Estudio de una ecuación del calor semilineal en dominios no-cilíndricos

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones XI Congreso de Matem´ atica Aplicada Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1–8) Estudio de una ecuaci´on del calor semilineal en dominios no-cil´ındricos P. E. Kloeden1, P. Mar´ ın-Rubio2, J. Real2 1Institut f¨ur Mathematik, Johann Wolfgang Goethe-Universit¨at, D-60054 Frankfurt am Main, Germany. E-mail: [email protected]. 2Dpto. Ecuaciones Diferenciales y An´alisis Num´erico., Universidad de Sevilla, Apdo. Correos 1160, 41080, Sevilla. E-mails: [email protected], [email protected]. Palabras clave: ecuaci´on del calor semilineal, dominios no-cil´ındricos, sistemas din´amicos noaut´onomos, atractores pullback. Resumen En esta comunicaci´on presentaremos resultados de existencia y unicidad de soluciones que verifican una igualdad de energ´ıa para una ecuaci´on semilineal en dominios no-cil´ındricos (cf. [3]) bas´andonos en algunas ideas de [1, 2]. En la prueba se usa un m´etodo de penalizaci´on para un problema m´as regular y paso al l´ımite. Tras ello, y con hip´otesis adicionales, se consiguen estimaciones uniformes que permiten estudiar el comportamiento asint´otico del problema. 1. Introducci´on y planteamiento del problema El desarrollo en las ´ultimas d´ecadas del comportamiento asint´otico de sistemas din´amicos infinito-dimensionales asociados a problemas sobre dominios cil´ındricos ha sido amplio, tanto en dominios acotados como no acotados, as´ı como considerando teor´ıa de atractores aut´onomos o diversas versiones no-aut´onomas. Durante el mismo periodo se han tratado en profundidad tambi´en problemas en dominios no-cil´ındricos (esto es, donde el dominio espacial var´ıa a lo largo del tiempo). Sin embargo, la mayor´ıa de resultados en este ´ultimo ´ambito tratan el problema de la existencia y unicidad de soluci´on, pero no su comportamiento asint´otico (algo en parte l´ogico si se tiene en cuenta que estos sistemas son intr´ınsecamente no-aut´onomos, siendo algunos resultados sobre din´amica no-aut´onoma y sus atractores relativamente recientes). En particular, el caso de dominios encajados ha sido particularmente fruct´ıfero (as´ı como otros casos m´as generales –no crecientes o decrecientes estrictamente, sino fluctuantes 1 P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio, J. Real en ambos sentidos– pero en los que se imponen otras condiciones sobre dicha variaci´on). Tambi´en es rese˜nable que, hasta donde conocemos, igualdades de energ´ıa (y no s´olo desigualdades) para dichos problemas se han obtenido s´olo en casos lineales. En estas notas tratamos una ecuaci´on del calor semilineal en un dominio no cil´ındrico con secciones espaciales crecientes con el tiempo. Obtenemos existencia y unicidad de soluci´on satisfaciendo una igualdad de energ´ıa, bas´andonos en un m´etodo de penalizaci´on similar a [1]. Finalmente, bajo una hip´otesis adicional sobre la fuerza externa, obtendremos acotaciones suficientes para asegurar la existencia de atractor pullback para el