Modelado de la interacción física en vibración entre un UAV y un sistema flexible

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Modelado de la interacción física en vibración entre un UAV y un sistema flexible Autor: Ana Martínez Megías Tutores: Antonio González Morgado Guillermo Heredia Benot Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Modelado de la interacción física en vibración entre un UAV y un sistema flexible Autor: Ana Martínez Megías Tutores: Antonio González Morgado Doctorando Guillermo Heredia Benot Catedrático de Universidad Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2023 Trabajo Fin de Grado: Modelado de la interacción física en vibración entre un UAV y un sistema flexible Autor: Ana Martínez Megías Tutores: Antonio González Morgado Guillermo Heredia Benot El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Agradecimientos En primer lugar quiero dar gracias a mi tutor, Antonio González Morgado, por su motivación para enseñar, su orientación y aportaciones a este trabajo, que sin contar con ellas no habría sido posible. Agradezco también a mi familia; a mi hermana, por creer en mí y ser mi mayor fuente de inspiración, por su paciencia y por tener la palabra justa en el momento justo y a mis padres, por el sacrificio realizado para que yo pueda llegar a ser quien quiera ser, la confianza y las palabras de ánimo en momentos complicados. Y finalmente, gracias a quien me ha acompañado en esta etapa; a Los Inmges que han sido mucho más que compañeros de clase, por compartir vida dentro y fuera de la biblioteca y a Lucía por ser más familia que compañera de piso y haber conseguido que Sevilla sea mi segunda casa. Ana Martínez Megías Estudiante de Grado en Ingeniería en Tecnologías Industriales Sevilla, 2023 I Resumen Este trabajo de fin de grado tiene como objetivo proponer un modelo analítico para estudiar la interacción física en vibración entre un UAV omnidireccional y un sistema flexible, específicamente un árbol. Surge a partir de los experimentos realizados por Antonio González Morgado durante su estancia de investigación en el ETH Zürich. El modelo análitico desarrollado en este trabajo fin de grado se basa en el método de Rayleigh, gracias al cual se puede aproximar un sistema continuo, como es el caso de un árbol, por un sistema de 1GdL (Grado de Libertad). Para ello, el árbol se divide en diferentes elementos como son el tronco, las ramas y los frutos. Posteriormente, utilizando el método de Rayleigh, se obtienen la masa y rigidez equivalente de los elementos que conforman el árbol. Posteriormente, se presentan diversas técnicas para inducir vibraciones a la frecuencia natural en un sistema mecánico. De todas las soluciones presentadas, se utilizó una estrategia de vibraciones autoinducidas (self-excited vibration en inglés) para los experimentos. Finalmente, el modelo analítico propuesto para el árbol es contrastado con los experimentos disponibles de la estancia de Antonio González Morgado en el ETH Zürich. Los resultados obtenidos muestran la concordancia entre el modelo teórico presentado y los datos experimentales, lo que indica que el enfoque utilizado para modelar el sistema es válido y confiable. III 2Capítulo 1. Introducción plataformas omnidireccionales [ 13 ], donde la plataforma puede alcanzar cualquier orientación sin desplazarse. Ambos tipos de plataformas facilitan la interacción física con el entorno, al tener capacidad de generar fuerzas laterales sin la necesidad de inclinarse [ 14 ]. Para diseñar una plataforma con 6GdL se pueden usar rotores inclinables gracias a servomotores, o tener rotores inclinados mediante piezas específicas. Ambas opciones presentan determinadas ventajas e incovenientes; La solución que emplea rotores inclinables se basa en el uso de servomotores para rotar las hélices, pudiendo reconfigurarse durante el vuelo. Esto permite reconfigurar la plataforma según el tipo de movimiento a realizar, eligiendo siempre la configuración más óptima. Sin embargo, se ve incrementado el peso de la plataforma y el consumo, al deber incluir servomotores. De la misma manera, se complica el control, al tener que incluir como señal de control el ángulo de los servomotores. Por otro lado, el uso de rotores inclinados implica inclinar los motores de manera permanente usando piezas diseñadas para este fin. Se reduce la eficiencia de la plataforma, al tener siempre la misma configuración, la cual no es la más adecuada para algunos movimientos como el de hover (mantener la posición). Sin embargo, el peso no se ve demasiado incrementado. De la misma manera, el control es más complejo en comparación con las plataformas coplanarias, pero no tan complejo como la de rotores inclinables. Estas nuevas configuraciones, fully-actuated y omnidireccionales, han permitido el uso de los multirotores en tareas de alta precisión, expandiendo así sus campos de uso [5, 15]. Figura 1.2 Plataformas fully-actuated y omnidireccionales: a) Plataforma FAST-Hex [ 16 ], b) Quadrotor sobreactuado usando servomotores [ 17 ], c) Plataforma omnidireccional con rotores bidireccionales [13] d) Hexarotor omnidireccional usando seis servomotores [15]. Así mismo, en los últimos años se están empezando a usar los multirotores para aplicaciones donde se requiere interacción física con elementos flexibles. Algunas de estas aplicaciones son la toma de muestra de árboles [ 18 ] o el transporte de cargas flexibles [ 19 ]. A continuación, se verán en detalle algunos de estos trabajos. En [ 19 ], los autores analizan la tarea de cooperación entre UAVs y robot manipuladores fijos para transportar cargas flexibles. El problema reside en la vibración que se induce al mover la carga flexible unicamente usando un robot manipulador. Para reducir estas vibraciones, los autores proponen el uso de UAVs que ayuden a mover la carga anulando los posibles modos de vibración que se pueden inducir. Para ello, los autores presenta unmodelo que tenga en cuenta la flexbilidad de la carga gracias a la teoría de Euler-Bernoulli. Posteriormente, proponen una arquitectura de control colaborativo entre UAV y manipulador, en el que el manipulador terrestre se encarga de seguir la posición de referencia y el UAV se encarga de anular los modos 3 de vibración rápida que se pueden originar. Así mismo, en [ 20 ], los autores investigan la manipulación de un cable flexible y elástico mediante dos UAVs. Para ello, los autores presentan un modelo dinámico del cable flexible. Dicho modelo es un modelo discreto, en el cual el cable se divide en diferentes trozos dotados de masa, y unidos mediante muelles lineales y pares esféricos pasivos. Usando dicho modelo, los autores encuentran un conjunto de flat-outputs, lo que les permite diseñar un método de manipulación del cable. Dicho método es validado mediante simulaciones. Por otro lado, en [ 21 ], los autores proponen un modelo para la interacción entre un manipulador aéreo y una viga, la cual sufre grandes deformaciones. Las ecuaciones de