Contribuciones al reemplazamiento óptimo de sistemas reparables y al dimensionamiento óptimo de sistemas de colas
Full text
Uni e sidad de Las Palmas de G an Cana ia
Depa amen o de Ma emá icas
Tesis Doc o al
Con ibuciones al eemplazamien o
óp imo de sis emas epa ables y al
dimensionamien o óp imo de sis emas de
colas
Juan José Giónzález Hen íquez
Las Palmas de G an Cana ia, Ma zo de 2003
Uni e sidad de Las Palmas de G an Cana ia
Depa amen o de Ma emá icas
Tesis Doc o al
Con ibuciones al eemplazamien o
óp imo de sis emas epa ables y al
dimensionamien o óp imo de sis emas de
colas
Au o : Juan José González Hen íquez
Di ec o es: Ped o Saa ed a San ana y
Angelo San ana del Pino
DON PEDRO SAAVEDRA SANTANA, Ca ed á ico de Uni e sidad del Á ea de
Conocimien o de Es adís ica e In es igación Ope a i a del Depa amen o de
Ma emá icas de la Uni e sidad de Las Palmas de G an Cana ia y
DON ANGELO SANTANA DEL PINO, Ti ula de Uni e sidad del Á ea de
Conocimien o de Es adís ica e In es igación Ope a i a del Depa amen o de
Ma emá icas de la Uni e sidad de Las Palmas de G an Cana ia,
CERTIFICAN que la p esen e memo ia i ulada,
CONTRIBUCIONES AL REEMPLAZAMIENTO ÓPTIMO DE SISTEMAS
REPARABLES Y AL DIMENSIONAMIENTO ÓPTIMO DE SISTEMAS DE
COLAS,
ha sido ealizada bajo la di ección de ambos po el Licenciado en Ma emá icas D.
JUAN JOSÉ GONZÁLEZ HENRÍQUEZ, y cons i uye su Tesis pa a op a al
g ado de Doc o en Ma emá icas.
Y pa a que así cons e, en cumplimien o de la legislación igen e y a los e ec os
opo unos a,-epie~iiaya luga , i mamos la p esen e en Las Palmas de G an
Cana ia,
p:
25 de ma eo de dos mil es.
do.:
D. Ped o ;elo San ana del Pino
índice Gene al
Lis a de Símbolos
Ag adecimien os ii
P e acio ix
1 Gene cJidades sob e p ocesos pun uales 11
1.1 In oducción 11
1.2 Pa áme os p incipales de un p oceso pun ual en IR"*" 16
1.3 Es aciona iedad 19
1.4 La unción de in ensidad condicional 21
1.5 Modelos Básicos 24
1.5.1 P oceso de Poisson 24
1.5.2 P oceso de eno ación 27
1.6 Supe posición de p ocesos de eno ación 30
1.7 El p oblema gene al de egla de pa ada 32
1.7.1 Caso monó ono 34
1.8 El p oblema de pa ada y el eemplazamien o de sis emas epa ables . 35
2 Modelos de sis emas epa ables 39
2.1 In oducción 39
2.2 Repa aciones mínimas y pe ec as 41
2 ÍNDICE GENERAL
2.3 Repa aciones impe ec as 43
2.4 O os modelos de epa aciones impe ec as 44
2.4.1 Modelos lineales gene alizados y modelos loglineales 45
2.4.2 P oceso de eno ación modulados 45
2.4.3 P ocesos de eno ación con endencia 46
2.4.4 P oceso gamma no homogéneo 47
2.5 Modelos de sis emas epa ables con cos es 47
2.5.1 Polí icas básicas de eemplazamien o 49
3 Un modelo de epci aciones mínimas psi a un sis ema epa able
compues o. 53
3.1 In oducción 53
3.2 De e minación de la Es a egia Óp ima 57
3.3 Análisis de un caso pa icula 60
4 Teo ía de pa adas óp imas y labilidad 63
4.1 In oducción 63
4.2 Modelo de Boland-P oschan y p ocesos de decisión semi-Ma ko ianos 65
4.3 Modelo de Boland-P oschan y eo ía de pa adas óp imas 66
5 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas 69
5.1 Mo i ación y p esen ación del modelo 69
5.2 Desc ipción del es ado del sis ema 76
5.3 Cálculo de las p obabilidades es aciona ias del sis ema 79
5.4 P obabilidades de pé dida 84
5.5 Tiempos de espe a 85
5.6 Op imización del endimien o del sis ema 90
5.7 Análisis de los esul ados 91
5.7.1 Caso 1: R » Aj , p = 0.95 92
5.7.2 Caso 2: XR « XN, P = 0.95 99
ÍNDICE
GENERAL üi
5.7.3 Caso 3: A^ ^ Aj , p = 0.95 102
5.7.4 Caso 4: p « 0.95 108
5.8 Conclusión 109
B ibliog a ía 111
Lis a de símbolos
Concep o
N
M
E+
B
o{x)
{ )
H lH )
[x
De inición
Conjun o de los núme os na u ales incluido el O
Conjun o de los núme os eales
Conjun o de los núme os eales posi i os
a-álgeb a de Bo el sob e M
Una unción que di idida en e x se ap oxima a ce o a media
que X iende a ce o
Función de azón de allos.
Función de in ensidad condicional.
Función indica iz del conjun o E.
Pa e en e a de x.
Ag adecimien os
En p ime luga , quie o exp esa mi ag adecimien o a los p o eso es D . D.
Ped o Saa ed a San ana y D . D. Angelo San ana del Pino po su o ien ación,
es ímulo y e icaz ayuda en la di ección de es e abajo. También quie o exp esa
mi g a i ud a muchos compañe os del depa amen o de Ma emá icas, en especial a
aquellos que se sien e a aídos po la Es adís ica. Todos ellos, en en algún momen o,
me escucha on y me aconseja on an o p o esionalmen e como anímicamen e.
También ag adezco a D. Edua do Rod íguez Ba e a, a D". Nancy Sanín y al D .
D.
Gus a o Mon e o sus suge encias y apo aciones M^ pC en la edacción de es e
documen o.
Po úl imo ag adezco a mis amigos y amilia es su apoyo y en usiasmo
a lo la go de es a emp esa. Toda ía ecue do emo i amen e aquellas simpá icas
palab as de mi mad e: "aníma e y pon e a abaja con u gemelo". Un especial
ag adecimein o a mi muje po su san a paciencia (aunque no siemp e; y con azón)
en mis ho as delan e del o denado .
P e acio
En es a memo ia analizamos es p oblemas de op imización, dos en el campo
de la iabilidad de sis emas y uno en el campo de la eo ía de colas. Los es p oblemas
compa en, desde un pun o de is a eó ico, la misma unción obje i o. Se a a de
la unción del bene icio o cos e po unidad de iempo a la go plazo (lo que p oceda)
que apa ece en la eo ía de la eno ación con ecompensa.
En los p oblemas de iabilidad, el concep o de eno ación adquie e un
signi icado pa icula : eemplazamien o de un sis ema. El acele ado i mo económico,
jun o con el g an desa ollo ecnológico, que se expe imen a en nues o iempo hace
que odo usua io de un sis ema deba en algún momen o es udia la con eniencia
de con inua con el sis ema disponible o eemplaza lo. Con el iempo y debido al
desga e, la p opensión al allo de un sis ema aumen a. De es a mane a, el cos e
de eemplazamien o del sis ema puede compensa económicamen e el cos e de las
epa aciones que un sis ema de edad conside ada gene a ía en un u u o. Po an o
el obje i o en un p oblema de és as ca ac e ís icas es de e mina el ins an e óp imo
pa a eemplaza un sis ema po o o (de ca ac e ís icas simila es) de al mane a que
el bene icio po unidad de iempo a la go plazo pa a la emp esa sea el mejo posible.
El p oblema elacionado con la eo ía de colas es un p oblema que su ge en
el campo de la comunicación de sis emas in o má icos. En conc e o, se a a de un
p oblema de modelo de elecciones (polling model), es deci , un p oblema donde es
necesa io plani ica la mane a (cíclica o alea o ia) en que un único se ido a iende a
múl iples colas. El caso que nos ocupa se a a de un sis ema o mada po dos colas
con bu e s ini os de amaño N y R, espec i amen e, que son a endidas po un
16 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
Teo ema 1 Cualquie a de las siguien es condiciones de e mina la dis ibución de
p obabilidad de un p oceso pun ual sob e M;
(i) Las dis ibuciones ini o-dimensionales P{N{Ai) = n¿ ;^ = 1, 2,... ,n} siendo
Ai conju os Bo el aco ados*.
(ii) Las dis ibuciones ini o-dimensionales de la sucesión de pun os
{Tí}^_^
.
(iii) Las dis ibuciones ini o-dimensionales de la sucesión de in e alos
{To,X,
:¿-0,±l,...}.
(i ) Las dis ibuciones ini o-dimensionales del p oceso {N{ ) : E IR}.
1.2 Pa áme os p incipcJes de un p oceso pun ual en IR+
Una o ma na u al de medi el núme o de ocu encias en un in e alo
de e minado en un p oceso pun ual es a a és de la unción M( ) = E[N{ )]. A
lo la go de es a sección es udia emos la impo ancia de es a unción y su elación con
aspec os in e esan es de los p ocesos pun uales en
M.~^.
Se puede comp oba que M( )
es una unción no dec ecien e con inua a la de echa y al que el lími e po la izquie da
M(í—) = linisi M{ ) exis e pa a odo . Respec o a M( ) podemos deci lo siguien e:
• A pa i de la equi alencia (1.5) se deduce que P{N{ ) > i) = P{Ti < ). Si
deno amos po
G¿
(í) a la unción de dis ibución de la a iable T¿ enemos que,
oo oo
M{ )
=
E[N{ )]
= J2^(^W ^
^)
= E^^W- (l-8b)
1=1
Í=l
Po lo an o si las unciones de dis ibución G¿(í) son absolu amen e con inuas,
M{ ) es absolu amen e con inua y su de i ada m{ ) (sal o en un conjun o de
*Un eo ema sob e medidas alea o ias a i ma que la dis ibución de p obabilidad de una medida
alea o ia queda de e minada al conoce las dis ibuciones ini o-dimensionales de oda amilia
Al,...
,Ak de conjun os disjun os de un semianillo de conjun os aco ados que gene a la c -álgeb a de
Bo el co espondien e. Po an o los conjun os Ai puede se in e alos disjun os de la o ma (a,
b].
Pa áme os
p incipales
de un
p oceso
pun ual en
E"*"
17
medida de Lebesgue nula) es de la o ma,
oo
m{ ) = J2gi{ )
(1.8c)
í=i
siendo gi{ ) una densidad de Gi( ). Denomina emos a ?7,(í) unción de azón de
ocu encias de pun os del p oceso; ep esen a la azón ins an ánea de a iación
del núme o espe ado de pun os con espec o al iempo. La in eg al de m{ ) en
un in e alo nos da el núme o medio de pun os en ese in e alo.
• Si M{ ) exis e en un en o no de ¿o Y M{ o—) ^ M{ o) en onces, hay una
p obabilidad posi i a de que el suceso de in e és ocu a al menos un ez en
ÍQ-
El ecíp oco ambién es cie o.
Además de la unción azón de ocu encia de pun os, en la eo ía de p ocesos
pun uales es de in e és la llamada unción de in ensidad de inida po .
Si A(í) exis e, A(í)Aí es ap oximadamen e la p obabilidad de que haya al
menos un pun o en el in e alo (í,í + Ai]. Se puede p oba que si M(í) < oo pa a
odo en onces la unción A(í) exis e.
En la p ime a sección de es e capí ulo hablábamos del in e és especial que
ienen pa a nosos os los p ocesos pun uales simples, aquellos p ocesos sin múl iples
ocu encias. En é minos p obabilís icos, aquellos p ocesos pun uales pa a los que
P{N{ x =
O
o
1;
Va;
e M } = 1. También decíamos que cuando se de ine un p oceso
pun ual a a és de las dis ibuciones ini o-dimensionales con las co espondien es
condiciones de consis encias de las que habla el eo ema de ex ensión de Kolmogo o ,
no queda, cla o como son las ayec o ias del p oceso (con inuas, de i ables , e c).
En el caso que nos ocupa sabemos que las ayec o ias A'^(í) (í > 0) son unciones
con eco ido en N, no dec ecien es, con inuas a la de echa y con A'^(O) = 0. Nos
al a sabe si es as unciones en escale a son o no de sal os uni a ios. Desde luego.
18 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
si los sal os son uni a ios el p oceso pun ual es simple. A con inuación da emos dos
condiciones su icien es pa a ga an iza que el p oceso pun ual es simple.
De inición 1
n
A{ ) = sup
j:P{N{ i^,, i
> 1}, (1.8e)
1=1
cuando el sup emo eco e odas las pa iciones
O
=
ÍQ
< i... < n = del in e alo
(O,
]. A (í) es la in eg al supe io de la unción in e alo P [N{a,
b]
>
1]
,a> b.
Teo ema 2 Si M{ ) < oo pa a cada í > O,
M (í) = A (í) <í=4> N es simple.
Po lo an o, una condición su icien e pa a que un p oceso pun ual in eg able
(M(í) < oo) sea simple es que M ( ) = A (í) . También son de in e és los siguien es
eo emas.
Teo ema 3 Si M{ ) < oo pa a cada í > O, en onces:
a)E [^ (í)] = A (í), siendo ^ ( ) el núme o de discon inuidades de N (•) sob e el
in e alo {0, ] .
b)X (¿) exis e en casi odo pun o y A{ ) = J^X (x) dx.
Co ola io 1 Si un p oceso pun ual in eg able es simple en onces
M ( ) = A{ ) = J X (x) dx y m{ ) = X ( ) en casi odo pun o.
o
Del co ola io an e io se deduce que, pa a un p oceso pun ual con espe anza
ini a y sin oco encias simul áneas, puede habla se sin ambigüedad de la unción de
azón de ocu encia de pun os m( ), la cual coincide con la unción A(í). En é minos
de iabilidad de sis emas, la igualdad m{ ) = X (í) indica que la azón de ocu encia
de allos es igual a la azón con la que se p oducen los ins an es de allo, dado que
sólo se p oduce un allo en cada ins an e de allo. Es a igualdad no se da cuando
Es acionea iedad 19
el sis ema es á suje o a ci cuns ancias que pueden causa muchos allos simul áneos.
Así ocu e, po ejemplo, con cie os enómenos (una o men a de g anizo, una llu ia
de me eo i os) que pueden causa a ias a e ías simul áneas en un sis ema. En es e
caso,
el conocimien o de la unción m(í) es pa a la emp esa de mayo u ilidad que el
conocimien o de
A
(í) pues, a pa i de ella pod á decidi el núme o de ope a ios de
man enimien o necesa ios pa a hace en e a las múl iples a e ías que se p oduci án
en un ins an e incie o .
Hemos dicho que si M(í) < oo y M( ) = A(í) pa a odo en onces el p oceso
pun ual es simple. Apa e de es a condición, exis en o as condiciones, que a an
aspec os in ini esimales del p oceso, pa a ga an iza que un p oceso pun ual es simple.
