A aprendizagem de funções por alunos do 11.º ano através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica
Abstract
O presente estudo incide sobre a aprendizagem de funções através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica numa turma de Matemática A do 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias. Este estudo teve como principal objetivo compreender o papel da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de funções. Para concretizar este objetivo, estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Que dimensões da escrita matemática emergem nas resoluções dos alunos nas tarefas propostas com recurso à calculadora gráfica (2) Que dificuldades revelam os alunos na aprendizagem de funções? E que dificuldades revelam na escrita matemática? (3) Que perceções têm os alunos sobre a produção da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de funções? Para se responder às questões propostas, recorreu-se a distintos instrumentos de recolha de dados, nomeadamente: dois questionários, um no início e outro no fim da intervenção; observação das atividades dos alunos, através, para além da efetuada no contexto de sala de aula, de gravações de aulas em vídeo; e análise documental, onde se incluem os documentos recolhidos que traduzem a resolução das tarefas propostas realizadas em grupo, planos de aula e questões colocadas no final das aulas. A informação proveniente destes instrumentos de recolha de dados seguindo as dimensões da comunicação escrita – clareza, fundamentação, lógica e profundidade –, identificadas no enquadramento teórico. Os resultados obtidos permitem concluir que as dimensões onde os alunos se destacaram foram na clareza e na fundamentação, justificando devidamente os seus raciocínios e recorrendo às representações adequadas. Nas restantes duas dimensões não houve tanto destaque uma vez que os alunos, na sua maioria, se enquadravam nos níveis médios, sendo possível avistar alguns no nível elevado. Relativamente às dificuldades manifestadas pelos alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, estas surgem na escolha da janela de visualização adequada ao contexto do problema, na associação das variáveis dos eixos cartesianos com a sua contextualização do problema e no conhecimento de todas as potencialidades da calculadora gráfica. Em relação às dificuldades sentidas na aprendizagens de funções, estas foram encontradas nas interpretações dos gráficos de funções e nas conversões das diferentes representações das funções. Quanto às perceções dos alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, parte dos alunos afirma que teve dificuldades em transcrever para o papel a informação retirada da calculadora. Grande parte assume que quer a escrita matemática quer a calculadora gráfica os ajudou a organizar os seus raciocínios e contribuiu de forma positiva para a sua aprendizagem sobre tópicos de funções.
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Universidade do Minho Instituto de Educação João Filipe Martins da Silva A aprendizagem de funções por alunos do 11.º ano através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica outubro de 2022
Universidade do Minho Instituto de Educação João Filipe Martins da Silva A aprendizagem de funções por alunos do 11.º ano através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica Relatório de Estágio Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Trabalho realizado sob a orientação: Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu Outubro de 2022
ii Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do RepositóriUM da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição-NãoComercial-SemDerivações CC BY-NC-ND https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
iii AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar, quero agradecer a toda a minha família, em particular aos meus pais e à minha irmã pelo apoio, força e paciência incondicionais prestados ao longo de toda a minha formação académica. Ao meu orientador, Doutor Floriano Augusto Veiga Viseu, pela sua disponibilidade, dedicação, sugestões e críticas durante a realização deste relatório e ao longo de todo o ano letivo. À Professora Ana Paula Mourão, minha orientadora, por todos os conselhos que deu ao longo deste ano e por toda a partilha de experiências e conhecimento. Aos meus companheiros de mestrado, por todas as sugestões, pela partilha de vivências e pela paciência nos momentos mais críticos e mais exigentes do mestrado. Em particular, à minha companheira de estágio, Flávia Pereira, por todo o apoio dado durante este período. Ao melhor que esta Academia me trouxe, aos meus colegas de licenciatura e aos demais alunos desta Academia, por todos os momentos partilhados ao longo destes anos, por todas as lágrimas, por todos os sorrisos, por todos os momentos de carinho e por todos os momentos de discórdia. Em especial, à “Bibs”, à “Preta”, à Ramos, à Mary, à “Nacional”, ao Moura, ao “Colombo”, ao Taylor e à “Barbie”. Aos meus amigos de escola, por me fazerem crescer enquanto adolescente, adulto e ser humano, por estarem sempre comigo desde cedo e por todo o carinho e apoio. Em especial, à Flávia, ao “Chinês”, ao João Paulo e à Vânia que me acompanham há mais de 13 anos onde estiveram sempre presentes nos momentos cruciais e me levantaram, sempre, quando caía. À minha namorada, Atília, pela força transmitida, pela paciência e pelo amor demonstrado em todo o caminho que já percorremos. Obrigado por não me deixares desistir nos momentos de desânimo e por teres sempre uma palavra de conforto nas alturas mais difíceis. E, também, a toda a sua família por toda a força dada ao longo desta jornada. Se cheguei onde estou hoje, foi sem dúvida por todos vocês. A todos vocês, do fundo do meu coração, Obrigado.
iv Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho.
v A aprendizagem de funções por alunos do 11º ano através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica RESUMO O presente estudo incide sobre a aprendizagem de funções através da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica numa turma de Matemática A do 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias. Este estudo teve como principal objetivo compreender o papel da calculadora gráfica na promoção da escrita matemática na aprendizagem de funções. Para concretizar este objetivo, estabeleceram-se as seguintes questões de investigação: (1) Que dimensões da escrita matemática emergem nas resoluções dos alunos nas tarefas propostas com recurso à calculadora gráfica (2) Que dificuldades revelam os alunos na aprendizagem de funções? E que dificuldades revelam na escrita matemática? (3) Que perceções têm os alunos sobre a produção da escrita matemática com recurso à calculadora gráfica na aprendizagem de funções? Para se responder às questões propostas, recorreu-se a distintos instrumentos de recolha de dados, nomeadamente: dois questionários, um no início e outro no fim da intervenção; observação das atividades dos alunos, através, para além da efetuada no contexto de sala de aula, de gravações de aulas em vídeo; e análise documental, onde se incluem os documentos recolhidos que traduzem a resolução das tarefas propostas realizadas em grupo, planos de aula e questões colocadas no final das aulas. A informação proveniente destes instrumentos de recolha de dados seguindo as dimensões da comunicação escrita – clareza , fundamentação , lógica e profundidade –, identificadas no enquadramento teórico. Os resultados obtidos permitem concluir que as dimensões onde os alunos se destacaram foram na clareza e na fundamentação , justificando devidamente os seus raciocínios e recorrendo às representações adequadas. Nas restantes duas dimensões não houve tanto destaque uma vez que os alunos, na sua maioria, se enquadravam nos níveis médios, sendo possível avistar alguns no nível elevado. Relativamente às dificuldades manifestadas pelos alunos na escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, estas surgem na escolha da janela de visualização adequada ao contexto do problema, na associação das variáveis dos eixos cartesianos com a sua contextualização do problema e no conhecimento de todas as potencialidades da calculadora gráfica. Em relação às dificuldades sentidas na aprendizagens de funções, estas foram encontradas nas interpretações dos gráficos de funções e nas conversões das diferentes representações das funções. Quanto às perceções dos alunos sobre a escrita matemática com recurso à calculadora gráfica, parte dos alunos afirma que teve dificuldades em transcrever para o papel a informação retirada da calculadora. Grande parte assume que quer a escrita matemática quer a calculadora gráfica os ajudou a organizar os seus raciocínios e contribuiu de forma positiva para a sua aprendizagem sobre tópicos de funções. Palavras-chave: Calculadora gráfica; comunicação escrita; funções racionais.
vi The learning of functions by 11th grade students through mathematical writing using the graphing calculator ABSTRACT The present study focuses on the learning of functions through mathematical writing using a graphing calculator in a Mathematics A class in the 11th year of the Science and Technology course. The main objective of this study was to understand the role of the graphing calculator in promoting mathematical writing in learning functions. To achieve this goal, the following research questions were established: (1) What dimensions of mathematical writing emerge in the students’ resolutions in the tasks proposed using the graphing calculator (2) What difficulties do students reveal in learning functions? And what difficulties do they reveal in mathematical writing? (3) What perceptions do students have about the production of mathematical writing using a graphing calculator when learning functions? In order to answer the proposed questions, different data collection instruments were used, namely: two questionnaires, one at the beginning and the other at the end of the intervention; observation of the students’ activities, through, in addition to those carried out in the classroom context, video recordings of classes; and document analysis, which includes the documents collected that translate the resolution of the proposed tasks carried out in groups, lesson plans and questions asked at the end of classes. The information from these data collection instruments follows the dimensions of written communication – clarity, reasoning, logic and depth – identified in the theoretical framework. The results obtained allow us to conclude that the dimensions in which the students stood out were in terms of clarity and reasoning, duly justifying their reasoning and using appropriate representations. In the remaining two dimensions, there was not much emphasis since the students, for the most part, were in the medium levels, being possible to see some in the high level. Regarding the difficulties shown by students in writing mathematics using a graphing calculator, these arise in choosing the appropriate viewing window for the context of the problem, in associating the variables of the cartesian axes with the contextualization of the problem and in the knowledge of all the potentialities of the graphing calculator. Regarding the difficulties felt in learning functions, these were found in the interpretations of the function graphs and in the conversions of the different representations of the functions. As for the students’ perceptions of mathematical writing using the graphing calculator, some of the students stated that they had difficulties in transcribing the information taken from the calculator onto paper. Most assume that both mathematical writing and graphing calculators helped them organize their thinking and contributed positively to their learning about function topics. Keywords: Graphing calculator; written communication; rational functions
vii ÍNDICE DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS ....................... ii AGRADECIMENTOS ....................................................................................................................... iii DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE ..................................................................................................... iv RESUMO ........................................................................................................................................ v ABSTRACT .................................................................................................................................... vi ÍNDICE ........................................................................................................................................ vii ÍNDICE DE TABELAS ...................................................................................................................... ix ÍNDICE DE FIGURAS ....................................................................................................................... x ÍNDICE DE QUADROS .................................................................................................................... xi CAPÍTULO 1 .................................................................................................................................. 1 INTRODUÇÃO ............................................................................................................................... 1 1.1. Tema, objetivo e questões de estudo.................................................................................... 1 1.2. Pertinência do estudo ......................................................................................................... 2 1.3. Estrutura do relatório .......................................................................................................... 4 CAPÍTULO 2 .................................................................................................................................. 5 ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ................................................................................. 5 2.1. Enquadramento Contextual ................................................................................................. 5 2.1.1. Caracterização da Escola ................................................................................................. 5 2.1.2. Caracterização da Turma................................................................................................. 6 2.2. Enquadramento Teórico .................................................................................................... 11 2.2.1. Comunicação Matemática ............................................................................................. 11 2.2.1.1. Comunicação em Matemática ................................................................................ 11 2.2.1.2. Comunicação Escrita ............................................................................................. 13 2.2.2. Calculadora Gráfica ....................................................................................................... 17 2.2.2.1. A calculadora gráfica no ensino da matemática........................................................ 17 2.2.2.2. A calculadora gráfica no ensino de funções ............................................................. 19 2.2.2.3. Potencialidades e constrangimentos da calculadora gráfica ...................................... 20
3 o conhecimento e a compreensão de tópicos matemáticos e ajuda a aprender e a conservar os conteúdos lecionados na sala de aula. Como referido anteriormente, comunicar com clareza faz parte de uma das áreas de competência dos alunos, então, a comunicação escrita tem como objetivo o registo do processo de resolução usado nas tarefas e fazer a ponte de comunicação com outra pessoa, que seja um outro aluno ou um professor (Ball, 2003). Ao escreverem, os alunos conseguem explorar e refletir sobre as suas ideias/pensamentos e através do que produzem desenvolvem determinadas áreas cognitivas como o pensamento critico, raciocínio lógico, resolução de problemas e argumentação (Feuehrer, 2009). A utilização da calculadora gráfica como material de apoio é uma mais-valia para os alunos, porque ao visualizarem, interpretar e dar sentido aos resultados obtidos estruturam e desenvolvem o seu raciocínio através das justificações que elaboram. Comunicar claramente o raciocínio matemático é uma aptidão essencial (Ball, 2003). Burril (2008) defende que os alunos com uma calculadora gráfica são capazes de explorar e aprofundar os conceitos matemáticos, conseguindo, assim, estabelecer ligações entre as várias representações. A comunicação escrita e a utilização da calculadora gráfica apoiam-se mutuamente. O NCTM (2007) defende que à “medida que os alunos criam e analisam números ou objetos na sua calculadora ou no ecrã do computador, ficam com uma referência comum (que muitas vezes, pode ser facilmente alterada) para as discussões de ideias matemáticas” (p. 66). O tema ‘Funções’, a partir do 7.º ano de escolaridade, predomina no percurso escolar dos alunos, sendo que é essencial que eles aumentem gradualmente o seu conhecimento sobre o tema e que tenham oportunidade de, progressivamente, aprofundar as experiências anteriores (NCTM, 2007). A gradual inclusão da calculadora gráfica no estudo deste tema ajuda o desenvolvimento e a dinâmica com que este tema é trabalhado, pois com as suas potencialidades os alunos conseguem visualizar o efeito da mudança de parâmetros, no gráfico de uma função, contribui para o desenvolvimento da capacidade dos alunos olharem para a matemática de uma forma dinâmica, para seu entendimento conceptual da álgebra como meio de representação e para o desenvolvimento da capacidade de estabelecerem conexões entre a expressão analítica e a representação gráfica de uma função. (Almeida & Oliveira, 2009, p. 112) A conexão entre diferentes representações faz emergir a relevância da comunicação escrita por parte dos alunos, que na dinamização das atividades de aprendizagem é essencial para os docentes conseguirem acompanhar os seus progressos e as suas dificuldades (Fernandes, 2005).
4 1.3. Estrutura do relatório Este relatório de estágio está organizado em quatro capítulos. No primeiro capítulo encontra-se a ‘Introdução’, que integra o tema, o objetivo e as questões de investigação que orientaram a prática pedagógica, a pertinência deste estudo e a estrutura do relatório. O segundo capítulo é dedicado ao ‘Enquadramento Contextual e Teórico’. Nele é realizado uma caracterização da escola e da turma onde se realizou a intervenção pedagógica, é também apresentado a fundamentação teórica deste relatório, as metodologias de ensino delineadas e as estratégias de avaliação da intervenção pedagógica. Na fundamentação teórica deste relatório é referido um conjunto de ideias sobre a comunicação no ensino da matemática, a comunicação escrita, a calculadora gráfica e as funções. Por fim, na última secção deste capítulo, são definidas as estratégias de investigação e avaliação da ação. No terceiro capítulo encontra-se a ‘Intervenção’, onde é apresentado e analisado o processo da intervenção pedagógica, dividido em três secções. Na primeira secção surge uma breve descrição dos tópicos lecionados na intervenção pedagógica. Posteriormente, são apresentados os dados recolhidos na intervenção pedagógica, centrados na escrita matemática dos alunos e na utilização da calculadora gráfica, nas suas resoluções. São analisadas as suas produções escritas e os diálogos ocorridos entre os alunos durante a realização das tarefas de grupo na sala de aula. Na última secção apresenta-se a avaliação da intervenção pedagógica. Por fim, no quarto capítulo, ‘Conclusões, Limitações e Recomendações’, são apresentadas e discutidas as principais conclusões do estudo, com intuito de responder às questões de investigação delineadas para este estudo, e apontam-se algumas limitações e recomendações para projetos futuros.
