THE PROBLEM OF HOLOMORPHIC RECONSTRUCTION OF FUNCTIONS.

ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-12 574 FUNKSIYALARNI GOLOMORF TIKLASH MASALASI. Elomonova Dildora Alisher qizi Fizika-matematika fakulteti Matematika-ta’lim yo’nalishi 3-kurs talabasi. THE PROBLEM OF HOLOMORPHIC RECONSTRUCTION OF FUNCTIONS. Elomonova Dildora Alisher kizi Faculty of Physics and Mathematics 3rd year student of the Mathematics-Education department. ПРОБЛЕМА ГОЛОМОРФНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ФУНКЦИЙ. Эломонова Дилдора Алишер Кизи Физико-математический факультет Студентка 3 курса математическо-педагогического отделения. Annotatsiya: Biz bu maqolada Koshining integral formulasidan foydalanib sohaning qismida berilgan funksiya uchun golomorf tiklash masalasini ko’rib chiqdik va turli xil misollarga tadbiqini ko’rdik. Kalit so’zlar: Koshining integral formulasi, golomorf, Xardi sinfi, Lebeg o’lchami, A.M.Kitmanov, T.Karleman, G.Krilov, M.Lavrentov, Grin funksiyasi, Drixli masalasi. Annotation: In this article, we examine the problem of holomorphic reconstruction for a function given on a part of a domain using Cauchy’s integral formula, and we explore its application to various examples. Keywords: Cauchy’s integral formula, holomorphic, Hardy class, Lebesgue measure, A.M. Kitmanov, T. Karleman, G. Krylov, M. Lavrentiev, Green’s function, Dirichlet problem. Аннотация: В данной статье рассмотрена проблема восстановления голоморфизма для заданной функции на части сферы с использованием интегральной формулы Коши и показано её применение к различным примерам. Ключевые слова: интегральная формула Коши, голоморф, класс Харди, размерность Лебега, А.М. Китманов, Т. Карлеман, Г. Крылов, М. Лаврентов, функция Грина, проблема Дриксли. Kompleks sonlar tekisligi da chegaralangan sohani qaraylik . Uning chegarasi silliq ( bo’lakli silliq) chiziqdan iborat. Bu yopiq egri chiziq musbat yo’nalishda olingan bo’lsin. Aytaylik, to’plamda funksiya aniqlangan bo’lsin. Teorema- : Agar funksiya sohada golomorf bo’lib, da uzluksiz bo’lsa, u holda nuqta uchun ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-12 575 tenglik o’rinli bo’ladi. Bu integral formula: 1) soha tanlamaydi; 2) yadrosi golomorf hisoblanadi. Bunday integral formula da boshqa yo’q. integral formulaning ma’nosi shuki: funksiya soha chegarasi da uzluksiz berilgan bo’lsa , bu funksiyaning shu qiymatlari orqali soha ichida golomorf tiklash mumkinligini anglatadi. Tabiiy savol tug’iladi funksiya soha chegarasining Lebeg ma’nosida musbat o’lchamli qismida berilgan bo’lsa , uni ham soha ichida golomorf tiklash mumkinmi ? Bu savolga birinchi bo’lib -yilda T.Karleman ijobiy javob topgan. Shuning uchun bunday formulalar Karleman formulalari deb yuritiladi. Undan keyin - yilda G.Krilov, keyinchalik M.Lavrentov , A.M.Kitmanov matematik sifatida xissa qo’shgan. Savol: Chegaraning qismida berilgan funksiya uchun ham golomorf tiklash mumkinmi ? Yechim: Goluzin-Krilov usuli. Faraz qilaylik, -kompleks tekislikning dagi bir bog'langan, cheklangan sohasi bo'lib, uning chegarasi silliq. Xardi sinfiga mansub funksiyalar uchun Koshining integral formulasi o'rinli: , . Chegara da Lebeg ijobiy o'lchamiga ega bo'lgan o'lchab bo'ladigan to'plamni ajratamiz. Vazifa shundan iboratki: funksiyani sohada ichida tiklash, lekin dagidek uning butun chegarasi bo'ylab emas, faqat to'plamdagi qiymatlaridan foydalanib , Karlemanning juda sodda, ammo nihoyatda samarali g'oyasidan foydalanamiz: ya'ni "so'ndiruvchi funksiya" quramiz, bu bizga dagi integrallashni butun bo'ylab emas, balki faqat bo'ylab olib borish imkonini beradi. Buning uchun yordamchi funksiya ni ikki shart bilan qurish kerak: 1. deyarli hamma joyda \ da; 2. barcha uchun. Buni amalga oshirish uchun mos Dirixle masalasini yechamiz. Masalan, quyidagi funksiyani olaylik: , bu yerda - dagi yoy uzunligi, soha uchun Grin funksiyasi. formula da garmonik