Wzory Rzeczywistości. Tom IV: Unifikacja formalizmu i nowe konstrukcje

WZORY RZECZYWISTOŚCI TOM IV:UNIFIKACJA FORMALIZMU I NOWE KONSTRUKCJE Andrzej Orzechowski Kraków Wersja 1.0 grudzień 2025 STOPKA REDAKCYJNA Tytuł: Wzory Rzeczywistości. Tom IV:Unifikacja formalizmu i nowe konstrukcje Autor: Andrzej Orzechowski Wersja: 1.0 (grudzień 2025) Miejsce wydania: Kraków Rok wydania: 2025 Skład: LyX / L A T EX Licencja: Creative Commons Uznanie autorstwa 4.0 Międzynarodowa (CC BY 4.0). Kontakt: andrzejorzecho[email protected] Abstract Volume IV of Patterns of Reality is a technical, fully mathematical companion to the IFM framework (Informational Field with Memory) and the KGO program (Quantum Geometry of Echoes) developed in Volumes I–III. It does not replace the narrative layer of the earlier volumes; instead, it supplies the missing analytic and geometric infrastructure needed for precise definitions, well-posed evolution equations, and controlled limiting procedures. On the IFM side, dynamics with memory are formulated on Hilbert/Banach spaces via C0-semigroups and Volterra-type operators. Memory is treated as an operator-valued measure on [0,∞), naturally decomposed into instantaneous and delayed components. This unified viewpoint supports a transparent classification of memory regimes (short, tempered, long-range/fractional) and yields existence, uniqueness, and stability criteria under standard regularity and tail-control assumptions. On the KGO side, the state space (“panactorium”) is equipped with a (possibly infinite-dimensional) Kähler structure: the Schrödinger-like sector becomes a Hamiltonian flow, while cost-driven dissipation becomes a gradient flow. Finally, an operational layer explicitly connects the formalism to quantum mechanics (QM): Hilbert space, density operators ρ, POVMs, and the Born rule arise from an event-based operational structure, and generalized Nakajima–Zwanzig memory equations lead to the Lindblad master equation as a short-memory limit, linking full memory dynamics to effective QM of open systems. Abstrakt Tom IV Wzorów Rzeczywistości jest technicznym, w pełni matematycznym uzupełnieniem programu IFM (Pole Informacji z Pamięcią) oraz KGO (Kwantowa Geometria Oddźwięku) rozwijanego w Tomach I–III. Nie zastępuje warstwy narracyjnej poprzednich tomów; dostarcza natomiast aparatu analitycznego i geometrycznego potrzebnego do ścisłych definicji, dobrze postawionych równań ewolucji oraz kontrolowanych granic. W części IFM dynamika z pamięcią jest zapisana na przestrzeniach Hilberta/Banacha z użyciem półgrup C0i operatorów typu Volterry. Pamięć jest ujmowana jako miara operatorowa na [0,∞), z naturalnym rozkładem na składnik chwilowy i opóźniony. Takie ujęcie porządkuje reżimy pamięci (krótka, temperowana, długiego zasięgu/frakcyjna) i prowadzi do kryteriów istnienia, jednoznaczności oraz stabilności przy typowych założeniach regularności i kontroli ogonów. W części KGO przestrzeń stanu („panaktorium”) otrzymuje (być może nieskończenowymiarową) strukturę Kählera: sektor schrödingerowski staje się przepływem hamiltonowskim, a dyssypacja sterowana kosztem — przepływem gradientowym. Warstwa operacyjna domyka most do mechaniki kwantowej (QM): z operacyjnej struktury zdarzeń wynikają przestrzeń Hilberta, stany gęstości ρ, POVM-y i reguła Borna, a uogólnione równania Nakajimy–Zwanziga z pamięcią dają w granicy krótkiej pamięci równanie Lindblada, łącząc pełną dynamikę z pamięcią z efektywnym opisem QM układów otwartych. Przedmowa 1 Tom IV „Wzorów Rzeczywistości” powstał jako odpowiedź na naturalną potrzebę, która pojawia się po lekturze Tomów I–III. Trzy pierwsze tomy tworzą zamkniętą, samodzielną całość: opisują fenomenologię pola informacji z pamięcią, jego formalną strukturę oraz kwantową geometrię oddźwięku wraz z warstwą operacyjną obserwatora. W wielu miejscach sygnalizowane są jednak świadomie pozostawione „luki matematyczne”: definicje podane w języku fizycznym, twierdzenia opisane słowami, wskazówki typu „tu można by postawić pełne twierdzenie analityczne” albo „istnieje geometria, która stoi za tym równaniem”. Celem niniejszego tomu nie jest zmiana treści tamtych rozdziałów, lecz wyłącznie rozwinięcie i uzupełnienie ich o pełną warstwę matematyczną. Tom IV należy więc traktować jako tom pomocniczy: nie wprowadza nowej wersji teorii IFM ani KGO, ale wzmacnia ich fundamenty. Wszystkie podstawowe pojęcia – świat aktonu, aktorium, panaktorium, funkcjonały kosztu, pola S, operator struktury, pamięć i oddźwięk, nawyki oraz warstwa operacyjna – są przyjmowane dokładnie tak, jak zostały zdefiniowane i omówione w Tomach I– III. Tutaj zostają one umieszczone w ramie analizy funkcjonalnej, teorii półgrup i geometrii nieskończeniewymiarowej. W tym sensie Tom IV działa jak soczewka powiększająca: niczego nie zmienia w obrazie, ale pozwala zobaczyć wyraźniej strukturę, która w tomach wcześniejszych była tylko naszkicowana. Pierwsze rozdziały poświęcone są teorii pola informacyjnego z pamięcią (IFM) w ujęciu operatorowym. Równanie IFM, znane z Tomu II, zostaje przepisane w języku przestrzeni Hilberta, półgrup C0i operatorów Volterry. Pojawia się koncepcja operatora pamięci jako miary operatorowej na półprostej czasów opóźnienia, a oddźwięk chwilowy i opóźniony otrzymują ścisłe definicje w postaci rozkładu miary na część skoncentrowaną w chwili zero i część regularną. Definiowane są klasy pamięci krótkoterminowej, temperowanej i frakcyjnej, co pozwala matematycznie uchwycić intuicyjne rozróżnienia z Tomu I pomiędzy oddźwiękiem lokalnym, zbiorowym i motylkowym. Kolejny blok rozwija analizę dobrze postawionych równań IFM i KGO z pamięcią. Tam, gdzie w Tomach II i III pojawia się warunek „łagodnej nieliniowości i krótkiej pamięci”, tutaj formułowane są pełne twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań. Równania IFM i KGO z pamięcią traktowane są jako równania różniczkowo–całkowe Volterry na przestrzeniach Hilberta, a przy założeniach Lipschitzowskich dla członu nieliniowego i temperowania pamięci można zastosować metodę Picarda i klasyczne twierdzenia z teorii półgrup. W rezultacie powstaje precyzyjne pojęcie „pamięci dobrze postawionej”, które dopełnia definicje wprowadzone wcześniej w warstwie fizycznej. W Części poświęconej kwantowej geometrii oddźwięku rozbudowana zostaje intuicja Tomu III, że panaktorium można traktować jako przestrzeń z jednocześnie hamiltonowską i gradientową dynamiką. Na bazie iloczynu skalarnego w panaktorium budowana jest nieskończenowymiarowa struktura Kählera: metryka Riemanna, forma symplektyczna oraz struktura zespolona. Pokazane jest, że część Schrödingera równania KGO jest przepływem hamiltonowskim względem formy symplektycznej, natomiast część dyssypacyjna powiązana z globalnym kosztem jest przepływem gradientowym względem metryki. Fundamentalne równanie KGO bez pamięci przyjmuje postać układu gradientowo– 2 hamiltonowskiego na panaktorium. Jest to matematyczne rozwinięcie obrazu „geometrii oddźwięku”, jaki w Tomie III został nakreślony w języku fizyczno– intuicyjnym. Następna część dotyczy warstwy operacyjnej i mechaniki kwantowej jako „cienia” KGO. Rozwinięty zostaje szkic rekonstrukcji, w którym stany operacyjne obserwatora są opisane jako klasy nierozróżnialności [λ]o, a zdarzenia jako zbiory mierzalne w σ–algebrze. Stany operacyjne definiowane są jako miary probabilistyczne na tej przestrzeni, co nadaje sens wypukłej strukturze przestrzeni stanów oraz pojęciu stanów czystych i mieszanych. Na tej bazie formułowane jest twierdzenie reprezentacyjne w stylu Gleasona, które pokazuje, że każda taka struktura operacyjna ma reprezentację w postaci przestrzeni Hilberta HO,macierzy gęstości ρoraz efektów pomiarowych Ek, a reguła BornaP(k) = Tr(ρEk) wynika z aksjomatów operacyjnych, a nie musi być osobno postulowana. Z kolei równania z pamięcią typu Nakajima–Zwanzig dla ρ(t)wyprowadzone zostają z pełnej dynamiki KGO przy użyciu projekcji na warstwę operacyjną. Analizowana jest rodzina jąder pamięci krótkiej, skalowanych przez czas charakterystyczny T, oraz pokazane jest, że w granicy T→0równania z pamięcią przechodzą do lokalnych równań Markowa z generatorami Lindblada. Jest to precyzyjna wersja stwierdzenia z Tomu III, że mechanika kwantowa otwartych układów (formalizm Lindblada) pojawia się jako efektywny opis w reżimie krótkiej pamięci operacyjnej. W przykładach pokazane są konkretne kanały i procesy: dekoherencja fazowa z pamięcią, relaksacja do stanu równowagi z pamięcią frakcyjną oraz proste modele pomiaru ciągłego. Ostatnia część tomu pełni rolę mostu pojęciowego pomiędzy warstwą fenomenologiczną Tomu I, formalnym IFM z Tomu II, kwantową geometrią oddźwięku z Tomu III oraz matematycznymi uzupełnieniami niniejszego tomu. Wprowadzony zostaje „słownik” pojęć: ciągi przywiązania są interpretowane jako atraktory gradientowo–hamiltonowskie, nawyki jako atraktory półprzepływu na przestrzeni stanów z pamięcią, zaś zdrowy i patologiczny IFM jako modele spełniające lub naruszające warunki stabilności i temperowania. Pokazane jest, jak intuicje świata aktonu, membrany, aktów i pracy z oddźwiękiem przekładają się na półgrupy, przestrzenie Hilberta, miary operatorowe i twierdzenia o istnieniu oraz stabilności. Dzięki temu czytelnik otrzymuje nie tylko narzędzia, ale i klarowne mapowanie między językiem fenomenologicznym a językiem matematycznym. Tom IV został napisany tak, aby można było czytać go na dwa sposoby. Z jednej strony może służyć jako samodzielne kompendium matematyczne dla czytelników, którzy chcą zrozumieć, jakie dokładne twierdzenia stoją za równaniami IFM i KGO. Z drugiej strony, w połączeniu z Tomami I–III, pozwala uchwycić pełny obraz: od doświadczenia aktonu, poprzez fenomenologię oddźwięku, aż po precyzyjne twierdzenia analizy operatorowej i geometrii nieskończenowymiarowej. Wszystkie trzy wcześniejsze tomy pozostają tekstami bazowymi i nie są w żaden sposób poprawiane ani zmieniane; niniejszy tom dodaje warstwę, która – jeśli czytelnik zechce – pozwala zobaczyć „Wzory Rzeczywistości” również w języku matematyki. Mam nadzieję, że taki podział ról jest przejrzysty. Tom I pozostaje miejscem, 3 w którym rodzą się intuicje i obrazy świata aktonu. Tom II zawiera formalną postać teorii pola informacyjnego z pamięcią i jej fenomenologiczną interpretację. Tom III opisuje kwantową geometrię oddźwięku i warstwę operacyjną obserwatora. Tom IV natomiast zbiera w jednym miejscu matematyczne uzupełnienia, twierdzenia i konstrukcje, które te trzy tomy zakładają lub szkicują. Wspólnie tworzą one jedną opowieść o polu informacji z pamięcią, ale każda część może być czytana zgodnie z własnymi potrzebami i wrażliwością czytelnika. Wstęp 0.1 Zakres i cel Tomu IV 0.2 Zasada: Tomy I–III jako warstwa bazowa, Tom IV jako uzupełnienia 0.3 Konwencje notacyjne 0.4 Odwołania do Tomów I–III Część I. Analiza operatorowa pamięci w IFM 1 Przestrzeń pól informacji i operatory pamięci 2 Operator pamięci jako miara: oddźwięk chwilowy i opóźniony 3 Klasy pamięci: krótkoterminowa, długoterminowa, motylkowa Część II. Równania IFM z pamięcią (Uzupełnienia do Tomu II, równania IFM i dynamika autonu) 4 Liniowe równanie IFM z pamięcią 5 Stabilność z oddźwiękiem chwilowym i opóźnionym 6 Nieliniowe równanie IFM z pamięcią – dobrze postawione 7 Oddźwięk aktu i operator reaktywności Część III. Pamięć i oddźwięk w KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 6 i 17) 8 Pamięć KGO jako miary operatorowe 9 Temperowana pamięć KGO i ogony frakcyjne Część IV. Pamięć i oddźwięk w KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 6 i 17) 10 Liniowe KGO z pamięcią – równania dobrze postawione 11 Nieliniowe KGO z pamięcią temperowaną Część V. Geometria oddźwięku (Uzupełnienia do Tomu III: kwantowa geometria oddźwięku) 12 Panaktorium jako rozmaitość Kählera 13 Część hamiltonowska i gradientowa równania KGO 14 Rozszerzona przestrzeń stanu z pamięcią 15 Krzywizna kosztu i nawyki jako atraktory Część VI. Warstwa operacyjna: QM jako cień KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 12–14) 16 Struktura operacyjna obserwatora 17 Twierdzenie reprezentacyjne: Hilbert, ρ, POVM, Born Część VII. Warstwa operacyjna: QM jako cień KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 12–14) 18 Pamięć operacyjna i równania z jądrem (Nakajima–Zwanzig) 19 Granica krótkiej pamięci: KGO →Lindblad 20 Przykłady kanałów i procesów 4 Część VIII. Mosty między Tomami I–III a Tomem IV 21 Słownik pojęć: fenomenologia ↔matematyka 22 Mapowanie Tom I ↔Tom IV 23 Mapowanie Tom II ↔Tom IV 24 Mapowanie Tom III ↔Tom IV 25 Grube „teraz” jako okno historii 26 Wzorce w czasie: słowa, obrazy i ruch jako funkcjonały okna „teraz” 27 Jądro „teraz” i relacja do pamięci w IFM 28 Geometria „teraz” i wspólne chwile Zbiorcza errata i dopasowania formalne (Tom I–III →Tom IV) Uwagi bibliograficzne (Tom IV) Tom IV Matematyczne fundamenty teorii pola informacji z pamięcią (IFM) i KGO (Uzupełnienia do Tomów I–III) WSTĘP 0.1. Zakres i cel Tomu IV Tom IV jest pomyślany jako matematyczna warstwa uzupełniająca wobec trzech pierwszych tomów „Wzorów Rzeczywistości”. Tomy I–III pozostają podstawowym, kanonicznym opisem teorii pola informacji z pamięcią, kwantowej geometrii oddźwięku oraz ich zastosowań fenomenologicznych i fizycznych. Tom IV nie zmienia ich treści ani tez. Zamiast tego zbiera, porządkuje i rozwija narzędzia matematyczne, które pozwalają ścisłe sformułować i udowodnić twierdzenia, o których w poprzednich tomach mówiło się w trybie szkicu, intuicji lub lokalnego argumentu. Celem Tomu IV jest więc podwójne. Po pierwsze, ma on dostarczyć spójnego zestawu definicji i twierdzeń, którymi można opisać równania IFM, pamięć i oddźwięk w kategoriach analizy operatorowej, równań z pamięcią typu Volterry oraz geometrii na przestrzeniach pól. Po drugie, ma on zbudować wyraźny most pomiędzy tym formalizmem a warstwą operacyjną, w której mechanika kwantowa pojawia się jako cień lub granica odpowiednich równań KGO. Czytelnik, który zna Tomy I–III na poziomie idei, może traktować Tom IV jako techniczny komentarz i rozszerzenie: tu pojęcia takie jak oddźwięk chwilowy i oddźwięk typu efekt motyla, temperowana pamięć, nawyki jako atraktory czy granica Lindblada z KGO są sformułowane w języku przestrzeni Hilberta, miar operatorowych i semigrup. Z drugiej strony, nawet czytelnik bardziej matematyczny znajdzie tu wystarczająco dużo odniesień do intuicji z pierwszych tomów, aby nie zgubić fizycznego i fenomenologicznego sensu wprowadzanych struktur. 0.2. Zasada: Tomy I–III jako warstwa bazowa, Tom IV jako uzupełnienia Podstawową zasadą konstrukcji Tomu IV jest nieingerencja w treść pierwszych trzech tomów. Tomy I–III pozostają bazową warstwą teorii. Zawarte tam definicje, przykłady i dyskusje filozoficzne nie są przepisywane ani korygowane. 5 Tom IV dodaje nowe definicje i twierdzenia, ale zawsze odwołuje się do konkretnych miejsc w poprzednich tomach, do których stanowi uzupełnienie. W praktyce oznacza to, że przy każdej ważniejszej definicji lub twierdzeniu pojawi się krótka adnotacja, które rozdziały i fragmenty Tomów I–III są w ten sposób „usztywniane”. Na przykład rozdziały niniejszej części pierwszej odnoszą się przede wszystkim do formalizmu pamięci i oddźwięku w Tomie II, natomiast rozdziały poświęcone kwantowej geometrii oddźwięku i warstwie operacyjnej nawiązują do odpowiednich fragmentów Tomu III. Takie rozdzielenie ról ma dwie zalety. Po pierwsze, pozwala zachować klarowność prezentacji: w tomach I–III pierwszeństwo ma intuicja i architektura pojęciowa, a dopiero tu pojawia się pełen aparat funkcjonalno–analityczny. Po drugie, ułatwia rozwijanie teorii w przyszłości. Ewentualne dalsze rozszerzenia techniczne mogą naturalnie dołączyć do Tomu IV (lub jego kontynuacji), nie burząc narracji w tomach bazowych. 0.3. Konwencje notacyjne W całym Tomie IV zachowujemy notację zgodną z poprzednimi tomami, rozszerzoną tam, gdzie jest to konieczne ze względów technicznych. W tym miejscu zebrane są najważniejsze oznaczenia, które będą wprowadzane i używane już w Rozdziale 1. Przez Hbędziemy oznaczać przestrzeń Hilberta reprezentującą „przestrzeń pól informacji” danego poziomu opisu. W świecie jednego aktonu będzie to zwykle przestrzeń H=L2(Ξ, µ), gdzie Ξoznacza przestrzeń konfiguracji (na przykład przestrzeń możliwych wartości pola, geometrię membrany aktonu lub inną przestrzeń stanów elementarnych), a µjest ustaloną miarą na Ξ. Pole informacji S(ξ, t)traktujemy wówczas jako funkcję kwadrat całkowalną, a więc element przestrzeni H. Iloczyn skalarny w Hma wtedy postać ⟨S1, S2⟩H=  Ξ S1(ξ)∗S2(ξ)dµ(ξ), a norma jest dana wzorem ∥S∥H=p⟨S, S⟩H. Z punktu widzenia teorii IFM jest to sposób na opisanie „całkowitej ilości informacji” lub „energii informacyjnej” pola w świecie aktonu. Gdy przechodzimy do aktorium, mamy do czynienia z rodziną aktonów indeksowaną na przykład przez zbiór A. Pole informacji aktorium jest w naturalny sposób krotką (Sa)a∈A, gdzie każdy składnik Sanależy do swojej przestrzeni Ha=L2(Ξa, µa). Całość stanowi sumę bezpośrednią Hakt =M a∈A Ha, z iloczynem skalarnym będącym sumą iloczynów składowych. W wielu fragmentach teorii (zwłaszcza tam, gdzie zakłada się jednakową strukturę geome6 tryczną aktonów) można pracować z jedną przestrzenią Hi traktować indeks a jako indeks kanału, co jest zgodne z zapisem używanym w Tomie III. Panaktorium, opisujące świat wszystkich aktonów, można wstępnie traktować jako odpowiedni limit takich sum bezpośrednich, najczęściej w sensie sumy bezpośredniej przeliczalnej lub w postaci przestrzeni Focka, gdy zachodzi potrzeba opisu zmiennej liczby aktonów. W Tomie IV nie jest konieczne wchodzenie w szczegóły tej konstrukcji, o ile wiadomo, że dla każdego konkretnego zagadnienia można wybrać odpowiednią przestrzeń Hilberta, w której pole informacji jest wektorem, a operatory dynamiki i pamięci są operatorami liniowymi na tej przestrzeni. Wektor S(t)∈Hbędziemy nazywać polem informacji w chwili t. W zależności od kontekstu, będzie to albo pojedyncze pole aktonu, albo krotka pól różnych kanałów lub gatunków informacji. Czas tjest zawsze czasem „wewnętrznym” dynamiki IFM lub KGO, zgodnym z konwencjami przyjętymi w Tomach II i III. Przez Abędziemy oznaczać liniowy operator na H, zwykle związany z częścią „bez pamięci” równania IFM lub KGO: może to być na przykład operator Schrödingera −iˆ Hlub inny generator jednostajnie ograniczonej półgrupy rozwiązań. Przez Bbędziemy oznaczać operator oddźwięku chwilowego w sensie zdefiniowanym później, zaś przez Kodpowiednie jądra pamięci, które działają na historię pola w sposób całkowy. Uwaga notacyjna: w Częściach I–V symbol µoznacza miarę na przestrzeni konfiguracji Ξ(np. w H=L2(Ξ, µ)), natomiast w Części VI symbol µoznacza stan operacyjny (funkcjonał probabilistyczny na zdarzeniach). Gdy oba znaczenia mogłyby się nałożyć, miarę na Ξoznaczamy przez νi piszemy H=L2(Ξ, ν) oraz dν(ξ). W rozdziałach poświęconych KGO zachowujemy indeksowanie kanałów przez a, b, tak jak w Tomie III, oraz zapis Sa(ξ, t)dla profilu pola w kanale aw punkcie ξprzestrzeni konfiguracji. Jądra pamięci Kab(ξ, t;ξ′, τ)opisują wpływ pól w kanale bw punkcie ξ′i czasie τna kanał aw punkcie ξi czasie t. Zachowujemy również zapis Cglob na globalny funkcjonał kosztu, którego gradient względem pól pojawia się w równaniach KGO jako część gradientowa dynamiki, oraz symbole Jadla operatorów „bezwładności” kanałów. 0.4. Odwołania do Tomów I–III Tom IV zakłada znajomość podstawowych pojęć i konstrukcji wprowadzonych w Tomach I–III. Słowo „świat aktonu”, „membrana”, „ciąg przywiązania” czy „kwantowa geometria oddźwięku” będzie używane z takim samym znaczeniem jak tam. Jednocześnie staramy się, aby każdy nowy termin matematyczny był zdefiniowany lokalnie przed swoim pierwszym użyciem, tak aby czytelnik nie musiał sięgać do innych rozdziałów w poszukiwaniu definicji analitycznych. Odwołania do konkretnych rozdziałów Tomów I–III będą pojawiać się w nawiasach w tekście, na przykład „por. Tom II, rozdział 6”, kiedy wprowadzana konstrukcja jest bezpośrednim rozwinięciem tamtego fragmentu. Nie są to odwołania formalne w stylu cytowań, ale raczej „mapa” dla czytelnika, pozwalająca zorientować się, gdzie dana intuicja została po raz pierwszy sformułowana. 7 2.2 Rozkład M na część chwilową i regularną Kluczową rolę w opisie pamięci odgrywa rozróżnienie pomiędzy oddźwiękiem chwilowym a oddźwiękiem z opóźnieniem. Jest naturalne, aby w języku miary operatorowej rozdzielić część skoncentrowaną w σ= 0 od części rozłożonej na (0,∞). W przypadku miary skalarnych jest to rozkład na atom w zerze i część ciągłą. W przypadku miary operatorowej konstrukcja jest analogiczna. Definiujemy operator B:= M({0}), który jest wartością miary na jednoelementowym zbiorze {0}. Jest to operator liniowy na Hi można go interpretować jako „wagę pamięci” w opóźnieniu równym zero, czyli natychmiastową reakcję układu. Następnie dla każdego zbioru borelowskiego E⊂[0,∞)wprowadzamy miarę regularną Mreg(E) = M(E\{0}). Z definicji Mreg jest miarą operatorową, która nie ma atomu w σ= 0, to znaczy Mreg({0})=0. Zrobiliśmy więc rozkład miary na sumę części atomowej i regularnej. Dla dowolnego zbioru borelowskiego Emożemy napisać M(E) = M(E∩{0}) + M(E\{0}) = B δ0(E) + Mreg(E), gdzie δ0jest zwykłą miarą Diraca skoncentrowaną w zerze. Warto zauważyć, że w powyższym zapisie B δ0(E)oznacza po prostu Bwtedy, gdy 0∈E, oraz operator zerowy w przeciwnym przypadku. Podstawiając ten rozkład do wzoru na operator pamięci, otrzymujemy podział całkowitego oddźwięku na część chwilową i część z opóźnieniem. Mianowicie (MS)(t) =  [0,∞) S(t−σ)M(dσ) =  [0,∞) S(t−σ)B δ0(dσ) +  [0,∞) S(t−σ)Mreg(dσ). Pierwsza całka redukuje się do BS(t), ponieważ miara Diraca „wybiera” wartość w σ= 0. Druga jest właściwą całką po opóźnieniach dodatnich. Otrzymujemy więc rozkład (MS)(t) = B S(t) +  (0,∞) S(t−σ)Mreg(dσ), który jest podstawowym wzorem dla analizy oddźwięku chwilowego i z opóźnieniem w IFM. 14 2.3 Definicja oddźwięku chwilowego IFM Na podstawie rozkładu miary operatorowej pamięci można teraz w sposób ścisły zdefiniować pojęcie oddźwięku chwilowego w teorii IFM. Oddźwięk chwilowy ma opisywać tę część reakcji układu, która jest natychmiastowa, to znaczy zależy od wartości pola dokładnie w tej samej chwili, w której mierzymy efekt. Definicja oddźwięku chwilowego IFM brzmi więc następująco. Oddźwiękiem chwilowym nazywamy operator liniowy B∈ L(H)dany przez wzór B=M({0}), gdzie Mjest miarą operatorową opisującą pamięć. W równaniu ruchu IFM człon pamięciowy możemy zapisać w postaci (MS)(t) = BS(t) +  (0,∞) S(t−σ)Mreg(dσ), więc oddźwięk chwilowy jest tym składnikiem, który zależy wyłącznie od stanu S(t), a nie od żadnej historii wcześniejszej niż chwila t. W praktyce oznacza to, że operator Bmodyfikuje lokalną dynamikę IFM, dodając do „bezwładności” aktonu i innych lokalnych efektów nowy natychmiastowy komponent. W wielu modelach Bmożna scalić z innymi lokalnymi operatorami, na przykład z operatorem „sprężystości” membrany, ale w Tomie IV wygodnie jest go traktować oddzielnie, aby zachować przejrzystość rozróżnienia pomiędzy składnikiem chwilowym a składnikiem z opóźnieniem. 