Memorandum on characterization of Gibbs measure (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/369890792 ギブス測度の特徴付けに関する覚書 Research Proposal · April 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.18164.01924 CITATIONS 0 READS 4 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 32 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 08 April 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. ギブス測度の特徴付けに関する覚書 Memorandum on characterization of Gibbs measure Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) このメモでは、ギブス測度の特徴付けに関する予想を述べ、その証明の ための方針を提案する。 我々は、[2] において、「R∞の可測集合」を定義域とする可測関数の列 {Hk}kに対して、閉作用素の列{∂ ∂xk+Hk}kと非負自己共役作用素∑k((−∂ ∂xk+ Hk)( ∂ ∂xk+Hk)) を定義した。以下では、{Hk}kは（より強く）R∞上の可測 関数の列であるとする。一方、Albeverio, Kondratiev, Rockner [1] の注意５． １０によれば、部分積分公式の成立によるギブス測度の特徴付けが早くから 認識されていたようである。我々は、この注意に触発されて、[3] において、 確率測度 µがそのような部分積分公式を「かなり弱い（と恐らくは思われる） 意味」で満たすならば µは局所性をもつ正則ディリクレ形式を定めることを 示した。ここで、µが部分積分公式を満たすとは、任意の kと「適当なある 条件」を満たす任意の関数 gに対して、∫∂g ∂xkdµ = 2 ∫Hkgdµ であることで ある。さらに、[4] において、そこで人工的に付け加えた理想境界は容量０で あることを示した。因みに、容易に分かるが、この理想境界は稠密である。 さて、我々は、「（０）：µは部分積分公式を満たす（ギブス測度である）」、 「（１）：任意の kに対して、(∂ ∂xk+Hk)µ= 0 である」、「（２）：(∑k((−∂ ∂xk+ Hk)( ∂ ∂xk+Hk)))µ= 0 である」は互いに同値であると予想する。以下では、 その証明のための（恐らく、あり得るであろうと思われる）方針を提案する。 【０と１は同値】µ=e2V1dx1dν1(x2,· · · )とする。このとき、(∂ ∂x1+H1)µ = (( ∂ ∂x1+H1)eV1)|(∂ ∂x1+H1)eV1|dx1dν1(x2,· · · ) = (∂V1 ∂x1+H1)|∂V1 ∂x1+H1|e2V1 dx1dν1(x2,· · · ) = (∂V1 ∂x1+H1)|∂V1 ∂x1+H1|dµであり、一方、−∫∂g ∂x1dµ+2 ∫H1gdµ = ∫(−∂g ∂x1+ 2H1g)e2V1dx1dν1(x2,· · · )=2∫(∂V1 ∂x1+H1)ge2V1dx1dν1(x2,· · · ) = 2∫(∂V1 ∂x1+H1)gdµ である。 ■ 【１ならば２】(∑k((−∂ ∂xk+Hk)( ∂ ∂xk+Hk)))µ=∑k((−∂ ∂xk+Hk)0) で ある。 ■ 【２ならば１】 ∑k⟨(∂ ∂xk+Hk)µ, (∂ ∂xk+Hk)µ⟩=⟨µ, (∑k((−∂ ∂xk+Hk)( ∂ ∂xk+ Hk)))µ⟩=⟨µ, 0⟩である。 ■ 1 注意：ギブス測度の「そもそもの物理的な意味」からすれば、「仮想的な ハミルトニアン H」に対するギブス測度の特徴付けはある {(Vk, νk)}kが存在 して、任意の kに対して、µ=e2Vkdxkdνk(x1, x2,· · · , xk−1, xk+1, xk+2,· · · ), ∂ ∂xk(e2Vk) = −∂H ∂xke2Vkであることであろう、と思われる。したがって、Hk:= 1 2 ∂H ∂xk である。因みに、Hk=∂H ∂xk とならないのは拡散係数を 1 2とする慣習と 1とする慣習が本注意では陰に混在したためである。 [1] Albeverio, Kondratiev, Rockner, Ergodicity of L2-Semigroups and Extremality of Gibbs States, Journal of Functional Analysis, 144 (1997), 394-423 https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022123696930062 [2] R∞上の無限次元干渉 Brown 運動に関する解析的半群 https://www.researchgate.net/publication/361779645 [3] 無限次元空間 R∞上の Gibbs 測度は、コンパクト空間 (R∪ {∞})∞上 の局所性をもつ正則 Dirichlet 形式を定める。 https://www.researchgate.net/publication/362790529 [4] 無限次元空間R∞上のGibbs測度に対し、理想境界((R∪{∞})∞)\(R∞) は容量０である。 https://www.researchgate.net/publication/362812464 2 View publication stats