A new approach for study and analysis of behavior of Collatz sequences

NOUVELLE APPROCHE POUR L’ETUDE ET L’ANALYSE DES COMPORTEMENTS DES SUITES DE COLLATZ Raouf Rajab [email protected] National School of Engineer of Gabes 1 08 Dec 2025 Abstract This work presents a new approach for the study and analysis of Collatz sequences based on three key Diophantine equations that describes the polynomial relationships between the length and the number of odd terms in any Collatz. : ∀ 𝐤∈ℕ∗,∃( 𝐀𝐤,𝐁𝐤,𝐂𝐤,𝐙𝐤)∈(ℕ∗)4 such as: 𝟐(𝟐𝐱𝟑𝐤−𝟏)=𝟏+𝟑𝐤 𝐀𝐤 ; 𝟑𝟐𝐤=𝟏+𝟐𝐤+𝟐 𝐁𝐤 ; 𝟑𝟒𝐱𝟓𝐤−𝟏=𝟏+𝟏𝟎𝐤𝐂𝐤=𝟏+𝟐𝐤+𝟐𝐙𝐤 For greater clarity regarding these equations, it should be noted that they represent terms of the three sequences defined by the following recurrence relations: 𝐀𝐧+𝟏=𝐀𝐧(𝟏+𝟑𝐧𝐀𝐧+𝟑𝟐𝐧−𝟏𝐀𝐧 𝟐) ; 𝐁𝐧+𝟏= 𝐁𝐧(𝟏+𝟐𝐧−𝟏𝐁𝐧) 𝐂𝐧+𝟏=𝟏𝟐𝐂𝐧+𝟏𝟎𝐧𝐂𝐧𝟐+𝟏𝟎𝟐𝐧𝐂𝐧𝟑+𝟓𝐱𝟏𝟎𝟑𝐧−𝟏𝐂𝐧𝟒+𝟏𝟎𝟒𝐧−𝟏𝐂𝐧𝟓 First, we prove the Diophantine equations used. Then, by choosing Collatz sequences with particular characteristics to effectively exploit the above equations, we study the behavior of Collatz sequences (of finite and infinite length). For example, we can consider Collatz sequences or parity vectors that have specific properties such as: 𝐦=𝟐𝐤 𝐨𝐮 𝐛𝐢𝐞𝐧 𝐦=𝟒𝐱𝟓𝐤−𝟏 𝐰𝐡𝐞𝐫𝐞 𝐤 ∈ℕ∗ For other sequences or parity vectors, we can choose the length of the sequence in the form: 𝐧=𝟐𝐱𝟑𝐤−𝟏 Where m is the number of odd terms in the sequence under consideration and n is the length of the Collatz sequence. By using these equations, we can establish several simple relationships between the first term of the Collatz sequence and the parity vector of the sequence under consideration. In other words, these equations allow us to determine several properties of these sequences related to the conditions necessary for a sequence to be divergent or convergent. Key words: Diophantine equations; Collatz sequences; Parity vector; 3x-1 function; 3x+1 function. Résumé Ce travail présente une nouvelle approche pour l’étude et l’analyse des suites de Collatz en se basant sur trois équations diophantiennes clés traduisant des relations polynomiales entre la longueur et le nombre de termes impairs dans une suite quelconque de Collatz. Ces équations sont comme suit: ∀ 𝐤∈ℕ∗,∃( 𝐀𝐤,𝐁𝐤,𝐂𝐤,𝐙𝐤)∈(ℕ∗)4 tels que : 𝟐(𝟐𝐱𝟑𝐤−𝟏)=𝟏+𝟑𝐤 𝐀𝐤 ; 𝟑𝟐𝐤=𝟏+𝟐𝐤+𝟐 𝐁𝐤 ; 𝟑𝟒𝐱𝟓𝐤−𝟏=𝟏+𝟏𝟎𝐤𝐂𝐤=𝟏+𝟐𝐤+𝟐𝐙𝐤 Pour plus de précision sur ces équations, il faut noter qu’ils représentent des termes des trois suites définies par les relations de récurrence suivantes : 𝐀𝐧+𝟏=𝐀𝐧(𝟏+𝟑𝐧𝐀𝐧+𝟑𝟐𝐧−𝟏𝐀𝐧 𝟐) ; 𝐁𝐧+𝟏= 𝐁𝐧(𝟏+𝟐𝐧−𝟏𝐁𝐧) 𝐂𝐧+𝟏=𝟏𝟐𝐂𝐧+𝟏𝟎𝐧𝐂𝐧𝟐+𝟏𝟎𝟐𝐧𝐂𝐧𝟑+𝟓𝐱𝟏𝟎𝟑𝐧−𝟏𝐂𝐧𝟒+𝟏𝟎𝟒𝐧−𝟏𝐂𝐧𝟓 En premier temps, nous démontrons les équations ci-dessus. Ensuite, en choisissant des suites des Collatz qui ont des caractéristiques particulières pour bien exploiter les équations ci-dessus, pour l’étude des