2.4 Oddźwięk z opóźnieniem i ogony pamięci Część pamięci opisana przez miarę regularną Mreg odpowiada za oddźwięk z opóźnieniem. Każdy element Mreg(E)mówi, jaka część reakcji układu jest związana z opóźnieniami należącymi do zbioru E⊂(0,∞). Całkowity wkład pamięci z opóźnieniem w chwili tjest równy (MregS)(t) =  (0,∞) S(t−σ)Mreg(dσ). Jeżeli trajektoria S(·)jest ograniczona w czasie, to można oszacować wielkość oddźwięku z opóźnieniem przez wariację miary. Jeśli ∥S∥∞= supt≥0∥S(t)∥H jest skończona, to dla każdego tzachodzi ∥(MregS)(t)∥H≤  (0,∞)∥S(t−σ)∥H∥Mreg∥(dσ)≤ ∥S∥∞∥Mreg∥((0,∞)). Oznacza to, że całkowita siła oddźwięku z opóźnieniem jest kontrolowana przez całkowitą wariację miary Mreg. Szczególnie ważne są tak zwane ogony pamięci, czyli wkład pochodzący z bardzo dużych opóźnień. Aby je zdefiniować, wybieramy czas T > 0i rozważamy 15 część miary ograniczoną do opóźnień większych niż T. Wkład tej części pamięci do oddźwięku w chwili tjest równy (M(T) og S)(t) =  (T,∞) S(t−σ)Mreg(dσ). Jeżeli Sjest ograniczona, to można oszacować normę tego wkładu w następujący sposób: ∥(M(T) og S)(t)∥H≤ ∥S∥∞∥Mreg(T, ∞)∥. Całkowita masa ogona pamięci, to znaczy liczba ∥Mreg(T, ∞)∥, opisuje więc, jak silnie przeszłość odleglejsza niż Tmoże wpływać na aktualny stan. W dalszych rozdziałach zobaczymy, że w wielu naturalnych sytuacjach masa ogona maleje wykładniczo wraz z T, co zapewnia stabilność i „zapominanie” bardzo odległych zdarzeń. 2.5 Oddźwięk lokalny i nielokalny w przestrzeni stanu Dotychczasowy opis operatora pamięci jako miary operatorowej był abstrakcyjny i nie odnosił się wprost do struktury przestrzeni konfiguracji Ξ. Aby zrozumieć, co oznacza oddźwięk lokalny i nielokalny, przechodzimy do bardziej konkretnego opisu w przypadku, gdy H=L2(Ξ, µ). Każdy ograniczony operator liniowy Bna L2(Ξ, µ), przynajmniej w wielu ważnych klasach, można reprezentować za pomocą jądra B(ξ, ξ′), które jest funkcją dwóch zmiennych, taką że (BS)(ξ) =  Ξ B(ξ, ξ′)S(ξ′)dµ(ξ′). Operator Bodpowiada za oddźwięk chwilowy, a więc mówi, jak stan aktualny w różnych punktach ξ′wpływa natychmiast na stan w punkcie ξ. Mówimy, że oddźwięk chwilowy jest lokalny, jeśli jądro B(ξ, ξ′)ma postać zbliżoną do zdegenerowanej postaci B(ξ, ξ′) = β(ξ)δ(ξ−ξ′), gdzie βjest pewną funkcją, a δjest formalną deltą Diraca. W praktyce oznacza to, że w idealnym przypadku (BS)(ξ) = β(ξ)S(ξ), czyli oddźwięk chwilowy w punkcie ξzależy tylko od wartości pola w tym samym punkcie. Odpowiada to sytuacji, gdy lokalna struktura membrany aktonu reaguje na swoje własne wybrzuszenia, naprężenia czy inne lokalne wielkości. Oddźwięk chwilowy jest natomiast nielokalny, jeśli jądro B(ξ, ξ′)jest rozproszone po przestrzeni Ξw takim sensie, że wartość w punkcie ξzależy natychmiast także od wartości pola w innych punktach ξ′. Wtedy działanie operatora 16 Bma postać sprzęgającą różne regiony membrany. W IFM można to interpretować jako natychmiastowe rozlewanie się oddźwięku przez pewien „szkielet” połączeń, na przykład poprzez sieć struktur podporowych, które przenoszą oddźwięk z jednego miejsca w inne bez opóźnienia czasowego. Analogiczne rozróżnienie można wprowadzić dla miary Mreg, jeśli reprezentuje się ją lokalnie za pomocą jąder zależnych od trzech zmiennych (ξ, ξ′, σ). Wtedy oddźwięk z opóźnieniem może być lokalny (opóźniony wpływ tylko z tego samego punktu) albo nielokalny (pojawiają się ścieżki wpływu z innych regionów membrany). Jak zobaczymy później, lokalność i nielokalność oddźwięku odgrywają ważną rolę w interpretacji zjawisk takich jak oddźwięk zbiorowy i efekt motyla. 2.6 Oddźwięk typu „efekt motyla” jako masa ogona miary W fenomenologicznym języku Tomu II pojawia się pojęcie oddźwięku typu efekt motyla, który ma opisywać sytuację, gdy drobne zdarzenia w odległej przeszłości mogą mieć odczuwalne konsekwencje po długim czasie. W języku miary operatorowej naturalne jest utożsamienie takiego oddźwięku z masą ogona miary pamięci. Dla ustalonego T > 0rozważamy ogon miary regularnej Mreg definiowany jako M(T) og (E) = Mreg(E∩(T, ∞)). Fizycznie interesuje nas liczba mog(T) = ∥Mreg((T, ∞))∥, która mierzy „ilość” pamięci związaną z opóźnieniami większymi niż T. Jeżeli mog(T)maleje bardzo szybko do zera wraz ze wzrostem T, to wpływ bardzo dawnej przeszłości jest silnie tłumiony i efekt motyla jest słaby. Jeżeli natomiast mog(T)maleje powoli, na przykład zgodnie z prawem potęgowym, to historia sięgająca daleko w przeszłość może nadal wywierać zauważalny wpływ na aktualny stan. Doprecyzowanie: w oszacowaniach i warunkach temperowania wygodniej jest mierzyć „masę ogona” przez wariację całkowitą miary operatorowej. Definiujemy więc mog(T) := ∥Mreg∥((T, ∞)). Zachodzi zawsze nierówność ∥Mreg((T, ∞))∥op ≤ ∥Mreg∥((T, ∞)) = mog(T) , a funkcja T7→ mog(T)jest niemalejąca w sensie „ogonowym” (tj. maleje wraz ze wzrostem T) jako masa miary na zbiorach (T, ∞). Oddźwięk typu efekt motyla można więc zdefiniować jako sytuację, w której ogon miary pamięci jest relatywnie ciężki. Precyzyjne warunki na „ciężkość” ogona będą formułowane w następnym rozdziale, gdzie wprowadzimy pojęcie pamięci temperowanej oraz pamięci o długim zasięgu. Już tutaj jednak warto 17 zauważyć, że efekt motyla nie musi oznaczać niestabilności w sensie matematycznym. Może on współistnieć ze stabilnym, temperowanym ogonem, który jest długo istotny, ale w końcu wygasa. 3 Klasy pamięci: krótkoterminowa, długoterminowa, motylkowa 3.1 Pamięć krótkoterminowa Pamięć krótkoterminowa to taka, która „pamięta” tylko skończony odcinek przeszłości. Najprościej jest ją zdefiniować na poziomie jądra pamięci. Jeżeli Mjest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a i ma jądro K(σ), to mówimy, że pamięć jest krótkoterminowa o horyzoncie T∗, jeżeli istnieje T∗>0takie, że K(σ)=0 dla wszystkich σ > T∗. Wtedy operator pamięci ma postać (MS)(t) =  T∗ 0 K(σ)S(t−σ)dσ, a więc przeszłość starsza niż T∗nie ma żadnego bezpośredniego wpływu na aktualny stan. W języku miary operatorowej warunek ten odpowiada temu, że miara Mjest skoncentrowana na przedziale [0, T∗], to znaczy M((T∗,∞)) = 0. W praktyce przypadki dokładnie kompaktowego nośnika są idealizacją. Bardziej realistyczne jest założenie, że jądro pamięci jest bardzo małe dla opóźnień większych niż pewna charakterystyczna skala czasu, ale formalnie nie zanika. Takie sytuacje są opisane przez pojęcie pamięci temperowanej, o którym mowa w następnym podrozdziale. 3.2 Pamięć temperowana Pamięć temperowana to pamięć, której ogony maleją dostatecznie szybko, aby zapanować nad wpływem bardzo odległej przeszłości. Najwygodniej jest ją zdefiniować na poziomie miary operatorowej Mreg, która opisuje oddźwięk z opóźnieniem. Mówimy, że pamięć jest temperowana wykładniczo z parametrem ω > 0, jeżeli całkowita wariacja miary Mreg ważona funkcją eωσ jest skończona. Formalnie definiujemy pamięć temperowaną przez warunek  ∞ 0 eωσ ∥Mreg∥(dσ)<∞. Intuicyjnie oznacza to, że ogony pamięci są na tyle lekkie, iż nawet po wzmocnieniu ich przez czynnik wykładniczy eωσ całkowita suma jest skończona. W takim przypadku można wykazać, że masa ogona miary maleje wykładniczo z horyzontem czasu. Istotnie, dla każdego T > 0mamy oszacowanie 18 ∥Mreg(T, ∞)∥ ≤ C e−ωT , gdzie Cjest stałą zależną od całki z definicji. Łatwo to zobaczyć, zapisując ∥Mreg(T, ∞)∥=  (T,∞) 1∥Mreg∥(dσ)≤  (T,∞) e−ωT eωσ ∥Mreg∥(dσ), a następnie wyciągając e−ωT przed całkę i ograniczając resztę przez całkowitą wartość całki z definicji pamięci temperowanej. Pamięć temperowana jest zatem kompromisem pomiędzy modelem o dokładnie skończonym horyzoncie a modelem o ogonach nieskończonych. Pozwala ona uwzględnić realny wpływ długiej, ale jednak stopniowo zapominanej przeszłości, a równocześnie zachować dobre własności stabilności i sterowalności równań IFM i KGO. 3.3 Pamięć długiego zasięgu i frakcyjna W wielu zjawiskach fizycznych, a także w doświadczeniu psychologicznym aktonu, pamięć ma charakter długiego zasięgu: wpływ pewnych zdarzeń nie zanika szybko, lecz rozciąga się w czasie z powolnym wygaszaniem. Takie sytuacje można modelować za pomocą jąder frakcyjnych, które mają ogon zbliżony do potęgowego. Typowym przykładem jest jądro postaci Kγ(σ) = cγσ−1−γ/2e−µσ, σ > 0, gdzie 0< γ < 2,µ > 0, a cγjest stałą normalizacyjną. Jądro to maleje potęgowo, modulowane wykładniczym tłumieniem e−µσ. Dla średnich opóźnień, rzędu kilku jednostek czasu, czynnik potęgowy dominuje i pamięć jest „miękka”, długo ciągnąca się. Dla bardzo dużych opóźnień, gdy σjest duże, decyduje już tłumienie wykładnicze i ogon jest temperowany w sensie poprzedniego podrozdziału. Znane własności całek gamma pozwalają pokazać, że dla każdego ωz przedziału (0, µ)pamięć z takim jądrem jest temperowana wykładniczo, to znaczy  ∞ 0 eωσ ∥Kγ(σ)∥dσ < ∞, przy założeniu odpowiedniej regularizacji w pobliżu σ= 0. Z drugiej strony ogon  ∞ T Kγ(σ)dσ dla dużego Tzachowuje się jak iloczyn potęgi i funkcji wykładniczej, co można zapisać symbolicznie w postaci 19  ∞ T Kγ(σ)dσ ∼˜cγT−γ/2e−µT , gdzie ˜cγjest inną stałą. Oznacza to, że pamięć jest bardzo długo odczuwalna (czynnik T−γ/2), ale w końcu tłumiona (czynnik e−µT ). Taki profil dobrze oddaje intuicję frakcyjnej pamięci IFM: ciągi przywiązania mogą trwać długo i mieć długą „sprężystość”, ale pole nie jest całkowicie zablokowane w stanie zależnym od odległej przeszłości. 3.4 Skalary opisujące profil oddźwięku Aby porównywać różne układy pamięciowe między sobą, wygodnie jest wprowadzić skalarne wielkości opisujące profil oddźwięku. Jedną z najprostszych jest współczynnik chwilowości, który można oznaczyć jako qchw. Niech mtot =∥M∥([0,∞)) będzie całkowitą masą miary pamięci, a m0=∥M({0})∥=∥B∥ będzie masą oddźwięku chwilowego. Definiujemy wtedy współczynnik chwilowości jako qchw =m0 mtot . Wartość qchw należy do przedziału [0,1] i mierzy stosunek natychmiastowego oddźwięku do całkowitej siły pamięci. Jeżeli qchw jest bliski jedności, to dominującą rolę odgrywa oddźwięk chwilowy, a pamięć z opóźnieniem jest słaba. Jeżeli qchw jest bliski zera, większość oddźwięku jest zmagazynowana w dłuższych opóźnieniach. Innym naturalnym skalarem jest średnie opóźnienie pamięci, zdefiniowane jako τmem =1 mreg  ∞ 0 σ∥Mreg∥(dσ), gdzie mreg =∥Mreg∥((0,∞)) jest całkowitą masą części z opóźnieniem. Wartość τmem opisuje „typowy” czas opóźnienia, z jakim pamięć wywiera wpływ na stan. Duże τmem odpowiada długiej, rozwleczonej pamięci, a małe – pamięci skoncentrowanej blisko chwili bieżącej. Tego typu skalary nie wyczerpują oczywiście całej struktury miary operatorowej, ale stanowią poręczne parametry, które można wykorzystać do porównywania różnych modeli IFM oraz do tworzenia intuicyjnego opisu ich dynamiki. 20 3.5 Interpretacja fenomenologiczna: „twardy” i „sprężysty” oddźwięk Pojęcia oddźwięku chwilowego i oddźwięku z opóźnieniem, pamięci krótkoterminowej, temperowanej i frakcyjnej oraz skalarnych parametrów profilu oddźwięku można teraz zinterpretować w języku fenomenologii IFM. Oddźwięk „twardy” to oddźwięk, w którym dominuje składnik chwilowy, a pamięć ma krótki horyzont lub jest silnie temperowana. Matematycznie odpowiada to wysokiemu współczynnikowi qchw, niewielkim ogonom miary Mreg oraz niewielkiemu średniemu opóźnieniu τmem. W takim układzie pole informacji reaguje szybko i zdecydowanie na aktualne bodźce, a wpływ odległej przeszłości jest niewielki. W obrazie aktonu można powiedzieć, że membrana jest sztywna: wybrzuszenia są natychmiast „ściągane” z powrotem, a nawyki i długotrwałe ciągi przywiązania mają mniejszą szansę na utrwalenie. Oddźwięk „sprężysty” to oddźwięk, w którym istotną rolę odgrywa składnik z opóźnieniem, zwłaszcza w reżimie średnich czasów. Matematycznie oznacza to niższy współczynnik qchw, większą masę miary Mreg w przedziałach (0, T ) dla umiarkowanych Toraz większe średnie opóźnienie τmem. Jeśli dodatkowo jądro pamięci ma frakcyjny ogon w stylu Kγ(σ), to ciągi przywiązania mogą być bardzo trwałe: zmiana wprowadzona w polu wywołuje oddźwięk, który nie tylko nie zanika natychmiast, ale także „dzwoni” przez długi czas, zanim zostanie całkowicie rozproszony. Oddźwięk typu efekt motyla wiąże się z ciężkimi ogonami miary pamięci. Gdy mog(T)maleje powoli z T, nawet drobne zdarzenia w bardzo odległej przeszłości mogą mieć nienieważny wkład w oddźwięk obserwowany dziś. W skrajnym przypadku może to prowadzić do silnej wrażliwości na warunki początkowe. Jednak o tym, czy taka wrażliwość przeradza się w niestabilność, decyduje także struktura części bez pamięci i gradientowe własności funkcjonału kosztu. Z punktu widzenia praktycznej pracy z IFM ważne jest, że wszystkie te zjawiska dają się opisać jednym, spójnym formalizmem miary operatorowej pamięci. Pozwala to liczyć na to, że intuicyjne pojęcia wprowadzone w Tomach I i II – takie jak twardość lub sprężystość oddźwięku, krótkoterminowość pamięci, czy efekt motyla – można powiązać z konkretnymi, mierzalnymi parametrami matematycznymi. Dzięki temu dalsze rozdziały Tomu IV będą mogły w sposób ścisły analizować stabilność, powstawanie nawyków oraz granice typu Lindblada w oparciu o te właśnie parametry. Część II Równania IFM z pamięcią (Uzupełnienia do Tomu II, równania IFM i dynamika autonu) 21 4 Liniowe równanie IFM z pamięcią 4.1 Abstrakcyjne równanie W tej części przyjmujemy jako dane pole informacji pojedynczego aktonu S(t), traktowane jako wektor w rzeczywistej przestrzeni Hilberta H. Element S(t)∈ Hopisuje w danej chwili pełny stan świata aktonu w języku Tomu II: amplitudy kanałów, ich relacyjne napięcia oraz inne składowe pola. Stan początkowy oznaczamy przez S0∈Hi interpretujemy jako konfigurację świata aktonu w chwili t= 0. Definiujemy najpierw operator Ajako (w ogólnym przypadku) nieograniczony operator liniowy na H, którego dziedzinę oznaczamy przez D(A)⊂H. Operator Azbiera wszystkie składniki lokalnej dynamiki świata bez pamięci, na przykład gradientowy spływ po funkcjonale łagodności, Laplasjan grafowy oraz inne lokalne potencjały opisane wcześniej. Zakładamy, że Ajest generatorem silnie ciągłego półgrupowania (etA)t≥0na H. Oznacza to, że dla każdego t≥0mamy operator liniowy etA :H→Hspełniający warunki e0A=I, e(t+s)A=etAesA oraz ciągłość w sensie normy w parametrze czasu. Jako drugi składnik części bez pamięci wprowadzamy operator B, który jest ograniczonym operatorem liniowym na H. Operator Breprezentuje wszystkie natychmiastowe oddźwięki, które są proporcjonalne do aktualnego stanu S(t) i zostały już wyodrębnione z operatora pamięci jako osobny, chwilowy wkład. Dzięki temu w równaniu ewolucyjnym pojawi się suma A+B, która opisuje całą część bez pamięci: gradientową dynamikę świata oraz natychmiastowy oddźwięk. Aby opisać pamięć rozłożoną w czasie, definiujemy operator jądra pamięci Kreg. Jądrem pamięci nazywamy funkcję Kreg : [0,∞)→ L(H), która każdemu opóźnieniu s≥0przypisuje ograniczony operator liniowy Kreg(s)działający na H. W indeksie „reg” zaznaczamy, że chodzi o część regularną jądra, z której zostały już wyjęte ewentualne osobliwości typu delta, odpowiadające oddźwiękowi chwilowemu włączonemu do B. Zakładamy, że Kreg jest mierzalne w sensie Bochnera i że dla każdego T > 0całka  T 0∥Kreg(s)∥ds jest skończona. Ten warunek zapewnia sensowność operatora splotowego w przestrzeni H. Dla danej trajektorii S: [0, T]→Hdefiniujemy operator pamięci w chwili t jako splot w czasie (Kreg ∗S)(t) =  t 0 Kreg(t−τ)S(τ)dτ. 22 Wyrażenie to opisuje oddźwięk przeszłych konfiguracji świata aktonu na jego aktualną prędkość: stan S(τ)sprzed czasu t−τdziała z wagą zadaną przez operator Kreg(t−τ). Z tymi oznaczeniami liniowe równanie IFM z pamięcią w reżimie abstrakcyjnym ma postać ˙ S(t)=(A+B)S(t) +  t 0 Kreg(t−τ)S(τ)dτ, t > 0, S(0) = S0∈H. Pochodna ˙ S(t)jest tu rozumiana w sensie klasycznym, gdy istnieje, albo w sensie rozwiązań typu „mild”, które wprowadzimy w następnym paragrafie. Część (A+B)S(t)jest odpowiedzialna za natychmiastowy spływ po krajobrazie kosztu i lokalne sprzężenia między kanałami. Część całkowa koduje pamięć: w sposób liniowy i przyczynowy zbiera wszystkie ślady przeszłych stanów S(τ). W języku IFM można to czytać wprost. Pole informacji S(t)podlega jednocześnie natychmiastowemu wygładzaniu, stabilizacji i lokalnym sprzężeniom (operator A+B) oraz oddźwiękowi pamięci, w którym dawne konfiguracje membrany wciąż „ciągną” świat w określone kierunki z siłą zadawaną przez Kreg. W tym rozdziale interesuje nas wyłącznie aspekt analityczny: dobrze postawione rozwiązanie dla zadanych danych początkowych oraz jego kontrolowane zachowanie w czasie. 4.2 Rozwiązania typu „mild” – semigrupy i formuła wariacji stałych Aby mieć równanie dobrze postawione, potrzebujemy precyzyjnej definicji rozwiązania. W przypadku operatora Abędącego generatorem półgrupy rozwiązania klasyczne, wymagające istnienia pochodnej ˙ S(t)w sensie normy dla wszystkich czasów i spełniania równania w sposób punktowy, okazują się zbyt restrykcyjne. Naturalnym pojęciem jest tutaj rozwiązanie typu „mild”, zdefiniowane przez odpowiednie równanie całkowe. Zakładamy, że operator A+Brównież jest generatorem silnie ciągłej półgrupy (T(t))t≥0na H. Dla przejrzystości zapisu będziemy pisać T(t) = et(A+B). Istnienie takiej półgrupy jest klasycznym faktem z teorii operatorów generujących: dodanie ograniczonego operatora Bdo generatora Azachowuje własność generowania półgrupy. Przyjmujemy poza tym standardowe oszacowanie półgrupy, to znaczy istnienie stałych M≥1iω∈Rtakich, że ∥T(t)∥ ≤ M eωt dla każdego t≥0. Rozwiązanie „mild” równania z pamięcią definiujemy jako funkcję ciągłą S: [0, T]→H, która spełnia równanie wariacji stałych 23 Oszacowując eωσ∥S(σ)∥≤∥S∥ω, dostajemy eωt∥(KS)(t)∥ ≤ M∥S∥ω  t 0 e−(α−ω)(t−τ)  τ 0∥Kreg(τ−σ)∥e−ωσ dσdτ. Wprowadzamy teraz zmianę zmiennych r=τ−σi oszacowujemy  τ 0∥Kreg(τ−σ)∥e−ωσ dσ ≤e−ω(τ−r)  τ 0∥Kreg(r)∥dr ≤e−ωτ  τ 0∥Kreg(r)∥dr. Po podstawieniu tego oszacowania do poprzedniej nierówności otrzymujemy eωt∥(KS)(t)∥ ≤ M∥S∥ω  t 0 e−(α−ω)(t−τ)e−ωτ   τ 0∥Kreg(r)∥drdτ. Całkowanie po τi oszacowanie całki po rprowadzi do prostszego warunku wystarczającego, który ma przejrzystą interpretację. Jeżeli jądro pamięci spełnia warunek  ∞ 0 eωs∥Kreg(s)∥ds < 1 M, to całkowite wzmocnienie wprowadzone przez operator Kjest mniejsze niż jeden w normie ∥·∥ω. W takim przypadku operator Kjest ograniczony i spełnia nierówność ∥KS∥ω≤q∥S∥ω, gdzie współczynnik qjest mniejszy niż jeden i zależy jedynie od półgrupy T(t)oraz od jądra Kreg. Warunek  ∞ 0 eωs∥Kreg(s)∥ds < 1 M nazywamy warunkiem „small gain” dla pamięci. Mówi on, że całkowity efekt pamięci, zważony tą samą wagą wykładniczą, która opisuje stabilność części bez pamięci, jest na tyle mały, że nie może przechylić bilansu w kierunku niestabilności. W języku IFM oznacza to, że sumaryczny „zysk” oddźwięku jest mniejszy niż tłumienie wbudowane w geometrię świata bez pamięci. 5.3 Twierdzenie o stabilności: efekt pamięci jako mała perturbacja Przygotowawszy narzędzia, możemy teraz sformułować twierdzenie o stabilności równania IFM z pamięcią w reżimie małego oddźwięku. Założenia są następujące. Półgrupa T(t) = et(A+B)jest wykładniczo stabilna, to znaczy istnieją M≥1iα > 0takie, że 30 ∥T(t)∥ ≤ M e−αt. Jądro pamięci Kreg jest lokalnie całkowalne i spełnia warunek „small gain”  ∞ 0 eωs∥Kreg(s)∥ds < 1 M dla pewnego ω∈(0, α). Twierdzenie o stabilności można teraz sformułować następująco. Dla każdego stanu początkowego S0∈Histnieje dokładnie jedno rozwiązanie „mild” równania IFM z pamięcią na półprostej [0,∞)i istnieją stałe C≥1oraz γ > 0 takie, że ∥S(t)∥ ≤ C e−γt∥S0∥dla każdego t≥0. W szczególności zerowe rozwiązanie S(t)≡0jest wykładniczo stabilne w przestrzeni H. Szkic dowodu twierdzenia wykorzystuje interpretację równania IFM jako równania stałego punktu w przestrzeni trajektorii ważonych. Dla danego stanu początkowego S0rozważamy operator Φ(S)(t) = T(t)S0+ (KS)(t), t ≥0, gdzie Kjest operatorem pamięci z poprzedniego paragrafu. Rozwiązanie „mild” jest stałym punktem operatora Φ: S= Φ(S). Norma ważona zapewnia oszacowanie ∥Φ(S1)−Φ(S2)∥ω=∥KS1−KS2∥ω≤q∥S1−S2∥ω, z współczynnikiem q < 1. Z twierdzenia Banacha wynika istnienie dokładnie jednego stałego punktu Sw przestrzeni trajektorii ciągłych o skończonej normie ∥·∥ω. Dodatkowo oszacowanie na półgrupę daje ∥T(·)S0∥ω≤Msup t≥0 eωte−αt∥S0∥=M∥S0∥. Z równania stałego punktu S= (I−K)−1T(·)S0otrzymujemy oszacowanie ∥S∥ω≤1 1−q∥T(·)S0∥ω≤M 1−q∥S0∥. Przechodząc z normy ważonej do zwykłej normy w H, otrzymujemy dla każdego t≥0nierówność ∥S(t)∥≤∥S∥ωe−ωt ≤M 1−qe−ωt∥S0∥. 31 Stąd widać, że można wziąć γ=ωoraz C=M/(1 −q). Zanik wykładniczy ∥S(t)∥z prędkością γjest bezpośrednią konsekwencją stabilności części bez pamięci i małego „zysku” operatora pamięci. W języku IFM twierdzenie to mówi, że jeśli lokalna dynamika świata aktonu bez pamięci jest stabilna i jeśli sumaryczny oddźwięk pamięciowy jest na tyle mały, że nie dominuje tłumienia, to pełne równanie z pamięcią również jest stabilne. Echo przeszłych stanów pojawia się jako seria coraz słabszych powrotów do tych samych konfiguracji, ale całkowita energia oddźwięku maleje, a świat wraca do łagodnego stanu równowagi. 