Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten

Korte, Bernhard; Oberhofer, Walter Article Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten Kredit und Kapital Provided in Cooperation with: Duncker & Humblot, Berlin Suggested Citation: Korte, Bernhard; Oberhofer, Walter (1970) : Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten, Kredit und Kapital, ISSN 0023-4591, Duncker & Humblot, Berlin, Vol. 3, Iss. 2, pp. 172-201, https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 This Version is available at: https://hdl.handle.net/10419/292645 Standard-Nutzungsbedingungen: Die Dokumente auf EconStor dürfen zu eigenen wissenschaftlichen Zwecken und zum Privatgebrauch gespeichert und kopiert werden. Sie dürfen die Dokumente nicht für öffentliche oder kommerzielle Zwecke vervielfältigen, öffentlich ausstellen, öffentlich zugänglich machen, vertreiben oder anderweitig nutzen. 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Vorbemerkungen Die vorliegende Arbeit stellt einen Beitrag zur quantitativen Analyse des mikroökonomischen Sparprozesses dar. Hier soll versucht werden, mit ökonometrischen und statistischen Methoden zusätzliche und bisher zum Teil unbekannte Aussagen über die Entwicklung, Bestimmungsgründe und die soziale Struktur des Sparprozesses im Hinblick auf den einzelnen Sparer zu gewinnen. Die nachfolgenden Aussagen erheben daher nicht den Anspruch, primär neue Erkenntnisse zur Theorie des Sparens zu liefern. Andererseits war es auch nicht unsere Aufgabe, ein vollständiges und a priori gegebenes theoretisches Sparmodell zu verifizieren. Der Ausgangspunkt unserer Untersuchungen bestand vielmehr darin, daß wir relativ umfangreiches und in dieser Form bisher noch nicht vorhandenes empirisches Material zur Verfügung hatten, aus dem dann entsprechende Resultate deduziert wurden. Diese Erkenntnisse können dann unter Umständen als weitere Bausteine in ein entsprechendes theoretisches Gebäude eingesetzt werden. Wir wollen ferner bereits hier erwähnen, daß sich unsere Untersuchungen ausschließlich auf das Kontensparen beziehen, da für die anderen Sparformen das notwendige empirische Material unseres Wissens bisher noch nicht vorhanden ist. Diese Spezialisierung bedeutet aber insofern keine allzu starke Einschränkung, als zum Beispiel nach Berechnungen von R. Exo rund 50 % der privaten Ersparnisbildung sowohl der Unselbständigen als auch der Selbständigen auf Sparkonten erfolgt1. Diese Prozentzahl hat auch dann Gültigkeit, wenn man als Bezugsgröße den privaten Haushalt nimmt. Sie wurde von R. Exo nicht nur für eine kurze Zeitperiode, sondern insgesamt für 11 Jahre von 1950 bis 1960 1 Vgl. R. Exo, Die Entwicklung der sozialen und ökonomischen Struktur der Ersparnisbildung in der Bundesrepublik Deutschland, Berlin, 1967. Tabellen 53, 54 u. 55, Seite 326 ff. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 173 berechnet. Der obengenannte Wert von 50 % stellt einen Mittelwert über die genannten Jahre dar. Insofern beziehen sich unsere Untersuchungen auf die dominierende Komponente des privaten Sparprozesses. Die bisherigen Analysen des Sparprozesses untersuchten im wesentlichen die Durchschnittswerte der Einlagenbestände oder der Umsätze im Verlauf der Zeit bzw. für verschiedene soziale Gruppen. Aus der Veränderung und den Unterschieden der Durchschnittswerte wurden dann entsprechende Schlüsse gezogen. Allenfalls wurden noch grobe Größenklassengliederungen für die Einlagenbestände zur Analyse hinzugezogen. Derartige Durchschnittsbetrachtungen sagen aber nichts über den Typ und die spezielle Form der Verteilungsfunktion der einzelnen Variablen aus. Die Fragen nach der individuellen Verteilung der Einlagenbestände und ihrer Parameter (Mittelwert, Varianz) auf Sparkonten konnten daher bisher