Justification of self-adjoint Laplace operator with translation invariance on infinite dimensional space (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/370472897 無限次元空間上の平行移動不変性を持つ自己共役なLaplace作用素の正当化 Technical Report · May 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.31928.21767 CITATIONS 0 READS 4 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 33 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 03 May 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. 無限次元空間R∞上の平行移動不変性を持つ 自己共役なLaplace作用素の正当化 Justification of self-adjoint Laplace operator with translation invariance on infinite dimensional space R∞ Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 前原稿によって、加算直積空間 R∞上の自己共役な Laplace 作用素が定 義されている。その平行移動不変性は、前原稿において明示的には言及し なかった。そこで、本原稿では平行移動不変性を示す（もちろん、これは 難しくない）。また、R∞上の Laplace 作用素と呼称することのさらなる正 当化として、{fk}kがkfkkL2= 1 である R上の非負値関数の列であるとき、 「Pkkf′′ kkL2<+∞」という（恐らく技術的な？）付加条件の下で、「ukを 初期値問題 duk dt =√−1u′′ k, uk(0) = fkの解とすると、その無限テンソル積 Qkuk(xk)(:= limn((Qn−1 k=1 uk(xk)|uk(xk)|dxk)(Q∞ k=nfk(xk)|fk(xk)|dxk))) は、 R∞上の Laplace 作用素が定める Schrodinger 方程式の解である」こと、及 び、「ukを初期値問題 duk dt =u′′ k, uk(0) = fkの解とすると、その無限テンソル 積は、R∞上の Laplace 作用素が定める熱方程式の解である」ことを示す。 ところで、前原稿で「密度の平方根の（Born とHeisenberg による量子 力学的波動関数の確率解釈に触発された）少なくとも、解析学者にとっては 極めて初等的な導入を与える。」と記載したが、Born とHeisenberg による 量子力学的波動関数の確率解釈に触発されたことの事情について明示的に 言及はしなかった。この事情は、Ωを可測空間とするとき、Ω上の測度 µと 0<kfkL2(µ)<+∞である関数 fに対して、状態ベクトル fの位置の測定 に関する確率解釈は Ω上の確率測度 |f|2 ∥f∥2 L2(µ) dµ であるが、この確率測度は Ω上の複素測度 f|f|dµ の全変動の規格化である（そこで、例えば、状態ベクトルを Ω上の複素測度 として、Schrodinger 方程式をその時間発展を定める方程式として考える）と いうことである。従って、例えば、uk∈L2(dxk)に対応する状態ベクトルは R上の複素測度 uk(xk)|uk(xk)|dxkである。 [1] 無限次元空間 R∞上の Laplace 作用素の変分法的定式化と自己共役性 [2] R∞上の無限次元干渉 Brown 運動に関する解析的半群 [3] Bose 粒子に関する無限次元空間 R∞上の Laplace 作用素とその自己共役性 [4] ギブス測度の特徴付けに関する覚書 1 1 Laplace作用素の定義 前原稿から引き継ぐのは[1] から「第１節」と「命題２７」、及び、[2] から 「第２節」である。従って、RM(R∞),{H1 k(R∞)}k,{∂ ∂xk}kが定義されている。 RM(R∞)は実 Hilbert 空間、H1 k(R∞)はRM(R∞)の線形部分空間、 ∂ ∂xk は H1 k(R∞)から RM(R∞)への線形写像である。 冒頭で「前原稿によって、加算直積空間 R∞上の自己共役な Laplace 作用 素が定義されている。」などと述べたが、[1] による定義と [2] による定義は、 異なっている（恐らくは、[2] は[1] の拡大である）し、読者の便宜も考えて、 まず、本節でR∞上の自己共役な Laplace 作用素を改めて定義する。 補題１：k∈N, T ∈H1 k(R∞)とする。