5.4 Nierówność Grönwalla z pamięcią i oszacowania norm trajektorii Twierdzenie o stabilności opiera się na strukturze operatorowej równania. W wielu zastosowaniach wygodne jest jednak posiadanie prostego narzędzia do oszacowań punktowych normy ∥S(t)∥, które nie wymaga pełnej konstrukcji przestrzeni trajektorii ważonych. Rolę takiego narzędzia pełni nierówność Grönwalla z pamięcią. Rozważmy ciągłą funkcję nieujemną u: [0, T]→[0,∞), która spełnia dla pewnych stałych a≥0ib≥0oraz dla jądra k: [0, T]→[0,∞)nierówność u(t)≤a+b  t 0 u(τ)dτ +  t 0 k(t−τ)u(τ)dτ, 0≤t≤T. Standardowa nierówność Grönwalla odpowiada szczególnemu przypadkowi bez jądra k. W obecności pamięci pojawia się dodatkowy splot k∗u, który reprezentuje oddźwięk przeszłości. Nierówność Grönwalla z pamięcią głosi, że istnieje funkcja niemalejąca E: [0, T]→[1,∞)zależna tylko od boraz k, taka że u(t)≤a E(t)dla każdego 0≤t≤T. Funkcję Emożna skonstruować jako rozwiązanie równania Volterry E(t) = 1 + b  t 0 E(τ)dτ +  t 0 k(t−τ)E(τ)dτ, E(0) = 1. W naszym kontekście nierówność Grönwalla z pamięcią stosuje się do normy trajektorii S(t). Oszacowanie formuły wariacji stałych prowadzi do nierówności postaci ∥S(t)∥ ≤ Me−αt∥S0∥+M  t 0 e−α(t−τ)  τ 0∥Kreg(τ−σ)∥∥S(σ)∥dσdτ. Po odpowiednim przekształceniu, na przykład poprzez wprowadzenie funkcji u(t) = eαt ∥S(t)∥, można ten warunek zapisać w postaci nierówności Grönwalla z pamięcią, w której ajest proporcjonalne do ∥S0∥, a jądro kzależy od Kreg. 32 Otrzymujemy w ten sposób funkcję E(t), która daje ogólną górną granicę na normę trajektorii: ∥S(t)∥ ≤ E(t)∥S0∥. W przypadku spełnienia warunku „small gain” funkcja E(t)pozostaje ograniczona i nawet maleje wykładniczo. W bardziej ogólnych sytuacjach, gdy całkowity efekt pamięci może być silny, E(t)może rosnąć, na przykład wielomianowo lub wykładniczo. Nierówność Grönwalla z pamięcią pozwala więc uporządkować możliwe reżimy wzrostu lub zaniku normy, bez konieczności śledzenia pełnego operatorowego mechanizmu. Z punktu widzenia IFM nierówność ta dostarcza prostego kryterium kontrolującego „rozsądność” trajektorii. Jeżeli funkcja E(t)pozostaje umiarkowana, świat aktonu nie oddala się zbyt szybko od stanu równowagi, nawet jeśli chwilowe oddźwięki są silne. Jeżeli natomiast E(t)rośnie bardzo szybko, oznacza to, że istnieją początkowe konfiguracje, dla których pole informacji może zostać silnie rozhuśtane przez pamięć, co prowadzi do reżimu niestabilnego. 5.5 Interpretacja IFM: reżimy stabilny, graniczny i niestabilny autonu Matematyczne wyniki tego rozdziału można odczytać wprost w języku autonu i jego świata. W reżimie stabilnym spektrum operatora A+Bleży wystarczająco głęboko po lewej stronie płaszczyzny zespolonej, a jądro pamięci spełnia warunek „small gain”. Świat aktonu ma wtedy naturalną tendencję do uspokajania się: każde odkształcenie membrany, każdy akt, który chwilowo zwiększa koszt, uruchamia mechanizmy powrotu do stanów łagodniejszych. Oddźwięk pamięciowy jest obecny, ale ma charakter zanikający. Dawne konfiguracje są wspominane, ale nie przejmują sterowania nad bieżącą dynamiką. Z matematycznego punktu widzenia wszystkie trajektorie zanikają wykładniczo, a nierówność Grönwalla z pamięcią daje jednolite oszacowania normy w czasie. Reżim graniczny pojawia się wtedy, gdy warunek „small gain” jest spełniony na granicy lub gdy część bez pamięci jest tylko słabo tłumiąca. Całkowity efekt pamięci może wtedy dorównywać tłumieniu, ale go nie przekracza. Trajektorie mogą wykazywać długotrwałe oscylacje, powolny zanik lub bardzo wolny narost, zależnie od szczegółów jądra i struktury spektrum. Świat autonu w takim reżimie przypomina układ balansujący na granicy stabilności: echo przeszłości nie milknie szybko, lecz przez długi czas moduluje aktualne doświadczenie. Matematycznie nierówność Grönwalla z pamięcią daje oszacowania, w których funkcja E(t)może być ograniczona, ale bliska funkcji stałej, albo rosnąć powoli. Reżim niestabilny pojawia się wtedy, gdy pamięć jest zbyt silna w stosunku do tłumienia części bez pamięci. Warunek „small gain” nie jest spełniony, a całkowite wzmocnienie generowane przez operator pamięci przekracza to, co może zrekompensować struktura gradientowa i chwilowy oddźwięk. Trajektorie równania IFM mogą wtedy rosnąć wykładniczo lub ulegać narastającym oscylacjom. W języku IFM oznacza to, że auton wchodzi w pętlę, w której dawne 33 wzorce oddźwięku są tak silnie utrwalone, że każde nowe odkształcenie membrany wzmacnia dawną konfigurację zamiast ją wygładzać. Świat nie wraca do stanu łagodności, lecz może wchodzić w reżimy chronicznego napięcia. Opisane trzy reżimy nie są oceną psychologiczną, lecz klasyfikacją matematyczną. W reżimie stabilnym równanie IFM może opisywać zdrowo tłumiony oddźwięk, w reżimie granicznym – stany wysokiej wrażliwości i podatności na rezonanse, w reżimie niestabilnym – sytuacje, w których pamięć działa jak dodatnie sprzężenie zwrotne. W kolejnych częściach Tomu IV te abstrakcyjne rozróżnienia zostaną połączone z konkretnymi przykładami dynamiki autonu, w których wybór parametrów A,BiKreg pozwala modelować różne jakościowo style oddźwięku i ich wpływ na przebieg doświadczenia. 6 Nieliniowe równanie IFM z pamięcią – dobrze postawione 6.1 Nieliniowy człon F0(S): interpretacja −G−1 eff ∇Hi innych składników W równaniach IFM część „bez pamięci” dynamiki jest opisana przez nieliniowy człon, który będziemy oznaczać przez F0(S). W Tomie II pojawia się on w różnych postaciach, zależnie od tego, jakie efekty fizyczne i informacyjne są uwzględniane. Zawiera on w szczególności wkłady gradientowe pochodzące od funkcjonałów energii i kosztu, a także ewentualne człony sprężystości membrany oraz inne lokalne nieliniowości. Dla potrzeb analizy matematycznej przyjmujemy, że F0jest odwzorowaniem z przestrzeni Hilberta H w siebie, to znaczy F0:H→H. Z perspektywy geometrii gradientowej wygodnie jest rozpatrywać sytuację, gdy część F0(S)można podzielić na człon pochodzący od funkcjonału energii H(S)oraz człon pochodzący od innych lokalnych oddziaływań. Przykładowo, jeżeli na przestrzeni Hzdefiniowany jest funkcjonał energii H:H→R, który jest różniczkowalny w sensie Frécheta, to jego gradient ∇H(S) jest elementem H określonym przez warunek ∀Y∈H, ⟨∇H(S), Y ⟩H=DH(S)[Y], gdzie DH(S)[Y]oznacza pochodną kierunkową Hw punkcie Sw kierunku Y. Obecność operatora Geff opisującego efektywną „bezwładność” lub metrykę w przestrzeni pól prowadzi do członu typu Fgrad(S) = −G−1 eff ∇H(S), 34 który jest typowym gradientem z minusem względem metryki wyznaczonej przez Geff. Operator Geff może być symetryczny dodatnio określony i wówczas definiuje nowy iloczyn skalarny przez ⟨X, Y ⟩Geff =⟨GeffX, Y ⟩H. W takiej interpretacji człon −G−1 eff ∇Hjest gradientem funkcjonału Hw tej nowej metryce. Poza częścią gradientową F0(S)może zawierać także inne składniki, na przykład nieliniowe sprężyny, sprzężenia pomiędzy kanałami, ograniczenia nasycenia, a także efekty sterowania w pewnych uproszczonych modelach. Z punktu widzenia teorii istnienia i jednoznaczności rozwiązań najistotniejsze jest to, że F0jako całość spełnia pewne własności gładkości i wzrostu, o których mowa będzie w następnym podrozdziale. W dalszym ciągu tego rozdziału przyjmujemy, że F0jest zadanym nieliniowym odwzorowaniem H→H, które reprezentuje wszystkie lokalne (bezpamięciowe) efekty w równaniu IFM, z wyjątkiem oddźwięku chwilowego reprezentowanego przez operator Boraz oddźwięku z opóźnieniem opisanych przez miarę M(peg). 6.2 Założenia Lipschitzowskie dla F0 Aby móc stosować klasyczne twierdzenia o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych w przestrzeniach Banacha, potrzebujemy założeń typu Lipschitzowskiego dla nieliniowego operatora F0. W naszym kontekście Hjest przestrzenią Hilberta z normą ∥·∥, którą dla prostoty oznaczeń utożsamiamy z normą ∥·∥H. Operator F0nazywamy lokalnie Lipschitzowskim, jeżeli dla każdego promienia R > 0istnieje stała LRtaka, że dla wszystkich S1,S2wHo normach nie większych niż Rzachodzi oszacowanie ∥F0(S1)−F0(S2)∥ ≤ LR∥S1−S2∥. Oznacza to, że na każdej kuli w Hodwzorowanie F0zachowuje się nie gorzej niż liniowe z punktu widzenia zmiany wartości. W wielu zastosowaniach można dodatkowo uzyskać globalną Lipschitzowskość, gdy istnieje jedna stała L taka, że powyższa nierówność zachodzi dla wszystkich S1,S2∈H. Jednak dla równania IFM wystarczy lokalna Lipschitzowskość, aby zapewnić lokalne w czasie istnienie i jednoznaczność rozwiązań. Oprócz własności Lipschitzowskiej będziemy potrzebowali także założenia dotyczącego wzrostu F0. Powiemy, że F0ma wzrost co najwyżej liniowy, jeżeli istnieją stałe a≥0ib≥0takie, że dla wszystkich S∈Hmamy ∥F0(S)∥ ≤ a+b∥S∥. Warunek ten zapewni nam, że trajektoria rozwiązania nie może „wystrzelić” do nieskończoności w skończonym czasie, o ile inne składniki równania mają po35 dobny charakter. W typowych sytuacjach gradientowe człony postaci −G−1 eff ∇H mają właśnie wzrost nie szybszy niż liniowy, jeżeli Hjest odpowiednio dobrane. W dalszym ciągu przyjmujemy zatem dwa podstawowe założenia o F0: lokalną Lipschitzowskość oraz co najwyżej liniowy wzrost, z odpowiednimi stałymi LRia, b. 6.3 Równanie IFM z pamięcią i aktem Po wprowadzeniu operatora pamięci oraz nieliniowego członu F0możemy zapisać ogólne nieliniowe równanie IFM z pamięcią i aktem w postaci ˙ S(t) = F0(S(t)) + BS(t) +  t 0 Kreg(t−τ)S(τ)dτ +Buu(t), gdzie S(t)∈Hjest stanem pola informacji, Bjest operatorem oddźwięku chwilowego, Kreg opisuje jądro pamięci z opóźnieniem, Bujest operatorem „pisania” aktu, a u(t)jest funkcją sterującą, którą będziemy nazywać aktem. Zakładamy, że Bjest ograniczonym operatorem liniowym na H, jądro Kreg jest lokalnie całkowalne i definiuje operator Volterry na C([0, T]; H), a Bujest ograniczonym operatorem liniowym z pewnej przestrzeni sterowań U do H. Dla uproszczenia możemy przyjąć, że U jest również przestrzenią Hilberta lub skończenowymiarową przestrzenią wektorową, co odpowiada skończonej liczbie kanałów aktu. Aby równanie miało sens, musimy określić klasę dopuszczalnych sterowań u(t). Naturalnym wyborem jest U∞([0, T]; U), czyli przestrzeń funkcji ograniczonych i mierzalnych z [0, T]do U, z normą ∥u∥∞= sup t∈[0,T ]∥u(t)∥U. Jeżeli u należy do tej przestrzeni, to operator Buu(t) jest ograniczony w normie Hprzez iloczyn norm operatora Bui normy sterowania u. W takim ustawieniu równanie IFM jest równaniem różniczkowo–całkowym na przestrzeni C([0, T];H), w którym pochodna czasowa dotyczy S(t), a człon z pamięcią ma postać całki Volterry. 6.4 Rozwiązania mild i operator Picarda W klasycznej teorii semigrup stosuje się pojęcie rozwiązania mild, aby opisać trajektorie, które niekoniecznie są różniczkowalne w sensie klasycznym, ale spełniają równanie w sensie zintegrowanym. W naszym przypadku wygodnie jest od razu przejść do formy całkowej, nie wprowadzając jawnie semigrupy generowanej przez liniową część równania. Mówimy, że ciągła funkcja S: [0, T]→Hjest rozwiązaniem mild równania IFM z pamięcią i aktem, jeśli spełnia równanie całkowe 36 S(t) = S0+  t 0F0(S(s)) + BS(s) +  s 0 Kreg(s−τ)S(τ)dτ +Buu(s)ds, dla wszystkich t∈[0, T], gdzie S0∈Hjest zadanym stanem początkowym. Aby zastosować twierdzenie Banacha o punkcie stałym i uzyskać istnienie i jednoznaczność takiego rozwiązania, definiujemy operator Picarda na przestrzeni XT=C([0, T];H). Dla zadanych S0iudefiniujemy odwzorowanie (TTS)(t) = S0+  t 0F0(S(s)) + BS(s) +  s 0 Kreg(s−τ)S(τ)dτ +Buu(s)ds. Rozwiązanie mild jest więc punktem stałym operatora TT, to znaczy funkcją S∈XT, dla której zachodzi S=TTS. Przestrzeń XTjest przestrzenią Banacha z normą supremum ∥S∥XT= sup t∈[0,T ]∥S(t)∥. W kolejnych podrozdziałach pokażemy, że przy odpowiednich założeniach na F0,B,K(peg)oraz Buoperator TTjest kontrakcją na odpowiednio dobranej kuli w XTdla dostatecznie małego T. Z twierdzenia o punkcie stałym Banacha wyniknie wówczas istnienie i jednoznaczność rozwiązania mild w krótkim czasie. Następnie będziemy przedłużać rozwiązanie, pokazując również, że nie dochodzi do wybuchu w czasie skończonym. 6.5 Twierdzenie IFM–well–posedness Sformułujemy teraz twierdzenie, które precyzuje, w jakich warunkach równanie IFM z pamięcią i aktem jest dobrze postawione, to znaczy posiada jednoznaczne rozwiązanie mild dla każdego stanu początkowego S0i odpowiednio regularnego sterowania u, a rozwiązanie to nie ulega wybuchowi w czasie skończonym. Załóżmy, że F0:H→Hjest lokalnie Lipschitzowski i ma wzrost co najwyżej liniowy, BiBusą ograniczonymi operatorami liniowymi, a jądro pamięci Kreg jest lokalnie całkowalne i definiuje ograniczony operator Volterry na C([0, T ];H) dla każdego T > 0. Zakładamy także, że sterowanie u należy do U∞([0, T];U) dla każdego T, czyli jest ograniczone na dowolnym odcinku czasu. Twierdzenie (IFM–well–posedness). Dla każdego S0∈Hi każdego ograniczonego sterowania u istnieje dokładnie jedno rozwiązanie mildS: [0,∞)→Hrównania IFM z pamięcią i aktem. Rozwiązanie to zależy ciągle od stanu początkowego i sterowania, a jego norma pozostaje skończona na każdym skończonym przedziale czasu, to znaczy dla każdego T > 0istnieje stała CTtaka, że sup t∈[0,T ]∥S(t)∥ ≤ CT. 37 W szczególności nie występuje wybuch w czasie skończonym. Szkic dowodu. W pierwszym kroku rozważamy równanie na krótkim przedziale [0, T]. Dla wybranego promienia R > 0i odpowiednio dobranego T > 0definiujemy kulę BR={S∈XT:∥S∥XT≤R}. Z lokalnej Lipschitzowskości F0wynika, że na BRistnieje stała LRtaka, że dla wszystkich S1,S2∈BRmamy ∥F0(S1(s)) −F0(S2(s))∥ ≤ LR∥S1(s)−S2(s)∥. Z ograniczoności B, operatora Volterry z jądrem Kreg oraz Buotrzymujemy oszacowania ∥BS(s)∥≤∥B∥∥S(s)∥,     s 0 Kreg(s−τ)S(τ)dτ  ≤KT∥S∥XT, ∥Buu(s)∥≤∥Bu∥∥u∥∞. Łącząc te oszacowania i całkując po s od 0 do t, uzyskujemy nierówność ∥(TTS)(t)∥≤∥S0∥+T(a+bR) + T∥B∥R+T KTR+T∥Bu∥∥u∥∞, gdzie aibpochodzą z oszacowania wzrostu F0. Wybierając Rdostatecznie duże oraz następnie Tna tyle małe, aby prawa strona była nie większa niż R dla wszystkich t∈[0, T], zapewniamy, że obraz kuli BRprzez TTjest zawarty wBR. Następnie rozważamy różnicę (TTS1)(t)−(TTS2)(t)dla S1, S2∈BRi używamy Lipschitzowskości F0oraz ograniczoności pozostałych operatorów, aby uzyskać oszacowanie ∥(TTS1)(t)−(TTS2)(t)∥ ≤ T(LR+∥B∥+KT)∥S1−S2∥XT. Jeżeli Tjest na tyle małe, że qT=T(LR+∥B∥+KT)<1, to operator TTjest ścisłą kontrakcją na BRz czynnikiem qT. Z twierdzenia o punkcie stałym Banacha wynika istnienie i jednoznaczność punktu stałego S∈BR, a więc rozwiązania mild na [0, T]. Aby uzyskać rozwiązanie na całej półprostej [0,∞), powtarzamy tę konstrukcję na kolejnych przedziałach[T, 2T],[2T, 3T]i tak dalej, traktując S(T) jako nowy stan początkowy. Wzrost co najwyżej liniowy F0oraz ograniczoność pozostałych członów, połączone z nierównością Grönwalla, pozwalają wykazać, 38 że norma S(t)nie może stać się nieskończona w skończonym czasie. W efekcie możemy przedłużać rozwiązanie w nieskończoność i nie dochodzi do wybuchu. Ciągłość zależności od stanu początkowego oraz sterowania wynika z podobnych oszacowań Lipschitzowskich, stosowanych do różnicy dwóch rozwiązań odpowiadających różnym S0iu. To kończy szkic dowodu twierdzenia. 6.6 Półprzepływ IFM i jego własności Równanie IFM z pamięcią i aktem definiuje, dla ustalonego sterowania u, odwzorowanie, które każdemu stanowi początkowemu S0przypisuje trajektorię S(t;S0, u). Dla każdego t≥0możemy zatem zdefiniować odwzorowanie Φt:H→H, Φt(S0) = S(t;S0, u). Rodzinę (Φt)t≥0możemy traktować jako półprzepływ parametrycznie zależny od sterowania u. Dla ustalonego u odwzorowania te spełniają dwie podstawowe własności: po pierwsze, Φ0jest identycznością na H, to znaczy Φ0(S0) = S0. Po drugie, dla wszystkich s, t ≥0zachodzi własność półgrupowa Φt+s(S0)=Φt(Φs(S0)), pod warunkiem, że sterowanie u jest traktowane jako dane globalne na [0,∞), tak że równanie na odcinku [s, s +t]jest tym samym równaniem co na [0, t], ale z przesuniętą w czasie trajektorią S. W praktyce oznacza to, że jeśli zaczniemy ewolucję od S0i pozwolimy jej biec przez czas s, a następnie potraktujemy stan S(s;S0, u)jako nowy stan początkowy i znów pozwolimy układowi ewoluować przez czas t pod tym samym sterowaniem u, to trafimy do tego samego punktu, co przy bezpośrednim rozważeniu czasu t+s. Ciągłość odwzorowań Φtwynika z ciągłej zależności rozwiązania od stanu początkowego. Dokładniej, dla każdego T > 0istnieje stała CTtaka, że dla wszystkich S0, S0′∈Hi wszystkich t∈[0, T]zachodzi ∥Φt(S0)−Φt(S′ 0)∥ ≤ CT∥S0−S′ 0∥. Oznacza to, że półprzepływ jest Lipschitzowski na skończonych odcinkach czasu. W wielu zastosowaniach IFM istotne jest także to, że normy CTrosną co najwyżej wykładniczo z T, co jest konsekwencją liniowego wzrostu F0i temperowanej pamięci. Półprzepływ IFM jest podstawowym narzędziem do analizy zjawisk takich jak lokalna stabilność rozwiązań stacjonarnych, powstawanie nawyków jako atraktorów oraz porównywanie różnych strategii sterowania u(t). W kolejnych rozdziałach Tomu IV użyjemy go do sformułowania bardziej zaawansowanych twierdzeń o geometrii oddźwięku i granicach typu Lindblada. 39 poziomie jąder przestrzennych, ale dla intuicji można myśleć, że Mab(ξ, ξ′;E) mierzy wpływ wszystkich opóźnień σ∈Ena oddźwięk w punkcie ξw kanale a, pochodzący od źródeł w punkcie ξ′w kanale b. Formalna definicja jest następująca. Dla każdej pary kanałów a, b definiujemy miarę operatorową Mab na [0,∞)z wartościami w przestrzeni liniowych operatorów z Hbdo Ha. Miara ta każdemu borelowskiemu zbiorowi E⊂[0,∞) przypisuje operator Mab(E)tak, aby odwzorowanie E7→ Mab(E)było σ– addytywne w sensie normy operatorowej. To oznacza, że jeśli (Ej)jjest przeliczalną rodziną zbiorów borelowskich parami rozłącznych, to zachodzi równość Mab∞ [ j=1 Ej= ∞ X j=1 Mab(Ej), a szereg po prawej stronie jest zbieżny w normie operatorowej. Za pomocą takich miar operatorowych możemy zapisać część pamięciową równania KGO w postaci (MS)a(t) = X b  [0,∞) Mab(dσ)Sb(t−σ), gdzie całka po σjest rozumiana w sensie Bochnera względem miary operatorowej Mab. Przy odpowiednich założeniach o skończonej wariacji Mab na skończonych przedziałach [0, T]całka ta jest dobrze określona dla trajektorii Sb(·)ciągłych w czasie. To znaczy: najpierw definiujemy całkę dla funkcji schodkowych f(σ) = Pjxj1Ej(σ)przez  f(σ)Mab(dσ) := PjMab(Ej)xj, a następnie dla funkcji ogólnych przez domknięcie w normie, przy założeniu skończonej wariacji ∥Mab∥([0, T]) <∞na każdym przedziale [0, T]. W szczególności zachodzi oszacowanie       [0,T ] f(σ)Mab(dσ)    ≤  [0,T ]∥f(σ)∥∥Mab∥(dσ). Gdy Mab} jest absolutnie ciągła względem miary Lebesgue’a, istnieje jądro Kab(σ)w przestrzeni operatorów z Hbdo Ha, takie że Mab(E) =  E Kab(σ)dσ. Wtedy formalizm miar operatorowych redukuje się do dobrze znanego formalizmu jąder pamięci zależnych od opóźnienia. Jednak ogólne podejście przez Mab pozwala dodatkowo uwzględnić oddźwięk chwilowy jako atom miary w punkcie σ= 0 oraz bardziej subtelne rozkłady opóźnień. 8.4 Rozkład Mabna część chwilową i regularną Podobnie jak w przypadku IFM, miarę operatorową Mab można naturalnie rozłożyć na część atomową w zerze i część regularną rozłożoną na (0,∞). Definiujemy operator 46 Bab =Mab({0}), który jest operatorem liniowym z H_b do H_a i można go interpretować jako wagę oddźwięku chwilowego pomiędzy kanałami bia. Następnie wprowadzamy miarę regularną Mreg ab przez wzór Mreg ab (E) = Mab(E\{0}). Miara Mreg ab ma tę własność, że nie ma atomu w zerze, to znaczy Mreg ab ({0}) = 0. Dla dowolnego zbioru borelowskiego E⊂[0,∞)mamy zatem rozkład Mab(E) = Bab δ0(E) + Mreg ab (E), gdzie δ0jest miarą Diraca skoncentrowaną w zerze, a iloczyn Bab δ0(E)oznacza Bab wtedy, gdy 0należy do E, oraz operator zerowy w przeciwnym przypadku. Podstawiając ten rozkład do wzoru na operator pamięci, otrzymujemy (MS)a(t) = X b  [0,∞) Mab(dσ)Sb(t−σ) =X bBab Sb(t) +  (0,∞) Mreg ab (dσ)Sb(t−σ). Widzimy więc, że pełny oddźwięk w kanale a jest sumą po kanałach b złożoną z dwóch części: oddźwięku chwilowego Bab S_b(t) oraz oddźwięku z opóźnieniem, którego intensywność jest określona przez miarę Mreg ab . 8.5 Definicja oddźwięku chwilowego KGO Na tej podstawie możemy wprowadzić ścisłą definicję oddźwięku chwilowego w KGO. Dla ustalonej pary kanałów a, b operator Bab zHbdo Hanazywamy oddźwiękiem chwilowym KGO z kanału b do kanału a. W reprezentacji przestrzennej, gdy HbiHasą przestrzeniami L2(Ξ, µ)z odpowiednimi jądrami, operator Bab posiada jądro Bab(ξ, ξ′)i dla każdej funkcji Sb∈Hbzachodzi (BabSb)(ξ) =  Ξ Bab(ξ, ξ′)Sb(ξ′)dµ(ξ′). Oddźwięk chwilowy opisuje zatem natychmiastową reakcję pola w kanale a na stan pola w kanale bw tej samej chwili t, bez żadnego opóźnienia w czasie. Suma po wszystkich kanałach b daje całkowity oddźwięk chwilowy w kanale a. W szczególnym przypadku, gdy oddźwięk chwilowy jest diagonalny w przestrzeni kanałów, operator B_{ab} jest równy operatorowi zerowemu dla a=b, a jedynie Baa odgrywa rolę. Mówimy wtedy, że nie ma natychmiastowych sprzężeń pomiędzy kanałami na poziomie oddźwięku chwilowego, a wszystkie takie efekty są przeniesione do części z opóźnieniem lub do części lokalnej równania KGO. W ogólniejszych sytuacjach Bab może być niezerowy także dla a=b, co 47 oznacza, że natychmiastowy stan w jednym kanale może oddziaływać bezpośrednio na inny kanał, na przykład natychmiastowe sprzężenia między ciałem, głosem i myślami. 