En [1], (capí ulo 7) se habla con igo de odas es as condiciones in ini esimales. De
odas ellas nos me ece especial a ención la siguien e: un p oceso pun ual en la ec a
eal es o de ly si,
lim^W'-';^i>"=0. {1.8 )
Puede p oba se que, un p oceso pun ual que e i ica (1.8 ) es simple. Pa a
inaliza di emos que en un p oceso pun ual simple se e i ican las siguien es
ap oximaciones,
M{x^b)-M{x) = E ]^{x,x +
d ^
~P{A^(x,a; +
(5]
= 1} ~ P{iV(a;,a; + ¿j > 1}
(l-8g)
1.3 Es aciona iedad
En es a sección amos a expone algunos concep os sob e p ocesos pun uales
es aciona ios que emplea emos en es a memo ia.
De inición 2 Un •p oceso pun ual sob e E es es aciona io si pa a odo =
1,2,...,
y pa a odo subconjun o Bo el aco ado Ai,... ,A deM. la dis ibución conjun a del
ec o ,
{N{Ai+ ),...N{A + )}
20 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
no depende de con -oo < í < oo.
En el caso de que el p oceso pun ual se de ina sob e la semi ec a eal posi i a,
los conjun os Ai se án subconjun os Bo el de (O, oo) y oma á alo es eales posi i os.
Es a o ma de es aciona iedad puede debili a se de di e sas mane as; po ejemplo
es ingiendo los conjun os Ai,... ,A a se in e alos y/o aco ando po un alo
b los alo es de . En e es os casos se encuen a la denominada es aciona iedad
simple. Un p oceso pun ual es es aciona io simple o simplemen e es aciona io si la
dis ibución del núme o de pun os en un in e alo depende de su longi ud pe o no de
su localización^; es o es, si
Pk{x) = P{N( , + x] = k} (x>0,k = 0,l,...), (1.8h)
depende de la longi ud de x pe o no de la localización de . Se puede comp oba ([l],
pág 43) que pa a un p oceso pun ual con es a p opiedad M( ) = m
•
. De acue do
con (1.8c) m nos da la azón de ocu encia de pun os del p oceso. ¿Cuándo exis i á la
unción de in ensidad (l.Sd) de un p oceso simplemen e es aciona io? Si exis e, ¿Se á
cons an e e igual a m? Y, ¿Cuándo es simple un p oceso simplemen e es aciona io?
El siguien e eo ema da espues a a es as p egun as.
Teo ema 4 (a) (Khin chine) La unción de in ensidad de un p oceso simplemen e
es aciona io exis e y es una cons an e A con
O
< A < oo
(b) (Ko olyuk) Si un p oceso pun ual es simple y simplemen e es aciona io
en onces = m.
(c) (Dob ushin) Si un p oceso pun ual es simplemen e es aciona io y m < oo
en onces el p oceso es simple ( y o dely (l.S jj
De inición 3 Un p oceso pun ual iene in e alos es aciona ios cuando pa a odo
=
1,2,...,
y pa a odo los en e os ii,... ,i la dis ibución conjun a de
{Xi^^k,
•
••
,
Xi^+k} no depende de k {k = Q,±l,...).
^A es a p opiedad ambién se le conoce como p opiedad de inc emen os es aciona ios.
La unción de in ensidad condicional 21
De acue do con, (1.8a) pa a que las ayec o ias de un p oceso con es a
p opiedad es é bien de inido es p eciso elegi un pun o a bi a io ¿o a pa i del cual
se ubican los pun os del p oceso. Una posibilidad, quizá la más na u al, es oma
ío = 0. Po lo gene al, el p oceso de la de inición an e io no se á es aciona io en el
sen ido de la de inición 2.
Uno de los esul ados más in e esan es de es a sección es la co espondencia
biyec i a que exis e en e las dis ibuciones de p obabilidad V de p ocesos es aciona-
ios simples sob e M con azón de ocu encias m ini a y las dis ibuciones de
p obabilidad Vo de las dobles sucesiones es aciona ias de a iables alea o ias posi i as
con media ?TT.~^([1], pág 475). Sin ánimo de ex ende nos en cues iones que pe enecen
a la llamada eo ía de Palm, únicamen e deci que de es a co espondencia se deduce
una de las elaciones más conocidas en eo ía de colas, las amosas ecuaciones de
Palm-Kinchin:
Pk{x) = -m {7Tk{u) - •Kk-i{u)}du (A; =
1,2,...),
(1.8i)
Jo
Po{x) = 1
—
m I TTo{u)du
Jo
siendo TTk{x) = lim P{A^(0,a;] = k N{-6,0] > 0} con íc ijo y A: = 0,1, 2,... Es
cla o que pa a cada x las
TTk{x)
cons i uyen una dis ibución disc e a de p obabilidad,
llamada dis ibución de Palm. Las ecuaciones (1.8i) adquie en ele ancia p ác ica
cuando obse amos un p oceso es aciona io simple en un pun o (un e en o) a bi a io
del p oceso (mues eo sínc ono).
1.4 La unción de in ensidad condicional
A pa i de las obse aciones eales de iempos de ida, an o en iabilidad
como en el análisis de supe i encia, es di ícil elegi un modelo en e las di e sas
unciones no simé icas de p obabilidad. Po ejemplo, las di e encias en e la unción
de dis ibución gamma, WeibuU y logno mal son signi ica i as an sólo en la cola de la
dis ibución. Po o a pa e, y debido a la limi ación del amaño mues al, los iempos
22 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
de ida suelen es a diseminados en la cola de la dis ibución po lo que esul a di ícil
disc imina en e es as unciones de dis ibución. Es necesa io, po an o, de ini un
concep o que nos pe mi a dis igui en e dos posibles unciones de dis ibución. Tal
concep o es la unción de azón de iesgo o unción de azón de allos de inida como:
, , ,. P( <T < + A >T) ,, ^.,
( ) = lim^ L^^_J!.. (1.8j)
Si la dis ibución de allos F iene unción de densidad /, la unción de azón
de allos { ), pa a aquellos alo es de ales que F{ ) < 1, adquie e la o ma:
{ )
= ¿ ií- (1.8k)
^ ^ F{ ) ^ '
donde F{ ) = 1
—
F{ ). Es a unción iene una in e p e ación p obabilís ica muy
ú il; (í)A ep esen a la p obabilidad de que un obje o de edad alle en el in e alo
[í,í + A). A endiendo a la siguien e igualdad,
F(í) = exp{- I {s)ds} (1.81)
Jo
es cla o que F queda de e minada uní ocamen e po su unción de iesgo. Es po es a
azón y po su in e p e ación p obabilís ica po lo que en iabilidad y en supe i encia
se suele u iliza la unción de iesgo como guía pa a elegi el modelo que mejo se
ajus a a los iempos de ida obse ados. P ecisamen e algo pa ecido ocu e cuando se
obse an da os de un enómeno que se puede modela a a és de un p oceso pun ual
simple. En es e caso la unción ecibe el nomb e de unción de in ensidad condicional
y se de ine como:
donde l-í deno a la his o ia del p oceso de allos has a el ins an e e incluyendo
. Po lo gene al, se en ende á que Tí es á gene ada po {N{s) : O < s < í} y que
P{N{ + A)
—
N{ ) > 1) = o(A). Es o úl imo es una condición necesa ia pa a que
el p oceso sea simple. En iabilidad, po ejemplo, A(Í|7ÍÍ)A es ap oximadamen e
La unción de in ensidad condicional 23
la p obabilidad de un allo en el in e alo [ , + Ai), condicionado a la his o ia del
p oceso de allos has a el ins an e de iempo .
Desde el pun o de is a eó ico la unción de in ensidad condicional es
sumamen e impo an e, pues a pa i de ella queda comple amen e de e minada la
es uc u a p obabilís ica de un p oceso pun ual simple en la ec a eal posi i a. Pa a
una demos ación igu osa de es e enunciado puede consul a se [1] (cap. 13) o [2].
Desde el pun o de is a p ác ico, la eleccióji de un modelo pa a unas obse aciones
eales se ealiza más ácilmen e a a és de la unción de in ensidad condicional que a
a és de o as o mas equi alen es que si en pa a de ini un p oceso pun ual simple.
De hecho, en la modelización de allos de sis emas epa ables (sis emas que pueden se
pues os en uncionamien o as un allo) es cos umb e desde hace algún iempo da
la unción de in ensidad condicional, cuando se quie e especi ica un modelo de allos
pa a un sis ema epa able. Ha emos una e isión de es os modelos en el siguien e
capí ulo de es a memo ia.
A con inuación a a emos una si uación in e esan e donde la unción de
in ensidad condicional adquie e una exp esión conc e a. Paxa ello, sea {Ti} la
sucesión de pun os de un p oceso pun ual simple con O = TQ < Ti < T2 < ...
y sea Fn{x TQ,Ti,... ,T„_i) la unción de dis ibución condicional de la a iable
^n — Tn — Tn-i condicionada a "HT™-! = c (To,... , „_i). Supongamos además
que pa a odo n > 1, Fn{x To,Ti,... ,T„_i) admi e una unción de densidad n{x),
es deci ,
Fnix nT„_,)= niu)du. (l.8n)
Jo
Bajo es a suposiciones se puede demos a que la unción de in ensidad condicional
adquie e la o ma conc e a,
^(^1^*) =
1
J ~/lÍ T
^°^^^
{Tn< <
„+i} .
(1.8o)
Una demos ación heu ís ica de es e esul ado puede encon a se en la páginas 59
—
61
de [2]. Si po ejemplo, la sucesión de in e alos {Xi} es á o mada po a iables
24 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
alea o ias independien es con dis ibución común F( ) con densidad { ) y con unción
de iesgo { ) (p oceso de eno ación), la unción de in ensidad condicional con
espec o a la his o ia in e na
T-í
iene dada po ,
X{ n ) = { - Tn-i) donde {Tn-i < < Tn} (1.8p)
No a 1 Respec o a la de inición de unción de in ensidad condicional hemos de deci
que algunos au o es condicionan espec o de Ti - = o'{N{s) :
O
< s < }. Es o se
hace pa a ga an iza que A(í) sea p edecible y po an o única. La de inición dada po
noso os coincide con Cox [3] y B emaud [2j. Es e úl imo a i ma en su lib o (página
2)1) que si exis e un unción de in ensidad puede siemp e encon a se una e sión
p edecible.
1.5 Modelos Básicos
1.5.1 P oceso de Poisson
De acue do con el eo ema 1, un p oceso pun ual A'^ en M queda de e minado
al conoce P{N{Ai) = Ui i = l,2,...n} pa a oda amilia ini a Ai,... ,An de
conjun os disjun os de un semianillo de conjun os aco ados que gene a a la -álgeb a
de Bo el B. Como la clase de conjun os o mada po los in e alos de la o ma (a,
b]
es un semianillo de conjun os aco ados que gene a a la c -álgeb a de Bo el B podemos
deci que, un p oceso pun ual N en la ec a queda de e minado al conoce pa a odo
n,
P{N{ai,bi] = ni;i =
1,2,...
,n} (1.8q)
donde ai < bi < aj+j con i = 1,... ,n.
Un p oceso de Poisson en IR es un p oceso pun ual pa a el cual
{H{bi)-H{ai) ^
nA
P{N{aM=ni;i
=
1,2,...
,n} = n J e^p {-{H (h) - H (a.))}
(1.8 )
Modelos Básicos 25
siendo H( ) una unción no nega i a, no dec ecien e y con inua a la de echa. A pa i
de la de inición se deduce ácilmen e que M( ) = E[N{ )] = H{ ). Po es a azón, la
unción H{ ) ecibe el nomb e de unción de medias. La unción H{ ) de e mina las
p opiedades del p oceso de Poisson :
1.
Si H{ ) es á de inida en un in e alo de la ec a eal en onces el p oceso es á
de inido en dicho in e alo.
2.
Si H{ ) iene asín o as e icales en onces el p oceso es explosi o, es deci , el
p oceso iene un núme o in ini o de pun os en iempo ini o.
3.
Si H{ ) es al que lim ^oo H{ ) < oo en onces se puede demos a que el p oceso
es ini o, es deci , el núme o de pun os del p oceso es ini o con p obabilidad 1.
En es e abajo nos amos a cen a en el p oceso de Poisson de inido en R"*",
no explosi o y no ini o. Po es a azón, la unción H( ) a a es a de inida en
[O,
oo)
con lim _>+oo H{ ) = +oo.
Desde luego la unción H{ ) puede se con inua, discon inua, de i able, e c.
Es as p opiedades a ec an a las p opiedades del p oceso de Poisson:
1.
El p oceso de Poisson es simple si y sólo H{ ) es una unción con inua.
2.
Si H( ) es discon inua en ÍQ en onces la a iable alea o ia N{ o} iene una
dis ibución de Poisson de pa áme o J = ií(ío) ~ H( o—).
3.
Si H{ ) es absolu amen e con inua en onces el p oceso es simple y exis e una
unción H'{ ) = m( ) la cual ep esen a la azón ins an ánea de a iación del
núme o espe ado de pun os con espec o al iempo. Es a unción m( ) ecibe el
nomb e de unción de in ensidad del p oceso.
Aunque la unción H{ ) pueda se con inua singula , en es e abajo no amos
a conside a es os casos. Po lo gene al, a a emos con unciones H{ ) de la o ma
H{ ) = / m{u)du. (1.8s)
J —oo
32 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
supe posición de los p ocesos de eno ación es más bien un p oceso de es adís icos
o denados. Si emba go, en es e caso los allos en cada disposi i o son independien es
pe o no ienen que se indén icamen e dis ibuidos. Sin duda, es a condición no es
plausible pa a sis emas eales, dado que pa a alo es de su icien emen e g andes es
posible que cie os disposi i os sean eemplazados dos o más eces. Es a condición
pa ece más ap opiada en iabilidad del so wa e donde un allo adecuadamen e
epa ado no uel e a apa ece nunca más.
La unción de azón de allos de la dis ibución exponencial es cons an e. Es o
quie e deci que si un equipo alla de acue do a es a dis ibución la p opensión al
allo no cambia con el uso. Po es a azón, la dis ibución exponencial ue a amen e
conside ada como dis ibución de allos de un sis ema. Sin emba go, po las azones
expues as an e io emen e hay si uaciones donde la dis ibución exponencial juega un
papel p ominen e.
1.7 El p oblema gene al de egla de pci ada
Supongamos que amos obse ando g adualmen e una sucesión de a iables
alea o ias yi,y2,
• • •
y que debemos pa a es e p oceso de obse ación en alguna e apa
n.
Si pa amos en dicha e apa n, ecibi emos una " ecompensa" Z^ que es unción
de los alo es yi,... ,y„. El p oblema de egla de pa ada consis e en encon a eglas
de pa ada que maximice o minimicen nues a " ecompensa" espe ada. Pa a de ini
o malmen e es e p oblema son necesa ios los siguien es elemen os:
(i) Un espacio de p obabilidad {n,J-,P).
