VARIATSION PRINSIP ASOSIDA JARAYONLARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI VA AMALIY QOʻLLANILISHI

YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 415 VARIATSION PRINSIP ASOSIDA JARAYONLARNI MATEMATIK MODELLASHTIRISHNING NAZARIY ASOSLARI VA AMALIY QOʻLLANILISHI Boqijonova Shaxnoza Zoirjon qizi Farg’ona davlat universiteti 23.07guruh talabasi [email protected] https://doi.org/10.5281/zenodo.18029696 Annotatsiya: Maqolada jarayonlarni variatsion prinsip asosida matematik modellashtirish masalalari koʻrib chiqiladi. Funksional tushunchasi va Euler–Lagrange tenglamasining kelib chiqishi orqali fizik jarayonlarni energiya mezoni asosida ifodalash yondashuvi yoritiladi. Mexanik tizim misolida variatsion prinsip yordamida harakat tenglamalarini hosil qilish koʻrsatiladi va olingan modelning fizik mazmuni tahlil qilinadi. Kalit soʻzlar: variatsion prinsip, funksional, Euler–Lagrange tenglamasi, Lagrang funksiyasi, matematik modellashtirish, mexanik tizim. Аннотация: В статье рассматриваются вопросы математического моделирования процессов на основе вариационного принципа. Понятие функционала и возникновение уравнения Эйлера-Лагранжа освещают подход к выражению физических процессов на основе энергетического критерия. На примере механической системы показано получение уравнений движения с помощью вариационного принципа и проанализировано физическое содержание полученной модели. Ключевые слова: вариационный принцип, функционал, уравнение ЭйлераЛагранжа, функция Лагранжа, математическое моделирование, механическая система. Annotation: The article examines the issues of mathematical modeling of processes based on the variational principle. The concept of a function and the derivation of the EulerLagrange equation illuminate the approach to describing physical processes based on the energy criterion. Using the example of a mechanical system, the formation of equations of motion using the variational principle is shown, and the physical content of the obtained model is analyzed. Keywords: variational principle, functional, Euler-Lagrange equation, Lagrange function, mathematical modeling, mechanical system. Kirish Zamonaviy fan va texnikada uchraydigan koʻplab jarayonlar murakkab dinamik xattiharakatlarga ega boʻlib, ularni toʻliq va aniq tavsiflash matematik modellashtirishning asosiy vazifalaridan biri hisoblanadi. Mexanik harakat, energiya almashinuvi, optik nurlar tarqalishi yoki elastik muhit deformatsiyasi kabi jarayonlar odatda differensial tenglamalar orqali ifodalanadi. Biroq bunday tenglamalarni bevosita tuzish har doim ham oson emas, chunki tizimga taʼsir etuvchi omillar koʻp boʻlib, ularning oʻzaro bogʻliqligi murakkab shaklga ega boʻladi. Shu sababli jarayonni tavsiflovchi asosiy qonuniyatni aniqlash va uni ixcham matematik ifodaga keltirish muammosi yuzaga keladi. Koʻplab fizik jarayonlar oʻz tabiatiga koʻra ekstremallik xossasiga ega boʻlib, tizim maʼlum bir miqdorni minimum yoki maksimum qiymatga keltirishga intiladi. Masalan, mexanik tizim harakati eng kichik taʼsir prinsipi asosida sodir boʻladi, yorugʻlik nuri esa eng qisqa vaqtni talab qiluvchi yoʻl boʻylab tarqaladi. Bunday holatlarda jarayonni alohida kuchlar yoki tezlanishlar orqali emas, balki umumiy integral xarakterga ega boʻlgan