Lema de densidad 2-ádica en la trayectoria impar de Collatz

Lema de densidad 2-ádica en la trayectoria impar de Collatz Miguel Cerdá Bennassar Noviembre de 2025 Resumen En este trabajo se describe la parte impar–par de la función clásica de Collatz a partir de su valoración 2-ádica. Primero se demuestra que los impares cuyo 3n+ 1 tiene valoración exacta ν2(3n+ 1) = rforman, dentro del conjunto de los impares, una única clase de congruencia módulo 2r+1 y aparecen con densidad 1/2r. Esto explica el patrón de huecos crecientes que se observa en la representación gráfica de las trayectorias (Figura 1). A continuación se introduce el nodo de cierre par A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, y se agrupan todos los impares que producen el mismo Aen familias 4-ádicas FA. Se prueba que los únicos nodos de cierre par posibles satisfacen A≡2,10 (m´od 12) y que F2={1,5,21,85, . . .}es la única familia con autoenlace en el grafo reducido. La atracción global hacia F2se formula como conjetura y se respalda mediante verificación computacional para A≤106. Palabras clave: conjetura de Collatz, dinámica 2-ádica, familias 4-ádicas, densidad modular, nodo de cierre par, ciclo 4–2–1. Abstract This paper describes the odd–even part of the classical Collatz map from a 2-adic perspective. First, it is shown that the odd integers satisfying ν2(3n+ 1) = rform, within the set of odd integers, a single residue class modulo 2r+1 and occur with density 1/2r. This explains the pattern of increasing gaps observed in the graphical representation of the trajectories (Figure 1). The same 2-adic information is then used to introduce the even closure node A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, and to group all odd integers yielding the same Ainto 4-adic families FA. It is proved that the only possible even closure nodes satisfy A≡2,10 (mod 12) and that F2={1,5,21,85, . . .} is the only family admitting a self-loop in the reduced graph. Global attraction to F2is stated as a conjecture and supported by computational verification for A≤106. Keywords: Collatz conjecture, 2-adic dynamics, 4-adic families, modular density, even closure node, 4–2–1cycle. 1 1. Introducción La Figura 1muestra una representación visual de la trayectoria de los números impares bajo la función clásica de Collatz, elaborada por el propio autor. Cada fila contiene los valores sucesivos que aparecen en la parte par de la trayectoria, es decir, los términos de la forma 3n+ 1,3n+ 1 2,3n+ 1 22, . . . , 3n+ 1 2r−1, hasta alcanzar el último número par antes de volver a un impar. El patrón de huecos visibles en la tabla refleja una estructura de densidades decrecientes gobernada por la potencia de dos que divide a 3n+ 1. Figura 1: Trayectoria de los números impares nhasta el último par en la función de Collatz clásica. Cada fila representa los valores pares obtenidos sucesivamente en 3n+ 1,(3n+ 1)/2, (3n+ 1)/22, etc. 2. Lema de densidad 2-ádica Lema 2.1 (Densidad 2-ádica decreciente).Sea mun número impar y sea r=ν2(3m+ 1) el exponente de la mayor potencia de 2que divide a 3m+ 1. Entonces los impares mque verifican ν2(3m+ 1) = rforman exactamente una clase de congruencia módulo 2r+1 al restringirse al conjunto de los impares, y su densidad dentro del conjunto de los impares es δr=1 2r. Justificación de la densidad. La congruencia 3m+ 1 ≡0 (m´od 2r)tiene una única solución m≡a(m´od 2r)porque gcd(3,2r) = 1. Esto describe a los enteros mtales que ν2(3m+ 1) ≥r. Para aislar los que satisfacen exactamente ν2(3m+ 1) = rconsideramos la congruencia módulo 2r+1. Escribiendo m=a+t2rcon t= 0,1y usando que 3a+ 1 = 2rccon cimpar, se obtiene 3m+ 1 = 2r(c+ 3t). Si t= 0, entonces c+ 3tes impar y por tanto ν2(3m+ 1) = r. Si t= 1, entonces c+ 3 es par y, en consecuencia, ν2(3m+ 1) ≥r+ 1. Por tanto, los mcon ν2(3m+ 1) = rforman exactamente una clase módulo 2r+1. Como dentro de los enteros la densidad de una clase módulo 2r+1 es 1/2r+1, y la densidad de los impares es 1/2, la densidad relativa dentro de los impares es 1/2r+1 1/2=1 2r. 2 Corolario 2.2 (Separación entre apariciones sucesivas).Sea drla distancia entre dos números impares consecutivos que verifican ν2(3m+ 1) = r. Entonces