Öğretmen adaylarının Ters Fonksiyonlara İlişkin Enstrümanlı Eylem Şemalarının İncelenmesi

EJONS 9(4) Pages: 391-410 391 EJONS Uluslararası Matematik, Mühendislik ve Doğa Bilimleri Dergisi International Journal on Mathematic, Engineering and Natural Sciences Research Article e-ISSN: 2602 - 4136 https://doi.org/10.5281/zenodo.17948158 Öğretmen adaylarının Ters Fonksiyonlara İlişkin Enstrümanlı Eylem Şemalarının İncelenmesi Naz MARDANİ *1, Menekşe Seden TAPAN BROUTİN 1 1 Bursa Uludağ Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü, Bursa, Türkiye Sorumlu Yazar Email: naz.[email protected]m Makale Tarihçesi Özet: Bu çalışma, öğretmen adaylarının ters fonksiyonları temsil süreçlerini ve bu süreçlerde ortaya çıkan enstrümantal oluşumlarını incelemeyi amaçlamaktadır. Bu kapsamda, kağıt-kalem ve dinamik geometri ortamlarında ters fonksiyonların yazımı ve grafiklerinin çizimine yönelik geliştirilen enstrümanlı eylem şemalarına odaklanarak, öğretmen adaylarının matematik öğretimine yönelik teknolojik araçların öğretim sürecindeki katkısı değerlendirilmiştir. Araştırma, Türkiye’de bir devlet üniversitesinde ilköğretim matematik öğretmenliği programının ikinci sınıfında öğrenim gören 6 öğretmen adayı ile yürütülmüştür. Araştırmanın verileri çalışma yaprağı, yazılı ve sözlü görüşmeler, ekran ve ses kayıtları ile toplanmış ve içerik analizi yöntemiyle çözümlenmiştir. Veriler kodlanmış, kategorilere ayrılmış ve enstrümantal yaklaşımın bileşenleri çatısında temalar oluşturulmuş ve araştırmanın amacı doğrultusunda yorumlanmıştır. Araştırmanın sonucunda, öğretmen adaylarının kâğıtkalem ortamında geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemalarının işlemsel düzeyde kaldığını, Cabri-Geometri ortamında ise kavramsal, etkileşimli ve çoklu temsilli şemalar geliştirdiğini ortaya konulmuştur. Dinamik ortamın görsel ve etkileşimli özellikleri, öğretmen adaylarının cebirsel kavramları anlamlandırma ve temsiller arası geçişlerini kolaylaştırarak, teknoloji entegrasyonunun matematik öğretiminde kavramsal öğrenmeyi destekleyici bir yaklaşım olarak benimsenmesi gerektiğini göstermektedir. Geliş: 08.10.2025 Kabul: 02.12.2025 Anahtar Kelimeler Enstrümantal Yaklaşım, Öğretmen Adayları, Teknoloji Destekli Öğretim, Temsiller, Enstrümanlı Eylem Şemalar Investigating Pre-Service Teachers’ Instrumented Action Schemes Related to Inverse Functions Article Info Abstract: This study aims to examine pre-service teachers’ processes of representing inverse functions and the instrumental genesis that emerges during these processes. Focusing on the instrumented action schemes developed for writing and graphing inverse functions in both paper-and-pencil and dynamic geometry environments, the study evaluates the contribution of technological tools to mathematics teaching. The research was conducted with six pre-service elementary mathematics teachers enrolled in the second year of a public university in Türkiye. Data were collected through worksheets, written and oral interviews, screen recordings, and audio recordings, and were analyzed using content analysis. The data were coded, categorized, and organized into themes within the framework of the components of the instrumental approach, then interpreted in line with the research purpose. The findings revealed that the instrumented action schemes developed by pre-service teachers in the paper-and-pencil environment remained at an operational level, whereas in the Cabri-Geometry environment they developed conceptual, interactive, and multi-representational schemes. The visual and interactive features of the dynamic environment facilitated pre-service teachers’ understanding of algebraic concepts and their transitions among representations. This indicates that technology integration should be adopted as an approach that supports conceptual learning in mathematics teaching. Received: 08.10.2025 Accepted: 02.12.2025 Keywords Instrumental Approach, Pre-Service Teachers, Technology-Assisted Teaching, Representations, İnstrumented Action Schemes (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 392 1. Giriş Matematik eğitiminde teknolojinin entegrasyonu, özellikle cebir gibi soyut kavramların öğretiminde faklı öğrenme ve öğretme yöntemlerine vesile olmaktadır. Cebir, matematik öğretiminde soyutluk düzeyi en yüksek alanlardan biri olup ve kavra yanılgılar öğrenme zorlukları açısından alanda pekçok araştırmaya konu olmuştur (Kieran, 1992; MacGregor ve Stacey, 1993). Örneğin, öğrencilerin değişken, eşitlik ve sembolik gösterimler gibi temel kavramları anlamlandırmada zorlandıkları, bilinmeyen ile sayı arasındaki farkı ayırt etmede ve fonksiyonel düşünmeyi yapılandırmada güçlük yaşadıkları birçok araştırmada vurgulanmıştır (Dede ve Argün, 2003). Bu durum, cebiri müfredatta kavramsal açıdan soyut öğrenme alanlarından biri olarak ön plana çıkarmaktadır (Kaput, 1998; Taşlıbeyaz, 2010). Öğrencilerin yaşadığı zorlukların önemli nedenlerinden biri, farklı temsiller arasında ilişki kuramamalarından kaynaklandığı literatürede raporlanmıştır (Yuhasriati ve ark., 2022). Sözel, sembolik, tablo ve grafiksel temsiller arasında geçiş yapamayan öğrencilerin kavramsal kopukluklar yaşadığı ortaya konulmuştur (Tall ve ark., 2001). Dinamik geometri yazılımları, bu bağlamda öğrencilere farklı temsiller arasında ilişki kurma, cebirsel kavramları görselleştirme ve soyut düşünmeyi desteklemektedir. CabriGeometri gibi yazılımlar, sürükleme, ölçüm aktarım ve geometrik yer belirleme gibi özellikleriyle öğrencilerin grafiksel ve cebirsel temsilleri aynı anda görmelerini sağlamakta ve böylece cebirsel ifadelerin somut temsillerini oluşturmaktadır (Trouche, 2005; Komatsu ve Jones, 2020). Buna ek olarak, literatürde sunulan kavramsal çerçeve ters fonksiyonların öğretiminde karşılaşılan zolukların çoklu temsiller, grafik ve cebir ilişkisi, ve araç kullanımına bağlı bilişsel sürelerle yakından ilişkili olduğunu göstermektedir. Son yıllarda yapılan araştırmalar, öğrencilerin örneğin ters fonksiyonlar konusunda zorluklar yaşadığını ortaya koymuştur (Paoletti ve ark., 2018). Fonksiyonun birebirlik olma şartını fark etme, 𝑓−1 gösterimini anlamlandırma, değişkenlerin yer değiştirilmesine dayalı işlemsel yaklaşımı kavramsal temellerle ilişkilendirme ve fonksiyonun ve tersinin grafiksel olarak yorumlama bu konudaki zorlukları göstermektedir (Fitrianna ve ark., 2024). Öğrencilerin çoğu zaman ters fonksiyonları yalnızca işlemsel bir yaklaşım olarak görmeleri, kavramsal anlamın gölgede kalmasına yol açmaktadır. Aktarılan çalışmalar, ters fonksiyonların kavramsal temellerinin öğrenciler tarafından çoğu zaman