Análisis de los defectos internos en la fatiga del Ti6Al4V SLM

Proyecto Fin de Carrera Ingeniería de Telecomunicación Formato de Publicación de la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Autor: F. Javier Payán Somet Tutor: Juan José Murillo Fuentes Dep. Teoría de la Señal y Comunicaciones Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2013 Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Tecnologías Industriales Análisis de los defectos internos en la fatiga del Ti6Al4V SLM Autor: Santiago Aguado Montero Tutores: Jesús Vázquez Valeo y Carlos Navarro Pintado Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Máster Ingeniería de Tecnologías Industriales Análisis de los defectos internos en la fatiga del Ti6Al4V SLM Autor: Santiago Aguado Montero Tutores: Jesús Vázquez Valeo y Carlos Navarro Pintado Profesor titular Catedrático Dpto. Ingeniería Mecánica y Fabricación Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 Trabajo Fin de Máster: Análisis de los defectos internos en la fatiga del Ti6Al4V SLM Autor: Santiago Aguado Montero Tutores: Jesús Vázquez Valeo y Carlos Navarro Pintado El tribunal nombrado para juzgar el trabajo arriba indicado, compuesto por los siguientes profesores: Presidente: Vocal/es: Secretario: acuerdan otorgarle la calificación de: El Secretario del Tribunal Fecha: Resumen El presente trabajo comprende el análisis numérico y experimental de una serie de probetas concebidas mediante fabricación aditiva y ensayadas a fatiga fuera del alcance de este documento. El análisis experimental se centra en la observación, mediante microscopía óptica, electrónica y confocal de las diferentes regiones apreciables en las superficies de fractura y de los defectos críticos, que son aquellos que dieron lugar a la grieta que propició la fractura final del componente. Por contra, el análisis numérico tiene como objetivo último la simulación del desarrollo de las grietas desde cada uno de los defectos críticos analizados hasta la fractura final, describiendo cada una de las etapas de interés, comparando resultados de dichas simulaciones como la vida a fatiga de cada componente o la evolución del frente de grieta, con la evidencia experimental. El desarrollo de este análisis numérico requiere de la correcta caracterización del perfil completo de tensiones residuales dentro del componente, que se obtiene a partir de una serie de medidas discretas en la zona inmediatamente próxima a la superficie de las probetas; así como de una ley de crecimiento que describa con detalle el comportamiento de la grieta en cada instante, atendiendo a variables como el efecto de grieta pequeña o el desarrollo del cierre de grieta. Por último, una correcta caracterización de los factores de intensidad de tensiones es esencial para afrontar el análisis numérico. I Índice Resumen I 1 Introducción 1 2 Descripción de las probetas 3 2.1 Geometría de las probetas y tipo de ensayo realizado 3 2.2 Tratamientos térmicos y superficiales 4 2.3 Medidas de tensiones residuales 4 2.3.1 Interpolación de las medidas. Decaimiento exponencial senoidal 5 Variante de laser shock peening 6 2.4 Condiciones para la estimación del resto del perfil 6 Condiciones de equilibrio 7 Análisis de distintos tipos de soluciones obtenidas de bibliografía 8 2.4.1 Estimación del perfil completo de tensiones residuales. 9 Resultados 10 3 Análisis experimental 13 3.1 B1S9Inf 15 3.2 B2S11Inf 17 3.3 B2S11Sup 19 3.4 B2S14Sup 21 3.5 B2S15Sup 23 3.6 B4S31 25 3.7 B4S32 27 3.8 B4S34 29 3.9 B4S35 31 4 Análisis numérico 35 4.1 Cálculo de FIT 35 4.1.1 FIT para grieta embebida 35 Funciones de peso 36 Soluciones de referencia 37 Modificación de las soluciones de referencia. Dimensión finita del ligamento remanente 37 4.1.2 FIT grieta superficial semielíptica. 39 Expresión general. Función de peso. 39 FIT en la profundidad de la grieta sometida a tensión uniforme. 42 FIT en la profundidad de la grieta sometida a flexión. 43 FIT en la superficie de la grieta sometida a tensión uniforme. 43 FIT en la superficie de la grieta sometida a flexión. 43 Obtención de los coeficientes. Resolución del stma. de ecuaciones. 44 4.1.3 FIT en grieta pasante. 44 III 6Capítulo 2. Descripción de las probetas Figura 2.4 Interpolación mediante decaimiento exponencial senoidal para una probeta sometida a shot peening. comprendida entre la superficie de la probeta (x=0) y aquel punto (x=c) que cumpla σ(c) = Ae−λccos (ωdc+θ) = 0(2.2) Dicho punto puede determinarse despejando de la ecuación anterior como sigue: c= π 2−θ ωd (2.3) Como ejemplo, se adjunta en la Figura 2.4 la interpolación para un perfil de tensiones residuales del tipo shot peening. Variante de laser shock peening En el caso de laser shock peening se da una situación particular, debido a que la distribución de datos no parece asemejarse correctamente a una función senoidal. Más aún, las medidas tomadas parecen indicar una cierta linealidad en los datos, esto es, a partir de un cierto valor de profundidad, las medidas de tensión residual se sitúan aproximadamente en una linea recta. Se va a introducir una modificación en el algoritmo que consiste en interpolar el perfil de tensiones residuales mediante dos funciones distintas. Un primer tramo que responde a la función senoidal con decaimiento exponencial, y un segundo tramo que responde a una linea recta. Naturalmente, se debe añadir como parámetro el punto de transición senoidal-lineal, de forma que el número de parámetros pasa a ser de 5, en lugar de 4. La transición se realiza asegurando la continuidad en la función interpolante, así como en su primera derivada. Note que el cálculo del punto de transición compresión-tracción se realiza ahora a través de la intersección de la zona lineal con el eje de abscisas. Un ejemplo de interpolación de laser shock peening se encuentra en la Figura 2.5. 2.4 Condiciones para la estimación del resto del perfil Para que el perfil de tensiones residuales sea de utilidad en las simulaciones de crecimiento de grieta, es necesario desarrollar una aproximación para representar el perfil completo de tensiones residuales, esto es, se debe añadir a la interpolación de la zona de compresión una distribución adecuada en el resto del espesor. En este apartado nos planteamos qué características debe presentar dicha distribución e identificamos las herramientas para determinarla. 2.4 Condiciones para la estimación del resto del perfil 7 Figura 2.5 Interpolación mediante decaimiento exponencial senoidal para una probeta sometida a laser shock peening. Condiciones de equilibrio En primer lugar, existen dos restricciones para el perfil de tensiones residuales que se derivan de los principios más básicos de la elasticidad. El desarrollo que sigue está basado y puede seguirse con mayor facilidad atendiendo a [19]. En elasticidad, la definición del vector tensión parte de la división de un dominio completo de interés en dos subdominios, separados por una superficie de normal continua que contiene al punto cuyas tensiones se pretenden determinar. La definición continúa estableciendo al vector tensión como el portador de las acciones que ambos subdominios se ejercen entre sí, a través del plano definido por la normal de la superficie de separación, en el punto concreto de interés. A través de esta definición, no es difícil comprender la siguiente abstracción: suponga el dominio de interés una probeta concreta, y sean los dos subdominios las dos medias probetas obtenidas al separar imaginariamente la probeta a través del plano de simetría que contiene los semiejes del defecto (esto es, si la probeta se encuentra en posición vertical, se tratará de un plano horizontal). Gracias a la definición del vector tensión, es posible aislar matemáticamente ambas medias probetas, sustituyendo la otra media probeta por los vectores tensión que aparecen en cada punto del plano de separación, por ser estos los representantes de las acciones que se ejercen ambas medias probetas entre sí. Puesto que estos vectores tensión no son ni más ni menos que la distribución de tensiones residuales que en este apartado pretendemos obtener, llegamos a la conclusión de que podemos resolver desde el punto de vista de la teoría de la elasticidad media probeta sometida en las caras que originalmente eran libres a las cargas que se deseen aplicar externamente a la probeta y, en la cara que originalmente la unía con la otra media probeta, a las tensiones residuales. Con esta idea en mente, nuestra media probeta debe cumplir las ecuaciones del problema elástico, en particular las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Nos interesa especialmente la situación en que la probeta no se encuentra sometida a ningún tipo de carga externa, esto es, la probeta se encuentra libre de acciones aplicadas y todas las caras externas se encuentran libres de tensiones. En esta situación, las únicas acciones que aparecen en el problema son las tensiones residuales, aplicadas en la cara que separa la media probeta de la otra mitad. Por lo tanto, en esta situación las tensiones residuales deben ser autoequilibradas, es decir, que deben cumplir por sí solas las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. Teniendo en cuenta que estamos considerando un caso de tensión univariante (que varía únicamente en una dirección) y que la sección de la probeta es rectangular, el cálculo de la situación de equilibrio tridimensional se transforma rápidamente a un problema plano, por lo que existen solamente dos ecuaciones de equilibrio que cumplir, una de fuerzas (en la dirección del eje de la probeta) y una de momentos (según la dirección perpendicular al plano de trabajo). 