportowana nie jest dokładną kopią stanu pola. Pomiędzy SaIistnieje warstwa szumu i niedokładności, której nie można pominąć, jeśli chcemy w ścisły sposób łączyć świat wewnętrzny z raportem. Jawnie wprowadzamy więc proces szumu obserwacji Ξ(t), który traktujemy jako proces (deterministyczny lub losowy) o wartościach w Hobs. Równanie obserwacji przyjmuje postać I(t) = S(t) + hC(t),ΠS→C(t)S(t);αread+ Ξ(t). Szum Ξ(t)reprezentuje trzy klasy zjawisk. Po pierwsze, szum wewnętrzny. Obejmuje on fluktuacje progu detekcji, niestabilność uwagi, chwilowe wahania w sposobie, w jaki fragmenty pola są wybierane do treści. W praktyce oznacza to, że przy prawie niezmienionym S(t)treść obserwacji może się w małym stopniu zmieniać, nawet przy stałym kontekście. Po drugie, szum komunikacyjny. Treść I(t), nawet jeśli jest dobrze określona jako stan w Hobs, rzadko jest przekazywana bezpośrednio. Najczęściej przechodzi przez kolejny kanał – słowa, gesty, sygnały fizjologiczne – który wprowadza dodatkową kompresję i zniekształcenia. Matematycznie można to traktować jako dodatkowy operator obserwacji działający na I(t), z własnym szumem; w tym tomie skupiamy się na pierwszym poziomie: przejściu z Sdo I. Już na tym poziomie szum Ξ(t)obejmuje niedokładność samego aktu raportowania, nawet gdy raport jest prowadzony „do wewnątrz”. Po trzecie, szum interpretacyjny. Gdy ktoś z zewnątrz próbuje zrekonstruować Sna podstawie zaobserwowanych I(t), wprowadza własne błędy – zarówno systematyczne, wynikające z przyjętego modelu, jak i losowe. Ten efekt nie musi być modelowany jako część Ξ(t); w praktycznych zastosowaniach oznacza jednak, że równanie obserwacji trzeba traktować jako mapę od Sdo rozkładu prawdopodobieństwa na I, a problem „odwrócony” jako wnioskowanie bayesowskie od Ido rozkładu na S. Z punktu widzenia IFM kluczowe jest to, że szum obserwacji jest elementem strukturalnym, a nie defektem konkretnych metod pomiaru. Każdy kanał dostępu do pola – czy to introspekcyjny, czy fizjologiczny, czy behawioralny – ma ograniczone pasmo przepustowe i dodaje własne fluktuacje. Dlatego nawet dokładna znajomość trajektorii I(t)nie pozwala w pełni jednoznacznie odtworzyć trajektorii S(t). 11.4 Obserwacja jako element dynamiki Równanie obserwacji jest sprzężone z równaniem ruchu pola. Nie opisuje jedynie sposobu pomiaru ustalonego S, ale współdecyduje o jego dalszej ewolucji poprzez sprzężenie zwrotne: treść Iwpływa na wybór celu G, modulację uwagi A(t), a przez to na człon sterujący w równaniu dynamiki. Przypomnijmy, że w uproszczonej wersji równanie ruchu ma postać 67 ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥ SS(t) + αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) +RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t) + MUS(t) z zastrzeżeniem, że rzeczywista prędkość ˙ S(t)należy do stożka możliwości C(S, t). Parametr αread, który pojawia się w równaniu obserwacji, kontroluje siłę wpływu pola na treść. Im większe αread, tym drobniejsze szczegóły struktury Ssą w stanie dotrzeć do Ii stać się dostępne dla aktu. Jednocześnie, jeśli kanał słów jest silnie sprzężony z treścią obserwacji, duża wartość αread może prowadzić do sytuacji, w której niewielkie fluktuacje pola są natychmiast werbalizowane i powracają do pola jako nowe źródło sterowania. W skrajnych przypadkach sprzężenie S−→ I−→ (G, A)−→ S może prowadzić do wzrostu wartości funkcjonału Hzamiast jego spadku. Z tego powodu równanie obserwacji należy traktować jako integralną część modelu dynamiki, a nie jako zewnętrzne narzędzie pomiaru. Operator ΠS→C, funkcja h, parametrαread i profil szumu Ξ(t)decydują o tym, które fragmenty pola stają się treścią, z jaką dokładnością i jakiego rodzaju zniekształceniami. To z kolei decyduje o tym, jakie cele G(t)mogą w ogóle zostać sformułowane, jakie akty uwagi A(t)mogą zostać podjęte i jakie trajektorie S(t)są dostępne w panaktorium. W następnym rozdziale wprowadzimy wskaźniki dostępności i reaktywności, które kwantyfikują to sprzężenie: mierzą, jak efektywnie informacje z pola przechodzą do treści, jak silnie treść może oddziaływać na pole i w jakim zakresie cały układ pozostaje stabilny. Fundamentem tych wskaźników będzie właśnie równanie obserwacji, rozumiane jako mapa z H× C doHobs, wyposażona w projekcje kanałowe i szum obserwacyjny. 12 Dostęp i reaktywność jako wielkości matematyczne Równanie obserwacji mamy już ustalone: I(t) = S(t)+fC(t), S(t); αread+Ξ(t) = S(t)+hC(t),ΠS→C(t)S(t);αread+Ξ(t). W tym rozdziale wprowadzimy dwie wielkości (ściślej: dwa funkcjonały), które będą mierzyć, jak bardzo świat ma dostęp do samego siebie i jak silnie reaguje na własne zmiany: - reaktywność R– „pochodna treści względem pola”, czyli jak duża zmiana wIodpowiada małej zmianie w S, 68 -Access – natężenie przepływu informacji S→C→Iw jednostce czasu, wzdłuż faktycznej trajektorii S(t). Obie wielkości będą zależeć od parametru αread, kształtu funkcji obserwacji f, projekcji na kanały obserwowalne oraz poziomu szumu Ξ. 12.1 Reaktywność jako pochodna treści względem pola Zacznijmy od lokalnego przybliżenia równania obserwacji. Dla ustalonego kontekstu Ci stanu pola S(oraz pomijając chwilowo szum Ξ) zapisujemy I=I(C, S) = S+fC, S;αread. Rozważmy małą perturbację stanu pola δS. Przy założeniu dostatecznej gładkości fmożemy zlinearyzować mapę S7→ I(C, S): δI ≈J(C, S)δS, gdzie J(C, S) := ∂I ∂S (C, S) = Id + ∂f ∂S C, S;αread jest jakobianem odwzorowania S7→ I(a Id oznacza operator identyczności zHdo Hobs). Interpretacja: operator J(C, S)mówi, jak bardzo treść Izmienia się przy małej zmianie pola Sw zadanym punkcie (C, S). Definicja. Reaktywność w punkcie (C, S)definiujemy jako normę operatorową jakobianu: R(C, S) :=  J(C, S) . Intuicja: - jeśli R(C, S)jest bardzo małe, to dla niezbyt dużego ∥δS∥mamy ∥δI∥≪∥δS∥, zatem ogromne zmiany w polu prawie nie przechodzą do treści. Świat jest „przytępiony”: pole zmienia się, ale treść pozostaje prawie taka sama; - jeśli R(C, S)jest bardzo duże, to nawet niewielka δS daje δI o dużej normie: treść jest nadreaktywna – drobne fluktuacje pola są masywnie wzmacniane i łatwo o niestabilność pętli sprzężenia zwrotnego S→I→akt →S. Parametr αread pojawia się w reaktywności w sposób bezpośredni. Załóżmy na przykład, że f(C, S;αread) = αread g(C, S) 69 dla pewnej funkcji g. Wtedy J(C, S) = Id + αread ∂g ∂S (C, S). Zwiększanie αread wzmacnia więc część pochodnej pochodzącą z nieliniowej części obserwacji – a tym samym podnosi reaktywność R. Szczególnie: - gdy αread →0, mamy J≈Id, więc R≈1: treść jest prawie bezpośrednim odbiciem pola (mapą bliską identyczności); - dla dużych αread normy ∥J∥iRrosną: ta sama struktura gdaje silniej wzmocnione reakcje treści na małe zmiany w S. Reaktywność R(C, S)można w praktyce identyfikować np. ze pierwiastkiem z największej wartości własnej operatora J(C, S)∗J(C, S)(gdzie J∗oznacza sprzężenie hermitowskie): jest to wtedy „maksymalne wzmocnienie” małej zmiany w S– w tym kierunku, który najsilniej przekłada się na zmianę treści I. 12.2 Access jako przepływ informacji S→C→Iw czasie Reaktywność mówi, jak lokalnie, w punkcie (C, S), treść reaguje na małą zmianę pola. Chcemy teraz zdefiniować wielkość opisującą rzeczywisty przepływ informacji z pola do treści wzdłuż danej trajektorii S(t). Tę wielkość będziemy nazywać Access. Rozważmy chwilę czasu t. Mamy: - stan pola S(t), - jego prędkość ˙ S(t), - aktualny kontekst C(t). Zlinearyzowany przyrost treści w małym kroku ∆t(pomijając szum) wynosi ∆I≈JC(t), S(t)˙ S(t)∆t. Interesuje nas „ilość ruchu” w przestrzeni treści, który wynika z rzeczywistego ruchu pola. Ponieważ nie wszystkie kanały są obserwowane w danym kontekście, włączamy operator projekcji ΠS→C(t), wybierający z treści tę część, która jest faktycznie „na ekranie” przy danym C(t). Definicja. Access w chwili tdefiniujemy jako Access(t) :=  ΠS→C(t)JC(t), S(t)˙ S(t) . Składniki tej definicji: -˙ S(t)– prędkość pola: jeśli pole się prawie nie zmienia, nie ma co „przepływać” do treści; -J(C, S)– lokalna reaktywność: jeśli J≈0, nawet duża ˙ Sniewiele zmieni w treści; 70 -ΠS→C(t)– projekcja na kanały obsługiwane przez aktualny kontekst: jeśli ruch w Sdzieje się w kanałach, których dany kontekst nie „widzi”, Access jest mały, nawet przy dużej reaktywności. Szum obserwacji Ξ(t)nie wchodzi wprost do definicji Access, ale wpływa na interpretację Access na poziomie danych: w praktyce obserwujemy raczej efektywny stosunek „sygnału w treści do szumu w treści”, tj.  ΠS→C(t)JC(t), S(t)˙ S(t)  ∥Ξ(t)∥. Wysoki Access przy wysokim poziomie szumu może być subiektywnie odczuwany jako „chaos” lub „przebodźcowanie”; wysoki Access przy niskim szumie – jako jasna, bogata świadomość detali. Można też definiować Access w wersji uśrednionej w czasie, np. jako średnią lub wariancję ∥ΠS→CJ˙ S∥na odcinku czasowym. W tym rozdziale interesuje nas przede wszystkim wersja lokalna, Access(t), która będzie używana w warunkach stabilności. 