yüzeysel biçimde ele alındığını ortaya koymaktadır; bu nedenle farklı temsil ortamlarının bu kavramsal yapıları nasıl etkilediğinin araştırılması önem taşımaktadır. Bu noktada teknoloji destekli öğrenme ortamlarının, özellikle de dinamik geometri yazılımlarının, öğrencilerin çoklu temsiller arasında geçiş yapmalarını kolaylaştırdığı ve kavramsal anlamayı desteklediği belirtilmektedir (Segal ve ark., 2021). Araç kullanımıyla ilişkili öğrenme ortamlarında öğrencilerin geliştirdikleri zihinsel şemaları anlamak için geliştirilen kuramsal yaklaşımlardan biri enstrümantal oluşum teorisidir (Verillon ve Rabardel, 1995; Trouche, 2004). Bu teori, öğrencilerin araçlarla etkileşimleri sonucunda geliştirdikleri “enstrümanlı eylem şemaları”nı açıklamaktadır (Haspekian, 2005). Fonksiyon ve ters fonksiyon öğretiminde, enstrümantal yaklaşımın öğrencilerin araçla (dinamik geometri yazılımı) kurdukları stratejileri, çoklu temsiller arası geçişleri ve kavramsal anlamlandırmalarını incelemede etkili olduğu çalışmalarla ortaya konmuştur (Ndlovu ve ark., 2011). Böylece ters fonksiyon öğretiminde dinamik geometri yazılımları gibi teknolojik araçlar yalnızca görselleştirme işlevi görmekle kalmamakta, aynı zamanda enstrümanlı eylem şemaları yoluyla kavramsal öğrenmeye katkı sağlamaktadır (Nolasco, 2018). Bu çalışmanın teorik çerçevesini oluşturan enstrümantal oluşum teorisi (Verillon ve Rabardel, 1995), öğrencilerin araçları kullanırken geliştirdikleri zihinsel şemalarını belirlemektedir. Teoriye göre, öğrenciler araçlarla etkileşimleri sonucunda "enstrümanlı eylem (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 393 şemaları" geliştirmekte ve bu şemalar matematiksel anlamlandırmayı etkilemektedir (Trouche, 2004). Öğrencilerin geliştirdikleri eylem şemaları, öğretmenlerin enstrümanlı eylem şemaları tarafından doğrudan etkinmektedir (Laborde, 2002). Bu bağlamda deneyimli öğretmenler, var olan matematik bilgilerini ve öğretim bilgilerini kullanarak enstrümanlı eylem şemaları üzerinden öğrencileri yönlendirmektedir. Buna karşılık öğretmen adayları, henüz oluşum sürecindeki matematik bilgileri ile öğretim bilgilerini aynı anda geliştirirken, bu iki bilgi alanıyla eşzamanlı olarak enstrümanlı eylem şemalarını da inşa etmektedir. Öğretmen adayları, Cabri-Geometri gibi araçları yalnızca teknik düzeyde ‘nasıl kullanılır’ bilgisini edinmek için değil, aynı zamanda matematiksel kavramları öğrenme ve gelecekte bu kavramları öğrencilere öğreteceklerini düşünerek matematik bilgisi ile öğretim bilgisini bütünleştirme aracı olarak kullanmaktadırlar (Tapan, 2006). Dolayısıyla öğretmen adaylarının bu deneyimleri, ileride öğretmenlik uygulamalarında öğrencilerinin, kavramsal temellere dayalı enstrümanlı eylem şemaları geliştirmelerine rehberlik edebilmeleri için önemli olduğu düşünülmektedir. Enstrümantal oluşum teorisi çerçevesinde, bireylerin kullandıkları araçlar farklı öğrenme ortamlarında çeşitlenmekte ve bu ortamlarda farklı enstrümanlı eylem şemaları ortaya çıkabilmektedir. Bu perspektiften, kağıt-kalem ve dinamik geometri ortamlarda geliştirdikleri bu şemalar arasındaki farklılıkların incelenmesi, matematik eğitiminde teknoloji entegrasyonu açısından önem arz etmektedir (Haspekian, 2005; Drijvers ve Trouche, 2008). Çalışmanın temel odak noktası, kağıt-kalem ve dinamik geometri ortamlarında geliştirilen enstrümanlı eylem şemalarının analiz edilmesi ve bu şemalar arasındaki benzerlik ve farklılıkların ortaya konulmasıdır. Örneğin ters fonksiyonların öğretiminde, kâğıt-kalem ortamında bir fonksiyonun tersini elde etme amacıyla yapılan “x ve y değişkenlerinin yer değiştirilmesi” işlemi, genellikle işlemsel olarak uygulanmakta ve kavramsal temellerle ilişkilendirilememektedir. Buna karşılık, dinamik geometri ortamında y=x doğrusuna göre simetri alma, geometrik yer belirleme ve tanım kümesini dinamik olarak kısıtlama gibi enstrümanlı teknikler sayesinde, ters fonksiyon kavramısadece cebirsel bir dönüşüm değil, fonksiyonun grafiksel ve yapısal bir özelliği olarak yeniden inşa edilmektedir. Bu süreçte Cabri-Geometri dinamik geometri ortamı, öğrenenin amaçları doğrultusunda dönüştürülerek bir enstrüman hâline gelmekte; öğrenen ise ters fonksiyonlara ilişkin simetri, örtenlik, birebirlik ve tanım kümesi kavramlarını içeren enstrümanlı eylem şemaları geliştirmektedir. Bu örnek, enstrümantal oluşum teorisinin ters fonksiyonların kavramsal anlamlandırılmasını açıklamada işlevsel bir çerçeve sunduğunu ortaya koymaktadır. Bu çalışma, ters fonksiyonların öğretiminde çoğunlukla işlemsel yaklaşımlar ve cebirsel dönüşümlerle sınırlandırılan mevcut literatürün ötesine geçerek, öğretmen adaylarının ters fonksiyonları kâğıt-kalem ve dinamik geometri ortamlarında çoklu temsiller, simetri ilişkisi ve tanım kümesi kısıtlamaları üzerinden nasıl anlamlandırdıklarını enstrümantal oluşum teorisi çerçevesinde incelemekte; bu yönüyle ters fonksiyonların kavramsal yapılandırılmasına ve teknoloji destekli cebir öğretimine özgün bir katkı sunmaktadır. Araştırmanın bu odak çerçevesinde aşağıda belirtilen problemve altproblemlere cevap aranmıştır. Araştırma problemi: Dinamik geometri yazılımı ve kâğıt-kalem temelli öğretim ortamlarında öğretmen adaylarının ters fonksiyonlara ilişkin enstrümantal oluşumları nasıldır? Araştırmanın alt problemleri: 1. Öğretmen adaylarının kağıt-kalem ortamında ters fonksiyonlara ilişkin enstrümanlı eylem şemaları nelerdir? 2. Öğretmen adaylarının dinamik geometri ortamında ters fonksiyonlara ilişkin enstrümanlı eylem şemaları nelerdir? (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 394 3. Öğretmen adaylarının kağıt-kalem ortamı ve dinamik geometri ortamında ters fonksiyonlarıa ilişkin enstrümanlı eylem şemaları arasındaki farklılıklar nasıldır? 