8Capítulo 2. Descripción de las probetas Más adelante se emplearán estas relaciones numéricas para determinar el perfil de tensiones residuales completo, pero de momento resulta interesante descartar algunos perfiles que no son en modo alguno físicamente posibles. Si consideramos, como comentábamos en un apartado anterior, que el tratamiento recibido por las probetas es asimétrico (se ha tratado únicamente una de las caras de la probeta), es evidente que el perfil de tensiones residuales resultante debe ser también asimétrico. Cabría por tanto suponer en primera aproximación un perfil que comenzara con unas tensiones de compresión en la superficie debidas al tratamiento superficial. La magnitud de estas tensiones iría evolucionando al profundizar en la probeta (de acuerdo con las medidas realizadas, véase Figuras 2.2 y 2.3) hasta transformarse en unas tensiones de tracción (esto es inevitable puesto que se debe cumplir el equilibrio de fuerzas en la dirección del eje de la probeta). La cuestión que se plantea es la siguiente: ¿Es posible que dichas tensiones se mantengan con signo positivo (de tracción) durante el resto del espesor de la probeta? La respuesta es rotunda y negativa. Considere el cálculo del momento resultante de dicha distribución sobre el punto de transición compresión-tracción (considere que el tratamiento se aplica en la cara de la izquierda). Desde el punto de transición hacia la izquierda se tienen únicamente tensiones de compresión por lo que el momento resultante es necesariamente de signo positivo. Ahora bien, desde el punto de transición hacia la derecha se tienen únicamente tensiones de tracción en el supuesto que estamos considerando, por lo que el momento resultante es necesariamente positivo también. Por tanto, es imposible que ambos momentos resultantes se equilibren, por ser del mismo signo, y por tanto la distribución de tensiones debe necesariamente volver a tomar valores negativos (de compresión) conforme se avanza en el espesor de la probeta. Análisis de distintos tipos de soluciones obtenidas de bibliografía Para determinar el tipo de solución que se debe proponer para estimar el perfil de tensiones residuales más allá de la zona de transición compresión-tracción, se ha acudido a la bibliografía, encontrando algunos trabajos relacionados. En primer lugar, resulta interesante analizar la solución propuesta por Namjoshi [ 15 ] para un caso de tratamiento superficial de shot peening simétrico. Dada la simetría del tratamiento, es razonable esperar un perfil de tensiones residuales igualmente simétrico. Como consecuencia, se establece una expresión genérica en función de 4 (p,q,r,s) parámetros: σ(x) = pq(x+r−c) (x+r−c)2+p2−s(2.4) que se deben determinar mediante una serie de condiciones de equilibrio y de contorno. En segundo lugar, es posible encontrar similitudes entre los procesos de tratamiento superficial aquí considerados y los procesos de soldadura. En ambos casos se generan importantes tensiones residuales en las zonas superficiales que deben equilibrarse internamente a lo largo del espesor de la pieza. Por tanto, se plantea como solución alternativa el uso de algunos perfiles típicos empleados en problemas de soldadura, como son los dos propuestos por Tada & Paris [22]: σ1(ξ) = f0 1−ξ2 1+ξ4(2.5) σ2(ξ) = f0e−1 2ξ2(1−ξ2)(2.6) donde f0 es un parámetro que permite escalar el perfil completo de tensiones residuales y ξ=x c es una variable adimensional que mide la coordenada de la profundidad ( x ) entre la profundidad del punto de transición tracción-compresión ( c ). Por tanto, se tiene que (para f0>0 ) ξ<1 implica tensiones de tracción yξ>1implica compresiones. La forma de los perfiles de tensiones residuales recogidos en 2.4, 2.5 y 2.6 es similar y se describe a continuación: tras la zona de compresión, de longitud c , la curva describe un tramo de tensiones de tracción de longitud del orden de entre 1 y 3 veces c (dependiendo de los parámetros concretos). En este tramo, las tensiones de tracción alcanzan valores muy significativos, de hasta una tercera parte del máximo valor de compresión. Conforme seguimos avanzando en la profundidad, el valor de las tensiones residuales de tracción rápidamente se desploma, tendiendo a cero más allá de los primeros milímetros, pero no alcanzando nunca valores negativos, esto es, de compresión. Por un lado, ha quedado demostrado en el apartado anterior que las tensiones residuales deben necesariamente volver a tomar valores de compresión en algún punto de la profundidad para poder cumplir el equilibrio 2.4 Condiciones para la estimación del resto del perfil 9 Figura 2.6 Ejemplo perfil completo de tensiones residuales. de momentos. Por lo tanto, estas soluciones por sí solas son incapaces de representar por completo el perfil de tensiones residuales. Por otro, autores como Al-Hassani [ 1 ] y Al-Obaid [ 2 ] proponen un perfil lineal en la zona de tracciones, es decir, prescinden de los elevados valores de tensiones de tracción que los artículos anteriores sitúan inmediatamente después del punto de transición compresión-tracción. Dicho caracter lineal, carente de concentración de tensiones de tracción y que permite que las tensiones decaigan progresivamente hasta tomar valores negativos (de compresión) en la cara que no ha recibido tratamiento, puede cumplir el equilibrio de fuerzas y momentos y ha sido confirmado numéricamente por Guagliano [ 10 ]. Por lo tanto, esta será la metodología que se empleará para estimar el perfil completo de tensiones residuales. 2.4.1 Estimación del perfil completo de tensiones residuales. Hasta ahora se tiene una interpolación de la zona de compresión del perfil de tensiones residuales, que se ha obtenido con base en una serie de medidas experimentales. Nuestro objetivo es, como hemos comentado, determinar el resto del perfil de tensiones residuales que, con un caracter lineal, equilibra las medidas experimentales. Es importante recordar que la interpolación se ha realizado exclusivamente hasta el punto en que las tensiones pasan a ser de tracción. En particular, denominaremos dσ dx c al valor de la pendiente de la curva al final de la interpolación. Para conseguir el equilibrio de fuerzas y momentos, se va a suponer que el perfil de tensiones residuales más allá de la transición compresión tracción está compuesto por la superposición de una tensión constante que equilibra las fuerzas y por una tensión lineal que equilibra los momentos. La superposición de ambas es capaz de garantizar el equilibrio de fuerzas y momentos al mismo tiempo. La Figura 2.6 recoge un ejemplo de perfil completo. A continuación se realizan algunos comentarios acerca del mismo: • En primer lugar, note que se debe establecer una transición entre el fin de la zona de compresión y el comienzo del tramo lineal decreciente de tracciones. Esto se consigue mediante otro tramo recto que parte desde el punto de transición compresión-tracción con una pendiente igual a la del fin de la interpolación de compresión, esto es, de valor dσ dx c. • En segundo lugar, note que la recta que representa las tensiones más allá de la transición compresióntracción tiene dos constantes, su ordenada en el origen y su pendiente. Además, fijadas estas dos constantes, el tramo de unión que introducíamos en el comentario inmediatamente anterior queda totalmente definido. Por tanto, el perfil completo a partir del punto de transición depende únicamente de dos constantes, por lo que puede determinarse a partir de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas y momentos. 10 Capítulo 2. Descripción de las probetas Figura 2.7 Perfiles de tensiones residuales aproximados para shot peening. • Dado el carácter lineal del perfil de tensiones a partir de la transición compresión-tracción, el punto de máximas tracciones se presenta necesariamente en la intersección del tramo de enlace con el resto del perfil lineal. • Como ya hemos comentado en varias ocasiones, la pendiente de la zona lineal debe ser tal que garantice la existencia de compresiones en la zona cercana a la cara que no ha recibido tratamiento superficial. De no ser así, sería imposible el cumplimiento del equilibrio de momentos. Note como en el ejemplo de la Figura 2.6 se tiene una tensión de compresión en la cara de la derecha de aproximadamente -50 MPa. Resultados En las Figuras 2.7 y 2.8 puede observarse el perfil resultante que se ha aproximado para cada probeta analizada. Observe que las tensiones máximas obtenidas son en todos los casos del orden de una décima parte del mínimo valor de la zona de compresión, lo cual está en consonancia con lo observado en la bibliografía. 