Analytic semigroup of infinite dimensional interacting Brownian motion (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/361748768 無限次元干渉Brown運動に関する解析的半群 Preprint · July 2022 DOI: 10.13140/RG.2.2.12505.60007 CITATIONS 0 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 23 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 04 July 2022. The user has requested enhancement of the downloaded file. R∞上の無限次元干渉 Brown 運動に関する 解析的半群 Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 加算直積空間 R∞:= Qn∈NR上の加算無限干渉 Brown 粒子系に関する正則 半群の生成作用素を極大単調自己共役作用素 ∞ X k=1 −∂ ∂xk +Hk ∂ ∂xk +Hk として定義する。一見、これは、かなり難しい問題のように見えるが、R∞ 上の ∂ ∂xk を単なる（一般化された）偏微分として定義することができるため、 実は、あまり難しくはない。もっとも重要なのは、その定義域が R∞の可測 な「部分集合」であるような可測関数の列 {Hk}∞ k=1 に対して、H-偏微分 ∂H,k := ∂ ∂xk +Hk を閉作用素として定義することである。前原稿と同様に、解析学の基礎知識 （及び、前原稿の一部）だけが必要である。 Analytic semigroup of infinite dimensional interacting Brownian motion on R∞ We define the generator of a holomorphic semigroup for a countably infinite interacting Brown particle system on a countable direct product space R∞:= Qn∈NRas a maximal monotone self-adjoint operator P∞ k=1((−∂ ∂xk+ Hk)( ∂ ∂xk+Hk)). At first glance, this may seem like a pretty difficult problem, but it is not too difficult because ∂ ∂xkon R∞can be defined as just a (generalized) partial derivative. The most important thing is to define a H-partial derivative ∂H,k := ∂ ∂xk+Hkas a closed operator for a sequence {Hk}∞ k=1 of measurable functions whose domain are measurable “subsets” of R∞. As with the previous manuscript, only basic knowledge of analysis (and part of the previous manuscript) is required. 長田博文「無限粒子系の確率幾何と力学」数学 69 (3), 225-254, 2017-07-25 長田博文「無限粒子系の確率解析学」数学 71 (2), 113-137, 2019-04-24 https://www.jstage.jst.go.jp/browse/sugaku/-char/ja 1 1動機付け Rnを（標準的な Riemann 計量による）Riemann 多様体とする。何故、こ のような言い方をするかと言うと、本節の形式的な議論は、Riemann 多様体 に一般化できると思われるからである。H∈C2(Rn)とする。このとき、Rn 上の確率微分方程式 dXt=√2dBt−2gradHdt に関する生成作用素は、形式的には −4Rn+ 2gradH となり、dx をRnの（標準的な Riemann 計量による）標準的な体積要素とし てL2(e−2Hdx)で対称である。一方、e−2Hdx はdx と互いに絶対連続であるか ら、密度の平方根によって、L2(e−2Hdx)はL2(Rn)に（Hilbert 空間として） 標準的に同型である。この同型によって、当該の作用素は L2(Rn)の対称作 用素に移る訳であるが、具体的に計算してみると、（形式的な）Schrodinger 作用素 −4Rn+kgradHk2−4RnH である。形式的に (−4Rn+ 2gradH)(1) = 0 であることを反映して、形式的 に(−4Rn+kgradHk2−4RnH)(e−H)=0である。