nicht beantwortet werden. Für eine differenzierte Analyse des Sparprozesses interessieren aber nicht nur die Veränderungen des Mittelwertes, sondern vielmehr Aussagen über mögliche Veränderungen der gesamten Verteilungsfunktion oder der Verteilungsdichte. Ebenso können vergleichende Betrachtungen zwischen verschiedenen sozialen Gruppen, die sich lediglich auf Mittelwerte beschränken, keine signifikanten Unterschiede zeigen, während entsprechende Analysen der Verteilungsfunktion und der Verteilungsdichte zusätzliche Erkenntnisse vermitteln können. Aber neben diesen theoretischen Aussagen hat eine derartige Analyse der Verteilungsformen auch eine nicht geringe praktische Bedeutung. Insbesondere bei der Festlegung von Größenklassen für laufende Statistiken des Sparprozesses ist eine genaue Kenntnis der Verteilungsfunktion wesentlich. Hierdurch kann man vermeiden, daß durch falsche (z.B. zu grobe oder zu feine) Größenklassenbildungen entsprechende Teile der gesamten Verteilung aggregiert, verzerrt oder falsch wiedergegeben werden. Es sei in diesem Zusammenhang noch eine heuristische Methode zur Beurteilung von Verteilungsformen genannt, bei der eine genaue Kenntnis der Verteilungsfunktion bzw. der Dichtefunktion nicht notwendig ist. Hierbei handelt es sich um die von Lorenz zum ersten Mal benutzte Kurve zur Messung des Konzentrationsgrads2. In Abbildung 1 sind zwei derartige Lorenz-Kurven für die Verteilung der Spareinlagen auf Sparkonten wiedergegeben. Der Graph der Lorenz-Kurve entsteht dadurch, daß man jeweils den kumulierten relativen Anteil der Sparkonten an 2 Lorenz, Methods of Measuring the Concentration of Wealth. Publications of the American Statistical Association 9 (New Series), (1905), S. 205—219. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 174 Bernhard Körte und Walter Oberhof er Abbildung 1 Lorenz-Kurve: Konzentrationsmaß für die Verteilung der Spareinlagen auf Sparkonten % der Spareinlagen der Gesamtheit aller Sparkonten dem kumulierten relativen Anteil der Spareinlagen auf diesen Sparkonten ebenfalls gemessen an der Gesamtheit aller Spareinlagen gegenübergestellt. Hierzu benutzt man meistens eine Spareinlagen-Größenklassengliederung für die Sparkonten und die Spareinlagen. Nur dann, wenn auf allen Sparkonten jeweils derselbe Spareinlagenbestand vorhanden wäre, würde die entsprechende LorenzKurve der in Abbildung 1 eingezeichneten Winkelhalbierenden entsprechen. Denn in diesem Fall würden z. B. auf 10 % aller Sparkonten auch 10 % der Spareinlagen, auf 20 % der Sparkonten auch 20 % der Spareinlagen usw. vorhanden sein. Eine derartige identische Verteilung wird aber in der Regel bei keiner wirtschaftlichen Variablen anzutreffen sein. Daher ist der Graph der Lorenz-Kurve, die insbesondere auch zur Analyse der personellen Einkommensverteilung benutzt wird, konkav und unterhalb der Winkelhalbierenden verlaufend. So zeigt z. B. die Abbildung 1, daß im Jahr 1950 auf 50% aller Sparkonten nur rund 6% der Spareinlagen vereinigt waren, während z. B. 50 % der Spareinlagen auf nur insgesamt 4 % der Sparerkonten verteilt waren. Die entsprechende Lorenz-Kurve für das Jahr 1968 zeigt mit Ausnahme des unteren Bereichs einen gewissen Dekonzentrationseffekt. Dieser Effekt ist optisch dadurch festzustellen, daß die entsprechende Lorenz-Kurve im OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 175 überwiegenden Teil oberhalb der Kurve für das Jahr 1950 verläuft. Das bedeutet also, daß im Verlauf der Zeit die Verteilung der individuellen Spareinlagen auf den Sparkonten etwas gleichmäßiger geworden ist. Diese Aussage stellt aber das Maximum an Information dar, das man mit dem heuristischen Instrument einer Lorenz-Kurve ermitteln kann. Eine vertiefte Analyse ist nur bei Kenntnis der Verteilungsfunktion