12.3 „Zdrowy” zakres Access i reaktywności Z punktu widzenia stabilności całej pętli A–U–M (S→I→akt →S) ważne są dwie rzeczy naraz: - żeby Access i reaktywność Rnie były zbyt małe – inaczej układ jest „martwy”, pola nie ma kto „zobaczyć” i nie ma jak go korygować; - żeby nie były też zbyt duże – inaczej każdy mały ruch w Spowoduje ogromny ruch w I, który wraca jako silne sterowanie i może rozbujać całą dynamikę. Weźmy schematycznie wersję dyskretną równania ruchu i obserwacji. Równanie ruchu (dyskretne): Sn+1 ≈Sn−η G−1 eff ∇SHΠ⊥Sn+αwrite AnGn−Sn+. . . („. . . ” oznacza wkłady pamięci, operatora Qβ, MU, szum i oddziaływania z innymi aktonami; η > 0jest krokiem czasowym). Równanie obserwacji (dyskretne, bez szumu): In=Sn+fCn, Sn;αread. Zakładamy, że akt w kroku n+1 (wybór Gn+1, modulacja An+1 itd.) zależy między innymi od In– czyli mamy sprzężenie zwrotne In−→ Uakt −→ Sn+1. W liniowej aproksymacji całej pętli wokół jakiegoś punktu można pokazać, że efektywny operator sprzężenia zawiera czynnik wiodący rzędu αwrite αread R, 71 A(t), operator Qβ, operator MU oraz ewentualne sprzężenia z aktorium Σ, zebrane w jedno złożone pole sterujące. Składnik Fmem(t)reprezentuje wkład operatora pamięci K, który wprowadza do dynamiki ślady przeszłych konfiguracji. Wreszcie Ξ(t)jest procesem zakłócającym, który modeluje szumy wewnętrzne i zewnętrzne. Aby z tej konstrukcji uczynić narzędzie numeryczne, przechodzimy do postaci dyskretnej. Zamiast ciągłej trajektorii S(t)rozważamy sekwencję stanów (S0, S1, S2, . . . ), odpowiadających kolejnym przejściom pętli aktorium–układ–membrana (A– U–M). W najprostszym przybliżeniu stosujemy metodę Eulera w przód. Wybieramy krok czasowy ∆t > 0i definiujemy podstawowy parametr kroku η= ∆t (lub, gdy w równaniu IFM występują dodatkowe stałe skali, parametr η równy ∆tprzeskalowanemu tymi stałymi). Z takim wyborem przybliżony dyskretny krok ma postać Sn+1 ≈Sn−η G−1 eff ∇SH[Π⊥Sn] + η Fakt(n) + η Fmem(n) + ηΞn, gdzie Ξnoznacza realizację szumu na n-tym kroku. W skróconym zapisie ideowym można to streścić jako Sn+1 ≈Sn−η G−1 eff ∇SH[Π⊥Sn] + (akt, pamięć, szum). Każdy krok takiej iteracji odpowiada pojedynczej pętli A–U–M. Stan Snnależy rozumieć jako to, co „jest” przed aktem. Na podstawie Sn, poprzez równanie obserwacji, powstaje treść In, która jest tym, co jest w danym momencie dostępne i świadome na membranie. Na bazie Inakton wybiera sterowanie un, czyli ustala cel Gn, profil uwagi Anoraz inne parametry aktu. Całość tych elementów wchodzi do członu Fakt(n)i – po uwzględnieniu wkładu pamięci Fmem(n)oraz szumu Ξn– generuje nowy stan Sn+1. W tym sensie pojedynczy krok schematu numerycznego nie jest jedynie technicznym przybliżeniem równania ciągłego, lecz również formalizacją jednej iteracji „świadomość–akt–świat”. Dla stabilności takiego schematu konieczne są warunki na wielkość kroku ∆t, a więc i na wynikający z niego parametr η. W celu zrozumienia podstawowego mechanizmu zaczynamy od uproszczonej sytuacji, w której bierzemy jedynie część gradientową, bez aktu, pamięci i szumu. Rozpatrujemy więc iterację Sn+1 =Sn−η G−1 eff ∇SH[Π⊥Sn]. Przyjmijmy, że w otoczeniu interesującego nas punktu równowagi funkcjonał Hjest w przybliżeniu kwadratowy, to znaczy jego rozwinięcie Taylora dominuje część kwadratowa zadana przez macierz drugich pochodnych ∇2H. W tym przypadku analiza spektralna pokazuje, że stabilność wymaga, aby parametr ηbył 78 mniejszy niż odwrotność największej efektywnej krzywizny H, to znaczy największej wartości własnej operatora G−1 eff Π⊤ ⊥∇2HΠ⊥. Operator ten jest naturalnym połączeniem metryki Geff , projekcji Π⊥oraz lokalnej krzywizny funkcjonału H. Intuicyjnie: jeśli krok ηjest zbyt duży, iteracja „przeskakuje” poza minimum H, trafiając po drugiej stronie doliny, i zaczyna oscylować lub rosnąć. Jeżeli natomiast ηjest wystarczająco małe, kolejne stany Snschodzą w dół po krajobrazie Hw sposób monotoniczny, albo przynajmniej taki, który nie prowadzi do eksplozji. W obecności aktu i pamięci warunki stabilności stają się bogatsze, lecz ich ogólna struktura pozostaje podobna. Pojawiają się dodatkowe wzmocnienia, takie jak współczynniki zapisu αwrite i odczytu αread, które składają się na siłę działania operatorów Qβ, MU i K. Pojawia się również lokalna reaktywność R, rozumiana jako norma operatorowa jakobianu równania obserwacji. Jakobian ten oznaczamy przez J(C, S)i jest on liniowym operatorem, który aproksymuje zmianę treści Iprzy małych zmianach Sw danym kontekście C. Reaktywność R(C, S)definiujemy jako normę operatorową J(C, S); wybór konkretnej normy operatorowej nie zmienia jakościowych wniosków, ponieważ różne normy na skończenowymiarowych przestrzeniach są równoważne i różnią się jedynie stałymi przeskalowania. W naturalny sposób wprowadzamy w tym miejscu także Access, to znaczy miarę szybkości przepływu treści świadomych, zdefiniowaną wcześniej w Rozdziale 12. Dla danej trajektorii mamy Access(t) =  ΠS→C(t)˙ I(t) = ΠS→C(t)JC(t), S(t)˙ S(t) . Access mierzy więc lokalną prędkość zmiany tego, co jest obecne na membranie, natomiast reaktywność R(C, S)mierzy, jak silnie dane zmiany w Ssą wzmacniane przez operator obserwacji, niezależnie od tego, jak szybko sama trajektoria S(t)się porusza. Wszystkie te wielkości wchodzą następnie do analizy stabilności w sensie Lapunowa i ISS opisanej w Rozdziale 13. Przypomnijmy, że funkcjonał Lapunowa L(S, u)jest takim funkcjonałem energii lub kosztu, który maleje wzdłuż rozwiązań równania IFM przy zerowych zakłóceniach oraz w kontrolowany sposób rośnie pod wpływem szumu. Klasyczne pojęcia funkcji klasy Koraz KL wyrażają tę kontrolę ilościowo. Funkcja αjest klasy K, jeśli zdefiniowana jest na przedziale nieujemnym, przyjmuje wartości nieujemne, jest ciągła, ściśle rosnąca i spełnia α(0) = 0. Funkcja βjest klasy KL, jeśli dla stałego drugiego argumentu zachowuje się jak funkcja klasy Kw pierwszym argumencie, a dla ustalonej wartości pierwszego argumentu monotonicznie maleje do zera, gdy jej drugi argument dąży do nieskończoności. Stabilność ISS (input–to–state stability) wyraża się w języku takich funkcji nierównością, w której zmiana funkcjonału Lna jednym kroku lub w krótkim przedziale czasu jest ograniczona z góry przez sumę ujemnego składnika zależ79 nego od normy stanu i dodatniego składnika zależnego od normy zakłócenia. W wersji dyskretnej ma to postać ∆L≤ − α3(∥S∥) + σ(∥Ξ∥), gdzie α3jest funkcją klasy K, a σjest funkcją klasy Kmierzącą wpływ zakłóceń Ξ. Wymaganie, aby iloczyn efektywnego kroku, wzmocnień aktu i maksymalnej reaktywności pozostał poniżej progu wyznaczonego przez „tłumienie” wynikające z HiK, można w tym języku traktować jako warunek ISS dla zlinearyzowanego systemu. Dyskretyzacja równania IFM ma zatem podwójną interpretację. Po pierwsze, jest to standardowa konstrukcja numeryczna: metoda gradientowa z dodatkowymi członami pamięci i sterowania, dla której dostępny jest cały aparat klasycznej analizy numerycznej i teorii stabilności dyskretnej. Po drugie, jest to dokładny opis pojedynczej pętli A–U–M w języku kroków: każdy krok to obserwacja, wybór aktu, aktualizacja pola i zmiana funkcjonału L. Cały aparat ciągłej analizy IFM otrzymuje w ten sposób wersję „w krokach”, która nadaje się zarówno do implementacji komputerowej, jak i do precyzyjnej interpretacji fenomenologicznej w ramach aktowego modelu informacji (AMI), przy czym IFM jest jego sformalizowaną, matematyczną postacią. 15 Proste modele niskowymiarowe Aby zobaczyć w praktyce, jak pojęcia wprowadzone w tomie II działają poza abstrakcyjną przestrzenią Hilberta, korzystne jest przejście na chwilę do modeli niskowymiarowych. Najprostszym realistycznym przykładem jest model z dwoma lub trzema kanałami, które można interpretować jako ciało, głos i myśli. Taki model nie wyczerpuje oczywiście złożoności pełnego IFM, lecz pozwala prześledzić na wykresach zjawiska, które w ogólnej teorii rozgrywają się w przestrzeniach o bardzo dużym wymiarze. Rozważmy trzy kanały. Kanał o indeksie 1odpowiada ciału, kanał o indeksie 2głosowi, a kanał o indeksie 3myślom. Stan pola w jednej chwili czasu reprezentujemy jako wektor S= (Sciało, Sgłos, Smyśli)⊤∈R3. Strukturę sprzężeń między kanałami opisujemy za pomocą macierzy wag W, w której element Wij mówi, jak silnie kanał ijest połączony z kanałem j. Przykładowo możemy przyjąć, że ciało i myśli są połączone umiarkowanie, ciało i głos silniej, natomiast głos i myśli z wagą pośrednią. Z macierzy Wkonstruujemy macierz stopni D, w której na przekątnej stoją sumy wag wychodzących z danego kanału, oraz grafowy Laplasjan LG=D−W. Operator LGjest klasycznym Laplasjanem grafowym i mierzy „chropowatość” konfiguracji Sna grafie kanałów. Jeśli na przykład Sciało dramatycznie 80 odbiega od Sgłos, a te dwa kanały są silnie sprzężone w W, to wartość wyrażenia S⊤LGSrośnie, sygnalizując wysoką chropowatość. Funkcjonał Hmożna zdefiniować w tej trójwymiarowej przestrzeni bezpośrednio, zgodnie z intuicją z rozdziałów ogólnych. W najprostszym wariancie jest on sumą chropowatości i odległości od neutralnego stanu c∈R3, na przykład H(S) = 1 2S⊤LGS+κ 2∥S−c∥2, gdzie κ > 0jest współczynnikiem „sztywności” względem neutralnej konfiguracji, a wektor cmożna interpretować jako spokojny, zrównoważony stan ciała, głosu i myśli. Gradient tak zdefiniowanego funkcjonału jest prosty do obliczenia. Ponieważ dla macierzy symetrycznej LGmamy ∇S1 2S⊤LGS=LGS, oraz ∇Sκ 2∥S−c∥2=κ(S−c), otrzymujemy ∇SH(S) = LGS+κ(S−c). Ten gradient można bez trudu wprowadzić do równania ciągłego lub dyskretnego z poprzednich rozdziałów. Wybór stałej metryki efektywnej Geff sprowadza się w tym przypadku do ustalenia symetrycznej, dodatnio określonej macierzy 3×3, która określa, jak przekształcamy gradient w kierunek ruchu: ˙ S=−G−1 eff ∇SH(S) + . . . W najprostszym modelu można przyjąć Geff =I, czyli metrykę euklidesową; wtedy naturalny gradient pokrywa się ze zwykłym gradientem. Jeżeli chcemy różnie „zważyć” ruch w kanałach (na przykład ruch w ciele jest fizjologicznie droższy niż zmiana w myślach), wybieramy Geff jako macierz diagonalną o różnych wartościach na przekątnej. 