comportements des suites de Collatz (de longueur finie et celles des longueurs infini). A titre d’exemple, on peut considérer des suites de Collatz ou bien des vecteurs de parité qui ont un nombre de termes impairs sous les formes suivantes : 𝐦=𝟐𝐤 𝐨𝐮 𝐛𝐢𝐞𝐧 𝐦=𝟒𝐱𝟓𝐤−𝟏 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 𝐞𝐧𝐭𝐢𝐞𝐫 𝐧𝐨𝐧 𝐧𝐮𝐥 Pour d’autres suites ou vecteurs de parité, on peut choisir la longueur de la suite sous la forme : 𝐧=𝟐𝐱𝟑𝐤−𝟏 Avec m le nombre de termes impairs dans la suite considérée, n la longueur de la suite de Collatz. En exploitant ces équations, on peut établir un certain nombre des relations simples entre le premier terme de la suite de Collatz et le vecteur de parité de la suite considérée. Ces équations permettent en d’autres termes de déterminer plusieurs propriétés de ces suites en relation avec les conditions nécessaires pour qu’une suite soit divergente ou bien convergente. Mots clés : Equations diophantiennes ; Suites de Collatz ; Vecteur de parité ; Fonction 3x-1 ; fonction 3x+1. 2 1. Introduction Dans l’objectif de résoudre la conjecture de Collatz, plusieurs chercheurs ont explorés différentes pistes pour l’analyse, l’étude et la compréhension des comportements des suites de Collatz. Chaque approche ou piste peut apporter des résultats partiels et dans la plupart des cas, elle contribue à une compréhension plus approfondie des comportements de ces suites et permet de dégager un ensemble des propriétés plus au moins intéressantes. Dans ce contexte, le présent article explore une nouvelle approche basée sur trois équations traduisant des relations entre des nombres dont les formes générales sont 3f(n,m) et 2g(n,m) ou f et g sont deux fonctions définies sur ℕ∗. Une telle approche fait apporter des nouvelles propriétés décrivant et clarifiants les comportements des suites de Collatz et plus précisément en ce qui concerne les différentes relations entre le premier terme d’une suite de Collatz et son vecteur de parité tout en mettant en relief les propriétés de symétrie et de complémentarité entre les suites générées par la fonction de Collatz et celles générées par la fonction 3x-1. 2. Préliminaire et terminologie Définition 2.1 La fonction de Collatz est définie comme suit pour tout entier naturel non nul : (𝟐.𝟏) ∀ x∈ℕ∗,T(x)={x2 Si x est pair 3x+1 2 Si x est impair Notation .2.1 Une suite de Collatz de premier terme x et de longueur n peut être représentée comme suit : Coln(x)=(x,T(x),T2(x),….,Tn−1(x)) Pour chaque suite de Collatz de longueur n, on fait associer un vecteur de parité de même longueur qui traduit la distribution des termes pairs et des termes impairs dans cette suite. Notations .2.2 Un vecteur de parité de longueur n est un élément de l’ensemble {0,1}n et qui