möglich. Die nächste Frage, der wir uns nun zuwenden wollen, lautet: Welche Verteilungsfunktion kann man theoretisch für den Einlagenbestand auf einem einzelnen Sparkonto ableiten? Wir wollen im folgenden mit Bi den Einlagenbestand auf einem einzelnen Sparkonto am Ende des ¿-ten Jahres bezeichnen. Unterstellt man nun für den Einlagenbestand Biy daß er vom Wert der Vorperiode abhängt, wobei eine weitere Zufallsvariable als Störterm hinzugenommen wird, so kann man folgenden Ansatz formulieren: (1.1) B^Bj.id +Zi) . Diese Formel besagt, daß der Einlagenbestand am Ende einer Periode proportional zum Einlagenbestand der Vorperiode ist, wobei der Proportionalitätsfaktor durch die zufällige Größe z{ angegeben wird. Die relative stochastische Abhängigkeit des Einlagenbestands von demjenigen der Vorperiode erscheint sehr sinnvoll. Aus Formel (1.1) folgt dann für den Einlagenbestand der w-ten Periode: (1.2) Bn = B0( 1 + Zl) (1 + z2) ... (1 + zn) , wobei B0 der Einlagenbestand zu Beginn eines Beobachtungszeitraums ist. Durch Logarithmieren von (1.2) erhält man: (1.3) log Bn = log B0 + log (1 + zx) + log (1 -f z2) + ... + log (1 + zn) . Nun folgt aus dem zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, daß die auf der linken Seite von Formel (1.3) stehende Größe log Bn asymptotisch normal verteilt ist, wobei für die zufälligen Größen Zi nur sehr schwache Voraussetzungen gefordert werden. So gilt die Aussage des zentralen Grenzwertsatzes, wenn alle z{ statistisch unabhängig sind und einer beliebigen aber gleichen Verteilungsfunktion mit endlichem Mittelwert und endlicher Streuung genügen. Es lassen sich aber noch wesentlich allgemeinere Voraussetzungen für die Gültigkeit des zenOPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 176 Bernhard Körte und Walter Oberhofer tralen Grenzwertsatzes und damit die Gültigkeit der Aussage, daß die Größe log Bn normalverteilt ist, angeben. Mit Hilfe der obigen, im allgemeinen sehr sinnvollen Annahme kann man daher theoretisch ableiten, daß der Spareinlagenbestand logarithmisch normalverteilt ist, d. h. die Verteilungsdichte der Größe Bn hat die Form Hierbei sind p und o die Parameter (Mittelwert und Streuung) der entsprechenden Normalverteilung von log Bn. Mit einem ähnlichen Ansatz hat R. Gibrat zum ersten Mal abgeleitet, daß das individuelle Einkommen ebenfalls logarithmisch normalverteilt ist3. Dieses theoretische Resultat ist für alle bekannten Einkommensverteilungen statistisch sehr gut zu verifizieren. Unsere nachfolgenden Ausführungen werden zeigen, daß eine entsprechende Verifikation für die Verteilung der Spareinlagenbestände ebenfalls möglich ist. Als statistisches Ausgangsmaterial für unsere Untersuchungen haben wir die Daten einer Stichprobenerhebung benutzt, die mit einem Umfang von 12 413 Sparkonten im Auftrag des Deutschen Sparkassenund Giroverbands im Jahre 1964 bei allen öffentlichen Sparkassen durchgeführt wurde. Für jedes dieser Sparkonten wurden die Bestände für einen Zeitraum von 5 Jahren sowie zusätzliche Merkmale über die Person des Kontoinhabers ermittelt. Eine genaue Beschreibung der Art und des Umfangs der Stichprobe sowie der einzelnen Erhebungsmerkmale findet der Leser in einer früher publizierten Arbeit4. Wir wollen nun aus den empirischen Daten Aussagen über die Verteilungsfunktion der Einlagenbestände auf Sparkonten ableiten. Zu diesem Zweck betrachten wir die Einlagenbestände auf den einzelnen Sparkonten jeweils am Jahresende in der Zeit von 1959 bis 1963, die wir mit $1959 + i (i = oy 1, 4) bezeichnen wollen. Diese Größen werden im folgenden als sogenannte zufällige Größen angesehen, deren Verteilungsfunktion bzw. Verteilungsdichte zu bestimmen ist. Insofern ist also zum Beispiel der Einlagenbestand am Jahresende 1959 auf einem ein3 R. Gibraty Les inégalités économiques. Paris 1931. 