Návrh a měření LC oscilátoru, RC a funkčního generátoru periodických signálů

Návrh a měření LC oscilátoru, RC a funkčního generátoru periodických signálů Datum: 6.8.2019 Autor: Ing. Zdeněk Tesař Ing. Karel Witas, Ph.D. Kontakt: [email protected] [email protected] Předmět: Základy elektroniky Cíl cvičení:  seznámit studenty s generátory harmonických a neharmonických průběhů Před cvičením si z přednášek a doporučené literatury nastudujte: • rezonanční obvody, invertující a neinvertující zapojení operačního zesilovače, zapojení operačního zesilovače ve funkci integrátoru a komparátoru, práci s VA charakteristikami diod a rezistorů Zadání: LC oscilátor 1. Pro uvedené zapojení LC oscilátoru stanovte podmínky vzniku oscilací a jejich frekvenci řešením charakteristické rovnice (CE) obvodu LC. OBR. 1: Zapojení LC oscilátoru Charakteristickou rovnici (CE) určíme z přenosové impedance 𝑍𝑇(𝑝)=𝑢3(𝑝) 𝑖1(𝑝)=𝑁(𝑝) 𝐷(𝑝) [Ω] položením jmenovatele rovno nule, 𝐷(𝑝)=0. Ze zapojení obvodu na obr. 1 vyplývají následující vztahy: 𝑖1=𝑖𝑎+𝑖𝑏=𝑢1 𝑅𝑎+𝑢1−𝑢3 𝑅𝑏 𝑖𝑅=𝑖𝐿+𝑖𝐶=𝑢2−𝑢3 𝑅=𝑢3 𝑝𝐿+𝑢3 1 𝑝𝐶 𝑢2=𝐴𝑢1 Pro přenosovou impedanci ZT (p) platí: 𝑍𝑇(𝑝)=𝑢3(𝑝) 𝑖1(𝑝)=𝑝𝐿 𝑅𝑎𝑅𝑏 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴 𝑝2𝑅𝐿𝐶+𝑝𝐿(1− 𝑅𝑎 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴)+𝑅 [Ω] Pro charakteristickou rovnici (CE) platí: 𝐷(𝑝)=0 𝑝2𝑅𝐿𝐶+𝑝𝐿(1− 𝑅𝑎 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴)+𝑅 =0 𝑝=𝑗𝜔 (𝑗𝜔)2𝑅𝐿𝐶+𝑗𝜔𝐿(1− 𝑅𝑎 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴)+𝑅 =0 −𝜔2𝑅𝐿𝐶+𝑅+𝑗𝜔𝐿(1− 𝑅𝑎 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴)=0 Aby mohla být charakteristická rovnice rovna nule, musí být nule rovna jak její reálná, tak i imaginární část. Pro reálnou část Re platí: 𝑅(1−𝜔2𝐿𝐶)=0 Pro imaginární část Im platí: 𝜔𝐿(1− 𝑅𝑎 𝑅𝑎+𝑅𝑏𝐴)=0 Řešením rovnice pro reálnou část Re získáme vztah pro frekvenci oscilátoru: 𝜔0=1 √𝐿𝐶 [rad∙s−1]; 𝑓0=1 2𝜋√𝐿𝐶 [Hz] (1) Řešením rovnice pro imaginární část Im získáme vztah pro minimální zesílení smyčky A: 𝐴>1+𝑅𝑏 𝑅𝑎 [−] (2) 2. Vypočtěte hodnoty součástí rezonančního obvodu oscilátoru pro rezonanční kmitočet f0 = 1 kHz a hodnotu indukčnosti L = 1 H. Navrhovaná část se nachází ve zvýrazněném poli na obr. 2. Zahrnuje rezistor R, rezonanční cívku L, rezonanční kondenzátor C a parazitní odpor rezonančního obvodu Rp. Tento odpor je zakreslen čárkovaně, protože se nejedná o diskrétní součástku, ale o vyjádření ztrát v cívce L (ztráty ve vinutí, hysterezní ztráty v jádře) a kondenzátoru C (polarizační ztráty v dielektriku). Nejprve vypočítáme hodnotu kapacity C ze vztahu (1), který upravíme následovně: 𝐶 = 1 (2𝜋𝑓0)2𝐿 [F] Po dosazení hodnot f0 = 1 kHz a L = 1 H vychází hodnota kapacity přibližně 25 nF. OBR. 2: Návrh rezonančního obvodu RLC Rezistor R a parazitní odpor Rp tvoří napěťový dělič. Protože