このとき、可測空間 R∞上のある 有限測度 µ、f, g ∈L2(dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)) が存在して、 (0) ∂T ∂xk=g|g|dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)であり、 (1) T=f|f|dxkdµ(x1, x2,··· , xk−1, xk+1, xk+2,···)であり、 (2) 任意の (a1, a2,··· , ak−1, ak+1, ak+2,···)∈R∞に対して、関数 xk7→ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···), xk7→ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ(xk)dxk =−Z+∞ −∞ f(a1, a2,··· , ak−1, xk, ak+1, ak+2,···)φ′(xk)dxk である。 証明： 表記の簡単のため、k= 1 とする。 R∞上の σ有限なある測度 ˜µ、˜ f, ˜g∈L2(dx1d˜µ(x2, x3,···)) が存在して、 (0) ∂T ∂x1= ˜g|˜g|dx1d˜µ(x2, x3,···)であり、 (1) T=˜ f|˜ f|dx1d˜µ(x2, x3,···)であり、 (2) 任意の (a2, a3,···)∈R∞に対して、関数 x17→ ˜ f(x1, a2, a3,···), x17→ ˜g(x1, a2, a3,···) 2 がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ ˜g(x1, a2, a3,···)φ(x1)dx1=−Z+∞ −∞ ˜ f(x1, a2, a3,···)φ′(x1)dx1 である。0≤ |˜ f|2+|˜g|2∈L1(dx1d˜µ(x2, x3,···))より、R∞上のある非負値可測 関数hが存在して、˜µに関して、ほとんど至るところ、h=R+∞ −∞ (|˜ f|2+|˜g|2)dx1 である。h∈L1(˜µ)である。R∞上の可測関数 f, g を(x1, x2, x3,···)∈R∞に 対して、h(x2, x3,···) = 0 であるときは f(x1, x2, x3,···) := 0, g(x1, x2, x3, ···) := 0、h(x2, x3,···) = 0 でないときは f(x1, x2, x3,···) := ˜ f(x1,x2,x3,···) √h(x2,x3,···), g(x1, x2, x3,···) := ˜g(x1,x2,x3,···) √h(x2,x3,···)と定める。 任意の (a2, a3,···)∈R∞に対し て、関数 x17→ f(x1, a2, a3,···), x17→ g(x1, a2, a3,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ g(x1, a2, a3,···)φ(x1)dx1=−Z+∞ −∞ f(x1, a2, a3,···)φ′(x1)dx1 である。R∞のある可測集合 Eが存在して、˜µ(E) = 0 であり、(R∞\E)上で h=R+∞ −∞ (|˜ f|2+|˜g|2)dx1である。(x2, x3,···)∈R∞\E, h(x2, x3,···)=0で あるならば、dx1に関して、ほとんど至るところ、|˜ f|2+|˜g|2= 0 である。すな わち、(x2, x3,···)∈R∞\E, h(x2, x3,···) = 0 であるならば、dx1に関して、 ほとんど至るところ、 ˜ f=f√h, ˜g=g√hである。一方、h(x2, x3,···)6= 0 であるならば、任意の x1に対して、 ˜ f=f√h, ˜g=g√hである。よって、 (x2, x3,···)∈R∞\Eであるならば、dx1に関して、ほとんど至るところ、˜ f= f√h, ˜g=g√hである。˜µ(E) = 0 より、dx1˜ dµ(x2, x3,···)に関して、ほとんど 至るところ、 ˜ f=f√h, ˜g=g√hである。T=f|f|hdx1d˜µ(x2, x3,···),∂T ∂x1= g|g|hdx1d˜µ(x2, x3,···)である。ところが、0≤h∈L1(˜µ)より、hd˜µは有限測 度である。µ:= hd˜µと定める。µは有限測度であり、T=f|f|dx1dµ(x2, x3,···), ∂T ∂x1=g|g|dx1dµ(x2, x3,···)である。 ■ 3 命題２：k∈Nとする。このとき、 ∂ ∂xk は、その定義域を H1 k(R∞)とする RM(R∞)から RM(R∞)への閉作用素である。 証明： 表記の簡単のため、k= 1 とする。 {Tn}nをH1 1(R∞)の列、S, R ∈RM(R∞)とし、limnkTn−SkRM(R∞)= 0,limnk∂Tn ∂x1−RkRM(R∞)= 0 であるとする。