例えば、H(x) = 1 2kxk2 のとき、kgradHk2− 4RnH=kxk2−nとなるので、これは調和振動子の Hamiltonian であり、e−1 2∥x∥2はその基底状態である。ここまでの話を纏める と、(自己干渉も含めた)干渉ポテンシャル Hに関する適当な仮定の下で、 −4Rn+kgradHk2−4RnH は干渉 Brownn-粒子系に関する L2(Rn)上の解析的半群の生成作用素である ということになる。 さて、Rnは有限次元であるが、無限次元の場合を考えたい。あまり、一 般的に考えても埒が明かないので、何か適当な設定を考えたい。まず、Rnは Riemann 多様体の族 {R}k∈{1,2,··· ,n}の直積 Riemann 多様体であることに注目 すると（と言っても、先取りして、上で n-粒子系と既に言ってしまったのだ が）、上記の（形式的な）Schrodinger 作用素は X k∈{1,2,··· ,n} −∂2 ∂xk2+ ∂H ∂xk 2 −∂2H ∂xk2! 2 と表示することも自然である。当然、ここで {1,2,··· , n}をNに置き換えた くなる訳だが、それは少し待って、さらに、形式的な非負性が見易い形 X k∈{1,2,··· ,n}−∂ ∂xk +∂H ∂xk ∂ ∂xk +∂H ∂xk にまで、形式的に変形できる。さらに、これに対応して、形式的に X k∈{1,2,··· ,n} ∂ ∂xk +∂H ∂xku, ∂ ∂xk +∂H ∂xkvL2(Rn) と表記される非負対称双線形形式（あるいは、エネルギー汎関数）こそが Hamiltonian の実体であると考えよう。ここで、{1,2,··· , n}をNに置き換 えると、L2(R∞)上の（形式的な）非負対称双線形形式 X k∈N ∂ ∂xk +∂H ∂xku, ∂ ∂xk +∂H ∂xkvL2(R∞) が得られる。ここで、そもそも、{1,2,··· , n}をNに置き換えたときの Hに 関連した部分の意味付けが大きな問題になることが非常に多いが、本原稿で は、これが、形式的に次のように定義されている場合を想定する。Nの各有 限部分集合 Aに対し、UA∈C1(RA)が与えられているとする。H:= PAUA である、と想定する。従って、Hk:= ∂H ∂xk として、 Hk:= X k∈A ∂UA ∂xk に対して、L2(R∞)上の非負対称双線形形式 X k∈N ∂ ∂xk +Hku, ∂ ∂xk +HkvL2(R∞) が形式的に定まった。仮に ∂ ∂xk+Hkが閉作用素として定義できれば、前原稿 とほぼ同様に議論が進行することになる。ところで、Hkの定義式の右辺は 一般に収束しない。従って、Hkの定義域は、R∞の可測な「部分集合」であ る。そこで、R∞の可測な「部分集合」をその定義域とする実数値可測関数 Hkに対して、 ∂ ∂xk +Hk を閉作用素として定義することが、次節以降の主題となる。 3 2R∞上の偏微分 ∂ ∂xk 本原稿では、「H1(R)をその定義域とする一般化された微分」の性質を直接 的に利用できるように、R∞上の偏微分 ∂ ∂xk を単なる（一般化された）偏微分と して導入する。前原稿から引き継ぐのは、前原稿の「第１節」と「命題２７」 である。すなわち、任意の可測空間Xに対して、X上の実測度（符号つき測度） の全体の集合 RM(X)が自然に実 Hilbert 空間となっている。 Rを可測集合族を位相的 σ加法族（位相空間 RのBorel 集合族）とする 可測空間とし、R∞でRの加算直積可測空間 Qn∈NRを表す。従って、前原 稿の第１節と命題２７より、RM(R∞)は実 Hilbert 空間である。 補題１（偏微分の一意性）：k∈Nとする。µ1, µ2をR∞上の σ有限 な測度とし、f1, g1∈L2(dxkdµ1(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)), f2, g2∈ L2(dxkdµ2(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)) とし、 f1|f1|dxkdµ1(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···) =f2|f2|dxkdµ2(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···) であるとする。任意の (a1, a2,··· , ak−1, ak+1, ak+2,···)∈R∞に対して、関数 xk7→ f1(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ f2(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ g1(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ g2(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g1(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ(xk)dxk =−Z+∞ −∞ f1(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ′(xk)dxk, Z+∞ −∞ g2(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ(xk)dxk =−Z+∞ −∞ f2(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ′(xk)dxk であるとする。