5 CAPÍTULO 2 ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO Este capítulo tem como objetivo descrever o contexto onde foi realizada a intervenção pedagógica, descrevendo a escola e a turma. Posteriormente, apresentar o enquadramento teórico que fundamenta a intervenção, esclarecendo as metodologias de ensino e aprendizagem utilizadas como também os métodos de recolha de dados. 2.1. Enquadramento Contextual Neste subcapítulo é feita uma caracterização da Escola e da Turma onde se realizou a minha intervenção pedagógica. 2.1.1. Caracterização da Escola A minha prática pedagógica supervisionada foi desenvolvida numa escola, que incorpora o 3.º Ciclo do Ensino Básico e o Ensino Secundário, do distrito e concelho de Braga, integrada num agrupamento com um total de 14 escolas, das quais 6 são jardins de infância, 6 EB1, 1 EB2/3 e uma secundária, contando com mais de 300 profissionais no papel de docentes e cerca de 100 profissionais no papel de não docentes. A escola onde realizei o estágio é sede do agrupamento de escolas e encontrase numa zona urbana, onde foram feitas obras há cerca de uns 10 anos. Trata-se de uma escola heterogénea no que diz respeito às características dos seus alunos, quer a nível social, económico e cultural, mas também no que diz respeito a alunos com necessidades especiais, que representam cerca de 4% da comunidade escolar, tendo assim como base os princípios orientadores da educação inclusiva. Seguindo o ideal de uma ‘uma escola para todos’, os serviços de ação social apoiam mais de 20% da comunidade escolar. Em relação à oferta formativa e educativa, a escola dispõe todos os cursos cientifico-humanísticos e ainda dispõe cinco cursos profissionais. A escola também tem para oferecer várias atividades extracurriculares aos alunos, tais como: Escola Promotora da Saúde, Desporto Escolar, Erasmus +, Olimpíadas da Matemática, Oficina e Clube da Matemática, entre outros.
6 Este agrupamento assume como missões ‘Mais escola’ e ‘Melhor escola’ desenvolvendo assim uma educação de qualidade para garantir o desenvolvimento pessoal e profissional, com o intuito de promover o sucesso, a equidade social e prevenir o abandono escolar. 2.1.2. Caracterização da Turma A turma onde realizei a minha prática pedagógica supervisionada é uma turma do 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias, que tem como disciplinas de opção Físico-Química A e Geometria Descritiva. Esta turma era composta por 26 alunos, sendo que 25 frequentavam as aulas de Matemática A, dos quais 3 eram raparigas e 22 eram rapazes. A média de idades dos alunos que frequentavam as aulas da disciplina era aproximadamente de 16,5 anos, embora houvesse na turma 3 alunos repetentes, onde ambas as retenções ocorreram no 11.º ano, e um aluno que vinha de outra escola. Uma vez que nem todos os alunos responderam ao questionário inicial, os dados a seguir representados têm como base as respostas de 22 alunos. A turma apresenta características de ser heterogénea, quer a nível comportamental quer a nível cognitivo, onde as notas a matemática do ano transato variam entre os 7 e os 19 valores, tendo como média aproximadamente 13 valores. Mais de 90% da turma pretende ingressar na universidade, havendo uma grande tendência para a área das engenharias. Acompanhando esta tendência mais de 90% dos alunos considera que a matemática é “Muito útil” ou “Bastante útil” para o seu futuro e cerca de 85% dos alunos admite que que “Gosta muito” ou “Adora” a disciplina. Tendo em conta que a procura de apoios fora da escola é cada vez maior, verifica-se que cerca de 59% da turma afirma que recebe estes apoios, sendo que a totalidade admite que recorre a explicações. Visto que a Matemática é uma disciplina que exige empenho e trabalho por parte dos alunos, a maior parte da turma (82%) classifica o seu empenho à disciplina entre as respostas de “Empenho” e “Muito empenho”. Relativamente ao trabalho por parte dos alunos, há quem considere que estuda entre uma a três horas (31%), outros que apontam que estudam entre três a cinco horas (31%) e há alunos que referem que estudam mais de cinco horas semanais (38%). Para entender melhor as atividades que a turma gostava de realizar nas aulas de matemática (Tabela 1) e perceber onde incidiam as suas dificuldades (Tabela 2), no questionário inicial, foram feitas perguntas relativas a estes tópicos aos alunos.
7 Tabela 1. Atividades que mais gostas de realizar nas aulas de matemática (𝑛 = 22) Atividades Frequência Resolver Problemas 17 Resolver Exercícios 15 Colaborar na elaboração de definições/propriedades/regras 3 Passar para o caderno o que a professora diz e faz 6 Discutir resoluções de problemas/exercícios 17 Resolver tarefas utilizando calculadora gráfica/ GeoGebra /outro tipo de material 6 Nesta questão os alunos tinham de escolher 3 opções, pelo que é notável uma tendência para a resolução de problemas/exercícios e para a discussão da resolução dos mesmos. Dado que os alunos da turma têm uma relação de proximidade entre eles muito grande, estas atividades permitem que os alunos interajam entre si e que troquem entre eles diferentes raciocínios. Tabela 2. Dificuldades na disciplina (𝑛 = 22) Dificuldades Frequência Efetuar cálculos algébricos 3 Interpretar gráficos 2 Interpretar enunciados 6 Recordar teoria aprendida em anos anteriores 14 Interligar conteúdos 6 Aplicar a teoria 7 Explorar a calculadora gráfica na resolução das tarefas 2 Manter-me concentrado(a) nas aulas 5 Manter-me concentrado(a) nos estudos 8 Expor o meu raciocínio de forma escrita 7 Nenhuma em específico 1 Tal como na questão anterior, os alunos podiam escolher mais que uma opção, sendo que a que mais emerge é a “Recordar teoria aprendida em anos anteriores”. Esta é uma resposta previsível, uma vez que, no geral, os alunos tendem a esquecer os conteúdos lecionados anteriormente até se ‘cruzarem’ novamente com eles. O item “Nenhuma em específico” foi adicionado por um aluno.
8 Outro item que também teve a devida atenção foi “Expor o meu raciocínio de forma escrita” uma vez que é o foco deste estudo, o que merece atenção para conseguir minimizar esta dificuldade nos alunos. Uma vez que a calculadora gráfica tem um papel fundamental no percurso dos alunos e na minha intervenção, no questionário inicial tive o cuidado de confirmar se todos os alunos tinham calculadora gráfica e de perceber que tipo de contacto é que os alunos têm com este material (Tabela 3). Tabela 3. Objetivo de utilização da calculadora gráfica (𝑛 = 22) Objetivo Frequência Confirmar respostas 14 Interpretar gráficos 8 Fazer gráficos 11 Fazer cálculos numéricos 16 Resolver tarefas que não são possíveis por processos analíticos 10 Apesar de “Fazer cálculos numéricos” ser o mais escolhido pelos alunos, os restantes itens não têm grande diferença entre si, o que leva a crer que os alunos têm uma noção de como trabalhar com a calculadora gráfica embora possam ter algumas lacunas no seu manuseamento. Dado que se trata de um artefacto importante para a sala de aula, os alunos foram questionados sobre os aspetos positivos e negativos da calculadora gráfica. Relativamente aos aspetos positivos, grande parte dos alunos aponta para a elaboração de cálculos mais complexos e para observação e analise de gráficos (Tabela 4). Tabela 4. Aspetos positivos da calculadora gráfica (𝑛 = 22) Aspetos positivos Frequência Simplificação de resultados 4 Elaboração de cálculos mais complexos 15 Redução no tempo de resolução das tarefas 5 Observação e analise de gráficos 14 Entender melhor os conteúdos lecionados 1 Confirmar respostas 7 Apoio na disciplina 1 Outros aspetos, tais como confirmar as respostas e simplificação de resultados, estão subjacentes aos aspetos mais escolhidos uma vez que a observação e análise de gráficos por vezes ajuda a confirmar
9 respostas de tarefas realizadas analiticamente. E a elaboração de cálculos ajudam a simplificar os resultados de uma expressão com possíveis arredondamentos. Quanto à redução das tarefas, é espectável que os alunos utilizem todas as funcionalidades deste artefacto quando assim o podem, como, por exemplo, para descobrir os zeros de funções polinomiais, descobrir determinados valores em funções pedidas, entre outros. A utilização da calculadora gráfica também traz aspetos negativos para grande parte dos alunos (Tabela 5) Tabela 5. Aspetos negativos da calculadora gráfica (𝑛=22) Aspetos negativos Frequência Diminuição da capacidade de calculo/raciocínio 6 Facilita as tarefas 2 Distração 2 Pouca diversidade de tarefas para a utilizar 1 Falta de pilhas 1 Cria dependência 3 Perder tempo 1 Difícil de manusear 2 Não tem 10 De notar que os alunos referem como aspeto negativo a diminuição da capacidade de cálculo/raciocínio e a dependência com que ficam da calculadora gráfica. Isto mostra que os alunos têm essa preocupação e sabem que não se podem focar só neste material durante o seu percurso escolar. Em suma, os alunos indiciam estarem aptos para trabalhar com a calculadora gráfica e conseguem perceber os seus prós e contras, o que faz com que na interação com eles no contacto deste material seja só para os ajudar em possíveis erros na sua utilização. Para saber o quão integrados estavam no campo da comunicação escrita, no questionário inicial encontram-se algumas questões com esse intuito. Nelas, 100% da turma confirmou que a comunicação escrita era importante para as suas aprendizagens de tópicos de matemática. Posto isto, os alunos tiveram de mencionar aspetos positivos e negativos nesta área de desenvolvimento. Relativamente aos aspetos positivos, grande parte dos alunos aponta para uma reflexão da matéria dada e para a explicitação dos raciocínios (Tabela 6).
10 Tabela 6. Aspetos positivos na comunicação escrita (𝑛 = 22) Aspetos positivos Frequência Melhorar a capacidade de comunicação 7 Melhorar o conhecimento a nível de escrita 3 Ajuda a refletir sobre a teoria dada 8 Explicita o nosso raciocínio na resolução das tarefas 8 Facilita a compreensão da simbologia matemática 1 Estimula o raciocínio 7 Outros aspetos que se realçam são a estimulação do raciocínio e a melhoria na capacidade de comunicação. A comunicação escrita também traz aspetos negativos, e grande parte dos alunos aponta para a inexistência de aspetos negativos (Tabela 7). Tabela 7. Aspetos negativos da comunicação escrita (𝑛 = 22) Aspetos negativos Frequência Retira tempo de resolução na realização de tarefas 5 É confuso 5 Não ajuda 1 Difícil de aplicar 4 Precisa de treino 4 Não tem 11 De notar que há uma preocupação por parte de alguns alunos no que diz respeito ao tempo que têm para resolver as tarefas com mais cuidado. Também é nítida uma dificuldade dos alunos em comunicar de forma escrita o seu raciocínio e parte deles admite que é preciso treino. Resumindo, pelas respostas dos alunos, parte da turma tem uma certa dificuldade em transcrever para o papel o seu raciocínio, e que preferem discutir as suas ideias oralmente. Concluindo, a turma é formada por alunos bem comportados, embora às vezes ruidosos, responsáveis e comunicativos. Mostram empenho e interesse na realização das tarefas, tanto a nível individual como em grupo e preocupam-se bastante com o próximo.