このとき、S∈H1 1(R∞),∂S ∂x1=R であることを示す。補題１より、ある {(µn, fn, gn)}nが存在して、µnは有限 測度であり、fn, gn∈L2(dx1dµn(x2, x3,···)) であり、 (0) ∂Tn ∂x1=gn|gn|dx1dµn(x2, x3,···)であり、 (1) Tn=fn|fn|dx1dµn(x2, x3,···)であり、 (2) 任意の (a2, a3,···)∈R∞に対して、関数 x17→ fn(x1, a2, a3,···), x17→ gn(x1, a2, a3,···) がL2(R)に属し、かつ、 φ∈C∞ 0(R) =⇒ Z+∞ −∞ gn(x1, a2, a3,···)φ(x1)dx1=−Z+∞ −∞ fn(x1, a2, a3,···)φ′(x1)dx1 である。有限測度 µを可測集合 Eに対して µ(E) := Pn µn(E) 2n(µn(R∞)+1) と定 める。ある {ρn}nが存在して、0≤ρn∈L1(µ), µn=ρndµ である。kTk− TlkRM(R∞)=kfk√ρk−fl√ρlkL2(dx1dµ(x2,x3,···)),k∂Tk ∂x1−∂Tl ∂x1kRM(R∞)=kgk√ρk− gl√ρlkL2(dx1dµ(x2,x3,···)) より、ある ˜ f, ˜g∈L2(dx1dµ(x2, x3,···)) が一意に存在 して、limnkfn√ρn−˜ fkL2(dx1dµ(x2,x3,···)) = 0,limnkgn√ρn−˜gkL2(dx1dµ(x2,x3,···)) = 0である。S=˜ f|˜ f|dx1dµ(x2, x3,···), R = ˜g|˜g|dx1dµ(x2, x3,···)である。 hn:= R+∞ −∞ (|fn√ρn−˜ f|2+|gn√ρn−˜g|2)dx1と定める。limnkhnkL1(µ)= 0 よ り、ある {nk}kが存在して、µに関して、ほとんど至るところ、limkhnk= 0 である。ある Eが存在して、µ(E) = 0 であり、(R∞\E)上で limkkfnk√ρnk− ˜ fkL2(dx1)= 0,limkkgnk√ρnk−˜gkL2(dx1)= 0 である。f, g を(x1, x2, x3,···)∈ R∞に対して、(x2, x3,···)∈Eであるときはf(x1, x2, x3,···) := 0, g(x1, x2, x3, ···) := 0、(x2, x3,···)∈Eでないときはf(x1, x2, x3,···) := ˜ f(x1, x2, x3,···), g(x1, x2, x3,···) := ˜g(x1, x2, x3,···)と定める。S=f|f|dx1dµ(x2, x3,···), R = g|g|dx1dµ(x2, x3,···)である。一方、任意の (a2, a3,···)∈Eに対して、f= 0, g = 0である。ところが、任意の(a2, a3,···)∈R∞\Eに対して、limkkfnk√ρnk −fkL2(dx1)= 0,limkkgnk√ρnk−gkL2(dx1)= 0 である。いずれにしても、 L2(dx1)において、 df dx1=gである。 ■ 4 定義３（H1(R∞)）： (1) 次を満たす T∈ ∩kH1 k(R∞)の全体の集合を H1(R∞)で表す。 X k∈N∂T ∂xk ,∂T ∂xkRM(R∞) <+∞ である。 (2) T, S ∈H1(R∞)に対して、 hT, SiH1(R∞):= hT, SiRM(R∞)+X k∈N∂T ∂xk ,∂S ∂xkRM(R∞) と定める。 ■ 補題４：H1(R∞)はRM(R∞)の線形部分空間である。 証明： 容易である。 ■ 定理５：H1(R∞)はHilbert 空間である。 証明： H1(R∞)は内積空間である。{Tn}nをH1(R∞)のCauchy 列と する。このとき、ある S∈H1(R∞)が存在して、limnTn=Sであることを 示す。 ある S∈RM(R∞)が一意に存在して、limnkTn−SkRM(R∞)= 0 であ る。RM(R∞)のある列 {Rk}k∈Nが一意に存在して、任意の k∈Nに対し て、limn   ∂Tn ∂xk−Rk  RM(R∞)= 0 である。命題２より、任意の k∈Nに 対して、 ∂S ∂xk=Rkである。これより、さらに、任意の k∈Nに対して、 limn   ∂Tn ∂xk−∂S ∂xk  RM(R∞)= 0 である。ところが、任意の K, m ∈Nに対して、 K X k=1 ∂Tm ∂xk ,∂Tm ∂xkRM(R∞)≤sup n∈NhTn, TniH1(R∞) であるので、任意の K∈Nに対して、 K X k=1 ∂S ∂xk ,∂S ∂xkRM(R∞)≤sup n∈NhTn, TniH1(R∞) である。S∈H1(R∞)である。 ε > 0とする。ある Nが存在して、 n≥N, m ≥N=⇒ kTn−TmkH1(R∞)<ε 2 5 である。