2. Materyal ve Yöntem Literatürde teknoloji destekli öğretimin soyut matematik kavramlarını somutlaştırmada etkili olduğu, özellikle tablo, grafik ve cebirsel ifadeler gibi farklı temsiller arasında bağlantı kurmayı kolaylaştırdığı vurgulanmaktadır (Kaput, 1998; NCTM, 2000). Öğrenenlerin yalnızca sembolik düzeyde değil, görsel ve sözel temsiller aracılığıyla da matematiksel ilişkileri inşa edebilmeleri, enstrümantal oluşum sürecinin merkezinde yer almakta ve çoklu temsiller yaklaşımıyla doğrudan kesişmektedir. Bir matematiksel kavramın cebirsel, grafiksel, sayısal ve sözel biçimlerde ifade edilmesi ve bu temsiller arasındaki ilişkilerin kurulması olarak tanımlanmaktadır (Janvier, 1987; Ainsworth, 1999). Fonksiyon ve ters fonksiyon kavramları, doğaları gereği temsil çeşitliliği üzerinden anlamlandırabilmektedir. Son yıllarda yapılan çalışmalar, dijital teknolojilerin matematik eğitiminde öğrencilerin kavramsal anlamlandırma süreçlerini destekleyen bilişsel araçlar olarak ele alınması gerektiğini vurgulamaktadır. Özellikle dinamik geometri yazılımlarının, fonksiyonların grafiksel davranışlarını inceleme ve çoklu temsiller arasında geçiş yapma açısından önemli olanaklar sunduğu belirtilmektedir ( Segal ve ark., 2021; Song, 2021; Drijvers ve Sinclair, 2024). Literatürde, öğrenciler ve öğretmenlerin dinamik geometri yazılımları ile kağıt-kalem ortamı arasında geçiş yapma süreçlerini inceleyen çalışmalar bulunmaktadır. Komatsu ve Jones (2020), öğrencilerin genelleme ve ispat süreçlerinde kâğıt-kalem etkinlikleri ile dinamik geometri ortamlarının etkileşim içinde kullanıldığını göstermiş; özellikle yazılımın genelleme aşamasında destek sunduğunu, ancak ispatın gerekçelendirilmesinde kâğıt-kalem çalışmalarının belirleyici olduğunu ortaya koymuştur. Benzer biçimde, Öçal ve arkadaşları (2020) öğretmen adaylarının problem kurma becerilerini her iki ortamda karşılaştırmış ve dinamik geometri ortamının adayların kavramsal hataları fark etme ve yaratıcı çözüm üretme becerilerini güçlendirdiğini belirtmiştir. Bununla birlikte, mevcut çalışmalar çoğunlukla problem kurma, genelleme veya ispat süreçlerine odaklanmış, ters fonksiyonların öğretiminde öğretmen adaylarının enstrümanlı eylem şemalarının farklı ortamlarda şekillenmesine dair bulgular ise sınırlı kalmıştır. Bu çalışma, söz konusu boşluğu doldurmayı hedeflemektedir. Kâğıt-kalem ortamında eksik veya yanlış biçimde ortaya çıkan enstrümanlı eylem şemalarının, Cabri-Geometri yardımıyla deneyimsel olarak çalışıldıktan sonra düzeltilip geliştirildiği gözlemlenmiştir. Böylelikle öğretmen adaylarının kavramsal anlayışları pekişmiş ve ters fonksiyonun çoklu temsiller aracılığıyla inşa edilmesi mümkün olmuştur. Bu katkı, öğretmen adaylarının mesleğe başladıklarında soyut cebirsel kavramları öğrencilerine anlamlı bir biçimde aktarabilmelerine zemin hazırlamaktadır. Öğrenciler ise analitik geometri ile cebir arasında bağlantılar kurarak, cebir derslerini yalnızca mekanik işlemler düzeyinde değil, somut ve ilişkilendirilmiş bir öğrenme deneyimi olarak kavrayabileceklerdir. Bu çalışmada kuramsal çerçeveyi destekleyen bir diğer yaklaşım ise RBC+C soyutlama modelidir. Dreyfus ve Tsamir (2004) tarafından geliştirilen bu model, soyutlamanın yalnızca yeni yapılar oluşturmakla sınırlı kalmadığını, aynı zamanda bu yapıların pekiştirilmesiyle kalıcı ve esnek hale geldiğini ortaya koymaktadır. Modelin temel aşamaları tanıma (recognizing), kullanma (building-with) ve oluşturma (constructing) iken, daha sonra eklenen pekiştirme (consolidation) aşaması, öğrencilerin kendi oluşturdukları yapıları güvenle fark etmelerine ve farklı bağlamlarda yeniden kullanabilmelerine imkân tanımaktadır (Dreyfus ve ark., 2015). Ters fonksiyonların öğretiminde, öğrencilerin önce doğrusal ve parabolik fonksiyonların özelliklerini tanıyıp kullanmaları, ardından ters fonksiyon kavramını yapılandırmaları bu sürecin ilk üç aşamasını karşılamaktadır. Cabri-Geometri ortamında gerçekleştirilen çoklu temsillerle desteklenen etkinlikler ise bu yeni yapıların pekiştirilmesine katkı sağlamakta; (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 395 öğretmen adaylarının hem kâğıt-kalem hem de teknolojikl ortamda geliştirdikleri soyut yapıları kalıcı olrak kullanabilmelerine olanak tanımaktadır. 2.1. Yöntem Bu bölümde araştırma modeline, bu araştırma modelinin seçimine karar verilme şekline kullanılan modelin yapısına, araştırmanın ortam ve katılımcılarına, katılımcıların belirlenme kıstaslarına, öğretim sürecinde kullanılan materyallerin ve ders planlarının tasarımına, pilot çalışma ve uygulama sürecinde yaşananlara, araştırma modeli ve problemine yönelik olarak kullanılan veri toplama araçlarının seçilme şekline ve toplanan verilerin analizine değinilmiştir. Ayrıca veri toplama süreci ve analizinin geçerlik ve güvenirlik çalışmalarından bahsedilmiştir. 2.2. Araştırma modeli Bu çalışmada, öğretmen adaylarının bilgisayar destekli ve kağıt-kalem ortamlardaki enstrümantal süreçlerini incelemek için nitel araştırma yaklaşımı benimsenmiştir. Frankel ve Devers'in (2000) tanımladığı gibi, bu yaklaşım gerçek ortamlarda esnek veri toplamaya ve tümevarımsal analize olanak sağlamaktadır. Çalışma, öğretmen adaylarının doğrusal ve parabolik fonksiyonların tersi ve grafik çizimine yönelik enstrümanlı eylem şemalarını ortaya çıkarmayı amaçlayan bir öğretim deneyi olarak uygulanmıştır. Öğretim deneyi, nitel araştırma yaklaşımları kapsamında yer alan ve araştırmacıların etkinlikleri yapılandırarak keşfetmeye dayalı kavramsal bir çerçeve sunduğu, öğrencilerin matematiksel bilgi yapılarını çeşitli yollar ve araçlarla etkilemeyi amaçladığı bir yöntem olup, veriler klinik görüşmeler, doğrudan gözlemler, alan notları ve öğrenme ortamında kaydedilen video kayıtları gibi nitel veri toplama teknikleriyle elde edilmektedir (Engelhardt ve ark., 2004; Steffe ve Ulrich, 2014). Bu çalışma, öğretim deneyi deseni temel alınarak yürütülmüştür. Uygulama süreci toplam dört hafta sürmüş, haftada iki ders saati olmak üzere sekiz ders saati boyunca yürütülmüştür. Araştırmacı, adayların konuya ilişkin düşünce yapılarına dair varsayımlar geliştirerek CabriGeometri dinamik geometri yazılımı destekli etkinlikler tasarlamış ve öğretim sürecini doğrudan kendisi yürütmüştür. Süreç boyunca elde edilen ses ve ekran kayıtları, çalışma yaprakları ve görüşme verileri nitel olarak analiz edilmiş; öğretmen adaylarının matematiksel düşünme biçimleri ve geliştirdikleri yapılar modellenerek bilişsel çözümlemeler yapılmıştır. Sürecin bütününde, öğretimin araştırmacı tarafından yönlendirilmesi, öğretmen adayları düşüncesine dair varsayımların verilerle test edilerek yeniden yapılandırılması ve öğrenme ortamlarının (kâğıt-kalem ve Cabri-Geometri) bu doğrultuda düzenlenmesi, çalışmanın öğretim deneyi metodolojisine dayandığını açıkça ortaya koymaktadır. 