movimiento propuestas captura tanto las restricciones cinemáticas como las no linealidades geométricas. Dicho modelo es validado mediante experimentos. Gracias a este modelo se pueden identificar los desafíos de la interacción entre los elementos flexibles y los UAVs, sirviendo de gran ayuda para el diseño de controladores. Figura 1.3 Ejemplo de aplicación de UAVs con elementos flexibles: a) muestreo de ADN de ramas mediante un UAV [ 22 ], b) modelado y control de dos UAVs unidos mediante un cable elástico y flexible [ 20 ], c) modelado dinámico de la interacción entre una rama y un manipulador aéreo [ 18 ], d) modelado dinámico de la interacción UAV y viga con grandes desplazamientos [ 21 ], e) cooperación para el transporte de elementos flexibles como vigas [19]. Además, [ 18 ] presenta un modelo dinámico para un árbol durante la interacción física con un UAV, así como con sus ramas. Este modelo es validado mediante experimentos. Así mismo, este modelo representa el uso de un manipulador aéreo para la toma de muestra de ramas de árboles. Finalmente, en [ 22 ], los autores presentan un UAV para la toma de ADN ambiental de ramas de árboles, con el objetivo de poder usar dichas muestras para monitorizar el estado del medio ambiente. La plataforma propuesta cuenta con una estructura con un sensor de fuerza, lo que le permite mantener el contacto con una fuerza determinada sobre la rama, gracias a una estrategia de control propuesta. Así mismo, el UAV cuenta 4Capítulo 1. Introducción con una cinta adhesiva que lleva en su estructura, recogiendo ADN de esta manera. Los autores muestran como el dron es capaz de aterrizar en una rama de manera autónoma. El sistema se valida en diferentes arboles en un entorno real. 1.1 Objetivo El objetivo de este trabajo fin de grado es proponer un modelo analítico durante la interacción física entre un UAV omnidireccional y sistema flexible, en este caso, un árbol. Este trabajo fin de grado surge tras los experimentos realizados por Antonio González Morgado durante su estancia de investigación en el ETH Zürich. Durante esta estancia, se utilizó una estrategia self-vibration que permitía inducir vibraciones en un árbol usando un dron. Esta estrategia podría servir para inducir vibraciones en un árbol con el fin de recolectar frutos o muestras. En los experimentos llevados a cabo se probaron diferentes puntos de contacto entre el UAV y el árbol, obteniéndose una frecuencia de vibración para cada uno de ellos. Así mismo, se propusieron dos formas de inducir vibraciones; una mediante fuerzas en X, y otra mediante torques en yaw. Para ambos modos de operación se guardaron los datos de los experimentos, los cuales se utilizaran en este trabajo fin de grado para validar el modelo propuesto. Por lo tanto, este trabajo fin de grado presenta un modelo analítico para esta interacción en vibración, que se validará usando datos experimentales de vuelos reales. 1.2 Estructura del documento Para lograr el objetivo anteriormente presentado, este trabajo fin de grado se estructura de la siguiente manera: • En el capítulo 1 se presenta diversas aplicaciones de los UAVs, entre las que se encuentra la interacción con elementos flexibles como árboles. Así mismo, se presenta el objetivo del trabajo así como su estructura. • A continuación, en el capítulo 2, se presenta el modelado dinámico tanto del UAV como del árbol. Así mismo se presenta un modelo simplificado de la vibración durante la interacción entre ambos. • Posteriormente, en el capitulo 3, se estudian diferentes estrategias existentes para una vibración en frecuencia natural y se estudiará en detalle la estrategia elegida, self-vibration. Así mismo se estudiaran los sistemas dinámicos de segundo orden, con el objetivo de resaltar el interés de la resonancia. • En el capítulo 4 se contrastan los resultados experimentales con los teóricos, analizando la validez del modelo y proponiendo posibles mejoras en la estrategia self-vibration elegida. • Finalmente, el capítulo 5 presenta las conclusiones de este trabajo así como posibles futuras líneas de trabajo. 2 Modelado En este capítulo se aborda el modelado dinámico tanto del vehículo aéreo no tripulado como del árbol con el que interactúa. Gracias a este modelado, se podrán analizar y comparar de manera más sencilla los resultados obtenidos en los experimentos. En primer lugar, se presenta el modelo dinámico del UAV. El multirotor utilizado en los experimentos es el OMAV [ 15 ] (Overacuated Micro Aerial Vehicle), que pertenece al Autonomous Systems Lab del ETH Zürich. Para obtener el modelo se usará la formulación de Newton-Euler, la cual plantea un equilibrio dinámico del sistema. Así mismo, se analizará en detalle la generación de fuerzas y momentos del OMAV, y se presentará la arquitectura de control del mismo. Posteriormente, se presenta el modelado dinámico del árbol con el que el UAV interactúa. Para ello, se usará el método de Rayleigh, el cual permite aproximar un elemento continuo por un sistema de 1GdL (grado de libertad). Este modelo es fundamental para el análisis de los resultados experimental obtenidos. 2.1 OMAV: Overacuated Micro Aerial Vehicle Como se ha mencionado anteriomente, la plataforma utilizada para los experimentos consiste en un dron omnidireccional de rotores inclinables, llamada OMAV (Overacuated Micro Aerial Vehicle) y desarrollada en el Autonomous Systems Lab del ETH Zürich. Esta plataforma cuenta con 6 motores, los cuales se encargan de generar la sustentación del UAV, y de 6 servomotores, uno en cada motor, los que permiten cambiar la orientación de las hélices. Para modelar este UAV, se presentará en primer lugar las ecuaciones de la dinámica de la plataforma. Posteriormente se presentará la generación de fuerzas y momentos, la cual relaciona las fuerzas de los motores con las fuerzas y momentos aplicados al UAV. Finalmente, se presentará de manera breve el control de esta plataforma. Antes de comenzar con las ecuaciones de la dinámica, es necesario definir dos sistemas de referencias. Un primer sistema de referencia fijo y ligado a tierra FI=OI{XI,YI,ZI} , y un segundo sistema de referencia móvil y ligado al UAV FB=OB{XB,YB,ZB} . La figura 2.1 muestra la plataforma OMAV, así como los diferentes sistemas de referencias utilizados y la numeración y sentido de giro de los motores. Así mismo, para pasar de un sistema de referencia a otro, será necesario definir unas matrices de rotación que relaciones ambos sistemas. Estas matrices de rotación recogeran los giros de la plataforma en los ángulos de actitud roll φ,pitch θyyaw ψ. •Rotación en X, ángulo φ   1 0 0 0cos(φ)−sen(φ) 0sen(φ)cos(φ) (2.1) 5 6Capítulo 2. Modelado Figura 2.1 Sistemas de referencia y numeración de los motores. •Rotación en Y, ángulo θ   cos(θ)0sen(θ) 0 1 0 −sen(θ)0cos(θ) (2.2) •Rotación en Z, ángulo ψ   cos(ψ)−sen(ψ)0 sen(ψ)cos(ψ)0 0 0 1 (2.3) Rt=Rz(ψ)Ry(θ)Rx(φ)(2.4) RIB =  1 0 0 0cos(ψ)−sen(ψ) 0sen(ψ)cos(ψ)   cos(φ)0sen(φ) 0 1 0 −sen(φ)0cos(φ)   cos(φ)−sen(φ)0 sen(φ)cos(φ)0 