Construcción de índices ponderados multicriterio con información ordinal

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Vol. 46, Núm. 155, 2004, págs. 95 a 117 Construcción de índices ponderados multicriterio con información ordinal por IGNACIO CONTRERAS RUBIO MIGUEL ÁNGEL HINOJOSA RAMOS Departamento de Economía y Empresa Universidad Pablo de Olavide de Sevilla AMPARO MARÍA MÁRMOL CONDE Departamento de Economía Aplicada III Universidad de Sevilla RESUMEN El objetivo de este trabajo es establecer una metodología que permita construir índices para la evaluación de un conjunto de unidades, cuando se dispone de las valoraciones de éstas con respecto a varios criterios medidos en una escala ordinal. Con objeto de reflejar lo más fielmente posible los aspectos evaluados, en los índices compuestos que proponemos se incorpora la información disponible sobre la importancia relativa de los distintos criterios y sobre la importancia de las distintas categorías ordinales. Se ilustra el procedimiento con un análisis de valoraciones realizadas por los alumnos de las distintas Titulaciones de la Universidad Pablo de Olavide de Sevilla. Palabras clave: Análisis de Datos, Ordenación, Análisis Multicriterio, Información Parcial. Clasificación AMS: 62-07, 90C90. 96 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA 1. INTRODUCCIÓN En este trabajo se estudia la construcción de índices compuestos para la valoración global de un conjunto de alternativas cuando se dispone de valoraciones individuales con respecto a diferentes criterios medidos en una escala ordinal. La metodología que proponemos permite una elección flexible de las ponderaciones asociadas a los valores de cada alternativa, y tiene en cuenta la posible información adicional sobre la importancia relativa de los distintos criterios, y de las distintas categorías de la escala ordinal. Es decir, elige los pesos más favorables para cada una de las alternativas valoradas individualmente, de entre los que se consideren razonables en el contexto informacional. Este tipo de valoraciones individuales, en las que se optimizan las ponderaciones para cada alternativa sujetas a un conjunto de restricciones comunes, es ampliamente utilizado en la metodología DEA (Charnes et al., 1978). Se ha utilizado también esta idea en modelos de agregación de votos, (Cook and Kress, 1990; Hashimoto, 1997). También se han explorado sus posibilidades para el tratamiento de problemas de decisión multicriterio. En Cook y Kress (1996) se propone un índice de este tipo para un modelo multicriterio con datos cualitativos, donde se incorpora al problema la información ordinal sobre la importancia de los criterios. En Puerto et al. (2000) se hace un análisis general de los criterios de decisión clásicos en presencia de información adicional, lo que permite la construcción de índices de valoración de alternativas con datos cualitativos y/o cuantitativos, y que incluye como caso particular el índice de Cook y Kress. En este trabajo partimos de las ideas expuestas en Puerto et al. (2000) para estudiar el caso concreto en que se dispone de las valoraciones medidas en una escala Likert, que un colectivo hace de un conjunto de unidades con respecto a distintos criterios y proponemos un modelo general que combina los modelos de agregación de votos y los modelos de decisión multicriterio con información parcial. Analizamos distintos conjuntos de información, que representan distintas circunstancias de información disponible (o subyacente) sobre la importancia relativa de los distintos criterios, y sobre la importancia de la clasificación de las unidades en las distintas categorías ordinales. Esta metodología permite el tratamiento de un amplio rango de problemas de valoración y selección, que incluyen, entre otros, estudios de mercado sobre distintos productos, valoración de proyectos, y problemas de selección de personal por un comité. El resto del trabajo está organizado de la siguiente manera. En la Sección 2 establecemos el modelo general de índice ponderado que proponemos, en la Sección 3 se estudian los conjuntos de información que consideramos adecuados para la CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 97 construcción de índices en este contexto, y se presenta la forma analítica de los índices bajo distintas hipótesis de información adicional. Los resultados expuestos se ilustran en la Sección 4, con un ejemplo numérico. El trabajo concluye con una Sección dedicada a las conclusiones y a las posibles extensiones del modelo. 