Análise de gráficos no processo de ensino-aprendizagem de funções em alunos do 10º ano de uma turma de ciências socioeconómicas

ii DIREITOS DE AUTOR E CONDIÇÕES DE UTILIZAÇÃO DO TRABALHO POR TERCEIROS Este é um trabalho académico que pode ser utilizado por terceiros desde que respeitadas as regras e boas práticas internacionalmente aceites, no que concerne aos direitos de autor e direitos conexos. Assim, o presente trabalho pode ser utilizado nos termos previstos na licença abaixo indicada. Caso o utilizador necessite de permissão para poder fazer um uso do trabalho em condições não previstas no licenciamento indicado, deverá contactar o autor, através do Repositório da Universidade do Minho. Licença concedida aos utilizadores deste trabalho Atribuição CC BY https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ iii AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar gostaria de agradecer a minha supervisora, doutora Maria Helena Martinho, pelo paciência e dedicação demonstrada ao longo de todo este processo. Um agradecimento especial também para o meu orientador, José António Domingues, pelos ensinamentos passadas e pela dedicação e interesse demonstrados em fazer possível todos os meus desejos durante a intervenção pedagógica. Num caráter mais pessoal, um agradecimento enorme aos meus pais por terem estado sempre presentes em tudo o que eu precisei e por todo o carinho, compreensão e sacrifício que sempre demonstraram ao longo de todos os meus anos académicos. Um sincero obrigada a todos aqueles que nunca me deixaram desistir e sempre me deram forças para continuar em frente. iv DECLARAÇÃO DE INTEGRIDADE Declaro ter atuado com integridade na elaboração do presente trabalho académico e confirmo que não recorri à prática de plágio nem a qualquer forma de utilização indevida ou falsificação de informações ou resultados em nenhuma das etapas conducente à sua elaboração. Mais declaro que conheço e que respeitei o Código de Conduta Ética da Universidade do Minho. v ANÁLISE DE GRÁFICOS NO PROCESSO DE ENSINO/APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES EM ALUNOS DO 10º ANO DE UMA TURMA DE CIÊNCIAS SOCIOECONÓMICAS. RESUMO O estudo das funções toma dimensões de grande importância quando nos deparamos com este tema da matemática quase todos os dias do nosso quotidiano, sendo comum recorrer à análise de gráficos quando se pretende realizar um estudo acerca de um qualquer tema. Neste contexto, com a implementação do presente Projeto de Intervenção Pedagógica pretende-se atingir os três seguintes objetivos: estabelecer uma abordagem gráfica no processo de ensino de funções; avaliar a capacidade critica dos alunos em relação à representação gráfica das funções; avaliar a aprendizagem dos alunos em exercícios envolvendo funções. Através da realização de um teste diagnóstico ficou patente que muitos dos alunos apresentam problemas ao nível da interpretação de gráficos, sendo que a maior parte não os utiliza corretamente na resolução dos problemas propostos-. No entanto, e com uma abordagem mais gráfica dos problemas, foi possível observar uma melhoria na interpretação dos gráficos, facilitando, deste modo, a compreensão destes em situações do quotidiano. Palavras-Chave: análise de gráficos de funções, funções, alunos com 10º ano, ciências económicas, ensino, aprendizagem, algébrica . vi GRAPHICS ANALYSIS IN THE LEARNING PROCESS OF FUNCTIONS IN STUDENTS OF A 10TH GRADE CLASS OF SOCIOECONOMICS ABSTRACT The theme of the Supervised Pedagogical Intervention Project focuses on the "Analysis of graphs in the process of teaching and learning functions in students of the 10th year of a socioeconomic science class". The study of functions takes on dimensions of great importance when we come across this mathematical subject almost every day of our daily lives, and it is common to resort to the analysis of graphs when we want to carry out a study about any topic. In this context, the implementation of this Pedagogical Intervention Project aims to achieve the following three objectives: to establish a graphic approach in the process of teaching functions; evaluate the critical ability of students in relation to the graphical representation of the functions; to evaluate students' learning in exercises involving functions. Through the completion of a diagnostic test it became clear that many students have problems in the interpretation of graphs, and most of them do not use them correctly in solving the proposed problems. However, with a more graphic approach to the problems, it was possible to observe an improvement in the interpretation of graphs, thus facilitating their understanding in everyday situations. Keywords: analysis of function graphs, functions, students with 10th grade, economic sciences, teaching, learning, algebraic. vii ÍNDICE Agradecimentos ...................................................................................................... iii Resumo .................................................................................................................... v Abstract .................................................................................................................. vi Índice de Figuras .................................................................................................... ix Índice de Tabelas ..................................................................................................... x Capítulo I - Introdução .............................................................................................. 1 1.1. Tema e objetivos .......................................................................................................... 1 1.2. Pertinência do estudo ................................................................................................... 2 1.3. Estrutura do Relatório ................................................................................................... 3 Capítulo II - Enquadramento Teórico ........................................................................ 5 2.1. O ensino da matemática ............................................................................................... 5 2.2. Interpretação e argumentação ...................................................................................... 9 2.3. O estudo das funções ................................................................................................. 15 2.4. O ensino de gráficos de funções no currículo escolar................................................... 17 2.5. O pensamento crítico dos alunos ................................................................................ 20 Capítulo III - Enquadramento Contextual ............................................................... 22 3.1. Caraterização da escola .............................................................................................. 22 3.2. Caraterização da turma .............................................................................................. 24 3.3. Plano Geral de Intervenção ......................................................................................... 24 3.3.1. Instrumentos de Recolha de Informação para a Avaliação do Projeto ................... 25 3.3.2. Avaliação de Aprendizagens ................................................................................ 25 CAPÍTULO IV - Intervenção Pedagógica ................................................................. 26 4.1. Avaliação diagnóstica .................................................................................................. 26 4.1.1. Gráficos de funções ............................................................................................ 27 4.1.2. Número de zeros da função ................................................................................ 30 4.1.3. Os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa ..................................... 31 4 O Capítulo IV corresponde à intervenção pedagógica e encontra-se dividido em três subcapítulos. O primeiro capítulo corresponde à apresentação da avaliação diagnóstica, realizada antes da intervenção pedagógica, onde se incluem aspetos relacionados com gráficos de funções, números de zeros da função, os intervalos de função, entre outros aspetos relevantes. O segundo subcapítulo corresponde à sequência do ensino, ou seja, a intervenção pedagógica propriamente dita e, por fim, o terceiro subcapítulo diz respeito à análise do teste de matemática realizado após a intervenção pedagógica. Por fim, o Capítulo V diz respeito às Conclusões que se divide em três subcapítulos, onde é feita uma sínteses do estudo assim como as principais conclusões retiradas com o estudo. 5 CAPÍTULO II - ENQUADRAMENTO TEÓRICO Nesta secção do relatório será explicada a temática lecionada e a metodologia utilizada na intervenção pedagógica. Isto será explicado em cinco subcapítulos onde se fala sobre o ensino da matemática, a interpretação e argumentação, o estudo das funções, o ensino dos gráficos de funções no currículo escolar e o pensamento crítico dos alunos. 