Space with pseudo-holomorphic curve as basic concept and pseudo-almost complex homotopy category (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/368510141 擬正則曲線を基本概念とする空間、及び、擬概複素ホモトピー圏 Technical Report · February 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.29505.84328 CITATIONS 0 READS 5 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 30 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 15 February 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. 擬正則曲線を基本概念とする空間、及び、 擬概複素ホモトピー圏 Space with pseudo-holomorphic curve as basic concept and pseudo-almost complex homotopy category Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 本原稿では、D:= {t∈C| |t|<1}とする。前原稿『道を基本概念とす る空間、及び、それに特異単体的集合の類似物を対応させる共変関手』にお いて、「実は、位相空間の特異ホモロジーに関連付けること（−→ TS =−→ PS ◦−→ TP の成立）を要求しないのであれば、標準擬単体の定め方に大きな任意性があ ると考えられる。そして、擬ホモトピーの定義は標準擬単体の定め方（すな わち、共変関手 −→ PS の取り方）に依存していると考えるのが自然である。」と 記した。本原稿では、{D}-擬位相空間に対して、その一つの具体例を与える。 より具体的に言うと、{D}-擬位相空間に対して、位相空間のホモトピー圏の 類似物を定義し、特異ホモロジー群のホモトピー不変性の類似物を示す。す ぐに定義するように、本文では、{D}-擬位相空間を{D}-擬正則空間と呼称 することとする。 F. Larusson, Affine simplices in Oka manifolds, Documenta Mathematica, 14 (2009), 691-697. 河野明、玉木大『一般コホモロジー』付録Ａ 1 1擬正則空間の圏 本原稿では、 D:= {t∈C| |t|<1} とする。本原稿では、（Dからの）擬正則曲線を基本概念とする空間を次の ように定義し、擬正則空間と呼称する。また、通常は、擬正則曲線の正則を 「省略」し、「擬曲線」と言うであろう。 定義１（擬正則構造、擬正則空間、擬曲線）： （1）Xを集合とする。この とき、Cが（X上の {D}-）擬正則構造であるとは、CがDから Xへの写像 全体の集合の部分集合であり、任意の x∈Xに対して、x∈Cであることを 言うこととする。（但し、xを値とする定値写像を xで表記するという記号の 濫用を行っている。） (2) （{D}-）擬正則構造が定められた集合を（{D}-）擬正則空間と言う こととする。擬正則空間 Xに対して、Xの擬正則構造の要素を（X上の）擬 （正則）曲線と言うこととする。 ■ 擬正則空間から擬正則空間への写像について、擬正則（であるか、ないか、 という概念）を次のように定義する。 定義２（擬正則写像）： X, Y を擬正則空間とし、fをXから Yへの写像と する。このとき、fが擬正則であるとは、「cがX上の擬曲線であるならば、 f◦cはY上の擬曲線であること」を言うこととする。 ■ もちろん、以上の定義は、次の事実を念頭に置いたものである。 「前原稿」の補足６３：X, Y を複素多様体、fをXから Yへの写像とする。 このとき、fが（通常の意味で）正則であることと cがDから Xへの（通常 の意味で）擬正則曲線であるならば、f◦cはDから Yへの（通常の意味で） 擬正則曲線であることは、同値である。 ■ 擬正則空間を対象とし、擬正則写像を射とし、写像の合成を射の合成とする ことで、一つの圏が容易に得られる。 命題３： 擬正則空間を対象とし、擬正則写像を射とし、写像の合成を射の合 成とすると圏である。 証明： 容易である。 ■ これを擬正則空間の圏と呼称し、Sphc と表記する。 定義４（Sphc）： （{D}-）擬正則空間を対象とし、擬正則写像を射とし、写 像の合成を射の合成とした圏を（{D}-）擬正則空間の圏と言うこととする。 Sphc で（{D}-）擬正則空間の圏を表すこととする。 ■ 2 2特異単体的集合関手の擬正則空間に対する類似物 本節では、特異単体的集合関手に類似した（擬正則空間の圏から単体的 集合の圏への）共変関手 −→ HS を定義する。本節での議論は、特異単体的集合 関手を定義する過程（したがって、また、前原稿）とほぼ同様である。 定義５（Cn ∆）： n∈ {0,1,2,· · · } とする。