4 Vgl. B. Kortey Stichprobenverfahren und Auswertungstechnik, in: Sparkasse, 83. Jahrgang, Heft 2/3, Februar 1966, S. 46 ff. (1.4) 2. Verteilungsfunktion OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 177 zelnen Sparkonto eine Realisierung der zufälligen Größe #1959Auf Grund der obengenannten Stichprobe haben wir dann 12 413 Realisierungen dieser zufälligen Größen. Abbildung 2 Empirische Verteilungsfunktion des Spareinlagenbestands am Jahresende 1959: B1959 (Abszisse arithmetisch skaliert) Wir werden zunächst die Verteilungsfunktion des Einlagenbestands am Jahresende 1959 untersuchen. In Abbildung 2 ist die empirische Verteilungsfunktion von Z?i959 für den Bereich zwischen 0 DM und 2 000 DM dargestellt, d. h. es ist die kumulierte relative Häufigkeit der Sparkonten den Einlagenbeständen am Jahresende 1969 gegenübergestellt. In Analogie zu der entsprechenden Lorenzkurve (vgl. Abbildung 1) zeigt diese Darstellung, daß auf den Bereich zwischen 0 und 100 DM Einlagenbestand rund 50 % aller Sparkonten entfallen. Insofern kann eine arithmetische Skalierung der Abszisse den Verlauf der Verteilungsfunktion nicht voll erfassen. Wir haben daher in Abildung 3 dieselbe Verteilungsfunktion noch einmal dargestellt, allerdings mit einer logarithmisch skalierten Abszisse. Wenn unsere im vorangegangenen Abschnitt aufgestellte theoretische Aussage über die Verteilungsfunktion der Spareinlagenbestände zutreffen sollte, so müßte die Darstellung von Abbildung 3 den typischen Verlauf der Verteilungsfunktion einer Normalver12 Kredit und Kapital 2/1970 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 178 Bernhard Körte und Walter Oberhofer teilung aufweisen. Das ist allerdings nicht der Fall, weswegen wir zunächst vermuten, daß die Verteilung der Spareinlagenbestände eine Mischverteilung ist, d. h. durch Uberlagerung von mehreren verschiedeAbbildting 3 Empirische Verteilungsfunktion des Spareinlagenbestands am Jahresende 1959: B1959 (Abszisse logarithmisch skaliert) relative Häufigkeit (%) nen Verteilungen entsteht. Um diese Hypothese nachzuprüfen, wollen wir im folgenden die Verteilungsdichte von £1959 weiter analysieren, da diese insbesondere bei Mischverteilungen rein optisch und auch verfahrenstechnisch besser zu handhaben ist als die Verteilungsfunktion selbst. Die Verteilungsdichte entsteht bekanntlich aus der Verteilungsfunktion durch Differentiation, d. h. durch eine infinitesimale Betrachtungsweise. Da wir in unserem Fall eine Stichprobe, d. h. eine Realisierung einer zufälligen Größe vorliegen haben, müssen wir entsprechende Größenklassen bilden und durch die Verteilung der Häufigkeiten für diese Größenklassen die Verteilungsdichte approximieren. Die Größenklassen werden durch eine untere Grenze und durch eine obere Grenze o* beschrieben, wobei in die entsprechende Größenklasse diejenigen Sparkonten fallen, deren Einlagenbestand größer als und kleiner oder gleich dem Wert Oi ist. Die gesamte Größenklasse wird durch das Symbol (uiy bezeichOPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 179 net. Wenn das Spektrum des Einlagenbestands insgesamt in n Größenklassen aufgeteilt wird, so ist i = 1,. .., n. Es ist ferner Oj_i = uit Die letzte Größenklasse hat ebenfalls eine obere Grenze on, da die Anzahl der Größenklassen so gewählt wurde, daß bei der zu untersuchenden empirischen Verteilung kein Element oberhalb von on liegt. Die Anzahl und die Art der Größenklassen richtet sich nach der Größe des Stichprobenumfangs und nach der Form der zu untersuchenden Verteilung. Bei kleinem Stichprobenumfang darf die Größenklassenanzahl nicht zu groß gewählt werden, da sonst die Stichprobenfehler besonders stark ins Gewicht fallen. Andererseits müssen wir zur Analyse von komplexen