2.1. O ensino da matemática O ensino da matemática recorre ao uso de atividades de processamento dos conteúdos matemáticos de forma a estimular todo o processo de aprendizagem dos alunos (Vermunt & Van Rijswijk, 1988). Não obstante reconhece-se que a motivação dos alunos está dependente das necessidades e objetivos (Hannula, 2006), e neste caso concreto, o estudo realizado por Hoyles (1982), reproduziu a observação dos alunos que estudam matemática desejosos de a descobrir e, por outro lado, outros alunos que tomam a matemática como um desafio às suas próprias capacidades. Estas observações refletem-se no modelo que é utilizado nos estudos sobre estilos de aprendizagem (Vermunt & Van Rijswijk, 1988; Vermunt, 1996, 1998, 2005). De acordo com Ponte (2007) A matemática é uma das áreas fundamentais do conhecimento e uma das ciências mais antigas e, é igualmente das mais antigas disciplinas escolares, tendo sempre ocupado, ao longo dos tempos um lugar de relevo no currículo (p.2) A Matemática é desde há muitos anos uma ferramenta útil para todos os alunos num mundo submerso em números e, representações matemáticas (Tenreiro-Vieira & Vieira, 2000). Ou seja, a Matemática integra a formação de todos, pois como resultado traz benefícios ao quotidiano e nos diferentes contextos que a vida proporciona. De facto, a Matemática surge na nossa sociedade como uma área fundamental do conhecimento, uma grande contribuição para a formação de cada pessoa. É a partir desta contribuição que o indivíduo consegue lidar de forma mais eficiente com as situações e problemas que lhe são proporcionados ao longo da vida (Tenreiro-Vieira e Vieira, 2000). Como é referido no novo programa (Ponte et al., 2007), os alunos ao raciocinarem matematicamente devem ser capazes de “desenvolver e discutir argumentos matemáticos” (p. 5). Boavida (2006, p. 21) afirmou que “a argumentação é uma forma racional de comunicar, dando 6 ênfase às explicações e justificações apresentadas pelos alunos não menosprezando os desacordos que emergiam das situações criadas e que proporcionavam o desenvolvimento de atividades argumentativas.” Refere ainda que “o discurso numa aula de Matemática com caráter argumentativo, provoca nos alunos a defesa das suas ideias, o debate e a análise das contribuições dos colegas, a fundamentação e validação de raciocínios com carácter matemático.” Boavida (2006, p. 21). Deste modo considera-se que a comunicação matemática e a argumentação matemática estão intimamente ligadas. As conversas produtivas, tão necessárias na aula de Matemática, irão promover momentos de discussão, esses, segundo Ponte, (2005, p.16), constituem “oportunidades fundamentais para negociação de significados e construção de novo conhecimento”. Com a discussão em sala de aula envolvem-se os alunos na sua própria aprendizagem, proporcionandolhes “oportunidades públicas de falar e jogar com as suas próprias ideias” (Arends, 2008, p.413) e motivando-os a prolongar esse envolvimento para além da sala de aula. É através da troca de ideias entre os intervenientes dessas conversas (professor/alunos e alunos/alunos) que se fica a conhecer melhor cada um dos intervenientes e as suas ligações com o conhecimento matemático, facto referido por Ponte (2006). Salientar ainda o importante papel que a discussão e a reflexão têm sobre os diversos temas que poderão emergir e as respetivas conexões resultantes, tudo isto culminando na negociação de significados. De acordo com Silva et al., (1999) “Várias vezes foi citada a importância da escolha das atividades matemáticas a desenvolver na sala de aula, atendendo à diversidade de tipos de tarefas, os exercícios, os problemas, as explorações, as investigações entre outras, as de investigação são as que melhor permitem compreender a natureza dos processos de pensar matematicamente, ou seja, experimentar, explorar, identificar padrões, formular e testar conjeturas, generalizar e demonstrar; estimulam o pensamento relacionando conhecimentos matemáticos; permitem o trabalho diferenciado de alunos com diferentes níveis de aprendizagem; promovem o desenvolvimento de atitudes, capacidades e conhecimentos (p.69) As tarefas de investigação na sala de aula de Matemática são importantes, pois constituem uma parte essencial da experiência matemática e, por isso, permitem uma visão mais completa desta ciência, para além de estimular o envolvimento dos alunos, fomentando assim uma aprendizagem significativa. Estas tarefas promovem a discussão, a comunicação e a argumentação dos alunos, permitindo que estes reflitam sobre os diferentes argumentos e aprendam criticar de forma matemática (NCTM, 2000). 7 Alrø e Skovsmose (2006), apresentam um modelo que assenta, como é referido anteriormente, no uso de tarefas de cariz investigativo, de modo a desenvolver eficazmente a capacidade de comunicar matematicamente, sendo esse o Modelo de Cooperação Investigativa (MCI). Esse modelo tem como base alguns conceitos chave, nomeadamente, o estabelecimento do contacto, a compreensão, o reconhecimento, o posicionamento, o pensar alto, a reformulação, o desafio e a avaliação sendo constituído por situações comunicativas entre professor e alunos que poderão aprofundar a aprendizagem de uma forma única (Alrø & Skovsmose, 2006). Uma das principais características deste modelo é o facto de se basear numa escuta ativa, onde o ouvinte apresenta uma responsabilidade bem definida, não sendo, portanto, um sujeito passivo, mas sim faz um esforço para perceber o que está a ouvir. Escuta ativa significa, então, que se estabeleceu contacto, no caso da sala de aula, entre professor e alunos, sendo que quando tal acontece, assume-se que ambos os intervenientes estão em sintonia, prontos para trabalhar em cooperação (Alrø & Skovsmose, 2006). Mas então o que significa cada conceito do Modelo de Cooperação Investigativa (MCI)? Este modelo é constituído pelos seguintes elementos: estabelecer contacto; perceber; reconhecer; posicionar-se; pensar alto. Vejamos, então, em que consiste cada um deles. Estabelecer contacto. Esta ação pretende ser a forma de criar sintonia com os intervenientes na aula, bem como as suas ideias e opiniões, levando à participação numa atividade cooperativa. Logo, contacto significa “estar presente e prestar atenção ao outro e às suas contribuições, numa relação de respeito mútuo, responsabilidade e confiança” (Alrø & Skovsmose 2006, p. 106). Assim, quando esta primeira ação ocorre, esta é encarada tanto como uma fase preparatória para a realização da investigação, como uma atitude positiva entre os participantes mostrando disponibilidade para a realização dessa mesma investigação. Ao mencionarmos respeito mútuo, responsabilidade e confiança, estes três aspetos referem-se aos fatores emocionais que estão relacionados com o MCI, contrariamente ao que se possa pensar, os aspetos emocionais são indispensáveis ao processo de ensino-aprendizagem, proporcionando-lhe maior qualidade (Segurado & Ponte, 1998) Perceber . É definido como “(...) descobrir alguma coisa da qual nada se sabia ou não se tinha consciência antes” (Alrø & Skovsmose, 2006, p. 106). Podem ser definidos vários atributos às perguntas que são formuladas pelo professor e pelos alunos de modo a se perceber as perspetivas que procuram, estas têm como objetivo uma investigação, ou pelo menos, 8 demonstram espírito de descoberta, sendo questões abertas, cujas respostas se desconheciam no início desta demanda. Perceber, num contexto cooperativo, pressupõe apresentar as suas próprias ideias para o restante grupo no centro do processo de comunicação (Alrø & Skovsmose, 2006). Deste modo, aquando do surgimento de “questões hipotéticas como as questões o que acontece se, também são indicadoras de certo grau de abertura e disposição para perceber novas possibilidades” (Alrø & Skovsmose, 2006, p. 107). Estas também “podem ser usadas com outros propósitos, tais como fazer ironia ou demonstrar desinteresse ou irrelevância” (Alrø & Skovsmose, 2006, p. 107). Logo, o importante é inferir qual é a intenção de quem a proferiu, analisando o contexto em que foi formulada para ser possível reconhecer qual a função que assume. Assim sendo, é importante ter um espírito aberto e curioso, de forma a que estas possam ser consideradas uma mais valia dentro do processo de investigação. Reconhecer . Consiste em analisar perspetivas e ideias que foram percebidas, abrindo caminho para que seja reconhecido uma perspetiva e essa seja conhecida por todos os elementos envolvidos na investigação. Esse reconhecimento permite um aprofundamento da investigação, sendo nesta fase comum observar-se uma reformulação e alteração de procedimentos de modo a ser possível reconhecer a natureza do problema apresentado, isto é em linguagem matemática (Alrø & Skovsmose, 2006). Esta fase caracteriza-se pela utilização das questões do tipo “porquê”, levando à justificação, no entanto esta aparece na forma de demonstração. Durante este processo é possível o delineamento de ideias matemáticas, que além de reconhecidas podem ser aprofundadas. Posicionar-se . Nesta fase pretende-se que se possa “dizer o que se pensa e, ao mesmo tempo, estar recetivo à crítica das suas posições e pressupostos” (Alrø & Skovsmose, 2006, p. 112). Assim, posicionar-se está relacionado com a tomada de posições, realização de declarações e apresentação de argumentos, sendo o principal objetivo realizar uma investigação conjunta sobre um assunto ou perspetiva. Logo, esta fase assume bastante importância, pois promove a dedicação e a persistência na defesa de uma opinião, bem como ao processo de análise que ocorre antes da sua aceitação ou rejeição. Pensar alto . Implica “(...) expressar pensamentos, ideias e sentimentos durante o processo de investigação” (Alrø & Skovsmose, 2006, p. 113). O ato de pensar alto, é por vezes, uma forma de tornar algo público, uma ideia, uma opinião, uma perspetiva. Desta forma, uma 9 conversa entre os diferentes intervenientes, pode não ser uma conversa comum, mas sim uma forma de investigação verbalizada (Alrø & Skovsmose, 2006). 