11 2.2. Enquadramento Teórico Este subcapítulo refere-se à sustentação teórica deste relatório com base na literatura, estando dividido em duas partes, nomeadamente, a comunicação matemática e a calculadora gráfica. 2.2.1. Comunicação Matemática A comunicação matemática pode ser feita de forma oral ou escrita, com o objetivo de oferecer aos alunos momentos de reflexão e de partilha de conteúdos desenvolvidos na disciplina. De seguida será abordado a comunicação em Matemática e posteriormente será abordado com ênfase a comunicação escrita, foco de estudo. 2.2.1.1. Comunicação em Matemática No dia a dia, a comunicação está presente em atividades realizadas pela espécie humana. Na tradução das atividades de aprendizagem na sala de aula, os alunos recorrem a duas formas de comunicação matemática: a comunicação oral e a comunicação escrita. Segundo Ponte et al. (2007) e Magalhães e Martinho (2014), ambas as formas de comunicação estão interligadas e complementamse. A comunicação é um elemento fundamental no ensino da Matemática, uma vez que é através dela, recorrendo a diversas linguagens (verbal e não verbal) e à matemática, que o professor ajusta o processo educativo em sala de aula (Menezes et al., 2014; Morgan et al., 2014; Nacarato, 2012; Pimm, 2018). Menezes e Nacarato (2020) defendem que a perceção do funcionamento da comunicação no ensino da Matemática ainda é uma área com muito por explorar em vários aspetos tais como o questionamento, a dinamização de discussões, a explicação e sistematização de conhecimentos e a avaliação. De maneira a promover a comunicação em sala de aula, Brendefur e Frykholm (2000) organizaram-na em quatro formas, nomeadamente: a unidirecional, onde o professor assume um papel mais ativo, dominando as discussões fazendo assim perguntas mais fechadas e permitindo poucas intervenções dos alunos; a contributiva, onde prevalecem as interações entre alunos ou entre alunos e professor, no entanto existe pouca ou nenhuma profundidade na reflexão; a reflexiva, que é muito idêntica à contributiva, mas neste caso existe profundidade nas reflexões; e a instrutiva, onde o professor promove situações de reflexão com o intuito de sustentar, encaminhar, encorajar e modificar o pensamento matemático dos alunos. Assim, os modelos de ensino praticados pelo professor apoiam-se em diferentes perspetivas de comunicação, nomeadamente, num ensino com características expositivas que utiliza a comunicação
12 como instrumento de verbalização e transmissão de conhecimentos e num ensino em prol da interação social que utiliza a comunicação como construção partilhada do conhecimento matemático (Guerreiro et al., 2015). O NCTM (2007) defende que se “os alunos forem estimulados a falar, escrever, ouvir e ler nas aulas de matemática obtêm um benefício nas suas aprendizagens tanto como aprender a comunicar matemática, como comunicar para aprender matemática” (p. 60). Também Menezes (2021) defende que a comunicação é uma ferramenta pois é através dela que os alunos partilham as suas ideias e também é um objeto curricular de maneira que os alunos devem ser capazes de interpretar, representar, expressar e discutir. Em concordância com Menezes, as Aprendizagens Essenciais (ME, 2018) têm como objetivo que os alunos desenvolvam a capacidade de “comunicar, utilizando linguagem matemática, oralmente ou por escrito, para descrever, explicar e justificar procedimentos, raciocínios e conclusões” (p. 6). Vários autores defendem que é essencial que os alunos tenham capacidade de explicar e fundamentar os seus raciocínios, utilizando também a comunicação como um apoio para a consolidação de conceitos. A comunicação também ajuda a relembrar conceitos antigos e na descoberta de novos, sendo assim considerada como um elemento fundamental do ensino (Menezes et al., 2014; Ponte et al., 2007). Segundo Silva (2018), para estarmos perante um bom currículo escolar, este tem de contemplar de uma maneira profunda e determinada a aptidão de comunicação matemática. O ‘Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória’ (Ministério da Educação, 2017) menciona a comunicação como uma das dez áreas de competência a desenvolver. No mesmo sentido, Serrazina (2018) defende, também, que a comunicação é uma competência a desenvolver, e vê-a como um método de aprendizagem mais considerável e como uma orientação metodológica. Esta competência é desenvolvida dentro e fora da sala de aula, onde, em ambos os meios, os alunos não têm o hábito de utilizar a comunicação matemática, sendo que cabe ao professor captar esse interesse. Fora da sala de aula, apesar de não se aperceberem, os alunos acabam por falar sobre uma variedade de assuntos, utilizando a Matemática, embora não usem a comunicação matemática uma vez que não é tão natural. Em sala de aula, o professor deve gerar ambientes que promovam a discussão entre os alunos, para que se reflita numa aprendizagem mais ativa, dado que nestes ambientes os alunos sentem-se mais confortáveis para expor os seus raciocínios. Contrariamente ao que acontece quando o professor se insere de forma ativa nestes ambientes, uma vez que os alunos ficam mais retraídos (Martinho & Ponte, 2005). Assim sendo, o professor deve procurar tarefas desafiantes que promovam este tipo de ambientes à turma, de forma a que esta se sinta confortável a interagir e a contribuir nestes momentos (Ponte et al., 2007). Neste sentido, segundo Sousa et al. (2009)
19 análise de dados, quando é usada para recolher e armazenar dados, analisar fenómenos e procurar modelos apropriados; (iv) como ferramenta de visualização, quando é usada na análise de parâmetros que permitem encontrar expressões que se ajustem aos conjuntos de dados, para ligar uma representação visual a um fenómeno físico, para efetuar a leitura de funções simbólicas, para representar e interpretar dados e para resolver equações; e (v) como ferramenta de verificação, quando a calculadora é utilizada para confirmar conjeturas e compreender formas simbólicas múltiplas. No mesmo seguimento, outros autores afirmam que a calculadora gráfica deve ser vista como uma ferramenta que possibilita aos alunos melhorarem a sua autonomia e capacidade crítica na resolução de tarefas e no aprofundamento de conceitos matemáticos (Campos, 2014; Magalhães & Martinho, 2011). Contudo, Rocha (2000) assume que a calculadora gráfica é apenas usada para confirmação de resultados. Em jeito de síntese, constata-se que a relação estabelecida entre o aluno e a calculadora gráfica pode influenciar a maneira como esta é utilizada, assim como o papel que lhe atribuído na resolução das tarefas. Conclui-se, assim, que a calculadora gráfica é um importante instrumento tecnológico que apoia os alunos na aprendizagem de matemática (Moura, 2005). 2.2.2.2. A calculadora gráfica no ensino de funções A calculadora gráfica tem um papel fundamental no ensino de funções. Através dela é possível analisar as propriedades dos gráficos, o que faz com que vários autores defendam esta importância da calculadora gráfica, essencialmente nas relações entre a representações gráficas e a representação algébrica. Ponte (1992) considera que a calculadora gráfica tem um papel relevante no estudo das funções onde é indispensável trabalhar as três formas de representação mais importantes, nomeadamente, a numérica, gráfica e algébrica. A calculadora gráfica é um poderoso instrumento de cálculo que permite visualizar ao mesmo tempo a expressão analítica que define uma dada função e o seu respetivo gráfico, sendo assim possível detetar erros na tradução dos dados (Domingues, 1999). Através da calculadora gráfica é possível obter representações que ajudem a compreensão do estudo do gráfico de uma função. Contudo, uma vez que o ecrã é reduzido é necessário que haja um trabalho na procura da janela de visualização que se aproxima ao pretendido, sendo preciso um estímulo a experimentar vários zooms (Teixeira et al., 1998). Estes autores defendem que a calculadora gráfica é um fator essencial para desenvolver estratégias de descoberta e de exploração e para trabalhar o espírito crítico do aluno. A calculadora gráfica oferece ao aluno a oportunidade de investigar funções de diferentes modos antes de ter conhecimentos matemáticos
20 suficientes para efetuar o seu estudo analítico, proporcionando-lhe assim um conhecimento intuitivo que servirá de base para uma compreensão mais formal. Num estudo realizado por Consciência (2003), os alunos expressaram uma maior facilidade em reconhecer e identificar uma função através da utilização da calculadora gráfica. Contudo, a autora verificou que os alunos têm dificuldades em estabelecer conexões entre as representações de uma função. Similarmente, Rocha (2001) também verificou que os alunos revelam algumas dificuldades no que toca a representações de uma função, nomeadamente quando se deparam com uma imagem incompleta de um gráfico e sentem dificuldades em enquadrar o resultado com os conhecimentos adquiridos. Resumidamente, a calculadora gráfica, pode dar um importante contributo na aprendizagem das funções, especialmente ao nível do estabelecimento de relações entre a representação gráfica e a representação algébrica, da atitude e motivação dos alunos em relação à matemática e contribuindo também para a melhoria das capacidades de raciocínio. 2.2.2.3. Potencialidades e constrangimentos da calculadora gráfica A calculadora gráfica, enquanto material didático, dentro da sala de aula gera uma nova dinâmica possibilitando assim a experimentação, a investigação e a resolução de problemas. Através desta dinâmica, consegue-se obter ambientes de aprendizagem interativos e explorativos onde os alunos são envolvidos no progresso das suas próprias ideias matemáticas (Dunham & Dick, 1994). Ponte (1995) defende que com o uso da calculadora gráfica a atividade matemática pode ficar mais experimental, sendo que o aluno assume um papel mais ativo e autónomo. Se o conhecimento do funcionamento e as potencialidades deste material didático no ensino da matemática forem bem administrados é possível que a atividade matemática seja mais eficaz. Domingos (2016) refere que a tecnologia traz vários benefícios importantes para todo o processo de aprendizagem de matemática. Atualmente, existem inúmeros engenhos tecnológicos e softwares com a capacidade de efetuar cálculos de forma exata, ajudar na gestão e análise de dados, fazendo com que o aluno tenha a oportunidade de conseguir diferentes estratégias na resolução de tarefas (NCTM, 2007). Uma vez integrada no ensino da matemática, a calculadora gráfica permite aos professores criar uma diversidade de tarefas e aumentar o seu grau de dificuldade, visto que esta pode proporcionar aos alunos uma resolução alternativa mais simples do que uma complexa resolução analítica (Semião & Canavarro, 2012). Assim, podemos afirmar que uma das grandes competências da calculadora gráfica
21 é o facto, num curto espaço de tempo, nos devolver um resultado, e de forma simplificada, o que poupa muito tempo e não permite possíveis erros algébricos (NCTM, 2007; Rocha, 2012). Para além desta capacidade rápida de cálculo numérico, a calculadora gráfica também tem um grande poder gráfico. A possibilidade de esta conseguir visualizar diversos gráficos simultaneamente permite ao aluno fazer o estudo de diversas funções mesmo sem ter adquirido competências para fazer essa análise (Consciência, 2013). O facto de esta ferramenta permitir ao aluno ajustar a janela de visualização que melhor se enquadra, alerta-o para as diferenças entre as representações gráficas previstas e as representações gráficas emitidas pela calculadora gráfica (Almeida & Oliveira, 2009). Juntamente com a visualização das diferentes representações gráficas este artefacto, através de modificações de um certo parâmetro na expressão da função, permite ao aluno verificar as respetivas alterações gráficas e assim tirar as suas conclusões (Campos et al., 2015; Consciência, 2013). O facto de os alunos poderem observar e analisar alterações feitas, quer seja em gráficos quer seja em expressões analíticas, faz com que eles consigam ter uma melhor perceção de certos conceitos matemáticos (Magalhães, 2010). Novamente, o professor tem um papel muito importante na utilização da calculadora gráfica na sala de aula, uma vez que, como referência, é essencial que domine corretamente e eficientemente este artefacto visto que os alunos tendem a seguir os métodos usados pelo docente (Semião & Canavarro, 2012). Assim, podemos dizer que o uso da calculadora gráfica beneficia o desenvolvimento de certas competências, nomeadamente a da comunicação, da pesquisa, da autonomia e do espírito critico, sendo considerada uma forte ferramenta para a aprendizagem da matemática (Silva & Seixas, 2010). Num estudo feito por Drijveres e Doorman (1996), estas consideram que há cinco vantagens para o uso da calculadora gráfica em sala de aula, nomeadamente: o contexto real, uma vez que esta permite passar de operações algébricas para operações reais; a exploração, uma vez que estimula os alunos a formular novas questões e generalizar problemas; a integração, uma vez que permite aos alunos estabelecer ligações de vários conteúdos matemáticos através da integração de expressões algébricas e geométricas; a dinâmica, uma vez que é possível observar as alterações de parâmetros numa expressão permitindo a observação dos modelos; a flexibilidade uma vez que existe a procura de soluções flexíveis. Num estudo realizado por Rocha (2012), esta refere três aspetos da influência da calculadora gráfica no ensino e na aprendizagem da matemática, nomeadamente: as dúvidas que possam surgir aos alunos criando assim dificuldades aos mesmos; o conhecimento do professor relativamente ao uso que é dado à calculadora por parte dos alunos, visto que, pode ser usada de maneiras diferentes e pode criar
22 discordância matemática; as capacidades da calculadora perante uma variedade de tarefas proposta aos alunos e como estas podem influenciar a dinâmica da aula e o método de ensino e aprendizagem. Já Consciência (2013) refere também alguns aspetos que se deve ter em conta na utilização da calculadora como: a precisão numérica; o modo de representação do gráfico de uma função; a exploração de vários zooms; a representação gráfica de famílias de funções; e visualização de várias representações em simultâneo. Contudo, sendo este material bastante usado na disciplina de matemática e o facto de ser usado por vários alunos de diferentes idades, é expetável que existam alguns constrangimentos e dificuldades na utilização da calculadora gráfica. Vários autores afirmam que o uso da calculadora gráfica prejudica a capacidade de abstração. Nomeadamente Albuquerque (1998) afirma que a dependência deste utensilio, quer para os alunos quer para os professores, está a formar “espíritos menos rigorosos, menos exigentes e mais preguiçosos” (p. 140). Já Rocha (2002), no seu estudo, verifica que as calculadoras gráficas são usadas, na maioria, para efetuar cálculos, criando assim dependência aos alunos em detrimento do cálculo mental. Rocha (2000) afirma que as dificuldades que os alunos sentem no uso da calculadora gráfica advém, maioritariamente, da pouca ênfase que dão na descoberta de novas capacidades da calculadora, ficam assim limitados aos processos que trabalham nas aulas. Apesar de cada um ter a sua própria calculadora, não restringe os momentos de partilha com os restantes colegas e com o professor, acabando por ter um apoio para a estruturação do pensamento, permitindo um melhor raciocínio e compreensão das ideias (Campos, 2014; Magalhães & Martinho, 2011; NCTM, 2007; Rocha, 2012; Semião & Canavarro, 2012). 2.2.3. Funções O tópico de funções está muito presente no percurso escolar dos alunos, dado que, ao longo dos anos, estudam com profundidade algumas ‘famílias’ de funções que integram o currículo escolar. Atendendo à natureza abstrata dos tópicos estudados no percurso escolar dos alunos, alguns deles revelam dificuldades na sua aprendizagem. 2.2.3.1. As funções no currículo escolar de Matemática O tópico de funções é um dos tópicos mais importantes no estudo de matemática e alguns estudos dizem que será preciso recuar cerca de 4000 anos para se encontrarem os primeiros indícios de funções (Kleiner, 2012). Esses indícios eram visíveis na pré-história quando os homens primitivos faziam uma
23 correspondência funcional entre o número de pedras/ossos e os animais que continham no seu rebanho (Domingos, 2008). Desde os tempos antigos que as funções podem ser encontradas em várias situações, nomeadamente na correspondência entre um determinado conjunto de objetos e uma sequência de contagem de números; nas quatro operações aritméticas elementares em que, cada uma, é uma função de duas variáveis; e nas tabelas dos quadrados dos babilónios, das raízes quadradas, dos cúbicos, das raízes cúbicas e dos recíprocos (Ponte, 1992). Em termos formais, Bernoulli, em 1718, formulou pela primeira vez a definição de função, em que consistia numa função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes (Kleiner, 2012). Anos mais tarde, mais concretamente em 1734, Euler, que foi aluno de Bernoulli, introduziu a notação 𝑓(𝑥) ao conceito de função, que em 1748 aperfeiçoou a definição de função substituindo o termo ‘quantidade’ por ‘expressão analítica’ (Safuanov, 2015). Elia et al. (2007) consideram que o conceito de função é dos mais importantes da matemática e também essencial no cotidiano da sociedade, uma vez que está integrado noutras ciências, como, por exemplo, na Física ou na Química, como também se pode encontrar em diversas situações nos jornais, em artigos científicos, nos programas televisivos, entre outros. Dada a sua importância, as funções são inseridas no percurso académico do aluno relativamente cedo. Assim, segundo o Programa e Metas Curriculares, encontra-se o conceito de função pela primeira vez no 7.º ano de escolaridade. Contudo, este conceito está inserido no 1.º ciclo, mas de uma forma informal. No 7.º ano de escolaridade é expectável que os alunos consigam associar que dados dois conjuntos 𝐴 e 𝐵 se define uma função (ou aplicação) 𝑓 de 𝐴 em 𝐵, tal que a cada elemento 𝑥 de 𝐴 corresponde a um e um só elemento de 𝐵, podendo representar essa função por 𝑓(𝑥). Ainda no 7.º ano de escolaridade os alunos entram em contacto com os termos “objeto”, “imagem”, “domínio”, “conjunto de chegada” e “variável”, sendo expectável que os usem corretamente. Para além disso, os alunos obtêm conhecimentos relativos a operações com funções numéricas e conhecem as primeiras famílias de funções, nomeadamente a função constante, a função linear e a função afim, e ainda devem saber definir as funções de proporcionalidade direta. No 8.º ano de escolaridade os alunos obtêm conhecimentos relativos às equações de retas verticais e não verticais (declive e ordenada na origem). No 9.º ano é expectável que os alunos saibam definir funções de proporcionalidade inversa e identificar uma nova família de funções, nomeadamente as funções do tipo 𝑦 = 𝑎𝑥2 (𝑎 ≠ 0). No ensino secundário, dependendo da área de formação que os alunos sigam, o domínio das funções varia. Se os alunos optarem por Matemática A, o estudo de funções será mais aprofundado. No 10.º ano de escolaridade são abordadas diversas temáticas tais como: generalidades sobre funções;
24 monotonia, extremos e concavidades; estudo elementar de funções (quadrática, cúbica, radicais quadrados e cúbicos, módulo e definida por ramos); e resolução de problemas. No 11.º ano de escolaridade são introduzidas as funções trigonométricas, as funções racionais, as funções inversas e as funções irracionais. Ainda no 11.º ano, os alunos entram em contacto com os limites de funções e fazem uma breve introdução às derivadas de funções. Por fim, no 12.º ano de escolaridade os alunos fazem o estudo sobre a continuidade de funções e a continuidade da soma, diferença, produto e quociente de funções contínuas. Têm, por esta altura, de ser capazes de identificar, caso existam, as assintotas dos gráficos das funções, assim como de reconhecer as funções derivadas, associando os zeros da função derivada à monotonia e extremos das funções. Ainda no 12.º ano de escolaridade é expectável que os alunos saibam fazer o estudo de funções logarítmicas e exponenciais (ME, 2018). Segundo Semião e Canavarro (2012), uma função pode ser definida de diferentes formas, nomeadamente: a definição verbal, que consiste na utilização de palavras para descrever a função; a definição numérica, que consiste na utilização de tabelas ou diagramas para representar a função; a definição algébrica, que consiste na definição de uma função através de uma expressão analítica; e a definição gráfica, que consiste na utilização de um gráfico para representar uma função. No mesmo sentido, Domingos (2008) considera que uma função pode ser representada de várias maneiras, nomeadamente pela sua fórmula algébrica, por uma tabela de valores ou por um gráfico. Contudo, estas formas de representar uma função têm as suas vantagens e desvantagens. Friedlander e Tabach (2001) apontam as seguintes vantagens: a representação verbal é usada para expor um problema e é importante para a interpretação de respostas dos alunos; a representação numérica regularmente antecede a utilização de qualquer outro tipo de representação, pois o uso de números é importante para a aprendizagem dos primeiros conhecimentos relativos à álgebra; a representação algébrica é precisa, universal e eficaz na exposição de padrões e modelos matemáticos e, por vezes, a manipulação de objetos algébricos é a única maneira de provar certos resultados; e a representação gráfica é útil pois fornece uma imagem nítida de uma função, sendo os gráficos intuitivos que apelam ao sentido visual dos alunos. Os mesmos autores também apresentam desvantagens para as diferentes formas de representar uma função, nomeadamente: na verbal, o uso pode ser ambíguo e pode incitar a associações irrelevantes ou falaciosas, sendo um obstáculo para a comunicação matemática; na numérica, uma vez que não está generalizada, torna a sua utilização desvantajosa; a algébrica pode dificultar a interpretação de certos resultados uma vez que esta serve-se do uso exclusivo de símbolos algébricos; e na gráfica a falta de precisão pode criar dificuldades.