(ii) Una sucesión c ecien e J-n de sub-a-álgeb as de J-.
(iii) Una sucesión de a iableas alea o ias Zi,Z2,
• • •
, al que Z„ medible espec o
a J „,
71
= 1,2, —
A pa i de es os obje os hacemos las siguien es de iniciones:
8
El p oblema gene al de egla de pa ada 33
De inición 4 Una egla de pa ada es una a iable alea o ia { con alo es 1,2,3,... , +oo, al
que P(^ < oo) = 1 y el suceso {^ = n} E Tn-
De inición 5 El pa de sucesiones {Zn,J^n}'^=i ecibe el nomb e de sucesión
es ocás ica. Una sucesión es ocás ica se dice in eg able si E[ Zn ] < oo {n > 1).
A pa i de es as de iniciones, el p oblema de egla de pa ada puede plan ea se
de la siguien e mane a: dada una sucesión es ocás ica in eg able {Zn,J'n '^=i
encon a den o del conjun o de eglas de pa ada V aquella egla ^* al que
E[Z^*] = supií'[Z^] = V donde el sup emo eco e el conjun o de egla de pa ada
al que
¿'[Z^]
exis a, siendo
n=
O,
IC = oo} i
Pa a es e p oblema el in e és se cen a en esponde a las siguien es p egun as:
• ¿Exis e la egla de pa ada óp ima ^* al que -E[Zg*] = y?¿Cómo es?
• ¿Cómo podemos calcula el alo VI
En algunas ocasiones, el p oblema de pa ada óp ima se es udia á en un
subconjun o p opio D de F. P ecisamen e en el campo donde amos aplica es os
concep os, la iabilidad, exis en nume osos p oblemas de eemplazamien o que han
sido esuel os pa a un subconjun o D conc e o de eglas, las cuales, dependen po
lo gene al de algún núme o ini o de pa áme os. A es e subconjun o se le suele
conoce en iabilidad , y en o os con ex os, con el nomb e de polí ica. Aho a amos a
comen a como debe en ende se cada uno de los elemen os de un p oblema gene al de
pa ada pa a los p oblemas de iabilidad que quie en esol e se, a sabe ; los p oblemas
de eemplazamien o de sis emas. En p ime luga , debe obse a se, que el p oblema
gene al de pa ada se ha plan eado en iempo disc e o. Es o se debe p ecisamen e
a que en los p oblemas de eemplazamien o que es udia emos, y po azones que
34 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
pos e iomen e se jus i ica án, el eemplazamien o del sis ema se ealiza á en uno de
los ins an es de allos a los que es á suje o el sis ema. Es deci , después de habe
obse ado n ins an es de allos TI^TQ,,.
• •
Tn hab á que decidi si se con inúa con la
p oducción o si po el con a io se ealiza el eemplazamien o del sis ema. Así, la sub-
c -álgeb a J^n debe en ede se como la c -álgeb a gene ada po las a iables alea o ias
Ti,T2,... „.
A pa i del p oblema gene al de p oblema de egla de pa ada desc i o
an e io men e, su ge o o p oblema muy in e esan e al conside a ini a la sucesión
es ocás ica {Zn-,Tn ^^i- En es e caso, de no habe pa ado an es de obse a Tm
hay que pa a obliga o iamen e en la e apa TU. A es e p oblema se le conoce
como p oblema de egla de pa ada con ho izon e ini o. Es e p oblema puede
e se ambién como un caso especial del p oblema de ho izon e in ini o, donde
Zm+i =
• • •
= Zoo =
—
oo.
Es e ipo de p oblemas pueden esol e se de o ma óp ima
po el llamado mé odo de inducción eg esi a.
En gene al, los p oblemas de ho izon e in ini o no ienen una solución que
pueda exp esa se median e una exp esión ma emá ica conc e a y po an o es
necesa io el es udio de mé odos o eglas que pe mi an ace ca se a la solución óp ima.
En p incipio, es posible encon a soluciones ap oximadas del p oblema al conside a
una e sión uncada (eligiendo un alo de m bas an e g ande) del p oblema o iginal.
Apa e de es e mé odo, llamado mé odo de uncamien o, exis en o os caminos que
nos pe mi en encon a o as soluciones ap oximadas del p oblema. Tal es el caso de
la egla de pa ada de las k e apas u u as; una egla simple que mejo a el mé odo de
uncamien o. En la siguien e sección desc ibimos es a egla y sus p opiedades, pa a
inalme e es udia el llamado caso monó ono de un p oblema de egla de pa ada.
1.7.1 Caso monó ono
En un p oblema de egla de pa ada, la egla de las k e apas u u as (k-e ) es
aquella egla que es ando en la e apa n pa a o con inúa si la egla óp ima en e las
e apas n +
1
y n + k (ambas inclusi as) pa a o con inúa. Una p opiedad impo an e de
El p oblema de pa ada y el eemplazamien o de sis emas epa ables 35
es as eglas es que si en una de e minada e apa n la egla A;-e/ ecomienda con inua
en onces la egla {k~l)-e ambién ecomienda con inua . Además, si la egla óp ima
exis e, y si la k-e ecomienda con inua en oces la egla óp ima ambién ecomienda
con inua . Es a p opiedad sugie e una simpli icación de la k-e : aplica la egla
1-e/ has a que pa e, después aplica la egla 2-e has a que pa e, y así sucesi amen e
has a llega a la egla k-e .
En es e con ex o esul a in e esan e sabe cuan o de p óximo es á la egla
óp ima de la más simple de las eglas k-e la 1-e/ (llamada anbién egla miope), la
cual puede exp esa se de es a o a mane a,
iVi = {n>0:Z„>£:(Z„+i|Zi,... ,Z,)} (1.9)
Así, la egla miope es aquella que pa a en el p ime n donde la ganancia
ob enida po pa a es al menos an g ande como la ganancia espe ada al pa a en la
siguien e e apa.
De inición 6 Deno amos po An = {Zn > E{Zn+i J^n)}- Di emos que un p oblema
de egla de pa ada es monó ono si,
AQC
A1CA2C... es.
Teo ema 7 Si E{swp,^Zn) < 00 , lim Z„ = Z^ c.s. y las a iables Hn =
n—i-oo
supj>^{Zj
—Z„}
son uni o memen e in eg ables en oces el p oblema de egla de pa ada
monó ono iene po egla óp ima a la egla miope.
Pa a un es udio comple o en eo ía de pa adas óp imas puede consul a se [12].
1.8 El p oblema de pa ada y el eemplazamien o de sis emas epa ables
En la indus ia es habi ual que una máquina deba se eemplazada po o a
de ca ac e ís icas simila es. Debido a que es a ope ación de eemplazo se ealiza
ei e adamen e a lo la go del iempo, es con enien e eemplaza la máquina de al
36 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
mane a que consigamos el mayo bene icio posible. Como obje i o, pa ece ap opiado
maximiza el bene icio p omedio po unidad de iempo. Es o es, al epe i se el
p oblema de eemplazamien o un núme o n de eces de o ma independien e y de
acue do con la misma egla de pa ada ^, consegui íamos ^i,...,Cn eglas de pa ada
independien es e idén icamen e dis ibuidas y
Z^^,...,Z^
bene icios, independien es
e idén icamen e dis ibuidos. De es a mane a el bene icio o al conseguido en el iempo
o al T^j + ... + T^^ es Z^^ + ... + Z^^, po lo que el bene icio p omedio po unidad
de iempo es el cocien e {Z^^ + ... +
Z^J/(T^^
+ ... + T^„). Si an o nume ado como
denominado se di ide en e n en onces, po la ley de los g andes núme os, el cocien e
an e io con e ge a
E[Z¿ /E T^,
siemp e y cuando las espe anzas co espondien es
exis an. Po lo an o, se a a de elegi una egla de pa ada ^ que maximice el
cocien e
E[Z^/E T^.,
siendo Z^ el bene icio conseguido has a el momen o T^ (
momen o en el cual eemplazamos la máquina ac ual po la nue a). Con es a unción
obje i o, el p oblema de pa ada puede eplan ea se de la siguien e mane a: dada una
sucesión es ocás ica in eg able {Z^, •^n}^=i encon a den o del conjun o de eglas
de pa ada T aquella egla ^* al que E[Z^*]/E[T^*] = sup E[Z¿/E[T¿ = V donde el
sup emo aho a eco e el conjun o de egla de pa ada al que E[Z^] < oo y ^ > 1 (al
menos obse a emos un allo). A p ime a is a pa ece que se a a de o o p oblema
di e en e al p oblema clásico de pa ada óp ima an es de inido, pe o en ealidad, es
una gene alización de es e p oblema ya que pe mi e que los iempos en i'e e apas
sean di e en es y no, uni a ios y ijos como el p oblema clásico. No obs an e, en los
p oblemas de iabilidad que esol e emos es p e e ible abaja con una o mulación
clásica del p oblema de pa ada. En esumidas cuen as lo que que emos es elimina el
denominado en nues a unción obje i o E[Z^]/E[T^]. Pa a ello ha emos lo siguien e:
Como E{Z^) < VE(T^), pa a oda ^ &T, podemos deci que ^* es óp ima si
E{Z^^ - VT^*) = supE{Z^ - VT¡) (1.11)
Con o as palab as, la sucesión de a iables alea o ias Z ,Z2T
• •
, que
apa ecen en el p oblema clásico de pa ada es aho a de la o ma Zj = Zi
—
VT , Z2 =
El p oblema de pa ada y el eemplazamiea o de sis emas epa ables 37
Z2 — VT2,... ,. La equi alencia en e es as dos o mas de e el p oblema queda
con i mada con el siguien e eo ema.
Teo ema 8 a) Si pa a algún 7, supE{Z^
—
jT^) — O, en onces sup£'[Z^]/£'[T^] = 7.
i& Ce
Además, si sup£'(Z^
—
7T¿) = O se alcanza en ^* e F, en onces ^* es un egla óp ima
pa a maximiza E[Z^]/E[T^].
(b) Recíp ocamen e, si supE[Z¿/E[T^] = ^ y el sup emo se alcanza en {* e F,
en onces supi?(Z^
—
jT^) =
O
y el sup emo se alcanza con la egla ^*.
En caso de encon a la egla óp ima ^*, la exp esión ma emá ica de la egla
óp ima a a depende del alo óp imo V, es deci , ^* = ^*(V). De es a mane a
pa a esol e comple amen e el p oblema es necesa io calcula dicho alo V. Aho a
bien, si conside amos el alo V no como un alo ijo sino como un alo a iable,
llamémoslo 7, end emos una amilia de eglas de pa adas ^(7) con 7 G IR. Así, pa a
cada alo de 7 end emos una egla ^(7) cuyo bene icio p omedio a la go plazo es
^(7) = E{Zci^) — jT í y)). En gene al, lim ^^(7) = 00 y hm 1/(7) = —00.y de
7—>—00 7—>oo
acue do con el eo ema an e io hay que busca el alo 7 al que V^j) = 0. Además,
según esul ados de eo ía de pa adas óp imas se iene el siguien e eo ema.
Teo ema 9 ^(7) es dec ecien e y con exa
A pa i de es e esul ado podemos desc ibi un simple mé odo i e a i o pa a
calcula el alo 7 al que ^^(7) =
O
y la egla de pa ada óp ima. Se a a del mé odo
de New on, el cual, con e ge cuad á icamen e. Sea 7o un alo inicial pa a el alo
óp imo. En el pun o
70^
la ec a y = V^(7o)~£'[T'$(7o)](7~7o) ^s un hipe plano sopo e,
ya que y(7o) - £^[%7o)](7 - 7o) = E^Í^J -
W'{- j
<
V{- ).
De acue do con el
mé odo de New on, los sucesi os alo es de 7^, , z =
0,1,...
se calculan median e la
ecu encia,
7n+l=7n + ^^(7n)A^'(7n)- (1-12)
38 Gene alidades sob e p ocesos pun uales
Y como V (7„) =
—E[T^^j^)]
se iene que,
Po an o, el alo V es el pun o ijo de la unción,
E[Ta,J
/(7) =
^^í^^.
(1.14)
Capí ulo 2
MODELOS DE SISTEMAS REPARABLES
¿Qué es un sis ema epa able? ¿Qué es una epa ación mínima? ¿ Cuáles son
los modelos exis en es en la ac ualidad pa a sis emas epa ables ? En el caso de sis ema
epa ables epa ados mínimamen e y eniendo en cuen a cos es y bene icios, ¿Cuál es el
momen o idóneo de eemplazamien o? Es as y o as cues iones end án espues a a lo
la go de es e capí ulo.
2.1 In oducción
En la ac ualidad, el endimien o de la indus ia y de cualquie pe sona en su
ac i idad dia ia depende, po lo gene al, de la disponibilidad de nume osos apa a os
y/o máquinas*. Desde luego, la disponibilidad de la mayo ía de es os sis emas
depende, en buena medida, de la acciones de man enimien o p e en i o y/o co ec i o
que se lle en a cabo. El man enimien o co ec i o, ambién llamado epa ación, iene
po obje o es au a las unciones p opias del sis ema cuando es as han cesado po
alguna o u a. El man enimien o p e en i o, como su nomb e indica, se ealiza pa a
p e eni posibles allos y pa a educi al máximo los p ocesos de desgas e p opios del
uncionamien o del sis ema. A aquellos sis emas a los que únicamen e se man iene
co ec i amen e se les denomina sis emas epa ables.
De acue do con Asche y Feingold [13], un sis ema epa able puede se de inido
*En adelan e, pa a e e i nos gené icamen e a odas esas he amien as u iliza emos el é mino,
sis ema indus ial, o simplemen e, sis ema
40 Modelos de sis emas epa ables
como una colección de dos o más disposi i os que después de pe de una o a ias de sus
unciones puede ecupe a las sa is ac o iamen e a a és de cualquie o ma dis in a
al eemplazamien o o al del sis ema . En es a memo ia nos dedica emos al es udio
de sis emas epa ables que ecupe an inmedia amen e la ope a i idad as pe de la.
Es a suposición eó ica se debe a que en la p ác ica el iempo empleado en ealiza una
epa ación al sis ema es insigni ican e en compa ación al iempo en uncionamien o.
Los modelos p obabilís icos más ap opiados pa a es udia la disposición de los allos
de un sis ema epa able a lo la go del iempo son los p ocesos pun uales.
Después de una epa ación es no mal que el p opie a io de un sis ema quie a
conoce su es ado. En e o as cosas desea ía sabe si la p opensión al allo del
sis ema a a se la p opia de un sis ema de su edad que nunca ha allado o
como la de un sis ema nue o. A las epa aciones que dejan al sis ema en una de
esas si uaciones ex emas se les conoce como epa aciones mínimas y epa aciones
máximas, espec i amen e. En la p ác ica, po lo gene al, la epa aciones del sis ema
se án algo in e medio en e una epa ación mínima y una epa ación máxima. Fija
el ipo o los ipos de epa aciones posibles que se an a ealiza en un sis ema es
ija un modelo pa a el sis ema epa able en cues ión. En las es secciones siguien es
amos a e isa los modelos exis en es has a la echa en la li e a u a pa a modelos
epa ables.