0 0 1 (2.5) RIB =  cos(ψ)cos(θ)cos(ψ)sen(φ)sen(θ)−cos(φ)sen(ψ)sen(φ)sen(ψ)+cos(φ)cos(ψ)sen(θ) cos(θ)sen(ψ)cos(φ)cos(ψ)+sen(φ)sen(ψ)sen(θ)cos(φ)sen(ψ)sen(θ)−cos(ψ)sen(φ) −sen(θ)sen(φ)cos(θ)cos(φ)cos(θ)  (2.6) Esta matriz, permite transformar coordenadas expresadas en ejes cuerpo a coordenadas de ejes Tierra. Para obtener la relación contraria, de ejes tierra a ejes cuerpo, se hace uso de la propiedad de ortogonalidad de la matriz de transformación. RTR=In(2.7) Por tanto, la matriz que permite pasar las coordenadas de ejes Tierra a ejes cuerpo es: RBI =  cos(ψ)cos(θ)cos(θ)sen(ψ)−sen(θ) cos(ψ)sen(α)sen(θ)−cos(α)sen(ψ)cos(α)cos(ψ)+sen(α)sen(ψ)sen(θ)sen(α)cos(θ) sen(α)sen(psi)+cos(α)cos(ψ)sen(θ)cos(α)sen(ψ)sen(θ)−cos(ψ)sen(α)cos(α)cos(θ)  (2.8) 2.1 OMAV: Overacuated Micro Aerial Vehicle 7 2.1.1 Ecuaciones de la dinámica Para obtener las ecuaciones de la dinámica se utiliza las ecuaciones de Newton-Euler para la dinámica de traslación y para la dinámica de rotación. Realizando un equilibrio dinámico de todas las fuerzas externas  Fext , expresado en ejes tierra, se obtiene: ∑ Fext = Fg+ FD+RB(φ,θ,ψ)· fM=m˙  V(2.9) donde: • Fges la fuerza gravitatoria:  Fg=0 0 −mg T(2.10) • FDes la fuerza de resistencia aerodinámica, que despreciaremos:  FD=FDx FDy FDz T(2.11) • fes la fuerza generada por los motores, expresadas en ejes cuerpo:  fM=fxfyfzT(2.12) •RIB(φ,θ,ψ)es la matriz de rotación para pasar de ejes cuerpos a tierra. •m˙  Ves la fuerza de inercia del UAV, es decir, su masa mpor la aceleración  V. Desarrollando esta expresión, y despreciando las fuerzas de resistencia aerodinámica, se obtienen las siguientes ecuaciones para la dinámica de traslación: m˙  V=m  vx ˙vy ˙vz  =m  ¨x ¨y ¨z =  0 0 −mg  +RIB(φ,θ,ψ)  fx fy fz  (2.13) Por otro lado, para obtener las ecuaciones de la dinámica de traslación se procede de manera similar. Haciendo equilibrio de momentos se tiene: ∑ MB=I˙  Ω+ Ω×I Ω(2.14) donde I es la matriz de inercia de la plataforma, expresada en ejes cuerpo,  Ω=pqrT es la velocidad de rotación de la plataforma, y  MB el el momento resultante externo aplicado en la plataforma. Considerando únicamente el vector de actuación de los motores τM=τφτθτψT como momento externo, la dinámica de rotación queda:   τφ τθ τψ =  Ixx ˙p Iyy ˙q Izz ˙r +  qr Izz −Iyy pr Ixx −Izz pqIyy −Ixx (2.15) donde se ha considerado que la plataforma es simétrica sus tres ejes, por lo que la matriz de inercia es diagonal: I=  Ixx 0 0 0Iyy 0 0 0 Izz  (2.16) 2.1.2 Generación de fuerzas y momentos Como se ha visto anteriormente, el UAV puede actuar en su subsistema de traslación generando un vector de fuerzas  fM=fxfyfzT , y en su subsistema de rotación mediante un momento τM=τφτθτψT , ambos generados mediante sus motores. Esta sección tiene como objetivo presentar la relación que existe 8Capítulo 2. Modelado entre los empujes de los motores y la fuerza y momentos generados en el UAV. Para ello se parte del modelo simplificado de una hélice girando. Este modelo establece que una hélice girando a una velocidad de rotación ω genera un empuje T y un momento de arrastre τd de sentido contrario al de rotación. Ambos se pueden obtener como: T=µω2τd=κω2(2.17) donde µ es el factor de empuje de la hélice y κ es el factor de arrastre. Tanto la fuerza como el par de arrastre son perpendiculares al plano de giro de la hélice. Así mismo, debemos tener en cuenta que cada rotor i está girado un ángulo αi , gracias a un servomotor instalado en cada brazo. La figura 2.2 muestra en detalle el giro del motor iun ángulo αi. Figura 2.2 Giro de un motor alrededor del eje Xy un ángulo αi. Para obtener la fuerza total y momento total aplicado en el UAV, es necesario sumar todas las fuerzas y momentos generados por los motores:  fM= 6 ∑ i=1 RBMi(αi) Ti τM= 6 ∑ i=1 RBMi(αi) τi+ OMi×RBMi(αi) Ti(2.18) donde RBMi(αi) es la matriz de rotación que permite pasar de ejes motor a ejes cuerpo,  Ti es el empuje generado por el motor i ,  τi es el par de arrastre generado por el motor i , y  OM es el vector que va desde el centro de gravedad del UAV hasta el motor i . Se puede observar que el momento total generado en el UAV tiene dos contribuciones: los momentos de arrastres provocados por los motores, y los momentos generados por fuerzas de los motores, al no estar aplicadas en el centro de gravedad del UAV. Finalmente, se puede expresar de manera matricial la relación entre las velocidades de rotación ω2 i de los motores y las fuerzas/torques provocados en el UAV:  fM  τM=A(α)ω2(2.19) donde α∈R6 incluye los ángulos de los seis servomotores, ω2∈R6 recoge las velocidades de rotación al cuadrado ω2= [ω2 1,ω2 2, ...,ω2 6]T. La matriz A(α)queda: A(α) =          −µsα1µsα2 1 2µsα3−1 2µsα4−1 2µsα5 1 2µsα6 0 0 √3 2µsα3−√3 2µsα4 √3 2µsα5−√3 2µsα6 −µcα1−µcα2−µcα3−µcα4−µcα5−µcα6 −µlcα1−κsα1µlcα2−κsα2 1 2µlcα3+1 2κsα3−1 2µlcα4+1 2κsα4−1 2µlcα5+1 2κsα5 1 2µlcα6+1 2κsα6 0 0 √3 2µlcα3+√3 2κsα3−√3 2µlcα4+√3 2κsα4 √3 2µlcα5−√3 2κsα5−√3 2µlcα6−√3 2κsα6 µlcα1−κsα1µlcα2+κsα2 1 2µlcα3−1 2κsα3 1 2µlcα4+1 2κsα4 1 2µlcα5+1 2κsα5 1 2µlcα6−1 2κsα6          (2.20) 2.1 OMAV: Overacuated Micro Aerial Vehicle 9 donde sαies sinαi,cαies cosαiyles la distancia desde el motor hasta el centro geométrico del UAV. 2.1.3 Control del UAV Al ser la plataforma OMAV un multirotor omnidireccional, se pueden desacoplar el control de posición del de actitud. La figura 2.3 muestra un esquema de la arquitectura que controla de la plataforma. Figura 2.3 Esquema de control de la plataforma OMAV. En primer lugar, existe un generador de trayectorias que puede generar trayectorias en posición/actitud o bien en fuerzas/torques. Por ejemplo, se puede comandar que mantenga un plano determinado por las coordenadas y=ycte,z=zcte , mientras se comanda una fuerza en el eje X FX=Fcte . De manera similar se puede hacer comandando torque o ángulos de actitud. Esto se puede hacer al poder controlar los seis grados de libertad de manera independiente. Posteriormente, encontramos el controlador hibrido, el cual permite seguir referencias en posición/actitud o fuerza/torque. Este controlador esta compuesto por tres elementos: el controlador de posición/actitud, el controlador de fuerza/torque, y el selector binario. El controlador de posición/actitud tiene como entrada la posición de referencia y la actitud de referencia, procedentes del generador de trayectoria, y genera la fuerza/torque a generar por los motores para seguir dichas referencias [ fp/a; τp/a] . Aunque se puede utilizar cualquier tipo de controlador para seguir la referencia (PID, PID en cascada, MPC, ...), la plataforma OMAV utiliza un control de impedancia. El control de impedancia es un controlador que permite emular el comportamiento de una impedancia, compuesta por una inercia, amortiguamiento y rigidez. Para mayor información se puede consultar [ 23 ]. Para cerrar el bucle se utiliza un filtro de Kalman que devuelve el estado del vehículo. Por otro lado, el control de fuerza/torque es un controlador PI, que recibe las fuerzas/torques a seguir y comanda las fuerzas/torques a generar por los motores [ ff/t; τf/t] . Para cerrar el bucle se cuenta con un sensor de fuerza/torque, que permite medir la fuerza/torque de interacción en los tres ejes. Finalmente, el selector binario permite seleccionar la acción de control a aplicar dependiendo de si se está siguiendo referencia en posición/ángulos o en fuerza/torques.  