25 De um modo geral, os alunos têm dificuldades em criar conexões entre diferentes representações de funções, nomeadamente na interpretação de gráficos e na manipulação de símbolos (Elia et al., 2007). Segundo Elia et al. (2007), cada representação da definição de função transmite informações sobre aspetos particulares do conceito sem o descrever na totalidade. Assim, o tópico de funções trabalhado com os diversos tipos de representação ganha cada vez mais ênfase nas atividades de Matemática na sala de aula. Num estudo, com alunos do ensino secundário, realizado por Elia et al. (2007), sobre os conhecimentos e dificuldades no estudo das funções, as principais dificuldades eram encontradas nos problemas em que se pedia aos alunos que mudassem da representação verbal para a representação algébrica, que reconhecessem uma função num conjunto dado de relações entre variáveis e que construíssem o gráfico a partir da expressão analítica. Do mesmo modo, Consciência (2013) afirma que a conversão entre representações gera dificuldades para os alunos, existindo conversões com diferentes graus de dificuldade, nomeadamente quando se trata da conversão da representação gráfica para a respetiva expressão algébrica. Dada a complexidade do conceito de função, Michelsen (2006) afirma que os alunos sentem dificuldades em dar significado às funções, sentindo necessidade de as ilustrar com exemplos concretos. Ponte et al. (2009) assumem como principais dificuldades dos alunos no domínio das funções, o uso de vocabulário próprio - domínio, objeto, imagem - sobretudo quando aparecem em contextos exclusivamente matemáticos. Já Hattikudur et al. (2012) assumem que retirar e interpretar gráficos é uma tarefa difícil para os alunos, uma vez que existem lacunas no que diz respeito à compreensão de gráficos de funções por parte dos mesmos. Outro entrave, para os alunos, na aprendizagem de funções é a utilização de símbolos matemáticos, sendo que é necessário algum tempo para que os alunos se familiarizem com os mesmos (José, 2015). Markovits, Eylon e Bruckeimer (1998) indicam outras dificuldades que os alunos costumam manifestar, nomeadamente: (1) localizar objetos e imagens numa representação gráfica; (2) identificar imagens e pares (objeto, imagem) em funções definidas na forma algébrica; (3) distinguir entre o contradomínio e o conjunto de chegada; (4) ignorar o domínio e o conjunto de chegada de uma função; (5) conceção errada de linearidade.
26 2.3. Estratégias de Intervenção Este subcapítulo está dividido em duas partes, especificando na primeira as metodologias de ensino e de aprendizagens e na segunda as estratégias de avaliação da ação que implementei na minha prática pedagógica. 2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem Com o intuito de promover e valorizar o papel do aluno no processo de ensino e de aprendizagem, na minha intervenção pedagógica tiveram relevância os momentos de discussão com e entre os alunos na introdução e na sistematização de conceitos matemáticos que integraram o tema que lecionei. Durante este processo, sempre que possível, proporcionei aos alunos um papel interventivo na aprendizagem dos conceitos estudados. As tarefas propostas enquadram-se nos problemas, que foram explorados na sala de aula mediante um formato de ensino e de aprendizagem que adquire características do ensino exploratório (Ponte, 2005). Sendo a calculadora gráfica um material didático de fácil acesso e a obrigatoriedade de os alunos desenvolverem competências tecnológicas, segundo as Aprendizagens Essenciais (ME, 2018), incluí a calculadora gráfica na resolução das tarefas propostas. Tarefas . Segundo Ponte (2005), existem quatro tipos de tarefa, nomeadamente: o exercício, que é uma tarefa de duração curta, de estrutura fechada e de grau de desafio reduzido, onde o aluno a realiza com conhecimentos já adquiridos; o problema, que é uma tarefa de duração média, de estrutura fechada e de grau de desafio mais elevado que o anterior, onde o desafio está na interpretação do enunciado e na tradução em linguagem matemática; a investigação, que é uma tarefa de duração média, aberta e de desafio elevado, onde o aluno tem de elaborar uma estratégia de resolução e onde pode ser solicitado que o aluno faça uma pesquisa e recolha de dados para a resolução da tarefa; e a exploração, que é uma tarefa de duração média, aberta e de desafio reduzido onde o aluno pode resolvê-la sem necessidade de muito planeamento. O mesmo autor defende, ainda, que cada tipo de tarefa promove uma competência diferente no desenvolvimento do processo de ensino e aprendizagem do aluno, nomeadamente: o raciocínio matemático advém das tarefas mais fechadas; a autoconfiança advém das tarefas mais acessíveis (exercícios e exploração); a vivência de experiências matemáticas advém das tarefas mais desafiantes (problemas e investigação); e a autonomia advém das tarefas mais abertas. Contudo, não se pode estabelecer uma definição tão rígida à tarefa pois tudo depende do contexto onde está a ser desenvolvida, isto é, o que para um aluno pode ser um problema para outro pode ser um exercício (Polya, 1995).
27 Posto isto, é fundamental que durante a elaboração do plano de aula seja feita uma seleção criteriosa das tarefas, onde estas se adequem ao processo de desenvolvimento do ensino e sejam coerentes com os objetivos a cumprir com o tema ou tópico em questão (Canavarro & Santos, 2012). Segundo o NCTM (2007), os alunos ao resolverem problemas desenvolverão novos métodos de raciocínio, hábitos de persistência e procura, assim como de segurança perante diversas situações, o que ser-lhes-á muito útil fora da sala de aula. Assim, os alunos terão de ser incentivados a resolver problemas e desafiados a refletir sobre o que fizeram e como fizeram. Deste modo, na minha intervenção pedagógica procurei propor aos alunos tarefas de grau de abertura reduzido, mas de desafio elevado, ou seja, tarefas que se enquadram na tipologia dos problemas. Trabalho em grupo . Durante a minha prática pedagógica organizei os alunos em trios e em pares. Para a formação destes grupos, tentei criar grupos heterogéneos a nível de desempenho escolar e tentei colocá-los de maneira a que se sentissem confortáveis a trabalhar com os restantes elementos. Contudo, uma vez que começaram a ganhar rotinas de trabalho entre eles e a dinâmica já não estava a funcionar, perto do fim da minha intervenção voltei a trocar os elementos dos grupos de maneira a garantir a heterogeneidade dos mesmos. Um dos motivos que me levou a dinamizar assim a minha prática pedagógica foi o facto de no Perfil dos Alunos à Saída da Escolaridade Obrigatória (ME, 2017) estar mencionado que os alunos ao saírem da escola devem saber “interagir com tolerância, empatia e responsabilidade e argumentar, negociar e aceitar diferentes pontos de vista, desenvolvendo novas formas de estar, olhar e participar na sociedade” (p. 25). Simultaneamente, alguns autores defendem que trabalhar em grupo é bastante positivo para os alunos uma vez que podem aprender a explorar, desenvolver a capacidade argumentativa, formular conjeturas e desenvolver competências sociais tais como a cooperação, interajuda, trabalho em equipa e organização (Oliveira, Segurado & Ponte, 1998). Ensino Exploratório . Durante a minha intervenção pedagógica procurei centrar as minhas aulas na realização das tarefas, de modo a inserir os alunos o máximo possível na dinâmica da aula, fugindo assim ao ensino direto. Para Ponte (2005), o ensino exploratório centra-se no trabalho do aluno na construção do conhecimento. Menezes el al. (2014) defendem que o professor, neste tipo de ensino, deve proporcionar um ambiente comunicativo, propor tarefas desafiantes, utilizar materiais didáticos que consigam representar conceitos matemáticos, ouvir e compreender os alunos, fazer questões, desafiar os alunos a refletirem, favorecer a discussão e a negociação de significados. Portanto, pode-se dizer que uma estratégia de ensino exploratório se apropria à realização de problemas, promovendo assim momentos de reflexão e de discussão em grupo turma. Posto isto, durante a minha intervenção
28 pedagógica optei por utilizar um método de ensino e de aprendizagem que adquire características do ensino exploratório. Canavarro et al. (2012) organizam a aula, utilizando o ensino exploratório, em quatro fases: (i) introdução da tarefa; (ii) desenvolvimento da tarefa; (iii) discussão da tarefa; e (iv) sistematização das aprendizagens. Assim, durante a minha intervenção pedagógica, na primeira fase, apresentava a tarefa à turma e aguardava que os alunos elaborassem a sua leitura para posteriormente fazer o levantamento dos dados da mesma, do que era pedido e de possíveis dúvidas. Passando à segunda fase, nela os alunos resolviam a tarefa, em grupos, de forma autónoma, enquanto eu procurava auxiliá-los no que fosse necessário. Ainda nesta fase, durante o trabalho autónomo dos alunos, fazia a seleção das resoluções que pudessem trazer momentos de discussão para a fase a seguir. Consequentemente, a terceira fase, é destinada à discussão da tarefa onde os alunos comparavam resoluções e discutiam sobre os resultados, onde o meu papel era de gerir as intervenções dos alunos ou introduzir os alunos na discussão. Por fim, na última fase, através das intervenções dos alunos tentava introduzir novos conceitos que derivassem de forma indireta da tarefa proposta. Ponte (2005) defende que se considerarmos a comunicação como um método complexo e multidimensional, onde os alunos, interagindo entre si e com o professor, conseguem construir e compartilhar ideias e procedimentos matemáticos, estamos a adotar o ensino exploratório. Para Guerreiro et al (2015), o ensino exploratório “corresponde a uma abordagem ao ensino, em que a comunicação se sustenta em processos de discussão e de negociação, os quais dão corpo a situações de produção e consolidação do conhecimento matemático por parte dos alunos” (p. 280). 2.3.2. Estratégias de avaliação da ação No âmbito deste estudo, para responder às questões de investigação, subjacentes à minha intervenção pedagógica, foram utilizadas diversas estratégias de recolha de dados, nomeadamente questionários (inicial e final), produções dos alunos e observações. Questionários . Durante a minha intervenção pedagógica elaborei dois questionários, um no início e outro no final, com o intuito de complementar informações recolhidas por outros métodos de recolha de dados. Com a implementação do questionário inicial (Anexo 2), procurei identificar características dos alunos, nomeadamente os seus hábitos de estudo, importância da disciplina no seu quotidiano e perceções sobre a importância da calculadora gráfica e da comunicação escrita no estudo da matemática. Neste questionário estavam presentes questões abertas, fechadas e de escolha múltipla, como também algumas questões onde os alunos teriam de classificar diversas opiniões numa escala (1-
35 Relativamente à alínea a) , dos nove grupos de trabalho, apenas dois tiveram a resposta a esta alínea errada, sendo que um deles foi o grupo G2 (Figura 3) e o outro foi o grupo G4 que optou por tentar encontrar uma função através dos conteúdos estudados nas Sucessões . Apenas um grupo teve a resposta correta (Figura 4), enquanto que os restantes grupos tiveram a resposta parcialmente correta, faltando apenas alguns pormenores nas suas resoluções. O pormenor que mais se fez notar foi a omissão dos valores que 𝑛 podia tomar. Isto é a omissão de 𝑛 ∈ ℕ na definição da função, apenas tendo sido verificando em duas respostas. Outro pormenor que também se destacou foi a falta de justificação na construção da expressão que define a função. Como podemos observar, o grupo G7 (Figura 4) utilizou a representação verbal para informar os valores que 𝑛 poderia tomar. Apesar de não ter utilizado o texto para identificar os valores atribuídos a cada componente da função conseguiu identificá-los na sua resposta. Já o grupo G9 (Figura 5) não apresenta qualquer tipo de justificação ou sentido à expressão e não indica os valores que 𝑛 pode tomar. No que toca à segunda alínea, nenhum grupo teve a resposta totalmente certa, apenas três grupos indicaram corretamente o intervalo do domínio esquecendo-se apenas de mencionar que 𝑛 ∈ ℕ. Os restantes grupos mencionaram indevidamente o intervalo do dominio. Os três grupos que colocaram corretamente o intervalo do dominio apresentaram uma justificação para os valores mencionados. De notar que, dos nove grupos, apenas um (Figura 6) mencionou que 𝑛 ∈ ℕ na sua resposta, contudo não inseriu corretamente os valores do intervalo do dominio. Figura 4. Resolução da alínea a) do grupo G7. Figura 5. Resolução da alínea a) grupo G9. Figura 6. Resolução da alínea b) grupo G6.