任意の K∈Nに対して、 n≥N, m ≥N =⇒ hTn−Tm, Tn−TmiRM(R∞)+ K X k=1 ∂Tn ∂xk−∂Tm ∂xk ,∂Tn ∂xk−∂Tm ∂xkRM(R∞) <ε 22 であるので、 n≥N =⇒ hTn−S, Tn−SiRM(R∞)+ K X k=1 ∂Tn ∂xk−∂S ∂xk ,∂Tn ∂xk−∂S ∂xkRM(R∞)≤ε 22 である。よって、 n≥N=⇒ kTn−SkH1(R∞)≤ε 2< ε である。 ■ 定義６（H0(R∞)）：H1(R∞)のRM(R∞)における閉包を H0(R∞)で表す。 T, S ∈H0(R∞)に対して、hT, SiH0(R∞):= hT, SiRM(R∞)と定める。 ■ 命題７：H0(R∞)はRM(R∞)の閉線形部分空間である。H0(R∞)はHilbert 空間である。H1(R∞)はH0(R∞)の稠密な線形部分空間である。任意の T∈ H1(R∞)に対して、kTkH0(R∞)≤ kTkH1(R∞)である。 証明： 補題４から、明らか。 ■ 定理８（楕円型方程式）：任意の f∈H0(R∞)に対して、ある u∈H1(R∞) が一意に存在して、次を満たす。任意の φ∈H1(R∞)に対して、 hu, φiH1(R∞)=hf, φiH0(R∞) である。 証明： 定理５と命題７から、（Riesz の定理より）明らか。 ■ 定義９：f∈H0(R∞)とする。このとき、(1 −4R∞)−1fで、任意の φ∈ H1(R∞)に対して hu, φiH1(R∞)=hf, φiH0(R∞)である u∈H1(R∞)を表す。■ 補題１０：(1 −4R∞)−1はH0(R∞)から H1(R∞)への線形写像で、単射 である。任意の f∈H0(R∞)に対して、k(1 −4R∞)−1fkH1(R∞)≤ kfkH0(R∞) である。 6 証明： 線形写像であることについては、容易である。 (1−4R∞)−1f= 0であるとすると、任意のφ∈H1(R∞)に対してhf, φiH0(R∞) = 0 であるので、hf, fiH0(R∞)= 0 である。単射である。 k(1 − 4R∞)−1fk2 H1(R∞)=hf, (1 − 4R∞)−1fiH0(R∞)≤ kfkH0(R∞)k(1 − 4R∞)−1fkH0(R∞)≤ kfkH0(R∞)k(1 −4R∞)−1fkH1(R∞)である。 ■ 定義１１ (Laplace 作用素)：uは(1 −4R∞)−1の値域に属するとする。こ のとき、4R∞u∈H0(R∞)を 4R∞u:= u−((1 −4R∞)−1)−1u で定める。 ■ 定理１２：−4R∞は、H0(R∞)の極大単調自己共役作用素である。 証明： 命題７と補題１０より、H0(R∞)の線形作用素である。u, v が −4R∞の定義域に属するとき、h−4R∞u, viH0(R∞)=hu, viH1(R∞)−hu, viH0(R∞) =hu, −4R∞viH0(R∞)である。uが−4R∞の定義域に属するとき、h−4R∞u, uiH0(R∞)=hu, uiH1(R∞)−hu, uiH0(R∞)≥0である。任意の f∈H0(R∞)に対 して、(1 −4R∞)((1 −4R∞)−1f) = fである。極大単調対称である。よって、 （ブレジス『関数解析』の命題７．１から、）定義域は稠密であり、よって、 さらに、（ブレジス『関数解析』の命題７．６から、）自己共役である。 ■ 7 2平行移動不変性 本節の議論は、後の節には必要ではない。 補題１３：GをR∞の部分集合とし、α, β ∈R∞とする。このとき、{x∈ R∞|x−α∈G}が可測集合であるならば、{x∈R∞|x−β∈G}は可測集合 である。 証明： Gα:= {x∈R∞|x−α∈G}, Gβ:= {x∈R∞|x−β∈G}とおく。 R∞の部分集合 Eで{x∈R∞|x−(β−α)∈E}が可測集合であるもの全体 の集合を Bとおく。BはR∞上の σ加法族である。さらに、任意の k∈N、 Rのボレル集合 Wに対して、Rk−1×W×R∞∈Bである。よって、Eが 可測集合であるならば、E∈Bである。特に、Gα∈Bである。ところが、 {x∈R∞|x−(β−α)∈Gα}=Gβである。 ■ 補題１４：a∈R∞, T ∈RM(R∞)とする。R∞の部分集合 Eで{x∈ R∞|x+a∈E}が可測集合であるもの全体の集合から Rへの写像 Taを Ta(E) := T({x∈R∞|x+a∈E}) と定める。このとき、Ta∈RM(R∞)である。 証明： 補題１３より、容易である。 ■ 定義１５（平行移動）：a∈R∞とする。このとき、RM(R∞)からRM(R∞) への写像 τaを (τaT)(E) := T({x∈R∞|x+a∈E}) で定める。 ■ 補題１６：a∈R∞とする。µをR∞上の σ有限な測度とする。R∞の部分 集合 Eで{x∈R∞|x+a∈E}が可測集合であるもの全体の集合から [0,+∞] への写像 µaを µa(E) := µ({x∈R∞|x+a∈E}) と定める。このとき、µaはR∞上の σ有限な測度である。