fM  τM= (I6−∆) fp/a  τp/a+∆ ff/t  τf/t(2.21) donde ∆∈R6×6es la matriz diagonal de selección. 10 Capítulo 2. Modelado Una vez que se tiene el vector [ fM; τM] a comandar, se deben obtener las señales de control, que son las velocidades de rotación de los motores ω y los ángulos de inclinación de los servomotores α . Ambas se relacionan a través de la siguiente ecuación:  fM  τM=A(α)ω2(2.22) donde A(α) es la matriz de la ecuación (2.20) . Se observa como la inclinación de los servomotores, que es una variable de control, aparece de manera explicita en la matriz A(α) . Debido a esto, no se puede invertir directamente dicha matriz. Para solucionar este problema, se propone el siguiente cambio de variable: fv,i=µω2 icosαifl,i=µω2 isinαi(2.23) Sustituyendo en la ecuación (2.25), el sistema se convierte de la siguiente forma:  fM  τM=Astatic flv (2.24) donde Astatic ∈R6×12 no depende de ninguna variable de control y flv ∈R12 recoge las nuevas variables fv y fl. flv =fv,1,fl,1, ... , fv,i,fl,i, ... , fv,6,fl,6T(2.25) La matriz Astatic se puede obtener aplicando el cambio de variable presentado en la ecuación (2.23) . Para obtener el vector flv se realiza la pseudo-inversa de Moore-Penrose Astatic . Deshaciendo el cambio de variables se puede obtener las acciones de control ω2 iyαi. ω2 i=1 µqf2 v,i+f2 l,iαi=atanfl,i fv,i(2.26) Finalmente, las señales de control ω y α son enviadas a los motores y servomotores de la plataforma OMAV. 2.2 Análisis del árbol En esta sección, se proporcionará una explicación más detallada del procedimiento utilizado para obtener un modelo dinámico para el árbol, el cual se considera flexible. Para ello, hemos aproximado al árbol como un sistema continuo, donde el tronco se corresponde con una viga empotrada únicamente en su extremo inferior, tal y como muestra la figura 2.4. Así mismo, las posibles ramas que pueda tener el árbol se aproximan por barras empotradas en el tronco, mientras que los posibles frutos se aproximan por masas concentradas. Para obtener un modelo dinámico de dicho sistema se pueden plantear las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de Euler-Bernuilli para vigas continuas, las cuales deben incluir las condiciones de contorno para cada barra. Sin embargo, aunque este método es muy exacto, se trata de unas ecuaciones muy complejas, que pueden no tener solución analítica para nuestro caso, dificultando su posterior utilización para analizar el comportamiento obtenido. Debido a esto, se utilizará el método de Rayleigh para modelar el sistema. El método de Rayleigh permite aproximar el comportamiento de sistemas continuos (que cuentan con infinitos grados de libertad), como es el caso de barras, por sistemas de un único grado de libertad. Para ello, este método supone que la deformada que tendrá la barra será igual a la deformada estática con una fuerza estática en el mismo punto. Por lo tanto, la deformada de una viga se puede expresar en variables separadas, tal y como muestra la ecuación (2.27): y(ζ,t) = ya(t)ψ(ζ)(2.27) 2.2 Análisis del árbol 11 Figura 2.4 Aproximación del árbol por un sistema de vigas y masas concentradas. donde y(ζ,t) es el desplazamiento del punto ζ de la barra en el instante t , ya es el desplazamiento del punto ζ=a donde se aplica la fuerza F y ψ(ζ) es la deformada estática de la viga ante una fuerza F aplicada en a . La figura 2.5 muestra un esquema de estas variables en la viga que modela el tronco. Figura 2.5 Variables definidas en la viga que modela el tronco. Usando el método de Rayleigh obtendremos un modelo de un único grado de libertad, de la forma: meq ¨ya+ceq ˙ya+keqya=F(t)(2.28) donde ya(t) es el desplazamiento del punto de contacto con el UAV, F(t) es la fuerza aplicada por el UAV en el árbol, y meq , ceq y keq son la masa equivalente, amortiguamiento equivalente y rigidez equivalente del sistema. Estos parámetros equivalentes contienen las contribuciones de los diferentes elementos en los que se ha dividido el árbol. Esto es el tronco, ramas y frutos. A continuación iremos viendo como obtener cada uno de estos valores, centrándonos sobre todo en el cálculo de la masa equivalente y rigidez equivalente, para calcular la frecuencia natural del sistema, la cual nos interesa especialmente. 2.2.1 Cálculo de los parámetros equivalentes del tronco Para obtener los parámetros equivalentes de masa y rigidez del tronco utilizamos el método de Rayleigh, en el que se aproxima el sistema como un sistema con un único grado de libertad. En primer lugar, debemos 18 Capítulo 3. Estrategias de Vibración que la respuesta del sistema tenga una amplitud de la vibración lo más grande posible y por tanto que el sistema vibre en su zona de resonancia. Una vez aclarados estos términos, pasamos a estudiar la ecuación de vibración de un sistema discreto de un grado de libertad que sigue la siguiente expresión: m¨x+c˙x+kx =F(t)(3.3) Esta ecuación presenta una solución del tipo x=xh+xp , donde xh es la solución homogénea debida a las condiciones iniciales y xp es la solución particular. La solución homogénea desaparece al cabo del tiempo por el amortiguamiento por tanto pasamos a estudiar xp únicamente que es debida a la fuerza aplicada y se mantiene mientras dure esta, tomando la siguiente expresión: xp(t) = D(ω)F kcos(ωtϕ(ω)) (3.4) donde D(ω) es la amplificación dinámica y ϕ(ω)) es la fase entre la fuerza de excitación y el movimiento vibratorio. La amplificación dinámica es el factor por el cual se amplifica la respuesta del sistema en comparación con la excitación aplicada. Para desarrollar este concepto utilizaremos la siguiente expresión: D(ω) = 1 v u u t 1−ω ωn2!2 +2ζω ωn2 (3.5) donde D(ω) es la amplificación dinámica, ω es la frecuencia de excitación, ωn es la frecuencia natural del sistema y ζel coeficiente de amortiguamiento. De esta ecuación se extrae que la amplificación dinámica depende de la frecuencia de la fuerza aplicada. En conclusión, el valor que tome la amplitud a la salida es directamente proporcional a la amplificación dinámica, que a su vez es función de la frecuencia de excitación. Si queremos conseguir valores de la amplitud de la respuesta elevada, debemos estudiar cómo afecta la frecuencia de excitación a la amplificación dinámica. Para visualizar cómo varía la amplificación dinámica, nos apoyaremos en la figura 3.1 donde se muestra la curva de amplificación dinámica asociada a diferentes valores de amortiguamiento en función de la relación entre frecuencia de excitación ωy frecuencia natural del sistema ωn. En primer lugar se estudiará el efecto del amortiguamiento del sistema. El coeficiente de amortiguamiento ζ=c/cc=c/(2mωn) determina