このとき、 4 g1|g1|dxkdµ1(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···) =g2|g2|dxkdµ2(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···) である。 証明： 表記の簡単のため、k= 1 とする。σ有限な測度 µを µ(E) := µ1(E) + µ2(E) で定める。ある非負値可測関数 ρ1, ρ2が存在して、 µ1=ρ1dµ, µ2=ρ2dµ である。dx1dµ(x2,···)に関して、ほとんど至るところ f1√ρ1=f2√ρ2 である。dµ(x2,···)に関して、ほとんど至るところ、dx1に関して、ほとん ど至るところ f1√ρ1=f2√ρ2 である。よって、dµ(x2,···)に関して、ほとんど至るところ、dx1に関して、 ほとんど至るところ g1√ρ1=g2√ρ2 である。dx1dµ(x2,···)に関して、ほとんど至るところ g1√ρ1=g2√ρ2 であり、 g1|g1|dx1dµ1(x2,···) =g1√ρ1|g1√ρ1|dx1dµ(x2,···) =g2√ρ2|g2√ρ2|dx1dµ(x2,···) =g2|g2|dx1dµ2(x2,···) である。 ■ 定義２（定義域 H1 k(R∞)）：k∈Nとする。H1 k(R∞)で、次の条件を満た すΦ∈RM(R∞)の全体の集合を表す。R∞上の σ有限なある測度 µ、f, g ∈ L2(dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)) が存在して、次を満たす。 5 (1) Φ = f|f|dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)であり、 (2) 任意の (a1, a2,··· , ak−1, ak+1, ak+2,···)∈R∞に対して、関数 xk7→ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ(xk)dxk =−Z+∞ −∞ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ′(xk)dxk である。 ■ 補題１と定義２より、次のように定義する。 定義３（偏微分 ∂ ∂xk ）：k∈Nとする。Φ∈H1 k(R∞)とする。このとき、 ある Ψ∈RM(R∞)が一意に存在して、R∞上の σ有限なある測度 µ、f, g ∈ L2(dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)) が存在して、 (0) Ψ = g|g|dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)であり、 (1) Φ = f|f|dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)であり、 (2) 任意の (a1, a2,··· , ak−1, ak+1, ak+2,···)∈R∞に対して、関数 xk7→ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ(xk)dxk =−Z+∞ −∞ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ′(xk)dxk である。 ∂Φ ∂xk∈RM(R∞)を ∂Φ ∂xk := Ψ と定義する。 ■ 6 命題４（部分積分公式）：k∈Nとする。このとき、 ∂ ∂xk は、その定義域 をH1 k(R∞)とする RM(R∞)から RM(R∞)への線形作用素である。任意の Φ1,Φ2∈H1 k(R∞)に対して、 ∂Φ1 ∂xk ,Φ2RM(R∞) +Φ1,∂Φ2 ∂xkRM(R∞) = 0 である。 証明： 表記の簡単のため、k= 1 とする。 前原稿の命題４の証明と同様のことに注意をして、定義域を H1 1(R∞)と する RM(R∞)から RM(R∞)への線形作用素であることは容易である。 R∞上の σ有限なある測度 µ1, µ2、f1, g1∈L2(dx1dµ1(x2,···)), f2, g2∈ L2(dx1dµ2(x2,···)),が存在して、 (1) Φ1=f1|f1|dx1dµ1(x2,···),Φ2=f2|f2|dx1dµ2(x2,···)であり、 (2) 任意の (a2,···)∈R∞に対して、関数 x17→ f1(x1, a2,···), x17→ g1(x1, a2,···), x17→ f2(x1, a2,···), x17→ g2(x2, a2,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g1(x1, a2,···)φ(x1)dx1=−Z+∞ −∞ f1(x1, a2,···)φ′(x1)dx1, Z+∞ −∞ g2(x1, a2,···)φ(x1)dx1=−Z+∞ −∞ f2(x1, a2,···)φ′(x1)dx1 である。