2.2. Interpretação e argumentação A interpretação em Matemática envolve duas áreas do saber, a Matemática e a Língua materna. É possível observar a ação da matemática na resolução de problemas, através do raciocínio matemático utilizado para alcançar um resultado. Já a língua materna observa-se através da capacidade que se possui para interpretar um texto ou enunciado, retirando a informação necessária para poder resolver o problema. Segundo Sim-Sim (1998, p. 12), “a interpretação pressupõe um conhecimento sintático da língua, que provém de um resultado de uma aquisição gradual de estruturas gramaticais mais elaboradas.” Baddeley, citado por Sim-Sim (1998), refere que o processo natural pelo qual a criança assimila as regras que regulam a formulação sintática da respetiva língua materna, pela psicologia experimental, é considerado um exemplo paradigmático de apreensão implícita, que mais tarde resultará no conhecimento que o sujeito tem da sua própria língua, denominando-se conhecimento implícito ou intuitivo da língua. A autora ainda refere o facto de que, o conhecimento implícito são os padrões de organização sintática de uma língua que o falante possui, permitindo “aferir da conformidade de um qualquer enunciado até à estrutura sintática do sistema linguístico em questão.” (Sim-Sim, 1998, p. 148). Assim, para compreender um enunciado é imprescindível conhecer o significado de todas as palavras que o integram e de ter acesso aos padrões de constituição da estrutura sintática da língua. Para ser possível a transmissão de uma mensagem, as palavras isoladas e a ordenação aleatória de palavras vão refletir a inexistência de qualquer estrutura, perdendo assim o seu valor. Segundo Sim-Sim (1998, p. 14), “numa estrutura frásica, o encadeamento de palavras deve estar de acordo com uma determinada ordenação sequencial, isto é, para se compreender e produzir frases torna-se imperativo ser capaz de estabelecer uma relação entre palavras ou agrupamentos naturais de palavras que estão organizados numa estrutura hierárquica”. Logo, a compreensão de um enunciado é um processo de reconhecimento do que é ouvido e do que é lido que, segundo Sim-Sim (1998), tem que ter em conta um conjunto de estratégias que levam a uma rápida análise. Este processo é composto por várias fases, sendo elas: a seriação e a sequência de palavras no enunciado, a informação concisa de cada palavra e as chaves prosódicas 10 e contextuais que fazem parte do que é transmitido. A interpretação, segundo Sim-Sim (1998), requer uma utilização do conhecimento implícito da língua, para compreender o que se ouve e o que lê, o que exige que se recorra repetidamente à informação guardada na memória acerca do sistema linguístico em presença e acerca do real representado na formulação linguística. É o que apreendemos na nossa memória, não só itens lexicais como também as regras sintáticas, que nos permitem estruturar e refazer de forma rápida e automática o significado de uma mensagem, quer estejamos a lê-la ou a ouvi-la. A compreensão frásica requer que cada palavra seja armazenada temporariamente, enquanto a frase ouvida [ou lida] é gramaticalmente processada, ou seja, se estabelecem as relações entre as unidades constituintes do enunciado e se realiza a reconstrução do seu significado. Uma vez extraído o significado, as palavras exatas de cada constituinte são esquecidas, conservando o ouvinte o fundamental da informação (Sim-Sim, 1998). Costa e Fonseca (2009), diz que o nível de compreensão do oral e da leitura depende tanto da quantidade e da variedade do vocabulário, assim como da complexidade sintática adquirida. Assim, ler fluentemente é uma das maiores finalidades no processo de ensino e aprendizagem da leitura, porque permite ao aluno descodificar automaticamente, o maior volume de informação possível. O processo de compreensão fica em risco de falhar quando o conhecimento prévio do aluno apresenta lacunas ou se a capacidade de inferir, comparar e interpretar se encontra comprometido ou pouco desenvolvido, o que pressupões que, o desenvolvimento cognitivo dos alunos vão depender de vários fatores, biológicos e contextuais, nomeadamente, as oportunidades que estes têm de procurar informação e de a interpretar corretamente, sozinhos ou com ajuda de terceiros. (Costa & Fonseca, 2009). Nas orientações para o desenvolvimento do currículo de Matemática (2001), quer a nível nacional, quer internacional, variadas recomendações indicam que é necessário ter atenção à argumentação na aula de Matemática; além disso, é de extrema importância serem criadas condições para os alunos participarem e se sentirem parte integrante e fundamental neste tipo de atividades (Abrantes, Serrazina, & Oliveira, 1998; APM, 1998; NCTM, 1991, 2000; Ponte et al,1997). No programa de matemática do ensino básico (Ponte et al, 2007) e também no Currículo Nacional do Ensino Básico: Competências Essenciais (Ministério da Educação, 2001) surgem referências claras a estas atividades; aliás, no programa, a comunicação matemática é considerada uma temática a trabalhar, de caráter transversal, sendo que a argumentação emerge 11 como um subtema do tópico raciocínio matemático, tópico este com estreita relação com a temática da comunicação, assim como fatores de carácter metodológico. No documento “Competências Essenciais”, onde se refere o que todos os alunos devem desenvolver ao longo da educação básica, está contida a ideia de que, para validar uma afirmação é necessária uma boa argumentação, sendo esta confirmada por uma autoridade exterior; além disso, deverá existir uma vontade de realizar e testar conjeturas, dando origem a generalizações, pensando sempre de uma forma lógica (Ministério da Educação, 2001). É realçado ainda que a comunicação matemática deve ser transversal às experiências de aprendizagem levadas a cabo pelos alunos, sendo que, na comunicação oral, é importante que ocorram as experiências de argumentação e de discussão tanto em grande, como em pequeno grupo (Ministério da Educação 2001). Mas o que significa a argumentação? Será que podemos aceitar qualquer discurso como argumentação? Segundo (Chronaki & Christiansen, 2005) a argumentação terá como indicadores os seguintes: em primeiro lugar é percetível a existência de um processo comunicativo que obedece a uma lógica, mas sem ser necessariamente dedutivo, sobre um determinado assunto; em segundo lugar é possível observar no texto produzido através do processo descrito anteriormente, opiniões, argumentos. Assim argumentação é referida como um conjunto de argumentos interligados de uma forma lógica. Assim, torna-se fundamental que nas aulas de matemática sejam valorizadas situações de aprendizagem onde a argumentação, a explicação e a justificação estejam presentes (Yackel & Hanna, 2003). Como podemos perceber, a comunicação matemática é percebida como um elemento inerente do fazer Matemática. Vários trabalhos comprovam este aspeto, tais como, os de Vygotsky e Bruner importaram para primeiro plano o relevo da interação social no processo de aprendizagem do Homem. Interação na aprendizagem é sinónimo de comunicação, logo o discurso é o nosso primordial modo de comunicação, por tal, a importância de fomentar conversas matemáticas na aula de matemática (Sfard, 2003). É de extrema importância os alunos levarem a cabo a árdua tarefa de provar o que fazem, tal como é evidente, no último documento com orientações curriculares publicado pelo NCTM (2008). Poderá existir ainda um último argumento que justifica a importância da realização de tarefas de argumentação, e na capacidade de diálogo. Para Grácio (1992), 12 a aptidão argumentativa pode ser compreendida como a capacidade de dialogar, de pensar, de escolher e de se empenhar em algo. O espaço que a argumentação abrange num dado contexto espelha a importância a liberdade de reflexão e ação aí dominou. Deste modo, a educação para a argumentação é um objetivo indubitável, pelo que importa implementá-la não apenas para o âmbito intelectual, mas também para o social e o ético (p.12). Os argumentos apresentados possibilitam demonstrar a importância conferida ao envolvimento dos alunos em atividades de argumentação, mais propriamente na aula de matemática. Mas, apesar da valia das atividades