se cívka realizuje modulem stavebnice RC2000, která má hodnotu indukčnosti L = 1 H, dá se očekávat poměrně nízká hodnota odporu Rp (velké ztráty), a to asi kolem 50 k. Aby při průchodu signálu rezonančním obvodem nedocházelo k přílišnému útlumu napětí, je vhodné volit hodnotu odporu rezistoru R také nízkou, a to v relaci 5 k < R < 10 k. Pozn.: Přesněji řečeno, omezení platí z obou stran, neboť při příliš malém odporu R je degradována jakost Q rezonančního obvodu. Buzení rezonančního obvodu se totiž děje z napěťového zdroje (výstup zesilovače A) a výsledný ztrátový odpor rezonančního obvodu je určen paralelní kombinací R a Rp. Při návrzích rezonančních obvodů se proto dává přednost buzení z proudového zdroje (např. z kolektorového obvodu bipolárního tranzistoru), jehož vnitřní odpor je v ideálním případě nekonečný. 3. Navrhněte obvod stabilizace výstupního napětí oscilátoru tak, aby byla jeho amplituda U3 = 5 V a určete potřebné zesílení A. OBR. 3: Návrh odporového děliče Ra, Rb určujícího rozkmit výstupního napětí u3 Navrhovaná část se nachází ve zvýrazněném poli na obr. 3. Zahrnuje odporový dělič tvořený rezistory Ra, Rb. Nemá-li docházet k saturaci zesilovače A, případně napěťového sledovače na výstupu s přenosem A = 1, musí být napěťový přenos odporového děliče Ra, Rb napěťově závislý. Za tímto účelem stačí nahradit rezistor Ra pomocí nelineárního prvku, např. diody. Aby byla změna přenosu děliče Ra, Rb pozvolná a vnesené zkreslení VA charakteristikou diody co nejmenší, používá se sérioparalelní zapojení diod a rezistorů, jak je patrné z obr. 4. OBR. 4: Obvod stabilizace amplitudy výstupního napětí u3 Protože vstupující napětí u3 je střídavé, musí být použity dvě diody D1 a D2 v protifázi. Při návrhu nelineárního napěťového děliče jsou určující následující napěťové přenosy: 𝑢1 𝑢3=𝑅𝑎1+𝑅𝑎2 𝑅𝑏+𝑅𝑎1+𝑅𝑎2 =𝑅𝑎 𝑅𝑏+𝑅𝑎 (3) 𝑈𝐹0 𝑈3=𝑅𝑎2 𝑅𝑏+𝑅𝑎1+𝑅𝑎2 (4) První napěťový přenos vyjádřený rovnicí (3) popisuje útlum smyčky oscilátoru. Tento útlum musí být kompenzován zesilovačem A, aby byla splněna podmínka oscilací (2). Všimněme si, že vztahy (2) a (3) jsou reciproké. Čím bude dělicí poměr větší, tím bude potřeba většího zesílení A. To však může znamenat menší kmitočtový rozsah, který ještě bude schopen zesilovač A zpracovat. První napěťový přenos tak bude vázán na druhý napěťový přenos vyjádřený rovnicí (4). Přesněji řečeno, určující bude poměr požadované velikosti amplitudy U3 vůči otevíracímu napětí diody UF0 a poměr odporů Ra1 ku Ra2. Pokud bude uvedený poměr velký (Ra1 > Ra2), bude sice zkreslení napětí u3 malé, ale jeho stabilita nízká. Pokud bude uvedený poměr malý (Ra1 < Ra2), bude zase stabilita napětí u3 vysoká, ale s ním i zkreslení. Bude proto vhodné volit shodu Ra1 = Ra2 = Rax. Vztah (3) můžeme přepsat: 𝑢1 𝑢3=2𝑈𝐹0 