2. MODELO DE ÍNDICE COMPUESTO Consideramos N unidades a evaluar, Ai, i=1,…,N, con respecto a K criterios o características, {Ck}, k=1,…,K. Se dispone de las valoraciones que de estas unidades hacen un conjunto de individuos con respecto a los K criterios, medidas en una escala ordinal con L posiciones. Sea Ni el número total de individuos que valora la alternativa i, y sea nikl el porcentaje de votos que la alternativa Ai recibe en la categoría l, l=1,...,L, en su valoración respecto al criterio Ck. Esto es, cada individuo que valora la alternativa Ai, la sitúa en una cierta categoría de la escala con respecto a cada criterio, de tal forma que las primeras categorías significan valoraciones más favorables. Suponemos que la valoración de cada alternativa se realiza mediante un índice compuesto, que consiste en una determinada ponderación de los porcentajes de voto nikl. Si se denota por wk, la importancia relativa o ponderación asignada a la característica Ck y por vkl la importancia de ser valorado en la categoría l respecto al criterio k la valoración de la alternativa Ai es: ∑∑ == ⋅= K 1k L 1l iklklki nvw)A(v .[1] Si es posible determinar exactamente los valores wk, y vkl, k=1,...,K, l=1,...,L, el índice está totalmente definido. Pero en la práctica, no siempre es posible, y a veces no es ni siquiera deseable, establecer exactamente el valor de la importancia relativa de los criterios y/o asignarle un valor numérico al hecho de tener valorada una unidad en una determinada posición de la escala. Sí es frecuente que se disponga de cierta información parcial sobre estas valoraciones, por ejemplo, la importancia asignada a la situación de una unidad en una posición superior en la escala no ha de ser menor que la importancia de estar situado en una posición inferior, o uno de los criterios de valoración ha de tener un peso mayor que otro. En estas condiciones, la información parcial disponible ha de incorporarse al procedimiento de construcción del índice para que éste proporcione una medida lo más ajustada posible de la valoración global de la alternativa. 98 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA El procedimiento que proponemos permite flexibilidad en la asignación de las ponderaciones, de tal forma que considera la valoración más favorable para cada unidad, es decir, los datos se van a agregar con aquellos valores de vk=(vk1,...,vkL) y de w=(w1,...,wK), para los que v(Ai) sea máximo de entre los que sean posibles. Formalmente la valoración de Ai que proponemos, v(Ai), consiste en: Ω∈ =Φ∈ ⋅= ∑∑ == w K,...,1k,v.a.s nvwMax)A(v kk K 1k L 1l iklklk w,v ik [2] donde en el conjunto k Φ se recoge la información respecto a los pesos asociados a las L categorías con las que se evalúa el criterio k y en el conjunto Ω se recogen las condiciones que han de cumplir las ponderaciones asociadas a los diferentes criterios. Supondremos que estos conjuntos son poliédricos, y tales que          ≥=∈⊆Φ ∑ = L 1l k kl Lkk 0v,1v:Rv y          ≥=∈⊆Ω ∑ = K 1k k K0w,1w:Rw , es decir, consideramos pesos no negativos que suman la unidad. El problema de valoración de cada alternativa, [2], es un problema no lineal. No obstante, debido a la separabilidad de las variables en los conjuntos de información, la solución puede obtenerse en dos etapas consistentes en la resolución de problemas lineales, como se describe a continuación. En primer lugar, la alternativa Ai se evalúa con respecto a cada uno de los criterios. Si denotamos por )A(P i * k el valor del índice que para la alternativa Ai agrega las valoraciones obtenidas respecto al criterio Ck en la mejor situación posible, )A(P i * k se calcula como: kk L 1l iklkl v i * k v.a.s nvMax)A(P k Φ∈ =∑ =[3] Sean * kl v, l=1,...,L, los valores óptimos para las variables que se obtienen como solución del problema [3]. Entonces, el problema [2] para la valoración global de la alternativa Ai consiste en: CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 99 Ω∈ =∑∑ == w.a.s nvwMax)A(v K 1k L 1l ikl * klk w i[4] Esto es, la obtención de la valoración más favorable para cada alternativa pasa por la obtención previa de la valoración máxima de dicha alternativa respecto a cada uno de los criterios considerado individualmente para, posteriormente, agregar estas valoraciones con los pesos más favorables para cada criterio. Los problemas [3] y [4] son problemas lineales. En general pueden resolverse utilizando procedimientos simpliciales, o el software actualmente disponible para la resolución de este tipo de problemas. Sin embargo, en los casos de los conjuntos de información que proponemos en este trabajo, es posible obtener la forma analítica de las soluciones sin necesidad de recurrir a métodos iterados, lo que permite construir los índices de valoración correspondientes. La resolución de estos problemas que proponemos está basada en la obtención de los puntos extremos de los conjuntos de información. Es sabido que si un problema lineal tiene solución óptima, al menos un punto extremo del conjunto factible es óptimo. Por tanto si xj, j=1,...,J, son los puntos extremos del conjunto factible, S, del problema lineal: Sxa.s xcMax t ∈[5] la solución del problema se obtiene en el punto extremo en el que la función objetivo alcanza un valor más alto, es decir: jt J,...,1j t Sx xcMaxxcMax =∈ =. Por tanto, si es posible determinar los puntos extremos del conjunto factible, el problema se reduce a la evaluación de la función objetivo en cada uno de estos puntos. En ciertos casos particulares, interesantes en este contexto, la estructura especial del conjunto factible, permite la obtención inmediata de sus puntos extremos. Si la información sobre los pesos puede representarse mediante relaciones lineales, el conjunto factible puede escribirse como          β≥≥=∈ ∑ = n 1k k nMx,0x,1x:Rx , donde Lxn RM∈ es la matriz que relaciona los pesos, y L R ∈β . En Carrizosa et al. (1995) se demuestra que si estas relaciones lineales son homogéneas, es decir, si la 100 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA información sobre los pesos es de la forma          ≥≥=∈ ∑ = n 1k k n0Mx,0x,1x:Rx , y la inversa de la matriz nn RM × ∈ es no negativa, 0M 1≥ −, entonces los puntos extremos del conjunto factible son las columnas de 1 M−, normalizadas para sumar la unidad. La obtención de los puntos extremos cuando las relaciones no son homogéneas, se estudia en Mármol et al. (1998), y Mármol et al. (2002). La facilidad de interpretación de las relaciones lineales entre los pesos, así como la posibilidad de obtención de los puntos extremos de los conjuntos de información que inducen, hace que estos conjuntos tengan una amplia aplicación en los procesos decisionales. A continuación hacemos uso de los resultados sobre los puntos extremos de los conjuntos de información para establecer la forma analítica de los índices de valoración bajo distintos supuestos de información sobre la importancia de las categorías ordinales, y sobre la importancia de los distintos criterios. 3. CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES CON INFORMACIÓN PARCIAL En esta Sección analizamos los conjuntos de información que son significativos en el contexto del modelo que proponemos, tanto para la fase consistente en la valoración de la alternativa con respecto a los criterios, como para la fase de agregación de los criterios, y construimos los índices de valoración de alternativas que inducen. 3.1. Índices ponderados para cada criterio La primera fase para la construcción del índice compuesto es la obtención de los valores óptimos del problema [3]. Para cada criterio los valores dependerán de la forma concreta que adoptan los conjuntos de información k Φ. Para ello analizaremos las posibilidades de definir índices para la valoración de las alternativas con respecto a cada criterio, partiendo de distintos conjuntos de información para este problema de agregación de votos de las distintas categorías. En el caso en que se dispone de los datos clasificados en categorías ordinales, los conjuntos de información deben reflejar el carácter ordinal de éstas, es decir, al menos deben establecer una ordenación de las ponderaciones de manera que la ponderación que se asigna a las categorías más favorables no sea inferior a la asignada a las categorías inferiores, además de las ya mencionadas condiciones de no negatividad de los pesos y normalización para sumar la unidad. CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 101 A continuación analizamos las siguientes propuestas que son acordes o refinan este tipo de información. 