O a cues ión impo an e pa a el p opie a io de un sis ema es sabe , de acuedo
con algún c i e io económico, cuando es el momen o idóneo pa a eemplaza lo po
uno igual o de mejo calidad. En es e caso es impo an e conoce los pa áme os
económicos que in luyen en el sis ema: cos es de las dis in as epa aciones, cos e
de eemplazamien o, los bene icios de la p oducción, e c. A un modelo de sis ema
epa able al cual se le añade una es uc u a de cos es y bene icios al obje o de halla
el ins an e óp imo de eemplazamine o del sis ema po o o exac amen e igual se
le denomina modelo de sis ema epa able con cos es. En la úl ima sección de es e
capí ulo ha emos una e isión de los dis in os modelos de sis emas epa ables con
Repa aciones
mínimas y pe ec as 41
cos es.
2.2 Repa aciones mínimas y pe ec as
El concep o de epa ación mínima ue in oducido po Ba low y P oschan
[14] pa a mime iza el compo amien o de un sis ema complejo cuando una de sus
múl iples componen es es sus i uida o epa ada as un allo. Un ejemplo ilus a i o
es la epa ación del pinchazo de un neumá ico de un coche. En é minos ma emá icos
Ba low y P oschan de inen el concep o de la siguien e mane a: si un sis ema (con
unción de dis ibución de allos F{x) absolu amen e con inua y unción de azón de
allos (a;)) alla en el ins an e en onces, después de se epa ado mínimamen e, la
p obabilidad de que alle después de s + í unidades de iempo es
1 —
F{ + s)/(l
—
F{ )
y su azón de allos es (s + í). De acue do con es a de inición el p oceso de allos
de un sis ema epa able suje o a epa aciones mínimas iene unción de in ensidad
condicional { 'H ) = (í); y es po an o un p oceso de Poisson no homogéneo con
unción de in ensidad { ).
Sin emba go, si el sis ema es muy simple (como po ejemplo un sis ema en
pa alelo con dos componen es Ci y C2, ambas con dis ibución de ida exponencial
de pa áme o 1) la epa ación mínima ísica de un allo del sis ema (en el sen ido de
Ba low y P oschan de ab i el sis ema y sus i ui o epa a la pieza que causó el allo
del mismo) es á lejos de co esponde se con el signi icado ma emá ico de epa ación
mínima. Si el sis ema en pa alelo an e io alla en un ins an e es po que las dos
compone es han allado y como ambas no pueden alla simul áneamen e, la unción
de azón de allos después de es cons an e e igual a la unidad en cualquie a de los
casos.
Sin emba go, la unción de azón de allos después de , cuando se ealiza
una epa ación mínima en el sen ido ma emá ico es ( ) = 2(1
—
e~*)/(2
—
e~*). Po
es a azón Be gman [15] denominó a la epa ación mínima en el sen ido ma emá ico
epa ación mínima es adís ica y a la epa ación mínima en el sen ido ísico de
Ba low y P oschan epa ación mínima ísica. Desde un pun o de is a es ic amen e
48 Modelos de sis emas epa ables
eemplaza el sis ema en ez de segui ealizando epa aciones mínimas. En o as
palab as, el eemplazamien o de un sis ema epa able enca gado de la p oducción
ini e umpida de un de e minado bien debe ealiza se en algún momen o del iempo,
bien po sus cos es de man enimien o o bien po un mal desempeño de sus unciones.
Si asumimos que el sis ema se eemplaza po o o de na u aleza idén ica, que los allos
del sis ema son epa ados mínimamen e, y que es a si uación se epi e inde inidamen e
en el iempo podemos plan ea nos el siguien e p oblema: encon a la egla de pa ada
^ que minimice la unción obje i o
CÍO =
E[Z¿/E[T¿
(2.11)
siendo T^ la a iable alea o ia que mide el iempo en e dos eemplazamien os
consecu i os (un ciclo) del sis ema y Z^ la ajñable alea o ia que mide el cos e de
man emien o de un ciclo. Es a úl ima a iable puede se a eces una ecompensa
más que un cos e. En ese caso hab ía que maximiza en (2.11), en ez de minimiza .
La unción obje i o (2.11) iene su undamen o en el eo ema 5 del p ime capí ulo
( éase ambién el p ime pá a o de la úl ima sección del mismo capí ulo). El conjun o
de eglas de pa ada de una de e minada mane a, y dependien e de un pa áme o (o
a ios pa áme os) ecibe el nomb e de polí ica. Muchas eces y debido a la di icul ad
en encon a la egla óp ima el p oblema an e io se es inge a un subconjun o de
eglas posibles (una polí ica, po ejemplo).
Los modelos de epa aciones mínimas con cos es conside an gene almen e las
siguien es hipó esis:
1.
La unción azón de allos { ) del sis ema subyacen e es c ecien e.
2.
El cos e de las epa aciones mínimas c^ es meno que el cos e de eemplaza-
mien o del sis ema Cj..
3.
Los allos del sis emas son de ec ados y epa ados mínimamen e de o ma
inmedia a
Modelos de sis emas
epa ables
con cos es 49
2.5.1 Polí icas básicas de eemplazamien o
En los úl imos años, los in es igado es han p es ado especial a ención al
p oblema de la edad óp ima de eemplazamien o de sis emas complejos suje o a
epa aciones mínimas. El p ime abajo en es e sen ido se emon a al año 1960
cuando Ba low y Hun e [27] a a on po p ime a ez el p oblema, usando un modelo
de eemplazamien o pe iódico con epa aciones mínimas. El obje i o de es e modelo
de epa aciones mínimas e a encon a un edad de eemplazamien o * que minimiza a
el cos e espe ado de eemplazamien os y epa aciones mínimas a la go plazo. La
polí ica es udiada ue:
POLÍTICA 1: Los allos que ocu an an es de ( ijo) son epa ados
mínimamen e. Cuando el sis ema alcance la edad se ealiza el eemplazamien o.
El cos e de man enimien o espe ado po unidad de iempo a la go plazo es:
C„(í) = íl± =«ll (2.12)
donde N{ ) ep esen a el núme o de allos ( epa aciones mínimas) en el pe iodo
(O,
í].
La edad óp ima de eemplazamien o * es el alo que sa is ace la ecuación
•
(í) - / {u)du = — (2.13)
Un solución única T* exis e si (oo) = oo. En es e caso el cos e de
man enimien o espe ado po unidad de iempo a la go plazo es Cpj(T*) = Cm {T*)
Es e modelo básico de epa aciones mínimas ha sido gene alizado y modi icado
po muchos au o es con el obje o de ajus a se a si uaciones más eales. Tilquin y
Clé oux [28] añadie on a los cos es del sis ema, un cos e de ajus e Ca{ik) en la edad
¿A;, z = 1, 2, 3,... j k > O, e in es iga on una polí ica óp ima de eemplazamien o.
Respec o a los alo es de Ca{ik), ellos suponen que
Ca{0)
=
O
y que Ca{s) >
O,
Vs = ik.
50 Modelos de sis emas epa ables
Tilquin y Clé oux a gumen a que su modelo es más e osímil que el modelo básico,
pues los cos es de ajus e Ca{ik) pueden usa se pa a e leja cos e de dep eciación,
in e eses banca ios, cos es de ajus e, e c. Al igual que en el modelo básico, el p oblema
es encon a la edad óp ima * de eemplazamien o del sis ema que minimice el cos e
espe ado po unidad de iempo a la go plazo, que es e caso iene dado po ,
C^_ ),^-~gW')l+'^+ <("(')), (2.14)
donde c*( ;(í)) = Xl¿=o''<i(^^) y '^(0 ep esen a el núme o de ajus es ealizados en el
pe iodo (O, í]. Tilquin y Clé oux p oba on que el mínimo global de la ecuación (2.14)
exis e en el in e alo
[O,
oo).
En o o modelo de epa aciones mínimas Mu h [29] es udió una polí ica que
p esen aba un meno cos e espe ado a la go plazo que el modelo es ánda .
POLÍTICA 2: Todos los allos son epa ados mínimamen e. Sin emba go,
el sis ema es eemplazado en el p ime allo después de una edad .
A di e encia del modelo es ánda el iempo de eemplazamien o ya no es ijo.
En es e caso es un iempo alea o io supe io a un alo ijo . La unción de cos es a
minimiza en el modelo de Mu h pa a ob ene es:
C^N{ )-] C
donde q{ ) = E[T
—
Í | T > Í] es la unción de ida media esidual del sis ema en
el ins an e . En la ecuación (2.15) el alo óp imo * puede halla se con simples
p ocedimien os de cálculo in ini esimal. Sin emba go, en los casos en que dichas
écnicas no son aplicables Mu h no dio algo i mo alguno pa a halla *.
POLÍTICA 3: Segui la polí ica 2. Sin emba go, si no ha habido
eemplazamien o en el in e alo [ , T] con < T, en onces se ealiza un
eemplazamien o p e en i o en el ins an e T.
Modelos
de
sis emas epa ables con cos es
51
Makabe
y
Mo imu a
[30]
modi ica on
po
comple o
el
concep o
de
iempo
de
eemplazamien o bajo epa aciones mínimas in oducido
po
Ba low
and
Hun e [27].
Pos e lómen e,
el
modelo
ue
es udiado
po
Pa k
[31]
pa a
el
caso WeibuU.
En
es e
modelo
se
es udió
la
siguien e polí ica:
POLÍTICA
4 :
Repa a mínimamen e
los
p ime os
n—1
allos
y
eemplaza
el sis ema
en el
siguien e allo.
El cos e
de
man enimien o espe ado
po
unidad
de
iempo
a
la go plazo
es,
C,An) = '- ^^^^^^¡^""^
(2.16)
donde
el
alo
Tn es el
ins an e
en que
ocu e
el
n-ésimo allo.
El
alo óp imo
n* es
el en e o
más
pequeño
que
sa is ace
la
desigualdad:
EiTn)
- (n - 1 +
—)E(T„+i
-
Tn)
>
O (2.17)
Pa a
una de las
dis ibuciones
de
allo
más
habi uales
en
iabilidad,
la
dis ibución
de
WeibuU
(
unción
de
azón
de
allos
{ ) = p ^, > 0,k > 1),
Pa k
esol ió
el
modelo
y
encon ó
una
exp esión explíci a pa a
el
cálculo
del
alo óp imo
n*,
a
sabe .
n
=
1
/
C _
_
+
1
(2.18)
"^
1
Cm
Pa k compa ó
su
nue a solución
con la
solución adicional basada
en
edades óp imas
p opues a
po
Ba low
y
Hun e .
Su
polí ica
da a
la go plazo mejo es endimien os
que
la
polí ica
de
Ba low
y
Hun e . Además,
el
núme o
de
allos an es
del
eemplazamien o
es
meno
en la
polí ica
de
con eo
de
Pa k
que en la
polí ica
de
iempos
de
Ba low
y
Hun e .
Sin
emba go, odos es os esul ados ue on expues os
numé icamen e pa a
la
dis ibución
de
WeibuU
y no se
jus i icó ma emá icamen e.
Phelps
[32]
compa ó
los
modelos
de
epa aciones mínimas es udiados
po
Ba low
y
Hun e
[27],
Mu h
[29], y
Pa k
[31]
suponiendo
que la
azón
de
allos
52 Modelos de sis emas epa ables
es c ecien e. Phelps demues a que la polí ica de Mu h ( eemplaza en el p ime
allo después de un iempo *) es la mejo de las es polí icas y además pone en
e idencia que la polí ica de Mu h es mejo que la polí ica de Ba low y Hun e .
En un a ículo pos e io , Phelps [33] gene alizó su abajo usando los esul ados de
p ocesos de decisión semi-Ma ko ianos pa a p oba que la polí ica de Mu h es óp ima
en el conjun o de odas las polí icas de eemplazamien os posibles pa a modelos de
epa aciones mínimas con azón de allos c ecien e.
Capí ulo 3
UN MODELO DE REPARACIONES MÍNIMAS PARA UN
SISTEMA REPARABLE COMPUESTO.
Las es a egias de eemplazamien o pa a di e sos modelos de sis emas epa ables
con epa aciones mínimas es án ampliamen e es udiadas en la li e a u a. Sin emba go,
cuando un sis ema es á o mado po a ios subsis emas, su gen nue os p oblemas en
elación con la de e minación del ins an e óp imo de eemplazamien o. El p opósi o de
es e capí ulo es es udia un modelo pa a es e nue o p oblema y encon a dicho ins an e
óp imo. El con enido de es e capí ulo ha sido publicado en la e is a. Re is a Cana ia de
La Ciencia.
3.1 In oducción
G an pa e de los abajos publicados sob e sis emas epa ables asumen que
cuando as una a e ía se epa a un equipo, és e queda en el mismo es ado que si
uese nue o. Tal hipó esis pe mi e elabo a modelos a ables desde el pun o de
is a ma emá ico, pe o esul an poco e osímiles en la p ác ica. Algo más ealis a
son los modeos conside ados po Asche y Feingold [13] que a an sis emas cuyo
es ado, después de una epa ación, es idén ico al es ado inmedia amen e an e io a la
ocu encia del allo. Los modelos en los que se asume es a hipó esis eciben el nomb e
de modelos de epa aciones mínimas. B own y P oschan [17] conside an ambién
modelos de epa aciones mínimas en sis emas de iabilidad. Block, Bo ges y Sa i s
[18] es udian un sis ema en el que no siemp e es posible la epa ación mínima, siendo
54 Un modelo de epa aciones mínimas pa a un sis ema epa able compues o.
la p obabilidad de que al epa ación sea posible dependien e de la edad del equipo.
S adje y Zucke man [34] conside an un sis ema pa a el que los sucesi os pe iodos
du an e los que es á ope a i o son es ocás icamen e dec ecien es, mien as que los
iempos que du an las epa aciones c ecen ambién en sen ido es ocás ico. Dagpuna
y Jack [35] es udian ambién sis emas de epa aciones mínimas con pe iodos de
epa ación no nulos.
Una ca ac e ís ica común a odos es os abajos es que las dis in as es a egias
de man enimien o se analizan exclusi amen e en sis emas consis en es en una única
es uc u a ope a i a. Sin emba go, cuando se conside an sis emas compues os
po a ios subsis emas con dis in as unciones, su gen nue os p oblemas en la
de e minación de la es a egia óp ima de man enimien o. En es e capí ulo se
conside a un equipo o mado po una es uc u a p incipal y un subsis ema que se
enca ga de la p oducción de cie os í ems. La du ación de la es uc u a p incipal
del equipo has a que ocu a una a e ía, signe una dis ibución de p obabilidad con
azón de allo c ecien e, siendo siemp e posible la ealización de epa aciones mínimas.
No obs an e, cada allo de la es uc u a p incipal puede de e io a el subsis ema
de p oducción, de al o ma que la asa esidual de p oducción de í ems disminuye
alea o iamen e después de cada allo. El subsis ema, po su pa e, no es epa able, y
po an o la asa de p oducción sólo puede es au a se a su alo inicial median e el
eemplazamien o del equipo.
