HARAKATDAGI JISM MEXANIKAVIY ENERGIYASINING MATEMATIK MODELI VA UNING DINAMIK XUSUSIYATLARI

YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 346 HARAKATDAGI JISM MEXANIKAVIY ENERGIYASINING MATEMATIK MODELI VA UNING DINAMIK XUSUSIYATLARI Alijonova Ruxshona Baxtiyorjon qizi Farg’ona davlat universiteti 3-kurs talabasi Email: [email protected] https://doi.org/10.5281/zenodo.18016607 Annotatsiya: Maqolada harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasini matematik modellashtirish masalasi koʻrib chiqiladi. Mexanik energiya kinetik va potensial energiyalar yigʻindisi sifatida ifodalanib, uning harakat jarayonidagi oʻzgarish qonuniyatlari matematik tenglamalar orqali tavsiflanadi. Ideal sharoitda energiya saqlanishi hamda real muhitda qarshilik kuchlari taʼsirida energiyaning kamayishi holatlari tahlil qilinadi. Taklif etilgan matematik model jism harakatining dinamik xususiyatlarini miqdoriy baholash va mexanik jarayonlarni tushuntirish imkonini beradi. Kalit soʻzlar: mexanik energiya, kinetik energiya, potensial energiya, energiya saqlanish qonuni, matematik model, qarshilik kuchi, harakat tenglamasi. Annotation: The article examines the problem of mathematical modeling of the mechanical energy of a moving body. Mechanical energy is expressed as the sum of kinetic and potential energies, and the laws of its change during the motion process are described by mathematical equations. The conservation of energy under ideal conditions and the decrease in energy under the influence of resistance forces in the real environment are analyzed. The proposed mathematical model allows for a quantitative assessment of the dynamic properties of body motion and an explanation of mechanical processes. Keywords: mechanical energy, kinetic energy, potential energy, law of conservation of energy, mathematical model, resistance force, equation of motion. Аннотация: В статье рассматривается задача математического моделирования механической энергии движущегося тела. Механическая энергия выражается как сумма кинетической и потенциальной энергий, а закономерности ее изменения в процессе движения описываются математическими уравнениями. Анализируются случаи сохранения энергии в идеальных условиях и уменьшения энергии под действием сил сопротивления в реальной среде. Предложенная математическая модель позволяет количественно оценить динамические характеристики движения тела и объяснить механические процессы. Ключевые слова: механическая энергия, кинетическая энергия, потенциальная энергия, закон сохранения энергии, математическая модель, сила сопротивления, уравнение движения. KIRISH Mexanik harakat jarayonlari tabiatda va texnik tizimlarda eng koʻp uchraydigan hodisalardan biri boʻlib, ularni toʻgʻri tavsiflash energiya tushunchasisiz mumkin emas. Harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasi uning holatini, tezligini va joylashuvini yagona fizik kattalik orqali ifodalash imkonini beradi. Amaliy masalalarda koʻpincha jism harakati davomida energiya qanday oʻzgarishi, qaysi sharoitda saqlanishi yoki kamayishi masalasi dolzarb boʻlib qoladi. Ideal sharoitda mexanik energiya saqlanadi, biroq real muhitda ishqalanish, havo qarshiligi va tashqi kuchlar taʼsiri bu qonuniyatni buzadi. Shu sababli mexanik YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 347 energiyani faqat sifat jihatdan emas, balki aniq matematik bogʻlanishlar orqali ifodalash zarurati yuzaga keladi. Harakat jarayonini faqat tezlik yoki koordinata orqali tavsiflash koʻp hollarda yetarli aniqlik bermaydi, chunki bunday yondashuv energiya almashinuvi mexanizmini toʻliq ochib bera olmaydi. Mexanik energiyaning vaqt va fazoga bogʻliq oʻzgarishini hisobga oluvchi matematik model esa jism harakatining ichki qonuniyatlarini chuqurroq anglash imkonini beradi. Bunday model yordamida kinetik va potensial energiya oʻrtasidagi bogʻlanish, tashqi kuchlar bajargan ish natijasida energiyaning kamayishi yoki ortishi aniq ifodalanadi. Natijada harakatning umumiy manzarasi matematik jihatdan izchil koʻrinishga ega boʻladi. Mexanik energiyani modellashtirishdagi asosiy muammo