2.3. Çalışma ortamı ve grubu Araştırma, Bursa Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi dersliklerinde, Cabri-Geometri yazılımı ile uyumlu akıllı tahtanın bulunduğu sınıflarda gerçekleştirilmiştir. Öğretme adayları çoğunlukla tahtaya dönük oturma düzeninde derse katılmış, ancak bazı oturumlarda sınıf içi etkileşimi artırmak amacıyla grup çalışmaları yapılmıştır. Katılımcılar, üniversitenin Matematik Öğretmenliği Bölümünde ikinci sınıfında öğrenim gören öğretmen adaylarından oluşmaktadır. Bu sınıf düzeyinin seçilme nedeni, adayların daha önce bilgisayar destekli matematik eğitimi dersi almamış olmalarıdır. Cabri-Geometri’yi ilk kez deneyimleyen öğrenciler, çizim sürecinde kendi yöntemlerini geliştirerek yeni matematiksel yapılar inşa etmiştir, farklı temsiller arasında bağlantılar kurmuş ve böylelikle kağıt–kalem ortamı ile dijital ortam arasındaki farkları daha net biçimde görmüşlerdir. Araştırmanın pilot uygulamasına 20, asıl uygulamasına ise 34 öğretmen adayı katılmıştır. Asıl uygulamada, sınıf genelinde yürütülen etkinliklerin yanında, altı öğretmen adayı ikişerli gruplar hâlinde özel çalışma grupları olarak belirlenmiştir. Bu seçimde amaçlı örnekleme yöntemi kullanılmış; araştırmacı ve alan uzmanı bir akademisyen tarafından adayların başarı seviyeleri dikkate alınarak üç farklı grup (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 396 oluşturulmuştur. Buna göre, birinci grup orta, ikinci grup yüksek, üçüncü grup ise düşük başarı düzeyine sahip öğretmen adaylarından meydana gelmiştir. Grupların belirlenmesinde, uygulama öncesinde verilen üç ders seanslık Cabri-Geometri eğitimi, ayrıca cebir alanına yönelik sorular ve açık uçlu ön görüşme formlarından elde edilen veriler dikkate alınmıştır. Bu veriler, öğretmen adaylarının ters fonksiyonlara ilişkin kavramsal doğrulukları, kullandıkları temsil türleri ve çözüm stratejilerinin niteliği dikkate alınarak bütüncül biçimde değerlendirilmiş ve bu değerlendirme sonucunda başarı düzeyleri düşük, orta ve yüksek olarak sınıflandırılmıştır. Bu gruplandırmanın amacı, enstrümantal oluşum süreçlerinin farklı öğrenme düzeylerinde şekillendirme biçimini incelemek ve elde edilen bulguların genellenebilirliğini artırmak açısından önem arz etmektedir. Seçilen öğretmen adaylarıyla yapılan yüz yüze görüşmeler, ders saatleri dışında ve tamamen gönüllülük esasına dayalı olarak gerçekleştirilmiştir. 2.4. Veri toplama araçları ve süreci Araştırmada veri toplama ve çözümleme süreci, pilot ve asıl uygulama olmak üzere iki aşamada yürütülmüştür. Pilot çalışma, 2022-2023 bahar döneminde Türkiye’de bir devlet üniversitesinin matematik eğitimi bölümünde öğrenim gören 20 öğretmen adayıyla gerçekleştirilmiştir. Bu süreçte, ters fonksiyonlar konusu, dinamik geometri yazılımı ve enstrümantal oluşum teorisi temel alınarak hazırlanan ders planları uygulanmış; elde edilen bulgular doğrultusunda materyaller ve veri toplama araçları revize edilerek son halini almıştır. Veri toplama sürecinde, çalışma yaprakları, yazılı ve sözlü görüşmeler, ses kayıtları ve ekran kayıtları araçlarıyla öğretmen adaylarının hem Cabri-Geometri hem de kağıt-kalem ortamlardaki enstrümantal oluşum süreçleri incelenmiştir. Veri toplama araçları oluşturulurken pilot uygulamanın analizleri, uzman görüşleri ve katılımcı geri bildirimleri dikkate alınmıştır. Geliştirilen bu modül, 2023-2024 güz döneminde Bilgisayar Destekli Matematik Öğretimi dersi kapsamında asıl uygulama olarak aynı üniversitedeki farklı matematik öğretmen adaylarına uygulanmıştır. Araştırmacı, öğretmen adaylarıyla etkileşimler kurarak verilerin doğal bir ortamda toplanmasına özen göstermiştir. Aşağıda, araştırmada kullanılan veri toplama araçları tanıtılmıştır. Ters fonksiyonlar çalışma yaprağı: Bu çalışmada, doğrusal ve parabolik fonksiyonların tersini önce kâğıt-kalem sonra Cabri-Geometri ortamında çoklu temsillerin enstrümantal oluşum teorisi bağlamında çalışılmak üzere 1 çalışma yaprağı hazırlanmıştır. Bu yaprak, doğrusal ve parabolik fonksiyonların tersine ilişkin kademeli olarak ilerleyen etkinlikler içermektedir. Bu süreç, iki ortam arasındaki öğrenme, oluşan ve gelişen enstrümanlı eylem şemalarının farklılıklarını belirlemek için tasarlanmıştır. Doğrusal fonksiyonlar durumda 𝑓 ( 𝑥 )= 𝑎𝑥 + 𝑏 ( 𝑎 ≠0) için ters fonksiyon cebirsel olarak doğrudan elde edilmektedir: 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏⇒ f−1(x)=(x−b)/a. Grafiksel düzlemde 𝑓−1, f’nin 𝑦 = 𝑥 doğrusuna göre simetrisidir. Kâğıt-kalem ortamında karakteristik noktalar seçilmekte, örneğin (0,𝑏) noktası ( 𝑏 ,0)’a, (1, 𝑎 + 𝑏 ) noktası ise (a+b,1)’e dönüşmekte ve tabloya geçirilerek grafikle tutarlılığı doğrulanmaktadır. Cabri-Geometri’de süreç, hareketli bir A=(t,0) noktası üzerinden B=(t,at+b) görüntüsünün geometrik yerini yani y=ax+b grafiğini oluşturmakta; ardından B’nin y=x’e göre simetrisi B′ izleri oluşturrak 𝑓 −1( 𝑥 )=( 𝑥 − 𝑏 )/ 𝑎 grafiğini vermektedir. Bu etkileşim, öğretmen adaylarının doğrusal fonksiyon ve tersinin simetri ilişkisini deneyimsel biçimde anlamlandırmasına imkân tanıyacağı düşünülmektedir. Parabolik durumda f(x)=ax2+bx+c ( 𝑎 ≠0) için ters fonksiyonun elde edilmesi tekdüzelik koşuluna bağlıdır. Tepe noktası 𝑥𝑣 =− 𝑏 /2 𝑎 , 𝑦𝑣 = 𝑓 ( 𝑥𝑣 ) bulunmakta; birebirlik için tanım kümesi ya 𝑥≥𝑥𝑣 ya da 𝑥≤𝑥𝑣 olacak biçimde kısıtlanmaktadır. Ters fonksiyonun var olabilmesi için f’in birebir olması gerekir. Doğrusal fonksiyonlar doğaları gereği tekdüzedir ve dolayısıyla birebirdir. Parabolik fonksiyonlar ise tüm ℝ’de tekdüze değildir; bu nedenle tanım kümesi tepe noktasının bir tarafıyla sınırlandırılarak tekdüze hale (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 397 getirilir ve böylece birebirlik koşulu sağlanır. Bu durumda y=ax2+bx+c denklemi çözülerek ters ifade elde edilmektedir: Burada “±” işareti seçilen kola göre belirlenmektedir. Değer kümesi a>0 için [ 𝑦𝑣 ,∞), 𝑎 <0 (−∞, 𝑦𝑣 ] olduğundan, 𝑓−1’in tanım kümesi buna göre yazılmaktadır. Tepe noktası 𝑉 =( 𝑥𝑣 , 𝑦𝑣 ) ile 𝑉′=(𝑦𝑣,𝑥𝑣) karşılaştırması, y=x simetrisini açık biçimde göstermektedir. Kâğıtkalem çözümünde birkaç (x,f(x)) çifti seçilmekte, karşılıkları (f(x),x) olarak tabloya geçirilmekte ve grafik üzerinde yansıma ile doğrulanmaktadır. Cabri-Geometri ortamında ise x=xv simetri doğrusu ve y=x çizilmekte, A=(t,0) noktası seçilen kola kısıtlanarak B=(t,at2+bt+c) noktası sürüklenmekte, ardından B’nin y=x’e yansıması 𝐵′ izleri açılarak 𝑓−1’in grafiği elde edilmektedir. Bu süreçte tepe noktası ve diğer noktaların dönüşümü öğrencilerin çoklu temsiller aracılığıyla kavramın yapısını anlamlandırmasına yardımcı olacağı düşünülmektedir. Bu çalışma yaprağı ek 1’de verilmiştir. Ses Kayıtları: Katılımcılrın Cabri-Geometri kullanım süreçlerini detaylı bir şekilde incelemek için 6 öğrenci ikişerli gruplara ayrılmış ve ders boyunca yapılan konuşmalar ses kayıt cihazlarıyla kaydedilmiştir. Bu kayıtlar, öğrencilerin problem çözme süreçlerindeki etkileşimlerini ve bilişsel gelişimlerini analiz etmek için kullanılmıştır. Ekran Kayıtları: Öğretmen adaylarının Cabri-Geometri ortamındaki etkileşimlerini ve grafik oluşturma süreçlerini kaydetmek amacıyla ekran kaydedici programlar kullanılmıştır. Bu kayıtlar, öğrencilerin kullanım şemalarını ve matematiksel yapılarla kurdukları ilişkileri gözlemlemeye olanak sağlamıştır. Yazılı Görüşmeler: Araştırmada