σ有限な測度 µを µ(E) := µ1(E) + µ2(E) で定める。ある非負値可測関数 ρ1, ρ2が存在して、 µ1=ρ1dµ, µ2=ρ2dµ である。このとき、 7 Φ1=f1√ρ1|f1√ρ1|dx1dµ(x2,···), Φ2=f2√ρ2|f2√ρ2|dx1dµ(x2,···), ∂Φ1 ∂x1 =g1√ρ1|g1√ρ1|dx1dµ(x2,···), ∂Φ2 ∂x1 =g2√ρ2|g2√ρ2|dx1dµ(x2,···) であるので、前原稿の命題６の証明と同様のことに注意し、「L2(R)における （通常の）一般化された微分」の性質（部分積分公式）より、 ∂Φ1 ∂xk ,Φ2RM(R∞) =ZR∞Z+∞ −∞ g1f2dx1√ρ1ρ2dµ(x2,···) =−ZR∞Z+∞ −∞ f1g2dx1√ρ1ρ2dµ(x2,···) =−Φ1,∂Φ2 ∂xkRM(R∞) である。 ■ 8 (2) T1, T2∈H1 H(R∞)に対して、 hT1, T2iH1 H(R∞) := hT1, T2iRM(R∞)+X k∈N ∂ ∂xk +HkT1,∂ ∂xk +HkT2RM(R∞) と定める。 ■ 定理２０：H1 H(R∞)はHilbert 空間である。 略証： {Tn}nをH1 H(R∞)のCauchy 列とする。このとき、ある S∈ H1 H(R∞)が存在して、limnTn=Sであることを示す。 ある S∈RM(R∞)が一意に存在して、limnkTn−SkRM(R∞)= 0 であ る。RM(R∞)のある列 {Rk}k∈Nが一意に存在して、任意の k∈Nに対して、 limn  (∂ ∂xk+Hk)Tn−Rk  RM(R∞)= 0である。命題１８より、任意のk∈Nに 対して、S∈D(∂ ∂xk+Hk),(∂ ∂xk+Hk)S=Rkである。これより、さらに、任意 のk∈Nに対して、limn  (∂ ∂xk+Hk)Tn−(∂ ∂xk+Hk)S  RM(R∞)= 0 である。 以上より、前原稿の定理１７の証明と同様にして、S∈H1 H(R∞),limnTn=S である。 ■ 定義２１（H0 H(R∞)）：H1 H(R∞)のRM(R∞)における閉包を H0 H(R∞)で 表す。T1, T2∈H0 H(R∞)に対して、hT1, T2iH0 H(R∞):= hT1, T2iRM(R∞)と定め る。 ■ 命題２２：H0 H(R∞)はRM(R∞)の閉線形部分空間である。H0 H(R∞)は Hilbert 空間である。H1 H(R∞)はH0 H(R∞)の稠密な線形部分空間である。任 意の T∈H1 H(R∞)に対して、kTkH0 H(R∞)≤ kTkH1 H(R∞)である。 定理２３（楕円型方程式）：任意の f∈H0 H(R∞)に対して、ある u∈ H1 H(R∞)が一意に存在して、次を満たす。任意の φ∈H1 H(R∞)に対して、 hu, φiH1 H(R∞)=hf, φiH0 H(R∞) である。 定義２４：f∈H0 H(R∞)とする。このとき、(1 − 4H)−1fで、任意の φ∈H1 H(R∞)に対して hu, φiH1 H(R∞)=hf, φiH0 H(R∞)である u∈H1 H(R∞)を 表す。 ■ 補題２５：(1 − 4H)−1はH0 H(R∞)から H1 H(R∞)への線形写像で、単射 である。任意の f∈H0 H(R∞)に対して、k(1 −4H)−1fkH1 H(R∞)≤ kfkH0 H(R∞) である。 ■ 15 定義２６：uは(1 − 4H)−1の値域に属するとする。このとき、4Hu∈ H0 H(R∞)を 4Hu:= u−((1 −4H)−1)−1u で定める。 ■ 定理２７：−4Hは、H0 H(R∞)の極大単調自己共役作用素である。 略証： 前原稿の定理２４の証明と同様に、ブレジス『関数解析』の命 題７．１と命題７．６を用いる。 ■ 以上で、実 Hilbert 空間 H0 H(R∞)の極大単調自己共役作用素として ∞ X k=1 −∂ ∂xk +Hk ∂ ∂xk +Hk:= −4H が定まった。H0 H(R∞)は、R∞上の密度の平方根の空間RM(R∞)の部分Hilbert 空間である。ところが、一般的には H0 H(R∞) = {0}となり得る。一方、定義 により、H1 H(R∞)は、H0 H(R∞)の稠密な線形部分空間である。そこで、{UA}A に適当に簡単な仮定を置いて、その場合の H1 H(R∞)について、少し調べる。 命題２８（調和振動子）：ある {Ωn}∞ n=0 が一意に存在して、任意の n= 0,1,2,··· に対して、Ωn∈C2(R),limx→±∞(Ωn(x)x−ne+x2 2) = (n!)−1 2π−1 4, −d2 dx2+x2−1Ωn= 2nΩn である。このとき、{Ωn}∞ n=0 は、L2(R)の正規直交基底である。Ωn+1(x)e+x2 2 は(n+ 1) 次多項式である。Ω0(x)e+x2 2=π−1 4である。