hをR∞上の可測 関数とする。R∞上の関数 haを ha(x) := h(x−a) と定める。haはR∞上の可測関数である。h∈L1(µ)であるならば、ha∈ L1(µa), hadµa=τa(hdµ)である。 証明： 補題１３より、（特に、h∈L1(µ)⇒ha∈L1(µa), hadµa=τa(hdµ) については、hが単関数である場合に成立することから、）容易である。 ■ 8 証明： (0), (1) 補題２５より、任意の t∈[T0, T1]に対して、⊗n−1 k=1uk(t)∈ H0(R∞;C)である。これより、さらに、通常通りにして、確認できる。 (2) （１）と補題２６より、kd(⊗n−1 k=1 uk) dt −d(⊗m−1 k=1 uk) dt kH0(R∞;C)=k(Pm−1 l=1 ((⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)−(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗m−1 k=l+1uk)))+(Pn−1 l=m((⊗l−1 k=1uk) ⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)))kH0(R∞;C)≤(Pm−1 l=1 k(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)−(⊗l−1 k=1uk) ⊗dul dt ⊗(⊗m−1 k=l+1uk)kH0(R∞;C))+(Pn−1 l=mk(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)kH0(R∞;C))≤ (Pm−1 l=1 (Pn−1 r=m((Ql−1 k=1 kukkL2(R;C))kdul dt kL2(R;C)(Qr−1 k=l+1 kukkL2(R;C))kur−frkL2(R;C)))) +(Pn−1 l=mk(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)kH0(R∞;C))≤(Pm−1 l=1 (Pn−1 r=m((Ql−1 k=1 e∥uk−fk∥L2(R;C))kdul dt kL2(R;C)(Qr−1 k=l+1 e∥uk−fk∥L2(R;C))kur−frkL2(R;C)))) + (Pn−1 l=m k(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk)kH0(R∞;C))≤(Pm−1 l=1 kdul dt kL2(R;C))(Pn−1 r=m ((e∑r−1 k=1 ∥uk−fk∥L2(R;C))kur−frkL2(R;C))) + (Pn−1 l=mk(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk) kH0(R∞;C))である。 ■ 15 4無限自由粒子系のSchrodinger 方程式 自由な Schrodinger 方程式、及び、一様な熱方程式を取り扱う。証明は、 ほぼ同様のため、Schrodinger 方程式についてのみ、証明を記述する。4Rを L2(R)の（通常の）Laplace 作用素とする。 前節に引き続き、{fk}kをH1(R)の列とし、Pkkf′ kk2 L2(R)<+∞であり、 任意の k∈Nに対して、fkは非負値で、kfkkL2(R)= 1 であるとする。さらに、 {uk,0}kをH2(R;C)の列とする。Pkkuk,0−fkkL2(R;C)<+∞,Pkk4Ruk,0 kL2(R;C)<+∞であるとする。 定理３３：C1((−∞,+∞); L2(R;C))∩C((−∞,+∞); H2(R;C))の列 {uk}k をk∈N, t ∈(−∞,+∞)に対して、 uk(t) := e√−1△Rtuk,0 と定める。 (1) 任意の n∈N, t ∈(−∞,+∞)に対して、P∞ k=nkduk dt (t)kL2(R;C)= P∞ k=nk4Ruk(t)kL2(R;C)=P∞ k=nk4Ruk,0kL2(R;C)<+∞,P∞ k=nku′ k(t)k2 L2(R;C)= P∞ k=nku′ k,0k2 L2(R;C)<+∞,P∞ k=nkuk(t)−fkkL2(R;C)≤(P∞ k=nkuk,0−fkkL2(R;C)) +(P∞ k=nk4Ruk,0kL2(R;C))|t|<+∞である。 (2) 任意の n∈Nに対して、⊗n−1 k=1uk∈C1((−∞,+∞); H0(R∞;C)) で ある。 (3) ⊗kuk∈C1((−∞,+∞); H0(R∞;C)) である。任意の T∈(0,+∞)に 対して、 lim n sup t∈[−T,+T]k(⊗n−1 k=1uk)(t)−(⊗kuk)(t)kH0(R∞;C)!= 0, lim n sup t∈[−T,+T]    d(⊗n−1 k=1uk) dt (t)−d(⊗kuk) dt (t)   H0(R∞;C)!