36 Na alínea c) todos os grupos responderam corretamente, mas apenas quatro dos nove grupos é que explicitaram o seu raciocínio atribuindo um sentido à resposta, como ilustra a resposta do grupo G3 (Figura 7). Os restantes grupos apresentaram apenas a expressão ou o resultado, como exemplifica a resolução do grupo G5 (Figura 8). Atendendo aos erros dados pelos grupos na alínea a) , os mesmos tiveram a resposta à alínea d) errada. Igualmente, os dois dos grupos que na alínea b) não acertaram o intervalo do domínio da função falharam na resolução desta alínea. Os restantes grupos fizeram o esboço do gráfico como pedido na alínea d) , como mostra a resolução do grupo G5 (Figura 9). Na resposta do grupo G5 (Figura 9) verifica-se que os alunos fizeram um esboço do gráfico sem muito rigor. Faltam elementos essenciais para que a resposta fique o mais completa possível, como a origem do referencial, a janela de visualização utilizada na calculadora gráfica e o ponto pretendido, apesar deste último ser mencionado no texto que acompanha o gráfico. Figura 8. Resolução da alínea c) grupo G5. Figura 7. Resolução da alínea c) grupo G3. Figura 9. Resolução da alínea d) grupo G5.
37 Em contrapartida, o grupo G8 (Figura 10) identifica todos os pontos essenciais no gráfico e menciona a janela de visualização utilizada, o que torna uma resposta mais completa em relação ao grupo G5. No geral, os alunos não mencionaram a janela de visualização o que revela falta de rigor quando têm de fazer o esboço de um gráfico de uma função. Nesta alínea era necessário a utilização da calculadora gráfica e os alunos não demonstraram dificuldades no seu manuseamento. Através do menu Graph inserir a expressão que define a função em Y1 , devendo posteriormente encontrar a janela de visualização que mais se adaptava à representação do gráfico da função e assim obter o gráfico pretendido. Contudo, houve grupos que não conseguiram fazer os inputs necessários para restringirem o domínio da função para os valores que pretendiam. Porém, essa falha não prejudicou o esboço dos alunos. Na resolução destas quatro alíneas, uma das resoluções que se destacou pela positiva foi o do grupo G7. Nesta resolução encontram-se justificações procedimentais e regras, assim como os três tipos de representação, nomeadamente, a verbal, a icónica e a simbólica. No campo da clareza o grupo obtém o nível elevado apresentando ideias precisas, utilizando vocabulário correto e recorrendo às representações adequadas. Na dimensão da fundamentação é atribuído o nível médio, pois o grupo justifica razoavelmente os seus processos. Esta atribuição deve-se ao facto de em algumas alíneas o grupo não justificar corretamente os processos, nomeadamente na alínea d) quando omite a janela de visualização utilizada na calculadora gráfica. Já na lógica é atribuído o nível elevado uma vez que o grupo revela raciocínio e coerência nos registos escritos, manifestando conexão entre as ideias. O grupo segue a mesma linha de pensamento durante a resolução da tarefa e consegue encontrar uma ligação entre as diferentes alíneas, o que era um dos objetivos da tarefa. Por fim, a profundidade encontra-se no nível médio pois demonstra algum domínio de aspetos importantes, nomeadamente quando na alínea d) assume que o domínio da função termina quando 𝑛 = 30. Figura 10. Resolução da alínea d) grupo G8.
38 Por fim, a alínea e) gerou dificuldades nos alunos uma vez que era a primeira vez que estes abordaram este conteúdo. No entanto houve um grupo que chegou a uma conclusão, apesar da sua resposta ser muito sucinta (Figura 11). Em discussão com a turma, os alunos chegaram à resposta da alínea e) . Professor: Mas o que vos faz lembrar a palavra racionais? Aluno 22: Vem de razão. Professor: Exato, vem de razão, mas uma razão entre o quê Aluno 14? Aluno 14: De polinómios. Professor: Exatamente, ou seja, uma razão entre 𝑃(𝑥) e 𝑄(𝑥), onde ambos são polinómios. E então, o que dizer de 𝑓? Será uma razão de polinómios? Alunos: É como se tivesse 1. Aluno 8: Mas 1 não é um polinómio! Professor: 1 não é polinómio? Aluno 4: A razão é o próprio polinómio. Professor: Vamos lá organizar as ideias. Mas então o que é uma função polinomial, assim muito sucintamente? Aluno 22: Tem de ter uma variável 𝑥. Professor: É obrigatório ter a variável 𝑥? Aluno 4: Talvez não. Professor: Não existem polinómios de grau 0? Alunos: Sim! Professor: Se tivermos uma função polinomial de grau 0 como lhe chamamos? Aluno 22: Constante! Professor: Exatamente, temos as funções constantes! A função 𝑓 não deixa de ser uma função racional. Porém o polinómio denominador é uma função constante. Através do diálogo que promovi, os alunos chegaram à definição de função racional. Em suma, pelas produções escritas recolhidas é visível que os alunos ainda sentem alguma dificuldade nas dimensões todas, mas as mais notórias são a fundamentação e a lógica . Também é visível que têm uma tendência para as justificações vagas, o que vai ao encontro com a lacuna na área da fundamentação . Figura 11. Resolução da alínea e) grupo G3.
39 3.1.2. Sinal de uma função racional. Inequações racionais A seguinte tarefa teve como objetivo iniciar o estudo do sinal de uma função racional. A tarefa tem dois momentos, onde no primeiro os alunos têm de responder a um conjunto de questões para serem introduzidos no estudo do sinal da função do problema e no segundo momento cabe ao alunos formalizarem o estudo do sinal de qualquer função racional. Relativamente à alínea a) , todos os grupos tiveram a resposta certa, porém a nível de comunicação escrita há uma grande diferença entre os grupos. O grupo G5 (Figura 12) justifica o porquê de escolher 𝑡 = 0, enquanto que os restantes grupos apenas assumem o valor 𝑡 = 0 para resolver a questão. Como se observa, este grupo usa uma justificação procedimental e serve-se de representações simbólicas e verbais. Na área da clareza este grupo atinge o nível elevado uma vez que a resposta contém uma linguagem rigorosa e contém as representações adequadas. Quanto à fundamentação , o grupo ao explicar o porquê de 𝑡 = 0 faz com que lhe seja atribuído o nível elevado. Na lógica , o grupo obtém o nível médio uma vez que não relaciona o resultado obtido com o contexto da aliena. Por fim, na profundidade o grupo atinge o nível elevado, por mostrar que domina o assunto tratado na alínea. Tarefa: O crocodilo do Nilo 1. Num determinado rio, com 20 metros de profundidade, os cientistas estudaram o comportamento de um crocodilo quando avista uma presa até a matar por afogamento. Nesse estudo, os cientistas consideraram a função 𝑝, definida por 𝑝(𝑡)=2𝑡2−36𝑡+154 𝑡−14 , para traduzir a distância em metros a que o crocodilo se encontra do nível da água do rio em função de 𝑡 segundos, após ter visto a presa. (Para as seguintes questões considera o domínio da função [0 ,14[ e esboça os gráficos que utilizares) a) A que profundidade o crocodilo se encontra quando começa a preparar o ataque à presa? b) Após iniciar o ataque, quanto tempo demora o crocodilo a chegar à superfície? c) Quanto tempo permanece o crocodilo no ar/ com a boca fora da água? d) Num determinado momento, o crocodilo apanhou uma cegonha quando estava a fugir. Qual é o alcance máximo que permitiu ao crocodilo apanhar a cegonha (arredondado às centésimas)? e) Sabendo que o crocodilo não pode ultrapassar os 16 metros de profundidade, quanto tempo, em segundos, aproximados às centésimas, está o crocodilo debaixo de água? f) Determina os valores que verificam as seguintes condições e interpreta no contexto da tarefa. 𝑝(𝑡)< 0 𝑝(𝑡)> 0 2. Considerando a função 𝑓 real de variável real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥) , em que 𝑃 e 𝑄 são polinómios, como estudar o sinal da função 𝑓? Figura 12. Resolução da alínea a) grupo G5.
40 Na alínea b) , houve uma disparidade em relação ao método de resolução, isto é, dos oito grupos três resolveram graficamente e cinco resolveram analiticamente. Dos grupos que resolveram graficamente, é notória a falta de rigor quando utilizam o esboço do gráfico da função como elemento de resposta, nomeadamente a janela de visualização utilizada, a atribuição de valores ao eixo consoante o enunciado e a falta de pontos essenciais. De igual modo, em parte dos grupos que resolveram analiticamente a alínea verifica-se a falta de elementos na resolução, tais como os parêntesis na expressão (𝑡 = 7 ∨ 𝑡 = 11)∧ 𝑡 ≠ 14, ou a omissão da condição 𝑡 − 14 ≠ 0, apesar de o domínio da função ter sido indicado no enunciado. Como podemos observar, o grupo G7 (Figura 13) utiliza a justificação tipo regra, uma vez que aplica a definição para determinar os zeros de uma função racional e serve-se de representações simbólicas e verbais. Na clareza o grupo atinge o nível elevado, uma vez que não omite nenhum parêntesis nem nenhum detalhe necessário para a sua resolução, fazendo assim o uso preciso e correto do vocabulário e utiliza as representações adequadas. Na fundamentação o grupo obtém o nível médio pelo simples facto de não justificar o porquê de resolver 𝑝(𝑡)= 0. Na área da lógica o grupo alcança o nível elevado uma vez que consegue interligar os resultados obtidos com o contexto da alínea, nomeadamente quando explica a escolha de 𝑡 = 7. Por fim, na profundidade , é atribuído o nível elevado visto que o grupo demonstra domínio no cálculo dos zeros da função. Em contrapartida, o grupo G1 (Figura 14), que resolveu graficamente a alínea, tem um relatório escrito uns níveis abaixo do observado na figura 13. Ao nível da justificação faz uso da procedimental e vaga, uma vez que não contém muita informação e apenas menciona o momento que o crocodilo chega à superfície. Figura 13. Resolução da alínea b) grupo G7. Figura 14. Resolução da alínea b) grupo G1.
41 Já ao nível das representações serve-se das verbais e icónicas. Na área da clareza , é atribuído o nível médio, uma vez que o grupo não utiliza vocabulário muito preciso e as representações não são muito adequadas. Constata-se a falta de rigor do grupo na representação do gráfico da função quando não insere as unidades, no contexto do problema, no referencial cartesiano. Na fundamentação , o grupo tem igualmente o nível médio, uma vez que justifica razoavelmente os seus procedimentos, neste caso o grupo não justifica o porquê de excluir o outro zero da função. Na lógica e na profundidade , é atribuído o nível médio uma vez que o grupo revela algum raciocínio na resolução da alínea e demonstra algum domínio em aspetos importantes do assunto, não sendo atribuído o nível elevado pela falta de dados na representação gráfica e na interpretação do gráfico. Estes níveis são atribuídos visto que o grupo quando utiliza a representação gráfica demonstra algum rigor e domínio na estrutura da resposta, omitindo apenas alguns dados fundamentais tais como a janela de visualização e unidades nos eixos ordenados em conformidade com o enunciado. A alínea c) não apresenta muitas dificuldades uma vez que advém dos valores obtidos na alínea anterior. Para a resolução desta alínea metade dos grupos resolveu graficamente e a outra metade resolveu analiticamente. Dos grupos que resolveram analiticamente, apenas um não apresentou uma justificação para os procedimentos realizados (Figura 15). Nas restantes resoluções analíticas, os grupos tiveram o cuidado de explicar o raciocínio e conseguiram ter a perceção de que era pedido a parte positiva da função, escrevendo assim na resolução 𝑝(𝑡)> 0 (Figura 16). Dos grupos que resolveram graficamente, nenhum mencionou a janela de visualização da calculadora gráfica utilizada, o que mostra novamente falta de rigor quando esboçam o gráfico da função. Das quatro respostas, apenas um grupo não interpreta o gráfico, os restantes fazem uma breve análise ao gráfico com o objetivo de responder à alínea. Figura 15. Resolução da alínea c) grupo G5. Figura 16. Resolução da alínea c) grupo G2.
42 Nesta alínea o uso da calculadora gráfica é fundamental, uma vez que torna o processo de realização mais fácil. Os grupos que resolveram graficamente, através da funcionalidade Shift-G-solv-Root conseguem encontrar as raízes da função 𝑝 e assim fazer a interpretação necessária no contexto da tarefa. Através dos mesmos processos, os grupos que resolveram analiticamente conseguem confirmar e validar a sua resposta. Na alínea seguinte, o uso da calculadora gráfica era imprescindível, uma vez que os alunos ainda não possuíam conhecimentos suficientes para a resolverem analiticamente. Assim sendo, os grupos tinham que inserir a expressão que define a função 𝑝 no menu Graph e, de seguida, ajustar a janela de visualização para determinar, através do aplicativo Shift-G-solv-Max , o máximo da função 𝑝. Esta alínea não reporta grandes dificuldades dos grupos, uma vez que rapidamente chegaram à conclusão do que era pedido. Nas produções escritas, dois dos oito grupos não efetuou o esboço do gráfico da função 𝑝, apesar de mencionarem na resolução que o se pedia era o máximo da mesma. De realçar que um deles, mencionou que faz uso das potencialidades da calculadora gráfica para chegar à resposta (Figura 17). Dos restantes grupos, houve quem aproveitasse o esboço do gráfico feito na alínea anterior e quem desenhasse um novo esboço. De realçar que quem fez um esboço do gráfico para esta resolução omitiu a janela de visualização utilizada, como se pode ver na figura 18. De notar, também o facto, de apenas um destes seis grupos mencionar que faz uso das potencialidades da calculadora gráfica para chegar a uma resposta. Nas resoluções dos grupos G5 e G6, figura 17 e figura 18 respetivamente, observam-se diferentes níveis no que toca à fundamentação , onde o grupo G5 atinge o nível médio, visto que não explica o Figura 17. Resolução da alínea d) grupo G5. Figura 18. Resolução da alínea d) grupo G6.