3.1.1 Ordenación de las ponderaciones de las categorías En primer lugar, consideramos como conjunto de información aquél que representa únicamente una ordenación de los pesos asociados a las diferentes categorías. Es decir, la ponderación asociada a cada categoría ha de ser mayor o igual a la que se asocia a la categoría siguiente. Este es el conjunto apropiado para la construcción del índice de valoración con respecto a un determinado criterio cuando no se hacen hipótesis adicionales respecto a la importancia relativa de ser clasificado en las distintas categorías. El conjunto de información para el criterio k es, en este caso:          ≥≥≥=≥∈=Φ ∑ = kL2k1k L 1l kl kLkk 1v...vv,1v,0v:Rv ,[6] que puede escribirse como          ≥=≥∈=Φ ∑ = 0Mv,1v,0v:Rv k L 1l kl kLkk 1, donde la matriz M es:                 − − − = 1000 1100 0110 0011 M L L MOOMM L L . Se sigue de la no negatividad de 1 M−, que el conjunto k 1 Φ tiene L puntos extremos, dados por: L,,1r,)0,,0,1,,1( r 1 )r(v t )r r 1l kLLL == ∑ = . A partir de ellos se obtiene el valor óptimo de [3] cuando k 1 k vΦ∈ , y el índice agregado para el criterio k es: ∑ = = = r 1l ikl L,...,1r i * kr n max)A(P .[7] 102 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Obsérvese que ∑ = r 1l ikl r n representa la suma acumulada de los porcentajes de votos de las r primeras categorías, partido por el número de categorías. Considerar como índice de valoración de la alternativa i-ésima el máximo de estos valores significa poder elegir entre considerar en la valoración todas las categorías de votos, o sólo algunas, las r primeras. 3.1.2. Tasas de sustitución marginal entre las categorías Una segunda propuesta es fijar cotas inferiores a las tasas de sustitución marginal entre las valoraciones de las diferentes categorías. Supongamos que para el criterio k, ml+1 votos en la categoría l-ésima, se valoran al menos tanto como ml votos en la categoría l+1. Esta situación se representa como 1kllkl1l vmvm ++ ≥ y el conjunto de información toma la forma:          =≥=≥∈=Φ + =+ ∑L,...,2,1l,vv,1v,0v:Rv 1kl m ml kl L 1l kl kLkk 21l . Las relaciones entre los pesos en este conjunto también pueden representarse mediante una matriz con inversa no negativa (ver Puerto et al. 2000 ), y se sigue que el valor óptimo de [3] cuando se considera como conjunto de información adicional k 2 Φ, es igual a: ∑ = = = r 1l ikl m m L,...,1r i * knmax)A(P r l,[8] donde se denota por L,...,1r,mm r 1j j r== ∑ = . Para el caso particular en el que se impone que cada categoría sea valorada al menos con el doble de la categoría siguiente, es decir, 1klkl v2v + ≥, los valores de ml se establecen como ml=2L-l, l=1,...,L. 3.1.3. Ordenación de ponderaciones con factores discriminantes En esta tercera propuesta se establecen cotas inferiores sobre las diferencias de dos pesos sucesivos. Estas cotas aparecen referidas en la literatura como factores discriminantes (Cook y Kress, 1996). El conjunto de información adicional se representa como CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 103          α≥−=∀α≥−=≥∈=Φ + = ∑LkLl1klkl L 1l kl kLkk 3v;1L,...,1l,vv,1v,0v:Rv [9] donde se supone que 1l L 1l l<α ∑ = para asegurar que ≠Φk 3Ø. Denotamos por ∑ = α−=δ L 1l l l1 y        αα+ααα=σ − == ∑∑ LL1L L 2l l L 1l l,,...,, . De los resultados expuestos en Puerto et al.(2000) se deduce que, en este caso, el valor óptimo de )A(P i * k es igual a: ∑∑ == = δ+σ= L 1l r 1l ikl L1,...,r iklli * kr n max n)A(P .