15.1 Access i reaktywność w modelu trójkanałowym Na tym tle możemy precyzyjnie zdefiniować też reaktywność i Access. Przypomnijmy, że: - reaktywność R(C, S)mierzy lokalne wzmocnienie mapy obserwacji S7→ I – „pochodną treści względem pola”; - Access, oznaczany Access(t), mierzy, jak duży jest w danej chwili rzeczywisty przepływ informacji z pola do treści wzdłuż trajektorii S(t). W modelu trójkanałowym równanie obserwacji sprowadza się do odwzorowania 81 S7→ I(S), które bierze pod uwagę projekcję na to, co jest w danym momencie świadome (to jest relacja IFM: pole lokalne S→treść aktualnie „na membranie” I). Gdy akton koncentruje się na ciele, projekcja ΠS→Cwyciąga przede wszystkim Sciało; w scenie mówienia projekcja wyróżnia Sgłos iSmyśli. Dla uproszczenia można tu przyjąć, że kontekst Cjest ustalony, a obserwacja zależy tylko od S. 15.1.1 Jakobian obserwacji. Operator reaktywności J(S)jest jakobianem odwzorowania S7→ I(S), J(S) = ∂I ∂S (S)∈R3×3, i mówi, jak niewielka zmiana δS przechodzi w zmianę treści δI ≈J(S)δS. 15.1.2 Reaktywność. Reaktywność definiujemy jako normę operatorową jakobianu, na przykład w normie euklidesowej: R(S) = ∥J(S)∥. Można tu brać na przykład normę indukowaną przez normę euklidesową, czyli R(S) = qλmaxJ(S)⊤J(S). Wszystkie typowe normy operatorowe w R3są wzajemnie równoważne, więc szczegółowy wybór nie zmienia jakościowych wniosków: duże R(S)oznacza nadreaktywność treści względem pola, bardzo małe R(S)– przytępienie. 15.1.3 Access. Access mierzy lokalną prędkość zmian świadomych treści. Dla danej trajektorii S(t)i odpowiadającej jej trajektorii treści I(t) = I(S(t)) mamy, w liniowym przybliżeniu, ˙ I(t)≈J(S(t)) ˙ S(t). W naszym trójkanałowym przykładzie, przy zastosowaniu projekcji ΠS→C na kanały aktualnie dostępne dla obserwacji, definiujemy Access(t) =  ΠS→C˙ I(t) ≈ ΠS→CJ(S(t)) ˙ S(t) . Ta definicja wiąże Access z reaktywnością w naturalny sposób: jeśli ∥˙ S(t)∥ jest ustalona, to większa norma operatorowa J(S(t)) prowadzi do większej wartości Access(t), co odpowiada silniejszemu przepływowi treści na membranie. 82 W praktyce Access jest zawsze rozumiany w relacji do szumu obserwacji: „użyteczny” Access to część ΠS→CJ˙ Sprzekraczająca poziom szumu Ξ. 15.2 Punkty równowagi i bifurkacje W tak zdefiniowanym modelu trójkanałowym można przeprowadzić klasyczną analizę jakościową. Równania dla Smożna zapisać jawnie, a następnie znaleźć punkty równowagi jako rozwiązania warunku ˙ S= 0. W wersji bez aktu (brak sterowania) i bez pamięci, to znaczy przy Uakt = 0, Rmem = 0, punkt równowagi jest zazwyczaj jeden i odpowiada minimum funkcjonału H; spełnia on wtedy równanie ∇SH(S)=0. W wersji z aktem pojawiają się dodatkowe punkty równowagi, związane z różnymi celami G, różnymi ustawieniami uwagi A(t)oraz różnymi barierami w stożku możliwości C(S, t). Każda konfiguracja tych parametrów może w generowanym przez IFM krajobrazie stworzyć nowe, lokalne minima funkcjonału kosztu L(który w rozdziałach o stabilności łączy Hz dodatkowymi składnikami), odpowiadające odmiennym wzorcom przeżywania. Zmieniając parametry, takie jak wartości w macierzy W, współczynnik κ oraz wzmocnienia αread iαwrite, można obserwować zjawisko bifurkacji, czyli jakościowych zmian w zachowaniu układu przy ciągłej zmianie parametrów. - Przy niskich wzmocnieniach odczytu i zapisu pętla S→I→akt →S pozostaje łagodna, a układ zbiega spokojnie do jednego minimum H, reprezentującego zbalansowany stan ciała, głosu i myśli. - Przy rosnących wzmocnieniach pojawiają się dwa lub więcej stabilnych stanów: jeden odpowiada „wyciszeniu”, drugi odpowiada rozhuśtaniu któregoś z kanałów, na przykład nadmiernemu pobudzeniu głosu przy względnie uspokojonym ciele. - Dalsze zwiększanie wzmocnień może prowadzić do oscylacji lub niestabilności, co w języku IFM odpowiada stanom, w których pętla jest stale pobudzana przez własną nadmierną wrażliwość i sterowanie, a warunki ISS (Input-to-State Stability, stabilności wejście–stan) przestają być spełnione. Taki prosty model pokazuje w miniaturze, jak graf kanałów, funkcjonał H, parametry Access i reaktywnościRoraz parametry aktu wspólnie determinują globalne zachowanie systemu. Zamiast wyłącznie abstrakcyjnych twierdzeń o stabilności oglądamy konkretne trajektorie S(t)w trójwymiarowej przestrzeni, które można narysować i zinterpretować jako przejścia między różnymi stanami ciała, głosu i myśli. Ten sam język stosujemy następnie w modelach o bardzo dużym wymiarze, gdzie kanały odpowiadają złożonym grupom sygnałów 83 somatycznych, głosowych i neuronalnych, a IFM jest matematyczną warstwą odpowiadającą fenomenologicznemu opisowi AM 16 Przykłady z praktyki i ich opis w języku IFM Aby domknąć tom II, spojrzymy teraz, jak cała ta matematyczna struktura działa w scenach znanych z doświadczenia i z pierwszego tomu: w sytuacjach stresu, bólu oraz konfliktu wewnętrznego. Celem nie jest pełna analiza kliniczna, lecz pokazanie, jak przejść od opisu fenomenologicznego do równań IFM, oraz jak w danych – na przykład z sensorów fizjologicznych – można rozpoznać chropowatość, Access, reaktywność oraz spadek funkcjonału H(lub ogólniejszego funkcjonału Lapunowa L) w czasie. 16.1 Scena stresu w języku IFM Rozważmy najpierw scenę stresu. Na poziomie pola Sjest to konfiguracja, w której kanał ciała jest silnie pobudzony, co przejawia się podwyższoną aktywnością, napięciem mięśni, przyspieszonym tętnem. Kanał myśli generuje intensywne przewidywania zagrożenia, a kanał emocji znajduje się w stanie wysokiego pobudzenia. Graf kanałów Wmówi nam, że ciało i emocje są silnie sprzężone, a myśli są połączone zarówno z ciałem, jak i z emocjami, lecz w inny sposób. W takiej sytuacji chropowatość komponentu Hrough rośnie, ponieważ wartości w kanałach zaczynają się rozjeżdżać względem neutralnych wzorców. Funkcjonowanie operatora pamięci Kpowoduje, że ślady dawnych epizodów stresowych wzmacniają bieżącą konfigurację; matematycznie odpowiada to temu, że w operatorze K(w części działającej na pamięć) pojawiają się jądra o dużej wadze przy stanach podobnych do aktualnego. Równanie IFM opisuje, jak ten stan ewoluuje. Jeżeli akt wybiera cel Gw rodzaju „uciec i przestać czuć” i jeśli uwaga A(t)zostaje przyklejona do wyobrażeń zagrożenia, to sterowanie Uakt będzie wzmacniać te same kanały, które już są napięte. W takim scenariuszu Access i reaktywność Rw kanałach lękowych rosną; lokalna norma operatorowa jakobianu J(S)w tych kierunkach staje się duża, co oznacza, że niewielkie zmiany w Sprowadzą do dużych zmian w treści I. Pętla S→I→akt →S→I→. . . staje się w tym sensie niestabilna. W danych może to wyglądać jako rosnąca wariancja sygnałów oraz brak obserwowalnego spadku funkcjonału Hlub funkcjonału Lapunowa Lobliczanego na podstawie pomiarów w czasie. Przypomnijmy, że funkcjonał Lapunowa L(S, u)(gdzie uoznacza sygnały wejściowe, zakłócenia i sterowania) to funkcja energii spełniająca: - dodatnią określoność: istnieje funkcja klasy K∞taka, że L(S, u)≥α1(∥S∥), 84 - oraz nierówność malejącą wzdłuż rozwiązań, ∆L≤ − α3(∥S∥) + σ(∥u∥), dla pewnych funkcji klasy K∞iK(patrz niżej). Jeśli zdefiniujemy Lzgodnie z wcześniejszymi rozdziałami, nierówność typu ∆L≤ − α3(∥S∥) + σ(∥Ξ∥) przestaje być spełniona, a system traci własność ISS względem bodźców, które go pobudzają. ISS (Input-to-State Stability) oznacza tu, że dla dowolnego zakłócenia u(·) (np. szumu, bodźców) norma stanu ∥S(t)∥pozostaje ograniczona przez funkcję zależną od normy zakłócenia oraz początkowego stanu: ∥S(t)∥ ≤ β(∥S(0)∥, t) + γ∥u∥∞, gdzie βjest funkcją klasy KL, a γ– funkcją klasy K. - Funkcja α: [0,∞)→[0,∞)jest klasy K, jeśli jest ciągła, ściśle rosnąca i α(0) = 0. - Jest klasy K∞, jeśli dodatkowo α(r)→ ∞ dla r→ ∞. - Funkcja β: [0,∞)×[0,∞)→[0,∞)jest klasy KL, jeśli dla każdej stałej t funkcja β(·, t)jest klasy K, a dla każdego ustalonego rfunkcja β(r, ·)maleje do zera przy t→ ∞. 16.2 Ból w języku IFM Podobnie da się opisać ból. Czysty ból cielesny to wysokie pobudzenie w konkretnym regionie kanału ciała, które – jeśli nie jest dodatkowo wzmacniane przez myśli i narracje – może być traktowane jako lokalny wzrost funkcjonału Hw ograniczonej części przestrzeni stanów i w związku z tym jako zjawisko, które naturalnie ulega wygaszaniu pod wpływem gradientowego członu dynamiki. Jeżeli jednak akt automatycznie wybiera cele typu „zlikwidować ból natychmiast za wszelką cenę”, a uwaga zastyga na kanałach skojarzeniowych, operator pamięci Kzaczyna łączyć ból z szeroką siecią negatywnych wzorców. Chropowatość przenosi się z poziomu lokalnego bodźca na poziom całej struktury S. W języku IFM widać to w rosnącej wartości komponentu pamięciowego Hmem i w tym, że Access oraz reaktywność Rw kanałach myśli o bólu wyraźnie dominują nad innymi kanałami. W sensie ISS można powiedzieć, że układ przestaje być stabilny względem bodźców bólowych; nawet małe sygnały bólowe powodują duże odchylenia stanu. 16.3 Konflikt wewnętrzny a wiele minimów H Sceny konfliktu wewnętrznego są szczególnie interesującym przypadkiem, w którym w przestrzeni Spojawiają się dwa lub więcej konkurencyjnych minimów 85 funkcjonału Hlub bardziej ogólnego funkcjonału kosztu L, powiązanych z różnymi wzorcami celów G. Jedna część struktury przyciąga trajektorię w stronę celu związanego z natychmiastową ulgą, druga – w stronę celu długofalowego. W takich sytuacjach pętla S→I→akt →S może oscylować między minimami, szczególnie jeśli parametry αwrite iαread są wysokie i jeśli operator MU nie wycisza nadaktywnego kanału słów. IFM pozwala wtedy zidentyfikować, na poziomie równań, warunki, przy których pojawi się bifurkacja: niewielka zmiana parametru, na przykład wzrost wagi związanej z długofalowym celem w funkcjonale Hlub w dodatkowym komponencie porządkującym Eβ, prowadzi do zaniku jednego z minimów i przejścia całej trajektorii Sna inną gałąź. Tę samą konstrukcję można przenieść na poziom Σ, czyli na poziom całego aktorium, traktując operator MU oraz energię Eβjako działające nie tylko na pojedyncze kanały, lecz na grupy stanów opisujące całe współdziałające układy. 