funksional orqali ifodalash YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 416 samaraliroq hisoblanadi. Aynan shu nuqtada variatsion prinsip matematik modellashtirish uchun kuchli nazariy asos sifatida namoyon boʻladi. Variatsion yondashuvning asosiy gʻoyasi jarayonni tavsiflovchi funksionalni aniqlash va uning ekstremal qiymatga ega boʻlish shartidan foydalanib harakat tenglamalarini hosil qilishdan iborat. Bu yondashuv yordamida murakkab tizimlar uchun harakat qonunlarini yagona prinsip asosida chiqarish, shuningdek, turli jarayonlar oʻrtasidagi ichki bogʻliqlikni aniqlash mumkin boʻladi. Natijada modellashtirish jarayoni nafaqat matematik jihatdan ixcham, balki fizik mazmunan ham tushunarli shaklga ega boʻladi. Shu sababli jarayonlarni variatsion prinsipdan foydalanib matematik modellashtirish masalalari nazariy va amaliy jihatdan dolzarb boʻlib, ular murakkab tizimlarni tahlil qilishda muhim oʻrin tutadi. Ushbu yondashuv orqali olingan modellar koʻpincha klassik differensial tenglamalar bilan ekvivalent boʻlsa-da, ularni chiqarish jarayoni ancha tizimli va umumlashgan koʻrinishga ega boʻladi. Variatsion prinsipga asoslangan matematik modellashtirishda asosiy obyekt sifatida oddiy funksiyalar emas, balki integral koʻrinishdagi funksional qaraladi. Umumiy holda bir oʻlchamli jarayon quyidagi funksional orqali ifodalanadi: 𝐽[𝑦]=∫ 𝐹(𝑥,𝑦(𝑥), 𝑥2 𝑥1𝑦′(𝑥)) 𝑑𝑥 bu yerda 𝑦(𝑥)— izlanayotgan funksiya, 𝑦′(𝑥)— uning hosilasi, 𝐹esa jarayonning fizik yoki matematik xususiyatlarini ifodalovchi Lagrang tipidagi funksiya hisoblanadi. Variatsion masalaning mohiyati shundan iboratki, berilgan chegaraviy shartlar ostida funksional 𝐽[𝑦]ekstremal qiymatga ega boʻladigan 𝑦(𝑥)funksiyani topish talab etiladi. Funksionalning ekstremal boʻlish sharti kichik variatsiyalar orqali aniqlanadi. Agar 𝑦(𝑥)funksiyaga kichik 𝛿𝑦(𝑥)oʻzgarish kiritilsa va chegaralarda 𝛿𝑦(𝑥1)=𝛿𝑦(𝑥2)=0shart bajarilsa, u holda funksionalning birinchi variatsiyasi nolga teng boʻlishi zarur: 𝛿𝐽=0 Bu shartni matematik jihatdan ochib yozish natijasida Euler–Lagrange tenglamasi hosil boʻladi: ∂𝐹 ∂𝑦−𝑑 𝑑𝑥(∂𝐹 ∂𝑦′)=0 Mazkur tenglama variatsion prinsipning asosiy natijasi boʻlib, u funksional ekstremalini aniqlovchi differensial tenglama vazifasini bajaradi. Shuni taʼkidlash joizki, koʻplab fizik jarayonlarda aynan shu tenglama harakat yoki muvozanat tenglamalariga toʻliq mos keladi. Agar jarayon vaqt boʻyicha rivojlansa, yaʼni 𝑦=𝑦(𝑡)boʻlsa, funksional koʻpincha quyidagi koʻrinishda yoziladi: 𝐽[𝑦]=∫ 𝐿(𝑦(𝑡), 𝑡2 𝑡1𝑦󰇗(𝑡),𝑡) 𝑑𝑡 bu yerda 𝐿— Lagrang funksiyasi boʻlib, u odatda kinetik va potensial energiyalar ayirmasi orqali aniqlanadi: 𝐿=𝑇−𝑉 YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 417 Bunday holatda Euler–Lagrange tenglamasi tizim harakatining asosiy tenglamasiga aylanadi: 𝑑 𝑑𝑡(∂𝐿 ∂𝑦󰇗)−∂𝐿 ∂𝑦=0 Variatsion yondashuvning muhim jihati shundaki, u tizimga taʼsir etuvchi kuchlarni alohida-alohida hisobga olishni talab qilmaydi, balki butun jarayonni yagona integral mezon orqali tavsiflaydi. Natijada matematik model umumlashgan, ixcham va fizik mazmunan izchil shaklga ega boʻladi. Mexanik tizimlarning harakatini tavsiflashda asosiy muammo shundan iboratki, kuchlar va ularning yoʻnalishlarini alohida hisobga olib harakat tenglamalarini tuzish koʻp hollarda murakkablashib