peut être représenté comme suit : v=(e1,e2,…,en) | ∀ i∈⟦1,n⟧ ei∈{0,1} On peut associer à chaque suite de Collatz, un vecteur de parité de même longueur qui peut être caractérisé par trois nombres caractéristiques principaux. n(v): La longueur de vecteur de parité 𝐦(𝐯): Désigne le nombre des termes non nuls (nombre des termes impairs dans la suite de Collatz de vecteur de parité v) du vecteur de parité. Ce nombre m(v) sera appelé charge de vecteur de parité considéré et aussi charge de la suite de Collatz qui a pour vecteur de parité v. La charge est donnée par l’expression suivante : (𝟐.𝟐) 𝐦(𝐯)=∑𝐞𝐢 𝐧 𝐢=𝟏 Le nombre P(v) : Pour chaque vecteur de parité v, en fait associer un nombre caractéristique noté P(v) qui a pour expression : 𝐏(𝐯)=𝟑𝐦−𝟏𝟐𝐣𝟏−𝟏+𝟑𝐦−𝟐𝟐𝐣𝟐−𝟏+𝟑𝐦−𝟑𝟐𝐣𝟑−𝟏+⋯+𝟑 𝟐𝐣𝐦−𝟏−𝟏+𝟐𝐣𝐦−𝟏 Les indices ji correspondent aux rangs des termes non nuls dans le vecteur de parité c’est à dire que : ∀ i∈⟦1,m⟧ eji=1 𝐱𝟎(𝐯) Le plus petit entier naturel qui représente le premier terme d’une suite de Collatz de vecteur de parité v 𝐱(𝐯) 𝐨𝐮 𝐱𝐯 : Désigne un entier naturel qui représente le premier terme d’une suite de Collatz de vecteur de parité v. D(v)={x∈ℕ ∣ ∣ x≡x0(v) mod(2n(v))} Corollaire .2.1 3 Soient v un vecteur de parité de longueur n et de charge m avec n et m deux entiers naturels et x un entier naturel non nul alors x est le premier terme d’une suite de Collatz de vecteur de parité v si et seulement si : ∀ 𝐱∈ℕ∗ 𝐬𝐢 𝐱∈𝐃(𝐯)⇔𝟑𝐦(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯)𝐱+𝐏(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯)∈ℕ Notation .2.3 On considère une suite de Collatz de vecteur de parité v donc l’expression de nième terme de la suite de Collatz en fonction des nombres caractéristiques est comme suit : (𝟐.𝟑) 𝟑𝐦(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯)𝐱(𝐯)+𝐏(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯)=𝐓𝐧(𝐯)(𝐱) Ou encore : 𝟑𝐦(𝐯)𝐱+𝐏(𝐯)=𝟐𝐧(𝐯)𝐓𝐧(𝐯)(𝐱) S’il n’y a pas ambigüité, on peut remplacer la longueur n(v), la charge m(v) et N(v) par n, m et x0. Notation .2.4 𝐯(𝐧,𝐦) 𝐨𝐮 𝐯𝐧,𝐦 : Désigne un vecteur de parité de longueur n et de charge m. 𝐯(𝐧,.): Désigne un vecteur de parité de longueur n sans préciser sa charge. 𝐯(.,𝐦)∶ Désigne un vecteur de parité de charge m sans préciser sa longueur Corollaire .2.2 Soit v un vecteur de parité de longueur n(v), de charge m(v) et de nombre caractéristique P(v). Soient v1et v2 deux vecteurs de parité qui constituent une partition de v : v=(e1,e2,e3,….,en1,en1+1,…,en) Une décomposition quelconque de vecteur v en deux vecteurs de parité peut être comme suit : {v1=(e1,e2,e3,….,en1) v2=(en1+1,en1+2…,en) Le nombre caractéristique P(v) s’écrit en fonction de P(v1) et P(v2) comme suit : (𝟐.