sistema din´amico no-aut´onomo asociado. Sea {Ot}t∈Runa familia de subconjuntos acotados no vac´ıos de RNtales que s < t ⇒ Os⊂ Ot,(1) y Qτ,T := [ t∈(τ,T) Ot× {t}es un subconjunto abierto de RN+1 para cualquier T > τ. (2) Adem´as, denotamos Qτ:= [ t∈(τ,+∞) Ot× {t},∀τ∈R, Στ,T := [ t∈(τ,T) ∂Ot× {t},Στ:= [ t∈(τ,+∞) ∂Ot× {t},∀τ < T. Consideramos un problema de valor inicial para una ecuaci´on del calor semilineal, con condici´on Dirichlet homog´enea en la frontera:            ∂u ∂t −∆u+g(u) = f(t) en Qτ, u= 0 sobre Στ, u(τ, x) = uτ(x), x ∈ Oτ, (3) y para cada T > τ, consideramos el problema auxiliar            ∂u ∂t −∆u+g(u) = f(t) en Qτ,T , u= 0 sobre Στ,T , u(τ, x) = uτ(x), x ∈ Oτ, (4) donde τ∈R,uτ:Oτ→Ryf:Qτ→Rson dados, y siendo g∈C1(R) otra funci´on dada para la cu´al existen constantes no negativas α1, α2, β yl, y p≥2 tales que −β+α1|s|p≤g(s)s≤β+α2|s|p∀s∈R(5) 2 Una ecuaci´on del calor semilineal en dominios no-cil´ındricos y g0(s)≥ −l∀s∈R.(6) Ello implica que existen constantes no negativas eα1,eα2,e βtales que −e β+eα1|s|p≤G(s)≤e β+eα2|s|p∀s∈R,(7) donde G(s):=Zs 0 g(r) dr. 2. Concepto de soluci´on, igualdad de energ´ıa y algunos resultados previos Definimos los espacios Hr:= L2(Or) y Vr:= H1 0(Or) para cada r∈Ry denotamos por (·,·)ry| · |rel producto escalar usual y la norma asociada en Hry por ((·,·))ryk · kr el producto escalar de los gradientes y la norma asociada en Vrrespectivamente. Para cada s < t consideramos Vscomo un subespacio cerrado de Vtcon las funciones de Vs extendidas trivialmente por cero fuera de Os.De (1) se tiene que {Vt}t∈[τ,T ]es una familia de subespacios cerrados de VTpara cada T > τ con s < t ⇒Vs⊂Vt.(8) Tambi´en denotaremos por (·,·)rla dualidad entre Lp/p−1(Or) y Lp(Or).Adem´as, Hr ser´a identificado con su dual topol´ogico Hr∗a trav´es del teorema de Riesz, y Vrser´a considerado entonces un subespacio de Hr∗,donde cada v∈Vres identificado con el elemento fv∈Hr∗definido por fv(h) = (v, h)r, h ∈Hr. La dualidad entre V∗ ryVrse denotar´a por medio de h·,·ir. Finalmente, para cada T > τ, denotamos Uτ,T := {φ∈L2(τ, T;VT)∩Lp(e Qτ,T ) : φ0∈L2(τ, T ;HT), φ(τ) = φ(T) = 0, φ(t)∈Vte.c.t. (τ, T )}, donde e Qτ,T := OT×(τ, T ), y suponemos dados uτ∈L2(Oτ) y f∈L2(Qτ,T ), con las extensiones triviales (por cero) cuando sea conveniente. Definici´on 1 Una soluci´on variacional de (4) es una funci´on uque satisface C1) u∈L2(τ, T ;VT)∩Lp(e Qτ,T ), C2) para toda φ∈ Uτ,T , ZT τ−(u(t), φ0(t))T+ ((u(t), φ(t)))T+ (g(u(t)), φ(t))Tdt=ZT τ (f(t), φ(t))Tdt, C3) u(t)∈Vte.c.t. (τ, T ), C4) l´ım t↓τ(t−τ)−1Zt τ |u(r)−uτ|2 Tdr= 0. 3 P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio, J. Real Definimos e Qτ:= [ T>τ e Qτ,T . Definici´on 2 Una soluci´on variacional de (3) es una funci´on u:e Qτ→Rtal que para cada T > τ su restricci´on a e Qτ,T es una soluci´on variacional de (4). Los dos resultados que se enuncian a continuaci´on son pasos previos para obtener una posible igualdad de la energ´ıa para la(s) soluci´on(es) del(de los) problema(s). Lema 3 Supongamos que v∈L2(τ, T ;VT)∩Lp(e Qτ,T )y que existen ξ∈L2(τ, T ;V∗ T)y η∈Lp/p−1(e