[10] 3.1.4. Ordenación de las diferencias entre categorías Proponemos ahora un nuevo conjunto de información, que ha sido considerado recientemente por Hashimoto (1997) en el contexto de los modelos DEA. Dicho conjunto de información representa, en nuestro modelo, un supuesto sobre la valoración de los votos en las diferentes categorías que resulta natural en muchos contextos, estableciendo que las diferencias de valoración de categorías sucesivas son decrecientes. Es decir, la intensidad con que se discrimina el valor de categorías sucesivas decrece conforme se consideran categorías menos valoradas. { }.vvv;2L,...,1l,vvvv,1v,0v:Rv kLkL1kL2kl1kl1klkl L 1l kl kLkk 4≥−−=∀−≥−=≥∈=Φ −+++ = ∑ Obsérvese que esta información implica la ordenación de las importancias relativas de las categorías. A continuación se establece la forma analítica del índice ponderado, )A(P i * k para este conjunto de información. Proposición 3.1. La valoración de las alternativas con respecto al criterio késimo con el conjunto de información k 4 Φ se obtiene como:          +− =∑ =+ −= r 1l 2 )1r(r ikl Llr i * k n)1lr( max)A(P 11 . [11] 110 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA La matriz de puntos extremos de Ω4 es:               = 2 1 2 1 2 1 2 1 4 000 100 000 001 L[21] A partir de ella, se obtiene el índice correspondiente como:      ++ =2 )A(P)A(P ),A(P, 2 )A(P)A(P ),A(Pmax)A(v i * 4i * 3 i * 3 i * 2i * 1 i * 1i . Caso 5. En este caso, consideramos que los dos criterios referidos a docencia son, conjuntamente, más importante que los referidos a los servicios, también considerados conjuntamente. El conjunto de información es ahora:          ≥+≥+=≥∈=Ω ∑ = 0wwww,1w,0w:Rw 4321 4 1k k 4 5. Por el procedimiento presentado en Mármol et al. (2002), se obtiene la matriz de puntos extremos de 5 Ω es:               = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5 0000 0000 0010 0001 L,[22] y la valoración que induce es: . 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P ),A(P),A(Pmax)A(v i * 4i * 2 i * 3i * 2i * 4i * 1i * 3i * 1 i * 2i * 1i      + ++     + = Caso 6. Consideramos que se otorga una mayor importancia a los criterios relacionados con los servicios que a los criterios que evalúan la docencia: CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 111          ≥+≥+=≥∈=Ω ∑ = 0wwww,1w,0w:Rw 2143 4 1k k 4 6. Análogamente al caso anterior, se puede probar que el índice correspondiente es: . 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P , 2 )A(P)A(P ),A(P),A(Pmax)A(v i * 4i * 2 i * 3i * 2i * 4i * 1i * 3i * 1 i * 4i * 3i    + ++     + = 4.3. Resultados Combinando los conjuntos de información correspondientes a las dos agregaciones pueden construirse índices compuestos diferentes. Los resultados para la valoraciones de las Titulaciones de la UPO se resumen en la Tabla 2, incluyendo tanto el valor numérico del índice, como la posición relativa que ocupa la Titulación dentro del grupo (valor entre paréntesis). Se muestran también los resultados obtenidos al aplicar el conocido procedimiento de las Marcas de Borda, a la valoración de las alternativas con respecto a los criterios, que denotamos como 5 Φ. El método de Borda puede verse como un caso particular de construcción de índices para valorar el criterio k-ésimo, cuando { } kk v =Φ , con L,...,1l, )1L(L )1lL(2 vkl = + +− =. Obsérvense las relaciones de inclusión que hay entre los conjuntos de información. Con respecto a los conjuntos Φ, se tienen las siguientes relaciones: 14 Φ⊆Φ , 42 Φ⊆Φ , 43 Φ⊆Φ también 45 Φ⊆Φ . Por tanto, los conjuntos 23 , ΦΦ , así como 5 Φ, que corresponde al método de Borda, representan la información más especializada sobre la importancia relativa de las categorías ordinales. Los distintos casos de información sobre importancia relativa de los criterios están relacionados así: 534312 , , Ω⊆ΩΩ⊆ΩΩ⊆Ω , sin embargo, el conjunto 6 Ωno contiene al conjunto de las ponderaciones que establecen la ordenación de los criterios que se representa en 3 Ω. El índice correspondiente a () 11,ΩΦ es el que menos información requiere, pues sólo tiene en cuenta la ordenación de las categorías y no supone información sobre la importancia de los criterios. 