De acue do con es a desc ipción, cualquie es a egia admisible de eemplaza-
mien o debe á, ene en cuen a no sólo la edad del equipo sino ambién su asa esidual
de p oducción de í ems, que supond emos obse able después de cada allo. No ob-
s an e, si es e alo no uese di ec amen e obse able, pod ía sus i ui se po alguna
es imación adecuada del mismo. En los epíg a es siguien es de e mina emos la es-
a egia óp ima de eemplazamien o de es e sis ema pa a, una cie a es uc u a de
cos es y bene icios, y p oba emos que, bajo condiciones especí icas, el eemplaza-
mien o del equipo se lle a a cabo casi seg'u amen e en iempo ini o. Po úl imo
In oducción 55
analiza emos un caso pa icula de sis ema con es as ca ac e ís icas, ob eniendo una
ap oximación de la egla óp ima de eemplazamien o.
Deno amos po X a la a iable alea o ia que mide el iempo que a da en
p oduci se el p ime allo en el equipo p incipal. Po hipó esis, X es de azón de allo
c ecien e, siendo F ( ) = P {X > ) su unción de supe i encia. Suponemos que
as cada allo es siemp e posible e ec ua una epa ación mínima, que se ealiza de
o ma ins an ánea. Llama emos {Xn} a las du aciones de los sucesi os pe iodos en e
epa aciones mínimas consecu i as, T„ = Y17
=
i-^i ^^ iempo anscu ido has a el
n-ésimo allo (
TQ
= 0), y N ( ) = Yl'^= i -^|o,í| (^n) al p oceso de ecuen o de allos,
siendo IE la unción indica iz del conjun o E. Bajo es as condiciones {N [ ) , > 0}
es un p oceso de Poisson con unción de medias M ( ) = E [N (í)] = - In (7 (í)) [18].
Asimismo, suponemos que du an e el pe iodo comp endido en e los allos i
—
1 e
¿-ésimo, el equipo p oduce í ems a una asa ai , omando la asa inicial siemp e un
alo ijo «1 , y siendo {a,} una sucesión alea o ia no c ecien e casi segu amen e con
E[ai] < aiP^~ j O < P < 1. Po úl imo, conside amos que cada í em p oducido
epo a un bene icio B, cada epa ación mínima iene un cos e C y la sus i ución po
un equipo nue o un cos e D.
Al igual que en los modelos de epa aciones mínimas con cos es del capí ulo
an e io , el p oblema aquí es encon a la es a egia de man enimien o
C,
que maximiza
el cocien e
.«) = || (3.1)
siendo T^ la a iable alea o ia que mide el iempo en e dos eemplazamien os
consecu i os (un ciclo) del sis ema y Z^ la a iable alea o ia que mide el bene icio en
un ciclo. Las dis ibuciones de p obabilidad an o de la du ación del co espondien e
pe iodo de eno ación Tg como del endimien o Z^ ob enido du an e es e pe iodo,
queda án de e minadas po la es a egia de eemplazamien o ^ elegida. Deduci emos
a con inuación la exp esión de es a unción de u ilidad en el modelo conside ado.
Pa a ello, y como es habi ual en los modelos de epa aciones mínimas.
56 Un modelo de epa aciones mínimas pa a un sis ema epa able compues o.
asumi emos que después de cada epa ación la supe i encia del equipo es
independien e del núme o de allos y subsiguien es epa aciones ealizadas has a ese
momen o. Po al mo i o, la es a egia óp ima de eemplazamien o debe á depende
del iempo de supe i encia has a el siguien e allo y no de los allos an e io es.
Como además cada allo del sis ema a ec a a la asa de p oducción de í ems
{Q!„}
, la es a egia óp ima depende á ambién de la asa de p oduc i idad esidual en
el ins an e inmedia amen e pos e io a la a e ía. Resul a cla o, además, que la
sus i ución del equipo debe ealiza se en algún ins an e de allo T„ .
El es ado del sis ema en el i/-ésimo ins an e de allo queda comple amen e
especi icado po el ec o (Ty,0!¡y+i). El p oceso {(TI/, QÍ¡/+I)}¡^>O es un p oceso
ma ko iano con alo es en
[O,
oo) x
[O,
CXD)
. De acue do con lo indicado en el pá a o
an e io , la es a egia de man enimien o óp ima debe á basa se en es e p oceso. Como
ya se ha señalado, no p ocede ealiza la sus i ución en e dos allos consecu i os, po
lo que las eglas de sus i ución admisibles consis en en e ec ua el eemplazamien o
en algún ins an e de allo u, cuando el sis ema se encuen a en el es ado {T^,a¡y^i)
. Deno a emos po T al conjun o de dichas eglas. Si una egla .^ G F dispone la
sus i ución del equipo cuando el sis ema es á en el es ado u , el alo de la unción
de u ilidad (3.1) es:
^ (^) ^ B • E E =i ex,. (T, - ._i)] -C-{EW]-1)-D ^32)
E [T,y]
Es inmedia o obse a que p es á aco ada supe io men e dado que Q;„ <
Oíi , Vn casi segu amen e y po an o ip {^) < B • ai pa a cualquie egla .^ G F.
Sea en onces:
^* = sup^(<^) (3.3)
Una es a egia
C,*
es en onces óp ima si:
Deduci emos en la siguien e sección la o ma de la es a egia óp ima ^*.
De e minación de la Es a egia óp ima
57
3.2 De e minación de la Es a egia Óp ima
De acue do con la sección 1.9 del capí ulo 1, de e mina la es a egia óp ima
de nues o p oblema es equi alen e
a
de e mina la egla óp ima de pa ada de la
sucesión es ocás ica {Z^}'^i donde,
Z, =
B-y" ai-{Ti-T,_^)-C-{u-l)- n. (3.5)
•'——'1=1
A con inuación p oba emos que el p oblema es monó ono y que la egla miope
es óp ima. En p ime luga e i ica emos las es hipó esis del eo ema 16 del capí ulo
inicial de es a memo ia.
• E[sup^^Z^] < oo.
Z. = B- E l «i
•
{T^
-
T,_i)
-
C
•
(i^
-
1)
-
n < B
•
Y.U ^^
•
(Ti
-
Ti-y) <
B • EZiC^i • Ti. Po lo an o, E[snp,Z,]
< B
• E"i^[«¿ • Tj]
= B
•
E[Ti] E.=i E[a,] < B . E[T,]
•
a, YZi P'~' <
^-
• lim Zi, = —oo.
Dado que Z^ = B
•
Y^i=
(<^¿""
'^*)' {T ~ T¿-i)
—
C-{u—l)
, ip* >
O
y la sucesión
o¡ j es dec ecien e a ce o casi segu amen e se iene que, P({ai
— 'ip*)
>
O,
Vi) = 0.
Así, la p obabilidad de que un núme o nume able de é minos 0!¿
—
i/,*
< O es
1.
Y po lo an o lim
Ziy
=
—
oo,
casi segu amen e.
• La sucesión de a iables alea o ias Y¡y — supjy^[Zj — Z,^) es uni o memen e
in eg able.
En es e caso, al se la sucesión a„ dec ecien e
a
ce o casi segu amen e se
puede comp oba con acilidad que i?[|y¡/|] -—> O
a
medida que i^
^
oo
y
po consiguien e es uni o memen e in eg able la sucesión de a iables alea o ias
Tan sólo es a po comp oba
la
mono onía del p oblema. Pa a ello
amos
a
demos a
la
implicación Zj^
>
E{Z¡y^i Zi,-
• •
, Z^) =4> Z¡^+i
>
64 Teo ía de pa adas óp imas y iabilidad
Mu h es óp ima en el conjun o de odas las polí icas de eemplazamien os posibles
pa a modelos de epa aciones mínimas con azón de allos c ecien e y cos es ijos de
epa aciones y eemplazamien o.
En o o a ículo Boland jun o con P oschan [36] es udia on el p oblema de
eemplazamien o de sis emas epa ables a a és de un modelo con epa aciones mí-
nimas y cos es de epa aciones c ecien es que depende del núme o de epa aciones en
el ciclo*. Pa a es e modelo conside a on una polí ica de eemplazamien o al es ilo de
la es udiada po Ba low y Hun e . Sin emba go, es a polí ica no e a óp ima. Hubo
que espe a a 1992 pa a que Makis and Ja dine |37] encon a an la polí ica óp ima de
eemplazamien o pa a es e modelo. En su a ículo Makis and Ja dine conside a on un
modelo gene al con epa aciones impe ec as que incluía como caso especial al modelo
de Boland y P oschan. Al igual que Phelps, Makis y Ja dine esol ie on el p oblema
de encon a la polí ica óp ima u ilizando esul ados de la eo ía de los p ocesos de
decisión semi-Maxko ianos. No obs an e, las condiciones que deben e i ica se pa a
pode aplica los eo emas de la eo ía de p ocesos de decisión semi-Ma ko ianos que
pe mi en encon a la polí ica óp ima de eemplazamien o son nume osas y no an
elemen ales de e i ica .
En es e capí ulo se ob iene un nue o p ocedimien o, den o del ma co de la
eo ía pa adas óp imas, pa a encon a la polí ica óp ima de eemplazamien o del
modelo de Boland y P oschan. En es e caso las condiciones que pe mi en la ob ención
de la polí ica óp ima son más eleme ales que las p opues as po Makis y Ja dine. La
eo ía de pa adas óp imas pa ece, como lo demues an las publicaciones ecien es
[38],
una eo ía p óspe a en el es udio de polí icas óp imas de eemplazamien os de
sis emas epa ables.
*Un ciclo es el iempo en e dos eemplazamien os ecinos.
Modelo de Boland-P oscban y p ocesos de decisión semi-Ma ko ianos 65
4.2 Modelo de Boland-P oschan y p ocesos de decisión semi-Ma ko ianos
En es a sección amos a explica con un poco más de de alle los esul ados
del a ículo de Makis y Ja dine en lo que se e ie e al hallazgo de la polí ica óp ima
del modelo de Boland y P oschan. Debe ene se en cuen a que el modelo es udiado
po Makis y Ja dine es un modelo más gene al que incluye al modelo de Boland y
P oschan como caso pa icula . De acue do con nues o obje i o usa emos a lo la go
de es a sección la siguien e no ación:
*
C
= Cos e de eemplazamien o.
* c„ = Cos e de epa ación en el n-ésimo allo, siendo la edad del sis ema.
* Fxi ) = P{T < x + T > x) =Dis ibución condicional de ida esidual cuando
el sis ema iene edad x.
* m(^x) = Vida media esidual.
* Tn — z-ésimo allo den o de un ciclo de eemplazamien o.
Las hipó esis del modelo son las siguien es:
(i) C > 0. Cn < k Vn.
(ii) Exis e un alo c >
O
al que pa a odo x >
0,m(x)
> a, m{0) < oo.
(iii)
Cn
es un sucesión no dec ecien e.
(i ) La azón de allos del sis ema es c ecien e.
A pa i de la es uc u a de cos es se deduce que sólo deben ene se en cuen a
polí icas que eemplazan en un ins an e de allo. Po an o en cada allo n las
decisiones a oma son eemplaza con cos e c^ ó epa a con cos e c„. A pa i de las
hipó esis (i) y (ii) an e io es podemos aplica un esul ado de la eo ía de p ocesos de
66 Teo ía de pa adas óp imas y iabilidad
decisión semi-Ma ko ianos [39] que ga an iza la exis encia de una unción aco ada w
y una cosn an e g* al que,
w{n,x) =mm<Cn+ w{n+ l,x- - )F^{d ) - g*T{x),C + ¡ w{l,y)F{dy) - g* {0)
De acue do con un eo ema ( e , [39]), la polí ica que minimiza el é mino
de echo de la unción an e io es óp ima y g* es el cos e p omedio espe ado po
unidad de iempo. A pa i de ese esul ado Makis y Ja dine ob ienen el siguien e
eo ema (que esuel e el p oblema).
Teo ema 11 Bajo las hipó esis (i)-(i ), la polí ica óp ima de eemplazamien o del
modelo de Boland y P oschan es la siguien e :
Reemplaza en el n-ésimo allo si Tn >
*^
donde Tn es el ins an e del n-ésimo
allo y l = in {í >
O
: c„ > g* (í)}
La sucesión {í*
}
no es c ecien e, íí > ¿2
— • •
•
4.3 Modelo de Boland-P oschan y eo ía de pa adas óp imas
En es a sección amos a ob ene la polí ica óp ima de eemplazamien o del
modelo de Boland y P oschan u ilizando algunos esul ados de la eo ía de pa adas
óp imas. Recuédese que es p eciso ene en cuen a que deben conside a se an solo
las polí icas que emplacen en ins an e de allo. Como c i e io de op imalidad pa a
encon a la polí ica óp ima, adop a emos el c i e io usual del cos o p omedio a la go
plazo.
Po a gumen os clásicos de la eo ía de la eno ación, el cos e p omedio a la go
plazo del sis ema gobe nado po la polí ica de eemplazamien o T iene dado po ,
VT = E(RT)/E(T) (4.1)
donde RT es el cos e o al necesa io pa a man ene el sis ema en uncionamien o has a
el ins an e T. Sea V* = in Vy, donde T es el conjun o de odas las polí icas que
Modelo de Boland-P oscban y eo ía de pa adas óp imas 67
eemplazan en un ins an e de allo. Una polí ica de eemplazamien o T* es óp ima
si,
VT*
= in ü (4.2)
Te
Ob iamen e, E{RT) > V*E(T), pa a odo T e F, and T* es óp ima si y solo sí
E{RT*
-
V*T*)
=
iníE{RT
- V*T) (4.3)
A endiendo a la an e io ecuación y no ol idando que las únicas polí icas que deben
ene se en cuen a son aquellas que pa an en un allo, el p oblema de encon a la
polí ica óp ima pa a el modelo de Boland y P oschan puede plan ea se como: halla
la egla de pa ada óp ima pa a la sucesión es ocás ica,
n
- 1
Zn = c +J2 ""'- /*T„ , n > 1 (4.4)
i
= 1
P oposición 1 El p oblema de egla de pa ada an e io es un p oblema de caso
monó ono.
Demos ación. Tenemos que p oba la siguien e implicación,
Zn
^
E{Zn+l Zi,
• • • , Zn) => Zn+1 ^
E ZnJ^2 Z ,
• • • ,
Zn+l)
Es cla o que, Zn+i = Z^ + Cn —
V*{Tn+i
— Tn). En oces eniendo en
cuen a las hipó esis an e io es Z„ < E{Zn+i Zi,-
• •
, Z^) es equi alen e a c„ >
V*m{Tn). Además, como c„+i > c„ y m{Tn) > "^(T„+i), se iene que, Zn+i <
E{Zn+2 Zl,-
• •
,Zn+l)- •
Po an o y de acue do con los eo emas de la eo ía de pa adas óp imas ( e
[12],
pág 113) la egla de pa ada,
N = mí{n >l Zn< E{Z^+, Z,,-
• •
, Z^)}
es óp ima. Es deci , la polí ica óp ima de eemplazamien o es
N = in {n > 1 I c„ >
V*m{Tn)}
(4.5)
68 Teo ía de pa adas óp imas y iabilidad
Desde luego es a polí ica no es a á comple amen e de e minada has a que no
se conozca el alo V* que apa ece en (4.5). Pa a calcula dicho alo podemos
u iliza el algo i mo de pun o ijo que mencionamos en la úl ima sección de p ime
capí ulo. O a al e na i a se ía aplica el algo i mo p opues o po Makis y Ja dine,
el cual se basa en un algo i mo mucho más gene al dado po A en y Be man
[40].