shundan iboratki, real sharoitlarda barcha kuchlarni va ularning taʼsirini bir vaqtning oʻzida hisobga olish murakkablik tugʻdiradi. Shu nuqtayi nazardan harakatdagi jism uchun soddalashtirilgan, ammo fizik mazmunni yoʻqotmaydigan matematik model qurish muhim ahamiyat kasb etadi. Bunday model energiyaning saqlanishi qonunini asos sifatida olib, qarshilik kuchlari mavjud boʻlgan holatlar uchun ham moslashtiriladi. Natijada mexanik harakatni tahlil qilish, bashoratlash va amaliy masalalarga tatbiq etish imkoniyati kengayadi. Harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasini matematik jihatdan ifodalash uchun klassik mexanikaning asosiy tushunchalariga tayangan holda model quriladi. Mexanik energiya jismning kinetik va potensial energiyalari yigʻindisi sifatida aniqlanadi. Jism massasi 𝑚, tezligi 𝑣(𝑡)va fazodagi holati ℎ(𝑡)bilan tavsiflanadi. Shu asosda kinetik energiya 𝐸𝑘(𝑡) = 1 2𝑚𝑣2(𝑡) koʻrinishida, potensial energiya esa ogʻirlik maydonida 𝐸𝑝(𝑡) = 𝑚𝑔ℎ(𝑡) koʻrinishida ifodalanadi. Bu yerda 𝑔— erkin tushish tezlanishi boʻlib, doimiy kattalik sifatida qabul qilinadi. Mexanik energiya modeli ideal holatda, yaʼni tashqi energiya yoʻqotishlar mavjud boʻlmaganda, energiya saqlanish qonuniga asoslanadi. Bunday sharoitda jismning umumiy mexanik energiyasi 𝐸(𝑡) = 𝐸𝑘(𝑡) + 𝐸𝑝(𝑡) koʻrinishida aniqlanib, vaqt boʻyicha oʻzgarmas kattalik sifatida qaraladi, yaʼni 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 0. Bu munosabat harakat jarayonida kinetik va potensial energiyalar oʻzaro almashinishini matematik jihatdan ifodalaydi. Real mexanik jarayonlarda esa ishqalanish yoki muhit qarshiligi mavjud boʻlib, bu holat mexanik energiyaning kamayishiga olib keladi. Bunday vaziyatda energiya oʻzgarishi tashqi kuchlar bajargan ish bilan bogʻlanadi. Qarshilik kuchi 𝐹 𝑞mavjud boʻlganda mexanik energiyaning vaqt boʻyicha oʻzgarishi quyidagi tenglama orqali ifodalanadi: YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 348 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = −𝐹 𝑞⋅ 𝑣(𝑡). Agar qarshilik kuchi tezlikka proporsional boʻlsa, yaʼni 𝐹 𝑞=𝑘𝑣(𝑡), bu yerda 𝑘— muhit qarshiligi koeffitsiyenti, u holda energiya oʻzgarishi 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = −𝑘𝑣2(𝑡) koʻrinishiga keladi. Ushbu tenglama mexanik energiyaning vaqt oʻtishi bilan kamayishini matematik jihatdan tavsiflaydi. Modelni toʻliq ifodalash uchun jism harakati Nyutonning ikkinchi qonuni asosida yoziladi. Jismga taʼsir etuvchi kuchlar yigʻindisi tezlanish bilan bogʻlanib, 𝑚𝑑𝑣 𝑑𝑡 = ∑𝐹 koʻrinishida ifodalanadi. Bu tenglama kinetik energiya ifodasi bilan birgalikda qoʻllanilganda mexanik energiyaning harakat jarayonidagi oʻzgarishini aniqlash imkonini beradi. Natijada harakat tenglamalari va energiya balansi yagona matematik modelga birlashtiriladi. Qurilgan matematik model asosida harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasi turli sharoitlarda qanday oʻzgarishi aniqlanadi. Ideal holatda, yaʼni tashqi qarshilik kuchlari mavjud boʻlmaganda, kinetik va potensial energiyalar oʻzaro almashadi, biroq ularning yigʻindisi oʻzgarmas kattalik boʻlib qoladi. Agar jism balandlikdan pastga harakat qilsa, potensial energiya kamayib, ayni vaqtda kinetik energiya ortadi. Bu jarayon matematik jihatdan 𝐸 = 1 2𝑚𝑣2+𝑚𝑔ℎ = const tenglama orqali ifodalanadi. Ushbu bogʻlanish jism harakatining istalgan nuqtasida tezlik va balandlik orasidagi aniq munosabatni aniqlash imkonini beradi. Qarshilik kuchlari mavjud boʻlgan holatda esa mexanik energiyaning saqlanishi buziladi va energiya asta-sekin kamayadi. Agar qarshilik kuchi tezlikka proporsional boʻlsa, energiya oʻzgarishi 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = −𝑘𝑣2(𝑡) tenglama bilan tavsiflanadi. Ushbu ifodadan koʻrinadiki, tezlik ortishi bilan energiya yoʻqotilishi ham kuchayadi. Natijada jismning kinetik energiyasi maksimal qiymatga yetgach, qarshilik kuchlari taʼsirida kamayishni boshlaydi va harakat sekinlashadi. Bu holat real mexanik tizimlarda energiyaning issiqlik yoki boshqa shakllarga aylanishi bilan izohlanadi. Model asosida olingan natijalar shuni koʻrsatadiki, mexanik energiya