8.6 Oddźwięk lokalny i nielokalny w przestrzeni Ξ Operator Bab może być również lokalny lub nielokalny w przestrzeni konfiguracji Ξ. Aby to wyjaśnić, rozważamy jądro Bab(ξ, ξ′). Mówimy, że oddźwięk chwilowy jest lokalny w Ξ, jeśli Bab(ξ, ξ′)jest skoncentrowane w pobliżu przekątnej ξ=ξ′, co w idealnym przypadku odpowiada formalnemu wyrażeniu Bab(ξ, ξ′) = βab(ξ)δ(ξ−ξ′). Wtedy dla pola Sbzachodzi przybliżona równość (BabSb)(ξ)≈βab(ξ)Sb(ξ), a oddźwięk chwilowy w punkcie ξzależy głównie od stanu pola w tym samym punkcie. W fizycznych modelach KGO jest to odpowiednik lokalnego oddziaływania, w którym struktury odpowiedzialne za oddźwięk umiejscowione są w tych samych regionach przestrzeni, co pola, na które reagują. Oddźwięk chwilowy jest nielokalny, gdy jądro Bab(ξ, ξ′)ma znaczny rozrzut poza przekątną. W takim przypadku wartość (BabSb)(ξ)zależy istotnie także od Sb(ξ′)dla ξ′oddalonych od ξ. Nielokalność taka może modelować na przykład natychmiastowe sprzężenia w panaktorium przenoszone przez bardzo szybkie kanały, takie jak pola nośne informacji między odległymi regionami. Analogiczne rozróżnienie lokalności i nielokalności można wprowadzić dla części z opóźnieniem Mreg ab . Jeżeli miara ta ma jądra Mreg ab (ξ, ξ′;dσ)skoncentrowane wokół ξ=ξ′, mówimy o lokalnym oddźwięku z opóźnieniem. Jeżeli natomiast jądra są rozproszone w przestrzeni Ξ, mamy oddźwięk nielokalny również w warstwie pamięci. Te dwa typy zachowania mogą się kompensować lub wzmacniać w różnych reżimach dynamiki KGO. 8.7 Oddźwięk typu „efekt motyla” jako ogon Mabreg Oddźwięk typu efekt motyla w KGO można zdefiniować poprzez zachowanie ogonów miary Mreg ab dla dużych opóźnień σ. Dla ustalonego T > 0rozważamy ogon miary pomiędzy kanałami a, b zdefiniowany przez Mog ab (T) = Mreg ab (T, ∞). Jego norma operatorowa mog ab(T) = ∥Mog ab (T)∥ mierzy łączną „siłę” oddźwięku z opóźnieniami większymi niż Tpomiędzy kanałami bia. Jeżeli mog ab(T)szybko maleje do zera, na przykład wykładniczo wT, to bardzo dawna przeszłość ma znikomy wpływ na aktualny stan w kanale 48 ai efekt motyla jest słaby. Jeżeli natomiast mog ab(T)maleje powoli, na przykład potęgowo, dawne zdarzenia mogą mieć zauważalny wpływ na aktualny stan nawet po bardzo długim czasie. Z punktu widzenia KGO efekt motyla pojawia się tam, gdzie kombinacja nielokalności w przestrzeni Ξoraz ciężkich ogonów Mreg ab zapewnia, że niewielkie zaburzenia w jednym regionie panaktorium mogą po długim czasie wysoko wzmocnić się w innych regionach. W niniejszym tomie formalizujemy to przez odpowiednie warunki na miary Mreg ab i pokazujemy, że przy temperowanej pamięci ogony te są jednak całkowicie kontrolowane, co odgrywa zasadniczą rolę w twierdzeniach o stabilności i granicach typu Lindblada. 9 Temperowana pamięć KGO i ogony frakcyjne 9.1 .Temperowanie pamięci: warunek  eωσd∥Mreg∥<∞ Aby zapewnić dobrą kontrolę nad wpływem bardzo odległej przeszłości na aktualny stan KGO, wprowadzamy pojęcie pamięci temperowanej. W przypadku KGO definicja ta jest naturalnym rozszerzeniem pojęcia pamięci temperowanej dla IFM. Dla każdej pary kanałów a, b rozważamy całkowitą wariację miary Mreg ab , oznaczaną przez ∥Mreg ab ∥. Jest to miara nieujemna na [0,∞), która przypisuje każdemu borlowskiemu zbiorowi Ewartość liczbową ∥Mreg ab ∥(E), będącą górną granicą sum norm operatorowych Mreg ab (Ej)po wszystkich rozkładach Ena rozłączne zbiory Ej. Pamięć pomiędzy kanałami a, b nazywamy temperowaną wykładniczo z parametrem ω > 0, jeżeli zachodzi warunek  ∞ 0 eωσ d∥Mreg ab ∥(σ)<∞. Jeżeli warunek ten jest spełniony dla wszystkich par kanałów a, b z pewnym wspólnym parametrem ω, mówimy, że panaktorium KGO ma pamięć temperowaną wykładniczo. W praktyce oznacza to, że ogony miar Mreg ab są co najmniej tak lekkie, że ich „ważone” całki z wagą eωσ są skończone. 9.2 Wykładnicze oszacowanie ogona Fundamentalną konsekwencją temperowania pamięci jest wykładnicze oszacowanie ogonów Mreg ab . Twierdzenie ma tę samą strukturę, co w IFM, ale teraz jest formułowane dla każdej pary kanałów. Twierdzenie. Jeżeli dla pewnego ω > 0pamięć pomiędzy kanałami a, b jest temperowana, to istnieje stała Cab taka, że dla każdego T > 0zachodzi oszacowanie ∥Mreg ab (T, ∞)∥ ≤ Cab e−ωT . Szkic dowodu. Zaczynamy od zauważenia, że dla T > 0mamy 49 ∥Mreg ab (T, ∞)∥=  (T,∞) 1d∥Mreg ab ∥(σ). Dla σ > T zachodzi nierówność 1≤e−ωT eωσ. Możemy więc napisać ∥Mreg ab (T, ∞)∥ ≤  (T,∞) e−ωT eωσ d∥Mreg ab ∥(σ) = e−ωT  (T,∞) eωσ d∥Mreg ab ∥(σ). Ostatnia całka jest nie większa niż całka po całej półprostej, czyli przez założenie temperowania jest ograniczona pewną stałą Cab. Otrzymujemy więc ∥Mreg ab (T, ∞)∥ ≤ Cab e−ωT , co kończy dowód. Oszacowanie to pokazuje, że wpływ opóźnień większych niż Tmaleje przynajmniej wykładniczo z T. Oznacza to, że przy temperowanej pamięci bardzo odległa przeszłość jest silnie tłumiona, co jest kluczowe dla stabilności rozwiązań KGO oraz dla granic typu Lindblada omawianych w późniejszych rozdziałach. 9.3 Oddźwięk motylkowy i oszacowanie Ce−ωT Oszacowanie ogona ma bezpośrednią interpretację w kontekście oddźwięku typu efekt motyla. Przypomnijmy, że mog ab(T) = ∥Mreg ab ((T, ∞))∥mierzy siłę oddźwięku z opóźnieniami większymi niż T. Z twierdzenia wynika, że dla pamięci temperowanej mamy mog ab(T)≤Cab e−ωT . Fizycznie oznacza to, że choć drobne zdarzenia w przeszłości odległej o T jednostek czasu mogą wciąż wywierać wpływ na aktualny stan, to ich całkowita siła maleje wykładniczo w T. Efekt motyla jest więc ograniczony: nie występują nieskończenie długo trwające wzmocnienia wynikające z bardzo starych zaburzeń, a dominującą rolę odgrywa historia z ostatnich kilku charakterystycznych czasów pamięci. W połączeniu z lokalnością lub nielokalnością w przestrzeni Ξoszacowanie to pozwala precyzyjniej rozumieć, kiedy panaktorium może być podatne na złożone zjawiska zbiorowego oddźwięku, a kiedy jest od nich wolne. Jeśli ogony pamięci są wykładniczo małe, a operatory Bab iMreg ab są odpowiednio małe w normie, oddźwięk motylkowy jest fenomenem krótkodystansowym w czasie, nawet jeśli jest przestrzennie nielokalny. 9.4 Jądra frakcyjne typu γ Nie wszystkie pamięci KGO mają profile, które są najlepiej opisywane przez zwykłe jądra wykładnicze. W wielu sytuacjach bardziej adekwatny jest model, 50 w którym pamięć ma długi ogon potęgowy, modulowany wykładniczym tłumieniem. Takie jądra nazywa się często frakcyjnymi, ponieważ odpowiadają one równaniom z pochodnymi ułamkowymi w czasie. Typowym przykładem jest jądro Kγ(σ) = cγσ−1−γ/2e−µσ, σ > 0, gdzie γjest parametrem z przedziału (0,2),μjest dodatnią stałą tłumienia, zaś cγjest stałą normalizacyjną. Zachowanie Kγ(σ)dla małych σjest bardziej złożone i wymaga odpowiedniej regularizacji, ale dla średnich i dużych opóźnień σjądro to charakteryzuje się powolnym, potęgowym spadkiem σ−1−γ/2, modulowanym przez czynnik e^{−μσ}, który zapewnia ostateczne wykładnicze wygaszenie. Miara operatorowa Mreg z takim jądrem można zdefiniować przez zwykłą całkę Mreg(E) =  E Kγ(σ)dσ, przy odpowiednim rozumieniu całki operatorowej, jeśli Kγprzyjmuje wartości w przestrzeni operatorów. W praktyce często rozważa się skalarną funkcję Kγi łączy ją z ustalonym operatorem przestrzennym, co upraszcza analizę. 9.5 Twierdzenie: „γ–pamięć” jest temperowana, ale ma długi ogon Jedną z kluczowych własności jąder frakcyjnych Kγjest to, że przy dodatnim tłumieniu µ > 0pamięć jest temperowana w sensie wykładniczym, choć jej ogony są bardzo długie na skalach czasowych mniejszych niż 1/µ. Twierdzenie. Niech Kγ(σ) = cγσ−1−γ/2e−µσdlaσ > 0, z0< γ < 2iµ > 0. Wówczas miara operatorowa Mreg o jądrze Kγjest temperowana wykładniczo dla każdego ω∈ (0, µ). Jednocześnie ogon  ∞ T Kγ(σ)dσ maleje jak iloczyn potęgi i funkcji wykładniczej, to znaczy istnieje stała ˜cγ taka, że dla dużych T zachodzi przybliżenie  ∞ T Kγ(σ)dσ ∼˜cγT−γ/2e−µT . Szkic dowodu. Temperowanie wynika z oszacowania całki  ∞ 0 eωσ |Kγ(σ)|dσ =cγ  ∞ 0 σ−1−γ/2e−(µ−ω)σdσ, 51 które jest skończone dla ω < µ, ponieważ całka ta jest w istocie uogólnioną funkcją gamma z parametrem dodatnim. Z kolei asymptotyka ogona może być wyznaczona standardowymi metodami analizy asymptotycznej, wykorzystując rozwinięcia Laplace’a dla funkcji o ogonie potęgowym modulowanym wykładniczo. Wynik pokazuje, że dla dużych Togon maleje jak potęga T−γ/2pomnożona przez e−µT . Interpretacja tego twierdzenia jest następująca. Dla czasów rzędu kilku jednostek 1/µ pamięć zachowuje się jak jądro potęgowe i ma długi ogon, co oznacza, że przeszłość sprzed wielu charakterystycznych czasów oddźwięku wciąż ma istotny wpływ. Dla czasów znacznie większych niż 1/µ dominującą rolę odgrywa jednak czynnik e−µσ, który zapewnia temperowanie pamięci i wykładniczą kontrolę ogonów w sensie poprzednich podrozdziałów. 9.6 Interpretacja w KGO i IFM: długo żyjące, lecz gasnące ciągi przywiązania Jądra frakcyjne typu Kγdobrze oddają fenomen długo żyjących, lecz w końcu gasnących ciągów przywiązania w panaktorium. Z perspektywy IFM ciągi przywiązania to struktury w polu informacji, które utrzymują się przez dłuższy czas i wpływają na oddźwięk w kolejnych momentach. W KGO te struktury pojawiają się jako długotrwałe konfiguracje panaktorium, których wpływ na bieżący oddźwięk jest modulowany przez pamięć Mreg. Jeżeli pamięć w KGO ma profil odpowiadający jądrze Kγzµ > 0, to nawet niewielka zmiana w polu w kanale b przyczepiona do pewnego ciągu przywiązania może wywoływać wyraźny oddźwięk w kanale a jeszcze przez długi czas. Parametr γokreśla, jak wolno ten wpływ maleje w reżimie średnich czasów. Mniejsze γoznacza dłuższy „ogon frakcyjny” i silniejsze powiązanie bieżącego stanu z dawną historią. Jednocześnie dodatni parametr µzapewnia, że bardzo odległa przeszłość jest w końcu zapominana wykładniczo, co oznacza, że ciągi przywiązania nie są wieczne. Nawet jeśli akton lub panaktorium przez długi czas przebywa w pewnym nawyku, to przy wystarczająco długim horyzoncie czasowym wpływ tego nawyku na przyszłe oddźwięki staje się zaniedbywalny, chyba że zostanie on ponownie wzmocniony przez nowe akty i nowe sprzężenia. W ten sposób pamięć frakcyjna temperowana wykładniczo opisuje szeroką klasę zjawisk z pogranicza trwałych nawyków i zdolności do przeorganizowania się. Z jednej strony zapewnia długą korelację w czasie, niezbędną do powstawania nawyków, ścieżek i wzorców zachowania. Z drugiej strony gwarantuje, że nawet bardzo silne nawyki nie blokują całkowicie dynamiki panaktorium, ponieważ ich oddźwięk w końcu ulega wygaszeniu w skali 1/µ. W połączeniu z analizą stabilności i geometrii oddźwięku rozwijaną w kolejnych częściach Tomu IV daje to spójny obraz KGO jako teorii, w której nawyki i ciągi przywiązania są strukturami dynamicznymi, a nie statycznymi więzieniami dla pola informacji. 52 Część IV Pamięć i oddźwięk w KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 6 i 17) 10 Liniowe KGO z pamięcią – równania dobrze postawione 10.1 Przestrzeń pól H=LaL2(Ξ) i operator A(część Schrödingera) W kwantowej geometrii oddźwięku panaktorium jest opisywane przez rodzinę kanałów indeksowanych przez a. Dla każdego kanału amamy pole Sa(ξ, t)zdefiniowane na przestrzeni konfiguracji Ξ, z miarą μopisującą geometryczną i informacyjną strukturę tej przestrzeni. Naturalnym miejscem dla takich pól jest przestrzeń Hilberta Ha=L2(Ξ, µ), z iloczynem skalarnym ⟨S(1) a, S(2) a⟩Ha=  Ξ S(1) a(ξ)∗S(2) a(ξ)dµ(ξ). Cały stan panaktorium w danej chwili tjest wektorem S(t)=(Sa(t))a, gdzie każdy składnik Sa(t)należy do Ha. Przestrzeń Hilberta Hdla całego panaktorium jest sumą bezpośrednią H=M a Ha. Iloczyn skalarny w Hjest sumą iloczynów składowych, to znaczy ⟨S(1), S(2)⟩H=X a⟨S(1) a, S(2) a⟩Ha. W Tomie III część Schrödingera równania KGO ma postać zbliżoną do równania ˙ Sa=−iˆ HaSa, gdzie ˆ Hajest samosprzężonym operatorem na Ha. Z punktu widzenia abstrakcyjnej teorii semigrup łączymy wszystkie kanały w jeden operator liniowy Adziałający na H. Definiujemy operator Ao dziedzinie D(A)⊂Hprzez 53 (AS)a=−iˆ HaSa, gdzie Snależy do dziedziny D(A), na której każde Sależy w dziedzinie ˆ Ha. Zakładamy, że każdy ˆ Hajest samosprzężony, co oznacza, że Ajest również samosprzężony na H. Wtedy Ageneruje jedno-parametrową unitarną grupę t7→ U(t)na H, daną przez U(t) = etA, która opisuje część unitarnej, hamiltonowskiej ewolucji panaktorium bez pamięci. W szczególności U(t) jest operatorem unitarnym dla każdego t∈R, a odwzorowanie t7→ U(t)S0jest silnie ciągłe dla każdego S0∈H. 10.2 Liniowy człon pamięci: jądra K(t)∈L(H) Do części hamiltonowskiej dochodzi liniowy człon pamięciowy, który opisuje wpływ przeszłych stanów panaktorium na bieżącą ewolucję. W rozdziałach o pamięci w KGO tego rodzaju efekty były zapisywane w postaci jąder Kab(ξ, t;ξ′, τ) zależnych od dwóch momentów czasu t, τ i dwóch punktów przestrzeni konfiguracji ξ, ξ′. W języku abstrakcyjnym odzyskujemy tę strukturę w postaci rodziny operatorów K(t)działających na H. Zakładamy, że dla każdego czasu s≥0dany jest operator K(s)∈ L(H), czyli ograniczony operator liniowy na H, reprezentujący wpływ opóźnienia s na zmianę stanu. W wielu sytuacjach K(s)może być zapisany bardziej szczegółowo jako macierz operatorów Kab(s):Hb→H_a, ale w tym rozdziale wystarczy traktować K(s)jako jeden operator na H. Funkcję s7→ K(s)przyjmujemy za lokalnie całkowalną w sensie normy operatorowej, to znaczy dla każdego T > 0zachodzi  T 0∥K(s)∥op ds < ∞. Dzięki temu można zdefiniować operator Volterry na przestrzeni trajektorii C([0, T];H)poprzez (VS)(t) =  t 0 K(t−τ)S(τ)dτ. Jest to liniowy operator ograniczony na C([0, T];H), co wynika z oszacowania ∥(VS)(t)∥ ≤  t 0∥K(t−τ)∥op ∥S(τ)∥dτ ≤  T 0∥K(s)∥op ds∥S∥C([0,T ];H). Oznacza to, że pamięć jest liniowym operatorem Volterry, który dodaje do lokalnej dynamiki A wpływ przeszłości ważony operatorem K. 54 10.3 Równanie KGO w postaci abstrakcyjnej Liniową dynamikę KGO z pamięcią można zatem zapisać jako abstrakcyjne równanie różniczkowe w przestrzeni Hilberta Hw postaci ˙ S(t) = AS(t) +  t 0 K(t−τ)S(τ)dτ, z zadanym stanem początkowym S(0) = S0∈H. Jest to równanie typu Volterry, ponieważ całka po Kdotyczy wyłącznie przeszłości, to znaczy wartości S(τ)zτ≤t. Operator Areprezentuje część Schrödingera, natomiast operator pamięci wprowadza korektę do dynamiki wynikającą z oddźwięku z opóźnieniem, zgodnie z interpretacją rozwiniętą w poprzednich rozdziałach. 10.4 Rozwiązania mild na C([0, T]; H) Tak jak w przypadku IFM, wygodnie jest rozpatrywać rozwiązania mild równania KGO. Ponieważ operator Ageneruje unitarną grupę U(t)na H, można skorzystać z formuły wariacji stałych. Mnożąc równanie z lewej strony przez U(t−s)i całkując po s, otrzymuje się postać zintegrowaną. Rozwiązanie mild na przedziale [0, T]definiujemy jako funkcję S∈C([0, T];H), która spełnia równanie S(t) = U(t)S0+  t 0 U(t−s)  s 0 K(s−τ)S(τ)dτds, dla każdego t∈[0, T]. Powyższy wzór można uzyskać formalnie, rozwiązując część bez pamięci ˙ S=AS za pomocą U(t)oraz traktując człon pamięciowy jako wymuszenie zewnętrzne. Całka podwójna może być przeorganizowana za pomocą znanej techniki Fubiniego, co czasem prowadzi do uproszczonych postaci równania mild, ale dla naszych celów wystarczy ta forma. Ważne jest, że wyrażenie po prawej stronie można traktować jako wartość operatora Picarda działającego na przestrzeni C([0, T];H). Właśnie ta obserwacja umożliwi zastosowanie twierdzenia o punkcie stałym. Wygodnie jest zdefiniować operator TTnaC([0, T];H)następująco. Dla danej trajektorii S(·)definiujemy nową trajektorię (TTS)(t)przez wzór (TTS)(t) = U(t)S0+  t 0 U(t−s)  s 0 K(s−τ)S(τ)dτds. Rozwiązanie mild równania KGO jest więc punktem stałym operatora TT, czyli trajektorią Sspełniającą S=TTS. 55 ⟨S(1), S(2)⟩H=X a⟨S(1) a, S(2) a⟩Ha. Z tego punktu widzenia panaktorium jest po prostu nieskończenie wymiarową zespoloną przestrzenią Hilberta, która jest liniowa i nie posiada żadnych z góry wyróżnionych punktów poza wektorem zerowym. Jednak dla potrzeb geometrii oddźwięku wygodnie jest traktować Hnie tylko jako przestrzeń liniową, ale jako rozmaitość: każdy wektor S∈Hjest punktem przestrzeni, a wektory w Hmożna traktować jako wektory styczne w tym punkcie. Ponieważ Hjest liniowe, identyfikacja przestrzeni stycznej TSHz samą przestrzenią H jest naturalna, ale mimo tej prostoty można na Hzdefiniować bogatą strukturę geometryczną. Rozmaitość Kählera to szczególny typ rozmaitości zespolonej, wyposażonej w metrykę Riemanna g oraz formę symplektyczną ω, które są ze sobą zgodne przez operator J będący strukturą zespoloną. W przypadku panaktorium Hwszystkie te struktury wynikają bezpośrednio z zespolonego iloczynu skalarnego. W kolejnych podrozdziałach zdefiniujemy odpowiednie obiekty i pokażemy, że tworzą one strukturę Kählera. 12.2 Struktura rzeczywista H_R, metryka g i forma ω Aby przejść od zespolonej przestrzeni Hilberta H do obiektu o strukturze Kählera, rozkładamy Hna część rzeczywistą i urojoną. Formalnie traktujemy H jako przestrzeń wektorową nad ciałem liczb rzeczywistych, co oznaczamy przez HR. Wektor S∈Hmożna zawsze zapisać w postaci S=S1+iS2, gdzie S1iS2są elementami HR, a iloczyn skalarny ⟨·,·⟩Hdaje się rozpisać na część rzeczywistą i urojoną. Na HRdefiniujemy metrykę Riemanna g przez wzór g(X, Y ) = Re⟨X, Y ⟩H, dla wszystkich X, Y ∈HR. Metryka ta jest dodatnio określona i symetryczna, co wynika bezpośrednio z własności iloczynu skalarnego. Innymi słowy, długość wektora Xw sensie gjest równa normie Hilberta ∥X∥2=g(X, X) = ⟨X, X⟩H. Równocześnie definiujemy na HRdwuliniową formę antysymetryczną ωprzez wzór ω(X, Y ) = Im⟨X, Y ⟩H. Forma ωjest antysymetryczna, to znaczy ω(X, Y ) = −ω(Y, X), oraz jest stała na całej przestrzeni, ponieważ iloczyn skalarny nie zależy od punktu S, w którym rozpatrujemy wektory styczne. W przestrzeni liniowej taka stała forma 62 dwuliniowa jest automatycznie zamknięta w sensie różniczkowym, co oznacza, że jej zewnętrzna pochodna dωjest równa zeru. Z tego powodu (HR, ω)jest przestrzenią symplektyczną. Para (g, ω)definiuje więc na HRjednocześnie strukturę Riemannowską i strukturę symplektyczną. Aby uzyskać rozmaitość Kählera, potrzebny jest jeszcze operator J, który wiąże te dwie struktury ze strukturą zespoloną H. 12.3 Operator J i własności Kählera Struktura zespolona na Hjest dana przez mnożenie wektora przez liczbę urojoną i. W przestrzeni rzeczywistej HRodpowiada temu operator liniowy J:HR→ HRdziałający według wzoru J(X) = iX, dla każdego X∈HRutożsamionego z elementem H. Operator Jjest liniowy względem liczb rzeczywistych i spełnia warunek J2=−Id, co jest charakterystyczne dla struktur zespolonych. Trójka (g, ω, J)spełnia warunki definicji struktury Kählera. Po pierwsze, operator Jzachowuje metrykę g, to znaczy dla wszystkich X, Y ∈HRzachodzi g(JX, JY ) = g(X, Y ). Wynika to z faktu, że mnożenie przez i nie zmienia normy wektora w przestrzeni Hilberta, a więc zachowuje iloczyn skalarny w sensie części rzeczywistej. Po drugie, forma symplektyczna ωjest powiązana z giJprzez równanie ω(X, Y ) = g(JX, Y ). Można to bezpośrednio sprawdzić, korzystając z tego, że ⟨iX, Y ⟩H=i⟨X, Y ⟩H, więc część rzeczywista ⟨iX, Y ⟩H jest równa minus części urojonej ⟨X, Y ⟩H, co daje dokładnie powyższy związek z odpowiednim znakiem. W zależności od przyjętych konwencji iloczynu skalarnego (liniowość w pierwszym lub w drugim argumencie) znak ten może być plus lub minus, ale w każdym wypadku istnieje stała relacja postaci ω(X, Y ) = g(JX, Y ). Po trzecie, jak już wspomniano, forma ωjest zamknięta, ponieważ jest stała na całej przestrzeni liniowej. Z definicji dω = 0, a więc (HR, g, ω, J)jest rozmaitością Kählera. Oznacza to, że panaktorium Hmożna traktować jako nieskończenie wymiarową rozmaitość Kählera, na której dynamika KGO będzie się interpretować jako kombinacja przepływu hamiltonowskiego względem ωi gradientowego względem g. 63 12.4 Interpretacja fizyczna: faza, amplituda, symetrie Struktura Kählera panaktorium ma prostą interpretację fizyczną. Iloczyn skalarny ⟨S(1), S(2)⟩Hzawiera zarówno informacje o amplitudach, jak i o fazach stanów S(1) iS(2). Część rzeczywista iloczynu odpowiada „podobieństwu amplitudowemu”, a część urojona – „skręceniu faz” pomiędzy stanami. Metryka g mierzy odległość między stanami w sensie amplitudowym, natomiast forma symplektyczna ωmierzy „skręt” pomiędzy stanami, który jest istotny dla dynamiki hamiltonowskiej. Operator Jodpowiada mnożeniu wektora stanu przez i, co w mechanice kwantowej jest związane z przesunięciem fazy o π/2. Ponieważ J2=−Id, kolejne zastosowania J odpowiadają rotacji wektora stanu w płaszczyźnie zespolonej. Zgodność Jzgiωoznacza, że te rotacje są izometriami metryki i zachowują strukturę symplektyczną. Jest to matematyczne wyrażenie faktu, że globalne przesunięcia fazy w mechanice kwantowej są symetriami dynamiki: zmiana fazy S→eiθSnie zmienia obserwowalnych wielkości, a jednocześnie zachowuje strukturę energii i całkowity koszt. Innymi słowy, przestrzeń stanów panaktorium jest nośnikiem trzech powiązanych ze sobą struktur: przestrzeń zespolona opisuje amplitudy i fazy, metryka g mierzy dystanse i energie w sensie amplitudowym, a forma ωjest tłem dla równań hamiltonowskich, które opisują część unitarną ewolucji KGO. Ta korespondencja jest podstawą twierdzeń z kolejnego rozdziału, gdzie pokażemy, że część Schrödingera równania KGO jest przepływem hamiltonowskim, a część gradientowa z Cglob jest przepływem gradientowym względem g. 13 Część hamiltonowska i gradientowa równania KGO 13.1 Funkcjonał energii XHham i wektor hamiltonowski XHham Aby sformułować część hamiltonowską równania KGO na tle struktury Kählera panaktorium, wprowadzamy funkcjonał energii hamiltonowskiej Hham :H→R. Funkcjonał ten odpowiada energii wynikającej z części Schrödingera i innych unitarnych składników dynamiki. W typowych modelach jest to wyrażenie kwadratowe w SiS∗, Hham(S) = ⟨S, ˆ HS⟩H, gdzie ˆ Hjest samosprzężonym operatorem na H. Aby uniknąć subtelności związanych z dziedziną ˆ H, zakładamy, że H_{\mathrm{ham}} jest różniczkowalny w sensie Frécheta na H i jego gradient względem metryki g istnieje i jest dobrze określony na odpowiedniej dziedzinie D(Hham)⊂H. 64 W geometrii symplektycznej wektor hamiltonowski XHham (S)w punkcie S jest definiowany przez równanie ω(XHham (S), Y ) = dHham(S)[Y], dla wszystkich Y∈HR. Pochodna dHham(S)[Y]jest liniową funkcją Y, która w przestrzeni Hilberta może być przedstawiona jako iloczyn skalarny z gradientem Hham. Gradient w sensie metryki g jest wektorem ∇gHham(S)taki, że dHham(S)[Y] = g(∇gHham(S), Y ). Wstawiając ten wzór do definicji wektora hamiltonowskiego, otrzymujemy warunek ω(XHham (S), Y ) = g(∇gHham(S), Y ). Ponieważ na rozmaitości Kählera zachodzi relacja ω(X, Y ) = g(JX, Y ), powyższa równość jest spełniona wtedy i tylko wtedy, gdy g(JXHham (S), Y ) = g(∇gHham(S), Y ) dla wszystkich Y. Z nierozdegenerowania metryki g wynika więc JXHham (S) = ∇gHham(S), a więc XHham (S) = −J∇gHham(S). Wektor XHham (S)jest styczny do panaktorium i opisuje kierunek ewolucji stanu Sw czasie ze względu na część hamiltonowską. Związek z operatorem A jest następujący. Jeżeli A=−iˆ H, a ˆ Hpochodzi z Hham w sposób standardowy, to w przestrzeni zespolonej mamy równanie Schrödingera ˙ S(t) = AS(t) = −iˆ HS(t). Po przejściu do struktury Kählera rozwiązanie to można interpretować jako przepływ generowany przez wektor hamiltonowski XHham , zidentyfikowany z AS(t). Kolejne podrozdziały czynią to twierdzenie precyzyjnym. 