Pa a e compa aciones en e la polí ica óp ima de eemplazamien o y la
polí ica de eemplazamien o pe iódico p opues a po Boland pa a el caso pa icula
de dis ibuciones WeibuU y exponencial puede consul a se de nue o el abajo de
Makis y Ja dine.
Capí ulo 5
DIMENSIONAMIENTO ÓPTIMO DE UN SISTEMA DE COLAS
Hemos is o cómo la eo ía de la eno ación p opo ciona una po en e he amien a
pa a esol e p oblemas de op imización asociados a p ocesos es ocás icos que se
ca ac e izan po la p esencia de ins an es de eno ación, a pa i de los cuales el p oceso
epi e su compo amien o (en sus aspec os p obabilis as). En pa icula ello nos ha
se ido pa a ob ene ins an es óp imos de eemplazamien o en el con ex o del p oblema de
eemplazamien o de sis emas epa ables. En es e capí ulo e emos una nue a aplicación
de la eo ía de la eno ación; es a ez en el con ex o de un p oblema de colas.
5.1 Mo i ación y p esen ación del modelo
Las ac uales edes de comunicaciones de banda ancha es án diseñadas pa a
sopo a y acomoda , de mane a lexible y e icien e, una amplia a iedad de se icios
ales como oz, ídeo, da os y sus combinaciones mul imedia. Pa a cumpli con es os
obje i os se han diseñado di e sos es ánda es de ed, en e los que cabe des aca
ATM como uno de los más impo an es. En es e es ánda la in o mación que
iaja po la ed se o ganiza en pequeños paque es de longi ud ija llamados células.
Los di e en es ipos de aplicaciones que hacen uso de la ed pueden a ia en sus
eque imien os de se icio. Así, po ejemplo, las aplicaciones en iempo eal, ales
como la ideocon e encia, equie en p es aciones ex emas en é minos de olumen
de á ico ( h oughpu ), de e a do, de la a iación del e a do [delay ji e , ji e o
a ianza en el e a do) y de la asa de pé didas. La cada ez mayo gene alización
70 Dimeiisionamien o óp imo de un sis ema de colas
de es as aplicaciones ha con e ido en u gen e la necesidad de p opo ciona se icios
de ed con p es aciones ga an izadas y desa oUci los algo i mos que sopo en es os
se icios.
Uno de los mecanismos undamen ales pa a pode p opo ciona se icios con
p es aciones ga an izadas es la elección de la disciplina de se icio de paque es en
los conmu ado es, que son los disposi i os ísicos enca gados de combina el á ico
p oceden e de dis in as uen es. En una ed de conmu ación de paque es, los paque es
de dis in as conexiones in e ac úan unos con o os en cada conmu ado , y sin el
con ol ap opiado es as in e acciones pueden llega a a ec a a las p es aciones de la
ed. La disciplina de se icio del nodo de conmu ación con ola el o den en el que
los paque es son se idos y de e mina cómo in e ac úan los paque es de las dis in as
conexiones. Una o ma de consegui es e obje i o es median e la implemen ación,
en los bu e s del conmu ado , de mecanismos de p io idad capaces de con ola el
iempo o espacio dedicado a cada célula. Debido a su simplicidad, apidez y más
bajo cos e de implemen ación, en los conmu ado es de al a elocidad se p e ie en los
mecanismos de p io idad que con olan el espacio (capacidad) disponible en el bu e ,
a los que deben ene en cuen a el ins an e de llegada de cada célula y con ola su
iempo de esidencia en el conmu ado .
En es e abajo se p esen a y analiza un esquema de dimensionado y ges ión de
bu e s que iene en cuen a el pa ón de llegada de dos clases de á ico. En pa icula ,
hemos conside ado que es as clases de á ico co esponden, espec i amen e, a á ico
en iempo eal ( oz, ideo) y a á ico en iempo no eal (da os). Po simplicidad
llama emos TR al á ico de la p ime a clase y TNR al de la segunda. En los úl imos
años se han desa ollado nume osas polí icas de se icio pa a el á ico esul an e de
la mix u a de es as dos clases, con el obje i o undamen al de que la ed pueda o ece
calidad de se icio al á ico en iempo eal, a la ez que se ga an iza un de e minado
ni el de p es aciones pa a el á ico en iempo no eal. En pa icula la calidad de
se icio pa a á ico TR exige un bajo ni el de e a do en el ánsi o de los paque es
Mo i ación y p esen ación del modelo 71
(no es posible man ene una con e sación ele ónica si los paque es de oz digi alizada
llegan de mane a muy asinc ónica), mien as que pa a el á ico TNR se equie e una
muy baja asa de pé didas (es e es el á ico habi ual en in e ne co espondien e a la
desca ga de iche os; lo impo an e es no pe de el con enido del iche o aunque a de
algo más en llega a des ino). Ello no quie e deci que pa a á ico en iempo eal sea
admisible una asa de pé didas excesi amen e ele ada, ni que el á ico en iempo no
eal pueda llega a demo a se cualquie can idad de iempo, sino más bien que las
pé didas admisibles en á ico TR son a ios ó denes de magni ud supe io es a las del
á ico TNR; y a la in e sa, el ni el de e a do admisible en á ico TNR puede llega
a se ambién a ios ó denes de magni ud supe io al admisible pa a á ico TR.
En [41] puede encon a se un análisis compa a i o de di e sas polí icas pa a
el mul iplexado de á ico en iempo eal con á ico en iempo no eal, incluyendo
una e isión de abajos de in es igación p e ios. La más simple de es as polí icas es
la clásica polí ica PIFO, que es la que oñ:ece peo es esul ados pa a ambos ipos de
á ico. Los esul ados mejo an cuando se asigna p io idad más al a a los paque es del
á ico TR, siendo a endidos an es que los paque es TNR, que esul an de es a o ma
penalizados con unos e a dos excesi os. O as polí icas al e na i as y mejo es son
MLT (Mínimum laxi y h eshold) que asigna p io idades en unción del iempo que ya
hayan pe manecido en cola los paque es de las dis in as clases y del iempo máximo
en cola admisible pa a los paque es TR, y la QLT (Queue Leng h Th eshold) en que
se da p io idad a los paque es NRT sólo cuando el núme o de los mismos en cola
supe a un cie o umb al. El endimien o de es as dos polí icas es simila , si bien la
úl ima es más ácil de implemen a ísicamen e, oda ez que no equie e con abiliza
el iempo de pe manencia en el bu e de cada uno de los paque es p esen es en el
mismo, y esul ando con ello, como ya hemos dicho más a iba, la polí ica p e e ida.
O a clase de polí icas, muy habi ual pa a ges iona la mul iplexación de
es as dos clases de á ico, es la o mada po los mecanismos basados en ondas,
consis en es básicamen e en al e na el se icio en e los dis in os canales de en ada
72 Dímensionamien o óp imo de un sis ema de colas
al conmu ado . La más simple de es as polí icas consis e en a ende una célula de
cada canal, desde el p ime o al úl imo, y uel a a empeza desde el p ime canal (es e
es el mecanismo ound- obin clásico [42], [43]). Una a iación de es a polí ica consis e
en asigna p io idades a los canales en unción de la clase de á ico (weigh ed ound
obin),
a endiendo en cada onda más células en los canales de mayo p io idad que
en los canales de p io idad más baja; po ejemplo, se pod ían a ende es células de
un canal de ideo po cada célula de un canal de da os. Se han p esen ado nume osas
p opues as sob e la o ma en que debe ía dis ibui se la a ención del se ido en e
los di e sos canales. Algunas de es as polí icas ijan las p io idades de cada clase
de á ico de modo es á ico (de una ez pa a siemp e) [44], [45] mien as que o os
asignan las p io idades dinámicamen e, en unción de las condiciones de la ed y de
la ca ga del sis ema [46], [47]. Muchas de es as polí icas pa a la asignación dinámica
de p io idades especi ican umb ales: mien as en el canal A haya menos de n células
espe ando, se a iende al canal B; una ez que en A haya n células, el se icio se de-
dica exclusi amen e a A has a que en A queden menos de m células. Es os umb ales
pueden ambién se ijos, de e minados en el diseño del ha dwa e que cons i uye el
conmu ado [48], o lexibles/adap a i os, con olados po so wa e en unción de las
condiciones de á ico en cada momen o [49], [50], [45].
El mecanismo que p esen amos en es a esis, es á basado en un sis ema de
ondas que inco po a a los bu e s de en ada al conmu ado p opios de cada canal,
un bu e adicional que es compa ido po las dos clases de á ico. Es e sis ema
es ges ionado po una polí ica que, en cie a medida, p io iza al á ico TR, pa a
e i a le e a dos excesi os, a la ez que pe mi e cu sa el á ico TNR con un mínimo
ni el de pé didas. Un co ec o dimensionado de los bu e s que componen es e
mecanismo pe mi e que es a polí ica pueda p opo ciona una educción en los e a dos
de las células de al a p io idad ( iempo eal), sin que po ello se ean a ec adas
conside ablemen e las p es aciones dadas al á ico de baja p io idad ( iempo no
eal).
Mo i ación y p esen ación del modelo 73
TRAFICO EN TIEMPO
NO REAL
TRAFICO EN TIEMPO
REAL
BUFFER TNR
(CAPACIDAD R)
BUFFER TR
(CAPACIDAD N)
BUFFER COMPARTIDO
(CAPACIDAD M)
SERVIDOR
Figu a 1 Diseño del sis ema de colas
Tal como se obse a en la igu a 1, el á ico en iempo eal (TR) accede a su
p opio bu i:e , que iene una capacidad limi ada pa a R células. Asimismo, el á ico
en iempo no eal (TNR) accede a un segundo bu e con capacidad A^. Las células
que salen de ambos bu e s se mezclan en un e ce bu e compa ido, con capacidad
pa a M células. La salida de es e e ce bu e es el canal de ansmisión, sob e el
que se mul iplexan ambos á icos. La ges ión del sis ema se p oduce del siguien e
modo:
1.
En cada ins an e, en el bu e compa ido puede habe sólo una célula TNR, y
como máximo M
—
1 células TR.
2.
Si no hay ninguna célula TNR en el sis ema, la p ime a célula TNR que llegue
al mismo pasa di ec a e ins an áneamen e al bu e compa ido. Si hay ya una
célula TNR en el bu e compa ido, cualquie nue a célula TNR que llegue al
sis ema se inco po a al bu e TNR.
^,->
80 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
• du an e un se icio el sis ema puede alcanza el es ado (a, 0,0) solamen e si
comenzó en un es ado (¿,0,0) con i < a,
• du an e un se icio, el sis ema puede alcanza el es ado (a, b, c) con 1 < c < M
sólo si el se icio comenzó con el sis ema en algún es ado
(i,j,c),
con i < a,
j ^ b (ya que la posición c del clien e TNR en la cola compa ida no se al e a
du an e un iempo de se icio), o bien si el sis ema empezó en algún es ado
(i,
0,0) con i < a, i < c, podemos esc ibi las siguien es ecuaciones:
Sic-l<a<R + M-l, l<c<M,0<b<N:
, a b a
E
[Tabc]
= . . ^(l,0,0)(a,b,c) + V] Y] -^^ [%c] ^(¿,i,c)(a,6,c) + V]
-E"
[-^¿Oo]
^(i,0,0)(a,b,c)
(5.10)
Si 0<a<i? + M-l, 0<6<iV
^
'^""^
^ X M x,,Ao,0,l)(a, e,l) + 5Z S -^
[-^^^lí
-4(¿j,l)(a,b,l) (5.11)
Si 0<a<R + M -1
. a b
—I
A í + AAÍ • n • n
A
"
-£^
[TaOo]
= -J —T—^(l,0,0)(a,0.0) + / ^ [NÍOQ] ^(¿,0,0)(a,0,0) (5.12)
M + ^N -^
Dado que las llegadas y salidas en es e sis ema se p oducen de una en una,
cuando el sis ema es á en equilib io el núme o medio E[Nabc] de salidas que dejan
el sis ema en el es ado {a,b,c) es igual al núme o medio de llegadas que encuen an
el sis ema en es e es ado. Aho a bien, pues o que las llegadas se p oducen según
un p oceso de Poisson, (siemp e que el sis ema disponga de espacio disponible pa a
aloja a cada nue a llegada), es e úl imo núme o medio es X^^^E
[Tabc],
donde:
XR
+ XN sia<R + M-lyb + c<N + l
XR
sia<R + M-lyb + c>N + l
bc
—
XN
si a > R + M-lyb + c<N + l
O sia>R + M-lyb + c>N + l
Cálculo
de las
p obabilidades es aciona ias
del sis ema 81
Po an o:
E
[Na,e] = Xl cE [Tabc]
Sus i uyendo es os alo es en el sis ema de ecuaciones (5.l0),(5.11)y(5.12),
llamando PR = ^ ^^^ , PN — ^ +A ^ di idiendo odos los é minos po la du ación
media del ciclo, E[T], y eniendo en cuen a (5.8) y (5.9), se llega a:
Sic-l<a<i? + M-l, l<c<M,0<b<N:
a
b a
T^abc
= PiíA*(,c7 000^(l,0,0)(a,b,c) + 2^ 2^ KhcT^o.bcA{i,j,c){a,b,c) + ¿^ A*5^7 ¿oO-4(¿,o,0)(a,6,c)
i=c—1
j=0 i=
(5.13)
Si
Q<a<R + M-l, Q<h<N
a
b
TTa el
= PA A* c^7 oooA(o,0,l)(a,6,l) + ¿J zJ -^abc^¿jl^(¿J,l)(a, e,l) (5-14)
Si 0<a< í + M-l
a
TTaOO
= í'JíA*^c'^O0O^(l,0,O)(a,O,0) + 2_^ A*^^7 ¿00^(z,0,0)(a,0,0) (5.15)
Si en es e sis ema se di iden odas las ecuaciones po
TTOOOÍ
llamando
O^hc
=
TTa cc/TTOOO,
puedeu ob ene se con acilidad de modo ecu si o las
6abe-
Las
Habc
se
ob ienen luego ácilmen e sin más que obse a que:
de donde:
^000 = ^ 7— y 7 „ cc = T—e^ — J- (5-16)
Ob iamen e, aún al a de e mma los é minos
A{i^j^k)(a,b,c)-
Comencemos po calcula ^(¿,j,c)(a,b,c) pa a 1 < c < M, O < í < a, O < j < 6.