𝟒) 𝐏(𝐯)=𝟑𝐦(𝐯𝟐)𝐏(𝐯𝟏)+𝟐𝐧(𝐯𝟏)𝐏(𝐯𝟐) Théorème .2.1 Soient m et n deux entier naturels tel que 0≤m≤n et n est non nul alors pour tout vecteur de parité v de longueur n et de charge m, le nombre caractéristique P(v) vérifie l’inégalité suivante : (𝟐.𝟓) (𝟑𝐦−𝟐𝐧)≤𝐏(𝐯)≤𝟐𝐧−𝐦(𝟑𝐦−𝟐𝐧) Corollaire .2.3 Soit v un vecteur de parité quelconque de longueur n(v) et de charge m(v) alors on peut admettre la limite suivante : (𝟐.𝟔) 𝐥𝐢𝐦 𝐧(𝐯)→+∞ 𝐏(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯) 𝟑𝐦(𝐯)=𝟎 Pour plus de précision sur le sens de cette limite, si comme on considère un ensemble infini des vecteurs de parité qu’on les note :𝐯𝟏,𝐯𝟐,….,𝐯𝐧,… de plus tous les vecteurs de parité satisfaisant les conditions suivantes : ∀ k≥1 vk⊂vk+1 ; vk≠vk+1; nk=n(vk) et mk=m(vk) lim n(v)→+∞ P(v) 2n(v) 3m(v)=0 équivalente à lim k→+∞ P(vk) 2nk 3mk=0 Démonstration : Les deux propriétés (2.5) et (2.6) sont démontrées dans l’article [1]. Il est important de noter que la limite (2.6) peut être déduite à partir de l’inégalité (2.5) 3. Relation être la fonction (𝟑𝐱+𝟏) et la fonction (𝟑𝐱−𝟏) Les suites générées par les deux fonction 3x+1 et la fonction 3x-1 dans l’ensemble des entiers naturels ont plusieurs propriétés communes. Elles possèdent des propriétés de symétrie et des propriétés de complémentarité intéressantes, elles contribuent à une meilleure compréhension plus approfondie concernant les vecteurs de parités et les suites qui correspondent au ces vecteurs. 4 La figure ci-dessous illustre quelques propriétés de complémentarité entre les suites générées par les deux fonctions. FiG.1. Illustration des propriétés de complémentarité et de symétrie entre les suites générées par les deux fonction 3x+1 et celle 3x-1 Définition 3.1 On définit la fonction conjuguée de 3x+1 (la fonction 3x-1) comme suit : (𝟑.𝟏) ∀ 𝐱∈ℕ∗,𝐓(𝐱)={𝐱𝟐 𝐒𝐢 𝐱 𝐞𝐬𝐭 𝐩𝐚𝐢𝐫 𝟑𝐱−𝟏 𝟐 𝐒𝐢 𝐱 𝐞𝐬𝐭 𝐢𝐦𝐩𝐚𝐢𝐫 Notation 3.1 v(n,m) : Vecteur de parité de la suite générée par la fonction 3x-1 et de longueur n et de charge m. v[x,n]: Désigne vecteur de parite de la suite générée par la fonction 3x-1, de premier terme x et de longueur n. Col     (x,n) : Désigne la suite générée par la fonction 3x-1, de premier terme un entier naturel non nul x et de longueur n. Théorème 3.1 Soient x, k et n trois entiers naturels non nuls. On désigne par v(x,n) le vecteur de parité de la suite de Collatz de premier terme x et de longueur n et par v(2nk−x,n) le vecteur de parité de la suite générée par la fonction 3n-1, de premier terme (2nk−x) et de longueur n alors ces deux suites possèdent le même vecteur de parité autrement dit : (3.2) ∀ (x,n,k)∈ℕ∗xℕ∗xℕ∗ on a:v[x,n]=v[2nk−x,n] Inversement, deux suites dont l’une générée par la fonction 3x+1 et l’autre par la fonction 3x-1 et on suppose qu’elles possèdent la même longueur n donc ces deux suites admettent le même