harakat jarayonining eng muhim integrallovchi koʻrsatkichi boʻlib, u orqali jism harakatining umumiy xarakterini baholash mumkin. Tezlikning vaqt boʻyicha oʻzgarishi, balandlikning kamayishi yoki ortishi va qarshilik kuchlarining taʼsiri yagona matematik ifodada mujassamlanadi. Shu tariqa mexanik energiya modeli real harakat jarayonlarini sifat jihatdan emas, balki aniq miqdoriy bogʻlanishlar orqali tavsiflash imkonini beradi. YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 349 Mexanik energiya taqsimotining grafik tasviri Qurilgan matematik model harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasini tavsiflashda klassik mexanikaning asosiy qonuniyatlariga tayanadi va ularning amaliy qoʻllanilishini yaqqol koʻrsatadi. Ideal sharoitda mexanik energiyaning saqlanishi kinetik va potensial energiyalar oʻrtasidagi aniq muvozanatni ifodalaydi. Bu holat mexanik harakatning asosiy xususiyatlarini soddalashtirilgan shaklda tushuntirish imkonini beradi hamda tezlik va balandlik orasidagi bogʻlanishni bevosita aniqlashga xizmat qiladi. Natijalar shuni koʻrsatadiki, energiya saqlanishi harakatning barqaror va tashqi taʼsirlardan holi holatlarida toʻliq bajariladi. Real sharoitlar uchun kiritilgan qarshilik kuchlari modeli mexanik energiyaning kamayishini matematik jihatdan asoslash imkonini berdi. Tezlikka proporsional qarshilik kuchi qabul qilinganda energiya yoʻqotilishi kvadratik tezlikka bogʻliqligi bilan ajralib turadi. Bu bogʻlanish mexanik tizimlarda yuqori tezliklarda energiya yoʻqotishlarining keskin ortishini tushuntiradi. Model natijalari shuni koʻrsatadiki, energiya yoʻqotilishi faqat harakat mavjud boʻlgan holatlarda yuzaga keladi va jism toʻxtashiga yaqinlashgan sari bu jarayon sekinlashadi, bu esa fizik mazmun bilan toʻliq mos keladi. Taklif etilgan matematik modelning muhim jihati shundaki, u murakkab mexanik jarayonlarni minimal parametrlar yordamida ifodalash imkonini beradi. Shu bilan birga, modelning soddalashtirilganligi ayrim cheklovlarni ham yuzaga keltiradi. Masalan, qarshilik kuchining faqat tezlikka proporsional deb olinishi barcha real muhitlar uchun toʻliq mos kelmasligi mumkin. Shunga qaramay, bunday yondashuv mexanik energiyaning umumiy oʻzgarish tendensiyalarini tahlil qilish uchun yetarli aniqlikni taʼminlaydi. Umuman olganda, mexanik energiyani matematik modellashtirish jism harakatining fizik mohiyatini chuqurroq anglashga xizmat qiladi. Olingan natijalar mexanik tizimlarni tahlil qilishda energiya yondashuvi qulay va samarali ekanini koʻrsatadi. Ushbu model mexanik jarayonlarni nazariy jihatdan tushuntirish bilan bir qatorda, muhandislik va amaliy hisoblashlarda ham qoʻllash imkoniyatiga ega. Xulosa Harakatdagi jismning mexanikaviy energiyasini matematik modellashtirish mexanik jarayonlarning asosiy qonuniyatlarini aniq va izchil ifodalash imkonini beradi. Kinetik va potensial energiyalar yigʻindisi sifatida aniqlangan mexanik energiya jism harakatining YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 350 umumiy holatini tavsiflovchi muhim integral kattalik ekanligi asoslandi. Ideal sharoitda energiya saqlanishi harakatning barqarorligini koʻrsatsa, real muhitda qarshilik kuchlarining mavjudligi energiyaning kamayishiga olib kelishi matematik tenglamalar orqali ochib berildi. Taklif etilgan model tezlik, balandlik va qarshilik kuchlari oʻrtasidagi bogʻlanishni yagona matematik ifodada mujassamlashtirib, mexanik harakatni tahlil qilish va bashoratlash uchun qulay vosita boʻlib xizmat qiladi. Natijada mexanik energiya modeli fizik jarayonlarni chuqurroq anglash va amaliy masalalarga tatbiq etish imkonini yaratadi. Adabiyotlar, References, Литературы: 1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. — М.: Наука, 1988. — 215 с. 2. Трофимова Т. И. Курс физики. — М.: Высшая школа, 2003. — 560 с. 3. Goldstein H., Poole C., Safko J. Classical Mechanics. — 3rd ed. — Boston: Addison-Wesley, 2002. — 638 p. 4. Marion J. B., Thornton S. T. Classical Dynamics of Particles and Systems. — Belmont: Brooks/Cole, 2004. — 550 p. 5. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1979. — 432 с.