Orden y compresión en variantes semienteras de la dinámica de Collatz

Orden y compresión en variantes semienteras de la dinámica de Collatz Miguel Cerdá Bennassar Diciembre de 2025 Resumen Se introducen tres variantes funcionales del algoritmo de Collatz definidas sobre el conjunto de las mitades de los números naturales. Cada variante, denominada algoritmo Dosena, actúa como una proyección progresivamente más contractiva de la dinámica clásica, eliminando redundancias y oscilaciones sin alterar el destino final de las trayectorias. Las observaciones experimentales muestran que las tres variantes conducen a un atractor común y permiten interpretar la dinámica de Collatz como un sistema susceptible de normalización iterada. 1. Introducción La dinámica generada por el algoritmo de Collatz se caracteriza por la alternancia entre fases expansivas y contractivas, lo que dificulta su análisis global. Una estrategia natural consiste en modificar el dominio de definición y compactar iteraciones redundantes, manteniendo la estructura esencial de las trayectorias. En este trabajo se estudian tres variantes del algoritmo clásico, definidas sobre el conjunto 1 2Z≥0, que agrupa enteros, semienteros y valores intermedios. Estas variantes permiten reformular la dinámica como un sistema afín por piezas con estados explícitos. 2. Partición del dominio Se considera la siguiente partición del conjunto 1 2Z≥0en tres grupos disjuntos: Grupo A: números pares a= 2n, Grupo B: números impares b= 2n−1, Grupo C: semienteros c=n−1 2, con n∈N. Cada grupo representa un estado dinámico distinto y está asociado a una transformación afín específica. 1 3. Algoritmo Dosena 1 Definición 3.1. Se define la función D1:1 2Z≥0→1 2Z≥0por: D1(x) =            3x+ 1, x ∈A, x−1 4, x ∈B, 6x+ 2, x ∈C. Las trayectorias generadas por D1 alternan expansiones y contracciones, pero los ejemplos computacionales muestran una tendencia clara hacia valores cada vez más pequeños, hasta alcanzar el valor 0. 4. Algoritmo Dosena 2 Definición 4.1. Se define la función D2:1 2Z≥0→1 2Z≥0por: D2(x) =                3x 4, x ∈A, x−1 4, x ∈B, 6x+ 1 4, x ∈C. Esta variante introduce una normalización explícita mediante divisiones por 4, lo que reduce notablemente la longitud de las trayectorias respecto al algoritmo clásico y a Dosena 1. Observación 4.1. Las transformaciones asociadas a D2 presentan, en promedio, un balance contractivo. Las ramas correspondientes a los grupos A y B reducen el valor absoluto, mientras que la rama C introduce un crecimiento moderado que queda compensado globalmente. 5. Algoritmo Dosena 3 Definición 5.1. Se define la función D3:1 2Z≥0→1 2Z≥0por: D3(x) =                3x 4, x ∈A, x−1 4, x ∈B, 2x−1 4, x ∈C. En esta tercera variante, la transformación asociada al grupo C se vuelve estrictamente contractiva. Como consecuencia, se eliminan las oscilaciones observadas en las variantes anteriores y las trayectorias descienden de forma más regular. 2 6. Relación con la dinámica de Collatz Las trayectorias generadas por los algoritmos Dosena pueden interpretarse como proyecciones de las órbitas de Collatz. En particular: Dosena 1 conserva todos los impares de la secuencia clásica. Dosena 2 elimina los impares intermedios, salvo el punto fijo. Dosena 3 descarta además los valores que alteran el orden descendente. Este proceso define una criba progresiva de la dinámica original, sin modificar el destino final de las trayectorias. 7. Caso de estudio: n= 81 — comparación de trayectorias Collatz. 81 →244 →122 →61 →184 →92 →46 →23 →70 →35 →106 →53 →160 →80 → 40 →20 →10 →5→16 →8→4→2→1→0 Número de elementos: 24. Dosena 1. 81 →20 →61 →15 →3.5→23 →5.5→35 →8.5→53 →13 →3→0.5→5→1→0 Número de elementos: 16. Dosena 2. 81 →20 →15 →3.5→5.5→8.5→13 →3→0.5→1→0 Número de elementos: 11. Dosena 3. 81 →20 →15 →3.5→1.5→0.5→0 Número de elementos: 7. Dinámica Nºde elementos Collatz 24 Dosena 1 16 Dosena 2 11 Dosena 3 7 Observación 7.1. Para uniformidad con los algoritmos Dosena, representamos el estado terminal con 0. En particular, se adopta la convención Fi (1) = 0 y, en la visualización de Collatz, se muestra el paso 1 → 0. Esto no altera la dinámica clásica (cuyo punto fijo habitual es 1), pero facilita la comparación de longitudes. 