43 porquê de procurar o máximo da função, e uma vez que o grupo G6 o menciona consegue atingir o nível elevado. Na clareza o grupo G5 atinge o nível médio, pelo facto de o grupo não fazer uso das representações corretas omitindo o gráfico da função, e de igual modo o grupo G6 atinge o nível médio uma vez que omite a janela de visualização no esboço do gráfico. Nas restantes dimensões, lógica e profundidade , ambos os grupos atingem o nível elevado dado ao facto de mostrarem raciocínio e domínio dos conteúdos necessários para a resolução desta alínea. No que toca às representações, é nítido que o grupo G5 apenas usa representações verbais e o grupo G6 usa representações verbais e icónicas. Ambos os grupos utilizam justificações relacionais, uma vez que ambos identificam e justificam o que é preciso descobrir. Mais uma vez, na alínea e) a turma dividiu-se em duas resoluções, onde seis dos oito grupos resolveram graficamente e dois resolveram analiticamente. Dos seis que resolveram graficamente, apenas um não desenhou o esboço do gráfico na sua resolução. Contudo, esse grupo menciona que faz uso das potencialidades da calculadora gráfica para chegar ao pretendido. De realçar que nenhum deles equaciona o problema, ou seja, nenhum grupo afirma que é pedido 𝑝(𝑡)< 0 e no esboço dos gráficos omitem a janela de visualização. Para resolver esta alínea graficamente, os alunos poderiam optar por dois procedimentos, nomeadamente seguir o aplicativo G-solve-X-cal e depois colocar 𝑦 = −16 e descobrirem o valor de 𝑥 quando 𝑦 = −16. A outra forma, era introduzir no menu Graph junto da função 𝑝 a função 𝑦 = −16 e de seguida a opção G-solve-Isct e assim obter o ponto de interseção do gráfico das duas funções, como podemos ver na figura 19. Dos outros dois grupos que resolveram analiticamente, apenas um equacionou o que era pretendido nesta alínea (Figura 20). Contudo, os alunos fizeram uso das capacidades da calculadora Figura 19. Resolução da alínea e) grupo G9.
44 gráfica para chegar a uma resposta, isto é, os alunos equacionam 𝑝(𝑡)= −16 mas depois omitem os restantes processos mencionando apenas a solução da equação 𝑡 ≈ 12,75. Na dimensão da clareza o grupo G9 atinge o nível médio dado que omite a janela de visualização, levando assim ao uso de representações incompletas. Do mesmo modo, o grupo G4 nesta dimensão também atinge o nível médio, pelo facto de omitir passos na resolução da equação. Na fundamentação ambos os grupos conseguem alcançar o nível elevado, porque apresentam justificações nos seus passos. Nas restantes dimensões, lógica e profundidade , ambos os grupos voltam a atingir o nível elevado, uma vez que mostram conexões entre as ideias expostas e domínio nos aspetos complexos que a alínea tem, nomeadamente o estudo do sinal da função e na interpretação do mesmo. No que toca às representações, o grupo G9 serve-se de representações verbais e icónicas e o grupo G4 serve-se de representações verbais e simbólicas. Já no campo da justificação o grupo G9 utiliza a justificação relacional enquanto que o grupo G4 faz uso de justificações regra. Por fim, na alínea f) , observaram-se três respostas totalmente distintas, e dos oito grupos só dois é que acertaram na resolução da alínea e os seis restantes erraram. Esses dois grupos mencionaram corretamente os intervalos pretendidos e interpretaram corretamente o significado das expressões no contexto da tarefa, como se pode ver na figura 21. Figura 20. Resolução da alínea e) grupo G4. Figura 21. Resolução da alínea f) grupo G4.
51 No segundo momento da aula foi proposto aos alunos uma tarefa que envolvia todos os conteúdos do capítulo das funções racionais e tinha como objetivo desenvolver uma composição matemática. O uso da calculadora gráfica nesta tarefa era imprescindível pois os grupos teriam de a utilizar para descobrir o máximo da função. Para isso, teriam de inserir a expressão que representa a função 𝐴(𝑡) no menu Graph e depois de ajustarem a melhor janela de visualização teriam de seguir o aplicativo G-solv-Max para assim obterem o máximos da respetiva função. Para obter os restantes dados os alunos poderiam obtê-los gráfica ou analiticamente. Para descobrirem o 𝐴(0) os alunos poderiam no menu Graph seguir o aplicativo G-solv-Y-calc e atribuir 𝑥 = 0, para descobrirem o valor de 𝑡. Para 𝐴(𝑡)= 1,05 os alunos poderiam no menu Graph seguir o aplicativo G-solve-X-calc e atribuir 𝑦 = 0 ou então inserir no menu Graph a expressão que representa a função 𝐴 e a reta 𝑦 = 1,05 e depois seguir com o aplicativo G-solv-Isct obtendo assim o ponto de interseção entre a função 𝐴(𝑡) e a reta 𝑦 = 1,05. Na resolução desta tarefa os alunos não apresentaram grandes dificuldades. Metade dos grupos apresentou os resultados em cálculos auxiliares e depois estruturaram o texto enquanto que a outra metade realizou os cálculos consoante o que escreviam. Dos oito grupos, apenas dois não incluíram o esboço do gráfico da função, o que os leva a ter a resolução incompleta uma vez que é elemento fundamental para a resolução da tarefa. No entanto, estes dois grupos mencionam que fizeram uso das potencialidades da calculadora gráfica para chegarem aos resultados obtidos. Dos seis grupos restantes, apenas dois inseriram a janela de visualização utilizada para analisar o gráfico. Considerando os oito grupos, três deles realizaram a composição matemática por tópicos e não em formato de composição (Figura 28). Tarefa: Derrame de óleo Num rio houve um derrame de óleo. O alerta foi dado às 8 horas e logo de seguida, para combater a poluição rodearam a superfície poluída com barreiras flutuantes. Quando a área poluída é máxima iniciaram a aspiração do óleo. O fim da intervenção ocorreu quando a área afetada era 3% da área registada no momento do alerta. Admite que 𝑡 horas após o alerta, a área da superfície da água poluída, em 𝑚2, era dada pela função 𝐴 definida por 𝐴(𝑡)=−3𝑡3−50𝑡2+960𝑡 + 560 20𝑡 + 16 Numa composição responde às seguintes questões: • Qual a área da superfície poluída no momento do alerta? • A que horas se deu o início da aspiração? (horas e minutos) • Qual a área da superfície poluída quando começou a aspiração? • A que horas se deu o fim da intervenção? (horas e minutos) (Nos teus procedimentos preserva sempre 3 casas decimais.)
52 Na comunicação escrita, apesar de apresentar a resolução por tópicos, o grupo G1 (Figura 27) alcança o nível elevado nas quatro dimensões de análise, na clareza, na fundamentação , na lógica e na profundidade . Esta atribuição deve-se ao facto de o grupo justificar cada cálculo que efetuou; inserir a janela de visualização e todos os dados relevantes para a resolução da tarefa; demonstrar raciocino e conexão entre as suas estratégias (calculadora gráfica e o papel); e mostrar domínio dos assuntos importantes das funções racionais tais como máximos e interpretação do gráfico da função. O grupo serve-se dos três tipos de representações e usa justificação do tipo relacional. Dos restantes grupos, apenas dois se enquadram na mesma análise efetuada ao grupo G1, enquanto que os restantes se encontram no nível médio na dimensão da clareza pois ou não usam as Figura 27. Relatório escrito apresentado por G1.
53 representações adequadas ou não utilizam o vocabulário correto, e alguns no nível médio da fundamentação uma vez que não justificam devidamente os procedimentos. De um modo geral, com a realização das duas tarefas é possível observar uma evolução na qualidade da escrita dos grupos em relação às outras duas aulas. Na dimensão da clareza consegue-se observar que grande parte dos grupos começa a inserir os pequenos detalhes tais como as janelas de visualização e as referências ao uso das potencialidades da calculadora gráfica. Ao nível da fundamentação é possível observar que os grupos começam a justificar mais os seus procedimentos. Na profundidade também é notório que os alunos tendem a evoluir e mostrar um certo domínio no que diz respeito aos conceitos necessários para a resolução das tarefas. 3.2. Perceções dos alunos sobre a intervenção pedagógica O objetivo da minha intervenção pedagógica consistiu em investigar o contributo da comunicação escrita na aprendizagem das funções, mais concretamente na família das funções racionais, com recurso à calculadora gráfica. Com intuito de recolher o máximo de informação por parte dos alunos, solicitei que, durante a minha intervenção, respondessem a um questionário com duas questões e no final da mesma solicitei que respondessem a um questionário. Decidi realizar este questionário em duas aulas, nomeadamente nas aulas 4 e 7, com intuito de perceber qual o papel da calculadora gráfica na realização das tarefas e as dificuldades que os alunos teriam sentido. Assim, na primeira questão os alunos teriam de referir as vantagens que a calculadora gráfica lhes trouxe para a realização das tarefas propostas. Para facilitar esta análise, organizei as respostas dos alunos por categorias que traduzem a mesma ideia. Tabela 9. Vantagens da calculadora gráfica na resolução de tarefas sobre funções Tipo de Resposta Aula 4 Aula 7 Resolução rápida 3 4 Resolução gráfica 1 7 Obter resultados 1 10 Visualizar e estudar as funções 10 9 Interpretar as tarefas 5 3 Os alunos consideram a calculadora gráfica um artefacto fundamental para a realização das tarefas na sala de aula, uma vez que lhes permite obter resultados e de forma rápida. Em concordância com o questionário inicial, podemos ver que os alunos consideram a calculadora gráfica fundamental
54 para visualizar e estudar o comportamento de uma função, através dos gráficos. Outra vantagem indicada pelos alunos é o facto de permitir a resolução gráfica das tarefas, que conjuga as três vantagens mencionadas anteriormente. O aumento desta vantagem de uma aula para a outra, deve-se ao facto de os alunos explorarem mais as capacidades deste artefacto na aula 7. Por fim, os alunos indicam que a calculadora gráfica os ajuda a interpretar melhor as tarefas. Já na segunda questão do questionário, os alunos teriam de indicar as dificuldades sentidas na resolução das tarefas. Nesta questão não surgiram respostas muito relevantes para o meu estudo, uma vez que obtive respostas como ‘interpretação do enunciado’, ‘gestão de tempo’, ‘nenhuma’, ‘cálculos’ e ‘resolução’. Contudo, realço que dois alunos mencionaram que tiverem dificuldades em entender as assintotas ao longo da tarefa e um aluno mencionou que teve dificuldade em escrever uma composição matemática, resolução que era pedida na última tarefa da aula 7. Relativamente ao questionário realizado no final da minha intervenção, este foi feito presencialmente e era composto por duas partes. A primeira parte apresenta um grupo composto por questões de natureza fechada, onde os alunos tinham de responder segundo o seu grau de concordância para cada uma das afirmações, seguindo uma escala tipo Likert. Já a segunda parte patenteia um grupo composto por seis questões de natureza aberta sobre as vantagens e desvantagens da comunicação escrita na aprendizagem dos tópicos de funções, aspetos positivos e negativos dos trabalhos em grupo e dificuldades na comunicação escrita na resolução das tarefas com e sem calculadora gráfica. Relativamente às questões de natureza fechada, efetuou-se a análise das respostas dos alunos aos itens que integram as seguintes dimensões: i) tarefas; ii) comunicação escrita; iii) calculadora gráfica; e iv) trabalho em grupo. Para quantificar os dados com parâmetros estatísticos, como o valor médio, atribuí o valor 1 a discordo totalmente (DT), 2 a discordo (D), 3 a indiferente (I), 4 a concordo (C) e 5 a concordo totalmente (CT). Na Tabela 10, encontram-se os resultados das respostas dos alunos quanto às suas perceções relativamente às tarefas. Tabela 10. Perceções (%) dos alunos relativamente às tarefas (𝑛 = 23) Afirmação DT/D I C/CT 𝑥 As tarefas propostas contribuíram de forma positiva para o estudo de funções. 0% 0% 100% 4,57 As tarefas propostas foram desafiantes. 4,3% 4,3% 91,4% 4,04 Tive dificuldades na resolução das tarefas propostas 39,1% 39,1% 21,8% 2,87
55 Os alunos, na totalidade (100%), afirmam que as tarefas propostas contribuíram de forma positiva para o estudo de funções e a maioria afirma que as tarefas foram desafiantes (91,4%). De realçar o facto que existe uma maior percentagem de alunos que afirmam não sentir dificuldades na resolução das tarefas (39,1%) do que os que sentiram dificuldades (21,8%). Relativamente à comunicação escrita, na Tabela 11 observa-se que grande parte da turma (69,6%) afirmou que sente dificuldade em transcrever o que via na calculadora gráfica para o caderno. Um pouco mais de metade da turma (65,2%) afirma que a comunicação escrita ajudou a organizar os pensamentos o que é corroborado pelos 52,1% dos alunos que afirmam um maior conforto em expressar o raciocínio de forma escrita. Porém, é possível observar que 34,9% dos alunos se sente mais confortável em expressar-se oralmente, o que pode derivar de 26,1% deles estarem indiferentes ao facto de a comunicação ajudar a organizar o pensamento. Grande parte dos alunos afirma que sentiu forte presença da comunicação escrita na exploração das tarefas (91,3%) e mais de metade da turma, cerca de 69,6%, afirma que a comunicação escrita surgiu mais na discussão da resolução das tarefas. A maior parte dos alunos considera que a discussão sobre a resolução das tarefas ajudou a melhorar a comunicação escrita (82,6%) e os restantes afirmam que esta não teve influência na sua componente escrita (17,4%). A comunicação escrita teve um peso importante no estudo de funções, onde cerca de 87% dos alunos apontam que esta os ajudou nesse estudo. Esta percentagem advém do facto de 91,3% da turma afirmar que a comunicação escrita ajudou a formalizar conceitos relevantes para o estudo de funções, nomeadamente o domínio, sinal, zeros, entre outros. Tabela 11. Perceções (%) dos alunos relativamente à comunicação escrita (𝑛 = 23) Afirmação DT/D I C/CT 𝑥 Senti dificuldade em transcrever o que via na calculadora gráfica para o meu caderno. 69,6% 21,7% 8,7% 2,3 Sinto-me mais confortável em expressar o meu raciocínio oralmente do que de forma escrita. 52,1% 13,0% 34,9% 2,73 A escrita matemática ajudou-me a organizar os pensamentos. 8,7% 26,1% 65,2% 3,74 A escrita matemática surgiu mais na exploração das tarefas. 0% 8,7% 91,3% 4,17 A escrita matemática surgiu mais na discussão da resolução das tarefas. 4,3% 26,1% 69,6% 3,74 A escrita matemática ajudou-me a formalizar conceitos das funções (por exemplo, domínio, sinal, zeros, etc.). 4,3% 4,3% 91,3% 4,22 A discussão sobre a resolução das tarefas ajudou-me a melhorar a minha escrita matemática. 0% 17,4% 82,6% 3,96 A escrita matemática ajudou-me no estudo de funções. 4,3% 8,7% 87% 4,09