de argumentação matemática ser largamente reconhecida, apresentam uma expressão insuficiente, ou mesmo inexistente, em muitas salas de aula (Ponte et al., 1997; Putnam, Lampert & Peterson, 1990). O que pode muitas vezes acontecer é o facto de os professores se depararem com algumas dificuldades, nomeadamente, situações problemáticas não antecipadas, que levam a que a docência seja bem mais complexa e imprevisível do que seria se apenas explicasse conceitos ou procedimentos matemáticos, apresentando apenas exercícios, referindo-se à consolidação de conhecimentos ou se fosse a única parte decisória no que diz respeito ao valor matemático do discurso na sala de aula. A dinâmica interativa na sala de aula é bem mais profícua, inovadora e permite uma maior envolvência por parte dos alunos. A argumentação pode ser vista como um dos parâmetros a serem desenvolvidos no processo de Comunicação, para isso, é importante que esta seja parte integrante num processo comunicativo “real” entre professores e alunos, ou entre os alunos (Chronaki & Christiansen, 2005). De variados estudos realizados sobre o desenvolvimento da argumentação nos alunos, destaco o de Lampert (2001), que mostra que é exequível conceber contextos de aprendizagem com alunos do ensino básico em que a argumentação matemática está em destaque, sendo que, em consequência deste facto, o currículo instituído não é afastado para uma posição secundária. Apesar de ser evidente que é muito importante fomentar atividades que promovam a argumentação, são vários os estudos que demonstram que esta prática coloca algumas dificuldades aos professores. Sherin (2002) por exemplo, defende que conceber e sustentar ambientes de aprendizagem que favoreçam o fazer matemática e falar sobre ela, é algo que acarreta algumas dificuldades para um professor; Heaton (2000), por seu lado, faz referência a surpresas e incertezas manifestadas pelo docente, quando planeia o seu ensino de forma a trabalhar com os alunos com o objetivo de produzirem argumentos matemáticos; Chazan e Ball (1999) focam 13 problemas já vividos ao tentarem envolver as turmas em atividades de argumentação de forma a certificar a produtividade matemática das práticas argumentativas e acautelar que os alunos fossem por caminhos suscetíveis de incitar frustração ou embaraço social. No entanto, e estando ciente das dificuldades que este tipo de atividades poderão trazer, nos dias de hoje muitos professores implementam atividades que favorecem a argumentação nas aulas de Matemática, validando o estudo de Lampert (2001), e reforçando a convicção que é possível conceber este tipo de contextos de aprendizagem com alunos do ensino básico. Os professores são um elemento fundamental para o desenvolvimento da argumentação na aula de Matemática, estes têm um papel de mediadores na fase de introdução à atividade argumentativa (Chronaki & Christiansen, 2005). O foco principal no desafio da matemática baseia-se na perspetiva da natureza da disciplina. A matemática é vista como uma rede de ideais interconectadas. Para construir estas redes de ideias é necessário que os alunos processem diferentes conceitos e, simultaneamente, comparem os conceitos e os considerem em diferentes contextos. A aprendizagem matemática tem em consideração a concentração e o esforço num período prolongado de tempo para a construção de conexões entre tópicos, e entender a coerência de ideias matemáticas (Anderson & Krathwohl, 2014) A perspetiva baseia-se igualmente na hierarquia da sala de aula de experiências, que Smith e Stein (2011), descreveram como a mudança de memorização para procedimentos sem conexões para os procedimentos com conexões para tarefas. A maior parte dos estudantes não consegue construir estas redes de ideias ou “fazer a matemática”, sem o pensamento sustentado. Quando confrontados com a tarefa, que exige deles a tomada de decisão sobre o tipo de solução ou estratégica, a expetativa é que os alunos procuram resolver a tarefa por si mesmos, especialmente, quando a solução não está clara (Smith & Stein, 2011). O desenvolvimento de mentalidades de crescimento e metas de domínio é um produto da cultura de sala de aula. Numa meta-análise de 49 estudos de pesquisa sobre a cultura na sala de aula, entre 1991 e 2011 Rolland descreveu três importantes e relevantes descobertas. (Rolland, 2012). Em primeiro lugar, o autor identificou que os primeiros anos de escolaridade são fundamentais para a conexão de estruturas de objetivos de sala de aula e a formação de atitudes dos alunos. 20 permite que os alunos tenham mais tempo para explorar as atividades matemáticas mais profundas e significativas (Taylor, 2013) Para Ponte et al. (1997) a utilização da calculadora na resolução de tarefas permite estimular os alunos a formar conjeturas e ao mesmo tempo, desenvolver a capacidade de investigar argumentos válidos. 2.5. O pensamento crítico dos alunos O pensamento crítico envolve o raciocínio profundo e uma consideração do que recebemos, ou seja, faz com que os indivíduos pensem, questionem, desafiem ideias, gerem soluções relativamente a problemas e tomem decisões inteligentes quando confrontados com desafios (Mansoor & Pezeshki, 2012). A aplicação do pensamento critico em ambientes escolares desenvolve as habilidades do pensamento, isto porque, as pessoas constroem e avaliam argumentos, detetam erros comuns no raciocínio e resolvem problemas sistematicamente. De acordo com Pagano e Roselle (2009), o pensamento crítico é um processo de avaliação de informação e opinião colhidas na fase de reflexão de forma sistemática, proposital e eficiente das habilidades para resolver problemas. Para poder explorar o pensamento crítico, é preciso saber como retratar o pensamento dos alunos (Prayitno & Suarniati, 2017). Um mapa cognitivo é uma técnica para representar como o sujeito pensa sobre um determinado problema ou situação para que os pesquisadores possam ter uma determinada atitude para a próxima etapa (Ackermann, Eden, Cropper, & Cropper, 2004). Na resolução de problemas matemáticos, os alunos podem identificar problemas resolvidos. Neste caso, permite que os alunos entendam o problema e com base nisso o compreendam e elaborem estratégicas de resolução. No planeamento estratégico, os alunos podem encontrar as ideias certas ou as soluções que permitam as estratégicas eficazes para resolver o problema (In'am, 2014). O pensamento crítico é, assim, um pensamento intencional, racional e dirigido para uma determinada meta, podendo esta ser a resolução do problema ou de uma tomada de decisão (Halpern, citado por Tenreiro-Vieira e Vieira, 2000, p. 25). De acordo com Portugal e Marchão (2014) (…) a construção e desenvolvimento do pensamento crítico são, em si, processos que influem na forma como o sujeito, no caso a criança, constrói e organiza o conhecimento. Precocemente, as crianças precisam de ser apoiadas e estimuladas a usarem e agilizarem as estruturas do pensamento, 21 aprendendo a estruturá-las e a complexificá-las, ou seja, a tornarem o seu pensamento inteligente, num ambiente pedagógico de natureza socioconstrutivista (p.98). Para que o aluno possa aprender de forma eficaz, é necessário ter motivação para agir, observar com os olhos bem abertos, e a mente desperta para analisar (Guerra, 2000). Então, nesta perspetiva é importante identificar o que os alunos pensam sobre esta forma de ensino? A resposta a esta questão é que a educação com base no pensamento crítico irá proporcionar a formação de bons cidadãos, embora para que isto seja possível, é necessário que a sala de aula e a escola representem uma micro-sociedade crítica (Moura & Gonçalves, 2013). 22 CAPÍTULO III - ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL Este capítulo irá incidir sobre a descrição da escola onde foi realizado o estágio bem como da turma onde foi aplicado o estudo em questão. Serão, também, indicadas estratégias de ensino utilizadas e métodos utilizados para a recolha de dados da investigação. 3.1. Caraterização da escola A cidade de Guimarães está situada no distrito de Braga e a sua beleza histórica é incontornável. Muitas vezes denominada por “Cidade Berço”, a cidade de Guimarães proporciona uma viagem no tempo no seu centro histórico, tendo em grande parte das suas fachadas presente as influências deixadas ao longo dos tempos por todos os que lá passaram. Os avanços manifestados com o decorrer do tempo fez os Vimaranenses lutar pela sua sobrevivência, tendo encontrado na fiação e na tecelagem do linho e do algodão, nos curtumes, na cutelaria, na quinquilharia e no artesanato, a principal fonte de economia desta cidade. Era então necessária a formação da população para estas áreas, por isso, foi lançado, a 20 de dezembro de 1864, um Decreto para que fossem criadas as primeiras três escolas industriais do país: em Guimarães, Covilhã e Portalegre. Com o decorrer do tempo o decreto ficou esquecido nas páginas do Diário do Governo, até que, em 1884, a sociedade de Martins Sarmento juntamente com Alberto Sampaio tomam a iniciativa de realizar uma exposição industrial do concelho, destinada a mostrar as faces da indústria Vimaranense. A intenção era evidenciar aquilo que se fazia com o que se tinha e mostrar o que se poderia fazer com a reforma de meios, fazendo assim com que a escola antes escrita em decreto fosse trazida para a terra. E assim, nasceu, em 1884, a escola onde eu lecionei. A escola terá sido lançada com um currículo mais prático no início dos tempos, mas, após o 25 de Abril, com todas as alterações no sistema educativo foi sofrendo alterações no seu currículo até chegar a vasta oferta que dispõe hoje para os seus alunos. Em 2009, com o programa de modernização da Parque Escolar, a escola sofreu alterações tanto no seu interior como no exterior e é nesta escola que foi elaborada a presente intervenção pedagógica. A escola, então descrita, está situada no centro da cidade de Guimarães e carrega um importante compromisso com a sua cidade, desde a primeira aula, de desenho industrial, lecionada a 14 de Janeiro de 1884. 