vecteur de parité si et seulement si la somme de leurs premiers termes est un multiple de 2n Démonstration : Partons de deux suites de même longueur n, dont l’une de premier terme un entier naturel non nul x1 et générée par la fonction 3x+1 et l’autre de premier terme x2 et générée par la fonction 3x-1 et on suppose qu’elles ont le même vecteur de parité v, donc on peut écrire ; 3mx1+P(v) 2n=Tn(x1); 3mx2−P(v) 2n=Tn(x2) Ceci nous donne : 5 3m(x1+x2) 2n=Tn(x1)+Tn(x2) ⇒3m(x1+x2)=2n (Tn(x1)+Tn(x2)) Cette dernière égalité signifie à la fois que : (x1+x2)≡0 (mod 2n) et (Tn(x1)+Tn(x2))≡0 (mod3m) Inversement partons d’une suite longueur n générée par la fonction 3x+1 et de premier terme x1 de vecteur de parité v et on suppose que : x1+x2≡0 (mod 2n) On peut écrire : 3mx1+P(v) 2n=Tn(x1) Remplaçons x1 par 2n−x2, on obtient : 3m(2nk−x2)+P(v) 2n=3mk−(3mx2−P(v) 2n)=Tn(x1) Ceci nous donne : 3mx2−P(v) 2n=3mk−Tn(x1) Ceci signifie que v est le vecteur de parité de la suite générée par la fonction 3x-1 et de premier terme x2 et dans ce cas on peut admettre que : 3mk−Tn(x1)=Tn(x2) Exemple 3.1 On considère les deux suites de premiers termes respectivement 13 et 51 tel que la suite de premier terme 13 est générée par la fonction 3x-1 et de longueur 6 alors que la suite de premier terme 51 est une suite de Collatz de même longueur 6. Col(51,6)=(51,77,116,58,29,44)⇒v(51,6)=(1,1,0,0,1,0) Col     (13,6)=(13,19,28,14,7,10)⇒v(13,6)=(1,1,0,0,1,0) On remarque bien que la somme de deux premiers termes de deux suites est un multiple de 26 13+51=64=26 Théorème 3.2 Soient x, n, et m trois entiers naturels. On considère les deux suites finies Col(x,n) et Col     (2n−x,n) de même longueur n. On désigne par m la charge de ces deux suites, autrement dit : m( 𝐯[𝐱,𝐧])=𝐦(𝐯[𝟐𝐧𝐤−𝐱])=𝐦 alors on a : (𝟑.𝟑) (𝐓𝐧(𝐱)+𝐓𝐧(𝟐𝐧𝐤−𝐱))≡𝟎 (𝐦𝐨𝐝 𝟑𝐦) Exemple 3.2 On sait que les deux suites Col     (13,6) et Col(51,6) possèdent le même vecteur de parité et par suite elles possèdent le même nombre des termes impairs T6(51)=22 et T6(13)=5⇒T6(51)+ T6(13)=27=33=3m(v) Démonstration On sait que : 3mx+P(v) 2n=Tn(x); 3m(2nk−x)−P(v) 2n=Tn(2nk−x) De plus on a : 3m(2nk−x)−P(v) 2n=3mk−(3mx+P(v) 2n)=3mk−Tn(x) Ce qui implique que : Tn(2nk−x)+Tn(x)=3mk Equivaut à : (Tn(2nk−x)+Tn(x))≡0(mod 3m) 4. Notions des suites de Collatz des longueurs et de charges ajustées Définition .4.1 On considère un vecteur de parité v de longueur n(v) et de charge m(v) alors v est dit un vecteur de parité super pair chargé s’il existe un entier naturel k supérieur ou égal à 1 tel que : 6 (𝟒.