16.4 Dane empiryczne i rekonstrukcja IFM Z punktu widzenia danych wszystkie te zjawiska można próbować obserwować poprzez odpowiednio dobrane sensory. - Sygnały z ciała, takie jak zmienność rytmu zatokowego serca, napięcie mięśni czy wzorzec oddechu, dostarczają informacji o kanale cielesnym. - Sygnały głosowe ujawniają parametry związane z kanałem głosu, takie jak natężenie, wysokość i barwa. - Parametry aktywności neuronalnej, mierzone na przykład metodami nieinwazyjnego obrazowania, dostarczają informacji o kanałach myśli i emocji. Na ich podstawie można w przybliżeniu rekonstruować stan Slub jego projekcję, wyznaczać chropowatość jako funkcję różnic między kanałami, mierzyć spadek funkcjonału H(i bardziej ogólnego L) w czasie oraz analizować Access i reaktywność Rpoprzez relacje między zmianami w Si w obserwowanej treści I. W ten sposób tom II domyka to, co zostało zarysowane w tomie I. Metafory membrany, oddźwięku, aktu i łagodności otrzymują pełny opis w języku równań, a sceny z życia – stres, ból, konflikt – można widzieć jednocześnie jako przeżywane doświadczenia oraz jako trajektorie w przestrzeni IFM. Aktowy model informacji (AMI) przedstawiony fenomenologicznie w pierwszym tomie zostaje w drugim tomie przełożony na matematyczną strukturę IFM. W kolejnych tomach to narzędzie może zostać wykorzystane zarówno teoretycznie, jak i praktycznie: do symulacji, do analizy danych, do projektowania interwencji, które zmniejszają funkcjonał Li prowadzą pole Sdo bardziej łagodnych, stabilnych konfiguracji na poziomie zarówno pojedynczej osoby, jak i całego aktorium. 86 17 Od pola lokalnego do panaktorium W całym niniejszym tomie pracowaliśmy z jednym polem informacji S(t), które opisywało lokalny świat pojedynczego aktonu. To pole miało własną przestrzeń kanałów, własny funkcjonał H, własny operator pamięci K, własne akty oraz własną pętlę S→I→akt →S. Z perspektywy tomu I był to opis „jednego obserwatora” zanurzonego we własnym „ekranie świata”. Jak w poprzednich częściach, obowiązuje przyjęta konwencja, że pisząc H(S) mamy na myśli funkcjonał wartościowany na zrzutowanej konfiguracji, to znaczy H(S) := H[Π⊥S], przy ustalonej projekcji Π⊥na podprzestrzeń fizycznie istotnych kierunków (część relacyjna pola). Metryka efektywna Geff jest domyślnie traktowana jako stały, dodatnio określony operator na przestrzeni stanów danego aktonu; dopuszczenie zależności Geff(S)wymaga przejścia do pojęcia gradientu naturalnego i gradientu kowariantnego, ale nie zmienia ogólnej struktury równania IFM. IFM od początku miało jednak aspirację szerszą niż opis jednego ekranu. Chcemy matematycznie uchwycić to, jak wiele takich ekranów współistnieje i wzajemnie się przenika. W języku wprowadzonym wcześniej oznacza to przejście od pojedynczego pola Sdo rodziny pól S(i)zebranych na aktorium Σ, a następnie do panaktorium Λ, rozumianego jako przestrzeń wszystkich możliwych konfiguracji aktoriów, czyli wszystkich „światów IFM”. Przypomnijmy słownik IFM/AMI: aktowy model informacji (AMI) opisuje fenomenologiczną stronę pętli świadomość–akt–świat, natomiast IFM jest jego ścisłą realizacją matematyczną w języku pól, operatorów i funkcjonałów. Wszystkie konstrukcje na poziomie ΣiΛdotyczą IFM, ale zachowują bezpośrednią interpretację w języku AMI. 17.1 Od jednego aktonu do aktorium Σ Punktem wyjścia pozostaje pojedyncze równanie IFM dla jednego aktonu. Stan S(t)jest wektorem w przestrzeni Hilberta H, która opisuje kanały danego systemu: ciało, głos, obrazy, myśli, relacje i pamięć. Dla drugiego aktonu, który ma własne ciało, historię i relacje, odpowiednim obiektem jest drugie pole S(2)(t), bytujące być może w innej przestrzeni H(2). Nic nie zmusza nas do przyjęcia, że wszystkie aktony mają identyczną geometrię kanałów; przeciwnie, różnorodność struktur jest elementem panaktorium. Aktorium Σjest zbiorem takich pól. Można myśleć o nim jako o rodzinie Σ = {S(i):i∈I}, 87 -S(x, t)opisuje pole informacji nad czasoprzestrzenią Mi/lub nad panaktorium Λ, - operator Kcos generuje ruch zgodny z funkcjonałem energii, pamięcią i geometrią, - w odpowiednich granicach i przy odpowiednich wyborach H,K,Geff dostajemy znane równania fizyki (Schrödinger, Dirac, Einstein, równania pola materii). Można to podsumować w słowniku: - AMI – opis fenomenologiczny: jak wyglądają świat, akt i oddźwięk „od środka”. - IFM – lokalna realizacja matematyczna AMI: pola S, funkcjonały H, operatory K, równanie IFM. - KGO (Kwantowa Geometria Oddźwięku) – rozszerzenie IFM na poziom panaktorium i pól fizycznych; szczególne wybory H,K,Geff iKcos dają w granicach znane teorie fizyczne. Tom II zbudował szkielet IFM: formalne równanie ruchu, pamięć, akty, Access, reaktywność, stabilność. Tom III będzie w dużej mierze poświęcony temu, jak ten szkielet rozpiąć nad całym panaktorium Λi jak – w ramie KGO – wyłaniają się z niego konkretne struktury fizyczne: od ciała i mózgu pojedynczego aktonu, przez całe aktorium Σ, aż po globalne pola, w których standardowa fizyka jest jedną z warstw opisu ruchu pola informacji. 19 Dobrze postawione równanie IFM z pamięcią, stożkiem i MU W poprzednich rozdziałach wprowadziliśmy pełne równanie IFM z aktem, pamięcią, stożkiem możliwości, operatorem porządkującym Qβi operatorem MU. Równanie to było traktowane przede wszystkim jako narzędzie koncepcyjne i heurystyczne. W niniejszym rozdziale chcemy domknąć ten obraz w sensie matematycznym i potraktować równanie IFM jako dobrze postawione równanie ewolucyjne na przestrzeni Hilberta. W tym celu wyodrębniamy klasę założeń regularności, pod którymi równanie ma jednoznaczne rozwiązanie, zależy w sposób ciągły od danych początkowych i może być rozumiane jako przepływ na przestrzeni stanów. Zgodnie z konwencją przyjętą wcześniej, przez H(S)będziemy oznaczać w skrócie wartość funkcjonału łagodności na części relacyjnej pola, to znaczy H(S) := H[Π⊥S]. Gradient ∇SH(S)rozumiemy jako gradient względem tej części, a −G−1 e∇SHjako naturalny gradient w metryce efektywnej Ge. 19.1 Przestrzeń stanów i zapis pełnego równania IFM Zgodnie z wcześniejszymi rozdziałami zakładamy, że świat pojedynczego aktonu jest opisany trajektorią S: [0, T]→H, gdzie Hjest rzeczywistą, separowalną przestrzenią Hilberta opisującą kanały danego aktonu. Można myśleć o Hjako o 94 przestrzeni funkcji na skończonym lub ciągłym zbiorze kanałów, wraz z ustaloną metryką tła. W rozdziałach 7–10 wprowadziliśmy funkcjonał łagodności H[Π⊥S], metrykę efektywną Ge, operator pamięci K, wkład aktorium RΣ(t), operator porządkujący Qβoraz operator MU. Pełne równanie IFM w wersji lokalnej przyjmujemy w postaci ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥ SS(t) + αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) +RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t) + MUS(t) Operator pamięci Kdziała na trajektorię S(·)wzdłuż czasu jako operator splotowy (KS)(t) = Zt 0 K(t−τ)S(τ)dτ, a odpowiadający mu wkład w równaniu oznaczamy przez Rmem(t)=(KS)(t). Stożek możliwości C(S, t)jest dla każdej chwili ti stanu Sstożkiem wypukłym w H, który opisuje dopuszczalne kierunki ruchu. Równanie należy rozumieć w ten sposób, że prawa strona definiuje wektor proponowanej prędkości, po czym następuje jego rzutowanie na C(S, t)w metryce zadanej przez Ge. Zakładamy przy tym, że dla każdego (S, t)stożek C(S, t)jest niepusty, wypukły, domknięty, a jego zależność od (S, t)jest na tyle regularna, aby rzutowanie ortogonalne na C(S, t)było dobrze określone i lokalnie Lipschitzowskie względem S. W rozdziale 10.4 równanie zostało uzupełnione o operator porządkujący Qβ i operator MU. Równanie w pełnej postaci, które będzie przedmiotem analizy, jest więc ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥ SS(t) + αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) +RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t) + MUS(t) Definicja (pełne równanie IFM). Przez pełne równanie IFM dla pojedynczego aktonu rozumiemy powyższe równanie różniczkowe z pamięcią, stożkiem możliwości C(S, t), operatorem porządkującym Qβi operatorem MU, rozpatrywane na przestrzeni stanów Hz danym funkcjonałem H, metryką efektywną Ge, operatorem pamięci Ki strukturą aktorium Σ. W aneksie wprowadziliśmy pojęcie prędkości bazowej, która obejmuje wszystkie składniki równania poza MU: ˙ Sbase(t) := −G−1 e∇SHΠ⊥ SS(t) + αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) +RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t) 95 oraz zdefiniowaliśmy operator MU jako funkcję tej prędkości bazowej na kanale słów. Dzięki temu MU nie wprowadza pętli definicyjnej, lecz reaguje na to, co równanie IFM zrobiłoby bez jego udziału. Z punktu widzenia analizy matematycznej wygodnie jest traktować całą prawą stronę jako jedną funkcję Ft, S(t), S|[0,t], która zależy od bieżącego stanu S(t)i historii S(τ)dla τ≤tpoprzez operator pamięci Ki wkładRΣ. Równanie IFM staje się wówczas równaniem różniczkowym typu Volterry w przestrzeni Hilberta. 