d dx +xΩn+1 = p2(n+ 1)Ωnである。d dx +xΩ0= 0 である。 証明： Hermite 多項式などの性質を用いて、よく知られている。 ■ 例題２９（加算無限調和振動子系）：U{k}(xk) = 1 2xk2であるとする。A6∈ {{1},{2},··· ,{n},···}ならば、UA({xl}l∈A)=0であるとする。このとき、 H1 H(R∞)の加算（無限）な直交系が存在する。 証明： HkはR∞上の可測関数であり、Hk(x1, x2,··· , xn,···) = xkで ある。命題２８より、n= 0,1,2,··· に対して Tn:= (Ωn(x1)|Ωn(x1)|dx1) ∞ Y k=2 (|Ω0(xk)|2dxk)! とおくと、任意の i, j = 0,1,2,··· に対して hTi, TjiH1 H(R∞)= (1 + 2pij)δi,j である。 ■ 16 例題３０（超短距離型ポテンシャル）：R∈(0,+∞)とする。「任意の l, m, n ∈Aに対して、|xl|> R, [m6=n⇒ |xm−xn|> R]」であるならば、 UA({xl}l∈A)=0であるとする。このとき、H1 H(R∞)の非加算な直交系が存 在する。 証明： ある η∈C∞ 0(R)が存在して、RR|η|2= 1、η≥0、かつ、 η(t)>0 =⇒t∈(0,1) である。τ∈ {0,1}Nに対して、R∞上の確率測度 Tτを Tτ:= Y n∈N  1 nη xn−Pn−1 m=0(2m2+ 2R) n2−τ(n)! 2 dxn  で定める。 「任意の l, m, n ∈Nに対して、|xl|> R, [m6=n⇒ |xm−xn|> R]」で あるならば、(x1, x2,···)はHkの定義域に属し、Hk(x1, x2,···) = 0 である。 一方、確率測度 Tτに関して、ほとんど確実に、「任意の l, m, n ∈Nに対し て、|xl|> R, [m6=n⇒ |xm−xn|> R]」である。Tτ∈D(Hk)で、HkTτ= 0 である。Tτ∈H1 k(R∞)で、 ∂Tτ ∂xk = 1 k2 1 kη′ xk−Pk−1 m=0(2m2+ 2R) k2−τ(k)!!  1 k2 1 kη′ xk−Pk−1 m=0(2m2+ 2R) k2−τ(k)! dxk!  Y n∈N\{k}  1 nη xn−Pn−1 m=0(2m2+ 2R) n2−τ(n)! 2 dxn   である。全変動 |∂Tτ ∂xk|に関して、ほとんど至るところ、「任意の l, m, n ∈Nに 対して、|xl|> R, [m6=n⇒ |xm−xn|> R]」である。∂Tτ ∂xk∈H1 k(R∞)∩D(Hk) である。よって、HkTτ= 0 より、 ∂ ∂xk +HkTτ= (∂+H)kTτ=∂Tτ ∂xk 17 である。以上より、任意の τ1, τ2∈ {0,1}Nに対して、  ∂ ∂xk +HkTτ1,∂ ∂xk +HkTτ2RM(R∞) =1 k4ZR|η′|2δτ1,τ2 であり、 hTτ1, Tτ2iH1 H(R∞)=1 + π4 90 ZR|η′|2δτ1,τ2 である。 ■ 注意３１：一般に e−2Hdx は（形式的な）基底状態と言える。標準 Brown 運動の場合、Hは定数で、（形式的な）基底状態 e−2Hdx はσ有限な測度とし ては存在しない。一方、配置空間上の解析的半群の構成に関しては、無限次 元Dirichlet 形式などを用いた広範な理論的蓄積が既にあるようである。 ■ 問題３２：特異摂動問題 Pk((−ε∂ ∂xk+Hk)(ε∂ ∂xk+Hk)) を考えよ。Rnや R∞は直積計量空間であるが、前原稿、及び、本原稿の議論を（有限、もし くは、無限の）局所直積計量空間に一般化せよ。局所直積計量空間の例とし ては、例えば、RnやR∞をその離散部分群で割った商空間があるであろう。 これに関連して、逆に、局所直積空間の普遍被覆空間の全空間は直積空間で あるか？ ■ K. Kodaira, D. C. Spencer, Multifoliate Structures, Annals of Mathematics https://www.jstor.org/stable/1970306 重川一郎、谷口説男「無限次元空間上のディリクレ形式とその周辺」45 (2) https://www.jstage.jst.go.jp/browse/sugaku/-char/ja 無限次元空間上の Laplace 作用素の変分法的定式化と自己共役性 https://www.researchgate.net/publication/361136526 無限自由度の正準交換関係（CCR）の Schrodinger 表現 https://www.researchgate.net/publication/361358209 何故、「密度の平方根」が必要なのか？ https://www.researchgate.net/publication/361388858 「密度の平方根」の良く知られた（無自覚な？）使用の例 https://www.researchgate.net/publication/361508063 18 View publication statsView publication stats