𝑈3=2𝑅𝑎𝑥 𝑅𝑏+2𝑅𝑎𝑥 𝑅𝑎𝑥 =2𝑈𝐹0𝑅𝑏 2𝑈3−4𝑈𝐹0 [Ω] Pokud má být výstupní amplituda U3 = 5 V a pokud volíme UF0 = 0.7 V (křemíková dioda) a Rb = 10 k (nepřetěžuje výstup oscilátoru), činí hodnota rezistoru Rax = 2 k, Ra = 2Rax = 4 k. Potřebné zesílení A potom vychází z podmínky oscilací (2): 𝐴=𝑅𝑏+𝑅𝑎 𝑅𝑎 [−] Po dosazení Rb = 10 k a Ra = 4 k je hodnota zesílení A = 3.5. Zesilovač A je realizován operačním zesilovačem v neinvertujícím zapojení. Ten je zakreslen na obr. 5 ve zvýrazněném poli. Zesílení neinvertujícího zesilovače je dáno vztahem: 𝐴=1+𝑅2 𝑅1 [−] Pro zesílení A = 3.5 a R1 = 10 k činí hodnota R2 = 25 k. Dá se očekávat, že použitá hodnota R2 bude muset být ještě vyšší, aby kompenzovala přenos děliče Rp / (R+Rp) rezonančního obvodu. OBR. 5: Návrh pasivní sítě neinvertujícího operačního zesilovače A 4. Zapojte oscilátor podle obr. 5 za pomocí dílů stavebnice RC 2000. K napájení modulu operačního zesilovače a oddělovacího zesilovače s přenosem A = 1 použijte stejnosměrné napětí 5 V; změřte kmitočet a amplitudu napětí u3 navrženého oscilátoru. Měření porovnejte s výpočtem a nalezené rozdíly zdůvodněte. RC generátor 5. Pro uvedené zapojení RC generátoru na obr. 6 odvoďte vztahy pro frekvenci a amplitudu trojúhelníkového a obdélníkového signálu. Generátor na obr. 6 lze rozdělit do tří částí. První částí je integrátor, který sestává z operačního zesilovače OZ1, rezistoru R1 a kondenzátoru C1. Pokud přivedeme na vstup integrátoru konstantní napětí U1, začne rezistorem R1 protékat proud, který nabíjí kondenzátor C1. Napětí na výstupu operačního zesilovače u2 se mění lineárně podle vzorce: 𝑢2=𝑡 𝑅1𝐶1𝑢1 [𝑉] (5) OBR. 6: Generátor obdélníkového a trojúhelníkového signálu Pokud je napětí U1 neměnné a kladné, napětí u2 lineárně klesá, pokud je naopak napětí U1 neměnné a záporné, napětí u2 lineárně stoupá, viz obr. 7. Druhou částí je invertující zesilovač, který sestává z operačního zesilovače OZ2 a rezistorů R2 a R3. Jeho výstupní napětí u3 má oproti vstupnímu napětí u2 opačnou fázi. Platí: 𝑢3=−𝑅3 𝑅2𝑢2 [𝑉] (6) Zpravidla se volí R3 = R2. Potom rozkmit napětí u3 je shodný s rozkmitem napětí u2, liší se pouze fáze, opět viz obr. 7. Třetí částí je komparátor, který sestává z operačního zesilovače OZ3 a odporového děliče R4, R5. Napětí na výstupu komparátoru u1 nabývá pouze dvou hodnot, a to kladné saturační napětí + Usat a záporné saturační napětí – Usat, obr. 7. Děje se tak díky kladné zpětné vazby, která je zavedena z výstupu operačního zesilovače OZ3 do neinvertujícího vstupu přes dělič R4, R5. Komparátor mění výstupní hodnotu napětí na – Usat při překročení kladného prahového napětí + U+ a naopak, komparátor mění výstupní hodnotu napětí do + Usat při podkročení záporného prahového napětí - U+. Při napájení operačního zesilovače OZ3 