cómo la energía se disipa en el sistema a medida que oscila. Puede ser clasificado como subamortiguado ( 0<ζ<1 ), críticamente amortiguado ( ζ=1 ) o sobreamortiguado ( ζ>1 ). En un sistema amortiguado, donde ( ζ>0 ), la amplificación dinámica disminuye a medida que el amortiguamiento aumenta. A medida que ζ se acerca a cero, el sistema se aproxima a un sistema no amortiguado, y la amplificación dinámica tiende a aumentar.Cuando el amortiguamiento es alto ( ζ>1 , sobreamortiguado), el sistema disipa rápidamente la energía y la respuesta a la excitación se ve atenuada. Esto significa que la amplificación dinámica es menor en comparación con un sistema subamortiguado o no amortiguado.Por otro lado, en un sistema subamortiguado ( 0<ζ<1 ), donde el coeficiente de amortiguamiento es pequeño (pero mayor que cero), la amplificación dinámica puede ser mayor que en un sistema sobreamortiguado, pero aún así será menor que en un sistema no amortiguado (ζ=0). En resumen, a medida que aumenta el coeficiente de amortiguamiento en un sistema amortiguado, la amplificación dinámica disminuye. Cuanto mayor sea el amortiguamiento, menor será la amplificación dinámica. Sin embargo, es importante destacar que la relación exacta entre el amortiguamiento y la amplificación dinámica depende de la forma específica de la excitación y de las características del sistema. Una vez estudiada la influencia del amortiguamiento pasamos a ver como varia la amplificación dinámica en relación al cociente entre la frecuencia de excitación y la frecuencia natural del sistema. Para ello, dividimos la gráfica en tres zonas claramente diferenciadas, ω≪ωn,ω=ωnyω≫ωn. Desarrollando cada una de las zonas mencionadas: 3.1 Sistemas dinámicos de segundo orden 19 Figura 3.1 Curva de la amplificación dinámica asociada a diferentes niveles de amortiguamiento. • Zona ω≪ωn . En esta zona, cuando la frecuencia de excitación es mucho menor que la frecuencia natural del sistema, el sistema responde principalmente a la fuerza estática y no hay amplificación dinámica significativa. El desplazamiento del sistema está determinado por la respuesta estática y no hay vibración apreciable. En esta situación, el factor de amplificación dinámica, D , es igual a 1 ya que no hay amplificación adicional debido a la respuesta dinámica del sistema. A medida que se incrementa la frecuencia de excitación desde cero, el sistema comienza a vibrar y responde a la fuerza aplicada. A medida que la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural, la amplificación dinámica aumenta gradualmente, pero el desfase entre la respuesta y la excitación también aumenta debido al efecto del amortiguamiento. Cuanto mayor sea el amortiguamiento, menor será la amplificación dinámica y mayor será el desfase a medida que la frecuencia se acerca a la frecuencia natural del sistema. • Zona ω=ωn . En esta parte de la curva se produce el máximo de amplificación dinámica, y es la zona deseable de trabajo. El valor máximo de amplificación ocurre cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia natural del sistema. En este punto, la respuesta del sistema alcanza su máxima amplitud en comparación con la excitación aplicada. El valor de la frecuencia para el cual se produce este máximo está dado por ωmax =ωnp1−2ζ2 , donde ζ es el coeficiente de amortiguamiento. En sistemas con un amortiguamiento muy pequeño, el máximo se alcanza cuando la frecuencia de excitación está muy cerca de la frecuencia natural. • Zona ω≫ωn . En esta zona, cuando la frecuencia de excitación es mucho mayor que la frecuencia natural del sistema, el factor de carga dinámica tiende a cero. A medida que la frecuencia de excitación aumenta significativamente, el sistema no puede seguir las rápidas oscilaciones y tiende a permanecer en reposo. El sistema no responde de manera significativa a la excitación en esta región de alta frecuencia. En resumen, queda demostrado que, para obtener una amplificación dinámica significativa, es deseable que la frecuencia de excitación esté cerca de la frecuencia natural del sistema. En esta zona, el sistema responde con una mayor amplitud y hay una amplificación dinámica máxima. Además, el efecto del amortiguamiento juega un papel importante en la amplificación dinámica y en el desfase entre la respuesta y la excitación a medida que la frecuencia se acerca a la frecuencia natural. 20 Capítulo 3. Estrategias de Vibración Queda demostrado que, para las especificaciones que buscamos, es deseable que el sistema tenga una frecuencia de excitación cercana a la frecuencia natural. Cuando la frecuencia de excitación se acerca a la frecuencia natural del sistema, se produce una mayor amplificación dinámica, lo que significa que la respuesta del sistema es amplificada en comparación con la excitación aplicada. Esto nos permite obtener una respuesta más significativa y aprovechar al máximo la capacidad de amplificación del sistema.En esta zona, la respuesta del sistema es más eficiente y se obtiene una mayor amplitud de respuesta en comparación con frecuencias de excitación lejanas a la frecuencia natural. En resumen, para lograr las especificaciones deseadas y obtener una amplificación dinámica significativa en nuestro sistema, es crucial que la frecuencia de excitación se aproxime lo más posible a la frecuencia natural. Esto nos permitirá aprovechar al máximo la capacidad de amplificación del sistema y obtener una respuesta óptima y eficiente en términos de amplitud y fase. A continuación, se presentarán diferentes estrategias para hacer vibrar los sistemas a la frecuencia natural, la cual suele estar próxima a la frecuencia de resonancia. 3.2 Estrategia con estimador de frecuencia natural La primera estrategia que se podría utilizar para inducir vibraciones a la frecuencia natural del sistema consiste en el uso de estimadores de frecuencia natural. Un estimador utiliza medidas de la respuesta del sistema para estimar la frecuencia natural del mismo. El esquema básico de esta estrategia se muestra en la figura 3.3, donde, gracias al estimador de la frecuencia natural ωn , la fuerza comandada es a la frecuencia natural. En la comunidad científica se han propuesto diferentes técnicas para estimar la frecuencia natural de un sistema. Figura 3.2 Esquema de funcionamiento del estimador de frecuencia natural. Una de las técnicas más conocidas es la transformada de Fourier para analizar señales, la cual permite obtener el espectro de frecuencias de una señal. La transformada de Fourier de una señal determina la energía de una señal en el espectro de frecuencias. Los picos en dicho espectro se corresponden con la frecuencia de la señal de excitación (en sistemas lineales), pero también con la frecuencia natural del sistema. Por lo tanto, si somos capaces de obtener estos picos del espectro de frecuencia, conoceríamos la frecuencia natural del sistema y por lo tanto podríamos excitarlo a dicha frecuencia. Sin embargo, la transformada de Fourier demanda mucha capacidad computacional, y es necesario tener la señal a analizar, limitando su uso en tiempo real. Por otro lado, en [ 24 ] se presenta el uso de un filtro de Kalman extendido (Extended Kalman Filter, EKF) para la estimación de la frecuencia natural en una señal armónica. Este método da bueno resultados incluso cuando existe ruido de banda ancha en la señal, por lo que es muy robusto. Sin embargo, requiere mucha capacidad computacional, imposibilitando su uso en tiempo real. En [ 25 ] proponen un estimador algebraico de frecuencia, el cual estima de manera rápida y fiable la frecuencia natural de un sistema. Este estimador no requiere una alta capacidad computacional, permitiendo su uso en tiempo real. Además, el estimador algebraico propuesto es robusto ante el posible ruido de la señal. Finalmente, en [ 26 ], los autores presentan un estimador algebraico para la identificación en tiempo real de la frecuencia natural de un manipulador flexible. Dicho estimador es validado en un sistema real, mostrando robustez ante el posible ruido de la medida. 