Dos puzles aritméticos duales

Dos puzles aritméticos duales Comparación estructural de dos reorganizaciones locales Miguel Cerdá Bennassar Diciembre de 2025 Resumen Se comparan dos experimentos aritméticos basados en la reorganización local de los números naturales en tablas de tres filas. Ambos puzles comparten una misma regla de unificación entre columnas y una eliminación sistemática de índices, pero difieren en el tipo de valores que inducen el cierre de las columnas. El objetivo de este escrito es identificar las propiedades comunes, las diferencias esenciales y el papel estructural que desempeña el cociente 3 2en ambos casos. 1. Introducción En dos trabajos previos se han presentado sendos puzles aritméticos construidos a partir de tablas de tres filas y una regla local de unificación entre columnas. Ambos experimentos se desarrollan sin iterar ninguna función ni generar trayectorias, y se basan únicamente en la reorganización conservativa de los números naturales. Aunque los dos puzles comparten una mecánica de unificación formalmente idéntica, sus comportamientos globales difieren de manera significativa. En particular, el tipo de valores que provoca el cierre definitivo de las columnas (par o impar) depende de la construcción inicial de la tabla. En este escrito se analizan conjuntamente ambos sistemas, poniendo de relieve su estructura común y su carácter dual. Ejemplos explícitos de ambos puzles para k= 20 se recogen en el Apéndice, con el único objetivo de ilustrar visualmente la mecánica descrita. 2. Estructura común Los dos puzles comparten los siguientes elementos fundamentales: Una tabla finita indexada por k= 1,2, . . . , K. Tres filas definidas mediante expresiones afines relacionadas con los factores 2y3. Una regla local de unificación gobernada por la ecuación 2j= 3i. La eliminación sistemática de las columnas con 3|k. La transferencia conservativa de los valores de las columnas eliminadas a columnas supervivientes. La ausencia de ciclos y el cierre finito inevitable de todas las columnas vivas. En ambos casos, los múltiplos de 6desempeñan un papel intermedio, ya que pueden recibir carga antes de ser eliminados, mientras que las columnas con kimpar permanecen estáticas. 1 3. Diferencia en el criterio de cierre La diferencia esencial entre ambos puzles reside en el tipo de valor que actúa como disparador de la unificación: En el puzle con cierre en pares, el encaje se activa mediante valores impares de la forma 2k−1. El cierre se produce cuando el último valor de una columna es par. En el puzle con cierre en impares, el encaje se activa mediante valores pares de la forma 2k. El cierre se produce cuando el último valor de una columna es impar. Este simple intercambio invierte el papel de la paridad en el mecanismo de cierre, sin alterar la estructura global de eliminación y transferencia. 4. Universos numéricos resultantes La distinta elección del disparador de unificación da lugar a universos numéricos diferentes: En el puzle con cierre en pares, aparecen exactamente todos los impares no divisibles por 3hasta el valor máximo 3K−1. En el puzle con cierre en impares, los valores que aparecen son combinaciones puras de potencias de 2y3, organizadas en cadenas multiplicativas exactas. En ambos casos, los valores excluidos no lo están por una restricción externa, sino como consecuencia inevitable de la regla de encaje. 5. El papel del cociente 3 2 Aunque ninguno de los puzles itera explícitamente una función, el cociente 3 2gobierna de forma implícita la estructura de ambos sistemas. En el primer puzle, este cociente controla la cadena de índices k7→ 3k 2, que determina cuántas veces puede crecer una columna antes de cerrarse. En el segundo puzle, el mismo cociente aparece como una relación multiplicativa exacta entre los términos de una columna, reduciendo el exponente de 2e incrementando el de 3en cada paso. Así, ambos sistemas pueden interpretarse como dos proyecciones complementarias de una misma tensión aritmética entre los factores 2y3. 6. Comentario final Los dos puzles analizados constituyen ejemplos de cómo una regla local extremadamente simple puede inducir una organización global rígida y finita. Aunque sus universos visibles y sus criterios de cierre difieren, ambos sistemas comparten un mismo esqueleto estructural. Lejos de constituir aproximaciones dinámicas, estos puzles ponen de manifiesto que ciertas propiedades habitualmente asociadas a procesos iterativos pueden emerger de una reorganización puramente combinatoria del conjunto de los números naturales. 2 7. Lectura estructural conjunta Los dos puzles analizados en este trabajo no deben interpretarse como aproximaciones dinámicas, ni como modelos de procesos iterativos conocidos. Ambos constituyen objetos aritméticos autónomos, definidos exclusivamente por reglas locales de reorganización. Pese a sus diferencias superficiales, los dos sistemas imponen una misma familia de restricciones estructurales inevitables: eliminación exacta de índices múltiplos de 3; transferencia conservativa de valores sin pérdida de información; ausencia de ciclos en los procesos de unificación; cierre finito inevitable de todas las columnas supervivientes; papel estructural central del cociente 3 2. La diferencia esencial entre ambos puzles reside en el criterio de cierre: en uno, el cierre se produce al alcanzar un valor par; en el otro, al alcanzar un valor impar. Este intercambio invierte el papel de la paridad, sin alterar el esqueleto aritmético común. Desde esta lectura conjunta, el interés de los puzles no reside en lo que calculan, sino en lo que impiden. Las reglas locales prohíben trayectorias infinitas, acumulaciones indefinidas y estructuras cíclicas, forzando una organización global rígida y finita. Esta comparación pone de manifiesto que ciertas propiedades habitualmente asociadas a dinámicas iterativas pueden emerger de forma natural a partir de una reorganización puramente combinatoria del conjunto de los números naturales. A. Ejemplos explícitos A.1. Puzle con cierre en pares (k = 20) Cuadro 1: Cuadrícula base y tabla unificada del puzle con cierre en pares para k= 1,...,20. Cuadrícula base (sin unificar) k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2k−11 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 3k−12 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 41 44 47 50 53 56 59 Tabla unificada (solo columnas vivas) k1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 2k−11 3 7 9 13 15 19 21 25 27 31 33 37 39 3k−12 5 11 14 20 23 29 32 38 41 47 50 56 59 Cola+1 8 17 35 44 Cola+2 26 53 3 A.2. Puzle con cierre en impares (k = 20) Cuadro 2: Cuadrícula base y tabla unificada del puzle con cierre en impares para k= 1,...,20. Cuadrícula base (sin unificar) k1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2k2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 3k3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 Tabla unificada (solo columnas vivas) k1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 16 17 19 20 2k2 4 8 10 14 16 20 22 26 28 32 34 38 40 3k3 6 12 15 21 24 30 33 39 42 48 51 57 60 Cola+1 9 18 36 45 Cola+2 27 54 4