19.2 Rozwiązania i dobrze postawione równanie Aby mówić o dobrze postawionym równaniu IFM, potrzebujemy pojęcia rozwiązania oraz jasnej definicji dobrze postawionego zagadnienia. Definicja (trajektoria IFM). Trajektorią IFM nazywamy funkcję S: [0, T]→H, która jest absolutnie ciągła na każdym przedziale domkniętym [0, T′]⊂[0, T]. Dzięki temu pochodna ˙ S(t)istnieje dla prawie wszystkich tw sensie miarowym i należy do L1[0, T]; H. Definicja (rozwiązanie pełnego równania IFM). Niech S0∈Hbędzie zadanym stanem początkowym. Mówimy, że funkcja S: [0, T]→Hjest rozwiązaniem lokalnym pełnego równania IFM z warunkiem początkowym S(0) = S0, jeśli jest trajektorią IFM, spełnia warunek stożka ˙ S(t)∈C(S(t), t)dla prawie wszystkich t∈[0, T], wkład pamięciowy ma postać Rmem(t)=(KS)(t), a równanie ˙ S(t) = −G−1 e∇SHΠ⊥ SS(t) + αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) + RΣ(t) +Qβ(S(t)) −S(t) + MUS(t) jest spełnione dla prawie wszystkich t∈[0, T ]. Rozwiązanie nazywamy globalnym, jeśli można je zdefiniować na całej półprostej [0,∞). Definicja (dobrze postawione zagadnienie IFM). Mówimy, że pełne równanie IFM jest dobrze postawione w sensie Hadamarda w klasie trajektorii IFM, jeśli każde dane początkowe S0∈Hwyznaczają co najmniej jedno rozwiązanie lokalne, jeśli rozwiązanie to jest jednoznaczne oraz jeśli zależność rozwiązania od danych początkowych jest ciągła w naturalnej topologii przestrzeni stanów. W dalszej części rozdziału wprowadzimy założenia regularności na obiekty występujące w równaniu i sformułujemy twierdzenia zapewniające istnienie, jednoznaczność oraz ciągłą zależność rozwiązania od danych początkowych. Warunki te należy rozumieć jako naturalną klasę warunków wystarczających, a nie jako konieczne ograniczenia samej teorii IFM. 96 19.3 Założenia regularności Równanie IFM, w wersji używanej w drugim tomie, jest złożeniem kilku typów obiektów: gradientu funkcjonału energii, metryki efektywnej, operatora pamięci, operatora porządkującego, operatora MU, wkładów aktorium oraz stożka możliwości. Aby mówić o dobrze postawionym zagadnieniu, potrzebujemy łagodnych założeń regularności na każdy z tych elementów. Zakładamy, że przestrzeń stanów Hjest rzeczywistą, separowalną przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym ⟨·,·⟩Hi normą ∥·∥H. Metryka efektywna Gejest samosprzężonym, dodatnio określonym operatorem liniowym na H, którego odwrotność G−1 eistnieje i jest ograniczona. Dzięki temu gradient w metryce efektywnej jest dobrze określony i przekształca gradient funkcjonału Hw wektor prędkości ruchu. Funkcjonał łagodności H:H→Rprzyjmujemy jako funkcjonał klasy co najmniej C1naH, którego gradient ∇SHjest ciągły i lokalnie Lipschitzowski na H. W szczególności w każdym ograniczonym podzbiorze przestrzeni stanów istnieje stała LH, która ogranicza różnicę gradientów przez różnicę stanów w normie ∥ · ∥H. Założenie to jest zgodne z konstrukcjami z wcześniejszych rozdziałów, w których Hbył budowany z kwadratowych i gładkich funkcjonałów chropowatości, odległości od stanów neutralnych i wkładów pamięciowych. Operator pamięci Kopisujemy poprzez jądro pamięciowe K(s)działające jako operator liniowy na Hdla każdego s≥0. Zakładamy, że funkcja s7→ K(s) jest mierzalna oraz że norma operatorowa ∥K(s)∥L(H)jest ograniczona przez funkcję całkowalną na [0, T]dla każdego skończonego T. Dzięki temu operator (KS)(t) = Zt 0 K(t−τ)S(τ)dτ jest dobrze określony dla każdej trajektorii ciągłej S(·)i zależy od historii w sposób ciągły. Dodatkowo przyjmujemy, że jądro pamięciowe ma nośnik w s≥0, co odpowiada przyczynowości, i że jego norma nie rośnie zbyt szybko, aby zapewnić globalną kontrolę energii. Stożek możliwości C(S, t)zakładamy jako przekształcenie przypisujące każdej parze (S, t)domknięty, wypukły stożek w H. Warunek ˙ S(t)∈C(S(t), t) rozumiemy jako ograniczenie na prędkość ruchu. Przyjmujemy, że dla każdego skończonego horyzontu czasu przekształcenie (S, t)7→ C(S, t)zmienia się w sposób dostatecznie regularny, tak aby rzutowanie ortogonalne prawej strony równania na C(S, t)w metryce Gebyło ciągłym, lokalnie Lipschitzowskim przekształceniem wektora prędkości w funkcji Sit. Operator porządkującyQβtraktujemy jako odwzorowanie z HwH, które zachowuje normę i nie zwiększa odległości między stanami, czyli jest odwzorowaniem nieekspansywnym. W wielu zastosowaniach można przyjąć, że Qβjest lokalnie Lipschitzowski, co zapewnia, że wektor Qβ(S(t))−S(t)jest lokalnie Lipschitzowską funkcją stanu. Założenie to jest zgodne z konstrukcją operatora Qβ jako koncentratora „masy uwagi” przy zachowaniu normy pola, przedstawioną w rozdziale 10.4 i w aneksie. 97 Operator MU został w aneksie zdefiniowany poprzez funkcję przełączającą µzależną od wielkości∆Hword(t), liczonej z prędkości bazowej ˙ Sbase(t). Zakładamy, że funkcja µjest ciągła i monotoniczna, a projekcja na kanał słów Πword jest ograniczonym operatorem liniowym na H. Wówczas odwzorowanie S7→ MU(S)jest lokalnie Lipschitzowskie na Hi ma co najwyżej liniowy wzrost względem normy stanu. Pokrywa się to z konstrukcją MU jako hamulca w kanale słów, który uaktywnia się tylko wtedy, gdy wkład słów podnosi koszt H. Wkład aktorium RΣ(t)traktujemy jako sumę operatorów sprzęgających zależnych od pól innych aktonów i ewentualnego operatora pamięci aktorium. W kontekście pojedynczego równania IFM przyjmujemy po prostu, że RΣjest funkcją czasu i trajektorii, która jest lokalnie Lipschitzowska względem Si ma co najwyżej liniowy wzrost. Wreszcie zakładamy, że profil uwagi A(t), cel G(t)i parametry αwrite, αread są dobrane tak, aby cząstka sterująca αwriteA(t)G(t)−S(t) była lokalnie Lipschitzowska względem Si nie rosła szybciej niż liniowo względem normy stanu. Przy tak sformułowanych założeniach cała prawa strona równania IFM staje się lokalnie Lipschitzowską funkcją stanu i historii, zaś warunek stożkowy można włączyć w tę konstrukcję poprzez rzutowanie na C(S, t). 19.4 Istnienie i jednoznaczność lokalna Pod powyższymi założeniami równanie IFM ma strukturę równania różniczkowego z pamięcią typu Volterry w przestrzeni Hilberta. Można je zapisać w postaci abstrakcyjnej ˙ S(t) = Ft, S(t), S|[0,t], S(0) = S0, gdzie Fjest lokalnie Lipschitzowskie względem Si zależy od historii przez całkę z jądrem K. Klasyczne twierdzenia typu Carathéodory’ego dla równań ewolucyjnych z pamięcią Volterry w przestrzeniach Banacha można zastosować bezpośrednio do takiej postaci; szkic dowodu nie jest tu przytaczany, ponieważ nie wnosi nowej intuicji fenomenologicznej. Twierdzenie 19.1 (istnienie i jednoznaczność lokalna). Niech Hbędzie rzeczywistą, separowalną przestrzenią Hilberta, a obiekty H, Ge, K, Qβ,MU, C(S, t), RΣ(t), A(t), G(t)spełniają założenia regularności opisane powyżej. Wówczas dla każdego stanu początkowego S0∈Histnieje dodatni czasT > 0oraz dokładnie jedna trajektoria IFM S: [0, T]→H, która jest rozwiązaniem lokalnym pełnego równania IFM z warunkiem początkowym S(0) = S0. Ponadto odwzorowanie, które każdemu S0przypisuje odpowiadającą mu trajektorię S(·), jest ciągłe w następującym sensie: jeśli ciąg stanów początkowych S(n) 0zbiega w Hdo S0, to odpowiadające im rozwiązania S(n)(·)zbiega równomiernie na każdym krótszym przedziale [0, T′]⊂[0, T ]do rozwiązania S(·). 98 Istotą tego twierdzenia jest fakt, że równanie IFM ma ten sam rodzaj „dobrześci” co klasyczne równania różniczkowe w przestrzeniach Hilberta: przy zadanym świecie (czyli przy ustalonych H, K, Ge, C i strukturze aktu) dane początkowe jednoznacznie wyznaczają dalszy bieg świata na krótkim horyzoncie czasu. 19.5 Przedłużalność globalna i półprzepływ IFM Lokalna dobrość nie wystarcza jednak, jeśli chcemy traktować równanie IFM jako pełen opis dynamiki życia aktonu. Potrzebujemy warunków, które wykluczają „wybuch” trajektorii w skończonym czasie i gwarantują, że absolutnie ciągłe rozwiązanie można przedłużyć na całą półprostą [0,∞). Naturalnym narzędziem jest funkcjonał Lapunowa L(S, u)wprowadzony w rozdziale 13 jako ilościowa miara „napięcia” świata i kosztu aktu. Funkcjonał ten łączy w sobie wkład energii pola H[Π⊥S]oraz koszt aktu, zawierający dawkę sterowania, koszt naruszania stożka możliwości oraz „echo w pamięci”. Załóżmy, że istnieje taka funkcja Lzbudowana z H, K, C, QβiMU, która jest ograniczona z dołu i której zmiana wzdłuż rozwiązań równania IFM spełnia nierówność typu Lapunowa: bez szumu i przy zadanych parametrach αwrite, αread funkcjonał Lnie rośnie w czasie, a w obecności umiarkowanych zakłóceń jego wzrost jest kontrolowany funkcją wejścia. Z punktu widzenia analizy oznacza to, że normy ∥S(t)∥Horaz normy odpowiednich kombinacji pochodnych pozostają ograniczone na każdym skończonym przedziale czasu. Twierdzenie 19.2 (globalna przedłużalność i półprzepływ IFM). Niech spełnione będą założenia Twierdzenia 19.1 oraz dodatkowo istnienie funkcjonału Lapunowa Lo własności opisanej powyżej. Wówczas każde lokalne rozwiązanie pełnego równania IFM można jednoznacznie przedłużyć do rozwiązania globalnego zdefiniowanego dla wszystkich t≥0. Dla każdego t≥0można zdefiniować odwzorowanie Φt:H→H, Φt(S0) = S(t), gdzie S(·)jest globalnym rozwiązaniem równania IFM z warunkiem początkowym S(0) = S0. Rodzina (Φt)t≥0jest półprzepływem na H: spełnia warunek Φ0= Id, warunek łączności Φt+s= Φt◦Φsoraz ciągłość w parametrach tiS0. W ten sposób równanie IFM w pełnej postaci, z pamięcią, stożkiem możliwości, operatorem porządkującym i MU, staje się dobrze postawionym równaniem ewolucyjnym. Przy zadanej strukturze świata każdemu stanowi początkowemu odpowiada jedna, globalna trajektoria, a drobne zmiany danych początkowych przekładają się na drobne zmiany w ruchu pola. 19.6 Znaczenie