𝟏) 𝐦(𝐯)=𝟐𝐤 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤≥𝟏 Autrement dit un vecteur de parité est dit super pair chargé si sa charge m(v) est un nombre super pairplus. On dit aussi qu’il s’agit d’un vecteur de parité de charge super ajusté. Définition .4.2 Une suite de Collatz est dite super pair chargée si son vecteur de parité est un vecteur super pair chargé autrement dit c’est une suite qui contient un nombre des termes impairs qui s’écrit sous la forme 2k avec k un entier naturel non nul Exemples 4.1. 1.La suite de premier terme 25 et de longueur 17 contient 8 termes impairs donc m(v)=23, il s’agit d’une suite super pair chargée et évidement son vecteur de parité est un vecteur super pair chargé. 𝟐𝟓,38,𝟏𝟗,𝟐𝟗,44,22,𝟏𝟏,𝟏𝟕,26,𝟏𝟑,20,10,𝟓,8,4,2,𝟏 𝟏,0,𝟏,𝟏,0,0,𝟏,𝟏,0,𝟏,0,0,𝟏,0,0,0,𝟏 2.La suite de premier terme 27 et de longueur 21 contient 16 termes impairs donc m(v)=24, il s’agit d’une suite super pair chargée. 𝟐𝟕,𝟒𝟏,62,𝟑𝟏,𝟒𝟕,𝟕𝟏,𝟏𝟎𝟕,𝟏𝟔𝟏,242,𝟏𝟐𝟏,182,𝟗𝟏,𝟏𝟑𝟕,206,𝟏𝟎𝟑,𝟏𝟓𝟓,𝟐𝟑𝟑,350,𝟏𝟕𝟓,𝟐𝟔𝟑,𝟑𝟗𝟓 𝟏,𝟏,0,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,𝟏,0,𝟏,0,𝟏,𝟏,0,𝟏,𝟏,𝟏,0,𝟏,𝟏,𝟏 Définition .4.3 Une suite de Collatz de vecteur de parité v et de longueur finie n(v) est dite une suite de Collatz de longueur ajustée si sa longueur s’écrit sous la forme suivante : (𝟒.𝟐) 𝐧(𝐯)=𝟐𝐱𝟑𝐤−𝟏 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤∈ℕ∗ Les longueurs des suites de Collatz de longueurs ajustées prennent les valeurs suivantes : 2,6,18,54,162, … Exemple .4.2 La suite ci-dessous de premier terme 7 et de longueur n=18 est une suite de Collatz de longueur ajustée en effet n=2x3k−1 avec k=3 : 𝐂𝐨𝐥𝟏𝟖(𝟕)=(𝟕,𝟏𝟏,𝟏𝟕,…,𝐓𝟏𝟔(𝟕),𝐓𝟏𝟕(𝟕)) Définition .4.4 On considère une suite de Collatz de vecteur de parité v et de longueur de n(v) et de charge m(v). Une telle suite de Collatz est dite suite de Collatz de charge simplement ajustée si sa charge m(v) s’écrit sous la forme suivante : (𝟒.𝟑) 𝐦(𝐯)=𝟒𝐱𝟓𝐤−𝟏 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐤 ∈ℕ∗ Exemple .4.3 La suite de premier terme 27 et de longueur 28 est une suite de Collatz de charge simplement ajustée en effet cette suite contient 20 termes impairs donc on peut écrire : m(v)=20=4x5k−1 avec k=2 𝟐𝟕,𝟒𝟏,62,𝟑𝟏,𝟒𝟕,𝟕𝟏,𝟏𝟎𝟕,𝟏𝟔𝟏,242,𝟏𝟐𝟏,182,𝟗𝟏,𝟏𝟑𝟕,206,𝟏𝟎𝟑,𝟏𝟓𝟓,𝟐𝟑𝟑,350,𝟏𝟕𝟓, 𝟐𝟔𝟑,𝟑𝟗𝟓,𝟓𝟗𝟑,890,𝟒𝟒𝟓,668,334,𝟏𝟔𝟕,𝟐𝟓𝟏 5. Etude des suites de Collatz sur la base des trois équations diophantiennes 5.1. Exploitation de l’équation : 𝟐(𝟐𝐱𝟑𝐧−𝟏)=𝟏+𝟑𝐧 𝐀𝐧 Lemme .5.1.1 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe un entier naturel An tel que : (𝟓.𝟏.𝟏) 𝟐𝟐𝐱𝟑𝐧−𝟏=𝟏+𝟑𝐧𝐀𝐧 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐀𝐧 ∈ℕ∗ Avec la relation de récurrence suivante entre 𝐀𝐧+𝟏 et 𝐀𝐧 : (𝟓.𝟏.𝟐) 𝐀𝐧+𝟏=𝐀𝐧(𝟏+𝟑𝐧𝐀𝐧+𝟑𝟐𝐧−𝟏𝐀𝐧 𝟐) Exemple .5.1.1 𝐓𝐚𝐛.