Pa a ello de inimos la a iable alea o ia:
82 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
^{ij,k)(a,b,c) *
si en el ins an e el sis ema es á en el es ado (a, b,c), y aún
1 no ha e minado un se icio que comenzó en el ins an e O
con el sis ema en el es ado (i,j, c)
O en o o caso
Es e iden e en onces que:
A(i,j,c)(a,b,c) - E
Aho a bien:
/•oo "I oo
^0 J Jo
E
[Xj
= P
(x*
= 1) =
(1
-
B{ ))
e-^^«*ÍM!2e->-*ÍM
b-j
{a-i)l
{b-j)
donde B{ ) es la unción de dis ibución del iempo de se icio. En el caso pa icula
de se icio de e minis a de du ación D se iene;
B{ ) = 0 < D
1 > D
Luego, en es e caso:
A(¿,
J,c),(a,í),c) — /
Jo
-U>^B y Á^N
Si llamamos:
G(m.n) ^ e-^-'íi^e-^'"i^d
í'( „,n)=e-(^»«»)°Slg£7
puede comp oba se ácilmen e la elación ecu si a:
G{m,n) = Aií
con alo es iniciales:
G{m-
l,n) + ^^ G{m, n-l)- F{m, n) (5.17)
^R + ^M
G (m, 0) 1
Ai? + XM
A
R
A í + AM
_ g-(A l+A„)D
E
h=0
X
R ' {XRD)
m—h
>^R
+ ^MJ {m-h)
(5.18)
Cálculo
de las
p obabilidades es aciona ias
del sis ema 83
G{0,n) =
^R + XM •'"E
>^R
+
>^MJ
^V^ñ + ^M/
{n-h)
(5.19)
De es a o ma,
Aiij,c)(aM = G{a-i,b-j),l<c<M,0<i<a,0<j<b (5.20)
y su alo puede calcula se u ilizando ecu si amen e (5.17) con los alo es iniciales
(5.18) y (5.19).
Pa a calcula aho a A(,^o,0)(a,6,c); con 1 < c < M debemos no a que pa a
que du an e un iempo de se icio se pase del es ado {i, 0,0) al (a, b, c), deben habe
llegado a — i clien es TR y b + 1 clien es TNR, con la condición de que el p ime
clien e TNR haya llegado cuando hay exac amen e c
—
1 clien es TR en el sis ema.
U ilizando la p opiedad del p oceso de Poisson de que si en un pe iodo (0,í) se
p oducen n ocu encias del mismo, és as se dis ibuyen uni o memen e el el in e alo,
la p obabilidad de que la p ime a llegada de un clien e TNR sea la que ocupe la
posición c en la cola compa ida habiendo llegado a
—
i clien es TR y 6 + 1 clien es
TNR en (0,í), iene dada po :
{a-c + iy.{a + b + l-i)l
P ocediendo aho a como pa a el cálculo de A(¿^j^c)(a, c,c), llegamos a:
A..o..,,(.V, = ^^: ,^!^ l l:'|, (* + 1)!G (a - >,. + 1) (5.22)
Un azonamien o simila , eniendo en cuen a aho a que pa a que un clien e
TNR ocupe la posición M debe habe llegado cuando en el sis ema hay M
—
1 ó más
clien es TR nos pe mi e ob ene :
{a-ij. (a + 6 + 2-A )!^,
A(,o,o),(.,M) = (,_M + 1)! (a + 6 + 1-0!^ {a-^,b+l) (5.23)
84 Dimensionamien o óp imo
de un
sis ema
de
colas
Po úl imo, ambién
de
modo
muy
sencillo
se
deduce
que:
^(¿,o,o)(a,o,o)
=G{a- i, 0)
(5.24)
De es a o ma,
las
ecuaciones (5.20), (5.22), (5.23)
y
(5.24) jun o
con
(5.17)
nos
p opo cionan
el
esquema ecu si o p eciso pa a ob ene inalmen e
las
p obabilidades
en
el
equilib io 7 ¿j c
a
pa i
de
(5.13),(5.14),(5.15)
y
(5.16).
5.4 P obabilidades
de
pé dida.
Un clien e
TR es
echazado
po el
sis ema cuando
a su
llegada
no hay
espacio
en bu e pa a aloja lo; és o ocu e cuando
en
o al
en el
sis ema
hay R + M — 1
cien es
TR. Po
an o,
la
p obabilidad
de
pé dida
en el
es ado es aciona io pa a
los
clien es
TR
iene dada
po :
M
N
ITR
=
^R+M-1,Q,0
+ / ,7
^'^R+M-l,b,c
c=l b==:0
Dado
que
du an e
un
ciclo a an
de
accede
al
sis ema
po
é mino medio
iiE[T] clien es
TR, si
llamamos
LTR{T) al
núme o
de
clien es
TR
echazados
po
ciclo,
se
iene, haciendo
uso de
(5.9):
E [LTR
(T)] =
^T^XnE [T]
.=
ITR^R
{XR
+ Xp¡)
TTooO
Asimismo,
la
p obabilidad
de
pé dida
en es
es ado es aciona io pa a
los
clien es
TNR iene dada
po :
R+M-l
M
ITNR = ZZ Z^ ^"^'^
a=0 c==l
y
el
núme o medio
de
clien es
TNR
echazados
po
ciclo
es:
E [LTR
(T)] =
^^^X^E [T]
=
^^ ^ (5.25)
[ÁH + ÁN)
TTOOO
Tiempos de espe a. 85
5.5 Tiempos de espe a.
Si uémonos en nues o sis ema en el p eciso ins an e en que se acaba de
comple a un se icio (se ansmi e una célula), que ha dejado el sis ema en es ado
(a,
e,
c), y sea , con i < a, el iempo que aún debe espe a en cola el clien e TR que
iene delan e i
—
1 clien es TR. Ob iamen e, si z < M
—
1:
^ Xj sii<cóc = b = 0
u^ c
= ' (5.26)
Y^Xj si i>c>l
siendo Xj la du ación de un iempo de se icio. Aho a bien, si ^ > M, el iempo
de espe a de es e clien e no se e á a ec ado po los nue os clien es TR que lleguen
a pa i de aho a, pe o sí pod ía e se a ec ado po los clien es TNR que llegasen a
pa i de es e momen o. En e ec o, exis e la posibilidad de que du an e el iempo
que a de nues o clien e TR en llega al bu e compa ido, en i ud de la polí ica
de ges ión empleada puedan accede a es e bu e clien es TNR que llega on después
que él, pe o que encon a on ninguna o poca cola en su bu e especí ico y pudie on
en a p on o en el bu e compa ido. Podemos es ablece en onces las siguien es
elaciones de ecu encia pa a el iempo de espe a de nues o clien e TR:
• Si c = 0:
/• X + a;¿_i,o,o con p ob. 3
u^m = I X + u;¿_ij,M-i con p ob.
(3^^^,
0<j<N (5.27)
X + a;¿_i,7 ,M-i con p ob. /?^^i
donde X es la du ación de un iempo de se icio y /?^ es la p obabilidad de que
du an e un iempo de se icio lleguen al sis ema k clien es TNR. Po su pa e,
Pl.es la p obabilidad de que du an e un se icio Uegnaen k ó más clien es TNR.
• Sic= 1:
86 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
í^iOl
= <
X +
«^¿,0,0
con p ob. /?o
^i,3,M
con p ob.
/^^-^j,
Q
< j < N
X + uji,N-i,M con p ob. ^^
(5.28)
OJibl = x + u}i.b-i+j,M con p ob. (3^,0 < j < N
—
b,0 < b < N
X + Ui_ij^M-i con p ob.
P''i^._^
(5.29)
<^ií,JV,l ~ X + LüK,N-l,M (5.30)
• Si 1< c < M:
X + a;¿_i, +^-c-i con p ob. ¡3,¡,0 < j < N - b,0 < b < N
(^ibc
= < ^ (5.31)
A^ + c<;¿_i,i ,c-i con p ob. /?- _6
í^i.Mc
— A + Ci;,:_i j ,c-i (5.32)
De es as ecuaciones de pueden ob ene se las siguien es elaciones de ecu encia
pa a los iempos medios de espe a:
• Sii < M-1:
E
[uJibc]
= {i - l)E[X] si. i<cóc = b = 0
iE[X] sii>c>l (5.33)
Tiempos de espe a. 87
•
Sii>M:
N-l
E[U;ÍOO = E[X]+(3oE[u;i_i^o,o] + E /?J+I£^[C^¿-IJ.M-I] +/5^+IÍ^N-I,JV,M-I]
i=o
E[Lüm] = E[X] +
PoE['^ ,o,o]
+ ¿ PJ+,E[LÜ,J_M] +
/3*j,E[u,,N_ ^M]
E[UJM]
= E[X] + ¿ p^E[cüi,b-i.M] + P*N-bE[uJi,N-i,M] conO <b<N
E[uim] = E[X] + E
E[ujibc]
= E[X] + ¿ pjE[uJi_,,b+j.c-i] + 3N-bE[u)i-i,N,c-i] conO <b<N
E[Lüim] = E[X] + E
(5.34)
Las ecuaciones (5.34) jun o con los alo es iniciales dados po (5.33) pe mi en
ob ene ecu si amen e las espe anzas E[ujijk] pa a odos los es ados {i,j, k) posibles.
La esolución de es as ecuaciones se á más o menos di ícil en unción de cuál sea la
unción de dis ibución de p obabilidad del iempo de se icio. En el caso pa icula
de iempo de se icio de e minis a de du ación D se iene:
E[X]^D , /9, =
e-^-^í^
, /?* = l_ge-^-^í^ (5.35)
Aho a bien, las espe anzas ob enidas en (5.34) co esponden a los iempos
medios de espe a en cola medidos a pa i del momen o en que e mina un se icio.
El iempo de espe a global de un clien e TR que a su llegada encuen a el sis ema en
es ado (a, b, c) es:
• Si a < M- 1:
W,
XRES + '^^XÍ slc = b = 0
abe
1=1
XRES +Y^Xi si c> 1 (5.36)
¿=1
donde X^^s es el iempo de se icio esidual que al a pa a que e mine el
se icio del clien e que ocupa la cabece a de la cola compa ida a la llegada del
clien e TR.
Dimensionamien o óp imo
de un
sis ema
de
colas
•
Si
a > M - 1:
Si du an e
el
iempo
de
se icio esidual
del
clien e
que
ocupa
la
cabece a
de
la
cola llegan nue os clien es
TR,
és os
no
a ec an
al
iempo
de
espe a
del
clien e
TR
que
acaba
de
llega .
Sin
emba go,
po
la
misma azón señalada
más
a iba,
sí
que
a ec an
los
clien es
TNR que
lleguen du an e es e iempo.
Si
llamamos
ak
a la
p obabilidad
de
que
du an e
el
iempo
de
se icio esidual pos e io
a
la llegada
del
clien e
TR
lleguen
k
clien es
TNR,
y a la
p obabilidad
de que
lleguen
k ó
más,
enemos:
Wabc
= <
XRES
+ ^a-l,j,M
XRES
+ í^a-l,N,M
^RES
+
í^a-1,0,0
XRES
+ ^a,j,M
XRES
+ l^a,N- ,M
XRES
+ í^a,b+j-l,M
XRES
+
<^a,N,M
con p ob. a^+i,0
< j < N
con p ob.
a*j^_^-^
con p ob.
ao
con p ob. c j+i,
O
< j <
A^
—
2
con p ob.
a*¡^
con p ob.
aj,0 < j < N
—
b
con p ob.
cx*j^¡_^
XRES
+
üJa-i,b+j,c-i
con
p ob.
a^,O
< j < N
XRES
+
^a-i,N,c~i
con
p ob.
a^_b
XRES
+
^a-1,0,0
con
p ob.
«o
{b
=
{b
=
(c
=
(c
=
(c
=
(c
=
(c
=
(c
>
(c
>
{b
=
c
c
1,
1,
1,
1,
1,
1)
1)
c
=
0)
=
0)
6
=
0)
6
=
0)
6
=
0)
6>0)
6>0)
=
0)
(5.37)
De modo simila
a
como hicimos an e io men e paxa
las
a;¿j c, podemos aho a
halla
a
pa i
de
(5.37)
el
iempo medio
de
espe a
en
cola pa a
un
clien e
TR
que
a
Tiempos
de
espe a.
89
SU llegada encuen a
el
sis ema
en el
es ado
(a,
b,
c):
N
E[Wam]
=
E[XRES]
+
O¡0-E[a;a-I,0,o]
+ E
aj+iE[cüa-l,j,M]
+
Ol*^+iE[íJa-l,N,M]
j=Q
N
E[WaOl
=
E[XRES]
+
aoE[u;a,Q,o]
+ E
«i+l£^[^aj,M]
+
«Wl-^
[^a,N,M
N-b
E[Waba]
=
E[XRES]
+ E
ajE[Ua.b+j-l,M]
+
a*p -bE[uJa,N,M]^
COn
O < b < N
N-b
E[Waba]
=
E[XRES]
+ E
«,-£^[^a-l, e+i-l,c-l]
+
a%_i,EK-l,N,c-l],
COU
O
< b < N,
C
> 1
(5.38)
Es as espe anzas pueden calcula se ecu si amen e u ilizando como alo es
iniciales
las
espe anzas
que se
ob ienen di ec amen e
de
(5.36):
E[W,oo]
=
E[XREs]
+
{a-l)E[X]
,1 < a < M - 1
(5.39)
E[Wabc]
= E[XRES] + aE[X] c > 1
y
la
condición ob ia: ií W^ooo]
= 0.
Como
ya
ocu ió
con las
E[ujijk],
la
ob ención
de las
espe anzas
en
(5.38)
depende
de la
di icul ad
de
cálculo
de las « c. En el
caso pa icula
de
se icio
de e minis a
de
du ación
D
puede p oba se
que:
Jo
k D XMD
-x.(D- ){MD- ))'l,^
_ _1 , ^-,,D s^
{XNDY
.^0
.
(5.40)
En es e caso, además
E[XRES] — D/2.
De es a o ma, es amos
ya en
condiciones
de
pode calcula
el
iempo medio
de espe a
de un
clien e
TR
a bi a io. Simplemen e condicionando
po el
es ado
del
sis ema
a la
llegada
de
es e clien e enemos:
EW^] = Y,
ElWahcUa^c
(5.41)
(a,b,c)
El alo
de
es a espe anza
se
calcula haciendo
uso de
(5.38)
y
(5.39),
con las
p obabilidades es aciona ias halladas
en
(5.13,5.14,5.15)
y
(5.16).
96 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
P obabilidad de Pé dida TNR
M
mul 1 0.10 0.95 N = 2
P obabilidad de Pé dida TR
a -^ _
Q.
M
mul 1 0.10 0.95 N = 2
ce
I-
Tiempo Medio de Espe a TNR
E - -
Q@ooooooooo<
— -
10
-1 T"
15 20
M
25 —
30
mul 1 0.10 0,95 N = 2
Tiempo Medio de Espe a TR
10 15
M
20 25 30
mul 1 0.10 0.95 N = 2
Figu a 4 Caso N = 2. P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e a
la suma de los amaños de los bu e s M y R. (Neg o N = 1, Rojo N = 2, Ve de N = 3,
Azul A^ = 4, Celes e TV = 5, e c.)