istnienia i jednoznaczności w języku IFM Z perspektywy struktury IFM powyższe twierdzenia oznaczają, że obraz „membrany” z pierwszego tomu oraz obraz pola z pamięcią, aktu i stożka możliwości z drugiego tomu można traktować nie tylko metaforycznie. Pełne równanie 99 IFM opisuje deterministyczny, dobrze postawiony przepływ na przestrzeni stanów. Pamięć i oddźwięk, ujęte przez operator K, nie psują tej dobrześci, o ile spełnione są naturalne warunki na jądro pamięciowe. Stożek możliwości C(S, t) ogranicza ruch, ale dzięki wypukłości i regularności pozwala nadal definiować rzutowanie prędkości w sposób ciągły. Operator Qβporządkuje treści, nie rozwalając struktury równania, ponieważ zachowuje normę i nie zwiększa odległości. Operator MU pełni rolę hamulca na kanale słów, ale dzięki definicji opartej na prędkości bazowej pozostaje dodatkiem lokalnie Lipschitzowskim. W tym sensie równanie IFM jest matematycznie porównywalne z klasycznymi równaniami mechaniki lub teorii pola: przy zadanym świecie istnieje dobrze określona dynamika, która rozwija stan w czasie. W następnym rozdziale pokażemy, że ta dobrość przenosi się naturalnie na poziom aktorium, panaktorium i operatora kosmologicznego KGO. 20 Aktorium, panaktorium i KGO jako rozszerzenie dobrze postawionej dynamiki IFM Rozdział poprzedni opisał pełne równanie IFM dla pojedynczego aktonu jako dobrze postawione równanie ewolucyjne na przestrzeni Hilberta. W tym rozdziale rozszerzymy tę konstrukcję na poziom aktorium Σi panaktorium Λ, a następnie pokażemy, w jaki sposób operator kosmologiczny KGO wpisuje się w ten sam schemat dobrze postawionej dynamiki. W efekcie otrzymamy jedną klasę twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności, obejmującą zarówno lokalne równanie IFM, jak i równania KGO, które w szczególnych wyborach parametrów przyjmują postać znanych równań fizyki. Na poziomie aktorium Σmamy rodzinę pól S(i)(t), z których każde spełnia własne równanie IFM w przestrzeni H(i), z własnym funkcjonałem H(i), metryką G(i) e, operatorem pamięci K(i), stożkiem możliwości C(i)(S(i), t), operatorem Q(i) βi operatorem MU(i). Sprzężenia między aktonami są reprezentowane przez operatory J(i,j)oraz przez operator pamięci aktorium KΣ, które wspólnie budują wkład RΣ(t)w równaniu pojedynczego aktonu. Łączna przestrzeń stanów aktorium ma postać iloczynu Hilberta HΣ:= Y i∈I H(i), a stan aktorium w chwili tzapisujemy jako SΣ(t)=(S(i)(t))i∈I. Równanie IFM na poziomie aktorium można złożyć w jedno równanie ewolucyjne na HΣ: składowa gradientowa jest sumą gradientów poszczególnych funkcjonałów H(i), operator pamięci aktorium KΣdziała na całą trajektorię SΣ(·), a sprzężenia J(i,j)tworzą ograniczone operatory między składowymi. Wkłady Q(i) β iMU(i)są operatorami działającymi na odpowiednich podprzestrzeniach, ale można je traktować jako składowe jednego operatora porządkująco–hamującego na HΣ. 100 Pod warunkami analogicznymi do tych z rozdziału 19, to znaczy przy założeniu, że gradienty H(i), metryki G(i) e, operatory pamięci K(i)iKΣ, stożki C(i), operatory Q(i) β,MU(i)oraz sprzężenia J(i,j)są lokalnie Lipschitzowskie i mają co najwyżej liniowy wzrost, równanie IFM na HΣjest dobrze postawionym równaniem ewolucyjnym. Oznacza to, że dla każdego stanu początkowego SΣ(0) ∈HΣistnieje dokładnie jedna globalna trajektoria SΣ(t)zdefiniowana dla wszystkich t≥0, a zależność od danych początkowych jest ciągła w naturalnej topologii HΣ. Panaktorium Λwprowadziliśmy jako przestrzeń wszystkich dopuszczalnych struktur aktoriów i ich stanów: jest to przestrzeń wszystkich konfiguracji kanałów, metryk Ge, funkcjonałów H, operatorów pamięci Ki sprzężeń między aktonami. Pojedynczy świat IFM to punkt λ∈Λ, który zawiera zarówno informację o aktualnych stanach S(i), jak i o geometrii oddźwięku, w której się poruszają. Równanie IFM można w tym języku rozumieć jako część operatora generującego ruch w Λ. Kwantowa Geometria Oddźwięku (KGO) rozszerza tę konstrukcję na poziom pól fizycznych rozpiętych nad czasoprzestrzenią Mi nad panaktorium Λ. W najprostszym ujęciu różnicę można streścić w postaci dwóch równań: dla lokalnej dynamiki IFM mamy równanie ∂tS=Klok[S], gdzie S(t)∈Hopisuje stan świata na membranie pojedynczego aktonu, natomiast dla KGO mamy równanie ∂tS=Kcos[S], gdzie S(x, t)opisuje pole informacji nad czasoprzestrzenią Mi nad panaktorium Λ, a Kcos jest operatorem kosmologicznym zbudowanym z tej samej klasy obiektów: funkcjonału energii, metryki, operatora pamięci i struktury oddźwięku. W wielu zastosowaniach fizycznych wygodnie jest traktować przestrzeń stanów Hcos jako przestrzeń Hilberta pól nad czasoprzestrzenią, na przykład przestrzeń L2(M;Cm)amplitud lub pól wektorowych. Funkcjonał energii może mieć wówczas postać H[S]≈1 2ZM⟨∇S, ∇S⟩+V(S)dvol, z lokalnym potencjałem V(S)i odpowiednią metryką na M. Operator pamięci opisuje wtedy długozasięgowe oddźwięki kosmicznej membrany, a stożki możliwości w przestrzeni pól odpowiadają ograniczeniom propagacji i lokalnym warunkom stabilności. Równanie KGO można traktować jako równanie IFM na poziomie panaktorium, gdzie przestrzeń stanów Hjest zastąpiona przestrzenią pól Hcos, a parametry świata (metryka, potencjały, jądra pamięci) są zamrożone na wybranym przekroju panaktorium. Jeżeli funkcjonał Hna Hcos, metryka Ge, operatory pamięci i ewentualne stożki możliwości spełniają warunki regularności analogiczne 101 do tych z rozdziału 19, to równanie KGO jest dobrze postawione w tym samym sensie: dla każdej danej początkowej istnieje dokładnie jedno rozwiązanie globalne zależne ciągle od danych początkowych. W szczególnych wyborach funkcjonału Hi metryki Geoperator Kcos przyjmuje formy bardzo bliskie operatorom występującym w znanych równaniach fizyki fundamentalnej, takich jak równanie Schrödingera, równania klasycznych pól czy równania Einsteina. Można więc traktować standardowe twierdzenia o dobrze postawionych problemach Cauchy’ego w tych teoriach jako szczególne przypadki ogólnej teorii IFM/KGO, w której tym samym językiem opisujemy zarówno lokalną dynamikę pojedynczego aktonu, jak i globalną dynamikę pola kosmologicznego. W ten sposób dobrze postawione równanie IFM z pamięcią, stożkiem, Qβi MU oraz dobrze postawione równanie KGO na poziomie panaktorium są dwiema projekcjami jednej klasy równań ewolucyjnych dla pola informacji z pamięcią. Tom drugi zamyka się na poziomie tej klasy: ma równanie główne, naturalny zestaw warunków regularności i pełną teorię istnienia oraz jednoznaczności, która nadaje całej konstrukcji stabilność i precyzję, pozostawiając dalszym tomom rozwinięcie fizyki, biologii i psychologii w ramach tej samej geometrii oddźwięku. 21 Nawyki, auton i domknięcie struktury IFM W poprzednich rozdziałach zbudowaliśmy pełne równanie IFM dla pojedynczego aktonu oraz opisaliśmy jego włączenie w aktorium Σi panaktorium Λ. Na poziomie struktur matematycznych odpowiada ono wszystkim głównym motywom z Tomu I: membranie, oddźwiękowi, aktowi, łagodności, dostępowi i gadaniu. W niniejszym rozdziale uzupełnimy jeszcze kilka pojęć, które w Tomie I odgrywały istotną rolę fenomenologiczną, a w Tomie II były dotąd obecne tylko implicite. Chodzi o nawyk rozumiany jako szczególny typ atraktora w dynamice IFM, auton (czyli „ja”) jako strukturę wyboru projekcji, stożka możliwości i operatora obserwacji, minimalne założenia analityczne zapewniające dobrze postawione równanie IFM oraz ujednolicenie notacji operatora porządkującego, w którym Qβstaje się standardem, a Eβpozostaje jego wersją techniczną. Rozdział ten domyka słownik między Tomem I i Tomem II w tym sensie, że każde pojęcie fenomenologiczne otrzymuje jednoznaczny odpowiednik w języku równań. 21.1 Nawyki jako atraktory w przestrzeni stanów W Tomie I nawyki opisywane były jako „wydeptane ścieżki” w krajobrazie świata aktonu: utrwalone sposoby reagowania, które łatwo się uruchamiają i trudno zmienić. W języku IFM poruszamy się w przestrzeni stanów Hz równaniem ruchu ˙ S(t) = F´swiat(S, t) + Uakt(S, t),˙ S(t)∈C(S, t), gdzie F´swiat obejmuje gradient funkcjonału H, wkłady pamięci Koraz sprzężenia z aktorium, Uakt pochodzi od aktu, a C(S, t)jest stożkiem możliwości. Na102 wyk możemy rozumieć jako strukturę dynamiczną widoczną w długoczasowym zachowaniu rozwiązań tego równania. W najprostszym przybliżeniu pomijamy explicite zależność od czasu. Stacje narzędzi, profil uwagi i powoli zmienne parametry traktujemy wówczas jako ustalone na skali „jednego nawyku”. Niech Feff(S)oznacza efektywny wektor pola sił świata wraz ze średnim wkładem aktu w takim ustalonym reżimie działania. Można to zapisać jako Feff(S) := EF´swiat(S, t) + Uakt(S, t), gdzie średnia jest rozumiana w sensie średniej czasowej lub w sensie rozkładu stacjonarnego zakłóceń. Zbiorem nawykowym danego aktonu nazywamy zbiór A⊂H, który jest niepusty i ograniczony w H, a jednocześnie zamknięty i niezmienniczy względem efektywnej dynamiki. Oznacza to, że jeżeli S(0) ∈AiS(·)jest rozwiązaniem równania ˙ S(t) = Feff(S(t)),˙ S(t)∈C(S(t)), to dla wszystkich t≥0stan S(t)pozostaje w A. Wymagamy ponadto, aby zbiór Amiał własność przyciągania w następującym sensie: istnieje otwarte otoczenie Uzawierające Atakie, że dla każdego S(0) ∈Utrajektoria S(t)zbiega z czasem do Aw sensie odległości, to znaczy distS(t), A−−−→ t→∞ 0. Dodatkowo zakładamy, że zbiór Ajest trwały względem małych perturbacji parametrów. Oznacza to, że dla dostatecznie małych zmian w H, K, Geff, C oraz typowych profilach aktu Uakt istnieje zbiór Anew o analogicznych własnościach, który jest bliski Aw