このとき、Cn ∆でDから（Cn+1 の部 分複素多様体としての）{(t0, t1, t2,· · · , tn)∈Cn+1|t0+t1+t2+· · · +tn= 1} への正則写像全体の集合を表すこととする。 ■ 補題６： n∈ {0,1,2,· · · } とする。このとき、Cn ∆は、{(t0, t1, t2,· · · , tn)∈ Cn+1|t0+t1+t2+· · · +tn= 1}上の擬正則構造である。 証明： 容易である。 ■ 定義７（∆n C）： n∈ {0,1,2,· · · } とする。このとき、擬正則構造を Cn ∆とす る擬正則空間を標準 n-擬正則単体と言うこととする。∆n Cで標準 n-擬正則単 体を表すこととする。 ■ 補題８：n∈ {1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n},(t0, t1, t2,· · · , tn−1)∈∆n−1 Cであ るならば、(t0, t1, t2,· · · , tk−1,0, tk,· · · , tn−1)∈∆n Cである。n∈ {0,1,2,· · · }, k∈ {0,1,2,· · · , n},(t0, t1, t2,· · · , tn+1)∈∆n+1 Cであるならば、(t0, t1, t2,· · · , tk−1, tk+tk+1, tk+2,· · · , tn+1)∈∆n Cである。 証明： 容易である。 ■ 定義９（ ¯ Dn k、¯ Sn k）： n∈ {1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、∆n−1 Cから ∆n Cへの写像 ¯ Dn kを¯ Dn k(t0, t1, t2,· · · , tn−1) := (t0, t1, t2,· · · , tk−1,0, tk,· · · , tn−1) で定めることとする。n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、∆n+1 C から ∆n Cへの写像 ¯ Sn kを¯ Sn k(t0, t1, t2,· · · , tn+1) := (t0, t1, t2,· · · , tk−1, tk+tk+1, tk+2,· · · , tn+1)で定めることとする。 ■ 命題１０（余単体的集合）： ({∆n C}n,{¯ Dn k}n,k,{¯ Sn k}n,k)は、余単体的集合で ある。 証明： 位相空間の特異単体的集合関手を定義する場合（河野、玉木、例９、 例１０）と同様である（少々、面倒であるが、難しいところは特にない）。■ 補題１１： n∈ {1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、 ¯ Dn kは擬正則であ る。n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、 ¯ Sn kは擬正則である。 証明： （通常の意味で）正則であることより、容易である。 ■ 定義１２（SCn(X)）： Xを擬正則空間とし、n∈ {0,1,2,· · · } とする。この とき、∆n Cから Xへの擬正則写像を Xの特異 n-擬正則単体と言うこととす る。SCn(X)でXの特異 n-擬正則単体全体の集合を表すこととする。 ■ 3 補題１３：(1) X, Y を擬正則空間とし、fをXから Yへの擬正則写像とする。 このとき、任意の n∈ {0,1,2,· · · } とσ∈SCn(X)に対して、f◦σ∈SCn(Y) である。 (2) Xを擬正則空間とする。このとき、任意の n∈ {1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2, · · · , n}と任意の σ∈SCn(X)に対して、σ◦¯ Dn k∈SCn−1(X)である。任 意の n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}と任意の σ∈SCn(X)に対して、 σ◦¯ Sn k∈SCn+1(X)である。 証明： (1) 容易である。 (2) 補題１１より、容易である。 ■ 定義１４（ ¯ dX,n k、¯sX,n k）：Xを擬正則空間とする。このとき、n∈ {1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、SCn(X)から SCn−1(X)への写像 ¯ dX,n kを¯ dX,n k(σ) := σ◦¯ Dn kで定めることとする。n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、 SCn(X)から SCn+1(X)への写像 ¯sX,n kを¯sX,n k(σ) := σ◦¯ Sn kで定めることと する。 ■ 定義１５（−→ HS）：擬正則空間Xに対して、 −→ HS(X)で、({SCn(X)}n,{¯ dX,n k}n,k, {¯sX,n k}n,k)を表すこととする。擬正則写像 fに対して、−→ HS(f)で、fをXか らYへの擬正則写像として、tnSCn(X)から tnSCn(Y)への写像 σ7→ f◦σ を表すこととする。