2.4 Condiciones para la estimación del resto del perfil 11 Figura 2.8 Perfiles de tensiones residuales aproximados para laser shock peening. 3 Análisis experimental En el presente capítulo se pretende analizar mediante microscopía electrónica y confocal las superficies de fractura de las probetas, con el objetivo de obtener la máxima información posible de los defectos responsables de la aparición de grietas que propiciaron la fractura de los componentes. Este trabajo se centra en el análisis de aquellas grietas que tienen su origen en defectos internos, por lo que aquellas probetas cuyo defecto causante del fallo es superficial no son consideradas en este análisis. No obstante, puesto que las probetas consideradas han sido sometidas a tratamientos de Shot peening oLaser shock peening, las tensiones residuales de compresión resultantes en la región próxima a la superficie tratada inhibe la nucleación de grietas superficiales, por lo que casi todas las probetas rompieron por un defecto interno. Las Figuras 3.1-3.36 presentan las imágenes obtenidas mediante microscopía óptica, electrónica y confocal de las superficies de fractura pertenecientes a cada componente analizado, y siguen un formato común que se va a describir a continuación. En primer lugar se muestra una imagen obtenida mediante microscopía óptica, a pocos aumentos, de la zona cercana al defecto crítico. Seguidamente, pueden observarse detalles de puntos clave de la imagen anterior, obtenidos esta vez mediante microscopía electrónica. La siguiente figura consta de un conjunto de imágenes de detalle del defecto, obtenido mediante microscopía confocal sobre ambas caras de la superficie de fractura. Una de dichas imágenes, correspondiente a una de las dos caras, ha sido volteada, permitiendo apreciar con más facilidad la manera en que ambas caras encajan completamente. Además, se ha obtenido el perfil de alturas a lo largo de una línea (que se muestra señalada en una de las imágenes) en ambas caras del defecto, y se muestra en una imagen única que permite intuir el perfil del defecto antes de que se produjera la fractura. Finalmente, se muestran detalles del defecto que muestran su forma en la dirección de fabricación de la probeta, obtenida mediante microscopía electrónica, así como la distancia que separa el defecto y la superficie libre de la probeta, medida desde ésta hasta el punto más cercano del defecto. La información de interés presente en las imágenes mostradas se encuentra resumida en la Tabla 3.1. La información disponible consta de: ID del espécimen, tratamiento superficial recibido, distancia del defecto a la superficie libre (medida desde la superficie hasta el punto más cercano del defecto), tamaño característico del defecto (el diámetro de aquel círculo cuyo área es igual a la del defecto original), radio de entalla del defecto (si procede) y ciclos necesarios para la fractura durante el ensayo de fatiga. Para todas estas probetas, cuya fractura se debió a una grieta iniciada en un defecto interno del material, el proceso de fallo puede describirse como sigue: • Inicialmente la grieta nace desde el defecto inicial, ya sea de manera casi instantánea si éste es crack-like o a través de un proceso de nucleación si éste es romo. En ambas situaciones, se observa que la región de la superficie de fractura inmediatamente próxima al defecto presenta una textura muy marcada, que sigue claramente la microestructura acicular típica del titanio. Esta zona comprende las primeras decenas de micrómetros de crecimiento de la grieta. De acuerdo con la bibliografía consultada [ 26 ], este tipo de textura aparece cuando el crecimiento de la grieta se produce bajo unos niveles de factor de intensidad de tensiones muy próximo al umbral de crecimiento, lo que concuerda con las simulaciones de crecimiento realizadas. • Una vez la grieta supera las primeras etapas de su crecimiento, éste continúa en forma de grieta completamente embebida, lo que quiere decir que la grieta en este estado aún no es visible desde el exterior de la pieza. Durante este periodo, la grieta comienza a crecer, normalmente manteniendo una forma elíptica con relación de aspecto cercana a la unidad. Dado el tipo de carga al que se somete la 13 14 Capítulo 3. Análisis experimental pieza, las tensiones serán normalmente mayores (salvo influencia de las tensiones residuales) en aquellas regiones de la grieta más próximas a la superficie libre, por lo que la grieta crecerá preferentemente en esta dirección, buscando dicha superficie libre, hasta convertirse en una grieta superficial semielíptica. Si se analiza a simple vista la superficie de fractura de las probetas, puede observarse una región de aspecto muy brillante, de forma elíptica, casi tangente a la superficie libre de la probeta, y que comprende en su interior al defecto inicial. Las imágenes de microscopía óptica de las probetas B1S9Inf, B4S32 y B4S35 son tres ejemplos en los que esta zona se percibe claramente. Es posible que esta zona que se observa a simple vista se corresponda con la forma que la grieta embebida tenía justo en el instante en que se acercó lo suficiente a la superficie como para convertirse en superficial. Más adelante, cuando dispongamos de simulaciones de crecimiento, discutiremos esta posibilidad. Microestructuralmente, esta zona brillante presenta una textura muy irregular, sin motivos claramente distinguibles ni estrías apreciables. Es posible que ambas caras de la grieta hayan entrado en contacto durante el crecimiento de la grieta embebida, machacándose ambas caras entre sí. • Si comenzamos a alejarnos de la zona elíptica brillante, podemos observar la aparición de amplias zonas estriadas. Es importante señalar que no se produce una transición brusca entre la textura anterior y la presente, sino que progresivamente van apareciendo regiones estriadas, cada vez más presentes entre el resto de regiones de textura irregular. • Finalmente, si nos seguimos alejando del defecto inicial, encontramos una zona en la que el factor de intensidad de tensiones alcanza valores elevados. Se aprecia una región que ha sido deformada en mayor medida, que puede corresponderse con la zona de fractura final. El análisis mediante microscopía confocal de los defectos críticos arroja los siguientes resultados: • Dos de los defectos críticos son claramente romos (B2S15Sup y B4S32). Presentan un radio de entalla significativamente grande, comparado con el tamaño característico del defecto, por lo que en primera instancia no pueden clasificarse como crack-like. • Dos defectos tienen una profundidad mucho más pequeña que su tamaño característico (B1S9Inf y B4S34), por lo que son muy agudos y van a ser considerados como crack-like. • Nuevamente, dos defectos presentan parte de su borde romo, mientras que otra zona es claramente de tipo crack-like (B2S11Inf y B4S31). Por simplicidad, van a ser considerados como si todo su borde fuese muy agudo, esto es crack-like. • De nuevo dos defectos (B2S11Sup y B2S14Sup) están confinados en planos paralelos a distintas alturas, por lo que no queda claro si son fruto de la unión de dos defectos más pequeños, que se encontraban en regiones próximas entre sí. Se van a modelar matemáticamente como sendos defectos crack-like, ignorando la diferencia de cota entre las diferentes regiones que conforman el defecto. Es remarcable la extraña forma que presentan en planta estos dos defectos, particularmente el presente en la probeta B2S14Sup, que requiere algo más que un rápido vistazo para ser ubicado en la imagen de microscopía confocal. Este defecto parece estar conformado por varios sectores, can características muy dispares, hasta el punto de que la parte superior de la cara 2 presenta muchos problemas a la hora de ser escaneada por su compleja curvatura. • Finalmente, uno de los defectos (B4S35) es claramente crack-like, correspondiéndose con una falta de fusión entre capas. Sin embargo, se aprecia una dirección de propagación de la grieta irregular, y una de las direcciones presenta una súbita elevación. A la vista de las imágenes obtenidas mediante microscopía confocal de los defectos, queda patente la necesidad de estudiar ambas caras de un defecto para captar correctamente su geometría ya que, en la mayoría de los casos, ambas mitades diferían en gran medida. Los defectos que encontramos en las probetas B1S9Inf, B4S31 y B4S34 son buenos ejemplos de casos en los que observar únicamente la mitad del defecto puede llevar a error. Si bien la cara 2 de B1S9Inf y la cara 1 de B4S31 parecen indicar que el defecto es absolutamente crack-like, las caras opuestas indican que el defecto tiene un cierto volumen y su caracter romo admite, cuando menos, discusión. Por contra, la cara 2 de la probeta B4S34 indica claramente un defecto romo, hecho que desmiente su cara opuesta. 