23 Através dos últimos dados a que se tem acesso, do ano letivo 2013-2014, o agrupamento era constituído por 2687 alunos, dos quais 52 são do ensino pré-escolar, 388 do 1º ciclo, 176 do 2º ciclo, 289 do 3º ciclo, 23 do ensino vocacional e 1759 do ensino secundário (onde 1430 pertencem a cursos científico-humanísticos, 25 pertencem ao ensino recorrente e 304 estão inseridos num curso profissional). Esta escola está organizada de acordo com o organigrama apresentado na figura 3: Figura 3: Organigrama dos órgãos que constituem a escola onde eu lecionei As aulas, neste agrupamento, são ministradas por 212 docentes, onde apenas 12 dos quais são professores contratados, o bom funcionamento das escolas é garantido por 78 assistentes, dos quais 12 são assistentes técnicos e 66 assistentes operacionais, já o serviço de psicologia e orientação conta, apenas, com uma pessoa destacada para essa função. Conselho geral Diretora Conselho Pedagógico Conselho Administrativo Estruturas de coordenação e supervisão Pedagógicas/ass essorias Conselho de diretores de turma/mediadore s Conselhos de turma/equipa de formadores Conselho de Cursos Profissionais/Dire tores de Curso Conselhos de turma Departamentos Curriculares Grupos Disciplinares Coordenadores de Escola/Estabeleci mento Serviços Administrativos Técnicos e técnicopedagógicos Serviços Administativos CAF AAAF AEC Observatório de Qualidade Equipa Multidisciplinar Projetos Biblioteca Associação de estudantes Associação de Pais 24 3.2. Caraterização da turma A turma em que se realiza a intervenção é do curso de socioeconómicas, do ensino regular, no 10.º ano de escolaridade. É constituída por 13 raparigas e 14 rapazes com uma média de idades de aproximadamente 15 anos. Existem 8 repetentes. Passando mais especificamente para a Matemática, entre os alunos da turma, 12 consideram a matemática a sua disciplina favorita e apenas 4 admitem ter dificuldades na disciplina. Sendo uma turma de um curso científico de socioeconómicas, as representações gráficas poderão contribuir para que os alunos desenvolvam o seu interesse pela disciplina de Matemática, visto que, os gráficos estão constantemente a aparecer em economia e a análise crítica destes, bem como a interpretação, é importante nesta área. A amostra dos alunos é constituída por 52% do género masculino e 48% do género feminino e, com idades principalmente nos 15 anos (61%) 3.3. Plano Geral de Intervenção A intervenção pedagógica decorreu com um total de 9 blocos de 90 minutos, como se pode ver na tabela 1. Tabela 1Sequência de ensino para o Plano de Intervenção Pedagógica Supervisionada Data Tópico 03/05 Teste diagnostico Introdução às funções definidas por ramos 04/05 Tarefas envolvendo funções definidas por ramos Introdução da função módulo. 09/05 Função módulo Equações com módulo 10/05 Inequações com módulo 11/05 Tarefas acerca da matéria dada nas aulas anteriores 16/05 Continuação da realização das tarefas acerca da matéria dada nas aulas anteriores 17/05 Funções definidas por radicais quadráticos 18/05 Equações com radicais quadráticos 23/05 Inequações com radicais quadráticos 25 3.3.1. Instrumentos de Recolha de Informação para a Avaliação do Projeto Durante a realização do projeto vários foram os métodos utilizados para recolher informação, de forma a responder aos objetivos propostos, gravações, observação e produção dos alunos Gravação de Vídeo e Áudio . Antes de iniciar as aulas de intervenção foi dado a cada aluno um papel a explicar o que seria gravado durante as aulas de intervenção do projeto onde no final os encarregados de educação autorizavam ou não a gravação da imagem dos seus educandos. Houve apenas um encarregado de educação que não permitiu a recolha de imagens do seu educando, por isso este aluno foi para o fundo da sala de modo a não serem captadas imagens suas. Assim, em todas as aulas estaria, ao fundo da sala, uma câmara que permitia o registo das atividades em sala de aula. Para que não houvesse falhas no áudio, por a câmara estar no fundo da sala, coloquei também um telemóvel na mesa do professor a gravar apenas o áudio. No final de cada aula o ficheiro de vídeo e de áudio era descarregado da câmara e do telemóvel para o meu computador pessoal, para que não houvesse problemas de espaço na memória na gravação da aula seguinte. Esta estratégia de recolha foi importante para a realização da minha dissertação de mestrado pois assim, numa fase posterior as aulas que eu lecionei, pude ver e recordar as dificuldades sentidas pelos alunos durante as aulas. Produções dos Alunos . As produções feitas pelos alunos tiveram grande importância, posteriormente, para analisar as suas aprendizagens. Depois de realizarem os teste de avaliação sumativa e de este estar corrigido pelo orientador, pedi para que cada um deles me desse o teste para fotocopiar e depois foi-lhes devolvido. Foram recolhidos, também, os testes diagnósticos que estes realizaram de forma a comparar a evolução dos alunos antes e depois das aulas a lecionar. 3.3.2. Avaliação de Aprendizagens Tal como foi dito anteriormente, o ponto de partida da minha intervenção pedagógica foi feito com um teste diagnostico de modo a aferir em que ponto os alunos estavam no início da intervenção. Posteriormente a avaliação das aprendizagens foi feita através de uma ficha de avaliação sumativa onde estavam relacionadas com a matéria dada nas aulas por mim lecionadas. 26 CAPÍTULO IV - INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA O capítulo 4 está dividido em 3 secções, e relaciona-se com a apresentação dos resultados colhidos durante os momentos de intervenção, o antes, o durante e o depois, para que possa ir ao encontro dos objetivos propostos para o projeto. Assim, irei analisar os momentos mais relevantes das aulas e do teste e questionário. 4.1. Avaliação diagnóstica Nesta etapa, com a finalidade de responder ao objetivo do projeto, pretende-se diagnosticar as aprendizagens anteriores dos alunos sobre os conceitos de funções, nomeadamente, os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa, representação gráfica da função. E, para tal, foi realizado um teste de diagnóstico. No teste diagnóstico (Anexo I) incluíram-se questões sobre as funções representadas graficamente, zeros da função, intervalos onde a função é positiva e onde é negativa. A seguinte tabela mostra as percentagens de perguntas corretas e incorretas, assim como as percentagens de respostas corretas com justificações erradas e de respostas corretas com justificações corretas. Tabela 2 - Percentagens dos tipos de respostas na questão 1 Respostas: Correta Incorreta Justificação correta Justificação incorreta A 85,19% 14,81% 3,57% B 81,82% 18,18% 21,43% C 85,19% 14,81% 3,57% D 88% 12% 10,71% É visível através da tabela anterior que a maior parte dos alunos acerta a dizer se o gráfico se trata ou não de uma função. A pergunta que parece suscitar mais duvidas é a alínea B, pois tem uma percentagem maior de respostas erradas, 21,43%, isto acontece, provavelmente, porque os alunos não se aperceberam que parte do gráfico contém uma reta vertical, onde apenas um objeto correspondem infinitas imagens, o que faz com que este gráfico não corresponda ao gráfico de uma função. 27 Também se pode observar pela tabela que muitos alunos, embora não seja a maior parte, erram nas justificações que dão a sua resposta de ser ou não um gráfico de uma função. Analisando as suas justificações, a maior confusão que parece haver entre os alunos é entre a definição de função e a definição de função injetiva, como mostra o exemplo que se segue. Figura 4 - Justificação do aluno A5 a questão 1 alínea C Esta justificação dada pelo aluno vai de encontro a definição de função injetiva, onde a cada imagem corresponde um e um só objeto, quando deveria ter justificado com a definição de função, onde a cada objeto corresponde uma e uma só imagem. Há ainda um aluno que justifica e responde à pergunta corretamente, mas desenha linhas auxiliares na horizontal em vez de ser na vertical, o que pode indicar que o aluno trocou a posição dos objetos com a posição das imagens como mostram as seguintes figuras. Figura 5 - Linhas auxiliares feitas pelo aluno A1 na questão 1 alínea D Figura 6 - Justificação do aluno A1 a questão 1 alínea D 4.1.1. Gráficos de funções Nesta questão, introduzi quatro esquemas de gráficos e coloquei a questão: “Dos gráficos que se seguem indica, justificando, quais representam gráficos de funções”. A inclusão deste exercício justifica-se pela importância, cada vez mais crescente, da visualização no ensino da matemática, ou seja, por outras palavras, da interpretação gráfica. 