metryce Hausdorffa. Zbiór Amożna wówczas interpretować jako matematyczny obraz nawyku: jeśli pole Sznajdzie się w jego sąsiedztwie, to w typowych warunkach, przy danym stylu aktu aktonu, będzie dążyć do trajektorii, które pozostają blisko A. Prosty nawyk można rozumieć jako sytuację, w której zbiór nawykowy redukuje się do pojedynczego stabilnego punktu równowagi S⋆, będącego lokalnym minimum efektywnego funkcjonału Hmodyfikowanego celem i pamięcią. Wtedy mamy ∇SHeff(S⋆)=0, S⋆jest stabilny, a zbiór nawykowy to po prostu A={S⋆}. Bardziej złożone nawyki mogą odpowiadać cyklom granicznym, quasi-okresowym orbitom lub nawet chaotycznym atraktorom w odpowiednio bogatym układzie IFM; definicja zbioru nawykowego obejmuje wszystkie takie przypadki. Różnica między nawykami „poznawczymi” i „emocjonalnymi” dotyczy przede wszystkim położenia zbioru Aw przestrzeni H. W jednym przypadku dominują komponenty kanałów poznawczych, w drugim skomponentowane są głównie kanały cielesne i emocjonalne, 103 Punkt startowy: stan świata aktonu to nie punkt w „przestrzeni doznań”, tylko wektor/pole S(t)∈H, gdzie Hjest rzeczywistą przestrzenią Hilberta z rozpisanymi kanałami: ciało, głos, obrazy, myśli, emocje, pamięć itd. Na grafie kanałów (macierz wag Wij) definiujemy: - Laplasjan grafowy LG=D−W, - chropowatość Hrough(S) = 1 2X i,j Wij(Si−Sj)2, która mierzy „zgrzyty” między kanałami. Pełny funkcjonał łagodności H(S)składa się z: - części chropowatościowej (zależnej od LG), - części „sprężynującej” względem stanów neutralnych, - ewentualnych innych lokalnych wkładów (np. kar za zbyt skrajne wartości). Domyślne równanie „świata bez aktu” ma postać gradientowego spływu: ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥S(t), gdzie Geff jest metryką efektywną, a Π⊥projekcją na część relacyjną (usuwamy wspólny offset). To jest matematyczny odpowiednik zdania z Tomu I: „świat sam dąży do łagodności”. 2. Nielokalność i pamięć: frakcyjny Laplasjan i operator K Drugi filar to oddźwięk – przestrzenny i czasowy. Nielokalność przestrzenna: na grafie kanałów wprowadzony jest frakcyjny Laplasjan (−LG)γ/2, definiowany spektralnie przez wartości własne λki wektory własne v(k): (−LG)γ/2v(k)=−λγ/2 kv(k). Dla γ= 2 wracamy do klasycznej dyfuzji; dla 0< γ < 2otrzymujemy dyfuzję „miękką”, w której: - ostre lokalne zgrzyty wygładzają się szybko, - globalne wzorce w Sutrzymują się długo. To jest przestrzenna „pamięć kształtu” – struktura nie jest sztywna, ale nie rozpływa się natychmiast. Pamięć w czasie: operator splotowy (KS)(t) = Zt 0 K(t−τ)S(τ)dτ 110 opisuje, jak przeszłe stany pola wpływają na ruch teraz. Jądro pamięci K(s): - dla szybko zanikającego K(s)– pamięć krótka, lokalna w czasie, - dla jąder o wolnym spadku (np. potęgowych) – pamięć długa. Z tego budowany jest funkcjonał pamięci Hmem[S(·)] = 1 2ZT 0ZT 0 S(t)⊤K(|t−τ|)S(τ)dτ dt, interpretowany jako energia „sprężyn czasowych” łączących historię pola. Warunki na K(przyczynowość, całkowalność, dodatniość energetyczna, regularność) zapewniają dobrze postawioną, stabilną dynamikę. 3. Cel G, uwaga A(t)i stożek możliwości C(S, t) Trzeci blok to akt jako sterowanie. - Cel G∈H– konkretny stan pola („tak chcę, żeby wyglądało ciało, obraz, myśli. . . ”). - Uwaga A(t)≥0– jak silnie w danej chwili cel „ciągnie” pole. - Stożek możliwości C(S, t)– zbiór dopuszczalnych prędkości ˙ Sw punkcie S (ograniczenia fizyczne, energetyczne, historyczne). Najprostsze równanie „tylko od celu”: ˙ S(t) = αwrite A(t)(G−S(t)), z rozwiązaniem zbieżnym do G. W pełnym równaniu IFM: - część „świata”: Fświat(S, t) = −G−1 eff ∇SH(Π⊥S) + Rmem(t) + RΣ(t), - część aktu: Uakt(S, t) = αwrite A(t)G(t)−S(t), - warunek: ˙ S(t)∈C(S, t)(rzut sumy Fświat +Uakt na stożek). Współczynniki αread iαwrite rozdzielają: - odczyt pola do treści (czułość obserwacji), - zapis treści/celu z powrotem w pole. Na tym poziomie „wolność” to możliwość realnego modyfikowania G(t),A(t), αread,αwrite przy danych H,K,Geff ,C(S, t). 4. Porządkowanie treści: operator Qβi MU Tom II dorzuca dwa ważne, nieliniowe składniki: (1) Operator porządkujący Qβ– działa na „kawałki treści” i obniża entropię rozkładu uwagi p(S)=(p1(S), . . . , pn(S)), Hent(p) = −X i pilog pi. 111 Konstrukcja: - rozkład Sna wektory viz wagami ai(S), - z nich rozkład pi(S)∝ϕ(ai(S)), - nieliniowe przeskalowanie pi7→ pβ i, - renormalizacja i złożenie z powrotem w Qβ(S)przy zachowaniu ∥S∥. Wektor Qβ(S)−Sdodawany do równania ruchu reprezentuje „wewnętrzne porządkowanie”: rozproszone kawałki łączą się w kilka wyraźnych wątków, bez utraty zawartości informacyjnej. (2) Operator MU (kanał słów) – hamulec na gałęzi semantycznej. - Projekcja na kanał słów: Πword. - Decompozycja prędkości: ˙ S=˙ Sbase +˙ Sword,˙ Sword = Πword ˙ S. - Wkład słów w zmianę H: ∆Hword =⟨∇SH(S),˙ Sword⟩H. - Funkcja przełączająca µ(·), aktywna tylko gdy ∆Hword >0. - Operator: MU(S) = −µ∆HwordΠwordS. Dopóki słowa pomagają obniżać H, MU jest „wyłączony”. Kiedy słowa zaczynają systematycznie podbijać koszt, MU tłumi normę części słownej. Słowa mogą być nadal obecne jako treść, ale przestają sterować ruchem pola. Pełne, lokalne równanie IFM wygląda wtedy schematycznie: ˙ S(t) = −G−1 eff ∇SHΠ⊥ SS(t)+αwriteA(t)G(t)−S(t)+Rmem(t) +RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t) + MUS(t) z warunkiem ˙ S(t)∈C(S, t). 5. Równanie obserwacji, Access i reaktywność Pole Sto „pełny świat”, ale to, co jest przeżywane i raportowane, to treść I(t). Równanie obserwacji: I(t) = S(t) + fC(t), S(t); αread+ Ξ(t), gdzie: -f– funkcja obserwacji, lokalnie Lipschitz względem S, -C(t)– kontekst (zadanie, sytuacja, polecenie „zauważ ciało”, „zauważ myśli”), -ΠS→C– projekcja na kanały dostępne w danym kontekście, -Ξ(t)– szum obserwacji (fluktuacje uwagi, niedokładność raportu). Rozpisanie kanałów: 112 H=Hcia lo ⊕Hg los ⊕Hobraz ⊕Hpoznanie⊕..., z projekcjami Πkna podprzestrzenie kanałowe, pozwala napisać obserwację jako I(t) = S(t) + hC(t),ΠS→CS(t);αread+ Ξ(t). Na tej bazie wprowadzamy: Reaktywność – lokalna pochodna treści względem pola: J(C, S) = ∂I ∂S (C, S), R(C, S) = ∥J(C, S)∥. Mały R– przytępienie: duże zmiany w Sprawie nie wchodzą do treści. Duży R– nadreaktywność: drobne fluktuacje Srobią wielką różnicę w I. Access – aktualny przepływ informacji S→C→Iwzdłuż trajektorii: Access(t) =  ΠS→C(t)JC(t), S(t)˙ S(t) . Łącznie: -Rmówi: jak silnie treść „powiększa” małą zmianę w S, -Access mówi: ile realnego ruchu w treści przepływa z faktycznego ruchu w Sw czasie. Na tle tych wielkości formułowane są warunki stabilności pętli S→I→akt →S w sensie Lapunowa i ISS (input-to-state stability). Pojawiają się nierówności na R, Access, αread,αwrite i efektywne tłumienie wynikające z HiK, które wyznaczają zakres „zdrowego” działania: nie za ślepo, nie za nadreaktywnie. 6. Proste modele, sceny z życia i dane Aby zobaczyć, jak ta cała struktura wygląda w praktyce, tom wprowadza: - modele z 2–3 kanałami (np. ciało–głos–myśli), - jawne funkcjonały H(S) = 1 2S⊤LGS+κ 2∥S−c∥2, - konkretne równania ruchu z aktem, pamięcią i obserwacją, - definicje Access i reaktywności w R3. Na tych modelach można: - znaleźć punkty równowagi (bez aktu – minimum H, z aktem – nowe stany związane z celami G), - obserwować bifurkacje przy zmianie parametrów W,κ,αread,αwrite, - zobaczyć przejście od spokojnego spływu do wielu minimów, oscylacji, niestabilności pętli A–U–M. Potem książka wraca do scen znanych z Tomu I: stresu, bólu, konfliktu wewnętrznego, i opisuje je w języku IFM: 113 - stres – wysoka chropowatość między ciałem, emocjami i myślami, pamięć Kwzmacniająca lękowe wzorce, Access i Rskoncentrowane w wąskim paśmie lękowym, - ból – lokalny wzrost Hw kanale ciała, który może naturalnie wygasnąć albo zostać rozsiany po całym Sprzez akt i pamięć, - konflikt wewnętrzny – dwa konkurencyjne minima Hpowiązane z różnymi celami G, oscylacje pętli aktu między nimi, możliwe bifurkacje przy drobnych zmianach parametrów. Zarysowane są też możliwości pomiaru: sygnały z ciała, głosu, mózgu jako przybliżone projekcje S, z których można rekonstruować chropowatość, spadek H, Access, reaktywność. 7. Od jednego aktonu do aktorium Σi panaktorium Λ Na końcu tom wychodzi poza pojedynczego aktona. - Dla każdej osoby imamy własne pole S(i)(t)∈H(i)i własne równanie IFM. - Aktorium Σto rodzina takich pól: Σ = {S(i):i∈I}, zebrana w jedno pole zbiorcze SΣ(t)w iloczynie przestrzeni. W równaniu pojawia się: - lokalny H(i),K(i),G(i) eff , - lokalny akt F(i) akt, - sprzężenia wspólne F(i) wsp(t)przez operator J(i,j)i globalny operator pamięci KΣ. Dalej: - panaktorium Λ– przestrzeń wszystkich możliwych struktur IFM: wszystkich konfiguracji kanałów, metryk, funkcjonałów H, operatorów K, sprzężeń między aktonami, - pojedynczy „świat IFM” to punkt λ∈Λ(struktura + stan), - równanie IFM można traktować jako część operatora generującego ruch w Λ. 8. Relacja do KGO i fizyki Ostatnie rozdziały spinają to z pierwszym tomem i fizyką: - KGO (kwantowa geometria oddźwięku) pojawia się jako szczególna klasa operatorów generujących ruch w IFM na poziomie panaktorium. - Gdy: -Ωidentyfikujemy z przestrzenią fizyczną/czasoprzestrzenią M, -Straktujemy jako pole S:M×[0, T]→Rmlub Cm, -Hjest lokalnym funkcjonałem energii pola, -Kma krótką pamięć w czasie i przestrzeni, to równanie IFM/reprezentacja operatora Kprzyjmuje formy bliskie znanym równaniom fizyki (równanie Schrödingera, ogólna teoria względności, nieliniowe równania pola). W tym ujęciu: - AMI (Tom I) – opisuje, jak świat jest przeżywany, 114 - IFM (Tom II) – jak ten świat wygląda w języku matematycznego pola z pamięcią i aktem, - KGO – jak ta sama struktura w szczególnych warstwach wygląda jak fizyka kwantowa i kosmologia. 