dr= 2r−1. Demostración. Del Lema anterior se deduce que los enteros mque cumplen la condición forman una progresión aritmética con paso 2r+1. Entre dos impares separados por 2r+1 hay exactamente 2r−1impares intermedios, por lo que el número de huecos entre dos apariciones consecutivas es dr= 2r−1. Observación 2.1. El lema muestra que cada fila inferior de la tabla representa un subconjunto cada vez más raro de impares. Para niveles rfinitos la densidad es positiva, pero en el límite r→ ∞ se anula. Este comportamiento pone de manifiesto la estructura jerárquica y 2-ádica de la dinámica de Collatz: en cada nivel de divisibilidad por 2, la densidad de impares que lo alcanzan se reduce a la mitad, lo que en la representación gráfica se traduce en un espaciado creciente y una tabla progresivamente más vacía. 3. Reducción 4-ádica y representación comprimida de las columnas impares La Sección anterior mostró que los impares cuyo 3n+ 1 tiene valoración 2-ádica igual a r aparecen con densidad 1/2rdentro del conjunto de los impares. Esto explica por qué las filas inferiores de la Figura 1son cada vez más raras. En esta sección aprovechamos precisamente ese mismo dato 2-ádico para agrupar las columnas: si dos impares producen, tras agotar las divisiones por 2, el mismo último par A, entonces pertenecen a una misma familia 4-ádica. De este modo, la información de densidad (vertical) se traduce en una organización por familias (horizontal), sobre la que puede estudiarse la convergencia hacia la familia (2). Sea nun número impar y sea A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1 el último número par de su trayectoria impar de Collatz, es decir, el par que aparece justo antes de volver a un impar. Obsérvese que si escribimos 3n+ 1 = 2r·q(qimpar), entonces A= 2q, de modo que A/2 = qes precisamente el impar siguiente. En particular, todo último par visible es de la forma A≡2 (m´od 4), y más concretamente se tiene A≡2o10 (m´od 12). A partir de este Apodemos describir toda la familia de impares que producen exactamente ese mismo último par. La condición general que deben satisfacer es 3m+1=A·2scon s≥0, porque al dividir 3m+ 1 entre 2s−1obtenemos 3m+ 1 2s−1=A, que es justo la definición de último par. Para que msea entero necesitamos que A·2s≡1 (m´od 3). Como 2≡ −1 (m´od 3), esto nos da dos casos: 3 Si A≡1 (m´od 3) (esto es, A≡10 (m´od 12)), entonces 2s≡1 (m´od 3) y por tanto sdebe ser par. Escribiendo s= 2kobtenemos m=A·22k−1 3=A·4k−1 3, k = 0,1,2, . . . Si A≡2 (m´od 3) (esto es, A≡2 (m´od 12)), entonces A·2s≡1 (m´od 3) exige que ssea impar. Escribiendo s= 2k+ 1 obtenemos m=A·22k+1 −1 3=2A·4k−1 3, k = 0,1,2, . . . Esto nos lleva a la siguiente definición. Definición 3.1 (Familia asociada a un último par).Sea Aun último par visible de la trayectoria impar de Collatz, con A≡2,10 (m´od 12). Definimos la familia asociada a Acomo FA=         A·4k−1 3:k≥0,si A≡10 (m´od 12), 2A·4k−1 3:k≥0,si A≡2 (m´od 12). Todos los elementos de FAgeneran la misma cola par y, por tanto, la misma columna en la Figura 1. La dinámica de Collatz puede representarse entonces de forma comprimida sobre los últimos pares: a cada A(par) le hacemos el paso siguiente de Collatz, que es A7→ A/2, y ese impar A/2 pertenece a alguna otra familia FB. Esto da lugar al grafo dirigido de la Figura 2, en el que se han dibujado algunas de las familias más bajas: por ejemplo, F10 ={3,13,53,213, . . . },F14 ={9,37,149,...},F22 ={7,29,117,...}. Todas ellas apuntan a la familia F2={1,5,21,85, . . . }. Proposición 3.1 (Partición disjunta en familias).Sea nun número impar y sea A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1 su nodo de cierre par. Entonces npertenece a una única familia FA, y dos familias distintas FA yFBcon A=Bno comparten elementos. Demostración. Por definición, la familia FArecoge exactamente los impares mtales que 3m+1=A·2s para algún s≥0. Dado un impar m, el valor de Aque se obtiene al agotar las divisiones por 2 en 3m+ 1 es único, porque la factorización 3m+ 1 = 2rqcon qimpar es única. Por tanto, mno puede satisfacer simultáneamente 3m+1=A·2sy3m+ 1 = B·2t con A=B. De aquí se sigue que las familias FAforman una partición disjunta del conjunto de los impares. 