28 Na tabela 3 apresentam-se os resultados relativos à questão 1 do teste diagnóstico que se encontra na secção dos anexos no anexo I. Tabela 3 – Frequência de respostas à questão 1 Respostas Correta Parcialmente correta Incorreta Não responde Esquema A Esquema B 18 10 2 - Esquema C 22 5 3 - Esquema D 18 6 6 - Através dos resultados apurados na primeira questão sobre a representação gráfica de uma função, os alunos responderam corretamente na maior parte das questões, embora a sua justificação nalguns casos não foi totalmente correta. Segue-se, como exemplo, a resposta de um aluno (figura 7), que se revelou parcialmente correta, mas onde falta uma justificação mais eficiente. 29 Figura 7 – Resposta de um aluno à questão 1 O gráfico de uma função é um conceito puramente matemático: para cada x pertencente ao domínio da função, determina-se o correspondente valor de y (y = f(x)). O conjunto de todos os pontos (x, y) obtidos por este processo é o gráfico da função f. Neste caso, o aluno deveria ter justificado a alínea A dizendo que este não era uma função uma vez que y f(x), ou seja, a cada objeto de x não corresponde uma e só imagem de y. Do mesmo modo, na alínea C a justificação devia-se basear na premissa básica de uma função em que y = f (x), ou seja, a cada objeto vai corresponder uma e apenas uma imagem. Outros alunos, responderam incorretamente à questão, não relacionando a definição gráfica de uma função, com todos os seus pontos essenciais. 36 4.2. Sequência de Ensino Em seguida, apresento três das aulas do projeto da qual segui a planificação mostrada anteriormente na secção 3.3. 4.2.1. Desenvolvimento da aula nº 1, presente no anexo I plano de aula nº1 Como a função definida por ramos não difere muito das funções a que os alunos estão habituados esta aula foi pensada de modo a que os alunos só fizessem exercícios, onde na primeira tarefa fossem orientados para os pontos a ter em atenção neste tipo de funções e os restantes fossem capazes de os fazer sozinhos. Foi então apresentado um gráfico de um função e as alíneas desta tarefas delineavam os passos que os alunos teriam que seguir para no final chegarem a função definida por ramos. As tarefas seguintes os alunos foram resolvendo sozinhos ou em grupos de 2 a 3 pessoas, sendo sempre corrigidas no quadro, as respostas, no final. Transcrição da aula da realização da tarefa 4 do plano de aula nº1: Professora: Só faltava um exercício, não era? Vocês têm aí a ficha, não têm? Aluno: Sim. Professora: Têm todos? Alunos: Sim Professora: Então não é preciso projetar. Então diz aí para definir a função 𝑓 por ramos. Alguém já fez o 4.1? Então vamos lá fazer. (pausa) Professora: Já sabem, sabem o vértice, que neste caso é (2,0) e utilizam a expressão para determinar expressão da parábola. Conseguem ver bem o gráfico não conseguem? Que isto ficou um bocadinho pequenino. (pausa para resolver o exercício) Professora: Que outro ponto é que nós temos dessa parábola? Aluno 1: O ponto (4,0). O (0,4). Professora: Quem quer vir determinar a expressão da parábola só? Só da parábola. (aluno vai ao quadro) Professora: e agora, o domínio da parábola qual é? Aluno: e o resto da função? Como é que se chama? Professora: Depois caraterizamos a função toda. Professora: A seguir, dois pontos da outra função, da reta? Aluno 1: (3,1). Aluno 2: E (5,−2). 37 Professora: Ora deixem ver, (3,1) e? Alunos: (5,−2). Professora: (5,−2) isso! Quem quer vir calcular? A equação desta reta. E depois, já agora, define esta aqui. (olha para o quadro e corrige o aluno que está a resolver) Não podemos chamar 𝑓 porque a 𝑓 vai ser a anterior. Quem quer vir acabar o exercício? (vai outro aluno ao quadro) Aluno: O intervalo é aberto? Professora : Sim, é aberto. Professora : Agora na 4.2, isto é simples, não é? É só substituir, mas só têm de ter atenção a uma coisa. Que é aos domínios, ou seja, se queremos substituir 1 2 vamos ver a que domínio é que ele pertence, não é? 1 2 é menor do que 3 então vamos substituir onde? Aluno 3 : 𝑥−𝑥2. Professora: Isso! É só isso que têm de ter em atenção ao substituir. (pausa para resolver o resto do exercício) Professora : Vai ao quadro fazer a alínea b) e tu vai fazer a alínea c) Aluno: Eu queria fazer a c) em vez de fazer a línea b) Professora: Vai lá! Vão vocês os dois que vocês nunca vão ao quadro. Apaguem o quadro daquele lado. Vá, toca a acelerar! (fim do exercício) Nas tarefas que se seguiram utilizei o GeoGebra para que os alunos pudessem ver melhor os gráficos com que estavam a trabalhar. Quando passei para as calculadoras gráficas, para lhes dar uma opção que eles pudessem usar com mais facilidade em casa, foi onde senti maior dificuldade porque os alunos têm modelos diferente, uns mais avançados que outros, mas o orientador nesta parte ajudou-me para que todos os alunos ficassem esclarecidos. A aula correu como previsto e foi dado tudo a que me tinha proposto no plano. 4.2.2. Desenvolvimento da aula nº 4, presente no anexo II plano de aula nº4. A aula apresentada foi pensada de modo a que os alunos pudessem acompanhar as transformações que surgiam na função módulo quando era intersetada por uma reta horizontal, portanto a maior ajuda nesta aula foi o GeoGebra. 38 Os alunos puderam ver através dos gráficos das funções o que cada alteração na expressão analítica fazia e acompanhar assim o processo até chegar a conclusão, onde era mostrado o caso mais geral de cada condição. Depois foram mostrados dois exemplos onde os alunos, com a minha ajuda, viam primeiro o que teria de acontecer através do gráfico e só depois realizavam analiticamente a inequação, chegando sempre a conclusão que os resultados pela observação do gráfico e pelo método analítico eram iguais. Transcrição da aula do plano de aula nº4: Professora : Está? Agora vão escrever assim em grande título: Função Módulo. Função Módulo. Vocês lembram-se o que é um módulo? O que é que faz o módulo? Por exemplo, quanto é que é o módulo de 1? Alunos: É 1. Professora: E o módulo de menos 1? Alunos: É 1. Professora: Então o que é que faz o módulo? Aluno 1: É o valor do número. Aluno 2: É a distância. Professora: É o valor absoluto do número, sim? Então e como é que isso se escreve? (escreve no quadro|𝟏|) Então quando queremos o módulo de um número qualquer vamos pôr o módulo de 𝑥 (escreve no quadro |𝒙|). Vamos ter então a função módulo. Escrevam a definição. À função que a cada número real faz corresponder o seu valor absoluto dá-se o nome de função módulo e representamos por, isto: 𝑓(𝑥)=|𝑥|. Vamos ver então o gráfico da função. (projeta o gráfico na tela) Professora: O gráfico da função módulo, ou seja, seria a função 𝑦=𝑥 mas todos os valores que eram negativos passaram para cima, sim? Passaram a ser positivos. Então é uma função par, ou seja, quando 𝑥 =1 ela dá 1 e quando 𝑥 =−1 ela também dá 1. Podem ver que tem um eixo de simetria, qual é o eixo de simetria? Aluno 1: É o eixo do 𝑦. Professora: E agora, a função módulo pode se escrever por ramos. Façam então uma nota. Podemos escrever a função módulo, 𝑓(𝑥)=|𝑥| através de uma função definida por ramos. Agora escrever mesmo a pergunta: Como é que fazemos isso? O que é que faz o módulo? Por exemplo, quando nós temos o módulo de 5 o que é que acontece ao 5? Não faz nada não é? Fica 5. Mas quando nós temos o módulo de −5 o que é que faz? Aluno 3: Temos de substituir. Professora: Troca-lhe o sinal não é? Então é isso que vão escrever a seguir. Se o que está dentro do módulo for positivo, podemos tirar o módulo à vontade porque não acontece nada. Se o que está dentro do módulo for negativo, 39 podemos tirar o módulo desde que troquemos o sinal do que está lá dentro. Então, a função 𝑓(𝑥)=|𝑥|, se a quisermos escrever por ramos com é que vamos fazer? Quantos ramos é que acham que ela vai ter? Aluno 1: 2. Aluno 4: 2. Professora: 2. Então, se o 𝑥 ≥0 e se o 𝑥 <0. Então se o 𝑥 for maior do que zero como é que fica aqui? Aluno 1: 𝑥 =𝑥 Professora: Fica 𝑥. Isto significa que como o 𝑥 é positivo, os números são todos positivos então podemos tirar o módulo à vontade, não é? E agora, se os 𝑥 forem todos negativos, se os números forem todos negativos, vamos ter de fazer o quê? Alunos: −𝑥 Professora: Vamos ter de pôr o simétrico, então vamos pôr –𝑥. E é assim que transformamos uma função módulo numa função definida por ramos. Vamos agora ver uns exemplos. Escrevam então: exemplos. Representa as seguintes funções graficamente. (escreve as funções no quadro). Como é que vocês acham que será a representação gráfica daquela função? Em relação a função anterior que tínhamos visto, do módulo de 𝑥, qual é a diferença em relação aquela? Aluno 3: Aquela tem 𝑥+2. Tem um numero a seguir. Professora: E o que é que faz esse número a seguir? O que é que vocês deram? Qual é a alteração que faz? Aluno 1: Uma deslocação. Professora: Uma deslocação, para onde? Alunos: Para a direita. Professora: Para a direita. Então como é que acham que vai ser o gráfico? Aluno 1: Vai estar a ponta no 2. Professora: Em vez de estar aqui, vai se deslocar 2 unidades para a direita. Agora, outra. Passem este gráfico! E aquela nova função, o que é tem de diferente? Aluno 5: Tem um menos. Professora: E o que é que faz aquele menos? Aluno 5: Altera tudo lá dentro. Professora: Altera tudo lá dentro? Aluno 5: Fica igual a +2. Aluno 1: Passa para baixo. Professora: Fica igual a +2? Temos o módulo. Com um parênteses. Imagina que em vez de |𝑥−2| tinhas um 𝑓(−𝑥) o que é que aquilo fazia? Quando tinhas as transformações o que estava positivo passava a negativo e isto aqui vai fazer a mesma coisa. Ora, se isto está tudo positivo mesmo que seja módulo, como o menos está fora do módulo, vai passar tudo para baixo. Então vai ser assim. (projeta o gráfico correto). E agora qual é a alteração em relação ao anterior? Aluno 1: Tem um 3 fora. Professora: E o que é que faz aquele +3? Aluno 1: Subir 3 unidades. Aluno 2: Vai subir. 