Statistical invariance of tail event in stochastic Ising model (Japanese)

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/372914158  Technical Report · August 2023 DOI: 10.13140/RG.2.2.31757.31207 CITATIONS 0 1 author: Hiroki Yagisita Kyoto Sangyo University 40 PUBLICATIONS26 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Hiroki Yagisita on 05 August 2023. The user has requested enhancement of the downloaded file. 確率的イジング模型（グラウバー力学）に おける末尾事象の統計的不変性 Statistical invariance of tail event in stochastic Ising model (Glauber dynamics) Hiroki Yagisita (Kyoto Sangyo University) 確率的イジング模型について、以下のような簡単な注意を与える：Aを 末尾事象とし、Pνを初期分布がギブス測度 νである時間発展 {ηt}t∈[0,+∞)の 分布とすると、任意の列 {tn}∞ n=1 に対して、 Pν(ηt1∈A, ηt2∈A, · · · , ηtn∈A, · · · ) = Pν(η0∈A) = ν(A) である。ν(A)>0のとき 1 ν(A)1Adν は不変測度であることを用いると、これ は容易に示される。 We give the following simple remark about stochastic Ising model: Let Abe a tail event and Pνbe the distribution of time evolution {ηt}t∈[0,+∞) whose initial distribution is Gibbs state ν, then for any sequence {tn}∞ n=1, Pν(ηt1∈A, ηt2∈A, · · · , ηtn∈A, · · · ) = Pν(η0∈A) = ν(A) holds. Using that 1 ν(A)1Adν is an invariant measure as ν(A)>0, it is easily shown. spin flip model, ergodic class, reversible measure, symmetric Markov process. [1] Georgii, H.-O., Gibbs measures and phase transitions, Second edition, Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2011. [2] Liggett, T. M., Interacting particle systems, Springer-Verlag, New York, 1985. 確率的イジング模型（グラウバー力学）の端点ギブス測度に対する制限 エルゴード性 https://www.researchgate.net/publication/372888989 マルコフ過程において初期分布が絶対連続であれば結合分布は絶対連続 である。 https://www.researchgate.net/publication/372882831 1 Sを加算集合とする。Sの部分集合 ∆に対して、F∆を ∪k∈∆{ ∅,{ω∈ {0,1}S|ω(k) = 0 },{ω∈ {0,1}S|ω(k) = 1 },{0,1}S} を含む {0,1}S上の最小の σ-加法族と定める。Aが末尾事象であるとは、Sの 任意の有限部分集合 Λに対して、A∈ FS\Λであることを言う。{Pω}ωをS 上の確率的イジング模型（[2] の定義４．２．１）とする。({0,1}S,FS)上の 確率測度 µに対して、Pµを初期分布が µである時間発展 {ηt}t∈[0,+∞)の分布 と定める。すなわち、Pµ(·) := ∫ω∈{0,1}SPω(·)µ(dω)とおく。 定理： Aを末尾事象とし、νをギブス測度とする。このとき、[0,+∞) の任意の列 {tn}∞ n=1 に対して、 Pν(∩∞ n=1{ηtn∈A}) = ν(A) である。 証明： (1) ν(A) = 0 とする。[2] の定理４．２．１５より、νは不変測 度である。よって、ν(A) = 0 ≤Pν(∩∞ n=1{ηtn∈A})≤Pν(ηt1∈A) = Pν(η0∈ A) = ν(A)である。 (2) ν(A)>0とする。 µ:= 1 ν(A)1Adν とおく。このとき、[1]の定理７．７（ｂ）より、µはギブス測度である。よって、 [2]の定理４．２．１５より、µとνは不変測度である。Pµ(ηtn∈ A) = Pµ(ηtn∈ Ac) = Pµ(η0∈Ac) = µ(Ac) = 0 であるので、Pµ(∪∞ n=1{ηtn∈ A}) = 0 であ る。よって、Pµ(∩∞ n=1{ηtn∈A})=1−Pµ(∪∞ n=1{ηtn∈ A})=1である。 ν(A) = ν(A)Pµ(∩∞ n=1{ηtn∈A}) = ν(A)∫ω∈{0,1}SPω(∩∞ n=1{ηtn∈A})µ(dω) =∫ω∈{0,1}SPω(∩∞ n=1{ηtn∈A})1A(ω)ν(dω)≤∫ω∈{0,1}SPω(∩∞ n=1{ηtn∈A}) ν(dω) = Pν(∩∞ n=1{ηtn∈A})≤Pν(ηt1∈A) = Pν(η0∈A) = ν(A)である。 ■ 2 View publication stats