Fehlende Beobachtungen in autoregressiven Verhaltensgleichungen

Hasenkamp, Geo g A icle Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik P o ided in Coope a ion wi h: Duncke & Humblo , Be lin Sugges ed Ci a ion: Hasenkamp, Geo g (1984) : Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen, Zei sch i ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en (ZWS) - Vie eljah essch i de Gesellscha ü Wi scha s- und Sozialwissenscha en, Ve ein ü Socialpoli ik, ISSN 0342-1783, Duncke & Humblo , Be lin, Vol. 104, Iss. 1, pp. 21-28, h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 This Ve sion is a ailable a : h ps://hdl.handle.ne /10419/291569 S anda d-Nu zungsbedingungen: Die Dokumen e au EconS o dü en zu eigenen wissenscha lichen Zwecken und zum P i a geb auch gespeiche und kopie we den. Sie dü en die Dokumen e nich ü ö en liche ode komme zielle Zwecke e iel äl igen, ö en lich auss ellen, ö en lich zugänglich machen, e eiben ode ande wei ig nu zen. So e n die Ve asse die Dokumen e un e Open-Con en -Lizenzen (insbesonde e CC-Lizenzen) zu Ve ügung ges ell haben soll en, gel en abweichend on diesen Nu zungsbedingungen die in de do genann en Lizenz gewäh en Nu zungs ech e. Te ms o use: Documen s in EconS o may be sa ed and copied o you pe sonal and schola ly pu poses. You a e no o copy documen s o public o comme cial pu poses, o exhibi he documen s publicly, o make hem publicly a ailable on he in e ne , o o dis ibu e o o he wise use he documen s in public. I he documen s ha e been made a ailable unde an Open Con en Licence (especially C ea i e Commons Licences), you may exe cise u he usage igh s as speci ied in he indica ed licence. h ps://c ea i ecommons.o g/licenses/by/4.0/ Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen Von Geo g Hasenkamp* Diese A bei behandel den Fall on ehlenden Beobach ungen in den abhängigen Va iablen on au o eg essi en Gleichungen. Du ch Subs i u io- nen e häl man eine Mischung on linea en und nich -linea en Gleichungen. Illus ie wi d diese Me hode mi einem Beispiel zu indus iellen Elek izi- ä snach age. I. Ein üh ung In diese A bei un e s ellen wi eine Ve hal ensgleichung on de Fo m (D V ^ßV -l + H - Die Symbole haben olgende Bedeu ung: y is die endogene Va iable und x is ein (n X 1) Vek o on exogenen Va iablen mi Zei index , ol is ein (7i X 1) Vek o on Pa ame e n und ß is ein Pa ame e diese Ve hal ensgleichung. De s ochas ische S ö e m e soll mi E wa ungs- we E (e ) = 0, Va ianz o2 und Ko a ianz E (e e ') = 0 ü =4= ' e - eil sein. Diese Fo m de Ve hal ensgleichung beda wohl hie wei e keine Beg ündung, denn sie wi d in de empi ischen Wi scha s o - schung häu ig un e s ell . (Im Teil III diese A bei bie en wi ein Bei- spiel.) De Regel all ypische Schä z e ah en un e s ell eine aus eichende Anzahl on Beobach ungswe en ü die endogenen und exogenen Va iablen y und x . Dabei is es wich ig, daß die Beobach ungswe e ü y und x de ini o isch mi den Modellaussagen de heo e isch be- g ünde en Ve hal ensgleichung übe eins immen. Das is z. B. nich meh de Fall, wenn ehlende Beobach ungen du ch In e pola ion aus- ge üll we den. Rela i klein is die Li e a u zu dem Fall, bei dem eben nich alle Beobach ungswe e de gesam en Da enpe iode als O iginale hebung * Diese A bei en s and inne halb eines g öße en Fo schungs o habens übe den P eisein luß au die indus ielle Ene gienach age. Dieses Fo - schungs o haben wu de on de Deu schen Fo schungsgemeinscha inan- ziell un e s ü z . Da ü is auch an diese S elle ein Dank angemessen. He n P o . J. Kmen a möch e ich ü An egungen zum Thema danken. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 22 Geo g Hasenkamp zu Ve ügung s ehen. Hie wollen wi den Fall be ach en, bei dem einige We e ü die endogene Va iable y in un egelmäßigen Abs än- den ehlen. Alle Beobach ungswe e ü die exogenen Va iablen x sollen jedoch o liegen. Das is ein spezielle Fall de bes ehenden Li e a u zum Thema „missing obse a ions". Unse Fall paß jedoch nich in das Schema de bishe behandel en Fälle on missing obse a ions; dazu sei ein ganz ku ze , und somi auch un olls ändige Übe blick zu einschlägigen Li e a u e laub : a) Es ehlen Beobach ungswe e ü u. U. nu einen Teil de exogenen Va iablen X , es sei ß = 0, abe alle Beobach ungswe e ü die exo- gene Va iable y s ehen zu Ve ügung.1 In den einschlägigen A bei- en wi d de olgende Ansa z gewähl : Fehlende We e in den Da en ü einzelne x we den übe eine Zusa zgleichung zwischen den ^-Va iablen und ande en exogenen z -Va iablen „au ge üll ". (Fü die z Va iablen sollen alle Da en olls ändig zu Ve ügung s ehen.) b) Es ehlen einige We e on y , es sei ß = 0, abe die We e on x s ehen olls ändig zu Ve ügung.2 Das „Au üllen" de ehlenden We e on y , wie im o he igen Fall a) du ch eine ex e ne Gleichung, üh zu We en, die de ini o- isch und sinngemäß in keinem Zusammenhang zu de gewünsch- en O iginale hebung ü y nach Gleichung (1) s ehen. Diese Me- hode des „In e polie ens" de ehlenden y We e is g undsä zlich abzulehnen, da die Pa ame e schä zwe e un e Ve wendung solche Da en une wünsch e Eigenscha en haben.3 c) Es ehlen ü die gleichen Zei pe ioden We e on y und alle We e in x , es sei ß = 0, abe de S ö e m is au o eg essi e = Q£ ~ i + u mi q = = 0 und E wa ungswe 0 und Va ianz o*2.4 Das Haup p oblem bes eh nun da in, den We ü Q, bzw. die Ko- a ianzma ix de S ö e me zu schä zen, um somi die Eigen- scha en des Pa ame e schä ze s zu e besse n. d) Die Gleichung (1) sei un e s ell , de S ö e m sei u. U. au o eg es- si , abe ü y s ehen nu We e in egelmäßigen In e allen zu Ve ügung, wie z. B. nu jede zwei e ode jede ie e We on y soll o liegen. Alle ande en We e ü y ehlen, jedoch sollen alle We e on X o liegen.5 1 Diese Fall is in Degenais (1973), Gou ie oux and Mon on (1981) und Kmen a (1981) behandel . 2 Siehe Kmen a (1981). 3 Siehe auch Palm and Nijman (1982). 4 Siehe Wansbeek and Kap eyn (1981) und Kmen a (1981). 5 Diese Fall is in Zellne (1966) und Palm and Nijman (1982) behandel . Palm and Nijman (1982) konzen ie en ih e Diskussion dabei au Iden i ika- ionsp obleme de Pa ame e . OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen 23 II. De behandel e Fall Die Gleichung (1) mi den ge o enen Annahmen soll gel en. Hin- sich lich de ehlenden Beobach ungen un e s ellen wi olgendes: 1. Alle We e ü x sollen o liegen. 2. Einige We e ü y ehlen in un egelmäßigen In e allabschni en.6 Zum Beispiel, in de olgenden Reihe sollen ehlende We e du ch y* symbolisie sein: i, 2>y$> >y^ •••> -2> *-i> u - ->VT • Inne halb de Reihe ü y , = 1, ..., T, bes ehen hie d ei Lücken: i) Eine mi den ehlenden We en i/J, y , y , ii) eine mi y* _x und iii) eine mi den We en yj, y*+1. Die Gleichung (1), wie sie ü ele- an is , sch eib sich somi wie (2-a) y _ 2 = ßy -z + a'x _2 + £ -2 (2-b) 2/*_i = ßV -2 + «'x -i + s -l (2-c) y = ßyUi+<x'x +£ - De ehlende We ü y -1, du ch angedeu e , geh in zwei Gleichungen ein: Einmal s eh y* _x als endogene Va iable in Glei- chung (2-b). Zwei ens s eh y* _x als p äde e minie e Va iable in Glei- chung (2-c). Mi den S anda dme hoden de Ökonome ie könn en diese beiden Gleichungen, o z de o handenen In o ma ion in den o liegenden We en ü x -i und x , nich genu z we den. Diesen In o ma ions e - lus gil es zu e meiden. Auße dem is de Da enzus and leich kon- s uie ba , bei dem die Anzahl de noch o handenen Beobach ungs- we e zwischen den Lücken zu klein ü übliche Schä zme hoden wi d. Indem wi die ech e Sei e on (2-b) in (2-c) ü y* _± einse zen, e - hal en wi die beiden Ausd ücke (2-a) y _2 = ßV -z + «x'x -2 + e -2 (3) y = ß2y -2 + *'(*« + ßx -i) + H + ße -i • ß De oben genann e Fall c), abe mi allen x We en olls ändig o han- den, kann in den on uns behandel en Fall umgewandel we den: Fü y = + , mi ^ = + ^ sch eiben wi in äqui alen e Fo m = Q y -1 + (**-- + u • Nun beda es nu eine Umde ini ion on Va iablen und Pa ame e n um Gleichung (1) zu e hal en. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 24 Geo g Hasenkamp Dabei äll olgendes au : a) Aus den u sp ünglichen zwei (in den Pa ame e n) linea en Gleichun- gen (2-b) und (2-c) mi ehlendem We e hal en wi eine nich - linea e Gleichung (3). b) Fü den Schä z o gang de Pa ame e bes eh nun eine Mischung aus linea en und nich -linea en Gleichungen. c) In diese Mischung wi d jede o handene Da enwe und die da in en hal ene In o ma ion genu z . d) Die S ö e me in diese Mischung sind on he e oskedas ische Na- u . De S ö e m e -2 de linea en Gleichung (2-a) ha einen E - wa ungswe Null mi Va ianz a2. De S ö e m s + ße -1 in de nich -linea en Gleichung (3) ha zwa einen E wa ungswe Null abe eine Va ianz (1 + ß2) o2. e) Bei Da enlücken on meh als einem Beobach ungswe wi d du ch wei e es „Einse zen" analog e ah en. Soll e z. B. auch de We ü y* _ 2 in (2-a) und (3) ehlen, dann e hal en wi (4) y = ß3y -z + <*' (x + ßx _i+ ß2x _2) + wobei de S ö e m einen E wa ungswe Null mi Va ianz (1 + ß2 + ß*) a2 ha . Fü die mode nen Rechenp og amme de nich -linea en Kleins - Quad a e-Me hode s ell die en s andene Mischung aus linea en und nich -linea en Gleichungen kein g öße es P oblem da , denn in jede Gleichung gehen die gleichen Pa ame e ein. Wegen de He e oskedas izi ä in den S ö e men e schein abe ein zweis u iges Schä z e ah en als angemessen: In de e s en S u e inde die (nich -linea e) Kleins -Quad a e-Me- hode Anwendung, um die Schä ze gebnisse & und ß zu e echnen. Die- se Schä ze de e s en S u e soll e konsis en sein.7 Mi dem (konsi- s en en) Schä zwe ß we den nun die nich -linea en Gleichungen ü die zwei e Schä zs u e „gewich e ". Falls nu ein ehlende We o - lieg wie in de Gleichung (3), dann we den beide Sei en in (3) du ch (1 + ß2)m ge eil . Falls abe zwei Beobach ungswe e ehlen wie in Gleichung (4), dann wi d du ch (1 + ß2 + ßA)m ge eil . (Bei d ei ode meh ehlenden We en wi d analog e ah en.) Somi is , zumindes asymp o isch gesehen, Homoskedas izi ä de S ö e me gegeben. Die so „gewich e en" nich -linea en Gleichungen gehen in die zwei e S u e 7 Siehe Whi e and Domowi z (1981). OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen 25 de Kleins -Quad a e-Me hode ein, um die Schä ze gebnisse oc und ß zu e hal en. Auch diese Schä ze de zwei en S u e sind un e ganz allge- meinen Bedingungen konsis en ; zusä zlich sind au diese zwei en S u e die (geschä z en) S anda d ehle ü oc und ß konsis en .8'9 III. Ein empi isches Beispiel Wi nehmen unse empi isches Beispiel aus eine S udie zu P eis- abhängigkei