3.3 Estrategia Self-excited vibration 21 Como se ha podido ver, existen diversas técnicas para estimar la frecuencia natural de un sistema. Sin embargo, algunas pueden requerir cálculos complejos que demanden alta capacidad computacional, imposibilitando su uso en tiempo real. Así mismo, los estimadores requieren un cierto tiempo hasta converger a una buena estimación del parámetro en estudio. Debido a esto, buscaremos otras estrategias que no requieran estimación de características del sistema. A continuación, se presentarán las estrategias self-excited vibration. 3.3 Estrategia Self-excited vibration La estrategia de self-excited vibration consiste en inducir una fuerza que depende del estado del sistema. El ejemplo más típico de este tipo de vibraciones es el oscilador de Van der Pol, el cual incluye un término de amortiguamiento no lineal, llevando al sistema a un equilibrio dinámico, en este caso, un ciclo límite, en el cual sistema vibra de manera autónoma. Este tipo de vibraciones autoinducidas se pueden encontrar en diversas aplicaciones como transporte de material por vibración, maquinas vibratorias o robots de pick and place. Por lo tanto, la estrategia de self-excited vibration requiere de una ley para la fuerza de excitación F(t) que sea dependiente del estado del sistema. Con esta fuerza, el sistema saldrá de su equilibrio estático y llegará a un equilibro dinámico a la frecuencia natural del sistema. Existen diferentes técnicas para provocar vibraciones autoinducidas. Por ejemplo, en [ 27 ], se presentan diferentes técnicas para sistemas mecánicos de 1 grado de libertad o de 2 grados de libertad, induciendo siempre vibraciones a la frecuencia de resonancia. En el caso de sistemas de 2 GdL, dependiendo de la estrategia utilizada se puede inducir vibraciones en el primer modo de vibración o el segundo modo. Para nuestro caso, como el modelo del árbol se ha aproximado a un sistema de 1GdL, usaremos la siguiente ley para la fuerza F(t): F=Kcsign(˙x(t)) (3.6) donde la fuerza depende del signo de la velocidad ˙x(t) y de una constante Kc , que permite modificar la amplitud obtenida en el bucle cerrado. Este estrategia se analizará a continuación en detalle, demostrando que el sistema vibra a la frecuencia natural. 3.3.1 Análisis teórico de la estrategia self-excited vibration El sistema mecánico básico que estamos considerando se puede modelar como un oscilador mecánico de un grado de libertad. Este sistema consiste en una masa m conectada a un resorte con una rigidez k y un elemento de amortiguamiento con un coeficiente de amortiguamiento c . La Figura 3.1 muestra una representación esquemática de este sistema. Figura 3.3 Sistema de un grado de libertad con fuerza de control F. La ecuación de movimiento de este sistema se describe mediante la segunda ley de Newton y se expresa como: 22 Capítulo 3. Estrategias de Vibración m¨x+c˙x+kx =F(t)(3.7) donde x(t) representa el desplazamiento de la masa en función del tiempo t. Así mismo, la fuerza de control, basada en la estrategia de vibración autoinducida elegida, se puede expresar matemáticamente como: F=Kcsign(˙x(t)) (3.8) donde Kc es el parámetro que representa la ganancia de control de la fuerza de retroalimentación. Esta fuerza tiene una dependencia signo (sign) con la derivada del desplazamiento, es decir, con la velocidad. Esto implica que su sentido está determinado por la dirección del movimiento de la masa, pero la magnitud de la fuerza es independiente. Para analizar el sistema de manera adimensional, reescribimos la ecuación en términos de variables adimensionales. Introducimos la variable adimensional y(τ) , donde τ representa el tiempo adimensional y está relacionado con el tiempo t mediante la relación τ=ω0t , con ω2 0=k/m como una frecuencia característica del sistema. Además, introducimos la cantidad de desplazamiento de referencia xre f , que puede ser el desplazamiento estático del sistema ante una fuerza constante. En esta nueva formulación, la variable adimensional y se define como y=x/xre f . El factor de amortiguamiento adimensional ζ se define como la relación ζ=c/(2mω0) , y la ganancia de control adimensional kc se define como kc=Kc/(mxre f ω2 0) . Bajo estas transformaciones adimensionales, la ecuación de movimiento del sistema se reescribe en su forma adimensional como: ¨y(τ)+2ζ˙y(τ) +y(τ) = kcsign(˙y(τ)) (3.9) Donde el punto en y denota la diferenciación respecto al tiempo adimensional τ . Esta forma adimensional nos permite analizar y estudiar el comportamiento del sistema sin depender de las unidades específicas de masa, tiempo y desplazamiento. El objetivo es mostrar la existencia teórica de una oscilación estable en forma de ciclo límite en la ecuación (3.9) definida anteriormente. Aunque es posible encontrar una solución exacta para esta ecuación, se opta por emplear un método de promediado para facilitar el análisis teórico. El método de promediado utilizado consiste en obtener el valor medio de la ecuación diferencial a lo largo de un período del ciclo límite permitiéndonos obtener una ecuación que proporciona información valiosa sobre la naturaleza y la estabilidad de la oscilación. Para ello, la expresión anterior se expresa de la forma: ¨y(τ)+y(τ) = εf(y,˙y)(3.10) donde ε<< 1 . Asumiendo que ζ y kc toman valores pequeños, pasan a definirse como ζ=εζ y kc=εkc , por lo que f(y,˙y)toma la forma: f(y,˙y) = −2ζ˙y+kcsign(˙y)(3.11) La ecuación anterior debe tener una solución de la forma: y(τ) = r(τ)cos(τ+φ(τ)) y˙y(τ) = −r(τ)sin(τ+φ(τ)) (3.12) Aquí, r(τ) representa la amplitud de la oscilación y φ(τ) representa la fase. Al emplear el método estándar de promediado, se procede a realizar cálculos y simplificaciones para obtener las ecuaciones de amplitud y fase resultantes. Estas ecuaciones toman las siguientes expresiones: dr dτ=−ε 2πZ2π 0 f(rcosθ,−rsinθ)sinθdθ+O(ε2)(3.13) rdφ dτ=−ε 2πZ2π 0 f(rcosθ,−rsinθ)cosθdθ+O(ε2)(3.14) Usando las ecuaciones de flujo lento y asumiendo