3.1 B1S9Inf 15 3.1 B1S9Inf Figura 3.1 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. (d) Zona de alta plasticidad. Figura 3.2 Detalles de la superficie de fractura.. 22 Capítulo 3. Análisis experimental (a) Cara 1 del defecto. (b) Cara 2 del defecto. (c) Cara 2 volteada y marcada. (d) Perfil del defecto. Figura 3.15 Microscopía confocal del defecto.. (a) Detalle del defecto. (b) Distancia hasta la superficie (780µm). Figura 3.16 Detalles del defecto inicial.. 3.5 B2S15Sup 23 3.5 B2S15Sup Figura 3.17 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. Figura 3.18 Detalles de la superficie de fractura.. 24 Capítulo 3. Análisis experimental (a) Cara 1 del defecto. (b) Cara 2 del defecto. (c) Cara 2 volteada y marcada. (d) Perfil del defecto. Figura 3.19 Microscopía confocal del defecto.. (a) Detalle del defecto. (b) Distancia hasta la superficie (560µm). Figura 3.20 Detalles del defecto inicial.. 3.6 B4S31 25 3.6 B4S31 Figura 3.21 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. (d) Zona de alta plasticidad. Figura 3.22 Detalles de la superficie de fractura.. 26 Capítulo 3. Análisis experimental (a) Cara 1 del defecto. (b) Cara 2 del defecto. (c) Cara 2 volteada y marcada. (d) Perfil del defecto. Figura 3.23 Microscopía confocal del defecto.. (a) Detalle del defecto. (b) Distancia hasta la superficie (1000µm). Figura 3.24 Detalles del defecto inicial.. 3.7 B4S32 27 3.7 B4S32 Figura 3.25 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. (d) Zona de alta plasticidad. Figura 3.26 Detalles de la superficie de fractura.. 28 Capítulo 3. Análisis experimental (a) Cara 1 del defecto. (b) Cara 2 del defecto. (c) Cara 2 volteada y marcada. (d) Perfil del defecto. Figura 3.27 Microscopía confocal del defecto.. (a) Detalle del defecto. (b) Distancia hasta la superficie (1900µm). Figura 3.28 Detalles del defecto inicial.. 3.8 B4S34 29 3.8 B4S34 Figura 3.29 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. Figura 3.30 Detalles de la superficie de fractura.. 30 Capítulo 3. Análisis experimental (a) Cara 1 del defecto. (b) Cara 2 del defecto. (c) Cara 2 volteada y marcada. (d) Perfil del defecto. Figura 3.31 Microscopía confocal del defecto.. (a) Detalle del defecto. (b) Distancia hasta la superficie (870µm). Figura 3.32 Detalles del defecto inicial.. 3.9 B4S35 31 3.9 B4S35 Figura 3.33 Esquema superficie de fractura.. (a) Grieta pequeña. (b) Zona brillante. (c) Estrías. Figura 3.34 Detalles de la superficie de fractura.. 38 Capítulo 4. Análisis numérico Figura 4.2 Ka1embebida NASGRO y [4] para carga de flexión.. Es razonable pensar que el factor de intensidad de tensiones más afectado por la dimensión del ligamento remanente será Ka1 , por encontrarse más cerca el punto a1 de la cara de máxima tensión, y vamos por ello a comenzar aquí nuestro análisis. En la Figura 4.2 se recogen los valores de Ka1 para una carga de flexión obtenidos tanto a través de NASGRO como mediante las soluciones de referencia de [ 4 ]. En particular se ha obtenido la solución en función de la dimensión del semieje a(con relación de aspecto a c=1 ), para varios valores de la variable Bt (recordemos que dicha variable coincide con a+h ). Se aprecia claramente como al avanzar la grieta, acercándose a la cara libre (reduciéndose por tanto la dimensión del ligamento remanente), la solución de NASGRO responde elevando en gran medida el FIT, asegurando de esta forma que existe un valor de h para el que se alcanza la tenacidad a fractura del material, que puede ser un criterio para determinar el instante de transición de grieta embebida a superficial. Sin embargo, la solución obtenida a través de [ 4 ] no contempla esta situación. Nos interesa cuantificar cuál es la relación entre los valores calculados mediante NASGRO y mediante [ 4 ], por lo que en la Figura 4.3 se ha representado el cociente entre ambos valores en función de la variable adimensional β=a a+h . Se observa que, al reducir el problema a variables adimensionales, el efecto que a priori parecía dispar de una curva a otra pasa a ser uniforme y puede cuantificarse. Note que los errores alcanzan el 40 % para valores de β cercanos a 0.99, que es el límite establecido por NASGRO para sus soluciones de referencia. Llegados a este punto se propone como solución ajustar una curva a partir de los datos de la Figura 4.3 y multiplicar el valor de Ka1 obtenido de [ 4 ] por dicha función correctora. Si se desarrolla esta idea se obtienen los resultados mostrados en las Figuras 4.4 y 4.5, también para cargas de flexión, que presentan errores menores al 2 %. Es interesante plantearse ahora lo siguiente: ¿Es válida esta misma función correctora si aplicamos una carga distinta? Para responder esta cuestión podemos obtener el mismo tipo de curvas aplicando una tensión uniforme de tracción, lo que da lugar a las Figuras 4.6 y 4.7, en las que nuevamente observamos que el error es menor del 2.5 %, confirmando que el factor de corrección es válido para este tipo de carga. Cabe cuestionarse ahora si la hipótesis que hemos realizado inicialmente al considerar que la relación de aspecto tenía valor a c=1 tiene un impacto manifiesto sobre los resultados hasta ahora mostrados. Para analizar este hecho vamos a establecer una situación límite, por ejemplo de a c=0.3 , y vamos a analizar los resultados obtenidos. La Figura 4.8 confirma que existe una dependencia con la relación de aspecto, existiendo errores de hasta el 15 % , lo cual debe manejarse con cuidado. No obstante, los análisis iniciales indican que existe una amplia tendencia en las grietas (para nuestra combinación particular de carga y geometría) a desarrollarse con relación de aspecto unidad. Por tanto, parece razonable emplear el factor de corrección que se ha desarrollado hasta ahora mientras la desviación de la relación de aspecto no sea significativa. En cualquier caso, de darse una situación en la que convivan una relación de aspecto muy distinta de la unidad y un ligamento remanente muy pequeño, debería analizarse la solución con particular precaución. 4.1 Cálculo de FIT 39 Figura 4.3 Cociente entre Ka1embebida NASGRO y [4] para carga de flexión.. Figura 4.4 Ka1embebida NASGRO y [4] corregido para carga de flexión.. En último lugar, cabría plantearse si existe un efecto apreciable de la dimensión del ligamento remanente sobre el factor de intensidad de tensiones Kc . Si se observan las Figuras 4.9 y 4.10, puede apreciarse como los errores no son significativos y, por tanto, puede emplearse la solución de referencia de [ 4 ] fuera de su rango de aplicación para la obtención de Kc. 4.1.2 FIT grieta superficial semielíptica. A continuación vamos a desarrollar el cálculo de los factores de intensidad de tensiones asociados a una grieta superficial con geometría semielíptica presente en una probeta de sección rectangular sometida a carga arbitraria. Para ello, vamos a emplear la metodología de las funciones de peso. Expresión general. Función de peso. Según la metodología de las funciones de peso, el factor de intensidad de tensiones en una grieta sometida a una carga arbitraria σ(x) univariante, esto es, que varía en una única dirección (en este caso la profundidad 40 Capítulo 4. Análisis numérico Figura 4.5 Cociente entre Ka1embebida NASGRO y [4] corregido para carga de flexión.. Figura 4.6 Ka1embebida NASGRO y [4] corregido para carga de tracción uniforme.. medida desde la superficie), puede calcularse con arreglo a las siguientes expresiones: Ka=Za 0 σ(x)ma(x)dx (4.15) Kc=Za 0 σ(x)mc(x)dx (4.16) donde las etiquetas aychacen referencia al punto más profundo de la grieta y al punto de intersección con la superficie, respectivamente. Las funciones que multiplican a la tensión aplicada en las Ecs. 4.15 y 4.16 son denominadas funciones de peso y responden a las siguientes definiciones [20]: ma(x) = 2 p2π(a−x)(1+M1a(1−x a)1 2+M2a(1−x a)+M3a(1−x a)3 2)(4.17) 4.1 Cálculo de FIT 41 Figura 4.7 Cociente entre Ka1embebida NASGRO y [4] corregido para carga de tracción uniforme.. Figura 4.8 Cociente entre Ka1embebida NASGRO y [4] corregido para carga de flexión. a c=0.3. mc(x) = 2 √πx(1+M1c(x a)1 2+M2c x a+M3c(x a)3 2)(4.18) Tal y como se explica en [ 20 ], los coeficientes Mia y Mjc en las Ecs. 4.17 y 4.18 se determinan a través de una serie de condiciones de contorno y empleando unas soluciones denominadas de referencia, que corresponden a casos de carga sencillos y que se encuentran disponibles