𝟏:𝐄𝐱𝐩𝐫𝐞𝐬𝐬𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝟐𝟐 𝟑𝐧−𝟏 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝟑𝐧 𝐧 𝟐𝟐∗ 𝟑𝐧−𝟏 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝟑𝐧 𝟏 𝟐𝟐∗ 𝟑𝟏−𝟏=𝟏+𝟑 𝟐 𝟐𝟐∗𝟑𝟐−𝟏=𝟏+𝟑𝟐 𝟕 7 𝟑 𝟐𝟐∗ 𝟑𝟑−𝟏=𝟏+𝟑𝟑 𝟗𝟕𝟎𝟗 Démonstration On vérifie que la propriété est vraie pour k=1 et k=2 en effet : 22x31−1=4=1+3 ; 22x32−1=64=1+32x7 On suppose que la propriété est vraie pour tout entier k allant de 2 à n et on montre qu’elle est vraie pour k=n+1. On sait que : 22x3(n+1)−1=22x3n=(22x3n−1)3 Remplaçons 22x3n−1 par 1+3nAn , on obtient : (1+3nAn)3=1+ 3n+1An+32n+1An 2+33nAn 3=1 + 3n+1(An+3nAn 2+32n−1An 3) On déduit que 22x3(n+1)−1=22x3n=1 + 3n+1(An+3nAn 2+32n−1An 3)=1+3n+1An+1 Avec : An+1=An(1+3nAn+32n−1An 2) On peut conclure que la propriété est vraie pour tout entier naturel non nul n. Corollaire .5.1.1 Pour tout entier naturel non nul N, ils existent deux entiers naturels non nuls n et An tel que : (5.1.3) 22x3n−1N=N+3nAn N Corollaire .5.1.2 Pour tous entiers naturels non nuls k et n, il existe un entier naturel non nul qu’on le note An,k tel que : (𝟓.𝟏.𝟒) 𝟐(𝟐∗𝐤∗𝟑𝐧−𝟏)=𝟏+𝟑𝐧𝐀𝐧,𝐤 Démonstration Cette dernière équation est la généralisation de l’équation (5.1.1), on peut le démontrer en utilisant la démonstration par récurrence. On sait que la propriété est vraie pour j=1 et on suppose qu’elle a vraie pour tout entier j allant de 2 à k et on le démontre pour j=k+1 comme suit : 2(2∗(k+1)∗3n−1)=(2(2 3n−1))k+1=2(2 3n−1) 2(2∗k∗3n−1)=(1+3nAn)(1+3nAn,k) Ceci nous permet d’écrire : 2(2∗(k+1)∗3n−1)=1+3n(An+An,k+3n AnAn,k) On pose : An,k+1=An+An,k+3n AnAn,k On peut écrire alors : 2(2∗(k+1)∗3n−1)=1+3nAn,k+1 On peut conclure que la propriété est vraie pour tout entier non nul k. Corollaire .5.1.3. Pour tout vecteur de parité v de longueur n(v) et de charge m(v) avec n(v) et m(v) deux entiers naturel et tel que n(v)≤2 3m(v)−1 alors le nombre défini par le produit Am(v)P(v) est le premier terme d’une suite de Collatz, de longueur n(v) et de vecteur de parité v. Autrement dit : (𝟓.𝟏.𝟓) ∀ 𝐯𝐞𝐜𝐭𝐞𝐮𝐫 𝐝𝐞 𝐩𝐚𝐫𝐢𝐭𝐞 𝐯,∃ 𝐤∈ℕ∗ ∣𝐀𝐦(𝐯)𝐏(𝐯)=𝐱𝟎(𝐯)+𝟐𝐧(𝐯)𝐤 Ou x0(v) est le plus entier naturel qui représente le premier terme d’une suite de Collatz de vecteur de parité v De plus on a : (𝟓.𝟏.𝟔) 𝐓𝐧(𝐯)(Am(v)P(v))=𝟐𝟐∗𝟑𝐦(𝐯)−𝟏−𝐧(𝐯) 𝐏(𝐯) Une telle équation conduit à : (𝟓.𝟏.𝟕) 𝐓𝟐𝐱𝟑𝐦(𝐯)−𝟏(𝐀𝐦(𝐯)𝐏(𝐯))=𝐏(𝐯) Démonstration On considère un vecteur de parité de longueur non nul n(v) et de charge m(v) tel que : 𝐧(𝐯)≤𝟐∗𝟑𝐦(𝐯)−𝟏 8 On sait que : 22∗3m(v)−1 P(v)=P(v)+3m(v)Am(v) P(v) On devise par 2n(v), on obtient : 3m(v)(Am(v) P(v))+P(v) 2n(v) =22∗3m(v)−1−n(v) P(v) Equivaut à : Tn(v)(Am(v)P(v))=22∗3m(v)−1−n(v) P(v) On sait que : T2∗3m(v)−1−n(v)(22∗3m(v)−1−n(v)P(v))=P(v) On conclut que : T2x3m(v)−1(Am(v)P(v))=P(v) Corollaire .5.1.4. Soient m et n deux entiers naturels tel que : 0≤m≤n et n≠0 alors pour tous vecteurs de parité de longueur n et de charge m, la suite de Collatz de premier terme 3n−mAnP(v) admet v comme vecteur de parité autrement dit : 3n−mAnP(v) est le premier