que g(r)>0 , finalmente podemos obtener las ecuaciones de amplitud y fase como: 3.3 Estrategia Self-excited vibration 23 ∀r>0         dr dτ=−ξr+2kc π=g(r) dφ dτ=0 (3.15) Ahora, la solución en estado estacionario se puede obtener particularizando g(r) = 0 . Haciendo esto, se tiene: r=A=2kc ζπ (3.16) que resulta en una dependencia lineal entre la amplitud de la vibración A y la ganancia de control kc . Posteriormente, si definimos el periodo de la oscilación a partir de la ecuación (3.15) obtenemos: T=2π 1+dφ dτ =2π(3.17) Deshaciendo el cambio τ=t/ω0 , obtenemos 2πω0 , que corresponde con el periodo de la frecuencia natural. Por lo tanto, ha quedado claro que si se toma la ley de control F=Kcsign(˙x(t)) , el sistema vibra a su frecuencia natural, y con una amplitud que proporcional a kc=Kc/(mxre f ω2 0) . La figura 3.4 muesta la relación lineal entre la amplitud de vibración A y la ganancia de control kc , para ζ=0.01 . Así mismo, se observa el ciclo límite que se obtiene en el plano de fases. Figura 3.4 Variación de la amplitud de la vibración Acon la ganancia de control kc. 4 Resultados En este apartado, analizaremos los resultados teóricos del modelo obtenido en la sección 2 y los compararemos con los resultados experimentales. Dado que el experimento tuvo dos modos de operación, se presentará la comparativa de cada uno de ellos, las conclusiones obtenidas y los cambios realizados en base a esta. Finalmente se analizarán las tendencias y las posibles discrepancias que pudieran aparecer. 4.1 Descripción de los experimentos Previamente, es necesario describir los experimentos que se llevaron a cabo. Estos experimentos se realizaron en el ETH Zürich, usando para ello la plataforma OMAV del ASL (Autonomous System Lab). Así mismo, se construyó un árbol usando cañas de bambú, al cual se le añadieron dos manzanas en sus ramas. La figura 4.1 muestra una imagen del UAV en contacto con el árbol construido. Se hicieron dos tipos de experimentos, según la forma de inyectar energía en el árbol. Figura 4.1 Plataforma OMAV y árbol construido para los experimentos. En el primer tipo de experimento, el UAV inyecta energía con su movimiento en X. Para ello, el controlador de la plataforma se modificó para implementar una estrategia Self-induced vibration. En concreto, el UAV debía mantener su posición y actitud actual, pero tenía como referencia una fuerza en x de valor Fx,re f =Kxsign(˙x) , donde ˙x es la velocidad en x de la plataforma. En el segundo tipo de experimento, el 25 26 Capítulo 4. Resultados UAV inyecta energía girando en yaw. En concreto, el UAV mantenía su posición y actitud actual, pero tenía como referencia un torque en yaw de valor τyaw =Kysign(˙ ψ) , donde ˙ ψ es la velocidad angular en yaw de la plataforma. La figura 4.2 muestra ambos tipos de configuraciones. Figura 4.2 Movimiento en ambas configuraciones. Configuración 1: fuerza en X. Configuración 2: momento en yaw. 4.2 Resultados experimentales En primer lugar, en esta sección se presentan los resultados obtenidos en los experimentos realizados por Antonio González Morgado y se harán algunas anotaciones tenidas en cuenta en la realización del modelo teórico. Para el modelo experimental se implementó la estrategia Self-induced vibration anteriormente expuesta. Así mismo, ambos modos de operación fueron probados en diferentes puntos de contacto con el árbol, por lo que la frecuencia de resonancia del sistema cambia, como se ha visto en el capítulo 2. Para cada punto de contacto se probaron diferentes ganancias Ky y Kx . Sin embargo, como la frecuencia no depende de dichas ganancias, en este trabajo no recogeremos estos valores, quedándonos únicamente con la frecuencia de vibración obtenida en cada uno de los puntos probados. Los datos obtenidos se adjuntan en las siguientes tablas, donde x es el punto de contacto del dron medido desde la base del tronco, situada en el suelo y fla frecuencia medida. Tabla 4.1 Resultados experimentales obtenidos en el modo de operación 1. x0.15 m 0.31 m 0.77 m 0.98m f2.56 Hz 2.08 Hz 0.98 Hz 0.79 Hz Tabla 4.2 Resultados experimentales obtenidos en el modo de operación 2. x0.15 m 0.31 m 0.77 m 0.98 m f3.54 Hz 2.56 Hz 1.20 Hz 1.02 Hz De estos datos experimentales recopilados en el estudio se puede extraer un patrón claro: a medida que el punto de contacto del UAV se desplazaba a lo largo del tronco, específicamente hacia posiciones más elevadas, se producía un aumento en el periodo de la respuesta del sistema. Este hallazgo indica una relación directa entre la ubicación del punto de contacto y la dinámica de oscilación del sistema. El aumento en el periodo de la respuesta implica una disminución en la frecuencia de oscilación del sistema en general. Es decir, cuando el punto de contacto se encuentra en una posición más alta del tronco, el sistema muestra una tendencia a oscilar a una velocidad más lenta en comparación con cuando el punto de contacto está en una posición más baja. Este cambio en la frecuencia de oscilación puede tener importantes implicaciones en el rendimiento y la estabilidad del UAV. 4.3 Resultados del modelo teórico inicial 27 4.3 Resultados del modelo teórico inicial Una vez finalizado el análisis de los resultados experimentales, se llevará a cabo la comparación entre dichos resultados y el modelo teórico que hemos desarrollado en el capítulo 2. En primer lugar, procederemos a representar la curva de frecuencia natural obtenida en función del punto de contacto y de la masa equivalente considerada en el modelo teórico para cada uno de los modos de operación. Esta curva nos brindará una visión global de cómo varía la frecuencia natural del sistema en relación con la posición del punto de agarre. Al graficarla, podremos visualizar claramente las tendencias y patrones presentes en los datos teóricos, lo que nos permitirá realizar comparaciones más precisas con los resultados experimentales. Posteriormente, seleccionaremos los puntos característicos de la curva de frecuencia natural y procederemos a evaluar los valores correspondientes en el modelo teórico. Estos puntos coinciden con los analizados experimentalmente y son de vital importancia, ya que nos permitirán realizar una comparación directa entre las predicciones teóricas y los datos obtenidos en el experimento. De esta forma, podremos evaluar la calidad y la precisión del modelo teórico en la reproducción de las características fundamentales del sistema. Es importante destacar que esta comparación no solo se centrará en la concordancia numérica entre los resultados teóricos y experimentales, sino también en el análisis cualitativo de las tendencias y comportamientos observados. Se prestará atención a la forma de las curvas, las desviaciones o discrepancias notables, así como a cualquier patrón de comportamiento que pueda surgir de los datos comparativos. Al realizar esta comparación detallada entre los resultados experimentales y el modelo teórico, podremos obtener una visión completa y enriquecedora de la efectividad y la validez del modelo en la descripción y predicción del comportamiento de la frecuencia natural. Además, identificaremos las áreas en las que se logra una buena concordancia y aquellas en las que se requiere una mayor refinación y ajuste del modelo teórico. En la figura 4.3 se muestran tres curvas de frecuencia que representan diferentes evaluaciones del modelo teórico con diversos niveles de detalle, para el modo de operación 1. La curva ω1 engloba únicamente la masa equivalente del tronco, mientras que la curva ω2 incluye tanto la masa equivalente del tronco como la de las ramas. Por su parte, la curva ω3 incluye la masa equivalente del tronco, las ramas y las manzanas. Los puntos ωecorresponden a los datos experimentales recopilados. Figura 4.3 Frecuencia de resonancia teórica en el modo de operación 1. 