de forma analítica en la literatura [ 4 ]. En particular, las condiciones de contorno que se deben aplicar son las siguientes [20]: •La derivada segunda de ma(x)con respecto a xdebe ser nula en la superficie libre. •El valor de la función de peso mc(x)debe desvanecerse en el punto más profundo de la grieta. Estas condiciones de contorno se traducen en las siguientes restricciones que deben cumplir los coeficientes: M2a=3(4.19) 1+M1c+M2c+M3c=0(4.20) 42 Capítulo 4. Análisis numérico Figura 4.9 Kcembebida NASGRO y [4] para carga de tracción uniforme.. Figura 4.10 Cociente entre Kcembebida NASGRO y [4] para carga de tracción uniforme.. Puesto que se deben determinar un total de 6 coeficientes, es necesario disponer de 4 ecuaciones más que, conjuntamente con las Ecs. 4.19 y 4.20, permitan resolver un sistema de ecuaciones compatible determinado. Las cuatro ecuaciones restantes se obtienen al evaluar la solución general (válida para una carga σ(x) arbitraria) en los casos particulares de tensión uniforme y flexión pura (σ(x)variando linealmente con x): FIT en la profundidad de la grieta sometida a tensión uniforme. De acuerdo con las Ecs. 4.15 y 4.17, al someter la grieta a un estado de carga σ(x) = 1 (constante), se tiene la siguiente expresión2para el FIT: Ku a=Za 0 2 p2π(a−x)(1+M1a(1−x a)1 2+M2a(1−x a)+M3a(1−x a)3 2)dx (4.21) 2 En lo que sigue se emplearán dos superíndices ( u y f ) para denotar los FIT asociados a los casos de carga uniforme y de flexión, respectivamente. 4.1 Cálculo de FIT 43 Resolviendo las integrales que en 4.21 aparecen, se obtiene una relación entre Ku a y los coeficientes Mia : Ku a=r2 πa(2+M1a+2 3M2a+1 2M3a)(4.22) Puesto que el FIT de una grieta superficial semielíptica sometida a tensión uniforme en una sección rectangular es conocido [ 4 ], la ecuación que se ha obtenido puede usarse para determinar los coeficientes de las funciones de peso. FIT en la profundidad de la grieta sometida a flexión. Una vez más, de acuerdo con las Ecs. 4.15 y 4.17, si se aplica un sistema de cargas tal que σ(x) = 1−x a se llega a la siguiente ecuación: Kf a=Za 0 2(1−x a) p2π(a−x)(1+M1a(1−x a)1 2+M2a(1−x a)+M3a(1−x a)3 2)dx (4.23) Si se resuelven las integrales que en la presente ecuación aparecen, se obtiene la siguiente relación: Kf a=r2 πa(2 3+1 2M1a+2 5M2a+1 3M3a)(4.24) que, nuevamente, empleando el FIT en [4] puede emplearse para determinar los coeficientes en la Ec. 4.17. FIT en la superficie de la grieta sometida a tensión uniforme. De forma similar a como se ha desarrollado en la profundidad de la grieta, para el punto superficial se tiene: Ku c=Za 0 2 √πx(1+M1c(x a)1 2+M2c x a+M3c(x a)3 2)dx (4.25) Resolviendo las integrales de la ecuación anterior, se llega a la siguiente expresión: Ku c=1 √πa(4+2M1c+4 3M2c+M3c)(4.26) FIT en la superficie de la grieta sometida a flexión. Una vez más, según las Ecs. 4.16 y 4.18, si se somete a la grieta a un estado de cargas tal que σ(x) = x a se tiene lo siguiente: Kf c=Za 0 2x a √πx(1+M1c(x a)1 2+M2c x a+M3c(x a)3 2)dx (4.27) Resolviendo, se llega a la sexta y última ecuación que permite determinar todos los coeficientes de las funciones de peso: Kf c=1 √πa(4 3+M1c+4 5M2c+2 3M3c)(4.28) 44 Capítulo 4. Análisis numérico Obtención de los coeficientes. Resolución del stma. de ecuaciones. Hasta ahora hemos obtenido 6 ecuaciones, a saber, 4.19, 4.22, 4.24, 4.20, 4.26 y 4.28. Despejando los parámetros incógnita, se obtiene lo siguiente: M1a=rπ 2a(4Ku a−6Kf a)−24 5(4.29) M2a=3(4.30) M3a=6rπ 2a(2Kf a−Ku a)+ 8 5(4.31) M1c=rπ a(−15Kf c+6Ku c)−8(4.32) M2c=15rπ a(3Kf c−Ku c)+15 (4.33) M3c=−rπ a(30Kf c−9Ku c)−8(4.34) Note que se deben resolver tres problemas de referencia para obtener las seis constantes: •Problema con tensión uniforme σ(x) = 1 •Problema con tensión lineal (flexión) σ(x) = 1−x a •Problema con tensión lineal σ(x) = x a del primero de los cuales se obtienen tanto Ku a como Ku c , mientras que Kf a se obtiene del segundo caso y Kf c del tercero. 4.1.3 FIT en grieta pasante. El cálculo del factor de intensidad de tensiones en el caso de la grieta pasante se lleva a cabo mediante la integración de la correspondiente función de peso, de acuerdo a la Ecuación 4.15, como sigue: ma(x) = 2(1.3−0.3(x a)5 4) qπa(1−(x a)2) (4.35) Note cómo la expresión de la función de peso no depende de la geometría de la probeta y, por tanto, no tiene en cuenta la contribución del caracter finito del ligamento remanente. La solución será tanto más inexacta cuanto más cerca esté el vértice de la grieta del borde libre de la probeta. En cualquier caso, cuando esta situación se da, el tamaño de la grieta es tal que puede considerarse que el componente ha fallado. 4.2 Ley de crecimiento Una vez que hemos detallado el cálculo de los diferentes factores de intensidad de tensiones que pueden presentarse a lo largo del desarrollo de la grieta, vamos a centrarnos en las ecuaciones que, a partir del valor de los factores de intensidad de tensiones de la grieta, gobiernan el crecimiento de la misma. La ley de crecimiento 2D que vamos a emplear, que más adelante generalizaremos para el caso de grieta 3D, tiene la siguiente estructura [12]: da dN =C1−f 1−Rm(∆K−∆Kth∞)m 1−Kmax Kcrit (4.36) donde C y m son las constantes de la ley de Paris, f es el coeficiente de cierre de grieta de Newman, R es la relación de carga aplicada, ∆K es el rango de FIT aplicado (sin considerar el cierre de grieta), ∆Kth∞ es el umbral de grieta larga, sin considerar el efecto de cierre de grieta en la medida y Kcrit es la tenacidad a fractura. La presente formulación permite modelar las tres regiones características del comportamiento de la grieta, como son el régimen de crecimiento cercano al umbral cuando el rango de FIT es ligeramente superior al umbral de crecimiento, el régimen de crecimiento logarítmico para valores de FIT sustancialmente por 4.2 Ley de crecimiento 45 encima del umbral y el régimen de crecimiento rápido o inestable cuando el máximo factor de intensidad de tensiones aplicado en el ciclo se aproxima a la tenacidad a fractura del material. Además, la presencia del factor de cierre de grieta de Newman permite tener en cuenta este efecto (al menos parcialmente, como veremos a continuación). No obstante, algunas características del crecimiento de la grieta no son captadas por la Ecuación 4.36, a saber: • El efecto de cierre de grieta se considera a través del factor de cierre de grieta de Newman, f , factor que es calculado a partir de las tensiones aplicadas y de la relación de carga R . Es por tanto una constante mientras no varíen las cargas aplicadas. En realidad, el cierre de grieta es una consecuencia de la plastificación en el vértice de la grieta, por lo que no se encontrará presente en la probeta antes de ser ensayada. Todo lo contrario, la plasticidad y el consecuente cierre de grieta irán apareciendo conforme la grieta nazca y se desarrolle desde el defecto inicial, hasta alcanzar el valor estimado mediante el coeficiente de Newman, que representa la situación de estabilidad cuando la grieta ha crecido una cierta longitud y su comportamiento se ha estabilizado en términos de flujo plástico. • Es bien conocido en la literatura que aquellas grietas cuyo tamaño es inferior o del orden del tamaño característico de la microestructura del material pueden experimentar un crecimiento sustancialmente más rápido que aquel que se daría en una grieta larga para el mismo factor de intensidad de tensiones o, incluso, pueden crecer con valores del factor de intensidad de tensiones inferiores al umbral de crecimiento. Microestructuralmente puede argumentarse que, en grietas pequeñas, el caracter anisótropo y heterogéneo del material no permite determinar con generalidad el perfil de tensiones en el frente de la grieta. Consecuentemente, tampoco el factor de intensidad de tensiones queda determinado y, dado que el comportamiento de la zona plástica en este tipo de grietas [ 18 ] es significativamente diferente al que se presenta en una grieta larga, ni siquiera puede afirmarse con rotundidad que el factor de intensidad de tensiones sea una variable que caracterice por sí sola el comportamiento de la grieta. En la literatura pueden encontrarse algunos casos [ 17 ] en los que se ha realizado un modelo simplificado de este comportamiento físico, ya sea incrementando artificialmente el valor del factor de intensidad de tensiones tradicional o reduciendo ficticiamente el umbral de crecimiento, en ambos casos estableciendo una serie de coeficientes para adaptar el resultado a la evidencia experimental. Para paliar estas limitaciones, se propone afectar ∆Kth∞ y f mediante sendos coeficientes que permitan modelar la evolución de la grieta conforme se aleja del rango de grieta pequeña y desarrolla el cierre de grieta, respectivamente, considerando ambos efectos como independientes. El coeficiente empleado es de la forma: Lx≡ xf xf+af 