112 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA A medida que la información se hace más especializada, menos variabilidad hay en la elección de las ponderaciones. Los índices correspondientes a ( ) 34 ,ΩΦ , y ( ) 33 ,ΩΦ , y ( ) 44 ,ΩΦ son los que más información requieren, de los analizados aquí. Tabla 2 (Continúa) ÍNDICES FINALES Y ORDENACIONES COMBINANDO LOS CONJUNTOS DE INFORMACIÓN 1 Φ 1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 Ω A0,447 (2) 0,412 (2) 0,372 (1) 0,388 (3) 0,410 (1) 0,447 (2) B0,424 (3) 0,381 (3) 0,316 (6) 0,424 (2) 0,342 (3) 0,424 (3) C0,464 (1) 0,421 (1) 0,356 (2) 0,429 (1) 0,381 (2) 0,464 (1) D0,382 (5) 0,356 (5) 0,316 (5) 0,368 (5) 0,338 (4) 0,382 (5) E0,393 (4) 0,365 (4) 0,323 (4) 0,384 (4) 0,333 (6) 0,393 (4) F0,329 (7) 0,311 (7) 0,329 (3) 0,329 (7) 0,329 (7) 0,307 (7) G0,364 (6) 0,337 (6) 0,315 (7) 0,364 (6) 0,336 (5) 0,364 (6) 2 Φ 1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 Ω A0,383 (2) 0,345 (2) 0,291 (2) 0,326 (3) 0,337 (1) 0,383 (2) B0,373 (3) 0,320 (3) 0,240 (5) 0,373 (2) 0,281 (4) 0,373 (3) C0,421 (1) 0,370 (1) 0,295 (1) 0,377 (1) 0,321 (2) 0,421 (1) D0,353 (4) 0,315 (4) 0,258 (3) 0,315 (5) 0,304 (3) 0,353 (4) E0,321 (5) 0,295 (5) 0,256 (4) 0,321 (4) 0,265 (5) 0,321 (5) F0,276 (7) 0,250 (7) 0,219 (7) 0,239 (7) 0,248 (7) 0,276 (7) G0,297 (6) 0,266 (6) 0,232 (6) 0,297 (6) 0,258 (6) 0,297 (6) 3 Φ 1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 Ω A0,358 (2) 0,334 (2) 0,305 (1) 0,319 (3) 0,331 (1) 0,358 (2) B0,344 (3) 0,309 (3) 0,256 (7) 0,344 (2) 0,285 (4) 0,344 (3) C0,374 (1) 0,344 (1) 0,298 (2) 0,349 (1) 0,315 (2) 0,374 (1) D0,328 (4) 0,304 (4) 0,267 (4) 0,313 (5) 0,294 (3) 0,328 (4) E0,317 (5) 0,299 (5) 0,272 (3) 0,316 (4) 0,278 (6) 0,317 (5) F0,267 (7) 0,257 (7) 0,264 (5) 0,264 (7) 0,266 (7) 0,267 (7) G0,296 (6) 0,277 (6) 0,261 (6) 0,296 (6) 0,278 (5) 0,296 (6) CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 113 Tabla 2 (Conclusión) ÍNDICES FINALES Y ORDENACIONES COMBINANDO LOS CONJUNTOS DE INFORMACIÓN 4 Φ 1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 Ω A0,383 (2) 0,349 (2) 0,298 (2) 0,326 (4) 0,340 (1) 0,383 (2) B0,373 (3) 0,334 (3) 0,274 (4) 0,373 (2) 0,299 (4) 0,373 (3) C0,421 (1) 0,376 (1) 0,309 (1) 0,377 (1) 0,334 (2) 0,421 (1) D0,353 (4) 0,323 (4) 0,278 (3) 0,328 (3) 0,304 (3) 0,353 (4) E0,321 (5) 0,301 (5) 0,271 (5) 0,321 (5) 0,279 (5) 0,321 (5) F0,276 (7) 0,262 (7) 0,248 (7) 0,257 (7) 0,262 (7) 0,276 (7) G0,297 (6) 0,276 (6) 0,254 (6) 0,297 (6) 0,273 (6) 0,297 (6) 5 Φ 1 Ω2 Ω3 Ω4 Ω5 Ω6 Ω A0,275 (2) 0,265 (2) 0,252 (1) 0,258 (5) 0,264 (1) 0,275 (2) B0,268 (3) 0,251 (5) 0,225 (7) 0,268 (2) 0,242 (4) 0,268 (3) C0,283 (1) 0,270 (1) 0,250 (2) 0,272 (1) 0,257 (2) 0,283 (1) D0,267 (4) 0,254 (3) 0,234 (4) 0,261 (3) 0,249 (3) 0,267 (4) E0,260 (5) 0,251 (4) 0,238 (3) 0,260 (4) 0,242 (5) 0,260 (5) F0,240 (7) 0,233 (7) 0,230 (6) 0,232 (7) 0,235 (7) 0,240 (7) G0,244 (6) 0,236 (6) 0,233 (5) 0,244 (6) 0,238 (6) 0,244 (6) Algunos puntos destacables de los resultados obtenidos son los siguientes: • Los conjuntos 1 Ω y 6 Ω dan lugar a la misma ordenación de las Titulaciones, (C, A, B, D, E, G, F), independientemente del conjunto de información adicional utilizado en la primera agregación, salvo en el caso 1 Φ, que varía ligeramente, intercambiando las posiciones de las Titulaciones D y E. • Esta ordenación también se mantiene cuando el conjunto de información adicional consiste solo en imponer cotas inferiores a los pesos asociados a los criterios, 1 Ω, salvo si para la primera agregación se utiliza el método de Borda ( 5 Φ). • Los resultados cambian cuando se incluye información sobre los criterios más específica. Se obtienen entonces ordenaciones diferentes de las Titulaciones, y se hace más manifiesta la dependencia de la ordenación de los conjuntos Φ. • Si comparamos la influencia de los conjuntos de información utilizados para la primera agregación, puede verse como existen escasas diferencias en la ordenación de las cuatro últimas alternativas y sí aparecen divergencias en la ordenación de las tres primeras, en particular con los conjuntos 3 Φy 5 Φ. 114 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA • En cuanto a los conjuntos de información Ω, comparando los resultados para un mismo conjunto Φ, las mayores diferencias se obtienen cuando se utilizan los conjuntos que contienen la información más especializada