13.2 Część Schrödingera KGO jako przepływ hamiltonowski Rozważamy równanie ˙ S(t) = AS(t), gdzie A=−iˆ H, a ˆ Hjest samosprzężonym operatorem na H. Zakładamy, że Hham(S) = ⟨S, ˆ HS⟩Hjest dobrze określony i różniczkowalny na odpowiedniej 65 dziedzinie. Chcemy pokazać, że wektorowe równanie ewolucji jest równoważne równaniu hamiltonowskiemu ˙ S(t) = XHham (S(t)). Gradient Cauchy’ego dla Hham względem metryki g ma postać ∇gHham(S)=2ˆ HS, jeśli przyjmie się odpowiednie normalizacje. Następnie, korzystając z relacji między XHham a gradientem, otrzymujemy XHham (S) = −J∇gHham(S) = −2Jˆ HS. Ponieważ Jjest mnożeniem przez i, to Jˆ HS =iˆ HS. Zatem XHham (S) = −2iˆ HS. W zależności od przyjętej konwencji dla Hham można dobrać stałą tak, aby XHham (S) = AS. Istotne jest, że wektor generowany przez operator Ajest proporcjonalny do wektora hamiltonowskiego wynikającego z funkcjonału Hham. Twierdzenie można więc sformułować następująco. Dla funkcjonału energii hamiltonowskiej pochodzącego od samosprzężonego operatora ˆ Hczęść Schrödingera równania KGO jest przepływem hamiltonowskim względem formy symplektycznej ωi funkcjonału Hham. Innymi słowy, rozwiązania równania ˙ S=AS są krzywymi hamiltonowskimi na rozmaitości Kählera panaktorium. 13.3. Globalny koszt Cglob i gradient −∇gCglob Obok funkcjonału energii Hham teoria KGO wprowadza globalny funkcjonał kosztu Cglob. Jest to funkcjonał Cglob :H→R, który mierzy „niewygodę” lub „dyskomfort” danego stanu panaktorium. W Tomie III Cglob powstaje z sumy lokalnych kosztów w kanałach oraz z terminów sprzęgających kanały, tak aby preferowały określone konfiguracje stanów Sjako minima. Na rozmaitości Kählera gradient Cglob względem metryki gdefiniujemy przez dCglob(S)[Y] = g(∇gCglob(S), Y ), dla każdego wektora Y∈HR. Wektor −∇gCglob(S)jest kierunkiem największego spadku Cglob} w sensie metryki g: ruch w tym kierunku na mały czas δt powoduje najbardziej efektywne zmniejszenie kosztu. Część gradientowa równania KGO, pochodząca od globalnego kosztu, ma postać ˙ S(t) = −∇gCglob(S(t)). Jest to podstawowe równanie przepływu gradientowego na rozmaitości Riemanna (HR, g). Rozwiązania tego równania dążą do minimów Cglob, a przy 66 odpowiednich warunkach na Hessego funkcjonału można wykazać, że minima te są atraktorami lokalnie asymptotycznie stabilnymi. 13.3 Część dyssypacyjna KGO jako przepływ gradientowy Pełne równanie KGO bez pamięci, lecz z uwzględnieniem globalnego kosztu, ma postać ˙ S(t) = AS(t)−∇gCglob(S(t)). Człon AS(t)odpowiada przepływowi hamiltonowskiemu, który zachowuje energię Hham oraz wybrane symetrie (na przykład globalne przesunięcia fazy). Człon −∇gCglob(S(t)) wprowadza dyssypację: jest to przepływ gradientowy dążący do obniżenia globalnego kosztu. Równanie to ma więc charakter gradientowo– hamiltonowski. Przepływ gradientowy jest ściśle związany z metryką g. Dla każdej krzywej S(t)spełniającej ˙ S(t) = −∇gCglob(S(t)) można pokazać, że pochodna Cglob(S(t)) po czasie jest nie dodatnia. Rzeczywiście, d dtCglob(S(t)) = dCglob(S(t))[ ˙ S(t)] = g(∇gCglob(S(t)),˙ S(t)). Podstawiając prawo ewolucji, otrzymujemy d dtCglob(S(t)) = g(∇gCglob(S(t)),−∇gCglob(S(t))) = −∥∇gCglob(S(t))∥2 g, co pokazuje, że Cglob jest funkcjonałem Lyapunowa dla części gradientowej: maleje w czasie, o ile gradient nie jest zerowy. To właśnie gradientowy charakter tego członu odpowiada za dyssypacyjne aspekty KGO, takie jak relaksacja do minimów kosztu, powstawanie nawyków i stabilnych wzorców zachowania panaktorium. 13.4 Równanie KGO bez pamięci jako układ gradientowo– hamiltonowski Łącząc wyniki poprzednich podrozdziałów, możemy sformułować jednolitą interpretację równania KGO bez pamięci jako układu gradientowo–hamiltonowskiego na rozmaitości Kählera panaktorium. Równanie to ma postać ˙ S(t) = XHham (S(t)) −∇gCglob(S(t)), gdzie XHham } jest wektorem hamiltonowskim związanym z funkcjonałem energii Hham, a −∇gCglob jest wektorem gradientowym globalnego kosztu. 67 Część hamiltonowska XHham generuje przepływ, który jest objętościowy względem formy symplektycznej ω, zachowuje metrykę gi amplitudy oraz fazy, a więc opisuje „idealną”, odwracalną dynamikę. Część gradientowa −∇gCglob jest nieodwracalna, prowadzi do zmniejszania Cglob i modeluje dyssypację, relaksację oraz powstawanie struktur trwałych w panaktorium. Z tego punktu widzenia KGO bez pamięci jest naturalnym uogólnieniem tradycyjnej mechaniki kwantowej (czysta część hamiltonowska) o dobrze określoną część dyssypacyjną, osadzoną w geometrii Kählera panaktorium. Dodanie pamięci, opisanej wcześniej przez miary operatorowe i jądra K(t), wprowadza dodatkowe „pionowe” kierunki w przestrzeni trajektorii, odpowiadające wpływowi przeszłości na aktualny stan. Jednak nawet bez pamięci struktura gradientowo– hamiltonowska stanowi klucz do zrozumienia geometrii oddźwięku: pokazuje, że reakcje panaktorium są wynikiem współdziałania dwóch mechanizmów, jednego zachowawczego i jednego dyssypacyjnego, obu w pełni zakotwiczonych w strukturze Kählera przestrzeni H. 14 Rozszerzona przestrzeń stanu z pamięcią W poprzednich rozdziałach opisaliśmy pamięć jako nielokalność w czasie: aktualna zmiana stanu nie zależy wyłącznie od bieżącej konfiguracji pola informacji, lecz także od całego ogona przeszłości, ważonego odpowiednim jądrem pamięci. Równania miały postać całkową, w której funkcje K(t−τ)lub ich uogólnienia wchodziły jako wagi przyczynowego „oddźwięku”. Taki zapis jest naturalny, gdy patrzymy na proces z zewnątrz jako na zwykły układ z opóźnieniem. W geometrii stanu wygodnie jest jednak zrobić jeszcze jeden krok i włączyć historię do samej przestrzeni stanu. Zamiast traktować pamięć jako osobny dodatek do równań, można rozszerzyć panaktorium w taki sposób, by każdy punkt zawierał w sobie nie tylko „teraz”, ale i odpowiednio długi fragment przeszłości. W tym rozdziale wprowadzimy taką rozszerzoną przestrzeń stanu i pokażemy, że pamięć staje się w niej jednym z kierunków geometrycznych, równie realnym jak kierunki odpowiadające zwykłym fluktuacjom „tu i teraz”. 14.1 Przestrzeń historii HT=L2([0, T]; H) Niech Hbędzie przestrzenią Hilberta, w której dotąd opisywaliśmy stan panaktorium w danej chwili: może to być przestrzeń wszystkich konfiguracji pola informacji z pamięcią na danym przekroju czasowym, przestrzeń konfiguracji świata aktonu albo inna konkretna realizacja, jaką przyjęliśmy w poprzednich rozdziałach. Pamięć w równaniach ruchu pojawia się zazwyczaj jako całka po przeszłości z przedziału [t−T, t], gdzie T > 0jest efektywnym horyzontem oddziaływania jąder pamięci. Zamiast patrzeć na tę integrację z perspektywy bieżącego czasu, możemy wprowadzić osobną „oś opóźnień” i traktować historię stanu jako funkcję od zmiennej opóźnienia. Formalnie definiujemy przestrzeń historii jako 68 HT=L2([0, T];H), to znaczy zbiór wszystkich funkcji φ: [0, T ]→Htakich, że  T 0∥φ(θ)∥2 Hdθ < ∞. Element φ∈HTmożna interpretować jako „zamrożony” fragment trajektorii wstecz: dla każdej wartości opóźnienia θmiędzy 0aTprzypisana jest konfiguracja Hodpowiadająca stanowi sprzed θjednostek czasu. Gdy mamy daną konkretną trajektorię t7→ x(t)∈H, możemy zdefiniować jej historię w chwili tjako funkcję φt(θ) = x(t−θ), θ ∈[0, T], czyli „wgląd w tył” na odcinek długości T. Każda taka funkcja θ7→ φt(θ) należy do HT, o ile trajektoria jest dostatecznie regularna. Przestrzeń historii HTjest więc naturalną areną dla pamięci: zamiast mnożyć indeksy czasowe w równaniach, umieszczamy cały ogon przeszłości w jednym obiekcie geometrycznym. Warto zauważyć, że w tej definicji historia jest zawsze liczona od bieżącej chwili do tyłu, a nie jako funkcja bezwzględnego czasu. Z punktu widzenia dynamiki pamięci istotna jest bowiem struktura opóźnień: to, co wydarzyło się θ jednostek czasu temu, wpływa dziś inaczej niż to, co wydarzyło się 2θtemu, niezależnie od tego, jaki jest ich absolutny czas kalendarzowy. Oś [0, T]jest osią „wieku wspomnienia”, a HTjest przestrzenią wszystkich możliwych rozkładów pamięci o dowolnym profilu w tym przedziale. 14.2 Rozszerzone panaktorium MT=H×HT Mając przestrzeń historii, możemy teraz rozszerzyć panaktorium. Dotąd jeden punkt x∈Hopisywał aktualny stan układu: kształt pola informacji, rozkład autonu, konfigurację świata aktonu w chwili t. Pamięć była zaszyta w samym równaniu ruchu, poprzez całkę po wcześniejszych momentach. Jeżeli chcemy włączyć pamięć do samej przestrzeni stanu, naturalnym krokiem jest rozważenie iloczynu kartezjańskiego MT=H×HT. Punkt (x, φ)∈MTopisuje zarówno bieżący stan x, jak i skondensowaną historię φz ostatnich Tjednostek czasu. Można myśleć o tym tak, że każdy stan z pamięcią ma dwie warstwy: „głowę” w H, która patrzy na to, co dzieje się teraz, oraz „ogon” w HT, który niesie rozkład oddźwięku przeszłości. PrzestrzeńMTjest w sposób naturalny przestrzenią Hilberta (lub przynajmniej przestrzenią Banacha), gdy uzbroimy ją w normę ∥(x, φ)∥2 MT=∥x∥2 H+  T 0∥φ(θ)∥2 Hdθ. 69 Jest to najprostsza norma Euklidesowa na iloczynie Hilbertów, zgodna z intuicją: długość wektora w rozszerzonym panaktorium wynika z długości składowej „teraz” i długości składowej „historia”. W takim obrazie pierwotne panaktorium Hpojawia się jako „przekrój” H× {0}albo, bardziej realistycznie, jako podrozmaitość wszystkich par (x, φ), w których historia φjest całkowicie determinowana przez trajektorię xza pomocą wyżej zdefiniowanego przepisu. Rozszerzenie do MTjest więc w pewnym sensie rozluźnieniem tej więzi: dopuszczamy stany, w których bieżąca konfiguracja i historia są traktowane jako niezależne współrzędne, choć dynamicznie będą ze sobą związane. Z punktu widzenia KGO i IFM MTjest nowym panaktorium z pamięcią jawnie wpisaną w przestrzeń stanów. Daje to możliwość rozwijania pełnej geometrii oddźwięku nie tylko na wymiarach odpowiadających „tu i teraz”, ale także w kierunkach pamięci. Krzywizna, gradienty, część hamiltonowska i gradientowa mogą być zdefiniowane w tej rozszerzonej przestrzeni, a ich projekcje na Hdadzą widoczną dynamikę stanu bieżącego. 14.3 Kinematyka historii: przesuwanie w dół osi opóźnień Mając rozszerzoną przestrzeń stanu, trzeba jeszcze powiedzieć, jak historia porusza się w czasie. Jeżeli trajektoria t7→ x(t)jest dana, to odpowiadające jej okno historii w chwili tma postać φt(θ) = x(t−θ). Gdy przesuwamy się do chwili t+δt, nowe okno historii φt+δt jest w przybliżeniu przesunięciem starego okna oδt w dół osi opóźnień, z uzupełnieniem wartości przy θ= 0 nowym stanem x(t+δt). W granicy ciągłej można to zapisać jako równanie transportowe ∂tφt(θ) = −∂θφt(θ), z warunkiem brzegowym φt(0) = x(t). Takie prawo ruchu mówi, że historia „spływa” w dół osi opóźnień: to, co dziś jest świeżym zdarzeniem przy θ= 0, jutro stanie się wspomnieniem o wieku θ=δt, a po pewnym czasie wypadnie poza horyzont T. Z punktu widzenia rozszerzonego panaktorium MTkinematyka historii jest więc połączeniem zwykłego ruchu w Hz ruchem typu przesuwania w HT. W pełnym równaniu ruchu na MTczynnik przesuwania historii pojawia się jako osobny „strumień” w przestrzeni HT, niezależny od tego, co robi część gradientowo–hamiltonowska w H. Dzisiejszy stan (x(t), φt)przechodzi w jutrzejszy (x(t+δt), φt+δt)nie tylko dlatego, że xjest popychany w dół globalnego kosztu i zawijany przez część hamiltonowską, ale także dlatego, że φjest nieustannie przepisywana: stare wartości stopniowo znikają, nowe są dopisywane na początku. Ta czysto kinematyczna część dynamiki pamięci jest ważna, bo nawet gdyby pola Hbyły chwilowo „zamrożone”, historia i tak zmieniałaby się w czasie. W szczególności akton, który stoi w miejscu, ale wciąż pamięta stare zdarzenia, przemieszcza się w kierunku pionowym w MT. 70 14.4 Operator pamięci jako mapowanie K:HT→H Gdy mamy już zamknięty opis historii jako elementu HT, operator pamięci może zostać zapisany jako zwykłe liniowe odwzorowanie z HTdo H. W dawnym zapisie równanie ruchu z pamięcią miało postać ˙x(t) = F(x(t)) +  T 0 K(θ)x(t−θ)dθ, gdzie K(θ)były operatorami ważenia oddźwięku, a Fzawierał część gradientowo– hamiltonowską bez pamięci. W języku rozszerzonej przestrzeni stanu φtprzechowuje wszystkie wartości x(t−θ)na odcinku [0, T ]. Możemy więc zdefiniować operator K:HT→H, K(φ) =  T 0 K(θ)φ(θ)dθ, który przypisuje każdej funkcji historii φsumaryczny wektor oddźwięku w bieżącej chwili. Przy odpowiednich założeniach na jądro K(θ)(na przykład kwadratowalność lub całkowalność w θoraz ograniczoność operatorów K(θ)) taki operator jest dobrze określony i ciągły w sensie Hilbertowskim. Pamięć, która poprzednio była opisywana przez nieco niewygodną całkę po czasie, staje się teraz jednym z wielu operatorów działających na rozszerzony stan. Formalnie równanie ruchu na MTmożna więc zapisać jako ˙x(t) = F(x(t)) + K(φt), ˙φt(θ) = −∂θφt(θ), z warunkiem brzegowym φt(0) = x(t). Wszystkie skutki pamięci, w tym nielokalność w czasie i ogon oddźwięku, są skompresowane w operatorze Ki w kinematyce przesuwania historii. Rozszerzoną przestrzeń stanu można teraz traktować tak samo jak zwykłe panaktorium w KGO: definiować na niej globalny koszt, gradient, strukturę symplektyczną i badać trajektorie jako linie spływu po krajobrazie kosztu, z dodatkowymi prądami w kierunkach pamięci. 14.5 Pamięć jako „pionowy” kierunek w MT Interpretacja geometryczna rozszerzonego panaktorium MTjest szczególnie przejrzysta, gdy wyobrazimy sobie je jako rozmaitość włóknistą nad H. Każdemu bieżącemu stanowi x∈Hodpowiada całe włókno historii {x}×HT⊂MT, które zawiera wszystkie możliwe rozkłady pamięci przy założeniu, że „teraz” jest właśnie x. Ruch wzdłuż tego włókna, przy ustalonym x, jest ruchem „czysto pamięciowym”: zmienia się tylko struktura historii, to, jak dawne zdarzenia są przechowywane i ważone, natomiast bieżąca konfiguracja pola pozostaje ta 71 16.2 Zdarzenia operacyjne i σ–algebra Eo Mając ustaloną przestrzeń operacyjnych mikrostanu Λo, możemy zdefiniować pojęcie zdarzenia operacyjnego. Zdarzeniem operacyjnym nazywamy taki podzbiór Eprzestrzeni Λo, który odpowiada odpowiedzi „tak” na pewne dobrze zdefiniowane pytanie obserwatora. Przykładem zdarzenia może być zbiór wszystkich [λ]o, dla których dany przyrząd pomiarowy dałby wynik z ustalonego zestawu wartości. Istotne jest, że zdarzenia operacyjne mają strukturę mierzalną, umożliwiającą przypisywanie im prawdopodobieństw. Zbiór wszystkich zdarzeń operacyjnych oznaczamy przez Eo. Wymagamy, aby Eobyło σ–algebrą podzbiorów Λo. Oznacza to, że przestrzeń (Λo, Eo)jest przestrzenią mierzalną, w której można w sposób spójny definiować miary probabilistyczne. Warunki na Eosą następujące. Po pierwsze, cały zbiór Λonależy do Eo, tak jak i zbiór pusty. Po drugie, jeśli E jest zdarzeniem, to jego dopełnienie ΛoEjest również zdarzeniem. Po trzecie, jeśli mamy przeliczalną rodzinę zdarzeń (En)n,to ich suma SnEnjest także zdarzeniem. Z tych trzech własności wynika również, że Eojest zamknięta na przecięcia przeliczalnych rodzin zdarzeń. Z punktu widzenia praktycznych pomiarów, każde dobrze zdefiniowane pytanie „czy zachodzi własność X?” odpowiada jakiemuś zdarzeniu Enależącemu do Eo. Ponadto złożone pytania typu „czy zachodzi Xlub Y?” lub „czy nie zachodzi X?” odpowiadają odpowiednio sumie i dopełnieniu zdarzeń istniejących. W ten sposób struktura σ–algebry Eoformalizuje fakt, że obserwator może dowolnie łączyć zdarzenia w sposób logiczny, otrzymując nowe zdarzenia, którym można przypisywać sensowne prawdopodobieństwa. 16.3 Stany operacyjne jako miary μna (Λo, Eo) Stanu operacyjnego obserwatora nie należy utożsamiać z pojedynczym mikrostaniem[λ]o, lecz z pełnym rozkładem prawdopodobieństwa na przestrzeni Λo, który mówi, jak bardzo obserwator „wierzy” w różne klasy mikrostanu. Formalnie stan operacyjny definiujemy jako miarę probabilistyczną μna przestrzeni mierzalnej (Λo, Eo). Miara μprzypisuje każdemu zdarzeniu operacyjnemu EzEoliczbę µ(E)z przedziału [0,1]. Spełnia przy tym następujące własności. Po pierwsze, µ(Λo) = 1, co oznacza, że pewne jest, iż rzeczywistość należy do Λo. Po drugie, µ(∅)=0. Po trzecie, jeśli rodzina zdarzeń (En)njest parami rozłączna, to zachodzi µ∞ [ n=1 En= ∞ X n=1 µ(En), co wyraża σ–addytywność miary. Te własności są klasycznymi aksjomatami teorii prawdopodobieństwa. Warstwa operacyjna KGO przyjmuje je jako podstawę opisu wiedzy i oczekiwań obserwatora względem wyników możliwych pomiarów. Miara µmoże być postrzegana jako „obraz” głębszego stanu panaktorium przez mapę projekcji do Λo. Jeśli w KGO znamy szczegółowy stan Soraz dy78 namikę aktów pomiarowych, możemy próbować wyznaczyć odpowiadającą mu miarę μpoprzez zliczenie wszystkich mikrostanu λw klasach [λ]ozgodnie z prawami KGO. W ten sposób przechodzimy od deterministycznej lub quasi– deterministycznej dynamiki KGO do probabilistycznego opisu warstwy operacyjnej. 16.4 Mieszanie stanów i wypukła struktura przestrzeni stanów W praktyce obserwator może mieć do czynienia nie tylko z czystym stanem operacyjnym, odpowiadającym dokładnej wiedzy o rozkładzie μ, lecz także z sytuacjami, w których stan jest mieszaniną kilku innych stanów. Przykładem jest losowe przełączanie pomiędzy różnymi konfiguracjami aparatury, niejawne dla obserwatora, lub niepewność co do początkowego stanu panaktorium. Formalnie, jeśli µ1iµ2są dwoma stanami operacyjnymi, to dla każdej liczby αz przedziału [0,1] możemy zdefiniować nową miarę µ=α µ1+ (1 −α)µ2, przez wzór µ(E) = α µ1(E) + (1 −α)µ2(E) dla wszystkich EzEo. Łatwo sprawdzić, że µjest również miarą probabilistyczną na (Λo, Eo). Mówi ona, że z prawdopodobieństwem αsystem jest w stanie µ1, a z prawdopodobieństwem 1−αw stanie µ2, przy czym informacja o tym, który z tych dwóch stanów rzeczywiście zachodzi, jest dla obserwatora niedostępna. Zbiór wszystkich stanów operacyjnych tworzy przestrzeń wypukłą. Oznacza to, że dowolna kombinacja wypukła skończonej liczby stanów ponownie jest stanem. Geometria tej przestrzeni ma ważne znaczenie dla interpretacji „czystości” i „mieszania”. Stan nazywamy czystym, jeśli nie można go przedstawić jako niebanalnej kombinacji wypukłej dwóch innych, różnych stanów. Innymi słowy, μ jest czysty, jeśli z równości µ=αµ1+ (1 −α)µ2przy 0< α < 1wynika, że µ1=µ2=µ. W warstwie operacyjnej czyste stany reprezentują maksymalną dostępną wiedzę o systemie, ograniczoną strukturą zdarzeń Eo. Mieszanki stanów odpowiadają sytuacjom, w których istnieje dodatkowa, klasyczna niepewność co do stanu systemu. W rozdziale siedemnastym zobaczymy, że w reprezentacji Hilbertowskiej czyste stany odpowiadają wektorom jednostkowym (promieniom) w przestrzeni Hilberta Ho,a stany mieszane – macierzom gęstości ρo śladzie równym jeden. 16.5 Ostrość, ortogonalność i „pomiary pełne” Zdarzenia operacyjne w Eomogą mieć różną „ostrość”. Intuicyjnie zdarzenie nazywamy ostrym, gdy odpowiada idealnemu pytaniu typu „tak albo nie”, które 79 ma jednoznacznie określoną odpowiedź dla każdego mikrostanu [λ]o, pomijając ewentualne zbiory zerowej miary. Przykładem jest zdarzenie „wynik pomiaru należał do dokładnie jednej z ustalonych, rozłącznych kategorii”. Zdarzenia rozmyte, albo „nieostre”, pojawią się w naturalny sposób przy przejściu do efektów POVM w rozdziale siedemnastym. Dwa zdarzenia EiFwEosą ortogonalne, jeśli nie mają wspólnych mikrostanu, to znaczy jeśli ich przecięcie jest zbiorem pustym. Wtedy prawdopodobieństwo ich sumy jest sumą prawdopodobieństw, a ponadto w pojedynczej realizacji tylko jedno z nich może zajść. W przypadku rozłącznie pełnego pomiaru otrzymujemy rodzinę zdarzeń (Ek)k, które są parami ortogonalne i których suma daje całą przestrzeń Λo, być może z wyłączeniem zbioru o mierze zerowej. Mówimy wtedy o pomiarze pełnym, ponieważ dla każdego mikrostanu obserwator otrzymuje dokładnie jeden wynik spośród możliwych etykiet. Z perspektywy przyszłej reprezentacji Hilbertowskiej ostre zdarzenia będą odpowiadały projekcjom ortogonalnym, czyli operatorom samosprzężonym spełniającym P2=P, zaś pomiary pełne będą odpowiadały rodzinom projekcji ortogonalnych sumujących się do operatora jednostkowego. Ortogonalność zdarzeń EiFprzekłada się na ortogonalność odpowiednich projekcji PEiPF w przestrzeni Ho. Ujęcie operacyjne, które rozwijamy w niniejszym rozdziale, przygotowuje grunt pod wprowadzenie tych pojęć w sposób niezależny od założeń mechaniki kwantowej. Dopiero w następnym rozdziale pokażemy, że przy umiarkowanych i naturalnych założeniach każda taka struktura operacyjna ma reprezentację w postaci przestrzeni Hilberta, macierzy gęstości i operatorów efektów, a więc w postaci znanej z mechaniki kwantowej. 17 Twierdzenie reprezentacyjne: Hilbert, ρ, POVM, Born 17.1 Aksjomaty operacyjne: addytywność, nie–kontekstowość, wypukłość Warstwa operacyjna nad KGO opiera się na kilku prostych, ale bardzo silnych zasadach. Po pierwsze, przyjmujemy liniowość (addytywność) przypisania prawdopodobieństw. Oznacza to, że jeśli EiFsą zdarzeniami parami rozłącznymi, to prawdopodobieństwo ich sumy jest sumą prawdopodobieństw, czyli µ(E∪F) = µ(E) + µ(F). Po drugie, zakładamy nie–kontekstowość. Zdarzenie operacyjne Emoże pojawić się jako wynik różnych procedur pomiarowych MiM′, ale prawdopodobieństwo µ(E)ma zależeć tylko od samego zdarzenia, a nie od tego, w jakim pomiarze się pojawiło. Innymi słowy, jeśli dwa różne pomiary zawierają to samo zdarzenie E jako jeden z możliwych wyników, to wszystkie stany operacyjne przypisują mu tę samą wartość µ(E). Jest to formalny sposób wyrażenia intuicji, że „znaczenie” danego wyniku nie zależy od sposobu, w jaki został uzyskany, 80 o ile pozostałe możliwości są odpowiednio utożsamione. Po trzecie, przestrzeń stanów operacyjnych ma strukturę wypukłą. Jak już widzieliśmy w poprzednim rozdziale, mieszanie stanów za pomocą klasycznej losowości daje znowu stan. Z matematycznego punktu widzenia oznacza to, że dla dowolnych stanów µ1,µ2i liczby αz[0,1] stan µ=α µ1+ (1 −α)µ2 jest również dozwolony. W ten sposób zbiór wszystkich stanów tworzy wypukłą bryłę w przestrzeni liniowej wszystkich funkcjonałów na Eo. Czystość stanu odpowiada ekstremalności w tej bryle. Po czwarte, zakładamy dostateczną bogatość i spójność struktury zdarzeń ostrych. Precyzyjnie, każde zdarzenie ostre ma dopełnienie również ostre, a ostre zdarzenia tworzą kraty logiczne, w których zbiegi i rozłączne sumy mają sens. Ponadto wymagamy, aby stany operacyjne były na tyle liczne, że rozróżniają zdarzenia ostre, co oznacza, że jeśli dla dwóch ostrych zdarzeń EiFmamy µ(E) = µ(F)dla wszystkich stanów µ, to zdarzenia te są identyczne. Zbiór tych zasad, połączony z założeniem, że przestrzeń zdarzeń ostrych jest dostatecznie „wysokowymiarowa” (w sensie analogicznym do wymogu, że przestrzeń Hilberta musi mieć wymiar co najmniej trzy, aby obowiązywało twierdzenie Gleasona), tworzy fundament twierdzenia reprezentacyjnego. Twierdzenie to mówi, że istnieje przestrzeń Hilberta Hooraz reprezentacja zdarzeń i stanów w języku macierzy gęstości i efektów zgodna z powyższymi aksjomatami. 