0−lf!1 2f (4.37) donde a0 es el parámetro de El Haddad y l es una medida del tamaño de la microestructura. El parámetro f es un coeficiente [ 24 ] que toma el valor f=2.5 , y no debe confundirse con el coeficiente de cierre de grieta de Newman. Para el efecto de grieta pequeña, la variable que marca la evolución del umbral de crecimiento es el tamaño total de la grieta. Este tamaño (grieta + defecto inicial) es el que se ha usado para estimar el factor de intensidad de tensiones, y por tanto es el que determina si la zona plástica asociada a la grieta está retenida en las barreras microestructurales o no lo está, esto es si la evolución de la grieta está influenciada por la microestructura (grieta microestructuralmente pequeña) o no lo está (grieta microestructuralmente larga). Por lo tanto, usamos el siguiente coeficiente: La= af af+af 0−lf!1 2f (4.38) Para el efecto de cierre de grieta, la variable que marca la evolución del sistema es la distancia que la grieta recorre desde su situación inicial, esto es el defecto original. Los niveles de tensión también deberían influir 46 Capítulo 4. Análisis numérico en esta evolución, pero este efecto no se ha tenido en cuenta en este trabajo. El coeficiente empleado es como sigue: L∆a= ∆af ∆af+af 0−lf!1 2f (4.39) Finalmente la ley de crecimiento para el caso 2D queda como sigue: da dN =C1−L∆a∗f 1−Rm(∆K−La∗∆Kth∞)m 1−Kmax Kcrit (4.40) El resultado es claramente dependiente de la dimensión inicial del defecto. Dos situaciones diferentes pueden darse: • Cuando el defecto inicial es muy pequeño, el efecto de grieta pequeña es muy importante, y domina claramente al efecto de desarrollo del cierre de grieta. En la Figura 4.11a se aprecia como el cierre de grieta representa un efecto claramente secundario, siendo la reducción del umbral lo que realmente define el comportamiento de la grieta. • Cuando el defecto inicial es grande, entonces sucede lo contrario. No existe un efecto apreciable de reducción del umbral, por lo que el desarrollo del cierre de grieta es lo que determina la evolución de la grieta, tal y como se aprecia en la Figura 4.11b. 4.3 Resolución de las ecuaciones de crecimiento En esta sección se describe el sistema de ecuaciones diferenciales que gobiernan el crecimiento de una grieta (ya sea elíptica embebida, semielíptica superficial o pasante) sometida a un sistema de cargas arbitrario. Dicho sistema de ecuaciones diferenciales debe ser integrado con suficiente precisión para conocer la evolución de las principales dimensiones de la grieta, esto es, la magnitud de sus dos semiejes (ayc) y la dimensión del ligamento remanente (si procede). Al mismo tiempo se obtiene la evolución de los factores de intensidad de tensiones en los puntos clave de la grieta. 4.3.1 Grieta pasante La grieta pasante puede considerarse como un caso bidimensional, esto es, una placa plana de espesor tcon una grieta pasante de longitud a, sometida a una carga arbitraria. En esta situación podemos aplicar la ley de crecimiento recogida en la Ecuación 4.36. En este caso sencillo, si además suponemos que el régimen de carga es constante, el rango de variación del factor de intensidad de tensiones depende única y exclusivamente de la longitud de grieta, esto es, se puede expresar la ecuación de crecimiento como sigue: da dN =f(a)(4.41) resultando en una ecuación diferencial ordinaria. Se va a emplear el método numérico de resolución RungeKutta de orden 4, que se basa en la estimación de la derivada de la función en diferentes puntos del intervalo de integración. En este caso, denotamos como ki cada una de las estimaciones de la derivada da dN (multiplicadas estas estimaciones por el diferencial de ciclos). Posteriormente, estas estimaciones son combinadas mediante una suma ponderada para obtener una estimación más precisa de la derivada de la función. El procedimiento se resume a continuación: k1=dN f (ai) k2=dN f (ai+1 2k1) k3=dN f (ai+1 2k2) k4=dN f (ai+k3)        ai+1=ai+k1+2k2+2k3+k4 6(4.42) 4.3.2 Grieta semielíptica superficial La generalización a grieta superficial se basa en la suposición de que cada uno de los semiejes de la elipse se comportará de acuerdo a la misma ley de crecimiento, siendo esta a su vez similar a la que se ha descrito en 4.3 Resolución de las ecuaciones de crecimiento 47 (a) Defecto inicial pequeño. (b) Defecto inicial grande. Figura 4.11 Velocidad de crecimiento frende al factor de intensidad de tensiones, para dos casos cuyos defectos iniciales tienen tamaños distintos. El caso (a) parte de un defecto de semiancho 3 µm , mientras que el caso (b) lo hace desde un defecto de semiancho 20 µm . La tensión aplicada es la misma en ambos casos, 800 MPa. el apartado anterior para un caso bidimensional. La dificultad estriba en que los factores de intensidad de tensiones que aparecerán en cada una de las ecuaciones de crecimiento dependerán no solo de la dimensión del semieje afectado, sino de la geometría completa, por lo que habremos de resolver un sistema de ecuaciones diferenciales: da dN =C1−L∆a∗f 1−Rm(∆K−La∗∆Kth∞)m 1−Kmax Kcrit =fa(a,c) dc dN =C1−L∆c∗f 1−Rm(∆K−Lc∗∆Kth∞)m 1−Kmax Kcrit =fc(a,c)(4.43) La integración numérica de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse de nuevo mediante el método Runge-Kutta de orden 4. En este caso son dos las ecuaciones diferenciales que se desean resolver, por lo que se deben estimar las derivadas de dos funciones. Las estimaciones de la primera función se denotan 54 Capítulo 4. Análisis numérico Por último, es interesante generalizar las curvas de iniciación a un caso de carga multidimensional. Para ello podemos sustituir las variables ε y S por parámetros de daño empleados en fatiga multiaxial, tales como los parámetros de Fatemi-Socie [ 9 ] y Smith-Watson-Topper. De acuerdo a la literatura, los componentes concebidos mediante fabricación aditiva presentan una microestructura extremadamente fina, lo que acarrea una mayor tendencia a la fractura según los planos de máxima tensión principal [ 7 ]. Este comportamiento se modela de forma más adecuada con el parámetro de SWT. 4.4.3 Cálculos de EF de las tensiones en los poros Para aplicar el modelo de iniciación más propagación a una probeta que contiene al defecto desde el que se quiere simular la grieta, es necesario estimar los campos de tensiones y deformaciones (y a través de ellos el parámetro de SWT) en los alrededores del defecto. Para ello conviene analizar pormenorizadamente el problema que estamos tratanto de resolver. En principio, tendríamos que determinar las tensiones en cada uno de los puntos de interés del defecto (los puntos más cercano y lejano de la superficie libre y los puntos laterales) y obtener la vida completa a fatiga en función de cuatro parámetros, esto es, la longitud de iniciación en cada uno de los puntos característicos. La complejidad de este problema hace que sea inabarcable de este modo, por lo que a continuación se analizan las posibles hipótesis simplificativas que se van a emplear para reducirlo significativamente. El defecto que va a actuar como entalla tiene una geometría tremendamente compleja, esto es, su forma (en planta) es irregular y sus radios de acuerdo en los puntos de interés son inciertos y distintos entre sí. Una primera aproximación consiste en representar la planta del defecto como una elipse de igual área que el defecto original, manteniendo la relación de aspecto, medida esta última como el cociente entre las máximas dimensiones de la planta del defecto en cada semieje. De esta forma el defecto pasa a ser un elipsoide con distintos radios de acuerdo en cada vértice. La siguiente aproximación consiste en asumir que los radios de acuerdo coinciden, por lo que el defecto puede caracterizarse por sus semiejes en planta y un radio de acuerdo. Tras estas simplificaciones, el defecto aún depende de numerosos parámetros, por lo que es necesario continuar simplificándolo. La siguiente hipótesis es que la relación de aspecto del defecto no influye significativamente en las tensiones que produce, por lo que la planta del defecto se va a considerar como una circunferencia de radio la dimensión mayor de la elipse previamente calculada. En esta situación, el defecto tiene simetría de revolución y está determinado por dos parámetros, su tamaño y su radio de acuerdo. Si analizamos las cargas a las que dicho defecto se encuentra sometido, observamos que éste se encuentra embebido en una probeta cargada a flexión. Por tanto, las tensiones que aparecen en cada vértice del defecto no son a priori las mismas. Sin embargo, si el defecto tiene un tamaño muy pequeño comparado con el espesor de la probeta, entonces la tensión percibida por el defecto es prácticamente uniforme. Bajo estas hipótesis, se puede asumir que el defecto es aproximadamente un disco determinado por su tamaño en planta y su radio de acuerdo sometido a tensión uniforme. Note que