öğretmen adaylarının görüşlerini belirlemek amacıyla yapılandırılmış bir görüşme formu geliştirilmiştir. Açık uçlu sorulardan oluşan bu formun geçerlik ve güvenirliği, uzman görüşleri alınarak ve pilot uygulama yapılarak sağlanmış; gerekli revizyonların ardından form son haline getirilmiştir. Görüşme formu, öğretmen adaylarının cebirsel ifadeler, çoklu temsiller ve teknoloji kullanımı konularındaki bilişsel düzeylerini ortaya koymayı hedefleyen 9 sorudan oluşmaktadır. Sözlü Görüşmeler: Uygulama sonrası gerçekleştirilen yarı yapılandırılmış sözlü görüşmeler, öğretmen adaylarının Cabri-Geometri ortamındaki deneyimlerini, karşılaştıkları güçlükleri ve bu süreçte geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemalarını ortaya koymak amacıyla yapılmıştır. Ders saatleri dışında, gönüllülük esasına dayalı olarak ve sessiz bir sınıf ortamında altı öğretmen adayıyla yürütülen görüşmelerde kullanılan sorular, öğrencilerin matematiksel düşünme süreçlerini değerlendirmeyi; cebirsel ifadeleri grafiksel temsiller aracılığıyla anlamlandırma biçimlerini ve fonksiyon–ters fonksiyon ilişkilerini kavramsal düzeyde yapılandırma süreçlerini incelemeyi hedeflemiştir. Ayrıca görüşmeler, birebirlik, örtenlik ve simetri gibi kavramlara ilişkin farkındalıkların gelişimini, teknoloji kullanımına yönelik algılardaki değişimleri ve çoklu temsillerle çalışma becerilerindeki dönüşümü de açığa çıkarmaya odaklanmıştır. Bu çalışmada farklı veri toplama araçlarının kullanılması nedeniyle, bu verilerin araştırma sorularını yanıtlamaya yönelik biçimde düzenlenmesine açıklık getirilmiştir. Bu kapsamda, araştırma soruları ile veri toplama araçları ve analiz süreçlerini eşleştiren tablo 1’de yer verilmiştir. (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 398 Tablo 1. Veri toplama araçları kullanım amacı ve kullanım zamanı Araştırmanın alt problemleri Analiz süreci Veri toplama Aracı Öğretmen adaylarının kağıtkalem ortamında ters fonksiyonlara ilişkin enstrümanlı eylem şemaları nelerdir? Çalışma yaprağı (kağıt-kalem ortamı soruları), ses kayıtları ve yazılı görüşmeler analiz edilerek kullanılan enstrümanlı teknikler, enstrüantal oluşum süreci ve kağıt-kalem ortamındaki enstrümanlı eylem şemaları belirlenmiş; bu şemalara göre kodlar ve temalar oluşturulmuştur. Çalışma yaprağı (kağıt-kalem ortamı soruları, Ses kaydı, Yazılı ve sözlü görüşmeler Öğretmen adaylarının dinamik geometri ortamında ters fonksiyonlara ilişkin enstrümanlı eylem şemaları nelerdir? Çalışma yaprağı (Cabri-Geometri ortamı soruları), ses ve ekran kayıtları ile yazılı ve sözlü görüşmeler analiz edilerek kullanılan enstrümanlı teknikler, enstrüantal oluşum süreci ve kağıtkalem ortamındaki enstrümanlı eylem şemaları belirlenmiş; bu şemalara göre kodlar ve temalar oluşturulmuştur. Çalışma yaprağı (Cabri-Geometri ortamı soruları), Ses kaydı, Ekran kaydı, Yazılı ve sözlü görüşmeler Öğretmen adaylarının kağıtkalem ortamı ve dinamik geometri ortamında ters fonksiyonlarıa ilişkin enstrümanlı eylem şemaları arasındaki farklılıklar nasıldır? Çalışma yaprağı(Cabri-Geometri ortamı soruları), Ses kaydı, Ekran kaydı, yazılı ve sözlü görüşmeler analiz edilerek kullanılan enstrümanlı teknikler, enstrüantal oluşum süreci ve kağıtkalem ortamındaki enstrümanlı eylem şemaları belirlenmiş ve şemalara göre kodlar ve temalar oluşturulmuştur Çalışma yaprağrı, Ses kaydı, Ekran kaydı, Yazılı ve sözlü görüşme 2.5. Araştırmacının rolü Nitel araştırma yaklaşımında araştırmacı, veri toplama sürecinin aktif bir bileşeni olarak kabul edilmektedir (Cresswell, 2013). Bu araştırma matematik eğitimi alanında uzman iki akademisyenin işbirliğiyle yürütülmüştür. Araştırmacılardan birisi, katılımcı gözlemci rolü üstlenerek öğretim sürecine doğrudan dâhil olurken, diğeri teknoloji destekli öğretim uzmanı olarak tüm süreçlerde rol üstlenmiştir. Çalışma boyunca araştırmacılar, öğrenci etkileşimlerini gözlemleme, rehberlik etme ve öğrenme ortamını şekillendirme gibi çoklu roller üstlenmişlerdir. Sürekli analizlerle her oturum sonrası düzenlemeler yapılmış, geriye dönük analizlerle değerlendirmeler gerçekleştirilmiştir. Pilot uygulamada elde edilen veriler, hem araştırmanın güvenilirliğini sağlamak hem de veri toplama araçlarını iyileştirmek amacıyla kullanılarak, öğrenme süreçlerinin anlaşılmasına katkı sağlanmıştır. 2.6. Verilen çözümlenmesi Bu araştırmada elde edilen veriler, içerik analizi yöntemiyle çözümlenmiş ve enstrümantal oluşum teorisi çerçevesinde yorumlanmıştır. Çözümleme süreci birkaç aşamada yürütülmüştür. İlk aşamada, derslerde gerçekleştirilen etkinlikler sırasında toplanan ses kayıtları yazıya dökülmüş, katılımcıların çalışma yaprakları ve Cabri-Geometri ortamına ilişkin ekran kayıtlarıyla birlikte incelenmiştir. Bunun yanı sıra, seçilen katılımcılarla gerçekleştirilen yarı yapılandırılmış yazılı ve sözlü görüşmelerde elde edilen veriler de çözümlenerek mevcut verilerle karşılaştırılmış, böylece veriler arasında bütünlük sağlanmıştır. Sonrasında, elde edilen tüm veriler kodlanmıştır. Kodlama sürecinde, öğretmen adaylarının kullandıkları enstrümanlı teknikler, enstrümantal oluşum süreçleri ve geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemalarına ilişkin ifadeler satır satır incelenmiştir. Bu süreçte oldukça fazla sayıda kod elde edilmiş; ancak doğrudan kodların raporlanması çalışmada dağınıklığa yol açabileceğinden, benzer içeriklere sahip kodlar bir araya getirilerek kategoriler oluşturulmuştur. Bu kategoriler enstrümantal oluşum teorisinin bileşenleri (işlevsel sabitler, eylemdeki teoremler, eylemdeki kavramlar) doğrultusunda yeniden düzenlenmiş ve temalar oluşturulmuştur. Böylece, öğretmen adaylarının (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 399 hem kağıt-kalem ortamında hem de dinamik geometri yazılımı ortamında geliştirdikleri enstrümantal oluşum süreçlerini ve bu doğrultuda enstrümanlı eylem şemalarını ortaya çıkarmak amacıyla kullanılan enstrümanlı teknikler belirlenmiştir. Son olarak elde edilen sonuçlar, araştırmanın amacı ve elde edilen temalar doğrultusunda yorumlanmıştır. Bu aşamalı analiz süreci sayesinde, verilerin yalnızca betimlenmesi değil, aynı zamanda öğretmen adaylarının farklı ortamlarda geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemalarının karşılaştırılması mümkün olmuştur. 