terme d’une suite de Collatz de vecteur de parité v de plus on a : (5.1.8) T2x3n−1(3n−mAnP(v))=P(v) Démonstration On sait que : 22x3n−1=1+3nAn En multipliant par P(v), on obtient : 22x3n−1P(v)=P(v)+3nAnP(v) On devise par 2n, ceci donne : 3n 2n(AnP(v))+P(v) 2n=22x3n−1−nP(v) Equivaut à : 3m 2n(3n−mAnP(v))+P(v) 2n=22x3n−1−nP(v) Ceci implique que : Tn(3n−mAnP(v))=22x3n−1−nP(v) Ou encore : T2x3n−1(3n−mAnP(v))=P(v) Corollaire .5.1.6 Soit m un entier naturel quelconque, v un vecteur de parité de charge m (m(v)=m) et de longueur n tel que n≤2 3m−1 alors on peut admettre la limite suivante : (5.1.9) lim n→+∞2(2∗3m−1−n) 3mP(v)= lim n→+∞AmP(v) 2n Remarque importante : Pour bien comprendre le sens et la signification cette limite, on peut considère une série infinie des vecteurs de parité de longueurs finies et deux a deux distincts notés : v1,v2,….,vk,…tel que ∀ j≥1 ; vj⊂vj+1 ,vj≠vj+1 et mj=m(vj) et nj=n(vj) Et satisfaisant tous la condition 2∗3mj−1−nj>0 lim n→+∞2(2∗3m−1−n) 3mP(v) équivalente à lim j→+∞2(2∗3mj−1−nj) 3mjP(vj) De même pour l’autre expression : lim n→+∞AmP(v) 2n équivalente à lim j→+∞(Amj 2njP(vj)) Démonstration : 9 Partons de l’équation : 22∗3m−1=1+3mAm Ceci nous donne : 22∗3m−1P(v)=P(v)+3mAmP(v) On fait diviser par le produit 3m2n , on obtient : 22∗3m−1P(v) 3m2n=P(v) 3m2n+3mAmP(v) 3m2n D’après le théorème (2.6) on a : 𝐥𝐢𝐦 𝐧(𝐯)→+∞ 𝐏(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯) 𝟑𝐦(𝐯)=𝟎 On peut écrire : lim n→+∞(22∗3m−1−nP(v) 3m)= lim n→+∞(P(v) 3m2n)+ lim n→+∞(AmP(v) 2n) Comme : 𝐥𝐢𝐦 𝐧(𝐯)→+∞ 𝐏(𝐯) 𝟐𝐧(𝐯) 𝟑𝐦(𝐯)= lim n→+∞(P(v) 3m2n)=𝟎 On conclut que : lim n→+∞(22∗3m−1−nP(v) 3n)=lim n→+∞(AmP(v) 2n) 5.2. Exploitation de l’équation : 𝟑𝟐𝐧=𝟏+𝟐𝐧+𝟐𝐁𝐧 Lemme .5.2.1 Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, il existe un entier naturel non nul Bn tel que : (𝟓.𝟐.𝟏) 𝟑𝟐𝐧=𝟏+𝟐𝐧+𝟐𝐁𝐧 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐁𝐧 ∈ℕ∗ La relation de récurrence entre Bn et Bn+1 s’écrit comme suit : (𝟓.𝟐.𝟐) 𝐁𝐧(𝟏+𝟐𝐧−𝟏𝐁𝐧)=𝐁𝐧+𝟏 Noter que pour tout entier naturel n≥2, le nombre Bn est un entier naturel impair multiple de 5 qui s’écrit sous la forme : (𝟓.𝟐.𝟑) 𝐁𝐧=𝟓𝐒𝐧 Avec Sn est un entier naturel non nul et la relation de récurrence entre Sn et Sn+1 s’écrit comme ci-dessous : (𝟓.𝟐.𝟒) 𝐒𝐧(𝟏+𝟓𝐱𝟐𝐧−𝟏𝐒𝐧)=𝐒𝐧+𝟏 Exemple .5.2.1 𝐓𝐚𝐛.𝟐:𝐄𝐱𝐩𝐫𝐞𝐬𝐬𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝟑𝟐𝐧 𝐞𝐧 𝐟𝐨𝐧𝐜𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝟐𝐧+𝟐 𝐧 32n en fonction de 2n+2 1 32=1+23 2 322=1+24x5 3 323=1+25x205 4 324=1+26x672605 Démonstration : On vérifie que la relation est vraie pour k=1 : 321=1+23 On peut vérifier aussi aisément pour k=2 comme suit : 322=1+5x24 On suppose que la relation est vraie pour tout entier k allant de 3 à n et on montre qu’elle est vraie pour n+1. On sait que :