Qτ,T )tales que ZT τ (v(t), φ0(t))Tdt=−ZT τ hξ(t), φ(t)iTdt−ZT τ (η(t), φ(t))Tdt para cualquier funci´on φ∈ Uτ,T . Para cada 0< h < T −τ, se define vhcomo vh(t):=   h−1(v(t+h)−v(t)) e.c.t. (τ, T −h); 0e.c.t. (T−h, T). Entonces l´ım h↓0ZT τ (vh(t), w(t))Tdt=ZT τ hξ(t), w(t)iTdt+ZT τ (η(t), w(t))Tdt para toda funci´on w∈L2(τ, T ;VT)∩Lp(e Qτ,T )tal que w(t)∈Vte.c.t. (τ, T ). Lema 4 Sean vi∈L2(τ, T ;VT)∩Lp(e Qτ,T ), i = 1,2, dos funciones tales que vi(t)∈Vt e.c.t. (τ, T )para i= 1,2. Supongamos que existen ξi∈L2(τ, T ;V∗ T), ηi∈Lp/p−1(e Qτ,T ), i= 1,2, tales que ZT τ (vi(t), φ0(t))Tdt=−ZT τ hξi(t), φ(t)iTdt−ZT τ (ηi(t), φ(t))Tdt i = 1,2, para toda funci´on φ∈ Uτ,T . Entonces, para cualquier par τ≤s < t ≤Tde puntos Lebesgue de la funci´on producto escalar (v1, v2)Tse tiene que (v1(t), v2(t))T−(v1(s), v2(s))T =Zt s hξ1(r), v2(r)iTdr+Zt s hξ2(r), v1(r)iTdr +Zt s (η1(r), v2(r))Tdr+Zt s (η2(r), v1(r))Tdr + l´ım h↓0h−1Zt−h s (v1(r+h)−v1(r), v2(r+h)−v2(r))Tdr. 4 Una ecuaci´on del calor semilineal en dominios no-cil´ındricos Tras el resultado anterior, obviamente se consigue el siguiente Corolario 5 Si ues una soluci´on variacional de (4), entonces para todo punto Lebesgue t∈(τ, T )de |u|2 Tse tiene que |u(t)|2 T+ 2 Zt τ ku(r)k2 Tdr+ 2 Zt τ (g(u(r)), u(r))Tdr =|uτ|2 T+ 2 Zt τ (f(r), u(r))Tdr+ l´ım h↓0h−1Zt−h τ |u(r+h)−u(r)|2 Tdr. De forma natural, nuestro objetivo es conseguir una soluci´on variacional ude (4) tal que |u(t)|2 T+ 2 Zt τ ku(r)k2 Tdr+ 2 Zt τ (g(u(r)), u(r))Tdr =|uτ|2 T+ 2 Zt τ (f(r), u(r))Tdre.c.t. t∈(τ, T ).(9) En tal caso diremos que usatisface la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T ).An´alogamente, si ues una soluci´on variacional de (3), diremos que usatisface la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, +∞) si para cada T > τ la restricci´on de uae Qτ,T satisface la igualdad de la energ´ıa (9) e.c.t. (τ, T ). Para cualquier funci´on v∈L2(τ, T ;HT) y cualquier t∈(τ, T ] se define ηv,T (t) := l´ım sup h↓0 h−1Zt−h τ |v(r+h)−v(r)|2 Tdr. Observaci´on 6 ηv,T es una funci´on no decreciente. Por tanto, del Corolario 5, se deduce que una soluci´on variacional ude (4) satisface la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T )si y s´olo si ηu,T (t) = 0 para todo t∈(τ, T ).En realidad, usando la continuidad de la aplicaci´on t∈[τ, T ]7→ |uτ|2 T+ 2 Zt τ(f(r), u(r))T− ku(r)k2 T−(g(u(r)), u(r))Tdr∈R, se tiene que una soluci´on variacional ude (4) satisface la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T )si y s´olo si ηu,T (T) = 0. El siguiente lema da una condici´on suficiente para que usatisfaga la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T ). Lema 7 Sea uuna soluci´on variacional de (4) y supongamos que existe una sucesi´on {tn} ⊂ (τ, T )de puntos Lebesgue de |u|2 Ttal que tn→Ty l´ım sup n↑∞ |u(tn)|2 T≤ |uτ|2 T+ 2 ZT τ(f(r), u(r))T− ku(r)k2 T−(g(u(r)), u(r))Tdr. Entonces, usatisface la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T ). 