Verteilungen (z. B. Mischverteilungen) eine möglichst große Anzahl von Größenklassen haben, da sonst die Verteilungsform nicht genau zu erfassen ist. Die logarithmische Skalierung der Abszisse erreichen wir dadurch, indem wir die Größenklassengrenzen so bestimmen, daß der Quotient von oberer Grenze und unterer Grenze für alle Größenklassen konstant ist, d. h. :;— = 9 (i = 1,2, ..., n) . ui In unserem speziellen Fall ergab sich durch empirische Prüfung, daß ein Faktor q = 1,5 besonders sinnvoll ist. Mit diesem Faktor haben wir insgesamt 28 Größenklassen gebildet, wovon die erste Klasse Sparkonten mit Einlagenbeständen über 2 DM bis einschließlich 3 DM beinhaltet, die zweite Größenklasse zwischen 3 DM und 4,50 DM rangiert usw. Der Bereich unter 2 DM wurde nicht erfaßt, da er nur diejenigen Sparkonten enthält, die de facto erloschen sind, aber mit einer Minimaleinlage weitergeführt werden. Die letzte Größenklasse liegt zwischen rund 110 000 DM und 170 000 DM. In Abbildung 4 haben wir die empirische Verteilungsdichte von $1959 entsprechend der oben definierten Größenklassengliederung aufgetragen. Aus dieser Darstellung kann man in groben Zügen eine Mischverteilung, die aus zwei logarithmischen Normalverteilungen besteht, herauslesen. Die relativ starken Unregelmäßigkeiten der empirischen Verteilungsdichte lassen sich durch die Stichprobe erklären. Wir stellen demnach jetzt die Hypothese auf, daß die Verteilung der Spareinlagenbestände am Jahresende 1959, d. h. die Verteilung der Größe Z?i959 aus der Summe von zwei Lognormalverteilungen besteht. 12* OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 186 Bernhard Körte und Walter Oberhofer OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 187 erhalten. Im einzelnen werden die Gewichtungsfaktoren für das k-te Jahr wie folgt berechnet. <xv = 5-\ 1959 + v - k | (v = 0,..., 4; k = 1959,..., 1963) . Die nach Formel (3.4) endgültig bereinigten Besetzungsanzahlen ergeben dann die bereinigte empirische Verteilungsdichte, die von uns anschließend weiter untersucht wird. Das Muster der glatten Beträge kann man nach dieser Bereinigung unmittelbar aus dem Quotient yuJyik ablesen. Für die Größe #1959 ist dieses Muster in Abbildung 6 wiedergegeben. Wenn der Quotient einen Wert kleiner als 1 hat, dann war die unbereinigte empirische Verteilung an diesen Stellen ursprünglich überbesetzt. Bei einem Wert größer als 1 lag eine entsprechende Unterbesetzung vor. Die gravierenden Uberbesetzungen bei den glatten Beträgen DM 10, DM 100 und DM 1 000 lassen sich in Abbildung 6 sehr deutlich erkennen. Die Muster der glatten Beträge für die Einlagenbestände in den Jahren 1960 bis 1963 sind demjenigen der Abbildung 6 so sehr ähnlich, daß sie im Rahmen der Zeichengenauigkeit nicht unterschieden werden könnten. Wir haben daher auf eine graphische Darstellung dieser Muster verzichtet. Diese starke zeitliche Konstanz des Musters rechtfertigt nochmals unsere Annahme, daß der einzelne Sparer besonders an glatten Beträgen festhält. In Abbildung 7 haben wir die gemäß Formel (3.4) geglättete empirische Verteilungsdichte von #1959, die nach der Minimum-Fehler-Quadrat-Methode ermittelte theoretische Mischverteilung und deren Komponenten bei logarithmisch skalierter Abszisse dargestellt. Im Vergleich zu Abbildung 5 fällt auf, daß nun die empirische Verteilungsdichte einen wesentlich glatteren Verlauf hat und daher auch durch die theoretische Dichtefunktion noch besser approximiert werden kann. Ein nochmaliger Test der Hypothese, daß die bereinigte empirische Verteilung eine Mischverteilung ist, die aus zwei Lognormalverteilungen besteht, ergibt, daß sowohl beim %2-Test als auch beim Kolmogoroff-Test mit relativ großen Irrtumswahrscheinlichkeiten diese Hypothese nicht verworfen werden kann. Die Aussage ist damit als statistisch gesichert zu betrachten. Wir haben bisher die abgeleiteten Ergebnisse graphisch und auch analytisch ausschließlich für die Größe 5i959 dargestellt. Für die Spareinlagenbestände in den anderen Jahren kommt man aber zu sehr ähnlichen Ergebnissen, auf deren graphische Wiedergabe hier verzichtet werden soll. Eine detaillierte Analyse dieser Zahlen wird im nachfolgenden Abschnitt vorgenommen. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 189 Tabelle 1 X2' und Kolmogoroff-Testwerte für die Spareinlagenbestände auf Sparkonten *2-Test Kolmogoroff-Test Größe ¿2-Tabellenwerte bei 1 %> Irrtumswahrscheinlichkeit berechneter £2-Wert k-Tabellenwert bei 1 %> Irrtums Wahrscheinlichkeit berechneter k-Wert B1959 44,3 12,1 0,018 0,0035 B1960 47,0 28,8 0,018 0,0026 B1961 44,3 24,2 0,017 0,0037 B1962 45,6 17,5 0,017 0,0031 B1963 47,0 18,2 0,017 0,0033 In Tabelle 1 haben wir für alle von uns untersuchten Größen den gemäß Formel (3.1) ermittelten %2-Wert und den entsprechenden Tabellenwert einer ^-Tabelle bei 1 °/o Irrtumswahrscheinlichkeit gegenübergestellt. Ebenso sind in dieser Tabelle für den Kolmogoroff-Test die gemäß Formel (3.2) berechnete Kenngröße und der zugehörige Tabellenwert für 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit wiedergegeben. Beide Zahlenkolonnen zeigen, daß die ermittelten Kenngrößen deutlich unter den entsprechenden Tabellenwerten liegen, womit die Hypothese, daß die Einlagenbestände auf Sparkonten einer Mischverteilung aus zwei Lognormalverteilungen genügen, nicht falsifiziert werden kann. 4. Zeitliche Veränderung der Verteilungsparameter Nachdem im vorangegangenen Abschnitt lediglich die Methode zur Bestimmung der Mischverteilung und deren Komponente beispielhaft für die Größe B1959 dargestellt wurde und außerdem die Hypothesentests für alle zu untersuchenden Größen nicht zur Falsifikation der entsprechenden Annahmen führten, wollen wir nun die ermittelten Verteilungsparameter darstellen und interpretieren. Wir wollen im folgenden mit MV die entsprechende Mischverteilung der zu untersuchenden Größen und mit Vi bzw. V2 deren beide Komponenten bezeichnen. Die Dichtefunktion von MV wollen wir mit / (x) bezeichnen, während die Dichten OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 190 Bernhard Körte und Walter Oberhof er von Vi bzw. V2 mit /i (x) bzw. f2 (*) benannt werden sollen. Die Anteilsparameter für Vi und V2 seien a\ und a:2, wobei (4.1) öi + a2 = 1, av a2 ^ 0 und f (x) = fx (x) -f a2 f2 (x) gelten. In Tabelle 2 sind diese Anteilsparameter für die Größen #1959 mit i = o,l, ..., 4 wiedergegeben. Die Zahlenwerte der Tabelle zeigen eine deutliche Zunahme des Anteilsparameters a\ in den Jahren 1959 bis 1962. Das bedeutet eine kontinuierliche Zunahme der Komponente Vi relativ zur Komponente V2 und damit einer Zunahme der Gruppe derjenigen Sparer mit kleineren Einlagebeständen. Lediglich im Jahr 1963 fällt der Anteilsparameter a\ wieder zurück. Tabelle 2 Anteilsparameter der Misdiverteilungen für die Spareinlagenbestände in den Jahren 1959 bis 1963 Größe Anteilsparameter Größe a2 B1959 0,57 0,43 B1960 0,58 0,42 B1961 0,60 0,40 B1962 0,61 0,39 B1963 0,56 0,44 Nun wollen wir noch die eigentlichen Verteilungsparameter interpretieren. Wie bereits oben erwähnt, sind die Verteilungen der Größen log #1959+i, (¿ = o,l, ..., 4) Mischverteilungen, die aus zwei Normalverteilungen bestehen. Die Mittelwerte und Streuungen dieser beiden Normalverteilungen wollen wir mit und bzw. ju2 und o2 bezeichnen. Dann berechnen sich die Mittelwerte der logarithmischen Normalverteilungen Vi bzw. V2, die wir mit m\ bzw. m2 bezeichnen wollen, wie folgt: H + -j H 2 (4.2) ™>i = e (i = l,2). Die Zentralwerte bzw. z2 von Vi bzw. V2 geben denjenigen kritischen Spareinlagenbestand an, der