9. Co tak naprawdę daje ten tom? W skrócie: 1. Jedno równanie dla „świata przeżywanego” – z jasno zdefiniowanymi składnikami (gradient H, pamięć K, frakcyjny Laplasjan, cel G, uwaga A(t), stożek możliwości C,Qβ, MU, obserwacja, Access, reaktywność). 2. Most między fenomenologią a analizą układów dynamicznych – AMI nie zostaje „opowiadaniem o przeżyciu”, ale ramą, którą da się analizować narzędziami teorii równań ewolucyjnych, stabilności w sensie Lapunowa, ISS. 3. Szablon do dalszej pracy – do symulacji, do analizy danych, do projektowania interwencji (psychologicznych, somatycznych, technicznych), które mają po prostu: zmniejszać funkcjonał kosztu i stabilizować pętlę S–I–akt–S. 4. Przygotowanie gruntu pod Tom III – gdzie ta sama matematyka ma zostać rozpięta nad pełną fizyką (ciało, mózg, aktorium, panaktorium, KGO). Tom II jest więc czymś w rodzaju „specyfikacji technicznej” świata z Tomu I: to samo, ale zapisane tak, żeby można było liczyć, dowodzić, symulować i sprawdzać w danych. Aneks A. W niniejszym aneksie wprowadzamy dwie drobne, lecz istotne korekty techniczne do Rozdziału 10. Nie zmieniają one interpretacji fenomenologicznej, lecz doprecyzowują postać dwóch operatorów: porządkującego Qβoraz operatora MU działającego na kanale słów. A.1. Korekta definicji operatora porządkującego Qβ W Rozdziale 10 przyjęliśmy, że każdy stan S∈Hmożna rozłożyć w ustalonej rodzinie wektorów {vi}n i=1 ⊂H, które reprezentują pojedyncze „kawałki” treści: S= n X i=1 ai(S)vi. Dla uproszczenia będziemy w tym aneksie zakładać, że wektory {vi}tworzą układ ortonormalny w H. Wtedy norma stanu Sjest dana wzorem ∥S∥2= n X i=1 ai(S)2. Na współczynnikach ai(S)definiujemy rozkład pi(S) = ϕai(S) Pn j=1 ϕaj(S), i = 1, . . . , n, gdzie ϕ:R→[0,∞)jest ustaloną funkcją, na przykład ϕ(x) = x2lub ϕ(x) = |x|. Entropia treści w stanie Sma postać 115 Hent(p(S)) = − n X i=1 pi(S) log pi(S). Celem operatora porządkującego Qβjest obniżenie entropii Hent(p(S)) przy zachowaniu całkowitej „mocy” stanu, to znaczy przy zachowaniu normy ∥S∥. Aby to doprecyzować, modyfikujemy definicję Qβw następujący sposób. Definicja A.1 (operator porządkujący Qβ– wersja z renormalizacją normy). Dla danego stanu Sdefiniujemy najpierw przeskalowany rozkład epi(S) = pi(S)β Pn j=1 pj(S)β, i = 1, . . . , n, oraz wielkości ρ0(S) = n X i=1 ai(S)21/2, Zβ(S) = n X i=1 epi(S)21/2. Nowe współczynniki definiujemy jako eai(S) =    ρ0(S)epi(S) Zβ(S),gdy Zβ(S)>0, 0,gdy Zβ(S)=0, a uporządkowany stan Qβ(S) = n X i=1 eai(S)vi. Przy takiej definicji, dla ortonormalnej rodziny {vi}, mamy ∥Qβ(S)∥2= n X i=1 eai(S)2=ρ0(S)2Piepi(S)2 Zβ(S)2=ρ0(S)2=∥S∥2. Zatem ∥Qβ(S)∥=∥S∥dla każdego S. Dla β > 1rozkład ep(S), a tym samym rozkład współczynników eai(S), jest bardziej skoncentrowany niż wyjściowy rozkład p(S). Elementy, które już były relatywnie silniejsze, są dodatkowo wzmocnione w sensie udziału w normie, natomiast słabsze relatywnie słabną. W efekcie entropia Hent(ep(S)) jest mniejsza niż Hent(p(S)), przy zachowaniu normy stanu. Jeżeli nie jest konieczne dokładne zachowanie normy, można rozważać także uproszczoną wersję bez czynnika Zβ(S), która spełnia ∥Qβ(S)∥ ≤ ∥S∥. W niniejszym tomie przyjmujemy jednak wersję z renormalizacją, w której porządkowanie jest czysto „przestrzenne”: zmienia rozmieszczenie energii po kawałkach treści, nie zmieniając całkowitej mocy stanu. W równaniu ruchu operator Qβpojawia się poprzez wektor 116 Qβ(S)−S, który opisuje chwilowy ruch w stronę stanu o niższej entropii treści przy zachowaniu normy pola i struktury oddźwięku. Aneks B. Korekta definicji operatora MU (uniknięcie pozornej pętli) W Rozdziale 10 operator MU został zdefiniowany tak, aby tłumić kanał słów wtedy, gdy jego wkład chwilowo zwiększa funkcjonał H. W pierwotnym zapisie używaliśmy wielkości ∆Hword =∇SH(S),˙ SwordH,˙ Sword = Πword ˙ S, co w połączeniu z równaniem ˙ S=· · · + MU(S) mogło sugerować definicyjną „pętlę”: MU zależy od ˙ S, a ˙ Szależy od MU. Intencja konstrukcji jest jednak inna: operator MU ma reagować na „bazowy” wkład kanału słów, pochodzący od wszystkich członów równania poza samym MU. Doprecyzowujemy to, wprowadzając wyraźnie prędkość bazową. Definicja A.2 (prędkość bazowa i operator MU). Dla danego stanu S(t)definiujemy najpierw bazowy wektor prędkości, który obejmuje wszystkie składniki równania IFM poza MU: ˙ Sbase(t) := −G−1 eff ∇SHΠ⊥S(t)+αwrite A(t)G(t)−S(t) +Rmem(t) + RΣ(t) + Qβ(S(t)) −S(t). Projekcję tej prędkości na kanał słów zapisujemy jako ˙ Sword,base(t) := Πword ˙ Sbase(t). Wielkość mierzącą chwilowy wpływ kanału słów na zmianę funkcjonału H definiujemy teraz przez ∆Hword(t) := ∇SHS(t),˙ Sword,base(t)H. Niech µ:R→[0,∞)będzie funkcją przełączającą, spełniającą µ(x)=0 dla x≤0, µ rosnąca dla x > 0. Definiujemy operator MU jako MUS(t)=−µ∆Hword(t)ΠwordS(t). Pełne równanie ruchu przyjmuje więc postać ˙ S(t) = ˙ Sbase(t) + MUS(t),˙ S(t)∈CS(t), t, gdzie C(S, t)jest stożkiem możliwości w punkcie Si chwili t. 117 Taki zapis usuwa pozorną pętlę definicyjną: ∆Hword liczone jest wyłącznie z prędkości bazowej ˙ Sbase(t), to jest z tej części ruchu, która wynika z funkcjonału H, celu G, uwagi A(t), pamięci K, sprzężeń z aktorium Σoraz operatora porządkującego Qβ, ale nie z samego MU. Operator MU jest więc reakcją „hamującą” na to, co kanał słów zrobiłby bez jego udziału. Jeżeli ∆Hword(t)<0, to znaczy, że w danej chwili wkład kanału słów przyczynia się do spadku H– wtedy µ(∆Hword(t)) = 0 i MU jest nieaktywny. Jeśli natomiast ∆Hword(t)>0, kanał słów podnosi wartość funkcjonału; wówczas µ(∆Hword(t)) >0i MU wprowadza ruch w kierunku zmniejszającym normę ∥ΠwordS(t)∥. W efekcie słowny komponent pola jest stopniowo wyciszany: jego wpływ na dalszą dynamikę maleje, nawet jeśli treści słowne pozostają obecne na poziomie obserwacji. Powyższe doprecyzowania nie zmieniają jakościowego obrazu przedstawionego w Rozdziale 10. Operator Qβpozostaje matematyczną realizacją porządkowania treści przez koncentrację „masy uwagi” na mniejszej liczbie wyraźnych kawałków przy zachowaniu całkowitej mocy stanu. Operator MU pozostaje hamulcem na gałęzi słów, aktywującym się wtedy, gdy słowa zaczynają systematycznie podnosić koszt. Dzięki wprowadzonej renormalizacji w definicji Qβoraz rozróżnieniu prędkości bazowej i pełnej prędkości w definicji MU, cała konstrukcja matematyczna pozostaje spójna z intuicjami z Tomu I i nadaje się do ścisłej analizy równania IFM, w tym do badania stabilności w sensie Lapunowa i ISS. BIBLIOGRAFIA Literatura wspólna dla Tomu I i Tomu II [1] C. E. Shannon, „A Mathematical Theory of Communication”, Bell System Technical Journal 27 (1948), s. 379–423, 623–656. [2] T. M. Cover, J. A. Thomas, Elements of Information Theory, 2nd ed., John Wiley & Sons, Hoboken, 2006. [3] D. J. C. MacKay, Information Theory, Inference, and Learning Algorithms, Cambridge University Press, Cambridge, 2003. [4] J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge, 2017. [5] H.-P. Breuer, F. Petruccione, The Theory of Open Quantum Systems, Oxford University Press, Oxford, 2002. [6] C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, San Francisco, 1973. [7] R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, Chicago, 1984. [8] S. Weinberg, Cosmology, Oxford University Press, Oxford, 2008. [9] J. Polchinski, String Theory. Vol. 1: An Introduction to the Bosonic String, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [10] J. Polchinski, String Theory. Vol. 2: Superstring Theory and Beyond, Cambridge University Press, Cambridge, 1998. [11] R. Metzler, J. Klafter, „The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach”, Physics Reports 339 (2000), s. 1–77. 118 [12] R. Metzler, J. Klafter, „The restaurant at the end of the random walk: Recent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics”, Journal of Physics A: Mathematical and General 37 (2004), s. R161– R208. [13] R. Hilfer (red.), Applications of Fractional Calculus in Physics, World Scientific, Singapore, 2000. [14] J. Gleick, The Information: A History, a Theory, a Flood, Pantheon Books, New York, 2011. [15] S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields. Vol. 1: Foundations, Cambridge University Press, Cambridge, 1995. [16] W. Kordecki, Informacja i kodowanie. Krótkie wprowadzenie z przykładami zastosowań, Helion, Gliwice, 2024. [17] S. Kryszewski, Mechanika kwantowa, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2018. [18] R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki. Tom 3: Mechanika kwantowa, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2017. [19] M. Heller, Filozofia nauki. Wprowadzenie, Copernicus Center Press, Kraków, 2016. [20] M. Heller, T. Pabjan, Stworzenie i początek Wszechświata. Teologia – filozofia – kosmologia, Copernicus Center Press, Kraków, 2013. Literatura uzupełniająca dla Tomu II (IFM) [21] F. R. K. Chung, Spectral Graph Theory, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, vol. 92, American Mathematical Society, Providence, 1997. [22] H. K. Khalil, Nonlinear Systems, 3rd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, 2002. [23] E. D. Sontag, „Input to state stability: Basic concepts and results”, w: A. Isidori, F. Lamnabhi-Lagarrigue, W. Respondek (red.), Nonlinear and Optimal Control Theory, Springer, Berlin–Heidelberg, 2008, s. 163–220. [24] J. Prüss, Evolutionary Integral Equations and Applications, Birkhäuser, Basel, 1993. 119