40 Professora: Vai subir 3 unidades, então isto vai ficar tudo igual e o que é que vai acontecer? Aluno 1: Vai para o 3. Professora: Exatamente. Então vai ficar assim. (projeta o gráfico do novo exemplo) Não passas aluno 6? André: Já fiz. Professora: Está? Já passaram o gráfico? Alunos: Não. Professora: Agora escrevam em baixo. De um modo geral, os gráficos das funções do tipo, escrevem isto aqui são obtidos a partir do gráfico da função 𝑦 =|𝑥| utilizando sucessivas transformações anteriormente estudadas. Agora tentem escrever aquela ultima função por ramos, a 𝑔(𝑥). Vão aquela notinha que nós escrevemos e não se esqueçam, não é só o 𝑥 que tem de ser maior do que zero, é o que está dentro do módulo. (pausa para resolverem o exercício) Professora: Então quais é que vão ser as condições? As condições? O que está dentro do módulo tem de ser ou maior que zero ou menor que zero. Aluno 1: É uma é maior ou igual que dois. Professora: Mas o quê? Aluno 6: 3 maior que.. Professora: 3maior ou igual a 0? Aluno 6: Não, 𝑥. Aluno 1: 𝑥 ≥2. Professora: 𝑥 ≥0? Aluno 1: A 2. Professora: Sim, mas com calma. Primeiro vamos pôr tudo. Vamos pôr 𝑥−2≥0 nesta e aqui 𝑥−2<0. Agora vamos ver, quando este é positivo o que é que acontece para tirar os módulos e quando este é negativo o que é que acontece para tirar os módulos. Cuidado que tem um menos atrás. Então, para tirar os módulos quando é positivo como é que é? Aluno 7: −(𝑥−2)+3 Professora: Vamos ficar com –(𝑥−2), pomos os parênteses para não nos enganarmos no sinal, +3. Aqui é negativo então o que é que temos de fazer? Aluno 1: Meter o menos. Professora: Trocar o sinal. Então vai ficar menos, que era este menos daqui, −(−(𝑥−2)+3). Agora vamos resolver tanto as expressões como as condições, então isto vai ficar...(resolve o exercício no quadro). Sim? Ficou percebido? Ou tem dúvidas? Se tiverem duvidas digam! Digam agora ou calem-se para sempre! Estou a brincar. Mas tiveram dúvidas? Mas agora fazer exercícios. Exercício 1. Define por ramos a função 𝑓, de domínio 𝑅, tal que (escreve a função no quadro). Ah! Eu tinha aqui uma coisa para vos mostrar, esperem aí, para vocês verem aqui as funções daquele tipo. Olhem para aqui. As funções daquele tipo, olhem, quando mexemos no 𝑎 o que é que vai acontecer? Quando o 𝑎 fica positivo ele fica assim, quando 41 ele começa a vir para o negativo inverte a função módulo estão a ver? Quando é zero ficamos com uma reta horizontal. Quando mexemos no ℎ ele vai andar assim. Quando mexemos no 𝑘 ele anda para cima e para baixo estão a ver? A função módulo é quando o 𝑘 é zero o ℎ é zero e o 𝑎 é um. Isto é a função módulo estão a ver? Por isso é que qualquer função módulo pode se escrever desta forma. Professora: Pronto, agora o exercício. Alínea a). A seguir quem quer vir fazer a alínea b)? Alínea b) quem quer vir fazer? Outra vez tu? Não, deixa ver se vem outra pessoa. Pronto vai lá Diogo. Está certo. (pausa para resolverem o resto do exercício) Professora: Façam o exercício 90 (projetado no quadro). (pausa para resolverem o novo exercício). Orientador: Joana, o Aluno 6 fez, ele vai lá fazer. Professora: Vai lá fazer Aluno 6 ao quadro. Estás nervoso? Aluno 6: Não! Professora: Falta o eixo de simetria. A tracejado, faz a tracejado. Mas eu queria que tu me dissesses a equação do eixo de simetria. Aluno 6: Isso já não sei. Professora: O que é que tu ias fazer? Era uma reta de que tipo? Aluno 6: Vertical. Professora: Então e como é que se escreve uma equação de uma reta vertical? Aluno 6: 𝑦 =−4 Professora: 𝑦=−4? Então faz aí o 𝑦 =−4, no gráfico. Então está realmente a passar no eixo dos 𝑦’s? Aluno 6: Ó é o 𝑥 enganei-me. Professora: É isso. Não precisas de fazer no gráfico, quero a equação só. Era só para tu veres que estavas errado. Aluno 6: Tem razão. Professora: Já alguém fez a alínea a) do 90.2? Estas 4 meninas vêm fazer a 90.2 toda! Agora decidam que alínea é que vem cada uma de vocês. Aluno 8: Eu faço a primeira. Professora: Para passar cadernos podiam passar em casa. A primeira então quem vem? (aluno vai ao quadro) Professora: Quando subtraímos 2 o que é que acontece? Mas não estamos a fazer no 𝑥. Aluno 8: Vai para baixo duas unidades. Professora: Vai para baixo duas unidades. Mas ele continua no 4. É o 𝑓(𝑥). Não da para ver agora mas isto é o módulo de 𝑥+4. Então, como é que o André fez à bocado? Estava aqui no quatro e era assim, não é? Ele desceu duas unidades. E agora, o eixo de simetria qual é? Aluno 8: 𝑥 =−4 Professora: Continua a ser 𝑥 = −4. Alínea b). Queres ir? Aluno 9: Sim 42 Professora: Onde é que se vê o contradomínio? Aluno 9: No eixo dos 𝑦’s. Professora: Próxima. (aluno vai ao quadro) Professora: Falta o eixo de simetria. Qual é o eixo de simetria? Aluno 10: É este. Professora: Qual é a reta vertical que divide de modo que faz um eixo de simetria? Aluno 10: Aqui. Professora: E qual é a equação dessa reta? Aluno 10: Não sei. Professora: Quando queremos uma reta vertical é 𝑥 igual a alguma coisa. Só falta a outra menina. (aluna vai ao quadro) Professora: Na alínea d), o 2 aqui atrás o que é que faz? Aluno 11: Multiplica. Professora: Sim, multiplica, mas ao gráfico vai fazer o que? Aluno 11: Dilata. Professora: Não dilata, ele vai contrair, sim? Porque ele vi se manifestar mais depressa, não é? Na alínea d) nós vamos ter, olhem para aqui! Quando o 𝑥 é 1 o 𝑦 vai ser 2, então vamos ter uma coisa deste género, só que ele vai descer uma unidade, então como é? Aluno 11: Assim? Professora: Isso. Qual é o eixo de simetria então? E o contradomínio qual é que vai ser? Aluno 11: É −1 a +∞. Professora: Agora tens de vir fazer a e). Olha, se com o 2 contraiu com 1 3 vai? Aluno 12: Dilatar? Professora: Dilatar. Aluno 1: Professora, como é que nós vemos quando é contraído? Por exemplo, com é que nós sabemos que contraiu? Professora: Tu aí tens de arranjar, imagina se fizeres por ramos, se dividires por ramos o módulo, tu vais ter duas retas não é? Só que no módulo tu vais ter duas retas iguais, se encontrares dois pontos em cada reta tu consegues saber bem como é que é a reta. Pronto ficamos por aqui. O que foi proposto no plano foi cumprido mas senti dificuldades para que os alunos falassem, apenas uma parte me respondia as questões colocadas. Este problema poderia ser resolvido se eu os pusesse em pequenos grupos ou até que os chamasse para eles virem ao computador escrever no GeoGebra, o que faria com que eles se sentissem mais envolvidos nas atividades. 43 4.2.4. Desenvolvimento da aula nº 7, presente no anexo IV plano de aula nº7 Esta aula foi pensada para que os alunos trabalhassem em grupos de 5 a 6 pessoas onde eram expostos quatro exemplos de funções irracionais no quadro e cada grupo ficaria com um deles para preencher os espaços na tabela. Os alunos fizeram o exercício sozinhos sem qualquer ajuda, a ideia seria ver as conceções e as estratégias que eles iriam utilizar para resolver as tarefas que lhes foram propostas. Mais tarde foi feita uma conclusão genérica acerca das funções irracionais em conjunto com os alunos e neste caso eles estavam mais participativos. No final foram feitos exercícios para consolidar a matéria. Neste aula senti dificuldades em controlar algum burburinho que havia devido aos grupos, penso que isso poderia ser evitado se os grupos fossem mais pequenos, de 4 pessoas. Senti ainda que pude chegar mais facilmente às dúvidas dos alunos pois quando eles tentavam fazer os exercícios iniciais sozinhos iam me fazendo perguntas e eu pude esclarecê-las com mais facilidade a todos eles. Por isso esta tática de trabalho ao mesmo tempo que mostrou algumas dificuldades mostrou-se mais proveitosa para os alunos. Não consegui chegar as equações irracionais nesta aula porque as duvidas e as questões dos alunos, que iam surgindo no decorrer da aula, tomaram algum tempo, mas a matéria foi reposta na aula seguinte. Nestas aulas notava-se os alunos mais inquietos, por isso na altura da resolução de exercícios tendiam a ficar mais faladores, mas a ordem era logo reestabelecida pelo professor. As aulas que eram mais teóricas os alunos já não estavam tão dispersos o que ajudava sempre no decorrer normal da aula. Estes alunos não faziam muitas perguntas e não mostravam grande interesse em ir ao quadro, aliás, as idas ao quadro, para corrigir tarefas que eles estavam a realizar, eram sempre feitas pelos mesmos alunos. No que toca a este assunto de tirar duvidas e de participar nas atividades promovidas na sala de aula, estes alunos eram mais apáticos, o que não facilitou a elaboração do projeto, mas com os devidos incentivos as aulas foram ficando cada vez mais interessantes. Em síntese, a maior parte dos alunos revela algumas insuficiências na capacidade de representar graficamente as funções matemáticas, tanto ao nível oral como na escrita. Ao nível oral, os alunos revelaram uma dificuldade em exprimir as suas ideias, faltando lógica na ligação 44 entre os assuntos e evidenciaram fraco domínio nos aspetos de representação gráfica. A resposta do aluno na questão 4 (figura 16, p.40) é evidente esta dificuldade. 