5 P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio, J. Real Proposici´on 8 Sean uyudos soluciones variacionales de (4) con datos iniciales uτ,uτ ∈L2(Oτ)respectivamente, y tales que satisfacen la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T ). Entonces |u(t)−u(t)|2 T+ 2 Zt τ ku(r)−u(r)k2 Tdr≤e2l(t−τ)|uτ−uτ|2 Te.c.t. t ∈(τ, T ). Una consecuencia inmediata es el siguiente resultado de unicidad. Corolario 9 Dada uτ∈L2(Oτ),existe a lo m´as una soluci´on variacional de (4) satisfaciendo la igualdad de la energ´ıa e.c.t. (τ, T ). 3. Soluci´on verificando la igualdad de energ´ıa a trav´es de un m´etodo de penalizaci´on Consideremos fijado un valor T > τ y para cada t∈[τ, T ] denotamos V⊥ t:= {v∈VT: ((v, w))T= 0 ∀w∈Vt} el subespacio ortogonal de Vtcon respecto al producto escalar en VTy denotamos por P(t)∈ L(VT) el proyector ortogonal de VTen V⊥ t, con lo que P(t)v∈V⊥ t, v −P(t)v∈Vt, para cada v∈VT. Finalmente, se define P(t) = P(T) para todo t > T, con lo que obs´ervese que P(T) es el cero de L(VT). Aproximaremos P(t) por operadores m´as regulares en tiempo. Consideremos la familia p(t;·,·) de formas bilineales sim´etricas sobre VTdadas por p(t;v, w) := ((P(t)v, w))T∀v, w ∈VT,∀t≥τ. Gracias a (8), se puede probar que la aplicaci´on [τ, +∞)3t7→ p(t;v, w)∈Res medible para todo par v,w∈VT. M´as a´un, |p(t;v, w)|≤kvkTkwkT. Para cada entero k≥1 y cada t≥τse define pk(t;v, w):=kZ1/k 0 p(t+r;v, w) dr∀v, w ∈VT,∀t≥τ, y denotamos por Pk(t)∈ L(VT) el operador asociado definido por ((Pk(t)v, w))T:= pk(t;v, w)∀v, w ∈V, ∀t≥τ. Las funciones {pk}ky los operadores {Pk}ktienen buenas propiedades (no exponemos todas ellas aqu´ı por brevedad), como por ejemplo, que para cualquier sucesi´on vk∈ L2(τ, T ;VT) d´ebilmente convergente hacia ven L2(τ, T ;VT),se tiene que l´ım inf k→+∞ZT τ pk(t;vk(t), vk(t)) dt≥ZT τ p(t;v(t), v(t)) dt. 6 Una ecuaci´on del calor semilineal en dominios no-cil´ındricos Sea J:VT→V∗ Tel isomorfismo de Riesz hJv, wiT:= ((v, w))T∀v, w ∈VT,y para cada entero k≥1 y cada t∈[τ, T ] denotamos Ak(t):=−∆ + kJPk(t). Obviamente, Ak(t)∈ L(VT, V ∗ T), t∈[τ, T ],es una familia de operadores lineales continuos tales que la aplicaci´on t∈[τ, T ]7→ Ak(t)∈ L(VT, V ∗ T) es medible y acotada, y satisface hAk(t)v, viT≥ kvk2 T∀v∈VT∀t∈[τ, T ]. Supongamos ahora dado uτ∈HTy para cada k≥1 consideremos el problema (uk(t), v)T+Zt τ hAk(r)uk(r), viTdr+Zt τ (g(uk(r)), v)Tdr = (uτ, v)T+Zt τ (f(r), v)Tdr∀t∈[τ, T ],∀v∈VT∩Lp(OT).(10) El siguiente resultado se obtiene gracias a la monoton´ıa de los operadores descritos. Teorema 10 Supongamos que se satisfacen (1),(2),(5) y(6). Entonces, para cada k≥1, f∈L2(τ, T ;HT)yuτ∈HTexiste una ´unica soluci´on uk∈L2(τ, T ;VT)∩Lp(e Qτ,T ) de (10). M´as a´un, uk∈C([τ, T ]; HT).Adem´as, si uτ∈VT∩Lp(OT),entonces uk∈ L∞(τ, T ;VT)∩L∞(τ, T ;Lp(OT)), u0 k∈L2(τ, T ;HT),y ZT τ |u0 k(t)|2 Tdt+kukk2 L∞(τ,T;VT) +kZT τ ((Pk(t)uk(t), uk(t)))Tdt+ 2eα1kukkp L∞(τ,T;Lp(OT)) ≤(3 + T−τ)kuτk2 T+k((Pk(τ)uτ, uτ))T+ 2eα2kuτkp Lp(OT)+ 4e β|OT|+ZT τ |f(r)|2 Tdr, donde eα1,eα2ye βson constantes dadas en (7). Como consecuencia del resultado anterior, haciendo k→+∞,se tiene el siguiente Teorema 11 Bajo las condiciones (1),(2),(5) y(6), para cada f∈L2(τ, T ;HT)yuτ∈ L2(Oτ)existe una ´unica soluci´on variacional ude (4) satisfaciendo la igualdad de energ´ıa e.c.t. (τ, T ).Adem´as, u∈C([τ, T ]; HT)y satisface la igualdad de la energ´ıa (9) para todo t∈[τ, T ].M´as a´un, si uτ∈Vτ∩Lp(Oτ),entonces utambi´en verifica u∈L∞(τ, T ;VT)∩ L∞(τ, T ;Lp(OT)), u0∈L2(τ, T ;HT). 