Análisis de los esul ados 97
P obabilidad de Pé dida TNR
•Oí
a.
o o§g§88§88888889«@§0§§oooooooo(
10 15
M
I
20
I
25 30
mul 1 0.10 0.95 N
P obabilidad de Pé dida TR
ce
I-
(D T- _
O.
0) -^ _
M
mul 1 0.10 0.95 N = 4
Tiempo Medio de Espe a TNR
E ^ -
M
mul 1 0 10 0.95 N = 4
Tiempo Medio de Espe a TR
E
0)
í88^
CX5CX300
OOOOOO
„°ooooo
°ooooo
OC3000
oooo
ooo
OO
o
10 15
M
20 25
"T"
30
mul 1 0.10 0.95 N = 4
Figu a 5 Caso A'^ = 4. P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e a
la suma de los amaños de los bu e s M y R. (Neg o A^ = 1, Rojo N = 2, Ve de N = 3,
Azul N = A, Celes e A^ = 5, e c.)
98 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
ce
z
P obabilidad de Pé dida TNR
5 - OOOOOOOOOOOOCXJOOOOOOOOOOOCXDOOC
10 15
M
20 25
T
30
mul 1 0.10 0.95 N = 8
o:
z
Tiempo IVIedio de Espe a TNR
PSg®Í§8^^^
10 15
M
20 25
mul 1 0.10 0.95 N = 8
30
•0)
P obabilidad de Pé dida TR
M
mul 1 0.10 0.95 N = 8
Tiempo IVIedio de Espe a TR
D- T- —
o" obSooc
OOCXDC»
OOOOOO
Oooooo
"OOOOO
°CIO0O
oooo
ooo
oo
o
10 15
M
20 26 30
mul 1 0.10 0.95 N = 8
Figu a 6 Caso N = 8. P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e a
la suma de los amaños de los bu e s M y R. (Neg o A^ = 1, Rojo N = 2, Ve de N = 3,
Azul iV = 4, Celes e iV = 5, e c.)
Análisis de los esul ados 99
De es a o ma, obse amos que, en es as condiciones, el diseño óp imo del
sis ema consis e en:
• Un bu e compa ido de amaño educido, que aco a ía los iempos de espe a
de los clien es TNR, a la ez que no causa ía g an impac o en los iempos de
espe a de los TR, ya que los TNR llegan con una asa ela i a muy baja.
• Un bu e especí ico pa a los clien es TR con un amaño R ajus ado de al
mane a que el iempo de espe a de es os clien es no sea excesi o, a la ez que las
pé didas que necesa iamen e se p oducen no supe en el umb al p eespeci icado.
• Un bu e especí ico pa a los clien es TNR que ga an ice que las pé didas pa a
es a ca ego ía se án educidas; dado que es amos en condiciones en las que Xi ¡
es pequeño, dicho bu e pod á ene un amaño N no demasiado g ande.
Las exp esiones ob enidas en es e capí ulo pa a p obabilidades de pé dida y
iempos medios de espe a pe mi en de e mina exac amen e los alo es M, N, y R
que cumplan los equisi os especi icados.
5.7.2 Caso 2: XR « XN, p = 0.95
Aho a nos encon amos an e un sis ema en el que la asa de llegadas dominan e
co esponde al á ico TNR, como ocu e en edes o ien adas undamen almen e a
la ansmisión de da os y que pueden emplea se de modo más o menos espo ádico
pa a la ansmisión de oz o ideo. Asimismo hemos conside ado una in ensidad
de á ico ele ada (0.95) lo que, al igual que en el caso an e io , nos indica que el
sis ema se encuen a ca gado, con un se ido cuya elocidad de se icio se equipa a
p ác icamen e a la elocidad con que llegan los clien es, que en su mayo pa e son
de clase TNR. Po ello podemos espe a que se poduzcan colas la gas de clien es
TNR, lo que signi ica que pa a e i a pé didas en es a ca ego ía debe emos con a
con un bu e especí ico pa a es e á ico con un amaño A^ holgado, aún a cos a de
inc emen a los iempos de espe a pa a es a clase de clien es.
100 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
De nues o análisis de los esul ados numé icos ob enidos con el modelo, que
se mues an en la igu a 7, podemos obse a que la asa de pé didas en el á ico
TNR depende sólo de N y es bas an e insensible al amaño del bu e compa ido M,
y al amaño del bu e R de los clien es TR. No obs an e, obse amos que el iempo
de espe a de los clien es TR (que, eco demos, nos in e esa que sea educido), sí que
se inc emen a con TV, sob e odo si el amaño del bu l'e compa ido es pequeño. Es o
es ácil de en ende , ya que al se muy ele ada la asa de llegadas de clien es TNR,
en el bu e compa ido hab á casi siemp e un clien e TNR espe ando se a endido.
Si nos si uamos en el caso ex emo de que uese M = 2, ello sign ica ía que la cola
de clien es TR se o ma ía en su bu e especí ico y cada clien e TR que accedie a al
bu e compa ido debe ía espe a casi siemp e po un clien e TNR. Ello e mina ía
dando luga a iempos de espe a inacep ables pa a el á ico TR.
Po an o, el diseño óp imo de es e sis ema se ía el siguien e:
• Un bu e compa ido con un amaño M adecuado a la asa de llegadas (que
es baja) de los clien es TR y que ga an ice que sus iempos de espe a no sean
ele ados.
• Un bu e especí ico pa a los clien es TR que no debe se demasiado g ande
ya que con su baja asa de llegadas pod ían cabe casi siemp e en el bu e
compa ido; esa baja asa de llegadas, a su ez, ga an iza que las pé didas no
se án ele adas.
• Un bu e especí ico pa a los clien es TNR que sí que debe ene el amaño
su icien e pa a que puedan espe a sin que se p oduzcan pé didas signi ica i as.
Al igual que en el caso an e io , las exp esiones ob enidas en es e capí ulo
pa a p obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a pe mi en de e mina
exac amen e los alo es M, N, y R que cumplan los equisi os especi icados.
Análisis
de los
esul ados
101
P obabilidad
de
Pé dida
TNR
a.
o
ce
2
ni '- —
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOCXDOOC
OOOOCX3CXD(X>OOOOOOOOOCXX)03C»CX5C
OOOOCK30OO0OOO0OOO0OOCX5OO0OOOC
CXDCX30OOO0OOOO0OO0OOCXX>0OOOCX3<
0O000000CX30O00000000OO0O0OOOC
ooooooooooooooooooooooooooooc
I
QQQQQQQQQQQQQQQQQQPQQQQPQPQQC
1
0
1
5
1 1
10 15
M + R
mul
1
50.00
1
20
0.95
1
25
1
30
LU
Tiempo lUledlo
de
Espe a
TNR
CX)0O<X)<X)CX30OOOO0OCX5CXX5CX3CIOCX)C
CX>OO0OOO0O000CX)00CX3000CX)CXD00C
0O0OOOOO0O0OO0OCX)000OOCX)0O<X)C
ooooooooooooooooooooooooooooc
ooooooooooooooooooooooooooooc
CX3CX300COCOCXX)CX3CX)CX3COOCX500CX3C
CX5CX)(X>OOOOOOOOOOOCX3CXX5CX3CX5C»C
CX>OOCX)CX3000CX)CX>CX3CX3CXX3CX3CX3C»C
T"
10 — -
15 20 25 30
M + R
mul
1
50.00
0.95
P obabilidad
de
Pé dida
TR
Tiempo Medio
de
Espe a
TR
1-
(0
•o
•O)
Q.
0)
•o
"D
;o
co
JD
n
•^
o
o
—
o
o
o
—
o
—
o
o
o
o
o
O
O
O
O
O
o d
W00000000CXX5000000CXX)000000<
1 1 1 1 1 1 1
0 5 10 15 20 25 30
M + R
mul
1
50.00
0.95
OCXJCXDCXDCXD
CX)OO<X)OO0O
OOOOCX5CX30OCX3OCX>CX3C»CXX5CX>CX)C»C
CX>CX)CX3CX3CX>CXX>CX3CX300CXX5CX)CX>OOC
OOOO0OOOCXI0OOOOCX3OOCXX3CX3CX3CXIC
CX3OOCX)C»C»0OOCX>OOCX>CXX5<X3CXDC»C
1 1 1 1 1 1
o 5 10 15 20 25 30
M + R
mul
1
50.00
0.95
Figu a
7
P obabilidades
de
pé dida
y
iempos medios
de
espe a en e
a la
suma
de los
amaños
de los
bu e s
M y R.
102 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
5.1.3 Caso 3: XR ^X^, p = 0.95
Analizamos aho a algunos caso en que las asas A^ y XM son compa ables,
siendo ambién aho a al a la in ensidad de á ico, del o den del 95%. Hemos
conside ado el caso
XN
=
O-^XR
( igu a 8) y X^ = 2XR ( igu a 9). Puede ap ecia se que
en los dos casos el compo amien o del sis ema es simila . La p obabilidad de pé dida
de los clien es TNR disminuye a medida que aumen a N. Asimismo, cualquie a que
sea el alo de N, las asas de pé dida más bajas pa a es a clase de clien es se alcanzan
cuando el amaño M + i? es pequeño, si bien a pa i de un cie o alo de M + i? en
adelan e es as asas se es abilizan. El iempo medio de espe a pa a los clien es TNR
aumen a con N y con M + i?, y al igual que en el caso an e io , a pa i de cie o
alo de M + i? en adelan e es e iempo se es abiliza. Po an o, el mejo endimien o
o ecido po el sis ema pa a los clien es TNR se alcanza pa a alo es de A^ g andes y
alo es de M + i? pequeños.
En cuan o a los clien es TR, puede ap ecia se ambién que los meno es iempos
medios de espe a co esponden a alo es M + R pequeños, si bien a dichos alo es
co esponden ambién asas de pé dida al as. Inc emen a lige amen e el alo de
M + R edunda en un ápido dec ecimien o de la asa de pé didas de es e á ico a
cos a de cie a alen ización en sus iempos de espe a. Puede obse a se que cuando
se inc emen a M + R, los iempos de espe a más co os pa a el á ico TR se ob ienen
pa a los alo es de N más pequeños.
Pa a e alua el e ec o po sepa ado de M y i?, obse emos las igu as 10, 11,
12;
odos ellos ob enidos pa a N = 10, ep esen ando M en abcisas y u ilizando un
colo dis in o pa a cada alo de R:
En lo que se e ie e al á ico TNR, emos que an o las p obabilidades de
pé dida como los iempos medios de espe a son c ecien es an o con M como con
R;
pa a cada M ijo las pé didas y iempos de espe a c ecen con R; pa a cada R
ijo dichas a iables c ecen con M. Como puede obse a se se alcanza una endencia
asin ó ica ela i amen e p on o; a pa i de cie os alo es
MQ
y Ro (que dependen
Análisis de los esul ados 103
Q.
P obabilidad
de
Pé dida
TNR
-Q00000OOCX3OO'
OOOCXDOOOO
O
QQOOOOOOOOOOOOOOOOOOC
O°OO°QOO2SOOOOOOOO§8OOOO§§§OC
10
1
20
25
30
M + R
mul
1 0.50 0.95
a:
2
H
LU
Tiempo IVIedio
de
Espe a
TNR
|g8888S:
,oooooO(
lOOOOCXJl
1°.
«000000 ooooooc
aooooooooooooi
Qeooooooocx)cx>c
oooooooooooc
g00000ocx>oocx>ooc
Oeooooooooo(x>oo<
1
0
1
5
1
1
10
15
M + R
mul
1 0.50
1
20
0.95
1
25
1
30
P obabilidad
de
Pé dida
TR
Tiempo IVIedio
de
Espe a
TR
O)
2
Q.
1
5
1
10
mul
1
15
M + R
1
0.50
1
20
0.95
1
25
30
LU
(U
^l^^^n aoOOOOOOOOC
m
lie 001
gegooooooooc
OOCXJCXJC
OOOOOOOCXDOOC
oooooooooooooc
3000O<XXDOO0O0O(
ySy@ooocx30oooocx}cx>ooc
1
1 1 1 1 1
o
5 10 15 20 25 30
M + R
mul
1 0.50 0.95
Figu a 8 Aj =
O.^XR.
P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e a
la suma de los amaños de los bu e s M y R.
104 Dimensionamien o óp imo de un sis ema de colas
P obabilidad de Pé dida TNR Tiempo IMedio de Espe a TNR
cu
z
•0)
O
oooooooooooooooooooooooocoooí
300O00000OCX)OOC»CX30OOC»OOOOC
QOOOOOOOOOOOCXDCXDOOOOOOOOOOOC
o
QOOOOOOOOOOOOCXDOOOCXJCXXXJCIOC
0°ROOOOOOOCXX)OOOOOOOOOOOOOOOC
o oOQOoooooooooooooooooooooc
cP uQixiOBBOOQQOOQOOOOFiOnOOO
— -
10 — -
15 20
I
25
30
M + R
mul 1 2.00 0.95
Q: O _
LU
o
"O o
o . ^
gQQgg0OCX30O0OOOOCX)CX30OC
Q8gQQQQ0O0OOO0OOOOOOCX>CX)(
l^oooo
^AOggoogoooooocxjcooooooooc
^QggggggggOOOOOOCXSOCIOCIOCXSOOC
^2§§§§§§§§CXDCX30O0OOOO0O0OOO<
„8oooooooo
°QnaaéaÉaegoooocx3oocxx}ooooooc
DO0OO0OC«O0O000O(
1
0
1
5
1 1 1
10 15 20
M + R
mul 1 2 00 0.95
1
25 30
P obabilidad de Pé dida TR Tiempo Medio de Espe a TR
í
(U
-a
•n
-c3
(U
CM
d
~
CO
O
_
0
8
o
o
o
°l
— o _
Í^s@
SS0OOOOCIOCX3CX3OOOOOOOOOC
10 15 20 25 30
(-
o
o.
E
a>
i-
O0CX3000OO0O0OCX3C
OOOOCXDOOOOOOOOOÍ
OOOOOOCXX30OOOOO<
10 15 20 25
"T
30
M + R
mul 1 2.00 0.95 M + R
mul 1 2.00 o 95
Figu a 9 Aj =
2Xji.
P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e a la
suma de los amaños de los bu e s M y R.
Análisis de los esul ados 105
P obabilidad de Pé dida TNR Tiempo IVIedio de Espe a TNR
o:
z
Oí
z
E - -
10
I
15
I
20 25 —
30
M
mul 1 0.50 O 95 N = 10 M
mul 1 0.50 O 95 N = 10
P obabilidad de Pé dida TR Tiempo Medio de Espe a TR
í
Q.
<u
I
M
mul 1 0.50 0.95 N = 10 M
mul 1 0.50 0.95 N = 10
Figu a 10 P obabilidades de pé dida y iempos medios de espe a en e M.
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