va cheklangan bo'lgan funksiyani beradi, u esa: ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-12 576 sohalarida. Agar biz soha bo'yicha garmonik o'lchovlardan foydalansak, va ga garmonik qo'shma funksiya bo'lsa, unda ushbu va shartlarni qanoatlantiradi. Teorema- . ( Goluzin Krilov). Agar bo’lsa va Lebeg bo’yicha ijobiy o’lchamga ega bo’lsa, unda har bir uchun Karleman formulasi o’rinli: yuqoridagi yaqinlashuv ning kompaktlari bo’yicha bir xilda amalga oshadi. Isboti. Funksiya Xardi sinfi ga tegishli, bu yerda - ijobiy butun son, Koshi formulasi 1) ga ko’ra: . Buni ikkiga ajratamiz: . Endi ko’rishimiz mumkinki dagi ikkinchi integral da har qanday kompakt uchun bir xilda 0 ga yaqinlashadi. Shu bilan teorema isbot bo’ldi. Huddi shu tarzda, har qanday uchun funksiyani olaylik shunda bu yerda logarifimning qaysi tarmog’ini olishimiz hech qanday rol o’ynamaydi, chunki ko’paytuvchi o’zgarmaydi. Natija. Teorema-1 shartlari bajarilganda: Isbot. Oson chunki: bu yerda chap tomondagi limitning mavjudligio’ng tomondagi o’lchovsiz integralning mavjudligiga teng kuchli shart. Agar endi va formulalarni tenglashtirsak, uchun: ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-12 577 . Ba’zan so’nuvchi funksiyani yanada sodda shaklda qurish mumkin. Ba’zan yoramchi funksiya ni oddiyroq yo’l bilan qurish mumkin va bu faqat bir bog’langan sohalarga xos bo’lmaydi. Quyidagi misollarda - konformal tasvirlash jarayonida cheksizga o’tayotgan nuqtalarni bildiradi. Misol- . Faraz qilaylik, bir bog’langan soha, esa uning chegarasidagi yoy. Shunday sohani qaraylikki: Bunda tashqi tomonini birlik doira ga konformal akslantiradigan funksiyani olamiz, masalan , va - akslantirish orqali tashqi nuqta bo’lsin. Shunda qaysiki bo’lishi kerakya’ni tashqarisida yotishi uchun. Misol- . Sohaning chegarasi va to’g’ri chiziqlari hamda silliq egri chiziqdan iborat bo’lib, u burchagi ichida joylashgan bo’lsin. Faraz qilaylik, . Endi egri chiziqni sifatida olaylik. Shunda burchagining bissektrisasida yotgan har bir nuqta uchun Karleman formulasi: . Bu yerda : - burchakning cho’qqisi, logarifimning qaysi tarmog’i olinishi ahamiyatga ega emas va formulani isbotlash uchun shuni ko’rsatish kifoya . Har bir fiksirlangan uchun bo’yicha sinfiga mansub, agar bo’lsa va bissektrisada yotsa, u holda ISSN: 2582-4686 SJIF 2021-3.261,SJIF 20222.889, 2024-6.875 ResearchBib IF: 9.948 / 2024 VOLUME-5, ISSUE-12 578 va yakunida . Misol – 3. Faraz qilaylik, soha quyidagicha chegaralangan. Pastdanhaqiqiy o’qning bir bo’lagi bilan, yuqoridanhaqiqiy o’qdan yuqorida joylashgan silliq egri bilan. Shunda har bir uchun quyidagi formulalar o’rinli bo’ladi. (qarang va tengliklarga) . Yoki teng qiymatli variant: . Formulalar va statistik yadroviy fizikadagi dispersiya munosabatlarini o’rganishda qo’llangan. Bu usullar yordamida golomorf funksiyani nafaqat bissektrisa bo’yicha, balki burchagining butun ichida ham tiklash mumkin. Buning uchun burchakni biroz kichraytirib olish kifoya, shunda burchakning ichida joylashadi. Shu sabab, Karleman formulasidan to’plam ham ga bog’liq bo’ladi va so’ndiruvchi funksiyaning ham ga bog’liqligi tabiiybu yerda faqat ko’paytuvchining maxrajida turgani uchun. Xulosa sifatida va shartlarni qanoatlantiruvchi so’ndiruvchi funksiyani boshqa usullar bilan ham qurish mumkin; GoluzinKrilov yondashuvi buni soddalashtiradi. Ular shunday funksiya topadilarki, quyidagilar bajariladi: deyarli butun da, esa da. Bu ikki shartni bajaruvchi ni toppish uchun: Chegaraga mos keluvchi funksiyani olamiz, so’ng garmonik funksiya qurib va yakunida shunda kerakli barcha shartlarga erishiladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. 1) Введение в комлексный анализ. Б.В.Шабат. Москва-1976. 2) Г.Худойберганов ва бошкалар - Комплекс анализ. Тошкент-1978. 3) И.П.Натансон. Теория функций вещественной переменной. Москва-1974. 4) Айзенберг Л. А. Формулы Карлемана в комплексном анализе.