ketadi. Ayniqsa, koʻp erkinlik darajasiga ega tizimlarda klassik Nyuton yondashuvi katta hajmdagi hisob-kitoblarni talab qiladi. Shu sababli harakatni umumiy energiya xossalari orqali ifodalash va yagona matematik prinsip asosida model qurish samaraliroq yechim sifatida qaraladi. Bir oʻlchamli mexanik tizim sifatida massasi 𝑚ga teng boʻlgan zarrachaning potensial maydondagi harakatini koʻrib chiqamiz. Tizim holati vaqtga bogʻliq 𝑥(𝑡)koordinata orqali aniqlanadi. Zarrachaning kinetik energiyasi 𝑇=𝑚 2𝑥󰇗2 koʻrinishda, potensial energiyasi esa 𝑉=𝑉(𝑥)funksiya bilan ifodalanadi. Variatsion yondashuvga koʻra, tizim harakati Lagrang funksiyasi orqali aniqlanadi: 𝐿(𝑥,𝑥󰇗)=𝑇−𝑉=𝑚 2𝑥󰇗2−𝑉(𝑥) Harakat funksionali esa vaqt oraligʻida integral koʻrinishda yoziladi: 𝐽[𝑥]=∫ (𝑚 2𝑥󰇗2−𝑉(𝑥)) 𝑡2 𝑡1𝑑𝑡 Mazkur funksionalning ekstremal qiymatga ega boʻlishi zarrachaning real harakat trayektoriyasini belgilaydi. Shu shartdan foydalanib Euler–Lagrange tenglamasi qoʻllaniladi: 𝑑 𝑑𝑡(∂𝐿 ∂𝑥󰇗)−∂𝐿 ∂𝑥=0 Lagrang funksiyasi hosilalari hisoblanganda quyidagi tenglama hosil boʻladi: 𝑚𝑥󰇘 +𝑑𝑉 𝑑𝑥 =0 Bu natija mexanik tizim uchun klassik harakat tenglamasiga toʻliq mos keladi. Agar potensial energiya chiziqli elastik kuch bilan aniqlansa, yaʼni 𝑉(𝑥)=𝑘 2𝑥2 YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 418 boʻlsa, u holda harakat tenglamasi tebranish jarayonini ifodalovchi differensial tenglamaga aylanadi: 𝑚𝑥󰇘 +𝑘𝑥=0 Shu tarzda variatsion prinsip yordamida tizimning harakat qonuni kuchlarni bevosita kiritmasdan, faqat energiya ifodalari orqali aniqlanadi. Bu yondashuv modelni umumlashtirish imkonini beradi va murakkab tizimlar uchun ham yagona algoritmik yechimni taʼminlaydi. Variatsion prinsip asosida hosil qilingan matematik model mexanik tizim harakatini umumiy va fundamental qonuniyatlar asosida tavsiflash imkonini beradi. Euler–Lagrange tenglamasidan kelib chiqadigan 𝑚𝑥󰇘 +𝑑𝑉 𝑑𝑥 =0 koʻrinishdagi harakat tenglamasi tizim dinamikasining energiya balansi orqali aniqlanishini ifodalaydi. Ushbu tenglama kuchlarning bevosita taʼsirini emas, balki potensial energiya gradienti orqali harakat sababini tushuntiradi, bu esa jarayonning fizik mohiyatini yanada chuqurroq ochib beradi. Natijada harakat trayektoriyasi tasodifiy emas, balki taʼsir funksionalining ekstremal qiymatini taʼminlovchi optimal yoʻl sifatida aniqlanadi. Model tahlili shuni koʻrsatadiki, variatsion yondashuv orqali olingan harakat tenglamalari klassik mexanika doirasida olingan natijalar bilan toʻliq mos keladi. Biroq bu moslik oddiy matematik oʻxshashlik bilan cheklanmaydi, balki tizim harakatining ichki energetik sabablarini ochib beradi. Harakat jarayoni kinetik va potensial energiyalar oʻrtasidagi uzluksiz almashinuv sifatida talqin qilinadi, bu esa modelni nafaqat hisoblash, balki fizik tahlil qilish nuqtayi nazaridan ham qulay qiladi. Agar potensial energiya kvadratik koʻrinishda tanlansa, yaʼni 𝑉(𝑥)=𝑘 2𝑥2, u holda tizim klassik garmonik tebranish rejimiga oʻtadi. Bu holatda harakat tenglamasi 𝑚𝑥󰇘 +𝑘𝑥=0 YOSH OLIMLAR ILMIY-AMALIY KONFERENSIYASI in-academy.uz/index.php/yo 419 koʻrinishiga keladi va yechim sinusoidal funksiyalar orqali ifodalanadi. Tebranish chastotasining faqat massa va elastiklik koeffitsientiga bogʻliqligi tizimning barqarorligini koʻrsatadi hamda tashqi sharoitlar oʻzgarmagan