5 Conclusiones Para finalizar, es de suma importancia resumir las conclusiones generales obtenidas a lo largo de este trabajo de investigación, que han sido el resultado de un exhaustivo análisis y estudio en el campo de la interacción entre sistemas flexibles y un UAV. En primer lugar, es importante destacar que los resultados obtenidos a través del modelo teórico han demostrado una consistencia notable y una estrecha concordancia con los datos experimentales, lo cual es un indicador claro de la validez y confiabilidad del enfoque utilizado para modelar el sistema. Esto implica que nuestro modelo teórico es capaz de capturar y describir con precisión las características y el comportamiento del sistema en estudio. La consistencia observada en los resultados respalda la solidez de nuestro enfoque y nos brinda una base confiable para realizar predicciones y análisis posteriores. Como segundo punto destacado debemos considerar la implementación de la estrategia de auto-vibración como medio para generar la frecuencia natural del sistema. Esta elección ha demostrado ser altamente acertada, como se evidencia en la estrecha coincidencia entre los resultados teóricos y experimentales.La estrategia de auto-vibración se revela como una herramienta valiosa para lograr una resonancia precisa y controlada en el sistema. Al ajustar la frecuencia de oscilación de acuerdo con las características específicas del árbol y los frutos, se obtiene una sincronización óptima que maximiza la eficacia de la vibración. Por otro lado, es imprescindible tener presente que, a pesar de la solidez de nuestro modelo teórico, existen limitaciones físicas que pueden introducir ciertos errores en la respuesta del sistema. Uno de los factores a tener en cuenta es la inercia del sistema, a medida que el sistema se mueve y responde a la vibración, su inercia puede generar ciertos retrasos en la respuesta. Otro factor a considerar es la respuesta del actuador utilizado para generar la vibración, que puede tener ciertos límites y retrasos inherentes que deben ser tenidos en cuenta al diseñar el control. Estos retrasos pueden afectar la capacidad de ajuste de la frecuencia de oscilación y la sincronización con el árbol. Además, las características mecánicas del sistema también pueden influir en su respuesta. Elementos como la rigidez estructural, la amortiguación y otros aspectos mecánicos pueden afectar la dinámica del sistema y generar variaciones en la respuesta. Es importante destacar que estas limitaciones físicas no invalidan el enfoque propuesto ni la efectividad del modelo teórico. Más bien, resaltan la importancia de tomarlas en cuenta al diseñar e implementar el control. En resumen, los resultados obtenidos en este trabajo de investigación respaldan de manera contundente la validez del modelo propuesto para calcular la frecuencia natural del sistema y la efectividad de la estrategia de auto-vibración utilizada. La estrecha concordancia entre los resultados teóricos y experimentales proporciona evidencia sólida de la alta precisión y confiabilidad del enfoque empleado en este estudio. Como trabajos futuros de investigación se propone utilizar nuevas estrategias de autovibración para compararlas con la utilizada en este trabajo. Así mismo, sería interesante probar este modelo en un árbol real, lo que permitiría validar el modelo teórico en sistemas reales. 35 Índice de Figuras 1.1 Ejemplo de aplicación de UAVs: a) plataforma fully-actuated durante la inspección del amortiguador de un puente [ 7 ], b) manipulador aéreo durante la inspección de una red eléctrica [ 4 ], c) plataforma fully-actuated durante la inspección de una tubería de refinería [2] 1 1.2 Plataformas fully-actuated y omnidireccionales: a) Plataforma FAST-Hex [ 16 ], b) Quadrotor sobreactuado usando servomotores [ 17 ], c) Plataforma omnidireccional con rotores bidireccionales [ 13 ] d) Hexarotor omnidireccional usando seis servomotores [15] 2 1.3 Ejemplo de aplicación de UAVs con elementos flexibles: a) muestreo de ADN de ramas mediante un UAV [ 22 ], b) modelado y control de dos UAVs unidos mediante un cable elástico y flexible [ 20 ], c) modelado dinámico de la interacción entre una rama y un manipulador aéreo [ 18 ], d) modelado dinámico de la interacción UAV y viga con grandes desplazamientos [ 21 ], e) cooperación para el transporte de elementos flexibles como vigas [19] 3 2.1 Sistemas de referencia y numeración de los motores 6 2.2 Giro de un motor alrededor del eje Xy un ángulo αi8 2.3 Esquema de control de la plataforma OMAV 9 2.4 Aproximación del árbol por un sistema de vigas y masas concentradas 11 2.5 Variables definidas en la viga que modela el tronco 11 2.6 Variables definidas en la viga que modela la rama 14 3.1 Curva de la amplificación dinámica asociada a diferentes niveles de amortiguamiento 19 3.2 Esquema de funcionamiento del estimador de frecuencia natural 20 3.3 Sistema de un grado de libertad con fuerza de control F21 3.4 Variación de la amplitud de la vibración Acon la ganancia de control kc23 4.1 Plataforma OMAV y árbol construido para los experimentos 25 4.2 Movimiento en ambas configuraciones. Configuración 1: fuerza en X. Configuración 2: momento en yaw 26 4.3 Frecuencia de resonancia teórica en el modo de operación 1 27 4.4 Frecuencia de resonancia teórica en el modo de operación 2 28 4.5 Frecuencia de resonancia ajustada para modo 1 31 4.6 Frecuencia de resonancia ajustada para modo 2 32 37 Bibliografía [1] M. A. Trujillo, J. R. Martínez-de Dios, C. Martín, A. Viguria, and A. Ollero, “Novel Aerial Manipulator for Accurate and Robust Industrial NDT Contact Inspection: A New Tool for the Oil and Gas Inspection Industry,” Sensors, vol. 19, no. 6, 2019. [2] A. Ollero, G. Heredia, A. Franchi, G. Antonelli, K. Kondak, A. Sanfeliu, A. Viguria, J. R. Martinez-de Dios, F. Pierri, J. Cortes, A. Santamaria-Navarro, M. A. Trujillo Soto, R. Balachandran, J. AndradeCetto, and A. Rodriguez, “The AEROARMS Project: Aerial Robots with Advanced Manipulation Capabilities for Inspection and Maintenance,” IEEE Robotics Automation Magazine, vol. 25, no. 4, pp. 12–23, 2018. [3] A. Suarez, H. 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