−→ HS で、擬正則空間 Xに−→ HS(X)を対応させ、擬正則写 像fに−→ HS(f)を対応させることを表すこととする。 ■ 命題１６： −→ HS は、擬正則空間の圏から単体的集合の圏への共変関手である。 証明： 命題１０より、容易である。 ■ 4 3擬概複素ホモトピー圏 補題１７： X, Y を擬正則空間とする。このとき、Dから HomSphc(X, Y )への 任意の写像 c、X上の任意の擬曲線 c′、任意の t∈Dに対して、(c(t))(c′(t)) ∈ Yである。Dから HomSphc(X, Y )への写像 cで、X上の任意の擬曲線 c′に 対して、写像 t7→ (c(t))(c′(t)) がY上の擬曲線であるもの全体の集合は、 HomSphc(X, Y )上の擬正則構造である。 証明： 容易である。 ■ 定義１８（Hom(X;Y)）： X, Y を擬正則空間とする。このとき、Hom(X;Y) で擬正則構造を「Dから HomSphc(X, Y )への写像 cで、X上の任意の擬曲線 c′に対して、写像 t7→ (c(t))(c′(t)) がY上の擬曲線であるもの全体の集合」 とする擬正則空間を表すこととする。 注意： 前原稿と同様の簡単な議論を行うことにより、Hom(X;Y)を自然に （YのX）冪とすることが容易にできると思われる。 ■ 命題１９： X, Y, Z を擬正則空間とする。CをHom(X;Y)の擬正則構造と Hom(Y;Z)の擬正則構造の直積とする。このとき、CはHomSphc(X, Y )× HomSphc(Y, Z)上の擬正則構造である。Wを擬正則構造を Cとする擬正則 空間とする。このとき、(f, g)∈HomSphc(X, Y )×HomSphc(Y, Z)にg◦f∈ HomSphc(X, Z)を対応させる写像は、Wから Hom(X;Z)への擬正則写像で ある。 証明： 擬正則構造であることは、容易である。 (f, g)をW上の擬曲線とする。このとき、f, g は擬曲線である。xがX 上の擬曲線であるならば、写像 t7→ (f(t))(x(t)) はY上の擬曲線であり、 よって、さらに、写像 t7→ (g(t))((f(t))(x(t))) はZ上の擬曲線である。写像 t7→ (g(t)) ◦(f(t)) は擬曲線である。擬正則である。 ■ 補題２０： (1) Dから Cへの正則写像全体の集合は、C上の擬正則構造で ある。 (2) n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}とする。このとき、(t0, t1, t2,· · · , tn+1)∈∆n+1 Cであるならば、tk+1 +tk+2 +· · · +tn+1 ∈Cである。 証明： 容易である。 ■ 定義２１（CC、CC、¯ Rn k）： (1) CCでDから Cへの正則写像全体の集合を 表すこととする。CCで下部集合を Cとし、擬正則構造を CCとする擬正則 空間を表すこととする。 (2) n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}に対して、∆n+1 Cから Cへの 写像 ¯ Rn kを¯ Rn k(t0, t1, t2,· · · , tn+1) := tk+1 +tk+2 +· · · +tn+1 で定めることと する。 ■ 5 補題２２： n∈ {0,1,2,· · · }, k ∈ {0,1,2,· · · , n}とする。このとき、 ¯ Rn kは ∆n+1 Cから CCへの擬正則写像である。 証明： （通常の意味で）正則であることより、容易である。 ■ 定義２３（擬概複素ホモトピー、擬概複素ホモトピック、擬概複素ホモトピー 類、[f]C）： Zを擬正則空間とする。 (1) Fは（Z上の）擬概複素ホモトピーであるとは、FがCCから Zへの 擬正則写像であることを言うこととする。Fはf0から f1への擬概複素ホモ トピーであるとは、Fが擬概複素ホモトピーあり、F(0) = f0, F (1) = f1であ ることを言うこととする。(f0, f1)が（Z上で）擬概複素ホモトピックである とは、f0から f1への擬概複素ホモトピーが存在することを言うこととする。 (2) （Z上の）擬概複素ホモトピー類とは、（Z上の）擬概複素ホモトピッ クを含む（Z上の）最小の同値関係による同値類を言うこととする。f∈Z に対して、[f]Cでfが属する擬概複素ホモトピー類を表すこととする。 注意： これらの定義は、Z= Hom(X;Y)の場合を主に想定している。 ■ 命題２４： X, Y を擬正則空間とし、fをXから Yへの擬正則写像とする。 このとき、x0, x1∈X, [x0]C= [x1]Cであるならば、[f(x0)]C= [f(x1)]Cで ある。 証明： FがCCから Xへの擬正則写像であり、F(0) = x0, F (1) = x1であ るならば、f◦FはCCから Yへの擬正則写像であり、(f◦F)(0) = f(x0),(f◦ F)(1) = f(x1)である。よって、(x0, x1)が（X上で）擬概複素ホモトピック であるならば、(f(x0), f(x1)) は（Y上で）擬概複素ホモトピックである。