como 2 Ω y 3 Ω. • Por último, comparando los resultados del índice final y tomando como referencia el obtenido con la menor cantidad de información adicional (caso ( ) 11,ΩΦ ), puede verse como los índices que dan lugar a ordenaciones más dispares son los obtenidos con ( ) 25 ,ΩΦ y ( ) 35 ,ΩΦ y con los conjuntos ( ) 23 ,ΩΦ y ( ) 43 ,ΩΦ . Para nuestro caso concreto, nos parece apropiado resaltar el índice que inducen los conjuntos de información ( ) 34 ,ΩΦ . La valoración de las Titulaciones a partir de esta medida supone aceptar la ordenación de la importancia de las categorías con diferencias decrecientes entre categorías sucesivas y que supondría aplicar sucesivamente el método de las marcas de Borda tomando el valor más alto entre aplicar el método a todas las categorías de la escala o a las r primeras. Con respecto a los criterios supone más importante la Satisfacción con la actividad docente del profesorado, seguido por Satisfacción con los contenidos de los programas, Valoración de la biblioteca y Valoración de las condiciones de las aulas, en este orden. En cuanto a la ordenación final de alternativas, obsérvese que, en este caso, con las mismas hipótesis previas sobre la importancia de los criterios, la ordenación obtenida difiere bastante de la obtenida cuando se aplica el procedimiento de Borda, que es el que normalmente se utiliza en las aplicaciones para obtener valoraciones de las alternativas con información ordinal. 5. CONCLUSIONES(2) En este trabajo se aporta una metodología para la construcción de índices ponderados para la valoración global de un conjunto de unidades, cuando se dispone de valoraciones individuales sobre varios criterios medidos en una escala ordinal. En la construcción del índice se permite incorporar información adicional sobre la importancia de los criterios, y sobre la importancia asignada a las diferentes categorías de la escala ordinal. Se analizan distintos conjuntos de información que (2) El ámbito de nuestras conclusiones se restringe al terreno puramente metodológico, en cuanto a la aplicación que desarrollamos no hacemos valoración que pueda desvelar datos de la Universidad Pablo de Olavide que no sean los estrictamente relacionados con el trabajo que desarrollamos, la construcción de índices ponderados multicriterio. La razón de esta limitación es que, como ya hemos mencionado anteriormente, los datos utilizados están incluidos en el proyecto de investigación Causas de abandono académico en la Universidad Pablo de Olaide, realizado por el Área de Métodos Cuantitativos del Departamento de Economía y Empresa, por encargo de la propia Universidad. CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 115 permitirán el tratamiento de un amplio rango de problemas decisionales de valoración y ordenación de alternativas. Una vez especificados los conjuntos de información que son adecuados en cada situación, los cálculos asociados al tratamiento de la información se realizan fácilmente, pues consisten en tomar sucesivamente el máximo de las sumas ponderadas de las valoraciones de las alternativas proporcionadas por los individuos. Por tanto esta técnica combina la ventaja que conlleva el ajustar el procedimiento a cada contexto informacional, con la aplicabilidad derivada del poco esfuerzo computacional que requiere. Se ilustra la metodología propuesta con el tratamiento de una encuesta realizada a los alumnos de la Universidad Pablo de Olavide de Sevilla en la que se evalúan los aspectos más relevantes en cada Titulación. De los diferentes aspectos evaluados se han incluido en nuestra aplicación cuatro criterios que valoran aspectos docentes según una escala ordinal de cinco posiciones: satisfacción con la actividad docente del profesorado, satisfacción con los contenidos de los programas de las asignaturas, valoración de la Biblioteca y valoración de las condiciones de las aulas. Queremos hacer notar que la utilización de la técnica que proponemos ha de partir de un conocimiento previo de la situación objeto de estudio, dado que requiere la especificación de la información sobre la importancia de los aspectos a evaluar, y como se desprende de los resultados que hemos