3 Observación 7.2 (Compresión dinámica).Sea bun entero impar. La transformación b7−→ b−1 4 reduce necesariamente la valuación 2-ádica del numerador al menos en dos unidades, esto es, ν2(b−1) ≥2. Como consecuencia, cada aplicación de esta rama elimina de forma explícita dos factores de 2acumulados en la iteración previa, comprimiendo colas pares largas en un único paso. Esta compresión reemplaza una sucesión de divisiones elementales por 2por una normalización directa, sin alterar la posición estructural del siguiente estado impar o semientero. Observación 7.3 (Modelo por estados y balance multiplicativo).La transformación aplicada a los elementos del grupo Aen los algoritmos Dosena 2 y Dosena 3, a7−→ 3a 4, combina un factor multiplicativo 3con la pérdida simultánea de dos potencias de 2. En términos 2-ádicos, esta rama satisface ν23a 4=ν2(a)−2, mientras que el crecimiento en valor absoluto queda acotado por un factor 3 4 . Este equilibrio entre expansión impar y contracción 2-ádica muestra que el crecimiento local no se traduce en un aumento sostenido de la magnitud de las trayectorias. Observación 7.4 (Deriva contractiva y salida del estado semientero).En los algoritmos Dosena 2 y Dosena 3, las transformaciones asociadas al grupo C, c7−→ 6c+ 1 4yc7−→ 2c−1 4, fuerzan una transición controlada desde el estado semientero hacia valores enteros o semienteros de menor magnitud. En particular, ambas expresiones impiden la formación de cadenas infinitas confinadas en el grupo C , ya que cada iteración reduce el valor absoluto o conduce necesariamente a un estado de los grupos A o B . Este mecanismo introduce una deriva global contractiva que bloquea oscilaciones indefinidas en el dominio semientero. En conjunto, estas observaciones muestran que los algoritmos Dosena no solo normalizan la dinámica de Collatz, sino que hacen explícitos mecanismos de contracción que en la iteración clásica aparecen distribuidos a lo largo de múltiples pasos. El interés del enfoque reside en aislar dichos mecanismos en transformaciones locales bien definidas, facilitando su análisis estructural sin afirmar equivalencia dinámica con el problema original. 8. Conclusiones Las tres variantes Dosena presentadas en este trabajo muestran que la dinámica de Collatz admite representaciones más compactas y estructuradas cuando se amplía el dominio de definición y se introducen normalizaciones explícitas en la iteración. Estas transformaciones no constituyen una demostración de la conjetura clásica, pero sí proporcionan un marco alternativo para analizar su estructura interna y los mecanismos locales que favorecen la convergencia. 4 Las Observaciones 1–3 ponen de manifiesto que dicha utilidad no es meramente computacional. En particular, la reducción sistemática de la valuación 2-ádica en la rama ( b− 1) / 4, la compensación exacta entre crecimiento impar y pérdida de potencias de 2en la transformación 3 a/ 4, y la salida forzada del estado semientero en las ramas asociadas al grupo C , revelan la presencia de una deriva global contractiva en las variantes normalizadas. Estos mecanismos, que en la dinámica clásica aparecen distribuidos a lo largo de múltiples pasos, quedan aquí concentrados en transformaciones locales bien definidas. Conviene subrayar que, incluso si se probara rigurosamente la convergencia global de D3 , ello no proporcionaría una prueba directa de la conjetura de Collatz. Las dinámicas no son conjugadas ni equivalentes mediante una transformación invertible sobre N , y actúan sobre dominios distintos. En consecuencia, la convergencia observada para los algoritmos Dosena no implica, por sí misma, la convergencia de todas las órbitas del sistema original. Conjetura 8.1. Toda órbita generada por cualquiera de los algoritmos Dosena converge al valor 0. Alcance del enfoque. El interés principal de los algoritmos Dosena reside en su valor como herramienta estructural. Al operar sobre el dominio ampliado 1 2Z≥0 y sustituir el paso impar n7→ 3 n + 1 seguido de normalizaciones 2-ádicas por transformaciones afines por piezas, estas variantes permiten separar dos niveles de análisis: por un lado, la dinámica completa de Collatz sobre los enteros; por otro, una familia de sistemas normalizados en los que la interacción entre expansión y contracción resulta explícita y cuantificable. Desde esta perspectiva, los algoritmos Dosena no deben entenderse como una vía alternativa de demostración, sino como un entorno simplificado para formular, visualizar y contrastar hipótesis sobre los mecanismos que, en la dinámica original, conducen típicamente al descenso. La compresión dinámica, el modelo por estados y la deriva contractiva identificados en este trabajo constituyen elementos estructurales que pueden servir de guía para futuros análisis más finos del problema clásico. 5