symetrickým napětím (což je u stavebnice RC 2000 splněno) se dá uvažovat |+ Usat|=|- Usat|. Potom jsou si také rovny absolutní hodnoty kladného a záporného prahového napětí |+ U+|=|- U+|. Jejich hodnota je dána vztahem pro nezatížený odporový dělič: |𝑈+|=𝑅5 𝑅4+𝑅5|𝑈𝑠𝑎𝑡| [𝑉] (7) Z výše uvedeného popisu chování jednotlivých částí RC generátoru lze odvodit výpočetní vztahy pro frekvenci a amplitudu generovaných signálů. Nejprve se podívejme na trojúhelníkový signál. Jak je patrné z obr. 7, rozkmit trojúhelníkového signálu je dvojnásobkem napětí |U+| a amplituda trojúhelníkového signálu odpovídá právě napětí |U+|. Pro výpočet amplitudy trojúhelníkového signálu lze proto použít vztah (7). Perioda a odtud i frekvence trojúhelníkového signálu je dána součtem doby jednoho nabití a jednoho vybití kondenzátoru C1 mezi úrovněmi +|U+| a - |U+|. Za napětí u2 ve vztahu (5) je proto možné dosadit 2|U+|. Za napětí u1 ve vztahu (5) dosazujeme napětí |Usat|. Vztah (5) upravíme následovně: 2|𝑈+|=𝑡 𝑅1𝐶1|𝑈𝑠𝑎𝑡| OBR. 7: Průběhy RC generátoru podle zapojení na obr. 6 a 8, podrobnosti v textu Rovnici můžeme dále upravit dosazením za |U+| ze vztahu (7): 2𝑅5 𝑅4+𝑅5|𝑈𝑠𝑎𝑡|=𝑡 𝑅1𝐶1|𝑈𝑠𝑎𝑡| Po úpravě rovnice získáváme: 𝑡 =2𝑅5𝑅1𝐶1 𝑅4+𝑅5 [𝑠] Z výše uvedeného vztahu vyplývá, že doba přeběhu napětí mezi úrovněmi +|U+| a -|U+| nezávisí na hodnotě saturačního napětí |Usat|. Pro frekvenci trojúhelníkového signálu platí: 𝑓 = 1 𝑇=1 2𝑡 =𝑅4+𝑅5 4𝑅5𝑅1𝐶1 [𝐻𝑧] (8) Při návrhu vycházíme z požadované amplitudy, pro kterou navrhneme dělič R4, R5, potom na základě požadované frekvence dopočítáme hodnoty R1, C1. Pro úplnost je ještě potřeba popsat obdélníkový signál. Protože se jedná o uzavřenou smyčku, frekvence obdélníkového signálu musí být shodná s frekvencí signálu trojúhelníkového. Amplituda obdélníkového signálu je dána napětím |Usat| použitého operačního zesilovače a nelze ji měnit. 6. Navrhněte generátor RC z obr. 6 pro amplitudu trojúhelníkového napětí 3 V a frekvenci 1 kHz. Uvažujte hodnotu napětí |Usat| = 13 V. Hodnoty rezistorů R4, R5 vypočítáme ze vztahu (7). Hodnotu R4 volíme tak, abychom nepřetěžovali výstup operačního zesilovače OZ3. Pokud volíme R4 = 10 k, pak podle vztahu 𝑅5=𝑅4|𝑈+| |𝑈𝑠𝑎𝑡|−|𝑈+| [Ω] vychází hodnota R5 = 3 k. Nyní můžeme podle vztahu dopočítat R1, C1 pro požadovanou frekvenci 1 kHz. Pokud opět volíme R1 = 10 k, pak podle vztahu 𝐶1=𝑅4+𝑅5 4𝑅5𝑅1𝑓 [𝐹] vychází hodnota C1 = 108 nF. Amplituda obdélníkového signálu je rovna |Usat| = 13 V. 7. Zapojte RC generátor podle obr. 6 za pomocí dílů stavebnice RC 2000. K napájení modulů s operačními zesilovači použijte stejnosměrné napětí 5 V; změřte kmitočet a amplitudu trojúhelníkového napětí u3 a obdélníkového napětí u1 navrženého RC generátoru. Měření porovnejte s výpočtem a nalezené rozdíly zdůvodněte.