holda harakatning oldindan bashorat qilinishiga imkon yaratadi. Shu sababli variatsion prinsip asosida qurilgan model real fizik jarayonlarni ishonchli tavsiflay oladigan natijalar beradi. Olingan natijalar shuni tasdiqlaydiki, variatsion yondashuv faqat mavjud fizik qonunlarni qayta hosil qilish vositasi boʻlib qolmay, balki murakkab tizimlarning umumiy xossalarini aniqlashda ham samarali matematik asos vazifasini bajaradi. Bu esa modelni keyinchalik kengaytirish va murakkabroq jarayonlarga tadbiq etish imkonini beradi. Variatsion prinsip asosidagi modellashtirishning eng muhim afzalligi jarayonni yagona integral mezon orqali ifodalash imkoniyatidir. Ushbu yondashuvda tizimga taʼsir etuvchi kuchlar yoki bogʻlanishlar alohida-alohida koʻrib chiqilmaydi, balki ular energiya funksiyasi tarkibida umumlashtirilgan holda hisobga olinadi. Natijada koʻp erkinlik darajasiga ega boʻlgan tizimlar uchun ham harakat tenglamalarini tizimli va izchil tarzda hosil qilish mumkin boʻladi. Variatsion yondashuv matematik ifodaning ixchamligi va umumlashganligi bilan ajralib turadi. Bir xil prinsip asosida mexanik, optik yoki boshqa fizik jarayonlarni tavsiflash mumkinligi bu yondashuvning universalligini koʻrsatadi. Ayniqsa, murakkab geometrik cheklovlarga ega tizimlarda Lagrang formalizmi orqali harakat tenglamalarini olish anʼanaviy usullarga nisbatan ancha qulay hisoblanadi. Shu bilan birga, variatsion yondashuv maʼlum cheklanishlarga ham ega. Funksionalni toʻgʻri tanlash har doim ham oson boʻlmaydi, ayniqsa dissipativ kuchlar, ishqalanish yoki tashqi tasodifiy taʼsirlar mavjud boʻlsa. Bunday holatlarda klassik variatsion prinsip toʻliq ishlamasligi mumkin va qoʻshimcha umumlashtirilgan modellar yoki maxsus tuzatishlar kiritish talab etiladi. Bu esa model tuzishni murakkablashtiradi. Shunga qaramay, energiya saqlanishi ustuvor boʻlgan konservativ tizimlar uchun variatsion prinsip eng samarali va nazariy jihatdan puxta yondashuvlardan biri boʻlib qoladi. Ushbu yondashuv yordamida qurilgan modellar yuqori aniqlik, izchillik va fizik mazmunning aniqligi bilan ajralib turadi hamda matematik modellashtirishda muhim oʻrin egallaydi. Xulosa Variatsion prinsip jarayonlarni matematik modellashtirishda kuchli va universal nazariy asosni taʼminlaydi. Energiya yoki taʼsir funksionalining ekstremal qiymatga ega boʻlishi orqali tizim harakat tenglamalarini hosil qilish imkoniyati murakkab jarayonlarni umumlashgan shaklda tavsiflashga xizmat qiladi. Ushbu yondashuv yordamida olingan modellar fizik mazmunan izchil boʻlib, klassik differensial tenglamalar bilan ekvivalent natijalarni beradi. Variatsion prinsip asosidagi modellashtirish mexanika, optika va boshqa sohalardagi jarayonlarni chuqur tahlil qilishda samarali vosita sifatida namoyon boʻladi. Adabiyotlar, References, Литературы: 1. Goldstein H. Classical Mechanics. — 3rd ed. — New York: Addison-Wesley, 2002. 2. Lanczos C. The Variational Principles of Mechanics. — Toronto: University of Toronto Press, 1970. 3. Gelfand I. M., Fomin S. V. Calculus of Variations. — Englewood Cliffs: Prentice-Hall, 1963. 4. Arnolʼd V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. — New York: Springer, 1989. 5. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Mathematical Modelling. — Moscow: Nauka, 1990.