56 A calculadora gráfica teve um papel fundamental na minha intervenção, sendo essencial para os alunos na resolução das tarefas e no estudo das funções. Na Tabela 12, encontram-se os resultados das respostas dos alunos quanto às suas perceções relativamente à utilização da calculadora gráfica. Tabela 12. Perceções (%) dos alunos relativamente à calculadora gráfica (𝑛 = 23) Afirmação DT/D I C/CT 𝑥 A calculadora gráfica foi fundamental na resolução das tarefas propostas na aula. 0% 0% 100% 4,74 As tarefas propostas aumentaram o meu conhecimento sobre a utilização da calculadora gráfica. 4,3% 8,7% 87% 4,26 A calculadora gráfica ajudou-me a comunicar o meu raciocínio. 0% 8,7% 91,3% 4,35 A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar os conceitos contemplados nas tarefas. 0% 0% 100% 4,43 A calculadora gráfica ajudou-me a confirmar as respostas às tarefas propostas. 0% 4,3% 95,7% 4,57 A calculadora gráfica ajudou-me a visualizar as transformações dos gráficos no estudo de funções. 0% 0% 100% 4,61 A calculadora gráfica ajudou-me no estudo de funções. 0% 0% 100% 4,65 A turma, na totalidade, pondera que a calculadora gráfica teve um papel importante durante a intervenção. Todos os alunos afirmam que este artefacto foi fundamental na resolução das tarefas propostas. E ainda afirmam que a calculadora gráfica ajudou no estudo de funções e ajudou a visualizar as transformações dos gráficos das mesmas. Os alunos também referem que o facto de poderem utilizar a calculadora gráfica os ajudou a visualizar conceitos sobre funções inseridos nas tarefas. Quase a totalidade da turma (95,7%) garante que a calculadora gráfica ajudou a confirmar resultados e 91,3% menciona que ajudou a comunicar o seu raciocínio. Cerca de 87% da turma afirma que as tarefas potencializaram a calculadora gráfica, aumentando assim os seus conhecimentos sobre o manuseamento da mesma. De realçar, neste último ponto, que um aluno (4,3%) diz que as tarefas não aumentaram as suas capacidades na utilização da calculadora gráfica e 8,7% mostraram-se indiferentes perante esta afirmação. Relativamente ao trabalho em grupo (Tabela 13), maior parte da turma mostra mais agrado em trabalhar em grupo do que pelo trabalho individual (78,3%), sendo que 27,1% mostra-se indiferente perante esta afirmação. Todos os alunos afirmam que este permitiu ter perspetivas de novas estratégias
57 na resolução das tarefas. Grande parte da turma (95,7%) alega que este método de trabalho contribuiu de forma positiva para o seu estudo de funções. Sendo a calculadora gráfica e a comunicação escrita o objetivo deste estudo, cerca de 78,3% dos alunos afirma que o trabalho em grupo ajudou a melhorar a sua comunicação escrita e cerca de 91,3% dos alunos garante que este método de trabalho também contribuiu para descobrir mais funcionalidades da calculadora gráfica. Tabela 13. Perceções (%) dos alunos relativamente ao trabalho em grupo (𝑛 = 23) Afirmação DT/D I C/CT 𝑥 O trabalho em grupo permitiu ter perspetivas de novas estratégias na resolução das tarefas. 0% 0% 100% 4,65 O trabalho em grupo contribuiu de forma positiva para o estudo de funções. 0% 4,3% 95,7% 4,39 Apreciei mais o trabalho em grupo do que o trabalho individual. 0% 21,7% 78,3% 4,13 O trabalho em grupo ajudou-me a melhorar a minha escrita matemática. 0% 21,7% 78,3% 4,09 O trabalho em grupo ajudou-me a descobrir mais funcionalidades da calculadora gráfica. 4,35% 4,35% 91,3% 4,30 Em suma, com exceção de três respostas, a média das outras varia entre 3,74 e 4,74 num máximo possível de 5 sendo que as três respostas variam entre 2,3 e 2,87, onde os alunos afirmam dificuldades em transcrever os seus raciocínios, dificuldades nas tarefas propostas e preferência em expressar-se de forma escrita. Perante os resultados, conclui-se que os alunos tiveram opiniões favoráveis relativamente ao teor das questões de natureza fechada. As duas primeiras questões de natureza aberta pediram aos alunos para destacarem três vantagens e três desvantagens da comunicação escrita na aprendizagem do tópico de funções. Segundo os alunos a maior vantagem da comunicação escrita na aprendizagem de funções é o facto de poder organizar os pensamentos (Tabela 14).
58 Tabela 14. Vantagens da comunicação escrita na aprendizagem do tópico de funções (𝑛 = 23) Afirmações Frequência Organizar o pensamento 15 Familiarizar conceitos 5 Expressar a resolução por palavras 4 Compreender funções 4 Descobrir diferentes formas de resolução 3 Compreensão do enunciado 3 Facilita a resolução das tarefas 3 Expor o raciocínio de forma sintética e organizada 2 Transmitir o raciocínio aos outros 2 Permite rever os raciocínios 1 Permite expressar o domínio por palavras 1 Apenas cinco alunos mencionam que a comunicação escrita permite familiarizar conceitos e apenas outros quatro seguem a mesma linha de pensamento ao afirmarem que a comunicação escrita permite compreender o estudo de tópicos de funções. Ainda como vantagens temos quatro alunos que mencionam que a comunicação escrita permite expressar o seu raciocínio por palavras e temos dois que indicam que esta o permite transmitir a informação a outros intervenientes. O facto de a comunicação escrita permitir a transmissão de diferentes raciocínios, leva a que três alunos nesta resposta afirmem que a comunicação escrita permite descobrir novas estratégias para a resolução de tarefas. Para os alunos, a maior desvantagem da comunicação escrita é o tempo que tem de ser dispensado para conseguir uma boa produção escrita (Tabela 15). Tabela 15. Desvantagens da comunicação escrita na aprendizagem do tópico de funções (𝑛 = 23) Afirmações Frequência Tempo 10 Confuso 6 Dificuldade em expressar o pensamento 5 Treino 3 Difícil compreensão 3 Necessita mais raciocínio 3 Uso de linguagem matemática 2 Nenhuma 2 Desmotiva 1 Mais difícil de expressar que oralmente 1 Transcrever o que vê na calculadora gráfica para o caderno 1
59 Relativamente às desvantagens, seis alunos afirmam que a comunicação escrita lhes faz confusão, pois para eles este método é complexo e confuso. Neste seguimento, três alunos mencionam que a comunicação escrita precisa de mais raciocínio, é de difícil compreensão e exige treino. De notar que cinco alunos indicam que sentem dificuldades em expressar o pensamento de forma escrita e seguindo esta linha de pensamento, podemos observar que um aluno diz que sente dificuldades em transcrever o que observa na calculadora gráfica para o caderno e um dos alunos alega que prefere expressar o seu raciocínio oralmente. Apenas dois alunos mencionam que uma das desvantagens da comunicação escrita é o uso de linguagem matemática. De realçar, que apenas dois alunos da turma afirmam não haver desvantagens na comunicação escrita na aprendizagens de tópicos de funções. Uma vez que grande parte do trabalho em sala de aula foi realizado em grupo, os alunos tiveram a oportunidade, através de questões de natureza aberta, de indicarem três aspetos positivos e três aspetos negativos do trabalho em grupo. De realçar que o aspeto positivo com mais ênfase é a interajuda existente neste método de trabalho. Além da interajuda ser o aspeto que assume mais votos no que diz respeito aos aspetos positivos do trabalho em grupo, existem mais três que também se destacam dos restantes, nomeadamente os ‘diferentes raciocínios’ e a ‘partilha de pensamentos’ que contam com dez votos e a dinamização da tarefa que consegue nove votos. Apenas cinco alunos mencionam como aspeto positivo do trabalho em grupo o desenvolvimento do raciocínio e outros cinco afirmam que o trabalho em grupo melhora a relação entre os colegas. De realçar o facto de apenas dois alunos mencionarem como aspeto positivo a descoberta de novas funcionalidades da calculadora gráfica (Tabela 16). Tabela 16. Aspetos positivos do trabalho em grupo (𝑛 = 23) Afirmações Frequência Interajuda 17 Diferentes raciocínios 10 Partilha de ideias 10 Dinamiza a tarefa 9 Desenvolve o raciocínio 5 Melhora a relação entre a turma 5 Incentiva o trabalho 4 Descobrir mais funcionalidades da calculadora gráfica 2 Melhor que o trabalho individual 2 Rapidez na resolução da tarefa 1
60 O aspeto negativo que mais se destaca do trabalho em grupo é o facto de poder haver desentendimento na partilha de pensamentos (Tabela 17). Tabela 17. Aspetos negativos do trabalho em grupo (𝑛 = 23) Afirmação Frequência Desentendimento na partilha de pensamentos 10 Falta de empenho 7 Distração 7 Falta de comunicação 4 Nenhuma 4 Vergonha na partilha 3 Dificuldade na distribuição das tarefas 3 Não estão todos no mesmo nível 2 Demora mais tempo 2 Falta de intimidade 1 Ritmos diferentes prejudica o rendimento 1 Diferentes formas de pensar 1 Diminui a capacidade de calculo individual 1 Relativamente aos aspetos negativos, sete alunos realçam que o trabalho em grupo gera muita distração em sala de aula. A mesma quantidade de alunos menciona que a falta de empenho por parte dos elementos é um dos principais aspetos negativos do trabalho em grupo. A falta de comunicação também é referida como um dos aspetos negativos, contabilizando um total de quatro votos, assim como a dificuldade em fazer a distribuição de tarefas contabilizando três. De realçar, os três alunos que mencionam poder existir vergonha em partilhar as ideias no trabalho em grupo e um na falta de intimidade por parte dos elementos. Somente quatro alunos mencionaram que não existe nenhuma aspeto negativo no trabalho em grupo. Sendo que a realização de tarefas ocupou maior parte da minha intervenção e o objetivo do estudo envolve a comunicação escrita com auxílio da calculadora gráfica, é essencial saber as perceções dos alunos perante este tema. Nesse sentido, as duas últimas questões de natureza aberta tiveram como objetivo perceber as dificuldades que os alunos sentiram na comunicação escrita na realização das tarefas com e sem calculadora gráfica. Como podemos ver na Tabela 18, oito alunos assumem que o facto de não conseguirem observar a função gera dificuldades na resolução da tarefa e no mesmo sentido dois alunos afirmam que sentem dificuldades em fazer o estudo de funções sem a calculadora gráfica. Outra dificuldade que ganha destaque é o facto de sete alunos sentirem dificuldades em expressar o seu raciocínio de forma analítica. Esta dificuldade pode suceder das duas seguintes, uma vez que estão
67 vezes em momentos de discussão com os grupos as sugestões dadas fossem demasiadamente diretas ou então nos momentos de discussão em grupo turma o meu envolvimento não fosse o mais adequado; e na utilização da calculadora gráfica, onde, dependendo das versões ou dos modelos, senti dificuldades em auxiliar os alunos no manuseamento da mesma. Por parte dos alunos, o trabalho em grupo criou algumas limitações uma vez que, em algumas situações, o envolvimento dos alunos nas tarefas propostas não era o expectável. Mesmo com grupos heterogéneos, o desempenho dos mesmos era diferenciado, sendo que houve alunos que contribuíram mais para as tarefas do que outros. Para resolver este problema alternei os grupos, mantendo a heterogeneidade dos mesmos. Outra limitação visível em alguns alunos foi observada no manuseamento da calculadora gráfica, uma vez que alguns deles mostraram não conhecer todas as funcionalidades deste artefacto e não conseguir ajustar as janelas de visualização aos gráficos das funções nos intervalos pretendidos. Para estudos futuros recomendo que na elaboração de planos de aula, se deve ter em atenção a gestão do tempo, visto que o essencial é o ‘sumo’ que a tarefa pode trazer para a discussão e não a quantidade de tarefas. Neste sentido, outra recomendação segue para a elaboração de tarefas de exploração mais diversificadas, onde os alunos tenham de trabalhar com a calculadora gráfica e escrever os processos utilizados nas mesmas para alcançar o objetivo, onde os alunos tenham de escrever composições matemáticas, uma vez que eles sentem dificuldades nesse tipo de produções. Outra sugestão é promover a discussão em grupo turma, de modo que sejam os alunos a validar as respostas às tarefas propostas.