17.2 Kraty zdarzeń ostrych i warunki typu Gleasona Zdarzenia ostre w Eotworzą bogatszą strukturę niż ogólne zdarzenia mierzalne. Można je myśleć jako te zdarzenia, które odpowiadają idealnym projekcjom w przyszłej reprezentacji Hilbertowskiej. W warstwie operacyjnej określamy je poprzez własności algebraiczne. Zdarzenie ostre Ema własność, że istnieje „komplementarne” zdarzenie F, które jest również ostre, takie że Eoraz Fsą rozłączne i ich suma jest zdarzeniem pewnym, czyli równa jest Λoz dokładnością do zbioru o mierze zerowej dla wszystkich stanów. Powtórne zastosowanie tej konstrukcji dla rozłącznych rodzin zdarzeń prowadzi do struktury, w której ostre zdarzenia tworzą kratę z operacjami przecięcia i sumy rozłącznej. Aby zastosować twierdzenie typu Gleasona, wymagamy także, aby ta krata ostrych zdarzeń miała cechy kraty projekcji na pewnej abstrakcyjnej przestrzeni Hilberta. W szczególności zakładamy, że istnieją dość liczne rodziny zdarzeń ostrych parami ortogonalnych, których suma daje zdarzenie pewne. Przypomina to własność, że w przestrzeni Hilberta istnieją bazowe rodziny wektorów ortonormalnych oraz odpowiadające im projekcje na jednowymiarowe podprzestrzenie. Warunki typu Gleasona dotyczą także sposobu, w jaki stany zachowują się na tej kracie. Przyjmujemy, że każdy stan operacyjny µdefiniuje funkcję przypisującą każdemu zdarzeniu ostremu E wartość µ(E)oraz że funkcja ta jest σ–addytywna na rodzinach zdarzeń parami ortogonalnych. To jest bezpośrednie 81 uogólnienie zwykłego warunku, że miary w przestrzeni zdarzeń są σ–addytywne na rodzinach rozłącznych zbiorów. Twierdzenie Gleasona, w swoim klasycznym sformułowaniu, mówi, że taka funkcja, określona na kracie projekcji w przestrzeni Hilberta o wymiarze co najmniej trzy, musi mieć postać tr(ρP)dla pewnego dodatniego operatora śladowego ρ. W niniejszym tomie nie rekonstruujemy pełnego dowodu twierdzenia Gleasona, lecz przyjmujemy jego strukturę jako inspirację i formułujemy analogiczne twierdzenie reprezentacyjne dla zdarzeń ostrych w KGO. 17.3 Twierdzenie O.1: istnienie przestrzeni Hilberta Ho Wszystkie powyższe przygotowania prowadzą do twierdzenia reprezentacyjnego, które można nazwać Twierdzeniem O.1. Treść tego twierdzenia jest następująca. Dla danej struktury operacyjnej (Λo,Eo, zbiór ostrych zdarzeń, zbiór stanów μ) spełniającej opisane wcześniej aksjomaty and warunki typu Gleasona istnieje zespolona przestrzeń Hilberta Hooraz odwzorowanie, które każdemu ostremu zdarzeniu E przypisuje projekcję ortogonalną PE:HO→HO, takie że to odwzorowanie jest izomorfizmem struktur logicznych. Oznacza to, że zawieranie zbiorów odpowiada porządkowi między projekcjami, przecięcie ostrych zdarzeń odpowiada iloczynowi projekcji, dopełnienie zdarzenia odpowiada dopełnieniu ortogonalnemu projekcji, a rodziny zdarzeń ostrych parami ortogonalnych odpowiadają rodzinom projekcji parami ortogonalnych sumujących się do projekcji jednostkowej. Zdarzenie pewne Λojest reprezentowane przez operator jednostkowy Ina Ho, a zdarzenie puste przez operator zerowy. Ponadto Twierdzenie O.1 stwierdza, że dla każdego stanu operacyjnego μ istnieje dokładnie jeden operator ρµdziałający na Ho, nazywany macierzą gęstości, który jest dodatni i ma ślad równy jeden, taki że dla każdego zdarzenia ostrego E zachodzi równość µ(E) = Tr(ρµPE). Operator ρµjest w pełni określony przez wartości µna kracie zdarzeń ostrych, a więc jest reprezentacją stanu operacyjnego w przestrzeni Hilberta Ho. W ten sposób otrzymujemy odwzorowanie z przestrzeni stanów operacyjnych do przestrzeni macierzy gęstości na Ho, które jest wypukłe: mieszanie stanów operacyjnych odpowiada mieszaniu ich reprezentacji macierzowych. Twierdzenie O.1 pokazuje, że warstwa operacyjna nad KGO ma taką samą reprezentację jak standardowa mechanika kwantowa. Przestrzeń Homożna interpretować jako „operacyjną” przestrzeń Hilberta obserwatora, która powstaje jako abstrakcyjny obiekt reprezentujący strukturę zdarzeń ostrych i stanów μ, niezależnie od szczegółów KGO w głębszych warstwach. 82 17.4 Stany jako macierze gęstości ρµ, zdarzenia jako efekty F^ Reprezentacja oparta na projekcjach PEobejmuje zdarzenia ostre, ale praktyczne pomiary często są „nieostre” i wymagają bardziej ogólnego opisu. W przestrzeni Hilberta Honaturalnym uogólnieniem projekcji są tzw. efekty, czyli operatory Fna Hospełniające warunki 0≤F≤I. Efekt Fopisuje zdarzenie pomiarowe, które nie musi być idealne ani dokładne. W odwzorowaniu operacyjnym można utożsamić ogólne zdarzenie Ez pewnym efektem F^, tak że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia Ew stanie µjest dane wzorem µ(E) = Tr(ρµF∧), gdzie F∧oznacza operator efektu odpowiadający zdarzeniu E. W przypadku zdarzeń ostrych efekt F∧redukuje się do projekcji PE, a powyższy wzór przechodzi w relację z Twierdzenia O.1. Pomiar z kilkoma możliwymi wynikami k można opisać rodziną efektów (F∧ k)k, które spełniają zależność X k F∧ k=I. Taką rodzinę nazywamy POVM (Positive Operator–Valued Measure), czyli miarą o wartościach w dodatnich operatorach. Modeluje ona ogólny pomiar, w którym każdy wynik kjest reprezentowany przez efekt F∧ k, a prawdopodobieństwo jego wystąpienia w stanie ρµdane jest przez µ(k) = Tr(ρµF∧ k). Z tego punktu widzenia efekty F∧są operatorowymi reprezentacjami zdarzeń operacyjnych, a macierze gęstości ρµsą reprezentacjami stanów operacyjnych. Cała warstwa operacyjna nad KGO jest więc opisana w języku par (ρµ, F∧) i śladu tych operatorów, czyli w języku dobrze znanym z mechaniki kwantowej. Reguła Borna µ(F) = Tr(ρµF)jako konsekwencja aksjomatów Reguła Borna, mówiąca że prawdopodobieństwo zdarzenia pomiarowego jest równe śladowi macierzy gęstości z odpowiednim efektem, jest jednym z podstawowych postulatów mechaniki kwantowej. W niniejszym ujęciu reguła ta nie pojawia się jako odrębny postulat, lecz jako konsekwencja aksjomatów operacyjnych oraz Twierdzenia O.1. W szczególności, Twierdzenie O.1 mówi, że dla ostrych zdarzeń E mamy µ(E) = Tr(ρµPE), 83 gdzie PEjest projekcją na podprzestrzeń Hoodpowiadającą zdarzeniu E. Funkcja μ(·) jest liniowa na rodzinach zdarzeń rozłącznych, a odwzorowanie E7→ PEzachowuje operacje logiczne. Rozszerzając tę konstrukcję na ogólne efekty F∧, które można zapisać jako kombinacje liniowe projekcji przy zachowaniu ograniczeń 0≤F∧≤I, otrzymujemy, że jedynym naturalnym przedłużeniem µjest wzór µ(F) = Tr(ρµF∧), dla wszystkich zdarzeń operacyjnych, ostrych i nieostrych. Jest to dokładnie reguła Borna. Linie argumentacji są tu analogiczne do tych, które prowadzą od miar na kracie projekcji do operatorów gęstości w twierdzeniu Gleasona. W Tomie IV nie powtarzamy pełnego dowodu, ale podkreślamy, że główna idea jest taka: liniowość przypisania prawdopodobieństw, nie–kontekstowość oraz wystarczająca bogatość kraty zdarzeń zmuszają, aby struktura tych prawdopodobieństw miała postać śledzenia macierzy gęstości z odpowiednimi operatorami. W ten sposób reguła Borna przestaje być pierwotnym postulatem, a staje się twierdzeniem reprezentacyjnym: każdy system spełniający nasze aksjomaty operacyjne, w szczególności każdy obserwator zanurzony w panaktorium KGO, będzie widział świat poprzez „okulary” mechaniki kwantowej, to znaczy jego operacyjne przewidywania będą zawsze dały się zredukować do formy śladu ρµ z efektami F∧. 17.5 QM jako warstwa operacyjna nad KGO: interpretacja Zwieńczeniem całej konstrukcji jest interpretacja mechaniki kwantowej jako warstwy operacyjnej nad pełną teorią KGO. Pełny stan panaktorium opisany jest przez pola S, pamięć operatorową Mab, funkcjonały kosztu i energii oraz dynamikę gradientowo–hamiltonowską z pamięcią. Obserwator mający dostęp tylko do wyników określonych procedur pomiarowych widzi jednak jedynie rzut tego bogatego stanu na przestrzeń Λooperacyjnych mikrostanu. Jego wiedza jest opisywana przez miarę µna (Λo, Eo), a zdarzenia operacyjne są reprezentowane przez efekty F∧w przestrzeni Hilberta Ho. Twierdzenie O.1 i reguła Borna pokazują, że wszystkie przewidywalne z punktu widzenia obserwatora zjawiska można w pełni opisać za pomocą par (ρµ, F∧)i wzoru µ(F) = Tr(ρµF∧). Oznacza to, że z operacyjnego punktu widzenia mechanika kwantowa jest dokładnym opisem warstwy obserwowalnej nad KGO. Sama teoria KGO, z panaktorium, pamięcią i geometrią oddźwięku, pozostaje niewidoczna dla obserwatora, jeśli ograniczymy się tylko do operacyjnych pytań o wyniki pomiarów i ich prawdopodobieństwa. Jest to rozumienie stwierdzenia, że QM jest „cieniem” KGO: cień zawiera pełną informację o tym, co można operacyjnie zaobserwować, lecz nie odsłania pełnej struktury obiektu rzucającego cień. 84 Można powiedzieć, że KGO dostarcza mikroskopowego obrazu tego, co w mechanice kwantowej pojawia się jako dane wyjściowe. Funkcjonały kosztu, pamięć temperowana i gradientowo–hamiltonowska geometria oddźwięku opisują dynamikę, z której wyłaniają się obserwowalne korelacje. Warstwa operacyjna, opisana w Tomie IV przez (Λo, Eo, µ)oraz ich reprezentację w Ho, rekonstruuje natomiast język standardowej mechaniki kwantowej jako naturalny język dla tych korelacji. W tym sensie Tomy I–III pozostają „bazową” teorią pola informacji z pamięcią oraz kwantowej geometrii oddźwięku, natomiast Tom IV, a szczególnie niniejsza część, pokazuje, jak z tej bazy odtworzyć na wysokim poziomie abstrakcji dobrze znaną strukturę QM jako warstwy operacyjnej obserwatora. Część VII Warstwa operacyjna: QM jako cień KGO (Uzupełnienia do Tomu III, rozdz. 12–14) 18 Pamięć operacyjna i równania z jądrem (Nakajima– Zwanzig) 18.1 Projekcja pełnej dynamiki KGO na warstwę ρ(t) W pełnej teorii KGO stan świata opisywany jest przez konfigurację panaktorium S(t)w przestrzeni Hilberta H, wraz z pamięcią operatorową i funkcjonałami energii oraz kosztu. Dynamika S(t)jest deterministyczna (w sensie równania IFM/KGO) i może zawierać zarówno część hamiltonowską, gradientową, jak i człony pamięciowe. Obserwator z Tomu III nie ma jednak bezpośredniego dostępu do całego S(t), lecz tylko do wyników operacyjnych pomiarów. Warstwa operacyjna jest opisana w języku stanów ρ(t) na przestrzeni Hilberta H_O oraz efektów F^, zgodnie z rozdziałami 16–17. Aby przejść od pełnej dynamiki KGO do równania dla ρ(t), wprowadzamy operator projekcji na warstwę operacyjną. Ogólnie rzecz biorąc, stan operacyjny ρ(t)można uważać za funkcję stanu S(t)panaktorium, zapisaną schematycznie jako ρ(t) = Π[S(t)]. Tu Πjest pewnym odwzorowaniem, które dla każdego stanu S(t) wyznacza odpowiadającą mu macierz gęstości w przestrzeni HO. W prostych modelach Πmoże być połączeniem śladu cząstkowego i „zapomnienia” części informacji o 85 panaktorium. Przykładowo, w standardowej teorii układ–środowisko mielibyśmy pełny stan σ(t)na HO⊗HE, a operacyjny stan ρ(t)byłby równy ρ(t) = TrEσ(t), gdzie TrEoznacza ślad cząstkowy po stopniach swobody środowiska. W KGO analogiczna konstrukcja może obejmować nie tylko środowisko w sensie fizycznym, lecz także część panaktorium „związaną z obserwatorem” oraz część „resztową”. Formalnie można rozważać pełny stan jako element pewnej przestrzeni stanów X(na przykład przestrzeni operatorów śladowych na H), a ρ(t)jako obraz przez operator liniowy Pdziałający na X. Definiujemy P:X → X,PX= Π[X], tak, aby PXbyło stanem, który zawiera tylko te informacje, które są operacyjnie dostępne obserwatorowi. Operator Pspełnia warunek projekcji P2=P, a jego dopełnienie Q=I−P projekuje na „ukrytą” część stanu, która nie jest bezpośrednio dostępna operacyjnie. W praktyce X(t) będzie pełnym stanem lub pełnym zapisem gęstości panaktorium, a równania KGO można zapisać w postaci ˙ X(t) = LKGOX(t), gdzie LKGO jest pełnym generatorem (superoperatorem) dynamiki KGO. Zastosowanie operatorów PiQdo powyższego równania jest punktem wyjścia formalizmu Nakajimy–Zwanziga, który prowadzi do równania z pamięcią dla zredukowanego stanu ρ(t) = PX(t). 18.2 Równania z pamięcią typu Nakajima–Zwanzig dla ρ(t) Operując na równaniu pełnym projekcją P, otrzymujemy P˙ X(t) = PLKGOPX(t) + PLKGOQX(t). Z kolei, działając Q, uzyskujemy równanie dla części ukrytej: Q˙ X(t) = QLKGOPX(t) + QLKGOQX(t). Drugie równanie można formalnie rozwiązać, traktując QLKGO jako generator na podprzestrzeni QX. Przy założeniu, że odpowiedni propagator etQLKGO istnieje, rozwiązanie ma postać QX(t) = etQLKGO QX(0) +  t 0 e(t−s)QLKGO QLKGOPX(s)ds. 86 Podstawiamy to wyrażenie z powrotem do równania dla P˙ X(t). Otrzymujemy P˙ X(t) = PLKGOPX(t) + PLKGO etQLKGO QX(0) +PLKGO  t 0 e(t−s)QLKGO QLKGOPX(s)ds. Jeśli założymy, że początkowy stan nie zawiera składowej ukrytej, czyli QX(0) = 0, zniknie wyraz inhomogeniczny zawierający etQLKGO QX(0). Otrzymujemy wówczas równanie typu Nakajima–Zwanzig P˙ X(t) = PLKGOPX(t) +  t 0K(t−s)PX(s)ds, gdzie jądro pamięci K(t)jest superoperatorem zdefiniowanym jako K(t) = PLKGO etQLKGO QLKGOP. Jeżeli identyfikujemy stan operacyjny z ρ(t) = PX(t), powyższe równanie przyjmuje postać ˙ρ(t) = L0ρ(t) +  t 0 KT(t−s)ρ(s)ds, gdzie L0=PLKGOP oraz KT(t) = K(t). Podkreślenie TwKT(t)ma wyrażać fakt, że jądro pamięci ma pewną charakterystyczną skalę czasową T(czas życia pamięci), która może pochodzić z pełnej dynamiki KGO, na przykład z czasu relaksacji środowiska lub z lokalnych czasów pamięci IFM. 18.3 Superoperator pamięci KT(t)i czas życia pamięci T Superoperator pamięci KT(t)jest liniowym operatorem działającym na przestrzeni macierzy gęstości na HO. Jego działanie można zapisać jako KT(t)ρ=X j KT,j(t)ρ K′ T,j(t)†+inne kombinacje operatorowe, ale w ogólności wystarczy przyjąć, że dla każdego t≥0operator KT(t)jest ograniczony w sensie normy odpowiedniej dla przestrzeni stanów (na przykład normy śladowej). 87 20 Przykłady kanałów i procesów 20.1 Kanał dekoherencji fazowej z jądrami pamięci KGO Rozważmy prosty układ dwupoziomowy (kubitu) w przestrzeni HO=C2, opisany macierzą gęstości ρ(t). Dekoherencja fazowa to proces, w którym zanikają elementy poza diagonalne ρ01(t), a elementy diagonalne pozostają niezmienione. W markowskim przybliżeniu można to opisać generatorem Lindblada Ldephρ=γσzρσz−ρ, gdzie σzjest macierzą Pauliego, a γ > 0jest stałą dekoherencji. W ujęciu KGO chcemy zbudować jądro pamięci, które w warstwie operacyjnej daje dekoherencję fazową z pamięcią. Naturalna konstrukcja to jądro KT(t)ρ=κT(t)σzρσz−ρ, gdzie κT(t)jest skalarną funkcją czasu opisującą profil pamięci. Na przykład możemy wybrać κT(t) = γ Te−t/T . Równanie Nakajimy–Zwanziga ma wówczas postać ˙ρ(t) = −i[H, ρ(t)] +  t 0 κT(t−s)σzρ(s)σz−ρ(s)ds, gdzie H jest opcjonalnym hamiltonianem lokalnym. Taki model opisuje dekoherencję fazową z pamięcią wykładniczą: przeszłe fluktuacje „szumu fazowego” wpływają na bieżącą dekoherencję, ale ten wpływ maleje wykładniczo z czasem t−s. W granicy krótkiej pamięci T→0, przy założeniu, że rozwiązanie ρ(t)jest dostatecznie gładkie, całka pamięciowa redukuje się do  t 0 κT(t−s)(σzρ(s)σz−ρ(s))ds →γ(σzρ(t)σz−ρ(t)). Otrzymujemy wtedy standardowe równanie Lindblada dla dekoherencji fazowej. W tym sensie kanał dekoherencji fazowej z jądrem wykładniczym KT(t) jest przykładem konkretnego procesu KGO, który w warstwie operacyjnej sprowadza się do markowskiej dekoherencji, gdy pamięć jest krótkotrwała. 20.2 Relaksacja do stanu równowagi – przykład z pamięcią γ Rozważmy teraz układ, który dąży do pewnego stanu równowagi ρ∗, na przykład stanu termicznego przy zadanej temperaturze. W markowskim ujęciu relaksacja do ρ∗może być opisana generatorem Lindblada 94 Lrelρ= Γ(ρ∗−ρ), gdzie Γ>0jest skalą szybkości relaksacji, a Lrel jest reprezentacją (po rozwinięciu) odpowiedniego generatora GKSL. W wersji z pamięcią frakcyjną chcemy, aby wpływ różnicy ρ(s)−ρ∗na czas t miał długi ogon. Zgodnie z rozdziałem o pamięci γ, możemy wybrać jądro Kγ(t)ρ=kγ(t)(ρ∗−ρ), gdzie kγ(t) = cγt−1−γ/2e−µt, z parametrami 0< γ < 2, µ > 0i stałą normalizacyjną cγ. Równanie dla ρ(t)przyjmuje postać ˙ρ(t) = −i[H, ρ(t)] +  t 0 kγ(t−s)(ρ∗−ρ(s))ds. Takie równanie opisuje relaksację, w której układ „pamięta” odchylenia od równowagi przez długi czas, w sposób potęgowy modulowany wykładniczo. W zależności od parametrów γiµrozwiązania ρ(t)mogą wykazywać zachowania typu rozciągłej eksponencjalnej, na przykład ∥ρ(t)−ρ∗∥ ∼ exp−ctβ, z pewnym 0< β < 1, znakomicie różniąc się od prostej eksponencjalnej e−Γt. W granicy krótkiej pamięci, odpowiadającej µ→ ∞ przy odpowiednim skalowaniu cγ, j  adrokγ(t)staje się coraz bardziej skoncentrowane wokół zera, a całka z kγ(t)dąży do pewnej skończonej wartości. Wtedy równanie przechodzi do lokalnego generatora relaksacji Lindblada ˙ρ(t) = −i[H, ρ(t)] + Γeff(ρ∗−ρ(t)), z efektywną szybkością relaksacji Γeff =  ∞ 0 kγ(t)dt. Przykład ten pokazuje, że relaksacja obserwowana jako prosta eksponencjalna może być cieniem dużo bogatszych procesów z pamięcią w KGO, a parametry γiμodgrywają rolę „ukrytych parametrów” kształtujących szczegółowe korelacje w czasie. 95 20.3 Proste modele pomiaru ciągłego i ich granica Lindblada Procesy pomiaru ciągłego są szczególnie interesujące w warstwie operacyjnej, ponieważ opisują, jak obserwator stopniowo pozyskuje informację o układzie. W KGO można wyobrazić sobie, że pewne kanały panaktorium są stale sprzężone z aktem obserwacji, a pamięć w tych kanałach opisuje, jak dawne wyniki pomiarów wpływają na aktualne stany. Prosty model pomiaru ciągłego operatora Ana HOmożna napisać w formie równania z pamięcią dla ρ(t) ˙ρ(t) = −i[H, ρ(t)] +  t 0 κT(t−s)Lρ(s)L†−1 2L†Lρ(s)−1 2ρ(s)L†Lds, gdzie Ljest operatorem związanym z obserwowaną wielkością (na przykład L=√γA), a κT(t)opisuje pamięć aparatury pomiarowej, na przykład jej skończoną szerokość pasma. Jądro κT(t)może mieć postać wykładniczą, odpowiadającą prostemu filtru o charakterystycznym czasie T. W granicy krótkiej pamięci T→0, przy normalizacji  ∞ 0κT(t)dt = 1, równanie powyższe redukuje się do standardowego równania Lindblada ˙ρ(t) = −i[H, ρ(t)] + Lρ(t)L†−1 2L†Lρ(t)−1 2ρ(t)L†L, które jest znanym modelem pomiaru ciągłego w mechanice kwantowej. W tym ujęciu pamięć aparatury została zaniedbana, co jest usprawiedliwione, jeśli dziura czasowa T jest znacznie krótsza niż wszystkie inne czasy charakterystyczne układu. W pełnej teorii KGO pomiar ciągły może być modelowany jako sprzężenie panaktorium z dodatkowymi kanałami reprezentującymi aparaturę i obserwatora, z pełnym operatorem pamięci opisującym zarówno oddźwięk, jak i sprzężenia zwrotne. Warstwa operacyjna, z uproszczonym jądrem κT(t), jest cieniem tego procesu, a przejście do Lindblada odpowiada przybliżeniu krótkiej pamięci w tych kanałach. 20.4 Możliwe drogi weryfikacji empirycznej parametrów pamięci Parametry pamięci operacyjnej, takie jak Tw jądrach KT(t)czy γiµw jądrach frakcyjnych, mają bezpośrednie znaczenie fizyczne, ale zwykle nie pojawiają się w standardowych równaniach Lindblada. Powstaje pytanie, jak można je w zasadzie zmierzyć lub oszacować na podstawie doświadczeń. Jedną z dróg jest pełna tomografia procesów dynamicznych. Można przygotować szereg stanów początkowych ρ(k) 0, poddać je badanej dynamice przez różne czasy t i dokonać tomografii ρ(t)dla każdego k oraz t. Otrzymany zbiór map Λ(t) : ρ0→ρ(t)można poddać analizie, sprawdzając, czy zależność w czasie 96 jest markowska (czyli czy Λ(t)tworzą semigrupę), czy też występują odchylenia świadczące o pamięci. Następnie można próbować dopasować odpowiedni model z jądrem pamięci KT(t)do uzyskanych danych, na przykład poprzez rekonstrukcję funkcji KT(t)w oparciu o równanie Nakajimy–Zwanziga. Inną drogą jest spektroskopia szumów i korelacji. W wielu systemach parametry pamięci można wydedukować z kształtu widma fluktuacji pomiarowych sygnałów wychodzących. Na przykład szum o widmie typu 1/f może świadczyć o frakcyjnych ogonach pamięci, podczas gdy proste widmo Lorenza odpowiada wykładniczym jądrom pamięci. Analiza korelacji czasowych wyników pomiarów ciągłych pozwala scharakteryzować funkcję korelacji odpowiadającą κT(t)i w ten sposób wyznaczyć Toraz inne parametry. Trzecią możliwością jest porównanie dynamiki układu w różnych reżimach czasowych. Jeśli przy krótkich czasach obserwuje się odchylenia od prostego prawa eksponencjalnego, które zanikają dla długich czasów, może to wskazywać na obecność pamięci frakcyjnej lub temperowanej, która dopiero w długim horyzoncie czasowym daje się przybliżyć przez prostą dynamikę Lindblada. Poprzez dopasowanie modeli z pamięcią do danych krótkoczasowych i porównanie ich z asymptotyami długoczasowymi można wyznaczyć parametry γiµ. Wreszcie, można rozważać eksperymenty kontrolowane, w których w sposób zamierzony zmienia się parametry środowiska lub panaktorium, na przykład temperaturę, gęstość stanów środowiska lub prędkość sprzężenia, i obserwuje się wpływ tych zmian na dynamikę operacyjną. Teoretyczne modele KGO przewidują, jak parametry jądra pamięci zależą od takich czynników. Porównanie obserwowanych zmian z przewidywaniami może służyć jako test zarówno samej teorii KGO, jak i konkretnych modeli pamięci. Tom IV nie rozwiązuje wszystkich problemów identyfikacji parametrów pamięci, ale wyraźnie wskazuje, że przejście od pełnej dynamiki KGO do warstwy operacyjnej nie jest jedynie kwestią definicji ρi F^, lecz również kwestią wykrywalności efektów pamięci. Mechanika kwantowa Lindblada pojawia się wtedy jako szczególny przypadek, gdy pamięć operacyjna jest zbyt krótka lub zbyt subtelna, aby mogła zostać wykryta w danym reżimie eksperymentalnym. Część VIII Mosty między Tomami I–III a Tomem IV 21 Słownik pojęć: fenomenologia ↔matematyka 21.1 Ciągi przywiązania ↔atraktory gradientowo–hamiltonowskie W Tomie I ciągi przywiązania pojawiają się jako fenomenologiczne ścieżki, po których akton „wraca” do pewnych konfiguracji oddźwięku, znaczeń i reakcji. 