obtenido, de la combinación de los diferentes conjuntos de información, se obtienen distintos índices que inducen, a su vez, diferentes ordenaciones de las Titulaciones estudiadas. Aunque se presentan en este trabajo los resultados obtenidos bajo distintos supuestos informacionales, en el caso de aplicación estudiado nos parece apropiado partir de un supuesto sobre la importancia de las categorías ordinales, que resulta natural en una encuesta con estas características: las diferencias entre los pesos correspondientes a dos categorías sucesivas son decrecientes (se corresponde con el conjunto 4 Φ). Este supuesto puede interpretarse como que la intensidad con la que se discriminan dos categorías sucesivas decrece conforme se consideran categorías menos valoradas. Con respecto a los criterios, nos centramos en el caso en que se supone más importante la Satisfacción con la actividad docente del profesorado, seguido por Satisfacción con los contenidos de los programas, Valoración de la biblioteca y Valoración de las condiciones de las aulas, en este orden (se corresponde con 3 Ω). A partir de estas hipótesis de información, la metodología que presentamos permite construir el índice que refleja una valoración global de las Titulaciones que es consistente con estos supuestos. 116 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA Tomando en consideración otros conjuntos de información, se obtienen otros índices diferentes. Entre las posibles extensiones del modelo se encuentra el análisis de sensibilidad de los conjuntos de información, en el sentido de establecer límites, en cuanto a la información disponible, dentro de los cuales la ordenación de las alternativas se mantenga. REFERENCIAS BORDA, J.C., (1784). «Mémoire sur les Élections au Scrutin». Histoire de l'Académie Royale des Sciences. CARRIZOSA, E., CONDE, E., FERNÁNDEZ, F.R., PUERTO, J. (1995). «Multicriteria Analysis with Partial Information». European Journal of Operational Research 81(2), pp. 391-401. CHARNES, A., COOPER, W.W., RHODES, E. (1978). «Measuring Efficiency of Decision Making Units». European Journal of Operational Research 2, pp. 429-444. COOK, W.D., KRESS M. (1990). «A Data Envelopment Model for Aggregating Preference Ranking». Management Science vol. 36(11), pp. 1302-1310. COOK, W.D., KRESS M. (1996). «An Extreme-Point Approach for Obtaining Weighted Ratings in Qualitative Multicriteria Decision Making». Naval Research Logistics vol. 43, pp. 519-531. HASHIMOTO, A. (1997). «A Ranked Voting System Using DEA/AR Exclusion Model: A note». European Journal of Operational Research 97, pp. 600-604. KENDALL, M. (1962). Rank correlation Methods 3rd. Ed. Hafner, Nueva York. (2), pp. 291-301. MÁRMOL, A.M., PUERTO, J., FERNÁNDEZ, F.R., (1998). «The Use of Partial Information on Weights in Multicriteria Decision Problems». Journal of Multicriteria Decision Analysis 7, pp. 322-329. MÁRMOL, A.M., PUERTO, J., FERNÁNDEZ, F.R., (2002). «Sequential Incorporation of Imprecise Information in Multiple Criteria Decision Processes». European Journal of Operational Research 137(1), pp. 123-133. PUERTO, J., MÁRMOL A.M., MONROY, L., FERNÁNDEZ, F.R. (2000). «Decision Criteria with Partial Information». International Transactions in Operational Research, n.7, pp.51-65. CONSTRUCCIÓN DE ÍNDICES PONDERADOS MULTICRITERIO CON INFORMACIÓN ORDINAL 117 MULTICRITERIA WEIGHTED INDICES WITH ORDINAL INFORMATION SUMMARY The goal of this paper is to present a general method to construct weighted indices for the evaluation of a set of units with respect to multiple criteria, when they are measured by values in different rank positions of an ordinal scale. The composite indices that we propose take into account the information available about the relative importance of the criteria and about the importance of being ranked in a certain position. We illustrate the methodology with an analysis of the data provided by a survey carried out at the University Pablo de Olavide in Sevilla, that reflects the students opinion about the different degrees studied in this University. Key words: Data Analysis, Ranking, Multicriteria Analysis, Partial Information. AMS classification: 62-07, 90C90.