4 Proposición 3.2 (Unicidad del ciclo 4,2,1en la estructura reducida por familias).Considérese el grafo dirigido Gcuyos nodos son las familias FAdefinidas antes a partir del último par A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1, y donde trazamos una arista FA−→ FB si, tras aplicar a un impar de FAel paso 3x+1 y agotar las divisiones por 2hasta el último par, el impar obtenido pertenece a FB. Entonces, en este grafo Gla única familia que admite un autoenlace FA−→ FA es la familia F2={1,5,21,85, . . .}, correspondiente al ciclo clásico 4→2→1. Demostración. Si A= 2, el paso siguiente es 27→ 1, y 1pertenece justamente a la misma familia F2, por lo que se obtiene el autoenlace F2→ F2y el ciclo 4→2→1. Si A > 2, como Aes el último par, se tiene que A= 2qcon qimpar, y el paso siguiente es A7→ q. Pero qno pertenece a la familia FA, sino a otra familia determinada por ese impar. Por tanto, desde FAse sale siempre hacia otra familia distinta. Esto descarta autoenlaces para A>2. El resultado anterior identifica a F2como el único nodo con autoenlace en el grafo reducido. La atracción global hacia F2no se deduce de ello de manera puramente lógica, y se formula más abajo como conjetura, respaldada por verificación computacional. Antes, establecemos una restricción modular elemental sobre los últimos pares. Proposición 3.3 (Clases modulares de los últimos pares).Sea Ael último número par de una trayectoria impar de Collatz, es decir A=3n+ 1 2ν2(3n+1)−1. Entonces necesariamente A≡2o10 (m´od 12). Además, el paso reducido A7→ A/2produce un impar que pertenece a una familia FBbien definida, determinada de forma única por su propio nodo de cierre par. Demostración. Si nes impar, 3n+ 1 es par y al reducirlo módulo 12 sólo pueden aparecer los residuos 4o10. Al agotar divisiones por 2hasta el último par se obtiene necesariamente A≡2 o10 (m´od 12). Por otra parte, como Aes par, el siguiente valor impar es A/2. Aplicando la Proposición de partición disjunta en familias, ese impar pertenece a una única familia FB. Conjetura 3.1 (Atracción global hacia la familia F2).En la estructura reducida por familias FAasociadas al último par visible de la dinámica de Collatz, la familia F2={1,5,21,85, . . .} actúa como atractor global. En otras palabras, se conjetura que toda órbita del grafo reducido iniciada en una familia FAcon A>2alcanza F2en un número finito de iteraciones. Comentario (Evidencia computacional).La Conjetura 3.1 ha sido verificada computacionalmente para todos los últimos pares A≤106con A≡2,10 (m´od 12). En dicho rango no se detectaron ciclos alternativos en la estructura reducida por familias, y todas las órbitas alcanzaron el nodo A= 2, correspondiente a la familia F2. Los detalles del experimento, junto con estadísticas sobre longitudes de transitorio, se recogen en el Apéndice C. 5 2 10 14 22 FA . . . F2: (1,5,21,85, . . .) F10 : (3,13,53,213, . . .) F14 : (9,37,149, . . .) F22 : (7,29,117, . . .) Familias restantes (A≡2,10(m´od 12)) Figura 2: Estructura reducida por familias 4-ádicas. La familia F2es la única con autoenlace. En el rango verificado computacionalmente (A≤106), todas las familias observadas alcanzan F2. Comentario (Nota final).La estructura reducida por familias 4-ádicas proporciona una descripción compacta de la dinámica impar–par de Collatz, en la que el nodo de cierre par actúa como identificador de columnas y el grafo inducido permite estudiar la organización de las trayectorias a nivel agregado. La unicidad del autoenlace en F2se deduce de forma directa. La cuestión de la atracción global, sin embargo, requiere argumentos adicionales y se aborda aquí mediante verificación computacional. Combinando la partición disjunta de los impares en familias FAcon la unicidad del autoenlace en F2, la estructura reducida queda determinada localmente. La inexistencia de ciclos alternativos y la convergencia global hacia F2no se demuestran aquí de forma analítica, pero se ven fuertemente respaldadas por la verificación computacional descrita en el Apéndice C. 4. Conclusión Este trabajo no aborda una demostración global de la conjetura de Collatz, pero aporta una descripción estructural de su