97 Są to powtarzające się wzorce, w których ten sam akt, ten sam sposób reagowania na bodźce i ten sam rodzaj interpretacji świata pojawiają się raz po raz, mimo zmieniającego się kontekstu. Z perspektywy doświadczenia są to drogi najmniejszego wysiłku, dobrze wydeptane szlaki, którymi IFM porusza się „prawie automatycznie”. W Tomie IV ten intuicyjny obraz można zidentyfikować z pojęciem atraktorów w dynamice gradientowo–hamiltonowskiej z pamięcią. Przestrzeń stanów panaktorium opisujemy jako rozmaitość Kählera Hz metryką g, formą symplektyczną ωoraz globalnym funkcjonałem kosztu Cglob. Pełna ewolucja łączy część hamiltonowską XHham i gradientową −∇gCglob, z ewentualnymi dodatkowymi członami pamięci. Bez pamięci ewolucja ma postać ˙ S(t) = XHham (S(t)) −∇gCglob(S(t)). Atraktorem nazywamy zbiór A⊂H, który jest niezmienniczy względem tej dynamiki oraz przyciąga w czasie trajektorie z pewnego otoczenia. Formalnie A jest atraktorem lokalnym, jeśli istnieje otoczenie U⊂Htakie, że wszystkie trajektorie wychodzące z U pozostają w pewnym ograniczonym obszarze i ich odległość od A w sensie metryki g dąży do zera, gdy t→ ∞. Z punktu widzenia Tomu I ciąg przywiązania odpowiada takiemu atraktorowi w przestrzeni stanów: jest to zestaw stanów, do których IFM wciąż powraca po chwilowych odchyleniach. Obecność części hamiltonowskiej XHham sprawia, że atraktory gradientowo– hamiltonowskie mogą mieć bogatszą strukturę niż proste minima Cglob. Zamiast pojedynczych punktów mogą to być orbity okresowe, quasi–okresowe lub bardziej złożone podrozmaitości, na których Cglob przyjmuje wartości bliskie minimum, ale niekoniecznie stałe. Jednak gradientowy człon −∇gCglob dąży do „rozsmarowania” ruchu po poziomicach C_{\mathrm{glob}}, prowadząc do lokalnego wybierania minimów lub prawie minimów. W efekcie w reżimach zdominowanych przez część gradientową ciągi przywiązania odpowiadają lokalnym minimom Cglob wraz z ich stabilnymi rozmaitościami. Jeśli do dynamiki dodamy pamięć temperowaną, atraktory definiujemy już nie na samej przestrzeni H, lecz na rozszerzonej przestrzeni trajektorii lub stanów z pamięcią. Niemniej jednak ich interpretacja fenomenologiczna pozostaje ta sama: są to stabilne wzorce, do których IFM wraca, i w których ciągi przywiązania obserwowane w Tomie I znajdują swoje ścisłe matematyczne odpowiedniki. 21.2 Oddźwięk lokalny / zbiorowy / motylkowy ↔miary operatorowe i ogony W Tomie I oddźwięk lokalny oznacza reakcję aktonu skoncentrowaną „w pobliżu” miejsca, w którym został zadany akt: dotyczy to zarówno geometrycznej bliskości na membranie, jak i bliskości w przestrzeni znaczeń czy nawyków. Oddźwięk zbiorowy dotyczy sytuacji, w których wiele części IFM reaguje spójnie na pojedyncze zdarzenie, na przykład synchronizacja wielu aktorów lub współdrganie wielu kanałów. Oddźwięk motylkowy opisuje efekt, w którym drobne 98 zdarzenie, odłożone w czasie lub przestrzeni, po dłuższej ewolucji może prowadzić do dużych zmian w innych regionach. Tom IV wprowadza język miar operatorowych M oraz ich rozkładu na część chwilową i regularną. Dla IFM oraz KGO operator pamięci można zapisać jako miarę operatorową Mna [0,∞), rozkładaną w postaci M=B δ0+Mreg. Operator B jest odpowiedzialny za oddźwięk chwilowy, natomiast miara regularna Mreg opisuje wpływ opóźnionych oddźwięków. Lokalność i nielokalność oddźwięku w przestrzeni stanu opisujemy poprzez strukturę jąder B(·,·) iMreg(·,·;dσ)względem przekątnej w przestrzeni Ξoraz względem sprzężeń między kanałami. Oddźwięk lokalny odpowiada jądrom skoncentrowanym w pobliżu przekątnej i w ramach pojedynczego kanału, oddźwięk zbiorowy – jądrom o znacznej masie poza przekątną i z silnymi sprzężeniami między kanałami. Oddźwięk motylkowy wiążemy z ogonami miary Mreg dla dużych opóźnień σ. Dla T >0 ogon Mog(T) = Mreg(T, ∞) mierzy zintegrowany wpływ bardzo odległej przeszłości. Jeżeli jego norma mog(T) = ∥Mog(T)∥ maleje wolno, na przykład potęgowo, dawne zdarzenia mogą mieć znaczący wpływ na obecny stan i oddźwięk motylkowy jest silny. Jeśli mog(T)maleje wykładniczo, efekt motylkowy jest tłumiony: odległa przeszłość ma niewielkie znaczenie i dominują oddźwięki krótkoterminowe. W ten sposób intuicyjne rozróżnienie oddźwięku lokalnego, zbiorowego i motylkowego z Tomu I zostaje przepisane na język operatorowy w Tomie IV. Lokalność dotyczy struktury przestrzennej jąder operatorów, zbiorowość – liczby i siły sprzężeń między kanałami, a motylkowość – ciężkości ogonów miary Mreg w czasie. 21.3 Nawyki ↔atraktory i półgrupy na MT Nawyki, w sensie Tomu I, są trwałymi wzorcami zachowania IFM, które rozwijają się i utrwalają w czasie. Są to ścieżki i regiony w przestrzeni oddźwięku, do których akton powraca, a które z czasem stają się dominującą formą reagowania. Nawyki nie są pojedynczymi stanami, lecz raczej rodzinami podobnych reakcji, utrwalonych przez powtarzający się oddźwięk. W Tomie IV nawyki mogą być identyfikowane z atraktorami półgrup na odpowiednich przestrzeniach stanów z pamięcią. Jeśli pamięć IFM ma skończony lub efektywnie skończony horyzont T, można zdefiniować przestrzeń M_T jako przestrzeń stanów „rozszerzonych”, obejmującą nie tylko chwilową wartość S(t), ale cały odcinek historii S(t−σ)dla σ∈[0, T]. Półprzepływ 99 Φt:MT→MT,Φt(historia w chwili 0) = historia przesunięta o czas t, opisuje ewolucję pełnej konfiguracji z pamięcią. Atraktorem na MTnazywamy zbiór AT, który jest niezmienniczy względem Φti przyciąga trajektorie w długim czasie. Nawyk można więc utożsamić z takim atraktorem AT, rozumianym nie tylko jako zbiór pojedynczych stanów S(t), ale jako klasy całych historii, które po przesunięciu w czasie pozostają blisko siebie. Zjawisko „utrwalenia” nawyku odpowiada przyciąganiu trajektorii do AT. Przerwanie nawyku oznacza natomiast wyjście trajektorii poza region przyciągania, na przykład na skutek modyfikacji funkcjonału kosztu Cglob lub operatora pamięci. Półgrupa Φ_t jest tym samym matematycznym obiektem, którego „cieniem” są w Tomie I opisy w rodzaju „z każdym kolejnym powtórzeniem oddźwięk staje się bardziej automatyczny”, lub „ciągi przywiązania zlewają się w nawyk”. W języku Tomu IV jest to ewolucja w przestrzeni trajektorii MT, która ma atraktory odpowiadające stabilnym nawykom. 21.4 Zdrowy / patologiczny IFM ↔warunki stabilności i temperowania Tom I rozróżnia stany IFM zdrowe i patologiczne. Zdrowy IFM radzi sobie z oddźwiękiem w sposób elastyczny, zdolny jest do tworzenia i rozpuszczania nawyków bez utraty spójności, a oddźwięk motylkowy nie prowadzi do destrukcyjnej niestabilności. Patologiczny IFM to taki, w którym nawyki stają się sztywne, oddźwięk zbiorowy prowadzi do katastrofalnych reakcji, a niewielkie zdarzenia mogą wywołać nieproporcjonalnie duże, niekontrolowane skutki. Tom IV przekłada te intuicje na warunki matematyczne dotyczące stabilności i temperowania pamięci. Zdrowy IFM odpowiada modelom, w których funkcjonał Cglob jest ograniczony z dołu, ma lokalnie dodatnio określoną Hessę w pobliżu „zdrowych” minimów, a operator pamięci Mma temperowane ogony, to znaczy  ∞ 0 eωσ d∥Mreg∥(σ)<∞ dla pewnego ω > 0. W takich warunkach można wykazać, że rozwiązania równania IFM/KGO nie ulegają blow–upowi w czasie skończonym, trajektorie są stabilne w pobliżu minimów Cglob, a efekt motylkowy jest kontrolowany przez wykładniczo małe ogony pamięci. W tym reżimie panaktorium potrafi tworzyć nawyki jako atraktory, ale nie ulega patologicznemu „zawieszeniu się” w jednym wzorcu ani eksplozji reaktywności. Patologiczny IFM można zidentyfikować z sytuacjami, w których założenia te zawodzą. Jeśli Cglob jest silnie niezwiązany z dołu lub ma liczne głębokie doliny rozdzielone nieprzekraczalnymi barierami, gradientowa część dynamiki może prowadzić do „uwięzienia” w niekorzystnych atraktorach. Jeśli pamięć nie 100 jest temperowana, na przykład ogony Mreg} maleją bardzo wolno lub nawet są nieskończone, niewielkie zakłócenia z odległej przeszłości mogą dowolnie długo kumulować się i destabilizować bieżącą dynamikę. Nielipschitzowskie nieliniowości F(S)mogą z kolei prowadzić do braku dobrze postawionych rozwiązań lub do gwałtownych blow–upów w czasie skończonym. Słownik pojęć Tomu VI pozwala więc przełożyć fenomenologiczne rozpoznania „zdrowości” i „patologii” na dyskusję o istnieniu, jednoznaczności i stabilności rozwiązań równań IFM/KGO oraz o temperowaniu miar pamięci. 22 Mapowanie Tom I ↔Tom IV 22.1 Świat aktonu i jego membrana ↔równanie IFM i operator pamięci W Tomie I świat aktonu został opisany w języku membrany, oddźwięku, aktów i ciągów przywiązania. Membrana aktonu jest przestrzenią, w której zderzają się bodźce i oddźwięki, a jej lokalne właściwości decydują o tym, jak kształtują się nawyki i pola znaczeń. Z punktu widzenia Tomu IV membranę można zidentyfikować z przestrzenią konfiguracji Ξ, zaś stany IFM z polami S(ξ, t)należącymi do przestrzeni Hilberta H=L2(Ξ, µ). Równanie IFM, sformułowane w Tomie II, a uściślone w Tomie IV, ma postać ˙ S(t) = F0(S(t)) +  t 0 Kreg(t−τ)S(τ)dτ +Buu(t), gdzie F0jest częścią lokalną (gradientowo–hamiltonowską) dynamiki, Kreg jest jądrem pamięci, a B_u u(t) opisuje wpływ aktów. W Tomie I odczuwa się działanie tych równań poprzez fenomen oddźwięku na membranie: każda zmiana stanu powoduje lokalne i nielokalne reakcje w czasie. Operator pamięci M, zdefiniowany jako miara operatorowa związana z Kreg, jest matematycznym odpowiednikiem „gęstości oddźwięku” w czasie i przestrzeni membrany. Rozkład M=B δ0+Mreg odpowiada rozróżnieniu między oddźwiękiem chwilowym a opóźnionym, obecnym w narracji Tomu I, choć tam dopiero intuicyjnie naszkicowanym. W ten sposób świat aktonu z Tomu I, z jego membraną, aktami i oddźwiękiem, znajduje w Tomie IV ścisły obraz w postaci równania IFM z operatorem pamięci. 22.2 Ciągi przywiązania i praca z oddźwiękiem ↔wyniki stabilności Ciągi przywiązania w Tomie I są efektem powtarzającej się pracy z oddźwiękiem, w której akton uczy się, że pewne reakcje „działają” lepiej lub łatwiej niż inne. W związku z tym powstają trwałe ścieżki, po których oddźwięk biegnie niemal 101 automatycznie. Praca nad oddźwiękiem polega na świadomym modyfikowaniu pola IFM tak, aby zmieniać te ścieżki, zarówno na poziomie lokalnych reakcji, jak i na poziomie długich ciągów przywiązania. W Tomie IV to zjawisko znajduje swój odpowiednik w wynikach o istnieniu, jednoznaczności i stabilności rozwiązań równań IFM. Twierdzenia o dobrze postawionych równaniach z pamięcią (dla IFM i KGO) pokazują, że dla odpowiednio łagodnych nieliniowości F0i temperowanej pamięci M istnieją globalne rozwiązania, które nie eksplodują w czasie skończonym. Twierdzenia o stabilności lokalnych minimów Cglob mówią, że trajektorie startujące z otoczenia takiego minimum pozostają blisko niego i z czasem do niego dążą. Ciąg przywiązania można więc zidentyfikować z trajektorią przyciąganą przez lokalny atraktor gradientowo–hamiltonowski, na przykład minimum Cglob. Praca z oddźwiękiem, opisana w Tomie I jako zmiana nawyków i ścieżek, odpowiada modyfikacji funkcjonału Cglob lub operatora pamięci Mtak, aby zmienić położenie lub strukturę atraktorów oraz ich basenów przyciągania. Wyniki stabilności mówią, kiedy takie modyfikacje są „bezpieczne” (nie prowadzą do patologii), a kiedy grożą destabilizacją całego pola IFM. 22.3 Meta–uniwersum struktur ↔klasa równań IFM/KGO spełniających twierdzenia Tom I wprowadza pojęcie meta–uniwersum struktur jako przestrzeni możliwych „światów IFM”, jakie mogą powstać w zależności od sposobu, w jaki membrana, oddźwięk i nawyki są zorganizowane. Meta–uniwersum obejmuje zarówno światy zdrowe, jak i patologiczne, zarówno proste, jak i bardzo złożone. Jest to pojęcie bardziej filozoficzne niż techniczne, ale wskazuje na ogromną różnorodność możliwych dynamik IFM. Tom IV doprecyzowuje ten obraz, pokazując, że naturalną klasą kandydatów na „światy IFM” są wszystkie równania IFM/KGO spełniające odpowiednie twierdzenia o dobrze postawionej dynamice, temperowanej pamięci i stabilności. Meta–uniwersum można utożsamić z klasą wszystkich par (F0, M)i odpowiednich struktur geometrycznych (g,ω,Cglob), dla których te twierdzenia obowiązują. W tej klasie poszczególne światy różnią się szczegółową postacią funkcjonału kosztu, struktury sprzężeń i kształtu pamięci. Z punktu widzenia Tomu I wybór konkretnego świata odpowiada wyborowi konkretnego modelu IFM/KGO w Tomie IV. Niezmienniki strukturalne, takie jak istnienie atraktorów, temperowanie pamięci i stabilność lokalna, są tymi cechami, które decydują, czy dany świat należy do „zdrowej” części meta– uniwersum, czy też do jego patologicznych regionów. 102 23 Mapowanie Tom II ↔Tom IV 23.1 Formalne równanie IFM (Tom II) ↔dobrze postawione modele z częścią pamięciową Tom II przedstawia formalną teorię pola informacji z pamięcią, w której równanie IFM jest zapisane z pełnym członem pamięciowym i sprzęganiem do aktów. Tam równanie to ma charakter bardziej heurystyczny: wskazuje strukturę operatorów i funkcjonałów, ale nie rozstrzyga w pełni problemów istnienia i jednoznaczności rozwiązań. W szczególności pojęcie „pamięci dobrze postawionej” pojawia się jako intuicja, że nie każde jądro pamięci jest akceptowalne, lecz tylko takie, które nie niszczy możliwości rozwiązania równania. Tom IV rozwija tę intuicję, wprowadzając precyzyjne założenia typu Lipschitzowskiego dla nieliniowego członu F0oraz temperowania dla operatora pamięci M. Równanie IFM z pamięcią przyjmuje wówczas postać ˙ S(t) = F0(S(t)) +  t 0 Kreg(t−τ)S(τ)dτ +Buu(t), gdzie Kreg jest lokalnie całkowalnym jądrem operatorowym i spełnia warunki temperowania. Twierdzenia o dobrze postawionych równaniach (IFM– well–posedness) stwierdzają, że dla takich danych i dla każdego stanu początkowego S0istnieje dokładnie jedno rozwiązanie mild na dowolnym skończonym odcinku czasu. W ten sposób formalne równanie IFM z Tomu II staje się w Tomie IV elementem dobrze zdefiniowanej klasy równań różniczkowo–całkowych w przestrzeni Hilberta. Daje to podstawę matematyczną pod intuicje z Tomu II, nie zmieniając jego treści, lecz uzupełniając ją ścisłymi wynikami. 23.2 Przykłady z Tomu II w świetle twierdzeń o istnieniu i stabilności Tom II zawiera liczne przykłady szczegółowo skonstruowanych równań IFM dla konkretnych „światów aktonu”, w których pojawiają się różne formy pamięci, sprzężeń i funkcjonałów kosztu. Wtedy ich analiza opiera się głównie na intuicji fenomenologicznej: opisuję, jak dane sprzężenia wpływają na oddźwięk, jak kształtują się nawyki i jakie zjawiska mogą się pojawić. Tom IV pozwala spojrzeć na te przykłady z nowej perspektywy, pytając o to, czy spełniają one założenia twierdzeń o dobrze postawionej dynamice i stabilności. Dla konkretnych jąder pamięci z Tomu II można sprawdzić, czy są one lokalnie całkowalne w czasie, czy ich ogony są temperowane, oraz czy odpowiadające im operatory są ograniczone na H. Dla funkcjonałów kosztu można zbadać, czy są one różniczkowalne, czy ich gradienty są lokalnie Lipschitzowskie i czy Hesse jest dodatnio określony w pobliżu wybranych minimów. Taka analiza pozwala zidentyfikować, które przykłady z Tomu II reprezentują „zdrowe” światy IFM z punktu widzenia Tomu IV. Przykłady te stanowią 103 27 Jądro „teraz” i relacja do pamięci w IFM Pojęcie grubego „teraz” jako okna historii Ha(t)oraz funkcjonałów rozpoznających wzorce można połączyć z wcześniej wprowadzonym formalizmem pamięci w IFM. W równaniu ruchu pola informacji pojawił się operator pamięci, który każdemu przebiegowi X(t)przypisuje nowy przebieg jako ważoną całkę po przeszłości, RK[X](t) = η  t 0K(t−τ)X(τ)dτ. Jądro Kokreśla, jak silnie dawne stany wpływają na teraźniejszą dynamikę. W tym rozdziale pokażemy, że fenomenalne „teraz” można opisać podobną strukturą, wprowadzając jądro „teraz” Ja, które określa, jak bardzo różne momenty w oknie Ha(t)są widoczne dla świadomości aktonu. Rozważmy jedną wybraną cechę doświadczenia, na przykład jasność pola widzenia w centrum uwagi. Możemy zdefiniować funkcjonał Ejas, który każdemu oknu Ha(t)przypisuje liczbę reprezentującą tę jasność. Możemy też spróbować rozłożyć ten funkcjonał na dwie części: lokalną funkcję G, która z pojedynczego przekroju Sa(ξ, τ)wydobywa odpowiednią informację, oraz jądro czasowe Ja, które mówi, jak silnie w ocenie chwili tważą stany z różnych wcześniejszych chwil. W uproszczonym zapisie można to ująć jako Ejas(t) =  ∆a 0 Ja(τ)G(Sa(·, t −τ))dτ. W tym równaniu funkcja Ja(τ)pełni rolę fenomenologicznego jądra „teraz”. Jeśli Jajest skoncentrowane blisko zera, oznacza to, że aktualne doświadczenie tej cechy zależy głównie od bardzo świeżych stanów; jeśli natomiast ma widoczny ogon sięgający w głąb okna, to to, co przeżywane jako „teraz”, obejmuje także chwilę temu. Takie jądro można zdefiniować dla każdej cechy reprezentowanej przez funkcjonał F(i) a. Foralne równanie będzie miało podobną postać: wartość cechy w chwili tjest całką z przeszłych wartości pewnego lokalnego funkcjonału Giważoną jądrami J(i) a(τ). Różne modalności doświadczenia mogą mieć różne profile jąder. Dla szybkich bodźców wzrokowych jądro może być wąskie, bo wystarczy ułamek sekundy, by pojawiło się wrażenie błysku. Dla wolniej rozwijających się emocji jądro może być szersze, bo potrzebny jest dłuższy odcinek historii, by pojawiło się poczucie „teraz jestem spokojniejszy niż przed chwilą”. Relacja między JaiKjest nieprzypadkowa. Jądro pamięci Kpojawia się w równaniu ruchu jako obiektywny element dynamiki pola; decyduje o tym, jak historia deformacji membrany wpływa na jej przyszły kształt. Jądro „teraz” Jajest z kolei subiektywnym aspektem tej samej struktury: decyduje o tym, jak historia jest integrowana w treść aktualnego doświadczenia. W świecie, w którym pamięć fizyczna byłaby idealnie lokalna w czasie, czyli Kmiałoby postać bardzo ostrego piku, naturalnym fenomenologicznym odpowiednikiem byłoby bardzo cienkie „teraz”: większość zjawisk zmieniałaby się tak gwałtownie, że trudno byłoby mówić o spójnych wzorcach. W świecie IFM pamięć jest temperowana, ma ogon, ale opadający; analogicznie fenomenalne „teraz” ma skończoną grubość, lecz wygasającą ku krańcom. 110 Ta struktura pozwala także lepiej zrozumieć, co dzieje się w doświadczeniu, gdy oddźwięk przeszłych zdarzeń jest bardzo silny. Jeżeli w pewnym regionie świata aktonu doszło kiedyś do gwałtownej deformacji, na przykład traumatycznego zdarzenia, jądro pamięci Kmoże sprawiać, że ślad tej deformacji długo utrzymuje się w polu. W języku „teraz” oznacza to, że jądro Jadla pewnych cech doświadczenia staje się niesymetryczne: te cechy zależą nie tylko od najświeższego okna historii Ha(t), ale także od znacznie wcześniejszych fragmentów, które ciągle są nadpisywane na aktualne bodźce. W rezultacie nawet niewielki bodziec w chwili turuchamia wrażenie, jakby „teraz znowu wydarzało się to samo”, choć obiektywnie sytuacja jest inna. Matematycznie można powiedzieć, że Ja(τ)ma długi ogon, a fenomenalne „teraz” jest zaciągnięte w przeszłość. Praktyki, które tradycje duchowe i psychologia opisują jako pracę z uważnością, przebaczeniem czy integracją traumy, można w tym języku interpretować jako modyfikacje jądra Ja. Gdy akton uczy się rozpoznawać różnicę między aktualnym bodźcem a odległym wspomnieniem, jego jądro „teraz” staje się bardziej przytomne: w większym stopniu waży bardzo świeże fragmenty Ha(t), a w mniejszym odległe echa. To nie oznacza, że ślady w polu informacji znikają; oznacza, że przestają dominować w integracji, która tworzy aktualne doświadczenie. W równaniu dla Ececha(t)można by powiedzieć, że kształt Jazmienia się tak, iż ciężar całki przesuwa się ku małym wartościom τ. W drugą stronę działają nawyki ruminacji i chronicznego zamartwiania się. W takich stanach jądro Jadla pewnych funkcjonałów staje się coraz bardziej rozciągnięte, tak że aktualne „teraz” niemal całkowicie wypełniają echa dawnych zdarzeń. Strumień świadomości traci kontakt z bieżącym stanem membrany, a skupia się na wielokrotnie powtarzanym fragmencie historii. W języku IFM można by powiedzieć, że oddźwięk nie został odpowiednio wygładzony przez dynamikę, a jądro „teraz” zostało przez to zdeformowane. Opis grubego „teraz” w kategoriach okna Ha(t)i jąder Jama jeszcze jedną zaletę. Pozwala płynnie przejść od fenomenologii pojedynczego aktonu do opisu zbiorowych stanów w polu wspólnym Σ. Tak jak dla jednego aktonu definiujemy okna historii i funkcjonały rozpoznające wzorce, tak dla aktonu zbiorowego możemy mówić o oknach globalnego oddźwięku i funkcjonałach, które rozpoznają w nich rytmy historyczne, powtarzające się schematy polityczne, cykle kulturowe. Z tego punktu widzenia „teraz” cywilizacji nie jest punktem na osi czasu, lecz krótkim odcinkiem historii, w którym pewne dawne zdarzenia są jeszcze bardzo żywe, a inne zeszły w tło. Jądra pamięci i jądra „teraz” stają się wtedy obiektami, które można badać na wszystkich skalach, od neuronalnych po cywilizacyjne, w jednym, spójnym języku IFM. W ten sposób pojęcie „teraz”, które na początku wydawało się prostą intuicją codziennego doświadczenia, okazuje się mieć bogatą strukturę. W ramach tej samej teorii pola informacji z pamięcią możemy opisać zarówno mikroskopową dynamikę SiK, jak i fenomenalne grube „teraz” jako okno historii świata aktonu z własnym jądrem integrującym. Różnica między „światem jako strukturą” a „światem jako przeżywanym teraz” okazuje się różnicą sposobu integrowania tej samej historii, a nie przepaścią między dwiema zupełnie różnymi rzeczywistościami. 