4. Existencia de Dλ1−atractor pullback Por brevedad en estas notas s´olo damos esquem´aticamente algunas indicaciones de nuestro resultado sobre existencia de atractor (para los detalles, v´ease [3]). Supongamos que T > τ + 1 y f∈L2 loc(RN+1) satisface Cf,T := sup t≤TZt t−1 |f(r)|2 Tdr < +∞.(11) 7 P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio, J. Real Entonces, para cualquier uτ∈L2(Oτ) la correspondiente soluci´on variacional ude (4) satisfaciendo la igualdad de la energ´ıa en (τ, T ) tambi´en cumple que u(t)∈VT∀τ+ 1 ≤ t≤T, y ku(t)k2 T≤α3|uτ|2 τeλ1,T (τ−t+2) + [4e β+ 2α3β(1 + λ−1 1,T )]|OT| +1+2α3λ−1 1,T (1 −e−λ1,T )−1Cf,T ,(12) para todo τ+ 1 ≤t≤T, donde α3:= (1 + eα2α−1 1),y siendo λ1,T el primer autovalor del operador −∆ en OTcon condiciones de Dirichlet homog´eneas. Definimos entonces la aplicaci´on U(t, τ)uτ:= u(t;τ, uτ),−∞ < τ ≤t < +∞, uτ∈Hτ, que gracias a los resultados previos, genera un proceso U(·,·) para la familia de espacios de Hilbert {Ht;t∈R},i.e. U(t, τ) : Hτ→Htes continuo para todo par τ≤t, U(τ, τ) =Id, para todo τ∈R,y se cumple que U(t, τ) = U(t, r)U(r, τ) para toda terna τ≤r≤ t. Entonces, la teor´ıa de D−atractores pullback puede ser adaptada a este marco nocil´ındrico siendo el universo D=Dλ1definido como la clase de todas las familias b D= {D(t); D(t)⊂Ht, D(t)6=∅, t ∈R}tales que D(t)⊂B(0, r b D(t)) para alg´un rb D∈ Rλ1, donde B(0, r b D(t)) es la bola cerrada de Htde centro el origen y radio rb D(t),y donde Rλ1 es el conjunto de todas las funciones r:R→(0,+∞) tales que l´ım t→−∞ etλ1,t r2(t) = 0, siendo λ1,t el primer autovalor del operador −∆ en Otcon condici´on Dirichlet homog´enea en la frontera. La acotaci´on (12) implica que existe una familia pullback absorbente formada por “acotados de Vt” y por tanto “compactos de Ht”, de donde Teorema 12 Supongamos que se satisfacen las hip´otesis del Teorema 11 y que f∈ L2 loc(RN+1)verifica (11). Entonces existe un ´unico Dλ1−atractor pullback para el proceso U, y pertenece a Dλ1. Agradecimientos Trabajo parcialmente subvencionado por el Ministerio de Educaci´on y Ciencia, proyecto MTM2005-01412. Peter Kloeden tambi´en fue parcialmente sufragado por el mismo Ministerio dentro del Programa de Movilidad del Profesorado universitario espa˜nol y extranjero, ayuda SAB2004-0146. Referencias [1] M. L. Bernardi, G. A. Pozzi and G. Savar´e, Variational equations of Schroedinger-type in noncylindrical domains, J. Differential Equations 171 (2001), 63–87. [2] S. Bonaccorsi and G. Guatteri, A variational approach to evolution problems with variable domains, J. Differential Equations 175 (2001), 51–70. [3] P. E. Kloeden, P. Mar´ın-Rubio and J. Real, Pullback attractors for a semilinear heat equation in a non-cylindrical domain, J. Differential Equations 244 (2008), 2062–2090. 8