特 に、(x0, x1)が擬概複素ホモトピックであるならば、[f(x0)]C= [f(x1)]Cであ る。ところが、X上の２項関係 [f(x0)]C= [f(x1)]Cは同値関係であるので、 同値関係 [x0]C= [x1]Cを含む。 ■ 補題２５： X, Y を擬正則空間とし、Zを下部集合を X×Yとし、擬正則構 造を「Xの擬正則構造と Yの擬正則構造の直積」とする擬正則空間とする。 このとき、(x0, y0),(x1, y1)∈Z, ([x0]C,[y0]C) = ([x1]C,[y1]C)であるならば、 [(x0, y0)]C= [(x1, y1)]Cである。 証明： Xから Zへの写像 x7→ (x, y0)は擬正則であるので、命題２４よ り、[(x0, y0)]C= [(x1, y0)]Cである。同様にして、[(x1, y0)]C= [(x1, y1)]Cで ある。[(x0, y0)]C= [(x1, y1)]Cである。 ■ 6 補題２６：X, Y, Z を擬正則空間とする。このとき、(f0, g0),(f1, g1)∈Hom(X ;Y)×Hom(Y;Z),([f0]C,[g0]C) = ([f1]C,[g1]C)であるならば、（Hom(X;Z) 上で）[g0◦f0]C= [g1◦f1]Cである。 証明： Wを擬正則構造を「Hom(X;Y)の擬正則構造と Hom(Y;Z)の擬正 則構造の直積」とする擬正則空間とする。このとき、補題２５より、（W上で） [(f0, g0)]C= [(f1, g1)]Cである。ところが、命題１９より、Wから Hom(X;Z) への写像 (f, g)7→ g◦fは擬正則であるので、命題２４より、[g0◦f0]C= [g1◦f1]Cである。 ■ 定理２７（擬概複素ホモトピー圏）： 擬正則空間を対象とし、擬正則写像の 擬概複素ホモトピー類を射とし、[g]C◦[f]C:= [g◦f]Cを射の合成とすると 圏である。 証明： 補題２６より、容易である。 ■ 補足２８： X, Y を複素多様体とする。このとき、前原稿の命題７５（４）と 同様に、「X×Cから Yへの正則写像は自然に擬概複素ホモトピーとみなす ことができる」ことが容易に確認できると思われる。さらに、前原稿の補足 ６３と同様にして、その逆も言えるのかもしれない。 ■ 7 4擬概複素ホモトピー不変性 定義２９（SC,n(X)）：Xを擬正則空間とし、n∈Zとする。このとき、SC,n(X) で、n∈ {0,1,2,· · · } であるときは SCn(X)を、n∈ {0,1,2,· · · } でないとき は∅を基底とする自由 Z-加群を表すこととする。SC,n(X)を（Xの）擬正則 特異 n-チェイン群と言うこととする。SC,n(X)の要素を（Xの）擬正則特異 n-チェインと言うこととする。 ■ 定義３０（∂X C,n）： Xを擬正則空間とし、n∈Zとする。このとき、∂X C,n で、 n∈ {1,2,· · · } であるときは σ∈SCn(X)に対して ∂X C,n(σ) := ∑k∈{0,1,2,··· ,n} (−1)k¯ dX,n k(σ)で定められる SC,n(X)から SC,n−1(X)への Z-準同型を、n∈ {1,2,· · · } でないときは SC,n(X)から SC,n−1(X)への Z-準同型 0を表すこと とする。∂X C,n を（Xの）擬正則特異 n-境界写像と言うこととする。 ■ 定義３１（−−→ HC）：擬正則空間 Xに対して、 −−→ HC(X)で、({SC,n(X)}n,{∂X C,n}n) を表すこととする。擬正則写像 fとn∈Zに対して、−−→ HCn(f)で、fをXか らYへの擬正則写像として、n∈ {0,1,2,· · · } であるときは σ∈SCn(X)に 対して (−−→ HCn(f))(σ) := (−→ HS(f))(σ)で定められる SC,n(X)から SC,n(Y)への Z-準同型を、n∈ {0,1,2,· · · } でないときは SC,n(X)から SC,n(Y)への Z-準 同型 0を表すこととする。擬正則写像 fに対して、−−→ HC(f)で、 {−−→ HCn(f)}n を表すこととする。−−→ HC で、擬正則空間 Xに−−→ HC(X)を対応させ、擬正則写 像fに−−→ HC(f)を対応させることを表すこととする。 ■ 命題３２： −−→ HC は、擬正則空間の圏から（Z上の）チェイン複体の圏への共 変関手である。 証明： 命題１６より、容易である。 ■ 定義３３（(X×C)C）： Xを擬正則空間とする。このとき、(X×C)Cで擬 正則構造を「Xの擬正則構造と CCの直積」とする擬正則空間を表すことと する。 ■ 補題３４：X, Y を擬正則空間とする。FをHom(X;Y)上の擬概複素ホモト ピーとする。fを(X×C)Cから Yへの写像 (x, τ)7→ (F(τ))(x)とする。こ のとき、fは擬正則である。 証明： (x, τ)を(X×C)C上の擬曲線とする。このとき、x, τ は擬曲線であ る。よって、（定義２３より、）F◦τは擬曲線である。よって、さらに、（定義 １８より、）写像 t7→ ((F◦τ)(t))(x(t)) は擬曲線である。すなわち、f◦(x, τ) は擬曲線である。fは擬正則である。 ■ 8