von genau 50% aller Sparkonten, OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 191 die zu Vi bzw. V2 gehören unterschritten bzw. überschritten wird. Für diese Größen gilt (4.3) Zi = eH (i = 1,2) . Schließlich interessieren noch die Werte der größten Dichte gi und gg, die die jeweiligen lokalen Extrema der Verteilungsdichten /1 bzw. f2 angeben. Sie lassen sich ebenfalls aus den Parametern der entsprechenden Normal Verteilungen beredinen: 2 (4.4) 9i = eli~ai (i = 1,2) . Auf die Berechnungen der höheren Momente von Vi bzw. V2 wollen wir hier verzichten6. Die obengenannten Verteilungsparameter haben wir wiederum für die Spareinlagenbestände der Jahre 1959 bis 1963 in Tabelle 3 wiedergegeben. Ein erster Blick auf diese Zahlen zeigt, daß die Dichtefunktionen der beiden Komponenten Vi und V2 sehr stark schief sind. Das ersieht man z. B. daraus, daß die Werte der größten Dichte jeweils am linken Ende der beiden Verteilungen liegen. Für Vi liegt der Wert gi zwischen DM 1 und DM 2, während die Größe g2 zwischen DM 223 und DM 467 im Laufe der Zeit schwankt. Die eigentlichen Mittelwerte der logarithmischen Normalverteilungen Vi und V2 liegen relativ weit im rechten Teil der Verteilung. Sie steigen für beide Komponenten im Laufe der Zeit an (Ausnahme: 1963). Der Mittelwert von Vi nimmt von DM 95 auf DM 182 zu, während rri2 von DM 2 246 bis DM 3 163 ansteigt. Die Zentralwerte Zi und z2 nehmen ebenfalls im Laufe der Zeit zu. Dennoch haben die Zentralwerte einen wesentlichen Abstand von den entsprechenden Mittelwerten, was ebenfalls ein Indiz für die Linksschiefe der Verteilungen ist. So ist bei Vi der entsprechende Mittelwert von m\ um mehr als das Dreifache größer als der Zentralwert Zi. Bei V2 unterscheiden sich die beiden Werte in etwa um den Faktor 2. Ferner haben wir in Tabelle 3 noch den Mittelwert der gesamten Mischverteilung, d. h. die Größe a\ m\ + wiedergegeben. Diese Zahlenreihe stimmt relativ gut mit den aus anderen Statistiken ermittelten durchschnittlichen Einlagenbeständen je Sparkonto überein. 6 Vgl. hierzu /. Aitchison and /. A. C. Brown: The Lognormal Distribution with Special Reference to its Uses in Economics. London 1956, S. 8 f. OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 192 Bernhard Körte und Walter Oberhofer c 1 E 2 S <u c t! »f1 £ g S Ì5 • ^ fo oa o rH © CSI <M CO Do TH cg CO rH IH iH r-i rH bß G "O « a o c ÖO o o a, S o ^ e § B'S Ho t: p* •S s 2 sii « £ co oo eg r> o CSJ O t> CD ( N CO CO ^ CO g * N o 05 t> o IO IO CO CO o CSI CO »H *H »H 1-1 r-l 2 E « -S g ß CO o rH tH CO Tt< CO O) IO CO CSI IO CO »H rH CSI <N CSI CO CO CO ^ 1-1 CSI IO CO Od CSI o> OS 1—1 CSJ^ CSI CO I> [> c o Ö 0 01 6 o « bß a n.2 <u rs -ü « 2 > H nJ O * a o •S§8 hßt-H CO IO Tt< 00 CO 1-T r-T s * N eo ^ h N N N CO CO « E g s S * IO CO CO CSI o Ol H N CO Tf T3 . bß *-» E TT« « SS go - > O» O rH w IO H N CO W CO CO CO CO CO ca :0 M o pq pq pq pq pq OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 193 5. Zuordnung von Sparergruppen zu den Komponenten der Mischverteilung Wir wollen nun versuchen, die Bestimmungsgründe zu analysieren, die bedingen, daß ein Sparer oder eine Sparergruppe zur Komponente Vi bzw. V2 der Mischverteilung gehören. Bei dieser Analyse können wir allerdings nur auf diejenigen Merkmale zurückgreifen, die im Rahmen der oben erwähnten Stichprobenerhebung ermittelt wurden. Soweit andere Bestimmungsgründe für die Zugehörigkeit zu Vi bzw. V2 maßgebend sind, kann hierzu im Rahmen der nachfolgenden Untersuchung keine Aussage gemacht werden. Bezeichnen wir diejenigen Sparer, die zur Komponente Vi gehören, als Kleinsparer, so stellt sich die Frage: Welche Merkmale oder Merkmalsausprägungen bzw. Kombinationen derselben, die im Rahmen der Stichprobenerhebung ermittelt wurden, charakterisieren die