111 Formalnie możemy nazwać klasę równoważności fenomenalnie nierozróżnialnych okien historii „teraz” aktonu i oznaczać ją przez Teraza(t) := [Ha(t)]∼a. To znaczy, że wszystkie okna Ha(t′), dla których zachodzi F(Ha(t′)) = F(i) a(Ha(t)) dla każdego dostępnego funkcjonału F(i) a, należą do tego samego fenomenalnego „teraz”. Na poziomie całego panaktorium analogicznie możemy pisać Terazstrukt(t) := λ(t), gdzie λ(t)jest pełnym mikroskopowym stanem pola informacji z pamięcią w chwili t. 28 Geometria „teraz” i wspólne chwile Dotychczas mówiliśmy o grubym „teraz” jako o pojedynczym oknie historii Ha(t), które jest integrowane w jeden stan doświadczenia. Jednak przestrzeń wszystkich możliwych „teraz” aktonu ma własną strukturę. Możemy pytać nie tylko o to, czym jest jedno okno historii, ale także o to, jak bardzo różne są od siebie dwa różne „teraz”. Formalnym sposobem uchwycenia tej różnicy jest wprowadzenie metryki, która przypisuje każdej parze okien HaiH′ apewną odległość. Jeżeli F(i) aoznaczają funkcjonały wydobywające z okna Hacechy doświadczenia – takie jak ogólna jasność obrazu, natężenie bólu, ton emocjonalny, rozpoznane słowa – możemy zdefiniować odległość fenomenologiczną przez wzór d(Ha, H′ a) = X i wi F(i) a(Ha)−F(i) a(H′ a) 2!1/2 , gdzie wisą dodatnimi współczynnikami wyrażającymi względną wagę poszczególnych cech. Dwa okna historii są blisko siebie wtedy, gdy wszystkie ważne dla danego aktonu funkcjonały przyjmują podobne wartości. W ten sposób przestrzeń „teraz” staje się przestrzenią metryczną: każde doświadczenie chwili ma swoich sąsiadów, bardziej lub mniej odległych. Ten prosty zabieg pozwala nadać matematyczny sens intuicji, że jedne chwile są „płynnie” przechodzącymi w siebie wariantami tego samego stanu, a inne są gwałtownymi skokami. Jeżeli jako funkcję czasu tśledzimy krzywą t7→ Ha(t) w przestrzeni okien, pojawia się naturalne pojęcie prędkości: można rozważać pochodną d(Ha(t), Ha(t+δt))/δt w granicy δt →0. Gdy ta wielkość jest mała, doświadczenie przepływa łagodnie, kolejne „teraz” są do siebie bardzo podobne. Gdy jest duża, niewielka zmiana w strukturze świata Saprowadzi do zupełnie innego profilu cech i akton ma wrażenie nagłego przeskoku: w jednej chwili jest bezpiecznie, w następnej ogarnia go fala lęku. 112 Możemy zilustrować to na przykładzie. Wyobraźmy sobie akton siedzący spokojnie w fotelu i czytający książkę. Przez dłuższy czas jego okna Ha(t)zmieniają się tylko nieznacznie: obraz pokoju pozostaje taki sam, ciało jest rozluźnione, ton emocjonalny stabilny. Funkcjonały F(i) aróżnią się nieznacznie między kolejnymi oknami, a odległość d(Ha(t), Ha(t+δt)) pozostaje mała. Strumień świadomości ma charakter łagodnie płynący. Gdy nagle na ulicy rozlega się bardzo głośny huk, w jednym momencie zmienia się zarówno profil bodźców słuchowych, jak i napięcie mięśni, ciśnienie krwi, poziom pobudzenia. Funkcjonały F(i) aprzyjmują zupełnie inne wartości niż chwilę wcześniej i odległość d(Ha(t−), Ha(t+)) gwałtownie rośnie. W doświadczeniu pojawia się to jako „szok”: teraźniejszość wyskakuje z dotychczasowego toru. Ta sama geometria może zostać użyta do opisu „wspólnego teraz” dwóch aktonów. Rozważmy dwa światy SaiSboraz ich okna historii Ha(t)iHb(t′). W polu wspólnym Σistnieją zdarzenia, które wchodzą jednocześnie do obu okien: dźwięki rozmowy, obraz twarzy, wspólne gesty. Możemy wprowadzić funkcjonał synchronii Cab(t, t′) = CHa(t), Hb(t′), który przyjmuje wysokie wartości wtedy, gdy okna historii obu aktonów zawierają silnie skorelowane wzorce. Jeżeli Cab(t, t′)jest maksymalne w okolicach t≈t′, możemy powiedzieć, że aktony aibdzielą wspólne „teraz”: ich doświadczenia chwili mocno się nakładają zarówno w treści bodźców, jak i w tonie emocjonalnym. Na prostym przykładzie rozmowy widać to bardzo wyraźnie. Gdy dwie osoby są zaangażowane w dialog, ich światy SaiSbzawierają w swoich oknach Ha(t) iHb(t′)bardzo podobne konfiguracje bodźców: słyszą te same słowa, widzą nawzajem swoje twarze i gesty, rezonują ze sobą emocjonalnie. Funkcjonał Cab przyjmuje wtedy wysokie wartości i możemy powiedzieć, że „są razem tu i teraz”. Jeśli jedna z osób zaczyna odpływać myślami, jej okno historii w coraz mniejszym stopniu odbija to, co dzieje się w polu wspólnym: bodźce są rejestrowane płycej, emocje nie synchronizują się, odpowiedzi stają się mechaniczne. W języku IFM oznacza to, że Cab(t, t′)maleje, a wspólne „teraz” zanika, chociaż konfiguracje panaktorium pozostają fizycznie bliskie. W ten sposób geometria przestrzeni „teraz” pozwala opisywać zarówno wewnętrzną ciągłość strumienia doświadczenia jednego aktonu, jak i stopień współdzielonej chwili między wieloma aktonami. To, co potocznie nazywamy „byciem tu i teraz z kimś”, staje się własnością konkretnych funkcjonałów F(i) a,F(j) bi funkcjonału synchronii Cab działających na oknach historii świata w polu informacji z pamięcią. 28.1 Grube „teraz” a kwantowa geometria oddźwięku Opis grubego „teraz” aktonu można bardzo naturalnie włączyć w język kwantowej geometrii oddźwięku. KGO zaczyna od panaktorium jako całości i mówi: w 113 każdej chwili tistnieje pewien mikroskopowy stan λ(t), który opisuje pełną konfigurację pola informacji z pamięcią. Stan ten zawiera wszystkie światy aktonów, pole wspólne, autony oraz pola pamięci, a jego ewolucja jest opisana równaniem ruchu z jądrem pamięci. Od strony struktury „teraz” jest więc po prostu punktem trajektorii λ(t)w przestrzeni stanów. Równocześnie KGO wprowadza obserwatora Oz rodziną procedur pomiarowych i definiuje klasy równoważności [λ]O mikrostadów, które są nierozróżnialne operacyjnie. Dwie konfiguracje panaktorium należą do tej samej klasy, jeśli wszystkie dostępne procedury pomiarowe dają dla nich te same rozkłady wyników. W ten sposób powstaje operacyjny stan obserwatora, który jest tym, co KGO utożsamia ze stanem kwantowym w sensie geometrii oddźwięku. Kiedy mówimy o grubym „teraz” aktonu, wykonujemy analogiczny krok, lecz od strony świata przeżywanego od środka. Zamiast rozważać cały mikroskopowy stan λ(t), bierzemy świat jednego aktonu Sa(ξ, t)i nie zatrzymujemy się na pojedynczym przekroju czasowym t, lecz uwzględniamy całe okno historii [t− ∆a, t]. Definiujemy obiekt Ha(t) = Sa(ξ, τ)[t−∆a,t]×Ξa, który zawiera pełną strukturę świata aktonu na krótkim odcinku czasu. To Ha(t)jest tym, co odpowiada „grubemu teraz” na poziomie pola: obejmuje aktualny kształt membrany, bardzo świeże ślady przeszłości zakodowane w polach pamięci oraz wszystko, co w tym krótkim przedziale czasu zdążyło się zadziać w ciele i w otoczeniu. KGO uczy nas, że obiektywnie cała ta historia jest częścią jednego ruchu λ(t); tu wyodrębniamy z niej fragment, który jest dostępny świadomości aktonu jako jedna chwila. W KGO obserwator definiuje rodzinę procedur pomiarowych MO, a każda z nich przyporządkowuje mikrostadom rozkłady prawdopodobieństwa wyników PM(k|λ). Z tego materiału buduje się relację nierozróżnialności: mikrostany λi λ′są dla obserwatora Onierozróżnialne, jeśli dla każdej procedury pomiarowej Mwszystkie rozkłady PM(k|λ)iPM(k|λ′)są identyczne. Wtedy zapisuje się to symbolicznie jako λ∼Oλ′i mówi, że należą do tej samej klasy [λ]O. Tak wygląda operacyjne ujęcie „stanu” w KGO: nie liczy się pełna mikrostruktura, lecz to, jakie różnice mogą zostać wykryte dostępnych obserwatorowi kanałami. Dokładnie ten sam ruch możemy wykonać dla grubego „teraz” aktonu. Zamiast procedur pomiarowych bierzemy funkcjonały doświadczalne F(i) a, które każdemu oknu historii Ha(t)przypisują konkretne liczby: natężenie bólu, jasność pola widzenia, profil emocjonalny, rozpoznane słowa, poczucie ruchu. Matematycznie są to odwzorowania F(i) a:Ha→Rki, gdzie Hajest zbiorem wszystkich możliwych okien historii świata aktonu o zadanej długości ∆a. Dwa okna Ha(t)iHa(t′)uznajemy za fenomenalnie nierozróżnialne, jeśli wszystkie funkcjonały przyjmują na nich te same wartości. Można wówczas zdefiniować relację Ha(t)∼aHa(t′)i klasę równoważności [Ha(t)]∼ajako „stan przeżywanego teraz” dla aktonu a. 114 W ten sposób otrzymujemy precyzyjne utożsamienie: operacyjny stan obserwatora w KGO i fenomenologiczny stan „teraz” aktonu są tego samego rodzaju obiektem matematycznym. Oba są klasami równoważności w zbiorze bogatszych struktur (mikrostadów λlub okien historii Ha) zdefiniowanymi przez dostępne relacje rozróżnialności. W KGO rozróżnialność zależy od procedur pomiarowych, w fenomenologii od funkcjonałów, którymi akton czyta swój świat. W jednym i drugim przypadku jest to formalne odzwierciedlenie minimalnej treści, jaką dany podmiot może przypisać rzeczywistości na podstawie tego, czym dysponuje. Dobrym przykładem jest porównanie pomiaru spinu cząstki i rozpoznania słowa „dom”. W KGO procedura pomiarowa „spin wzdłuż osi z” przypisuje mikrostadom λrozkłady Pspinz(+1|λ)iPspinz(−1|λ). Dwa mikrostany należą do tej samej klasy [λ]O, jeśli każdy możliwy pomiar, w tym pomiar spinu, daje takie same rozkłady wyników. Z punktu widzenia obserwatora nie da się ich odróżnić. W opisie grubego „teraz” funkcjonał Rdom(Ha(t)) odgrywa rolę detektora słowa. Każdemu oknu historii przypisuje liczbę z przedziału [0,1] oznaczającą stopień dopasowania aktualnego przebiegu dźwięku do wzorca słowa „dom”. Dopiero gdy Rdom(Ha(t)) przekracza pewien próg, akton „słyszy” to słowo. Dwa okna historii należą do tej samej klasy [Ha]∼a, jeśli wszystkie tego typu funkcjonały – nie tylko dla „domu”, ale i dla innych słów oraz cech doświadczenia – dają te same wyniki. Zewnętrzny pomiar spinu i wewnętrzne rozpoznanie słowa są więc dwiema manifestacjami tej samej strukturalnej zasady: to, co istnieje operacyjnie, jest wyznaczone przez rodzinę dostępnych funkcjonałów. Jeszcze głębszy związek z KGO pojawia się w momencie, gdy uwzględnimy pamięć i oddźwięk. W równaniu ruchu pola informacyjnego pojawia się operator pamięci z jądrem K, które określa, jak przeszłe stany wpływają na aktualną dynamikę. Symbolicznie można to pisać jako (RK[X])(t) = η  t 0 K(t−τ)X(τ)dτ, gdzie X(t)jest pewną obserwowaną wielkością pola, a Kdeterminuje, jak daleko w przeszłość sięga pamięć danego fragmentu panaktorium. To jądro jest obiektywną własnością dynamiki: mówi, w jaki sposób historia odciska się w aktualnym kształcie pola. Kiedy patrzymy na strumień świadomości aktonu, wprowadzamy jądro „teraz” Ja(τ), które w bardzo podobny sposób określa, jak przeszłe chwile w oknie [t−∆a, t]ważą w aktualnym doświadczeniu. Dla wybranej cechy doświadczenia, na przykład jasności pola widzenia, możemy napisać Ejas(t) =  ∆a 0 Ja(τ)G(Sa(·, t −τ))dτ, gdzie Gjest funkcją, która z pojedynczego przekroju świata Sawydobywa chwilową „jasność”, a Ja(τ)mówi, jak bardzo chwila t−τprzyczynia się do tego, co jest przeżywane jako jasność „teraz”. Różnica między KiJapolega 115 tylko na tym, że pierwsze działa na poziomie dynamiki pola, a drugie na poziomie mapowania świata aktonu na treść doświadczenia. W głębszym sensie są to bliźniacze obiekty: jedne pamiętają historię w strukturze, drugie pamiętają historię w chwili przeżywanej. Z perspektywy KGO można powiedzieć, że grube „teraz” jest sposobem, w jaki jeden szczególny obserwator – akton z określoną geometrią oddźwięku – traktuje złożony mikroskopowy stan λ(t)jako operacyjny stan siebie samego. Zamiast patrzeć na całą trajektorię panaktorium, widzi tylko okno Ha(t)swojego świata. Zamiast wszystkich możliwych procedur pomiarowych, używa swojej rodziny funkcjonałów F(i) a. Zamiast obiektywnej metryki w przestrzeni stanów kwantowych, odczuwa subiektywną odległość między różnymi „teraz”. Wszystko to mieści się jednak w tej samej ramie: kwantowa geometria oddźwięku opisuje przestrzeń stanów, ich relacje i pamięć; grube „teraz” jest tylko jej szczególnym przekrojem, w którym świat oglądany jest od wewnątrz. Można to zobaczyć na bardzo prostym przykładzie dwóch różnych obserwacji: pomiaru spinu w laboratorium i doświadczenia momentu paniki na ulicy. W laboratorium obserwator Owybiera procedurę pomiarową, przygotowuje układ, wykonuje pomiar i rejestruje wynik. KGO opisuje to jako przejście pewnej klasy [λ]Ow inną, zgodnie z regułami geometrii oddźwięku i kosztu. Na ulicy akton doświadcza głośnego huku, nagłego przyspieszenia serca, spięcia mięśni. Jego okno historii Ha(t)nagle odkleja się od spokojnych poprzednich konfiguracji i w przestrzeni fenomenalnych stanów „teraz” dokonuje się duży skok. Formalnie jest to zmiana klasy [Ha(t)]∼a, spowodowana tym, że funkcjonały F(i) aprzyjmują wartości bardzo odległe od dotychczasowych. W obu przypadkach ta sama struktura panaktorium i ten sam formalizm geometrii oddźwięku opisują przejście od jednego stanu do drugiego; różnica polega na tym, czy patrzymy na to z perspektywy zewnętrznego aparatu pomiarowego, czy z perspektywy przeżywanego „teraz” aktonu. Włączenie grubego „teraz” w język KGO pokazuje, że nie ma przepaści między opisem świata jako struktury a opisem świata jako doświadczenia. Klasy [λ]Oi klasy [Ha(t)]∼ato dwie strony tej samej monety: jedne służą fizykowi do opisu tego, co obserwowalne w eksperymencie, drugie służą aktonowi do organizowania strumienia przeżyć. Kwantowa geometria oddźwięku dostarcza formalnych narzędzi – przestrzeni stanów, metryki, jąder pamięci – a koncepcja grubego „teraz” wypełnia je konkretną treścią fenomenologiczną. Dzięki temu „teraz”, słowo, ruch i emocja mogą być opisane tym samym równaniem, którym opisujemy kwantowy proces pomiaru, tyle że oglądanym z innego miejsca w panaktorium. Podsumowanie Tomu IV w kontekście pierwszych trzech tomów Tom IV domyka drogę, którą cały cykl „Wzorów rzeczywistości” przechodzi od fenomenologicznego opisu przeżywanego świata, przez szkic formalizmu pola informacyjnego z pamięcią, aż po jego dojrzałe ujęcie operatorowe. To, co w Tomie I pojawiało się jako intuicja i język doświadczenia, w Tomie II jako zapowiedź równania IFM, a w Tomie III jako struktura Kwantowej Geometrii 116 Oddźwięku, tutaj zostaje zebrane w jedno i wypowiedziane w języku dobrze postawionych równań na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Tom I wprowadzał fundamentalny obraz świata aktonu. Świat aktonu jawił się tam jako membrana przeżywanego świata, w której wszystko, co się wydarza, ma charakter oddźwięku: aktualne „teraz” jest zawsze przesycone śladami przeszłych stanów. Pojęcia „ciągów przywiązania”, „nawyków”, „dobrych” i „złych” oddziaływań czy „grubego teraz” były opisane przede wszystkim z perspektywy fenomenologicznej, jako struktury doświadczenia, a nie jako obiekty matematyczne. Matematyka wchodziła na scenę raczej jako sugestia, jako szkic rusztowania, na którym można by kiedyś oprzeć ścisły formalizm. Tom II uczynił pierwszy zdecydowany krok w stronę takiego formalizmu, proponując równanie pola informacyjnego z pamięcią, czyli równanie IFM. Dynamika świata aktonu została tam opisana równaniem, w którym obok części lokalnej pojawia się część pamięciowa, najczęściej w postaci całki Volterry. Formalnie można to zapisać jako dS dt (t) = F(S(t)) +  t 0 K(t−τ)S(τ)dτ, gdzie Fopisuje część bez pamięci, a Kjest jądrem pamięci. W Tomie II takie równanie pojawiało się jednak przede wszystkim jako nośnik intuicji: pytania o dobrze postawione zagadnienie, klasy jąder pamięci, warunki istnienia i jednoznaczności rozwiązań były tam raczej sygnalizowane niż systematycznie rozwiązywane. Tom III wprowadził Kwantową Geometrię Oddźwięku, która przekształca intuicje Tomu I i szkicową postać równania z Tomu II w spójny formalizm. Panaktorium zostało ujęte jako przestrzeń Hilberta lub, bardziej ogólnie, jako przestrzeń z geometrią Kählera, a oddźwięk został opisany przez funkcjonały kosztu i miary operatorowe pamięci. Światy poszczególnych aktonów opisują pola Sa(ξ, t)na przestrzeni zdarzeń Ξ, a globalny stan panaktorium zostaje zebrany w polu Span. Dla każdego świata aktonu wprowadza się funkcjonał kosztu Ca[Sa], a globalny koszt panaktorium, oznaczany zwykle jako Cglob[Span], jest sumą kosztów poszczególnych światów i części wspólnych, z dodatkowymi wkładami od pól pamięci. Formalna zasada ruchu mówi, że panaktorium podlega dynamice wynikającej z gradientu lub struktury hamiltonowskiej tego kosztu, a pamięć pojawia się jako dodatkowa warstwa w równaniu KGO, wyrażona przez jądra operatorowe i pola pomocnicze. Na tym tle Tom IV pełni rolę ogniwa, które łączy wszystkie poprzednie tomy w jednym, spójnym obrazie. Z punktu widzenia Tomu I pokazuje on, że pojęcia takie jak ciągi przywiązania, nawyki czy grube „teraz” nie są tylko literackimi metaforami, ale mają ścisłe odpowiedniki w dynamice z pamięcią i w geometrii przestrzeni stanów. Ciągi przywiązania można zrozumieć jako trajektorie przyciągane przez atraktory półprzepływu w przestrzeni rozszerzonej o pamięć, na przykład w przestrzeni trajektorii na przedziale [t−T, t]. Nawyki stają się atraktorami gradientowo–hamiltonowskimi funkcjonału kosztu: stabilnymi minimami lub bardziej złożonymi strukturami przyciągającymi w krajobrazie Cglob. Grube 117 „teraz” znajduje swój matematyczny obraz w konstrukcjach, w których stan w chwili trozumie się jako parę składającą się z wartości chwilowej oraz fragmentu historii w pewnym oknie, formalnie jako punkt w przestrzeni śladów na przedziale [t−T, t]. Tym samym Tom IV spełnia obietnicę Tomu I: fenomenologiczny opis przeżywania zostaje włączony do jednego, spójnego formalizmu, bez utraty swojej specyficznej treści. Z punktu widzenia Tomu II Tom IV odpowiada na pytania, które wówczas pozostały otwarte. Równanie IFM z pamięcią nie jest tu już jedynie schematem, lecz częścią klasy dobrze postawionych równań ewolucyjnych na przestrzeniach Banacha i Hilberta. Część bez pamięci zostaje utożsamiona z operatorem generującym półgrupę C0lub z odpowiednio regularną nieliniowością typu Lipschitza, natomiast pamięć jest konsekwentnie traktowana jako operator Volterry generowany przez miarę operatorową M. Pojawiają się precyzyjne definicje pamięci chwilowej, temperowanej i długiego zasięgu, zapisane w języku norm miar operatorowych i oszacowań ich ogonów. Twierdzenia udowodnione w Tomie IV pokazują, że przy naturalnych założeniach na FiMrównania typu dS dt (t) = F(S(t)) +  [0,∞) S(t−σ)M(dσ) są lokalnie dobrze postawione w przestrzeni C([0, T]; H), a w wielu reżimach można uzyskać również wyniki o globalnym istnieniu i stabilności. Tym samym równanie IFM z Tomu II przestaje być jedynie nośnikiem intuicji, a staje się reprezentantem konkretnej, dobrze zrozumianej klasy równań z pamięcią. W relacji do Tomu III Tom IV można odczytać jako rozwinięcie Kwantowej Geometrii Oddźwięku w dwóch uzupełniających się kierunkach. Z jednej strony porządkuje i doprecyzowuje warunki matematyczne, przy których równania KGO są dobrze postawione. Precyzuje klasy jąder pamięci Kab, dla których można sformułować twierdzenia istnienia i jednoznaczności zarówno w przypadku równań liniowych, jak i nieliniowych. Określa rolę pól pamięci Bαi operatorów reaktywności w dynamice panaktorium. Z drugiej strony Tom IV łączy formalizm KGO z teorią operacyjną oraz z równaniami efektywnymi znanymi z mechaniki kwantowej. W szczególności pokazuje, że w odpowiedniej granicy krótkiej pamięci równanie KGO prowadzi do równania Lindblada jako skutecznego opisu lokalnej, pozornie bezpamięciowej ewolucji, podczas gdy pełne panaktorium z pamięcią zachowuje odwracalność i globalną strukturę oddźwięku. W języku IFM można powiedzieć, że Tom IV ilustruje, w jaki sposób z bogatej, pamięciowej dynamiki pola informacyjnego wyłaniają się dobrze znane, uproszczone równania fizyki otwartych układów kwantowych. Z perspektywy końca Tomu IV szczególnie wyraźnie widać, że cały cykl jest spójny dzięki jednej nici przewodniej. Wszystkie cztery tomy mówią w gruncie rzeczy to samo, na różnych poziomach języka: rzeczywistość, zarówno fizyczna i kwantowa, jak i psychiczna oraz społeczna, może być rozumiana jako struktura oddźwięku pola informacyjnego z pamięcią. Tom I opisuje ten oddźwięk na poziomie doświadczenia świata aktonu. Tom II zapisuje go w postaci równania IFM. Tom III obdarza go strukturą geometryczną panaktorium i funkcjonału 118 kosztu, wprowadzając Kwantową Geometrię Oddźwięku. Tom IV pokazuje, że ta konstrukcja może być prowadzona z wystarczającą matematyczną dyscypliną, aby mówić o dobrze postawionych równaniach, klasach pamięci, atraktorach, przejściach pomiędzy nawykami, granicach krótkiej i długiej pamięci oraz o redukcjach do efektywnych teorii fizycznych. Tom IV nie zamyka jednak tematu, lecz raczej otwiera kolejne etapy pracy. Wskazuje naturalne kierunki dalszych badań: dopracowanie pełnego rygoru analizy funkcjonalnej dla najogólniejszych klas pamięci i nieliniowości, rozwinięcie konkretnych modeli kosmologicznych, kwantowych i statystycznych opartych na IFM i KGO, a także przeniesienie konstrukcji atraktorów, nawyków i pamięci temperowanej na grunt formalnych modeli procesów psychicznych i dynamiki społecznej. Na meta–poziomie pojawia się pytanie o miejsce IFM i KGO w szerszym meta–uniwersum struktur matematycznych, o którym mowa była już w pierwszym tomie. W tym sensie Tom IV można czytać jednocześnie jako zakończenie i jako początek. Domyka on pierwszy cykl, w którym fenomenologia, metafizyka, fizyka i matematyka zostają ustawione na jednej osi oddźwięku, a zarazem przygotowuje grunt pod bardziej techniczny etap: od systematycznej filozofii oddźwięku do systematycznej matematyki oddźwięku. Gdy wszystkie cztery tomy stoją obok siebie, widać, że nie są to cztery osobne opowieści, lecz cztery przekroje przez jedną strukturę: informacyjne pole z pamięcią i jego geometryczny, operacyjny oraz fenomenologiczny oddźwięk. Zbiorcza errata i dopasowania formalne (Tom I–III → Tom IV) Cel: Tom IV pełni rolę warstwy doprecyzowującej wobec Tomów I–III (bez ingerencji w ich treść). Wszędzie, gdzie w Tomach I–III użyto skrótów notacyjnych lub intuicyjnych zapisów, Tom IV ustanawia obowiązującą konwencję formalną. Konwencje wspólne (obowiązujące w Tomie IV) (1) Jeżeli rozważane są pola zespolone, to pracujemy w L2(Ξ, ν)z iloczynem skalarnym ⟨f, g⟩:=  Ξf(ξ)g(ξ)dν(ξ). Wszelkie relacje ortonormalności oraz definicje oparte o iloczyn skalarny w Tomach I–III należy czytać w tej konwencji, nawet jeśli w zapisie skrótowym brak kreski (sprzężenia). (2) Zalecane rozdzielenie symboli (dla uniknięcia kolizji): przestrzeń Hilberta oznaczamy jako H, miarę w L2(Ξ, ν)jako ν, a stan/miarę probabilistyczną warstwy operacyjnej jako µ(lub P). Jeżeli w sterowaniu występuje funkcja przełączająca, oznaczamy ją jako σ(·)(nie µ(·)). (3) Formalizm rzeczywisty (Tom II) traktujemy jako przypadek szczególny formalizmu zespolonego (Tom III) przez ograniczenie do podprzestrzeni rzeczywistej albo przez realifikację HC∼ =HR⊕HR. Tom I (AMI): dopasowania do aparatu pamięci Tomu IV (1) Jeżeli w Tomie I operator pamięci ma postać RK[X](t) = η  t 0K(t− τ)X(τ)dτ, to w Tomie IV dopuszcza się wchłonięcie parametru ηdo jądra przez podstawienie K←ηK (konwencja skalowania). (2) Rozróżnienia intuicyjne (oddźwięk natychmiastowy vs opóźniony) czy119