= 0 である。 (4) 任意の t∈(−∞,+∞)に対して、(⊗kuk)(t)は4R∞の定義域の要素 である。 d(⊗kuk) dt =√−14R∞(⊗kuk) である。 16 証明： (1) kduk dt (t)kL2(R;C)=k4Ruk(t)kL2(R;C)=k4Ruk,0kL2(R;C)で ある。ku′ k(t)k2 L2(R;C)=ku′ k,0k2 L2(R;C)=huk,0,−4Ruk,0iL2(R;C)≤(1 + kuk,0− fkkL2(R;C))k4Ruk,0kL2(R;C)である。kuk(t)−fkkL2(R;C)≤ kuk(t)−uk(0)kL2(R;C)+ kuk,0−fkkL2(R;C)≤(supskduk dt (s)kL2(R;C))|t|+kuk,0−fkkL2(R;C)=k4Ruk,0kL2(R;C) |t|+kuk,0−fkkL2(R;C)である。 (2) 補題３２より、容易である。 (3) （１）、（２）と命題３１、補題３２より、容易である。 (4) 補題２３より、l≤n−1のとき、(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk) = √−1( ∂ ∂xl(∂ ∂xl(⊗n−1 k=1uk))) である。よって、前原稿[2] の命題４より、l≤n−1 のとき、任意の Φ∈H1 l(R∞;C)に対して、h√−1(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk), ΦiCM(R∞)=h∂(⊗n−1 k=1 uk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)である。よって、（１）、（２）、（３） と定理２９、補題３２より、任意の Φ∈H1(R∞;C)に対して、h(⊗kuk) + √−1d(⊗kuk) dt ,ΦiH0(R∞;C)−h⊗kuk,ΦiH1(R∞;C)=h√−1d(⊗kuk) dt ,ΦiH0(R∞;C)−limn (Pn−1 l=1 h∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)) = limnh√−1d(⊗n−1 k=1 uk) dt ,ΦiH0(R∞;C)−limn(Pn−1 l=1 h∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)) = limn(Pn−1 l=1 h√−1(⊗l−1 k=1uk)⊗dul dt ⊗(⊗n−1 k=l+1uk),ΦiH0(R∞;C)) −limn(Pn−1 l=1 h∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)) = limn(Pn−1 l=1 h∂(⊗n−1 k=1 uk) ∂xl−∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)) である。ところが、さらに、定理２９より、任意の Φ∈H1(R∞;C)に対して、 |Pn−1 l=1 h∂(⊗n−1 k=1 uk) ∂xl−∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)| ≤ Pn−1 l=1 |h∂(⊗n−1 k=1 uk) ∂xl−∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)| ≤ P∞ l=1 |h∂(⊗n−1 k=1 uk−⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)| ≤ P∞ l=1(k∂(⊗n−1 k=1 uk−⊗kuk) ∂xlkCM(R∞)k∂Φ ∂xlkCM(R∞)) ≤ k ⊗n−1 k=1 uk− ⊗kukkH1(R∞;C)kΦkH1(R∞;C)であり、limn|Pn−1 l=1 h∂(⊗n−1 k=1 uk) ∂xl− ∂(⊗kuk) ∂xl,∂Φ ∂xliCM(R∞)|= 0 である。以上より、任意の Φ∈H1(R∞;C)に対し て、h(⊗kuk) + √−1d(⊗kuk) dt ,ΦiH0(R∞;C)=h⊗kuk,ΦiH1(R∞;C)である。すなわ ち、⊗kuk= (1 −4R∞)−1((⊗kuk) + √−1d(⊗kuk) dt )である。 ■ 定理３４：{vk,0}kをL2(R;C)の列とする。Pkkvk,0−uk,0kL2(R;C)<+∞ であるとする。C((−∞,+∞); L2(R;C)) の列 {vk}kをk∈N, t ∈(−∞,+∞) に対して、vk(t) := e√−1△Rtvk,0と定める。t∈(−∞,+∞)とする。 (1) Pkkvk(t)−uk(t)kL2(R;C)<+∞,Pkkvk(t)−fkkL2(R;C)<+∞で ある。 (2) e√−1△R∞t(⊗kvk,0) = (⊗kvk)(t),limnke√−1△Rn−1t(⊗kvk,0)−(⊗kvk)(t) kH0(R∞;C)= 0 である。 証明： (1) kvk(t)−uk(t)kL2(R;C)=kvk,0−uk,0kL2(R;C),kvk(t)−fkkL2(R;C)≤ kvk(t)−uk(t)kL2(R;C)+kuk(t)−uk,0kL2(R;C)+kuk,0−fkkL2(R;C)≤ kvk,0− uk,0kL2(R;C)+k4Ruk,0kL2(R;C)|t|+kuk,0−fkkL2(R;C)である。 17 (2) ε > 0とする。このとき、ある m∈Nが存在して、 (e∑kmax{∥vk,0−fk∥L2(R;C),∥uk,0−fk∥L2(R;C)})(P∞ k=mkvk,0−uk,0kL2(R;C))<ε 4, (e∑kmax{∥vk(t)−fk∥L2(R;C),∥uk(t)−fk∥L2(R;C)})(P∞ k=mkvk,0−uk,0kL2(R;C))<ε 4であ る。命題３１より、k⊗kvk,0−(⊗m−1 k=1 vk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)kH0(R∞;C)<ε 4,k(⊗kvk)(t)− ((⊗m−1 k=1 vk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)<ε 4である。命題３１より、さらに、ある w1,0, w2,0,··· , wm−1,0∈H2(R;C)が存在して、k((⊗m−1 k=1 vk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)− ((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)=k(⊗m−1 k=1 vk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)−(⊗m−1 k=1 wk,0)⊗ (⊗∞ k=muk,0)kH0(R∞;C)<ε 4である。ところが、定理３３より、k(⊗kvk)(t)− e√−1△R∞t(⊗kvk,0)kH0(R∞;C)≤ k(⊗kvk)(t)−((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)+ k((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)−e√−1△R∞t(⊗kvk,0)kH0(R∞;C)=k(⊗kvk)(t)− ((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)+ke√−1△R∞t((⊗m−1 k=1 wk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0))− e√−1△R∞t(⊗kvk,0)kH0(R∞;C)=k(⊗kvk)(t)−((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)+ k(⊗m−1 k=1 wk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)− ⊗kvk,0kH0(R∞;C)≤(k(⊗kvk)(t)−((⊗m−1 k=1 vk)⊗ (⊗∞ k=muk))(t)kH0(R∞;C)+k((⊗m−1 k=1 vk)⊗(⊗∞ k=muk))(t)−((⊗m−1 k=1 wk)⊗(⊗∞ k=muk))(t) kH0(R∞;C))+(k(⊗m−1 k=1 wk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)−(⊗m−1 k=1 vk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)kH0(R∞;C)+ k(⊗m−1 k=1 vk,0)⊗(⊗∞ k=muk,0)−⊗kvk,0kH0(R∞;C))< ε である。 一方、命題３１より、ke√−1△Rn−1t(⊗kvk,0)−(⊗kvk)(t)kH0(R∞;C)=k(⊗n−1 k=1 vk(t))⊗(⊗∞ k=nvk,0)−(⊗kvk)(t)kH0(R∞;C)≤(e∑kmax{∥vk(t)−fk∥L2(R;C),∥vk,0−fk∥L2(R;C)}) (P∞ k=n(kvk(t)−fkkL2(R;C)+kvk,0−fkkL2(R;C))) である。 ■ 定理３５：C1([0,+∞); L2(R;C)) ∩C([0,+∞); H2(R;C)) の列 {uk}kを k∈N, t ∈[0,+∞)に対して、uk(t) := e△Rtuk,0と定める。 (1) 任意の n∈N, t ∈[0,+∞)に対して、P∞ k=nkduk dt (t)kL2(R;C)=P∞ k=n k4Ruk(t)kL2(R;C)≤P∞ k=nk4Ruk,0kL2(R;C)<+∞,P∞ k=nku′ k(t)k2 L2(R;C)≤ P∞ k=nku′ k,0k2 L2(R;C)<+∞,P∞ k=nkuk(t)−fkkL2(R;C)≤(P∞ k=nkuk,0−fkkL2(R;C)) +(P∞ k=nk4Ruk,0kL2(R;C))|t|<+∞である。 (2) 任意の n∈Nに対して、⊗n−1 k=1uk∈C1([0,+∞); H0(R∞;C)) である。 (3) ⊗kuk∈C1([0,+∞); H0(R∞;C)) である。任意の T∈(0,+∞)に対 して、 lim n sup t∈[0,T ]k(⊗n−1 k=1uk)(t)−(⊗kuk)(t)kH0(R∞;C)!= 0, lim n sup t∈[0,T ]    d(⊗n−1 k=1uk) dt (t)−d(⊗kuk) dt (t)   H0(R∞;C)!= 0 である。 18 (4) 任意の t∈[0,+∞)に対して、(⊗kuk)(t)は4R∞の定義域の要素で ある。 d(⊗kuk) dt =√−14R∞(⊗kuk) である。 ■ 定理３６：{vk,0}kをL2(R;C)の列とする。Pkkvk,0−uk,0kL2(R;C)<+∞ であるとする。C([0,+∞); L2(R;C)) の列 {vk}kをk∈N, t ∈[0,+∞)に対し て、vk(t) := e△Rtvk,0と定める。t∈[0,+∞)とする。 (1) Pkkvk(t)−uk(t)kL2(R;C)<+∞,Pkkvk(t)−fkkL2(R;C)<+∞で ある。 (2) e△R∞t(⊗kvk,0) = (⊗kvk)(t),limnke△Rn−1t(⊗kvk,0)−(⊗kvk)(t)kH0(R∞;C) = 0 である。 ■ 19 感想１（有限テンソル積）：u0∈L2(Rn), v0∈H0(R∞)に対して、e√−1△R∞t (u0⊗v0)=(e√−1△Rntu0)⊗(e√−1△R∞tv0), e△R∞t(u0⊗v0)=(e△Rntu0)⊗ (e△R∞tv0)であることが、より容易に示されると思われる。これに関連して、 恐らくは、L2(Rn)⊗H0(R∞) = H0(R∞)であろう、とは思われるが、（仮に そうだとしても）証明は容易ではないのかもしれない。 ■ 感想２（Kolmogorov の拡張定理）：初期値として、直積確率測度に準有 限次元的（コンパクト？）な摂動を加えたものを考えたが、Kolmogorov の 拡張定理により得られる確率測度からの摂動の場合を取り扱うことは可能で あろうか？ 感想３（非斉次ＤＬＲ方程式）：定理３４、定理３６のような正当化は、 裏から言えば、その種の定理の仮定を満たす状態は「有限個の変数を除いて、 定常に近い状態」であることを主張している、と思われる。定常状態は存在 しない場合でも、このような「漸近的定常状態」の一つを基準として、一旦、 外部の Markov 過程を定め、それを外部条件として、内部の Markov 過程を 定めて、その極限を取ることで Markov 過程の構成ができる、ということが あるのであろうか？とりあえず、［２］の例題３０は「漸近的定常状態が存在 する例」になるであろう、と思われる。一方、［４］で、斉次楕円型方程式の 正の解が Gibbs 測度である、という提案を行っている。 ■ 感想４（配置空間）：「ラベル付けのない（無限）粒子」の系で、何か、 類似の議論は可能ではあろうか？ ■ 感想５（非加算）：第１節の議論は、可測空間の（加算とは限らない）族 {Xk}kと（各 kについて CM(QkXk)の部分空間を定義域とする）閉作用素 の族 {∂k}kに一般化できるのかもしれない。 ■ 感想６（Bose 状態制限）：感想５の状況で、さらに、「{Xk}k={X}kの 場合」には、Bose 状態の空間に制限したものについて考えることもできるか もしれない。この場合は、閉作用素の族 {∂k}kは「k= 1 を除いて ∂k= 0 で ある場合」のみを考えれば十分ではあろう、とは思われる。 ■ 感想７（無限次元 Fourier 変換）：UをL2(R)の（通常の）Fourier 変換 とする。このとき、[0,2π)（恐らくは、実際には {0,1 2π, π, 3 2π}）上の単位の 分解 Fが一意に存在して、U=R[0,2π)e√−1θdF (θ)である。そこで、L2(R)の 一般化微分 d dx ではなくて、H:= R[0,2π)√θdF (θ)を用いて、第１節のように 自己共役作用素 PkH2 kを定義すれば、無限次元の Fourier 変換 e√−1∑kH2 kが 定義されるように思われる。急減少関数の空間のようなものが定義されて、 そこで e√−1∑kH2 kが適切に振る舞う、ということがあるのかもしれない。■ 感想８（加算変数分離）：本原稿における議論は、可測空間の列 {Xk}kと （各 kについて CM(Xk)の部分空間を定義域とする）閉作用素の列 {∂k}kに 一般化できるのかもしれない。 ■ 20 View publication stats