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75 Anexos
76 Anexo 1 – Pedido de autorização aos Encarregados de Educação Exmo(a). Sr(a). Encarregado(a) de Educação, No âmbito do Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário, da Universidade de Minho, enquanto professor estagiário, pretendo desenvolver uma experiência de ensino que potencie a aprendizagem dos alunos. O desenvolvimento dessa experiência implica a recolha de dados, que serão obtidos através da resolução de tarefas e da observação de aulas. Para uma melhor compreensão das atividades que se desenvolvem na aula de Matemática necessito de proceder à recolha de dados através de gravações (áudio e vídeo). Para esse fim, venho por este meio solicitar a sua autorização para proceder ao registo em suporte áudio e vídeo dos dados necessários à concretização da experiência de ensino e de aprendizagem na sala de aula do seu educando. Comprometo-me a usar os dados apenas para fins académicos e a não divulgar o nome da escola e dos alunos, nem expor qualquer indicador que envolva o seu educando. Agradeço desde já a sua colaboração. Com os melhores Cumprimentos Braga, 5 de novembro de 2021 O estagiário de Matemática, -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (João Filipe Silva) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ Autorização Eu, ___________________________________________________, Encarregado de Educação do(a) aluno(a) _________________________________________, autorizo que se faça o registo em áudio e vídeo das atividades de ensino e de aprendizagem na aula de Matemática que envolvem o meu educando desde que seja salvaguardado o anonimato do seu nome e de qualquer indicador que o indicie. Encarregado(a) de Educação, ___________________________________________________
83 Anexo 4 – Planificação das aulas Plano da Aula 1 Comentários Tópico: Funções racionais Objetivo: Definir função racional. Determinar o domínio de funções racionais. Conhecimentos Prévios: Generalidades acerca de função real de variável real; Funções polinomiais. Formato de Ensino: Ensino exploratório. Tarefa: A viagem de barco Um grupo de 20 escuteiros pretende efetuar uma visita ao estuário do Tejo. Para esse efeito, precisam de alugar um barco, com lotação máxima de 50 pessoas, cujo preço é de 1750€. Para tornar a despesa mais económica, decidiram convidar alguns amigos. O Emanuel está no grupo dos 20 escuteiros, mas só tem 45€ para gastar na visita. Quantos amigos terão, no mínimo, de ser convidados para que o Emanuel possa ir à visita? (Na tua resposta, apresenta e justifica todos os procedimentos e raciocínios que tiveste) Exploração 1. Entregar a tarefa ‘A viagem de barco’ aos alunos e, após a sua leitura, questionálos sobre os dados da tarefa e o que se pretende determinar. 2. Propor à turma a exploração da tarefa. 3. Propor aos alunos que, relativamente à tarefa ‘A viagem de barco’, respondam às seguintes questões: a) Qual é o custo, 𝐶, da visita em função do número, 𝑛, de novos elementos? b) Qual é, no contexto do problema, o domínio da função definida na alínea anterior? c) Qual será o custo mínimo que cada elemento tem de pagar pela visita? d) Representa graficamente a função 𝐶 e indica quantos amigos terão, no mínimo, de ser convidados para que o Emanuel possa ir à visita? e) Sabendo que: As funções 𝑓 e 𝑔, definidas por 𝑓(𝑥)= 𝑥3+ 2𝑥2− 3 e 𝑔(𝑥) = 𝑥−3 𝑥4+5𝑥2 são racionais e que as funções ℎ e 𝑖 definidas por ℎ(𝑥)=√𝑥 − 5 e 𝑖(𝑥) = 3𝑥2−7 √2𝑥4+3𝑥 3 não são racionais, define função racional. 4. Discutir a resolução da tarefa pelos alunos. Prática 1. Com a ajuda da calculadora gráfica completa a seguinte tabela: 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −3𝑥2 + 5𝑥 − 1 ℎ(𝑥) = 𝑥3+ 5𝑥2 − 6 𝑖(𝑥) = 2𝑥4+ 𝑥3 − 8𝑥2− 8 Domínio Turma de 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias com a duração de 90 minutos. Pretende-se avaliar conhecimentos e capacidades (resolução de problemas, composição escrita e argumentação). O formato de ensino adquire características do ensino exploratório, ao proporcionar momentos de trabalho em torno de tarefas: (i) Introdução; (ii) Exploração; (iii) Discussão e Sistematização de conhecimentos. Os alunos são organizados em pares e trios. Introdução da tarefa : Entregar aos alunos a tarefa. Solicitar que leiam o enunciado da tarefa e refiram os dados e o que se pretende determinar. (duração 5 minutos) Exploração da tarefa : Resolução da tarefa. Apoiar os alunos na resolução da tarefa, identificando dúvidas, estratégias e formas de explorar a calculadora gráfica e de registar os seus raciocínios no papel. (duração 10 minutos) - Após terminar a exploração, os alunos irão resolver a mesma tarefa, mas desta vez com questões direcionadas. (duração 15 minutos) Discussão e Sistematização de conhecimentos: - Discussão no grupo turma sobre a resolução da tarefa em cada trios e pares (duração 15 minutos). - Tendo como referência os resultados, introduzir a noção de função racional. (duração 5 minutos) Na prática haverá lugar para a exploração (duração 15 minutos) e para a discussão (duração de 10 minutos). Tendo como referência os resultados, introduzir a
84 Contradomínio Zeros Monotonia Sinal Extremos Gráfico 2. Que conclusões tirar da análise dos seguintes quocientes: 𝑎(𝑥) =𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) 𝑏(𝑥)=ℎ(𝑥) 𝑓(𝑥) 𝑐(𝑥)=𝑖(𝑥) ℎ(𝑥) Domínio Zeros Monotonia Sinal Gráfico Síntese Considerando P(x) e Q(x) dois polinómios quaisquer, como definir uma função racional? noção do domínio de uma função racional. (duração 5 minutos).
85 Plano da Aula 4 Comentários Tópico: Funções racionais Objetivos: Estudar o sinal de uma Função Racional. Resolver inequações Fracionárias Conhecimentos Prévios: Generalidades acerca de função real de variável real; Funções polinomiais. Formato de Ensino: Ensino exploratório. Tarefa: O Crocodilo do Nilo 1. Num determinado rio, com 20 metros de profundidade, os cientistas estudaram o comportamento de um crocodilo quando avista uma presa até a matar por afogamento. Nesse estudo, os cientistas consideraram a função 𝑝, definida por 𝑝(𝑡)=2𝑡2−36𝑡+154 𝑡−14 , para traduzir a distância em metros a que o crocodilo se encontra do nível da água do rio em função de 𝑡 segundos, após ter visto a presa. (Para as seguintes questões considera o domínio da função [0 ,14[ e esboça os gráficos que utilizares) 1. A que profundidade o crocodilo se encontra quando começa a preparar o ataque à presa? 2. Após iniciar o ataque, quanto tempo demora o crocodilo a chegar à superfície? 3. Quanto tempo permanece o crocodilo no ar/ com a boca fora da água? 4. Num determinado momento, o crocodilo apanhou uma cegonha quando estava a fugir. Qual é o alcance máximo que permitiu ao crocodilo apanhar a cegonha (arredondado às centésimas)? 5. Sabendo que o crocodilo não pode ultrapassar os 16 metros de profundidade, quanto tempo, em segundos, aproximados às centésimas, está o crocodilo debaixo de água? 6. Determina os valores que verificam as seguintes condições e interpreta no contexto da tarefa. 𝑝(𝑡)< 0 𝑝(𝑡)> 0 Exploração 1. Entregar a tarefa ‘O crocodilo do Nilo’ aos alunos e, após a sua leitura, questioná-los sobre os dados da tarefa e o que se pretende determinar. 2. Propor à turma a exploração da tarefa. 3. Discutir a resolução da tarefa pelos alunos. 4. Considerando a função 𝑓 real de variável real definida por 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑥) 𝑄(𝑥), em que 𝑃 e 𝑄 são polinómios, como estudar o sinal da função 𝑓? Tarefa: Áreas dos quadriláteros Considera a função 𝑓, de domínio ℝ, definida por 𝑓(𝑥)=30𝑥+40 𝑥2+4𝑥+5. Na figura, está representado parte do gráfico da função 𝑓, o ponto 𝐴 com coordenadas (0, 5), o ponto 𝑃, de abcissa positiva, que pertence ao gráfico de 𝑓 e o trapézio [𝑂𝐴𝑃𝐵]. Num determinado ponto do gráfico da função 𝑓, o trapézio transforma-se num retângulo. Determina, analiticamente, os valores de 𝑥 que fazem com que a área do trapézio não seja inferior à área do retângulo? Turma de 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias com a duração de 90 minutos. Pretende-se avaliar conhecimentos e capacidades (resolução de problemas, composição escrita e argumentação). O formato de ensino adquire características do ensino exploratório, ao proporcionar momentos de trabalho em torno de tarefas: (i) Introdução; (ii) Exploração; (iii) Discussão e Sistematização de conhecimentos. Os alunos são organizados em pares e trios Introdução da tarefa : Entregar aos alunos o enunciado da tarefa. Solicitar que leiam o enunciado da tarefa e refiram os dados e o que se pretende determinar. (duração 5 minutos) Exploração da tarefa : Resolução da tarefa. Apoiar os alunos na resolução da tarefa, identificando dúvidas, estratégias e formas de explorar a calculadora gráfica e de registar os seus raciocínios no papel. (25 minutos) Discussão e Sistematização de conhecimentos: Discussão no grupo turma sobre a resolução da tarefa (duração 10 minutos). - Tendo como referência os resultados, introduzir o sinal da função racional. (duração 5 minutos) Introdução da tarefa (duração 5 minutos) Exploração da tarefa : Resolução da tarefa. Apoiar os alunos na resolução da tarefa, identificando dúvidas, estratégias e formas de explorar a calculadora gráfica e de registar os seus raciocínios no papel (duração 15 minutos) Discussão e Sistematização de conhecimentos: Discussão no grupo turma sobre a resolução da tarefa (duração 10 minutos) - Tendo como referência os resultados, introduzir a noção de inequação fracionária. (duração 5 minutos).
86 Exploração 1. Entregar a tarefa ‘Área dos quadriláteros’ aos alunos e, após a sua leitura, questioná-los sobre os dados da tarefa e o que se pretende determinar. 2. Propor à turma a exploração da tarefa. 3. Discutir a resolução da tarefa pelos alunos. 4. Questionar aos alunos como resolveriam a tarefa caso não pudessem utilizar calculadora gráfica. Síntese Final Pedir aos alunos que respondam às seguintes questões: 1. Que tópicos matemáticos aprendeste na aula de hoje? 2. Que vantagens trouxe a calculadora gráfica na resolução desta tarefa? 3. Que dificuldades tiveste na resolução das tarefas de hoje? Tarefas Adicionais: 1. No referencial da figura está representado um triângulo [𝑂𝑃𝐴]. O vértice 𝑃 tem abcissa positiva e pertence ao gráfico da função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=6 𝑥+1. O vértice 𝐴 tem ordenada nula e a sua abcissa excede a abcissa de 𝑃 em duas unidades. Designa por 𝑔 a função que a abcissa 𝑥 do ponto 𝑃 faz corresponder à área do triângulo [𝑂𝐴𝑃]. 1.1. Mostra que 𝑔(𝑥)=3𝑥+6 𝑥+1 . 1.2. Resolve a inequação 𝑔(𝑥)> 5. 2. No referencial da figura, está representado um retângulo [𝑂𝐴𝑃𝐵] em que o vértice 𝑃, de abcissa positiva, pertence ao gráfico da função 𝑓 definida por 𝑓(𝑥)=8𝑥 𝑥+1. Seja 𝑥 a abcissa do ponto 𝑃. Determina 𝑥 de modo que: 2.1.[𝑂𝐴𝑃𝐵] seja um quadrado; 2.2.A área do retângulo [𝑂𝐴𝑃𝐵] seja menor que 18. Para a síntese final, os alunos, com a primeira questão, terão de propor um sumário para a aula. (5 minutos) As seguintes questões irão responder numa folha para responderem em sala de aula. (5 minutos) Caso haja tempo útil de aula, as tarefas adicionais serão realizadas após a discussão, com o grupo turma, das tarefas efetuadas anteriormente. As tarefas adicionais são retiradas do manual “Novo espaço, Parte 2” de Matemática do 11.º ano, utlizado pelos alunos, da página 106, 107, 108. Caso não haja tempo útil, as tarefas adicionais passarão para trabalho de casa, com o intuito de sistematizar e consolidar o conteúdo abordado na aula. Plano da Aula 7 Comentários Tópico: Funções racionais Objetivos: Reconhecer, interpretar e representar graficamente funções racionais e usálas na resolução de problemas. Conhecimentos Prévios: Generalidades acerca de função real de variável real; Funções polinomiais; Assintotas ao gráfico de uma função real de variável real. Formato de Ensino: Ensino exploratório. Tarefa: Áreas Turma de 11.º ano do curso de Ciências e Tecnologias coma duração de 90 minutos. Pretende-se avaliar conhecimentos e capacidades (resolução de problemas, composição escrita e argumentação). O formato de ensino adquire características do ensino exploratório, ao proporcionar momentos de trabalho em torno de tarefas: (i) Introdução; (ii) Exploração; (iii) Discussão e Sistematização de conhecimentos. Os alunos são organizados em pares e trios
87 Na figura encontram-se representados parte dos gráficos de duas funções racionais 𝑓 e 𝑔, as respetivas assintotas e um quadrilátero [𝐴𝐵𝐶𝑃]. Sabemos que: • 𝑓(𝑥)=−5𝑥+12 𝑥−4 ; • a reta 𝑦 = −2 é uma assintota; • as funções 𝑓 e 𝑔 admitem uma assintota comum; • os gráficos das funções têm um ponto em comum que pertence ao eixo Oy; • o ponto 𝑃 pertence ao gráfico da função 𝑓 e toma valores entre [0,4[. Quando é que a área do quadrilátero [𝐴𝐵𝐶𝑃] é mínima. Exploração: 1. Entregar a tarefa ‘Áreas’ aos alunos e, após a sua leitura, questioná-los sobre os dados da tarefa e o que se pretende determinar. 2. Propor à turma a exploração da tarefa. 3. Discutir a resolução da tarefa pelos alunos. 4. Tirar conclusões sobre o estudo onde de funções racionais através das propriedades das funções do tipo 𝑓(𝑥)= 𝑎 + 𝑏 𝑥−𝑐 onde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ e 𝑏 ≠ 0. Tarefa: Derrame de óleo Num rio houve um derrame de óleo. O alerta foi dado às 8 horas e logo de seguida, para combater a poluição rodearam a superfície poluída com barreiras flutuantes. Quando a área poluída é máxima iniciaram a aspiração do óleo. O fim da intervenção ocorreu quando a área afetada era 3% da área registada no momento do alerta. Admite que 𝑡 horas após o alerta, a área da superfície da água poluída, em 𝑚2, era dada pela função 𝐴 definida por 𝐴(𝑡)=−3𝑡3−50𝑡2+960𝑡 + 560 20𝑡 + 16 Numa composição responde às seguintes questões: • Qual a área da superfície poluída no momento do alerta? • A que horas se deu o início da aspiração? (horas e minutos) • Qual a área da superfície poluída quando começou a aspiração? • A que horas se deu o fim da intervenção? (horas e minutos) (Preserva sempre 3 casas decimais.) Exploração: 1. Entregar a tarefa ‘Derrame de óleo’ aos alunos e, após a sua leitura, questionálos sobre os dados da tarefa e o que se pretende determinar. 2. Propor à turma a exploração da tarefa. 3. Discutir a resolução da tarefa pelos alunos. Síntese Final Pedir aos alunos que respondam às seguintes questões: 4. Que vantagens trouxe a calculadora gráfica na resolução destas tarefas? 5. Que dificuldades tiveste na resolução das tarefas de hoje? Introdução da tarefa : Entregar aos alunos o enunciado da tarefa. Solicitar que leiam o enunciado da tarefa e refiram os dados e o que se pretende determinar. (duração 5 minutos) Exploração da tarefa : Resolução da tarefa. Apoiar os alunos na resolução da tarefa, identificando dúvidas, estratégias e formas de explorar a calculadora gráfica e de registar os seus raciocínios no papel. (25 minutos) Discussão e Sistematização de conhecimentos: Discussão no grupo turma sobre a resolução da tarefa (duração 10 minutos). Introdução da tarefa : Entregar aos alunos o enunciado da tarefa. Solicitar que leiam o enunciado da tarefa e refiram os dados e o que se pretende determinar. (duração 5 minutos) Exploração da tarefa : Resolução da tarefa. Apoiar os alunos na resolução da tarefa, identificando dúvidas, estratégias e formas de explorar a calculadora gráfica e de registar os seus raciocínios no papel. (15 minutos) Discussão e Sistematização de conhecimentos: Discussão no grupo turma sobre a resolução da tarefa (duração 10 minutos). Síntese (duração 5 minutos)