esta tensión aplicada añade un parámetro más, por lo que el comportamiento completo queda determinado por tres parámetros, dos geométricos y uno relativo a las cargas. El problema que se debe solucionar entonces tiene simetría de revolución, por lo que se puede resolver como un problema plano. Bajo todas las hipótesis comentadas, estaríamos suponiendo que las tensiones calculadas son representativas para los cuatro puntos de interés en la planta del defecto, y trabajaríamos con una única longitud de iniciación, manteniéndose constante la relación de aspecto durante la fase de iniciación. Esto se apoya en los resultados obtenidos en las simulaciones de crecimiento, donde se observa que la relación de aspecto inicial tiene poca influencia sobre el resultado final. A la hora de aplicar el modelo a un defecto en concreto, habremos de medir su tamaño característico en planta, su radio de acuerdo aproximado y la tensión efectiva que percibe, en función de la carga que soporta la probeta y de la profundidad a la que se encuentra el defecto. Una posible metodología consistiría en realizar un cálculo de EF para cada defecto que se quisiera considerar, esto es, para cada combinación de valores de los tres parámetros de interés. Esta manera de actuar es, no obstante, poco eficiente si intentamos operar con un gran número de defectos. La solución que se plantea consiste en realizar el cálculo de elementos finitos para un conjunto discreto de combinaciones de valores de los parámetros. Si este conjunto es lo suficientemente nutrido, entonces podrá interpolarse para obtener la solución de una combinación que no coincida con ninguna de las calculadas pero que sea lo suficientemente cercana. Esta es la estrategia que se ha adoptado en este trabajo. En la Figura 4.14 puede apreciarse la geometría y la malla empleada en el modelo de elementos finitos, en el que se empleó una ley de comportamiento elastoplástica con endurecimiento por deformación, que 4.4 Generalización al caso con iniciación 55 Figura 4.14 Tensiones σy (MPa) alrededor del defecto obtenidas mediante el método de los elementos finitos. responde a una expresión de tipo Ramberg-Osgood: ε=σ E+σ K 1 m(4.60) con coeficientes E=111 E3 MPa, K=1583 MPa y m=0.088 obtenidos de [8]. Las condiciones de contorno consisten en condiciones de simetría en el eje de revolución y en el borde inferior, impedimento de los desplazamientos horizontales en el borde derecho (para simular la restricción de movimiento que el resto del dominio ejercería sobre el volumen que se ha modelado) y una carga uniforme en el borde superior. El tamaño del dominio estudiado es de cinco veces el radio del defecto (en planta) en la dirección radial y de al menos tres veces la altura del defecto en dirección axial, de manera que se garantiza que no existe influencia del tamaño del dominio analizado sobre la distribución de tensiones y deformaciones calculada. Los elementos empleados son de tipo PLANE183, y su tamaño en las inmediaciones del vértice de la entalla es tal que la línea que forma dicho vértice contiene aproximadamente 30 elementos. En la Figura 4.14 se puede apreciar que la distribución de tensiones (representada en los elementos) no presenta discontinuidades significativas, lo cual es señal de que la convergencia es buena. Para cada combinación de carga máxima y geometría de defecto, se han simulado un total de cuatro ciclos de carga para asegurar la estabilización de tensiones y deformaciones, obteniéndose finalmente las tensiones máximas del último ciclo y el rango de deformaciones, ambos valores necesarios para cuantificar el parámetro de SWT en el entorno del defecto. 5 Resultados Tr as describir la evidencia experimental y las herramientas de simulación empleadas, se procede ahora a comparar ambos puntos de vista. En primer lugar se analizan las predicciones de vida a fatiga, discutiendo las particularidades de cada uno de los modelos de crecimiento empleados. En segundo lugar se comparan los tamaños de la zona elíptica brillante que rodea a cada defecto crítico, observados a simple vista en las probetas analizadas, con el tamaño de grieta embebida en el instante de transición grieta embebidasuperficial, obtenido mediante simulación. Las propiedades mecánicas empleadas para las simulaciones fueron obtenidas de [11] y [8]. 5.1 Predicciones de vida La Figura 5.1(a) contiene todas las predicciones de vida de los distintos modelos, distinguiéndose un modelo de otro por el color, mientras que la forma del marcador (circular o triangular) determina si el defecto es romo o crack-like. Los modelos que se contemplan son: • Modelo simple en el que no existe efecto de grieta pequeña y el cierre de grieta se considera constante, completamente desarrollado desde el principio. Si el defecto es romo, existe una vida de iniciación previa a la propagación. • Modelo que contempla el efecto de grieta pequeña, así como el desarrollo progresivo del cierre de grieta. De nuevo, si el defecto es romo, se contempla la vida de iniciación. • Para aquellos defectos que son romos, se plantea la posibilidad de modelarlos como crack-like (con cualquiera de los dos modelos mencionados previamente) con el objetivo de cuantificar el efecto de considerar la vida de iniciación. Si comenzamos analizando el modelo simple, sin consideración de efecto de grieta pequeña ni desarrollo de cierre de grieta (marcadores azules en la Figura), apreciamos que las predicciones son muy buenas en los casos de vidas menores de 100000 ciclos, así como para los casos de defecto romo. Las cuatro probetas restantes no son representadas con precisión, ya que una de ellas arroja un resultado demasiado conservativo y tres son consideradas como vida infinita, esto es que su defecto es incapaz de sobreponerse al umbral de crecimiento en su situación inicial. En los ensayos, todas las probetas alcanzaron la rotura, por lo que no es admisible un modelo que considere que una tercera parte de los defectos analizados no son capaces de crecer. Teniendo en consideración el efecto de grieta pequeña y el desarrollo del cierre de grieta (marcadores negros en la Figura), es de esperar que todas las predicciones de vida sean menores. Por un lado, el efecto de grieta pequeña reduce el valor del umbral de propagación mientras que, por otro, el desarrollo de cierre de grieta consigue que inicialmente el factor de intensidad de tensiones de apertura de la grieta sea menor. Ambas contribuciones logran que la velocidad de propagación predicha por la ley de crecimiento sea siempre igual o superior a la que se obtiene con el modelo simple. De acuerdo a la Figura, efectivamente todas las predicciones disminuyen, siendo particularmente favorable el hecho de que dos de las tres probetas que con el modelo anterior no rompían, con éste sí lo hacen, Lamentablemente, aún queda una que no es capaz de superar el umbral de crecimiento (en este caso las circunferencias azul y negra se solapan, en el segundo run out empezando a contar por la derecha). Consideremos ahora la posibilidad de modelar los defectos romos como crack-like. El interés de esta comprobación es el siguiente: tal como se ha descrito el modelo de iniciación + propagación en capítulos 57 58 Capítulo 5. Resultados anteriores, la aplicación del mismo requiere el cálculo de elementos finitos de las tensiones y deformaciones (en régimen elastoplástico) en la vecindad de los defectos, la estimación de las curvas de vida de iniciación en función de la longitud de iniciación y la carga aplicada y, por último, la evaluación de estas curvas de iniciación y el cálculo de la vida de propagación para cada valor de longitud de iniciación deseado. Esto quiere decir que, si se desea obtener una curva de vida total en función de la longitud de iniciación de, por ejemplo, 20 valores diferentes de longitud de iniciación, entonces se debe simular la propagación de 20 grietas distintas. Compare el coste computacional de esto con la única simulación que basta para determinar la vida de un componente cuyo defecto crítico es crack-like. (a) Todos los modelos. (b) Resultado final. Figura 5.1 Predicciones de vida según los diferentes modelos empleados. Si empleamos el modelo simple (marcadores rosa), entonces ninguno de los dos defectos es capaz de crecer, lo cual no es admisible. No obstante, al tener en cuenta el efecto de grieta pequeña y el desarrollo del cierre de grieta (marcadores rojos), entonces obtenemos unos resultados muy prometedores, ya que la vida predicha de este modo es sólo ligeramente superior a la que se obtiene con el modelo completo, teniendo en 5.2 Resultados del modelo completo de iniciación + propagación 59 cuenta la iniciación. En la siguiente sección analizamos este hecho con mayor profundidad. Finalmente, la Figura 5.1(b) contiene las predicciones de vida finales, considerando todos los defectos como crack-like y empleando el modelo con efecto de grieta pequeña y desarrollo de cierre de grieta. La probeta B4S34 contiene el defecto que no ha sido capaz de crecer con ninguno de los modelos de propagación. A la vista de las imágenes de confocal y microscopía electrónica del defecto, no queda claro cuál es el dominio exacto del defecto, ya que puede intuirse un posible apéndice en el lateral derecho que podría aumentar sustancialmente el área efectiva del defecto. En cuanto a los defectos con resultados conservativos, corresponden a las probetas B2S14Sup y B4S31. El primero de ellos presenta una forma muy compleja, completamente alejada de la forma elíptica con la que se representan matemáticamente los defectos a la hora de ser simulados. El segundo de ellos, por su parte, presenta parte de su borde romo, mientras que una fracción del mismo es crack-like. Posiblemente estas consideraciones sean la causa de los errores en la estimación de vida a fatiga. 