2.7. Verilerin geçeerliği ve güvenirliği Nitel araştırmalarda geçerlik ve güvenirlik, aktarılabilirlik (transferability), inandırıcılık (credibility), teyit edilebilirlik (confirmability) ve tutarlılık (dependability) kriterleri çerçevesinde sağlanmıştır. Bu doğrultuda, araştırma sürecinin güvenilirliğini artırmak için katılımcılarla uzun süreli etkileşim kurulmuş, veri analizinde uzman görüşüne başvurulmuş ve tüm süreç belgelenmiştir. Ayrıca, araştırmanın verileri gönüllülük esasına dayalı seçilen katılımcılar üzerinden toplanmış ve bulgular doğrudan alıntılarla desteklenerek araştırmanın güvenirliği güçlendirilmiştir (Creswell, 2013). Katılımcıların kimlik bilgileri gizli tutulmuş, isimleri ve diğer kişisel tanımlayıcılar çalışmada yer almamış ve bu sayede etik açıdan katılımcıların mahremiyeti korunmuştur. 3. Bulgular ve Tartışma Bu çalışmada, ikişerli gruplar halinde çalışan 6 öğretmen adayının Cabri-Geometri ortamını kullanarak doğrusal ve parabolik fonksiyonlarına ilişkin ters fonksiyonları çözme ve grafiklerini oluşturma süreçleri, enstrümantal oluşum teorisi çerçevesinde analiz edilmiştir. Çalışma yaprakları üzerinden yapılan incelemelerde, öğretmen adaylarının hem enstrümantasyon (araç kullanım tekniklerini öğrenme) hem de enstrümantalizasyon (araçları kendi amaçları doğrultusunda dönüştürme) süreçleri incelenmiş, bu süreçlerde öğretmen adaylarının oluşturdukları veya geliştirdikleri eylem şemaları ortaya konulmuştur. 3.1. Ters fonksiyonlara ilişkin enstrümanlı teknikler, enstrümantal oluşum süreci ve enstrümanlı eylem şeması Ters fonksiyonlar ile ilgili çalışma yaprağı bilgisayar ve kâğıt-kalem ortamında yapılan ve 5 farklı sorunun incelenmesini içeren bir çalışma yaprağıdır. Bu yaprakta, öğretmen adaylarından verilen çeşitli doğrusal ve parabolik denklemlerin tersini elde etme ve çözümünü ayrıca grafiklerinin çizimini kâğıt-kalem ve Cabri-Geometri ortamlarında yapmaları istenmiştir. Bu çalışma yaprağı, analitik düzlemde bir noktanın hareket edişiyle oluşturduğu yolun geometrik görüntüsünün koordinatları, öğrencilere koordinat sistemi, analitik düzlem ve doğru grafiklerinin kavramlarıyla ilgili yapılandırmalarını tekrar ele almak ve bu kavramları görsel olarak göstermek için tasarlanmıştır. Bu bağlamda öğretmen adaylarının her bir soru tipine yönelik bazı teknikler kullandığı gözlenmiştir. Katılımcılar bu çalışma yaprağında, verilen fonksiyonları çözmeye ve grafiklerini çizmeye çalışırken kâğıt-kalem ve CabriGeometri ortamlarında çoğunlukla benzer enstrümanlı teknikleri kullandıkları tespit edilmiştir. Kağı-Kalem ortamında kullanılan teknikler, Cebirsel işlemler, Değişken değiştirme, Birebirlik ve örtenlik analizi, Grafiksel analiz, Simetri alma, Tam kare tamamlama, Denklem dönüşümü, Cebirsel doğrulama ve Analitik inceleme, şeklindedir. Cabri-Geometri ortamında kullanılan benzer teknikler ise, Nokta belirleme, Sayı belirleme, Koordinat belirleme, Hesap makinesi aracı kullanımı, Doğru ve ışın oluşturma, Ölçüm aktarım, Geometrik yer oluşturma, Doğruya göre simetri oluşturmaolarak belirlenmiştir. Birinci gruptaki öğrenciler (Ö1, Ö2) ters fonksiyonlar çalışma yaprağını inceledikten ve araştırmacının açıklamalarını dinledikten sonra çalışma yaprağındaki soruları yanıtlamaya başlamıştır. Araştırmacı öncelikle bu çalışma yaprağının konuyla ilgili 3 temel matematik alan (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 406 araştırmada, öğretmen adaylarının kâğıt-kalem ve Cabri-Geometri ortamlarında ters fonksiyonların çözümü ve grafiklerinin çizimine yönelik geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemaları incelenmiş olup; sonuçlar, iki ortamda şekillenen işlevsel sabitler, eylemdeki teoremler ve kavramlar açısından belirgin farklılıklar olduğunu göstermektedir. Bu araştırmanın bazı sınırlılıkları bulunmaktadır. Çalışma, sınırlı sayıda öğretmen adayı ile yürütülmüş olup bulgular bu bağlamda değerlendirilmelidir. Ayrıca uygulamanın belirli bir ders süresiyle sınırlı olması, öğretmen adaylarının enstrümantal oluşum süreçlerinin uzun vadeli gelişimini izlemeyi olanaklı kılmamıştır. Bu sınırlılıklara rağmen çalışma, ters fonksiyonlara ilişkin enstrümantal oluşum süreçlerinin derinlemesine incelenmesine olanak sağlayan nitel bir bakış açısı sunmaktadır. Kâğıt-kalem ortamında geliştirilen işlevsel sabitler büyük ölçüde x ve y’nin yer değiştirilmesi, x’in yalnız bırakılması ve cebirsel işlemler üzerinden ters fonksiyonun elde edilmesine dayalı olduğu gösterilmiştir. Bu süreçte öğretmen adaylarının eylemdeki teoremleri, “Eğer ters fonksiyon elde edilecek ve grafiği çizilecekse, fonksiyon birebir ve örten olmalıdır” ilkesi etrafında şekillendiği sonucuna varılmıştır. Ancak, grafik oluşturma sürecinde birebirlik ve örtenlik koşullarını uygulamada kavramsal zorluklar yaşanmış; fonksiyonların tanım kümeleri ile görsel temsilleri arasındaki bağlantılar sınırlı düzeyde kurulabileği tespitlenmiştir. Bu sonuç, literatürde vurgulanan bazı sonuçlarla örtüşmektedir. Drijvers (2019), 15 ülkeyi kapsayan çalışmasında, kâğıt-kalem ortamlarının prosedürel bilginin öne çıkmasına yol açtığını ve kavramsal anlamayı geciktirebileceğini belirtmiştir. Benzer şekilde Kieran ve Drijvers (2006), geleneksel öğretim (kağıt-kalem ortamı ve benzer) süreçlerinde işlemsel düşüncenin baskın olduğunu ve yapısal kavrayışın ihmal edildiğini ifade etmiştir. Trouche (2005) ise araçların enstrümantal oluşum sürecinde enstrümantasyonun gerçekleşmediği durumlarda kavramsal anlamın sınırlı kaldığını vurgulamaktadır. Buna karşılık Xu (2025), kâğıt-kalem ortamının temel becerilerin gelişiminde önemli bir rol oynadığını ve farklı öğrenme stillerine uyum sağlayabildiğini öne sürerek bu çalışmanın sonuçlarını desteklememektedir. Bunun temel nedeni, Xu’nun çalışmasında lise öğrencilerinin problem çözme süreçleri incelenmiş olması oysa bu çalışmanın öğretmen adaylarıyla yapılmış olması olarak yorumlanmıştır. Ayrıca, Cabri-Geometri ortamında geliştirilen işlevsel sabitler, dinamik araçların sunduğu olanaklarla farklı bir nitelik kazandığı sonucuna ulaşılmıştır. Öğretmen adayları ters fonksiyonun grafiğini oluştururken y = x doğrusuna göre simetri alma, geometrik yer belirleme ve dinamik grafik oluşturma tekniklerinden yararlanmıştır. Bu bağlamda eylemdeki teoremler, “Eğer ters fonksiyonların çözümü ve grafiği oluşturulacaksa, bu işlem y = x doğrusuna göre simetri alma, ardından geometrik yer belirleme ve dinamik grafik oluşturma yoluyla gerçekleştirilir” biçiminde ortaya konulmuştur. Cabri-Geometri ortamında ortaya çıkan kavramlar ise fonksiyon ve ters fonksiyon ilişkisini görsel boyutta anlamlandırmaya yöneliktir. Özellikle grafik üzerinde yapılan dinamik değişiklikler, adayların fonksiyonun simetriği ve ters fonksiyon kavramını yalnızca cebirsel olarak değil, aynı zamanda grafik olarak da anlamlandırdıklarını göstermiştir. Bu sonuçlar, Eisenberg ve Dreyfus (1991)’in, öğrencilerin grafiklerin biçimsel yönlerini üretmede başarılı olduklarını ancak