de indus iellen Elek izi ä snach age. Es wu de ol- gende Nach age unk ion de einzelnen Indus iesek o en nach Elek- izi ä un e s ell : (5) log (z ) = a0 + a log (P«"/P*,) + ^ log (w /Pe ) + .a3 log (• /Pe ) + ß log (z _ ) + e . Die Symbole sind hie wie olg zu in e p e ie en: z = Elek izi ä s e b auch je Ausb ingungseinhei eines Sek o s im Zei aum ; in kons an en P eisen gemessen, Pe = P eisindex ü Elek izi ä , P = P eisindex ü al e na i e Ene giea en, w = Lohnkos enindex, = P eisindex ü In es i ionsgü e , e = s ochas ische S ö e m mi eine Ve eilung (0, o2). Diese Nach age unk ion is in de Fo m de Ve hal ensgleichung (1), indem wi y = log [z ), x = {1, log (P / Pe ), log (w / Pe ), log ( / Pe )}, und oc = {«o, ai, oc9, <*3} se zen. Die o handene Schä zpe iode wa on 1961 bis 1974; alle dings lagen ü die Jah e 1965 - 67, 1969 - 70 und 1972 keine O iginale he- bungen ü y = log (z/) o .10 In unse e Da en eihe bes ehen also d ei Lücken ü y , jeweils on Länge d ei, zwei und einem We . 8 Siehe wiede Whi e and Domowi z (1981). - 2 ® Keine Aussage kann hinsich lich de E izienzeigenscha ü oc und ß ge- mach we den. Un e eine zusä zlichen Annahme de No mal e eilung wä e ein ML-Schä ze zwa im P inzip denkba , e schei e jedoch an de bishe nich ge undenen p ak ischen Anwendba kei . Unse e Da en sind de A bei „Ene giekos enbelas ung de Wi scha s- sek o en de BRD 1961 - 1964, 1968, 1971, 1972 - 1974", IFO-Ins i u ü Wi - scha s o schung, München 1976, on G. B i schka en nommen. Diese Da en bie en den Vo eil eine einen Klassi izie ung sowohl de Wi scha ssek o- en und de Ene giea en mi den en sp echenden P eisen. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 26 Geo g Hasenkamp In de olgenden Tabelle b ingen wi die Schä ze gebnisse ü d ei Sek o en.11 In diese Tabelle üh en wi die We e ü die geschä z en Pa ame e in den beiden S u en au . Die S anda d ehle sch eiben wi in Klam- me n un e den Pa ame e we en. Gese z e We e ü die Pa ame e sch eiben wi als 0.0 ohne S an- da d ehle . Die ge inge Anzahl on Beobach ungswe en mach en a p io i Res ik ionen übe Pa ame e e o de lich. (Falls ein Pa ame e in o läu igen Schä zungen einen öllig unplausiblen We ha e, ode einen ela i seh g oßen S anda d ehle ha e, wu de e au den We 0.0 gese z .) Bei den We en diese Tabelle äll olgendes au : (i) Die Schä zwe e e ände n sich nu e was on de e s en (unge- wich e en) zu zwei en (gewich e en) S u e. Die „ alschen" Vo - zeichen zu <%2 e ände n sich nich übe die beiden S u en; auch deu e de geschä z e We ü ß im Sek o Eisenbahnen in beiden S u en au eine „ins abile" Si ua ion hin. (ii) Die „konsis en en" S anda d ehle de zwei en S u e un e schei- den sich nu wenig on den „inkonsis en en" S anda d ehle n de e s en S u e. (iii) Das „ alsche" Vo zeichen ü o® deu e u. U. au ein simul anes Gleichungsp oblem hin, denn die Nach age unk ion ü Elek izi- ä wu de als Einzelgleichung ohne Be ücksich igung de A bei s- nach age unk ion geschä z . T o z de z. T. unbe iedigenden Schä ze gebnisse (im Sinne de heo- e ischen In e p e a ion einzelne We e und Vo zeichen) be ich en wi on dem empi ischen E gebnis diese A bei . Das eigen liche Ziel und Anliegen wa es ja auch, au die P oblema ik und au eine Lösungs- möglichkei de ehlenden Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal- ensgleichungen hinzuweisen. n D eizehn Sek o en, nämlich die Haup e b auche on Elek izi ä mi einem Gesam e b auch on ca. 90 % wu den indi iduell analysie . Bei de Meh zahl de Sek o en wa alle dings de Pa ame e ß nich signi ikan , ode e ha e ein alsches Vo zeichen. Fü ß — 0 in de Ve hal ensgleichung (1) e üb ig sich die Diskussion zum P oblem de ehlenden Beobach ungen. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 Fehlende Beobach ungen in au o eg essi en Ve hal ensgleichungen « o s co u co <L> 4-1 2 CO * 0) CO OS 1 CD H 1 1 m Oí o T—1 £> CO 1 co o C j es H CS i CS c j CO CS i ^ > 00 CS CD CO 00 00 00 H H CD CD od 03 Od 05 p OÌ p p d d d d d d CS H CS : ; OO > in co £> 00 CO CO in CS 00 c^ o 00 O - CO 00 cq OÍ > -o co CD CD eo ^ '"l H CD H CO CS ¡ H O 1—1 p d d d d d 3 d O 1 H d 1—1 d oT H CS 00 p 1 Oì in CD co T- LO CD in es CD CO CM CO [> in CO CO O co es > CD > CD > CD CO in ^ es in co CS O CS d d o o d d d d o, 1 1 1 i 1 1 CS CO Oi o? o co - in 1-H I> CO in 1 CS co es m O - o 00 00 Oì co ^ '"l i—i p p i ^ p co d d d d o o o d d d 1 W 1 1 1 1 o CS CO ^ ¡ 05 H o OS CS CS o es o o CS CO co co p p d d d d d o d d 1 /— ¡ oT CS > CD co co - co ^ CD H CT5 H Oi CS 00 eo 00 es CO CD CD CTJ CD in m in CD H m ^ p p p p in es p co H O —1 . d d d d o d d d d 1 W 1 1 î i-H CS 1 1 i—i i 1 es ' T- i es 1 <D 1 í 1 <D u Q) 2 M CO — 1 « 1 "S í •s £ Q w ùû S •§ ö Sí O ÖJ s co com ! £ 1 ® OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33 28 Geo g Hasenkamp Zusammen assung Diese A bei illus ie einen Ansa z zum Schä zen au o eg essi e Ve - hal ensgleichungen, wenn einige Beobach ungen zu abhängigen Va iablen ehlen. Du ch Subs i u ion de ehlenden Beobach ungen e häl man eine Kombina ion on linea en und nich -linea en Gleichungen in gemeinsamen Pa ame e n, die mi einem zweis u igen Ve ah en geschä z we den. Zu diesem Ansa z wi d ein Beispiel mi Da en zu indus iellen Ene gienach- age geb ach . Summa y This pape illus a es a me hod o es ima e au o eg essi e equa ions when- e e some obse a ions a e missing. By subs i u ing o he missing obse - a ion one ob ains a combina ion o linea and non-linea equa ions. The common pa ame e s in hese equa ions a e es ima ed by a wo-s ep-me hod. An empi ical illus a ion o his me hod is p o ided by using da a on in- dus ial demand o elec ici y. Li e a u Degenais, M. G. (1973), The use o incomple e obse a ions in mul iple eg es- sion analysis, a gene alized leas squa es app oach. Jou nal o Econo- me ics 1, 317 - 328. Gou ie oux, Ch. and A. Mon on (1981), On he p oblem o missing Da a in linea models. Re iew o Economic S udies 48, 579 - 586. Kmen a, J. (1981), On he p oblem o missing measu emen s in he es ima ion o economic ela ionship, in: E. G. Cha a sis (ed.), P oceedings o he Eco- nome ic Socie y Mee ing 1979, No h-Holland, Ams e dam. Palm, F. C. and Th. E. Nijman (1982), Missing obse a ions in he dynamic eg ession model, Pape p esen ed a he Econome ic Socie y Eu opean Mee ing in Dublin. Sep . 1982. Wansbeek, T. and A. Kap eyn (1981), Maximum likelihood es ima ion in a linea model wi h se ially co ela ed e o s when obse a ions a e missing, Cen al Bu eau o S a is ics, The Ne he lands, manusc ip . Whi e, H. and I. Domowi z (1981), Nonlinea eg ession wi h dependen ob- se a ions, Dep . o Economics, Uni e si y o Cali o nia - San Diego, Dis- cussion Pape 81 - 32. Zellne , A. (1966), On he analysis o i s o de au o eg essi e models wi h incomple e da a. In e na ional Economic Re iew 7, 72 - 76. OPEN ACCESS | Licensed unde CC BY 4.0 | h ps://c ea i ecommons.o g/abou /cclicenses/ DOI h ps://doi.o g/10.3790/schm.104.1.21 | Gene a ed on 2023-04-04 12:05:33