dinámica impar–par basada en dos ingredientes complementarios. En primer lugar, el lema de densidad 2-ádica identifica una jerarquía de niveles definida por la valoración ν2(3n+ 1) y explica el patrón de huecos crecientes observado en la representación tabular de las trayectorias. En segundo lugar, el nodo de cierre par permite agrupar los impares en familias 4-ádicas FA y construir una estructura reducida a nivel de familias. En este grafo reducido se prueba que F2 es la única familia con autoenlace, correspondiente al ciclo clásico 4→2→1. La atracción global hacia F2se formula como conjetura. En apoyo de la misma, se incluye verificación computacional para A≤106, en la que no se detectan ciclos alternativos y todas las órbitas alcanzan el nodo A= 2. Queda abierto obtener un argumento analítico que excluya ciclos multi-familia y cadenas infinitas en el grafo de familias. 6 A. Conexión con el teorema de estructura para las aplicaciones (d, g, h) A.1. El marco general de Kontorovich–Sinai En 2006, Kontorovich y Sinai introdujeron un marco general para las transformaciones tipo Collatz, denominadas aplicaciones (d, g, h), definidas por T(x) = gx +h(gx) dνd(gx+h(gx)) , donde d, g ∈Nyh:Z→Zes una función periódica módulo d. El exponente νd(y)denota la máxima potencia de dque divide a y. Este formalismo engloba a una amplia clase de transformaciones afines que, tras una multiplicación y una traslación, se reducen repetidamente por divisibilidad. El objetivo principal del teorema de estructura es describir las órbitas en términos de congruencias módulo dg y de las secuencias de exponentes (k1, k2, . . . , km)que especifican las divisiones por den cada paso. A.2. La función de Collatz como caso particular La función clásica de Collatz se obtiene con los parámetros d= 2,g= 3 yh(x) = 1, lo que da T(n) = 3n+ 1 2ν2(3n+1) . Esta es exactamente la función utilizada como base en el presente trabajo, donde el parámetro ν2(3n+ 1) determina la longitud del tramo par y, en consecuencia, el nodo de cierre par A= (3n+ 1)/2ν2(3n+1)−1. A.3. Correspondencia entre el drift y el factor de expansión local Kontorovich y Sinai introducen un parámetro medio denominado drift, µ= log g−d d−1log d, que mide la tendencia promedio de la órbita a expandirse o contraerse. Para (d, g) = (2,3) resulta µ<0, lo que implica contracción media. En el presente marco estructural, la expansión local de un tramo impar–par se expresa como G= 3j2−(n−j), donde jes el número de impares y n−jel número de divisiones por 2. El criterio log G<0 caracteriza también la contracción de la trayectoria. Ambas expresiones cuantifican el mismo equilibrio entre expansión por 3y reducción por potencias de 2. A.4. Estructura modular y clasificación de familias El teorema de estructura de Kontorovich–Sinai clasifica las órbitas en clases de congruencia módulo dg y las parametriza por las secuencias de exponentes νd. De forma análoga, la presente teoría organiza las trayectorias en familias 4-ádicas FAdefinidas por su nodo de cierre par, y en zonas modulares A, B y C según las raíces digitales. La diferencia reside en el enfoque: mientras Kontorovich y Sinai describen un espacio de medidas probabilísticas, aquí se construye una estructura jerárquica discreta y completamente determinista. 7 A.5. Interpretación dinámica unificada En ambos modelos, la contracción global se manifiesta de manera equivalente: el drift negativo implica atracción estadística hacia un dominio finito, y la densidad 2-ádica decreciente aporta un mecanismo explicativo para la organización jerárquica observada. La atracción global hacia F2se formula como conjetura y se respalda en este trabajo mediante verificación computacional. La función reducida T(A)=A/2desempeña, en el marco determinista, el mismo papel que el promedio logarítmico en el modelo estocástico: un mecanismo de disipación iterativa que concentra las órbitas. A.6. Conclusión El modelo (d, g, h)proporciona una formulación general y probabilística de las transformaciones tipo Collatz. El presente enfoque puede interpretarse como su contraparte estructural 2-ádica: una realización discreta en la que las clases de congruencia se materializan en familias