matematiksel anlamı yapılandırmada yetersiz kaldıklarını vurgulayan çalışmasıyla benzerlik göstermektedir. Bununla birlikte Mariotti (2000), dinamik ortamların öğrencilerin çoklu temsiller arasında geçiş yapma ve grafiklerin davranışsal özelliklerini analiz etme becerilerini geliştirdiğini ifade etmiş ve bu çalışmadaki sonuçlarla doğrudan örtüşmektedir. Dinamik ortamların kavramsal öğrenmeye katkısı üzerine yapılan diğer çalışmalar da bu sonuçları destekler niteliktedir. Bokhove ve Drijvers (2012), dijital araçların yalnızca teknik destek olmadığını, aynı zamanda öğrencilerin matematiksel kavrayışlarını derinleştiren bilişsel araçlar olduğunu vurgulamaktadır. Benzer şekilde Zhang et al. (2025), dinamik araçların grafiklerin cebirsel ifadelerle ilişkilendirilmesini kolaylaştırarak anlam inşasında kritik bir rol (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 407 oynadığını belirtmiştir. Ancak, Baccaglini-Frank ve Antonini (2016) ve Pittalis ve Drijvers (2023), dinamik ortamların her zaman kavramsal anlamayı derinleştirmediğini, öğrencilerin bazen yalnızca işlemsel yeterlikler üzerinde yoğunlaştıklarını ileri sürmektedir. Bu farklılık, dinamik yazılımların etkisinin bireysel öğrenme yolları ve öğretim tasarımıyla yakından ilişkili olduğunu göstermektedir. Genel olarak, bu araştırma öğretmen adaylarının kâğıt-kalem ortamında işlemsel bilgiye dayalı, sabit ve doğruluğa odaklı çözüm stratejileri geliştirdiklerini; Cabri-Geometri ortamında ise etkileşimli, görsel ve kavramsal yönelimler sergilediklerini ortaya koymuştur. Dinamik ortamda geliştirilen enstrümanlı eylem şemaları, özellikle çoklu temsiller arasında geçiş yapabilme, grafik davranışlarını gözlemleme ve anlamlandırma, değişkenler arasındaki ilişkileri açıklayabilme gibi kavramsal özellikler taşımaktadır. Bu sonuçlar, öğretmen adaylarının geliştirdiği enstrümanlı eylem şemalarının yalnızca kullandıkları dijital veya kağıtkalem gibi ortamların araçlardan değil, bu araçlarla kurdukları etkileşimden beslendiğini göstermektedir. Sonuç olarak, kâğıt-kalem ortamı işlemsel bilgiye dayalı çözüm yollarını pekiştirirken, Cabri-Geometri ortamı ters fonksiyonların kavramsal anlamlandırılmasına ve grafiksel temsillerle bütünleştirilmesine katkı sağladığı ortaya konulmuştur. Bu çalışma, öğretmen adaylarının geliştirdiği enstrümanlı eylem şemalarının, yalnızca kullandıkları dijital veya kağıt-kalem ortamı değil, bu araçlarla kurdukları etkileşimden beslendiğini; bu etkileşimin ardında yatan dinamikleri kavramada ise enstrümantal oluşum teorisinin, öğrenmenin doğasını ve dönüşümünü anlamak için vazgeçilmez bir kuramsal anahtar olduğunu açıkça ortaya koymaktadır. Bu bağlamda elde edilen sonuçlar, öğretmen yetiştirme programlarında teknoloji destekli matematik öğretimine ilişkin derslerin yalnızca yazılım kullanımına odaklanmakla sınırlı kalmaması gerektiğini göstermektedir. Özellikle ters fonksiyonlar gibi soyut cebirsel kavramların öğretiminde, öğretmen adaylarının kâğıt-kalem ve dinamik geometri ortamlarını karşılaştırmalı olarak deneyimleyebilecekleri öğretim tasarımlarına yer verilmesi önem arz etmektedir. Ayrıca öğretmen adaylarının, kullandıkları araçlarla geliştirdikleri enstrümanlı eylem şemalarının farkına varmalarını destekleyen etkinliklerin programa dâhil edilmesi, kavramsal öğrenmenin derinleştirilmesine katkı sağlayabilir. Bu tür uygulamaların, öğretmen adaylarının gelecekteki sınıf içi öğretimlerinde teknoloji ile pedagojik amaçlar arasında daha bilinçli ve dengeli bir ilişki kurmalarına olanak tanıyacağı düşünülmektedir. Ayrıca bu araştırmada, araştırmacının sürece doğrudan dahil olması ve uygulamaları sahada yürütmesi nedeniyle, enstrümantal oluşum teorisinin bir boyutu olan enstrümantal orkestrasyon da dikkate alınabilir. Araştırmacının ortamları yönetme biçimi, görevleri yapılandırma süreci ve öğrencilerin araçlarla etkileşimlerini yönlendirme stratejileri, adayların enstrümanlı eylem şemalarının gelişiminde belirleyici olduğu düşünülmektedir. Dolayısıyla bu çalışmanı devamı olarak, yalnızca bireysel şemaların değil, aynı zamanda bu şemaların sınıf içi orkestrasyon bağlamında biçimlenişinin de incelenmesi alana katkı sağlaya bileceği düşünülmektedir. Yazarların Katkı Beyanı Her iki yazar da araştırmanın tasarımı, veri toplama, analiz, yorumlama ve makalenin yazım aşamalarına eşit düzeyde katkı sağlamıştır. Çıkar Çatışması Beyanı Yazarlar olarak aramızda bu çalışmayı etkileyebilecek mali olan ya da olmayan herhangi bir çıkar çatışması bulunmamaktadır. Finansman Bu çalışma, kamu, ticari veya kâr amacı gütmeyen herhangi bir finansman kuruluşundan desteklenmemiştir. (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 408 Etik Kurul Onayı Bu araştırma, Bursa Uludağ Üniversitesi Araştırma ve Yayın Etik Kurulu’nun 27/10/2023 tarihli ve 2023-09 sayılı kararı ile alınan izinle yürütülmüş ve araştırma için alınan etik kurul izin bilgisi doğrultusunda çalışma tamamlanmıştır. Kaynaklar Ainsworth, S., 1999. The functions of multiple representations. Computers ve Education, 33(2– 3): 131–152. Baccaglini-Frank, A., Antonini, S., 2016. From conjecture generation by maintaining dragging to proof. Arxiv Preprint Arxiv, 1605.02583. Barabash, M., 2019. Dragging as a geometric construction tool: Continuity considerations inspired by students’ attempts. Digital Experiences in Mathematics Education, 5(2): 124– 144. Bokhove, C., Drijvers, P., 2012. Effects of a digital intervention on the development of algebraic expertise. Computers ve Education, 58(1): 197–208. Cresswell, J., 2013. Qualitative inquiry ve research design: Choosing among five approaches. SAGE. Dede, Y., Argün, Z., 2003. Cebir, öğrencilere niçin zor gelmektedir? Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 24: 180–185. Dreyfus, T., Tsamir, P., 2004. Ben’s consolidation of knowledge structures about infinite sets. The Journal of Mathematical Behavior, 23(3): 271–300. Dreyfus, T., Hershkowitz, R., Schwarz, B., 2015. The nested epistemic actions model for abstraction in context: Theory as methodological tool and methodological tool as theory. In A. Bikner-Ahsbahs, C. Knipping, ve N. Presmeg (Eds.), Approaches to qualitative research in mathematics education: Examples of methodology and methods. Springer, pp. 185–217. Drijvers, P., 2019. Embodied instrumentation: Combining different views on using digital technology in mathematics education. In Eleventh Congress of the European Society for Research in Mathematics Education (No. 1). Freudenthal Group; Freudenthal Institute; ERME. Drijvers, P., Sinclair, N., 2024. The role of digital technologies in mathematics education: Purposes and perspectives. ZDM–Mathematics Education, 56(2): 239–248. Drijvers, P., Trouche, L., 2008. From artifacts to instruments: A theoretical framework behind the orchestra metaphor. In G. W. Blume ve M. K. Heid (Eds.), Research on technology and the teaching and learning of mathematics: Cases and perspectives. Information Age Publishing, pp. 363–392. Eisenberg, T. Dreyfus, T., 1991. On the reluctance to visualize in mathematics. In W. Zimmermann ve S. Cunningham (Eds.), Visualization in teaching and learning mathematics. Mathematical Association of America, pp. 25–37. Engelhardt, P.V., Corpuz, E.G., Ozimek, D.J., Rebello, N.S., 2004. The teaching experiment— What it is and what it isn’t. AIP Conference Proceedings, American Institute of Physics, pp. 157–160. (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 409 Fitrianna, A.Y., Rosjanuardi, R., Prabawanto, S., 2024. Algebraic reasoning of high school students in solving inverse function problems: Viewed from mathematical resilience. Indonesian Journal of Science and Mathematics Education, 7(2): 322–336. Frankel, R. M., Devers, K.J., 2000. Study design in qualitative research-1: Developing questions and assessing resource needs. Education for Health, 13(2): 251–261. Haspekian, M., 2005. An “instrumental approach” to study the integration of a computer tool into mathematics teaching: The case of spreadsheets. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 10(2): 109–141. Janvier, C.E., 1987. Problems of representation in the teaching and learning of mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of representation in the teaching and learning of mathematics, Lawrence Erlbaum Associates, pp. 1–9. Kaput, J.J., 1998. Representations, inscriptions, descriptions and learning: A kaleidoscope of windows. Journal of Mathematical Behavior, 17(2): 265–281. Kieran, C., 1992. The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning. Macmillan Publishing Company, pp. 390–419. Kieran, C., Drijvers, P., 2006. The co-emergence of machine techniques, paper-and-pencil techniques, and theoretical reflection: A study of CAS use in secondary school algebra. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 11: 205–263. Komatsu, K., Jones, K., 2020. Interplay between paper-and-pencil activity and dynamicgeometry-environment use during generalisation and proving. Digital Experiences in Mathematics Education, 6(2): 123–143. Laborde, C., 2002. Integration of technology in the design of geometry tasks with CabriGeometry. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 6: 283–317. MacGregor, M., Stacey, K., 1993. Cognitive models underlying students’ formulation of simple linear equations. Journal for Research in Mathematics Education, 24(3): 217–232. Mariotti, M.A., 2000. Introduction to proof: The mediation of a dynamic software environment. Educational Studies in Mathematics, 44(1): 25–53. National Council of Teachers of Mathematics, 2000. Principles and standards for school mathematics. Ndlovu, M., Wessels, D., De Villiers, M., 2011. An instrumental approach to modelling the derivative in Sketchpad. Pythagoras, 32(2): 1–15. Nolasco, J., 2018. The struggle with inverse functions doing and undoing process. Master’s Thesis, California State University, San Bernardino. Öcal, M.F., Kar, T., Güler, G., İpek, A.S., 2020. Comparison of prospective mathematics teachers’ problem posing abilities in paper-pencil test and on dynamic geometry environment in terms of creativity. Journal of Research in Mathematics Education, 9(3): 243–272. Paoletti, T., Stevens, I.E., Hobson, N.L., Moore, KC., LaForest, K.R., 2018. Inverse function: Pre-service teachers’ techniques and meanings. Educational Studies in Mathematics, 97(1): 93–109. (Mardani ve Tapan Broutin, 2025) 410 Pittalis, M., Drijvers, P., 2023. Embodied instrumentation in a dynamic geometry environment: Eleven-year-old students’ dragging schemes. Educational Studies in Mathematics, 113(2): 181–205. Segal, R., Oxman, V., Stupel, M., 2021. Using dynamic geometry software to enhance specialized content knowledge: Pre-service mathematics teachers’ perceptions. International Electronic Journal of Mathematics Education, 16(3): em0647. Song, Y.,2021. A review of how class orchestration with technology has been conducted for pedagogical practices. Educational Technology Research and Development, 69(3): 1477– 1503. Steffe, L.P., Ulrich, C., 2014. Constructivist teaching experiment. In S. Lerman (Ed.), Encyclopedia of mathematics education. Springer, pp. 102–109. Tall, D., Gray, E., Ali, M.B., Crowley, L., DeMarois, P., McGowen, M., ... ve Yusof, Y., 2001. Symbols and the bifurcation between procedural and conceptual thinking. Canadian Journal of Math, Science ve Technology Education, 1(1): 81–104. Tapan, M.S., 2006. Différents types de savoirs mis en œuvre dans la formation initiale d’enseignants de mathématiques à l’intégration de technologies de géométrie dynamique. Yayımlanmamış Doktora Tezi, Université Joseph-Fourier – Grenoble I. Taşlıbeyaz, E., 2010. Ortaöğretim öğrencilerinin bilgisayar destekli matematik öğretiminde matematik algılarına yönelik durum çalışması: Lise 3. sınıf uygulaması. Yayımlanmamış Yüksek Lisans Tezi, Atatürk Üniversitesi. Trouche, L., 2004. Managing the complexity of human/machine interactions in computerized learning environments: Guiding students’ command process through instrumental orchestrations. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9(3): 281–307. Trouche, L., 2005. Instrumental genesis, individual and social aspects. In D. Guin, K. Ruthven, ve L. Trouche (Eds.), The didactical challenge of symbolic calculators: Turning a computational device into a mathematical instrument. Springer, pp. 197–230. Verillon, P., Rabardel, P., 1995. Cognition and artifacts: A contribution to the study of thought in relation to instrumented activity. European Journal of Psychology of Education, 10(1): 77–101. Xu, C., 2025. Improving mathematical skills of mathematics education students through integrated use of graphing software and programming techniques. International Journal of Education and Humanities, 5(1): 277. Yuhasriati, Y., Johar, R., Khairunnisak, C., Rohaizati, U., Zubaidah, T., 2022. Students’ mathematical representation ability in learning algebraic expression using realistic mathematics education. Jurnal Didaktik Matematika, 9(1): 151–165. Zhang, Y., Wang, P., Jia, W., Zhang, A., Chen, G., 2025. Dynamic visualization by GeoGebra for mathematics learning: A meta-analysis of 20 years of research. Journal of Research on Technology in Education, (2): 437–458.