Kleinsparer? Es ist evident, daß die Komponente V2 (Großsparer) durch die Komplementmenge dieser Merkmale bestimmt wird. Zunächst wollen wir das statistische Instrumentarium für diese Analyse kurz entwickeln und darstellen; die Dichtefunktionen von MV, Vi und V2 seien wiederum mit fy /1 und /2 bezeichnet. Zwischen diesen Größen muß die Relation (4.1) gelten. Wenn eine zufällige Größe X z.B. zur Mischverteilungskomponente Vi gehört, d. h. gemäß der Dichtefunktion /1 verteilt ist, dann wollen wir im folgenden für diesen Sachverhalt die Abkürzungen L (X) = /1 schreiben. Analoge Abkürzungen werden für / bzw. f2 verwandt. Uns interessiert nun die bedingte Wahrscheinlichkeit, daß eine zufällige Größe X gemäß /1 verteilt ist, wenn sie den Wert f annimmt, d. h. W(f) = P{L(X) = /1|X = f> . Nach Definition gilt: (5.1) P{L(X)=f1\££X<£ + d£} = P{L(X) =/i,f + df}/P{£^X<f + d?} . Ebenso gilt aber die Identität (5.2) /1 (£) d£ = P {f ^ X < f + df | L(X) = h) = P {L (X) = fl9 ? £ X < f + d f} / P {L (X) = ft) . Wegen P {L (X) = fc} = at folgt aus Formel (5.2): (5.3) ax fx (£) d £ = P {L (X) = fv £ ^ X < f + d f} . 13 Kredit und Kapital 2/1970 OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 194 Bernhard Körte und Walter Oberhof er Aus (5.1) und (5.3) erhalten wir dann Mi (5.4) P {L (X) + = Schließlich ist nach Definition der Wahrscheinlichkeit und wegen (4.1): (5.5) P{i + == df + og/gtödf . Aus Formel (5.4) und (5.5) folgt dann für d f->0: <h h (Ö (5.6) P{L(X)=/1|X = f} = - <h /i (Ö + agMÖ Hiermit ist die obengenannte Wahrscheinlichkeit berechnet. Gemäß (5.6) erhalten wir dann eine weitere zufällige Größe cli U (X) (5.7) w = y(X) = axix (X) + 02f2(X) wobei X eine zufällige Größe aus der Mischverteilung MV ist, während für die zufällige Größe W (5.8) 0 ^ W ^ 1 gilt. Nun nehmen wir aus der Gesamtheit aller Sparer eine Untergruppe heraus; diese Untergruppe habe die Mischverteilung MV* mit der Dichte (5.9) /*(Ö = «i/i(£> + «*feil) > <*i> «2 0 und + «2 = 1 , wobei «i und oc2 die entsprechenden Anteilsparameter sind. Wählen wir eine zufällige Größe X* aus MV'% so erhalten wir gemäß (5.7) formal die zufällige Größe W*. Deren Erwartungswert berechnet sich wie folgt: r ai fi (f) (5.10) E (W) - / [«1 fc (I) + /, tf)] d £ • Setzen wir formal zur Abkürzung (512) "-Jumltu®1'®**' OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17 Verteilungsformen der Einlagenbestände auf Sparkonten 195 so schreibt sich Formel (5.10): (5.13) E(W*) = *xVl + «2 V2 • Wegen (5.11) und (5.12) ist aber offensichtlich (5.14) ax = at y1 + a? y2 . Setzen wir nun noch wegen (5.9) a2 = 1 — so erhalten wir aus (5.14) und (5.13) (5.15) E (W*) = <%! yt + (1 - «i) (1 - — . a2 Diese Formel lösen wir nun noch nach <%i auf und erhalten JB(W*) — -J- (1 — l/i) (5.16) oct = • 2 ai Vi - — (i - Vi) 2 Mit Hilfe dieser Formel können wir demnach den Anteil <xu den eine Spareruntergruppe an der ersten Komponente Vi der Mischverteilung hat, bestimmen. Die Parameter au und sind bekannte Größen. Sie sind bei der Schätzung der Mischverteilung MV analytisch ermittelt worden (vgl. Abschnitt 3). Lediglich der Erwartungswert E (W*) muß mit entsprechenden Konfidenzintervallen geschätzt werden. Hierdurch erhalten wir dann wegen (5.16) entsprechende Schätzungen mit Konfidenzintervallen für den Anteilsparameter <xu Aus den Formeln (5.10), (5,11) und (5.12) können wir einige spezielle Werte für E (W*) ermitteln. Es ist: E (W*) ax für MV* = MV yx für MV* = Vi y2 für MV* = V2 Wir nehmen nun an, daß wir N Stichproben Xiy i = 1, ..., N aus der Misch Verteilung MV* entnommen haben; dann ist wegen (5.7) (5.17) W = (X,) IV i = 1 13* OPEN ACCESS | Licensed under CC BY 4.0 | https://creativecommons.org/about/cclicenses/ DOI https://doi.org/10.3790/ccm.3.2.172 | Generated on 2023-01-16 13:08:17