4.3. Teste de matemática O teste de matemática efetuado pelos alunos teve alguma oscilação na classificação. A tabela seguinte indica as classificações respetivas. Tabela 8 - Classificações dos alunos no teste de avaliação Classificação Número de alunos [0, 10[ 6 [10, 12[ 7 [12, 14[ 8 [14, 16[ 2 [16, 18[ 4 [18, 20[ 1 Observa-se que as notas dos alunos no teste de matemática foram positivas na sua maioria, com apenas 6 notas abaixo de 10 valores. O que significa que as aulas dadas sobre as funções foram bem compreendidas e os alunos empenharam-se. Como exemplo, a questão 1 alínea f) do grupo II que representa graficamente uma função (figura 17), a maior parte dos alunos acertou, embora alguns parcialmente. Este aluno, embora tenha a resposta parcialmente correta, demonstra conhecimentos acerca da resolução de funções através da observação do seu gráfico (figura 18). Em alguns alunos foram consideradas respostas “parcialmente corretas”, quando era identificado pelo menos um dos elementos que constituíam o lugar geométrico, faltando os restantes, ou quando todos os elementos do lugar geométrico se encontram referidos, mas referidos de forma incorreta. Figura 17 – Questão 1 alínea f) do grupo II do teste de avaliação 45 Figura 18 – Resposta do aluno 10 à questão 1, alínea f) do grupo II do teste de avaliação 52 Matos, J. M. (1997). Algumas linhas de força da investigação em Educação Matemática em Portugal. Conferência Plenária apresentada ao V Seminário de Investigação em Educação Matemática. Leiria, 7 de Novembro de 1994. Matos, A. (2007). Explorando relações funcionais no 8.º ano. Lisboa: APM. Meyer, M. (2010). Abduction - A logical view for investigating and initiating processes of discovering mathematical coherences. Educational Studies in Mathematics , 74 (2), 185–205. Ministério da educação. (2001). Decreto - lei N.º 6/2001 Moura, G. M. & Gonçalves, D. (2013). Promoção do Pensamento Crítico no Contexto do 1º Ciclo do Ensino Básico . Vieira (Org.). Pensamento crítico na educação: perspetivas atuais no panorama internacional. Aveiro: Universidade de Aveiro. pp. 291-314. NCTM. (1991). Normas para o currículo e avaliação em matemática escolar . Lisboa: Associação de Professores de Matemática e Instituto de Inovação Educacional. NCTM. (1994). Implementing the NCTM standards a bridge to the classroom: grades 5-8 and 9-12 MCTM (2000). Principles and standards for school mathematics . Reston, VA: NCTM NCTM (2008). 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Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Youschkevitch, A. (1976). The concept of function. Archive for History of Exact Sciences, 16 (1), 37-85.p.39 57 ANEXOS 58 Anexo I - Teste diagnóstico 59 Nome:________________________________________________________ Nº_____ Teste Diagnóstico 1. Dos gráficos que se seguem indica, justificando, quais representam gráficos de funções. 2. Considera o seguinte gráfico de uma função A B C D 60 a) Quantos zeros tem a função? Justifica a tua resposta. b) Indica os intervalos onde a função é positiva e onde é negativa. 61 3. Na figura está representado graficamente a função 𝑓 que faz corresponder a idade (em anos) ao tempo de sono ideal (em horas). a) De acordo com o gráfico indica: i. O número de horas que a Ana, de 18 anos, deve dormir. ii. A idade do Luís sabendo que precisa de dormir 12 horas. b) Indica o domínio e o contradomínio da função 𝑓. c) Qual é a imagem de 16 pela função 𝑓? d) Qual é o objeto que pela função 𝑓 tem imagem 15? e) Completa: 𝑓(12)= 𝑓( )=9 68 |𝑥|<𝑘 ⟺𝑥 >−𝑘 ∧ 𝑥 <𝑘⟺𝑥 ∈]−𝑘,𝑘[ • |𝑥|>𝑘,𝑘 ∈ℝ o Se 𝑘<0 |𝑥|>𝑘, condição universal C.S.: ℝ o Se 𝑘=0 Serão feitas aos alunos perguntas que os levem a chegar sozinhos a solução. , 69 |𝑥|>𝑘 ⟺𝑥 ∈ℝ\{0} o Se 𝑘>0 |𝑥|>𝑘 ⟺𝑥 >𝑘∨𝑥 <−𝑘 ⟺𝑥 ∈]−∞,0[∪]0,+∞[ Exemplos: Resolve as seguintes inequações: a) |3𝑥−1|≤5 b) |4−𝑥|>3 Tarefa 1 Resolve as inequações: a) |𝑥+3|≤2 b) |𝑥−2|>1 c) |1−5𝑥|+3≥1 d) 1−|1−𝑥|≥2 Os exemplos vão ser resolvidos pelos alunos em conjunto com o professor. As tarefas serão escritas no quadro e depois serão corrigidas. 70 e) |2𝑥+3|>5 f) 3−|𝑥+3|>5 Tarefa 2 Considera a função 𝑔 definida por 𝑔(𝑥)=5+|𝑥−6| a) Escreve a função 𝑔 sem utilizar módulos b) Identifica a parte do domínio onde a função é decrescente c) Resolve a condição 𝑔(𝑥)≤8 d) Resolve a condição 𝑔(𝑥)>6 Tarefa 3 Resolve as seguintes inequações: a) |𝑥2−3𝑥|≤4 b) |𝑥−2𝑥2|>1 71 Anexo IVPlano de aula nº 7 72 Plano de Aula nº7 Plano da 7ºaula - Matemática A 10ºano Docente: Estagiária: Joana Pereira Ano letivo: 2016/2017 Turma: CSE1 Nº de alunos: 28 Data: 17/05/2017 Tema: Funções reais de variáveis reais Tópico: Funções definidas por radicais quadráticos Conteúdo: Caraterização de funções definidas por radicais quadráticos Objetivos Específicos: Pretende-se que os alunos: - Consigam representar graficamente funções do tipo 𝑦=𝑎×√𝑥−𝑏+𝑐,𝑎 ≠0; - Identifiquem o domínio e o contradomínio de funções do tipo 𝑦=𝑎×√𝑥−𝑏+𝑐,𝑎 ≠0; - Saibam resolver graficamente equações com radicais quadráticos - Saibam resolver analiticamente equações com radicais quadráticos; Capacidades Transversais: - Comunicação, linguagem e raciocínio matemático. - Usar corretamente os símbolos matemáticos, quer na comunicação oral quer na escrita; - Descobrir relações entre conceitos. Conhecimentos Prévios: - Radicais quadráticos; - Monotonia de uma função; - Concavidades de funções; - Determinar os zeros de uma função; - Encontrar o domínio e o contradomínio de funções. Metodologias: trabalho em grupos de 5 a 6 alunos com discussão das atividades. Recursos: Projetor, computador e calculadora. Desenvolvimento da aula Exemplo: Faz o esboço do gráfico das seguintes funções: 1. 𝑦=√𝑥 2. 𝑦=√𝑥−3 Comentários Duração da aula: 90 minutos. Breve introdução das funções definidas por radicais quadráticos. Cada grupo ficará com um dos exemplos para estudar a função e no final serão discutidos os resultados. 73 3. 𝑦=2×√𝑥−3 4. 𝑦=2×√𝑥−3+1 Para cada um dos seguintes exemplos preenche a seguinte tabela: 𝑦 =√𝑥 𝑦 =√𝑥−3 𝑦 =2×√𝑥−3 𝑦=2×√𝑥−3 +1 Domínio Contradomínio Zeros Monotonia Concavidade Então, no geral, as funções definidas por radicais quadráticos são do tipo 𝑦 =𝑎×√𝑥−𝑏+𝑐,𝑎 ≠0 em que, resumidamente, vamos obter: 𝑎>0 𝑎 <0 Domínio: [𝑏,+∞[ Contradomínio: [𝑐,+∞[ Monotonia: estritamente crescente Mínimo absoluto: 𝑐 Domínio: [𝑏,+∞[ Contradomínio: ]−∞,𝑐] Monotonia: estritamente decrescente Máximo absoluto: 𝑐 Domínio das funções irracionais: Quando estamos perante uma função irracional em que o índice da sua raiz é par temos de garantir que o que está dentro da raiz é zero ou positivo, ou seja, se tivermos 𝑦= √𝐴(𝑥) 𝑃𝐴𝑅 , então 𝐷 ={𝑥 ∈ℝ:𝐴(𝑥)≥0} Exercícios de aplicação: 1. Seja 𝑓 a função definida por 𝑓(𝑥)=−1 2√𝑥−2+5. a. Determina o domínio de 𝑓. b. Faz o esboço do gráfico de 𝑓 a partir do gráfico de 𝑦 =√𝑥. 2. Considera a função 𝑓 definida por: 𝑓(𝑥)=−3√𝑥+1+6 a. Determina o domínio de 𝑓. , Discutir as soluções com os alunos. 74 b. Mostra que 3 é zero da função e justifica que 𝑓 não tem qualquer outro zero. c. Faz um esboço do gráfico de 𝑓 e indica o contradomínio. Equações envolvendo radicais quadráticos Exemplos: Resolve graficamente as seguintes equações: 1. √𝑥=𝑥−2 2. 𝑥 =(𝑥−2)2 Resolver analiticamente √𝑥=𝑥−2. Então, no geral, para resolver uma equação que envolva radicais quadráticos temos de seguir os passos seguintes: 1º Determinar o domínio; 2º Resolver a equações elevando ambos os membros ao quadrado; 3º Fazer a verificação das soluções. 4º Escrever o conjunto-solução. Exercícios de aplicação: 1. Resolve as equações: a. −2+√𝑥−4=0 b. −2+√𝑥−4=3 c. −2+√𝑥−4=−1 d. √𝑥−3=𝑥+1 e. √2𝑥+1 =𝑥−1 f. √𝑥+2=√𝑥+1 g. √𝑥−2=√𝑥+1−3 h. √𝑥−3+ √𝑥 =√2𝑥+1 2. Na figura está representado o trapézio [𝑂𝐴𝑃𝐵], sendo 𝑃 um ponto pertencente à curva 𝑦=√𝑥 com 𝑥 ∈]0,9]. a. Mostra que a área do trapézio é dada, em função de 𝑥, pela expressão: 𝐴(𝑥)=1,5𝑥+0,5𝑥√𝑥 Resolver passo a passo com os alunos. Escrever a conclusão no quadro. Os alunos resolvem os exercícios em grupos. No final serão corrigidos no quadro. 75 b. Determina a abcissa do ponto 𝑃 para que a área seja igual a 15. Apresenta o resultado arredondado às centésimas. 76 Anexo V - Elementos de avaliação 77