jerárquicas y grafos finitos. De este modo, el teorema de estructura encuentra una traducción explícita en términos modulares y 4-ádicos, donde la dinámica se hace visible como un sistema finito de conexiones que culmina en el ciclo 4→2→1. B. Transición de clases 4n+3 a4n+1 en la dinámica simplificada B.1. Motivación Una propiedad empírica esencial de la dinámica de Collatz simplificada, T(n) = (n/2, n par, (3n+ 1)/2, n impar, es que toda clase de impares n≡3 (m´od 4) eventualmente alcanza un número de la clase n≡1 (m´od 4). Este hecho garantiza que las secuencias no pueden permanecer indefinidamente en la subclase 4n+ 3, lo que en el modelo estructural equivale a decir que ninguna familia 4-ádica genera un ciclo autónomo formado solo por impares de tipo 4n+ 3. B.2. Análisis modular de la transición Sea n= 4k+ 3. Aplicamos la función de Collatz simplificada al primer paso: T(4k+ 3) = 3(4k+3)+1 2=12k+ 10 2= 6k+ 5. Observemos que: 6k+ 5 ≡1 (m´od 4) si kes par,6k+ 5 ≡3 (m´od 4) si kes impar. Por tanto, el residuo módulo 4 depende de la paridad de k: solo los valores con kpar cambian de clase 4n+ 3 a4n+ 1 en un solo paso. B.3. Persistencia y reducción del parámetro interno Si kes impar, el nuevo valor 6k+ 5 sigue siendo de tipo 4n+ 3. Podemos escribir k= 2t+ 1, con lo que T(4(2t+ 1) + 3) = T(8t+ 7) = 6(2t+ 1) + 5 = 12t+ 11. El siguiente paso es: T(12t+ 11) = 3(12t+ 11) + 1 2=36t+ 34 2= 18t+ 17. 8 Reduciendo módulo 4se obtiene 18t+ 17 ≡2t+ 1 (m´od 4), de modo que 18t+ 17 ≡(1 (m´od 4), t par, 3 (m´od 4), t impar. Por tanto, si tes par la secuencia entra en la clase 4n+ 1 en el segundo paso, y si tes impar continúa un paso más dentro de la clase 4n+ 3, aunque con un parámetro interno menor (pues t<k). En cada persistencia dentro de la clase 4n+3 este parámetro se reduce aproximadamente a la mitad, por lo que el proceso no puede prolongarse indefinidamente: tras un número finito de iteraciones la trayectoria alcanza necesariamente la clase 4n+ 1. B.4. Consecuencia estructural Este resultado puede interpretarse en términos del “parámetro interno” que mide la distancia hasta el siguiente número de tipo 4n+ 1. Cada vez que se aplica T(n)a un elemento 4n+ 3, ese parámetro se reduce estrictamente (por un factor 2 en el caso par →impar), de modo que el proceso no puede mantenerse indefinidamente. En el contexto de las familias 4-ádicas FA, esta transición implica que cualquier familia cuyos generadores sean impares de tipo 4n+ 3 terminará, en un número finito de pasos, en una familia generada por un impar de tipo 4n+ 1, es decir, en un nodo de cierre par A≡2,10 (m´od 12). Corolario B.1 (Finita permanencia de la clase 4n+ 3).Bajo la función de Collatz simplificada T(n) = (3n+ 1)/2, toda secuencia iniciada en un impar n≡3 (m´od 4) entra en la clase n≡1 (m´od 4) en un número finito de pasos. Por consiguiente, las clases 4n+ 3 no pueden formar ciclos autónomos ni subdinámicas cerradas. B.5. Interpretación en el modelo de familias En el modelo de familias FA, la clase 4n+ 3 corresponde a los miembros superiores de una generación que alimentan el nodo par A. La transición obligada 4n+ 3 →4n+ 1 asegura que cada familia posee una única dirección de descenso, es decir, una “salida” que la conduce al tramo siguiente. Combinada con la unicidad del autoenlace demostrada en la Sección 3, esta transición es consistente con la ausencia de subdinámicas autónomas basadas en la clase 4n+ 3. No obstante, la convergencia global hacia F2no se deduce aquí únicamente de este hecho y se mantiene como conjetura, respaldada por verificación computacional en el rango indicado. C. Verificación computacional en el rango A≤106 En este apéndice se verifica, para todos los últimos pares A≤106, que la dinámica reducida por familias no presenta ciclos alternativos en dicho rango y que toda órbita alcanza el nodo A= 2 (equivalentemente, la familia F2). C.1. Mapa reducido sobre últimos pares Dado un último par A≡2,10 (m´od 12), el siguiente impar visible es q=A/2. Definimos el sucesor reducido de Acomo el nuevo último par obtenido tras aplicar 3q+ 1 y agotar divisiones por 2hasta el último par: T(A) = 3(A/2) + 1 2ν2(3(A/2)+1)−1=3A+ 2 2ν2(3A+2)−2, A ≡2,10 (m´od 12).(1) 9