5.2 Resultados del modelo completo de iniciación + propagación La Figura 5.2 muestra los resultados de la aplicación del modelo completo, teniendo en cuenta la vida de iniciación de las grietas, para los dos defectos que se han clasificado como romos. Se recoge en las imágenes el resultado de aplicar los dos modelos de propagación contemplados en el documento, esto es el modelo que contempla el efecto de grieta pequeña y el desarrollo del cierre de grieta y el que no lo hace. Como consecuencia, cada imagen contiene cuatro curvas, todas ellas en función de la longitud de la grieta al final del periodo de iniciación, a saber: vida de iniciación (común a los dos modelos de propagación), vida de propagación según modelo nuevo (con grieta pequeña y desarrollo de cierre de grieta), vida completa (iniciación + propagación) según modelo nuevo y vida completa según modelo simple. Es importante resaltar que la curva de vida obtenida mediante el modelo simple se ha representado únicamente a partir de aquella longitud de iniciación en la que la grieta resultante es efectivamente capaz de propagar. Por lo tanto, para valores de longitud de iniciación inferiores a los que se muestran en la curva se obtendría una vida infinita. Incluir el efecto de grieta pequeña y de desarrollo de cierre de grieta permite al defecto propagarse con una menor longitud de iniciación. Además, note cómo las curvas de vida completa para valores grandes de longitud de iniciación no dependen significativamente del modelo empleado para calcular la propagación. Por otro lado, aproximar como crack-like un defecto que originalmente era romo equivale a imponer una longitud nula de iniciación. Gráficamente, basta con tomar la intersección de la curva de vida con el eje de ordenadas. De esta manera se aprecia que el modelo simple de propagación predice una vida infinita, mientras que el modelo con grieta pequeña y desarrollo de cierre de grieta predice una vida sólo ligeramente superior a la obtenida con el modelo completo. Esto se debe a que la pendiente de la curva entre una longitud de iniciación nula y la longitud de iniciación en la que se produce el mínimo de la curva de vida es bastante baja, por lo que no se cometen errores significativos. 5.3 Transición grieta embebida-superficial. Zona de fractura brillante. Tras realizar las simulaciones numéricas de las probetas consideradas, observamos en la Figura 5.3 las estimaciones de la forma de cada grieta en el instante de transición grieta embebida-superficial, junto con las dimensiones de la zona brillante en la superficie de fractura obtenidas experimentalmente mediante microscopía óptica. Junto a cada imagen se muestra una estimación del error o discrepancia entre la medida y la simulación, calculada como la suma de los errores en cada semieje de la elipse. Note como seis de las ocho simulaciones presentan una muy buena correlación entre la medida de la zona brillante en la superficie de fractura y la grieta en el instante de transición embebida-superficial. Los errores que aparecen en las dos probetas restantes podrían explicarse a través de imprecisiones en la estimación de las tensiones residuales. 60 Capítulo 5. Resultados (a) B2S15Sup. (b) B4S32. Figura 5.2 Resultados del modelo completo de iniciación + propagación. 5.3 Transición grieta embebida-superficial. Zona de fractura brillante. 61 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) Figura 5.3 Comparación de la zona brillante medida experimentalmente en las superficies de fractura de las probetas consideradas (elipse roja) y la forma de la grieta simulada en el instante de transición embebida-superficial (elipse amarilla). Se muestra también un esquema (línea roja fina) del campo de tensiones residuales fruto del tratamiento superficial de cada probeta. 6 Conclusiones En el presente trabajo se han analizado algunos aspectos que influyen en el efecto que los defectos encontrados en el interior de las probetas obtenidas mediante fabricación aditiva tienen sobre su comportamiento a fatiga. En primer lugar se consideró necesario cuantificar el perfil de tensiones residuales de cada probeta a lo largo de todo el espesor de las mismas. Teniendo en cuenta que se disponía de un conjunto de medidas discretas de la zona de compresión de cada probeta, ha sido necesario tanto interpolar dichas medidas a través de unas funciones adecuadas como asumir la forma que dicho perfil de tensiones debe tomar más allá de la transición compresión-tracción. Para la interpolación de las medidas de tensiones residuales, la función senoidal con decaimiento exponencial propuesta por [ 23 ] ha dado muy buenos resultados para las probetas sometidas a shot peening, mientras que una combinación de función exponencial senoidal con un tramo lineal ha permitido la correcta interpolación de los perfiles asociados a las probetas sometidas a laser shock peening. Para estimar el resto del perfil, se demostró que debían aparecer tensiones de compresión en la cara opuesta a la del tratamiento, lo que permitió descartar algunos perfiles empleados en la literatura para casos en los que el tratamiento aplicado es simétrico, esto es que se aplica en ambas caras de la probeta. Finalmente, se empleó una función lineal para estimar el resto del perfil de tensiones residuales, obteniéndose las constantes de la recta mediante aplicación de las ecuaciones de equilibrio. El análisis mediante microscopía electrónica de las superficies de fractura muestra un patrón común en las probetas: la superficie inmediatamente próxima al defecto crítico sigue fielmente la microestructura acicular del titanio, siendo este fenómeno típico de un crecimiento próximo al umbral de crecimiento [ 26 ]; cuando nos alejamos algunas decenas de micras del defecto, aparece una superficie de textura muy irregular, sin motivos aparentes, posiblemente producida por el contacto repetido entre ambas caras de la grieta; más adelante comienzan a aparecer estrías en la superficie de fractura y, finalmente, la fractura final se caracteriza por una superficie con mayor presencia de deformación. Al contrario que el análisis de las superficies de fractura, el análisis de los defectos críticos ha resultado en una gran disparidad entre las distintas probetas. Queda patente la complejidad de la geometría de los defectos encontrados en el interior de las probetas. En la mayoría de los casos, su caracter romo o crack-like es incierto, ya que los radios de acuerdo varían a lo largo del propio borde de cada defecto, y en la mayoría de las situaciones es complicado medirlo con precisión. Es también interesante la disparidad que existe entre las dos caras de un mismo defecto, siendo claramente necesario analizar ambas mitades antes de catalogarlo. En cualquier caso, esto podría convertirse en un problema secundario puesto que los resultados de las simulaciones predicen una importancia menor de la tipología de los defectos, pudiendo ser todos considerados como crack-like. A la hora de realizar las simulaciones de crecimiento de las grietas, se puso de manifiesto la importancia de una correcta caracterización de los factores de intensidad de tensiones en los puntos clave de la grieta, para todos aquellos estados por los que la grieta pasa desde su iniciación hasta provocar la fractura final del componente: grieta elíptica embebida, semielíptica superficial y pasante en la mayoría de los casos. Dichos factores de intensidad de tensiones han sido calculados a través de una metodología de funciones de peso y soluciones de referencia, obtenidas de [ 4 ]. Estas soluciones fueron comparadas con las soluciones de NASGRO y se realizaron una serie de moficicaciones para ampliar el rango de validez de las soluciones. La ley de crecimiento empleada ha sido desarrollada a partir de [ 12 ] y ha recibido algunas variaciones para contemplar fenómenos como el efecto de grieta pequeña y el desarrollo progresivo del cierre de grieta. Para 63