No linealidades en el modelo del cuarto de coche

i Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales No linealidades en el modelo del cuarto de coche Dep. Ingeniería y Ciencia de los Materiales y del Transporte Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Javier Luis Cabezas Luque Tutores: Johan Wideberg / Emilio Freire Macías Sevilla, 2018 ii iii Trabajo Fin de Grado Grado en Ingeniería de las Tecnologías Industriales No linealidades en el modelo del cuarto de coche Autor: Javier Luis Cabezas Luque Tutores: Johan Wideberg (Profesor titular) Emilio Freire Macías (Catedrático de Universidad) Dep. de Ingeniería y Ciencia de los Materiales y del Transporte Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2018 iv v Trabajo Fin de Grado: No linealidades en el modelo del cuarto de coche Autor: Javier Luis Cabezas Luque Tutores: Johan Wideberg / Emilio Freire Macías El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2018 El Secretario del Tribunal vi vii Agradecimientos Se pone fin a este viaje y no puedo evitar acordarme en primer lugar de ti, Papá. Sé que tenías puestas muchas ilusiones en ver este momento y no pude llegar a tiempo. Te lo debía, te lo debo. Siempre estarás en mi corazón. Mamá, por tus desvelos y preocupaciones, nunca escatimaste una palabra de cariño. Te quiero con toda mi alma. A mi hermano, Manolo, la distancia no nos ha separado y te he sentido cerca más que nunca. Se que estarás muy feliz. A ti Lourdes, has vivido de cerca con generosidad la inversión de tiempo que he dedicado a esto, y tienes una gran cuota de culpa de todo lo bueno que me ha pasado. Obviamente, no lo hubiera conseguido sin el pilar más importante de mi vida. A mis segundos padres, Charo y Paco, gracias de corazón por todo el esfuerzo que habéis hecho y el cariño que me habéis demostrado. Javier, eres lo más maravilloso que me ha pasado en la vida, espero que en el futuro puedas sentirte orgulloso de tu padre. Finalmente, Johan y Emilio, os agradezco vuestra cercanía y total disposición en el desarrollo del presente trabajo. Ha sido un placer teneros como mis tutores. Sevilla, 2018 viii ix Resumen El modelo de vehículo de cuarto de coche es la representación más simple de un vehículo o modelo de vehículo de masas concentradas. Se usa ampliamente en el análisis de vehículos y suspensiones, particularmente en aquellos relacionados con la dinámica de conducción, sin embargo, este modelo no es tan preciso como muchos modelos de mayor grado de libertad debido a su simplicidad y grados de libertad limitados. En el estudio que llevamos a cabo, se tuvo en cuenta los detalles de la entrada del terreno, la rigidez de la suspensión y la amortiguación de este. Los resultados indicaron claramente que estos detalles tienen efecto en la respuesta del vehículo. El sistema de suspensión es un mecanismo que separa físicamente la carrocería del automóvil de la rueda del automóvil. La función principal del sistema de suspensión del vehículo es controlar el comportamiento transitorio de las masas suspendidas y no suspendidas del vehículo, en definitiva, minimizar la aceleración vertical transmitida al pasajero desde el suelo proporcionando un mejor confort de conducción. También es la parte más compleja del sistema de suspensión debido a su comportamiento no lineal y complejo. Por lo tanto, una buena representación del comportamiento del amortiguador y su análisis es importante en el estudio dinámico del vehículo. Habitualmente, en el estudio de sistemas dinámicos amortiguados, éstos son considerados con un comportamiento lineal por simplicidad y porque se comprueba que los modelos así tratados tienen un comportamiento coherente y dan en general, buenos resultados. No obstante, si somos estrictos, el comportamiento real de un amortiguador no es lineal, y mediante el presente trabajo pretendemos observar qué efectos tiene su consideración sobre diferentes parámetros dinámicos en el modelo del cuarto de coche, para así acercarnos a la realidad de las sensaciones de un ocupante en su interior. xvi Figura 5.10. Movimientos absoluto y relativo del chasis para cc= 8000 Ns/m. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.11. Movimientos absoluto y relativo del chasis para cc= 4000 Ns/m. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.12. Movimientos absoluto y relativo del chasis para cc= 2000 Ns/m. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.13. Movimientos absoluto y relativo del chasis para cc= 1000 Ns/m. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.14. Movimientos absoluto y relativo del chasis para cc= 500 Ns/m. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.15. Velocidad absoluta del chasis. Regímenes transitorio y permanente. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.16. Aceleración absoluta del chasis. Régimen transitorio. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.17. Aceleración absoluta del chasis. Régimen permanente. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.18. Velocidad relativa del chasis. Régimen transitorio. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.19. Velocidad relativa del chasis. Régimen permanente. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.20. Aceleración relativa del chasis. Regímenes transitorio y permenente. Modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.21. Función de transferencia del modelo de un grado de libertad no lineal. Dominio de la frecuencia Figura 5.22. Base de cálculo del modelo de dos grados de libertad Figura 5.23. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para cc= 8000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo Figura 5.24. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para cc= 4000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo Figura 5.25. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para cc= 2000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo xvii Figura 5.26. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para cc= 1000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo Figura 5.27. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para cc= 500 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo Figura 5.28. Función de transferencia X1/Y y dependencia de esta con c1. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio de la frecuencia Figura 5.29. Función de transferencia X2/Y y dependencia de esta con c1. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio de la frecuencia Figura 5.30. Aceleración del chasis, desplazamiento de la suspensión y deformación del neumático en el dominio de la frecuencia. Modelo de dos grados de libertad lineal. Figura 5.31. Dependencia del coeficiente c1 en la aceleración del chasis, desplazamiento de la suspensión y deformación del neumático en el dominio de la frecuencia. Modelo de dos grados de libertad lineal. Figura 5.32. Amortiguamiento no lineal (configuración de tipo I). Modelo de dos grados de libertad. Figura 5.33. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para c2c= 8000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.34. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para c2c= 4000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.35. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para c2c= 2000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.36. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para c2c= 1000 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.37. Movimientos absolutos y relativos del neumático y del chasis para c2c= 500 Ns/m. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Dominio del tiempo Figura 5.38. Velocidad absoluta del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio del tiempo Figura 5.39. Aceleración absoluta del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio del tiempo Figura 5.40. Velocidad relativa del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio del tiempo Figura 5.41. Aceleración relativa del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio del tiempo xviii Figura 5.42. Amortiguamiento no lineal (configuración de tipo I). Modelo de dos grados de libertad. Figura 5.43. Función de transferencia X1/Y. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio de la frecuencia Figura 5.44. Función de transferencia X2/Y. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio de la frecuencia Figura 5.45. Aceleración del chasis. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio de la frecuencia Figura 5.46. Desplazamiento de la suspensión. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio de la frecuencia Figura 5.47. Deformación del neumático. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo I. Dominio de la frecuencia Figura 5.48. Amortiguamiento no lineal (configuración de tipo II). Modelo de dos grados de libertad. Figura 5.49. Velocidad absoluta del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio del tiempo Figura 5.50. Aceleración absoluta del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio del tiempo Figura 5.51. Velocidad relativa del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio del tiempo Figura 5.52. Aceleración relativa del chasis. Régimen permanente. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio del tiempo Figura 5.53. Amortiguamiento no lineal (configuración de tipo II). Modelo de dos grados de libertad. Figura 5.54. Función de transferencia X1/Y y dependencia de ésta con la velocidad relativa entre el chasis y el neumático. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio de la frecuencia Figura 5.55. Función de transferencia X2/Y y dependencia de ésta con la velocidad relativa entre el chasis y el neumático. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio de la frecuencia Figura 5.56. Aceleración del chasis y dependencia de ésta con la velocidad relativa entre el chasis y el neumático. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio de la frecuencia Figura 5.57. Deformación del neumático y dependencia de ésta con la velocidad relativa entre el chasis y el neumático. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Configuración de tipo II. Dominio de la frecuencia xix Figura 6.1. Comparativa de la función de transferencia X1/Y del modelo de un grado de libertad frente al de dos grados de libertad (configuraciones tipo I y II). Dominio de la frecuencia Figura 6.2. Comparativa de la función de transferencia X2/Y del modelo de un grado de libertad frente al de dos grados de libertad (configuraciones tipo I y II). Dominio de la frecuencia Figura 6.3. Comparativa de la aceleración del chasis del modelo de un grado de libertad frente al de dos grados de libertad (configuraciones tipo I y II). Dominio de la frecuencia Figura 6.4. Comparativa del desplazamiento de la suspensión del modelo de un grado de libertad frente al de dos grados de libertad (configuraciones tipo I y II). Dominio de la frecuencia Figura 6.5. Comparativa de la deformación del neumñatico del modelo de un grado de libertad frente al de dos grados de libertad (configuraciones tipo I y II). Dominio de la frecuencia xx Notación F Fuerza soportada por el neumático [N] a Espesor de la zona del neumático sin deformar [m] b Espesor de la zona del neumático deformada [m] xi desplazamiento del punto i [m/s] K Constante de rigidez del muelle [N/m] Fmuelle Fuerza ejercida por el muelle [N] Kresorte Constante de rigidez del resorte [N/m] d Diámetro del hilo de las espiras [m] G Módulo de elasticidad transversal [N/m2] D Diámetro medio del muelle [m] N Número medio de espiras c Coeficiente de amortiguamiento [Ns/m] 𝑥" Velocidad de desplazamiento [m/s] 𝐹$%&'( Fuerza ejercida por el amortiguador [N] m Masa [Kg] Fk Fuerza del muelle [N] Fc Fuerza del amortiguador [N] f(t) Movimiento de la base [m] y 𝑦" Perfil del terreno [m] Velocidad de desplazamiento de la base [m/s] 𝑥* aceleración de la masa [m/s2] s Variable compleja Ft Función de transferencia X Movimiento vertical del vehículo [m] Y Movimiento vertical de la base [m] cos coseno w Frecuencia de excitación [rad/s] t, y0 l0 p z 𝑧" |𝑥"−𝑦"| <= >= 𝑥0 𝑥"0 Tiempo Amplitud del perfil del terreno [m] Longitud de onda del perfil del terreno [m] Pi Desplazamiento relativo [m] Velocidad relativa [m/s] Valor absoluto de la velocidad relativa [m/s] Menor o igual que Mayor o igual que Desplazamiento del neumático [m] Velocidad del neumático [m/s] xxi 𝑥*0 𝑥1 𝑥"1 𝑥*1 c1 c2 c2c c2e X1 X2 Ft1 Ft2 m1 m2 v wn k1 k2 X2’’ Aceleración del neumático [m/s2] Desplazamiento del chasis [m] Velocidad del chasis [m/s] Aceleración del chasis [m/s2] Coeficiente de amortiguamiento del neumático [Ns/m] Coeficiente de amortiguamiento del chasis [Ns/m] Coeficiente de amortiguamiento del chasis a compresión [Ns/m] Coeficiente de amortiguamiento del chasis en extensión [Ns/m] Desplazamiento vertical del neumático [m] Desplazamiento vertical del chasis [m] Función de transferencia del neumático Función de transferencia del chasis Masa del neumático [kg] Masa del chasis [kg] Velocidad de desplazamiento del coche [m/s] Frecuencia natural [rad/s] Coeficiente de rigidez del neumático [N/m] Coeficiente de rigidez del chasis [N/m] Amplitud de la aceleración del chasis [m/s2] xxii 1 1. ESTADO DEL ARTE Cada vez la industria del automóvil ofrece mejoras con relación a la seguridad y confort de los ocupantes del vehículo. Los viejos modelos usados, siendo válidos, dejan paso a estudios cada vez más específicos y sofisticados de aquellos aspectos que empíricamente han funcionado bien, pero que no se ajustan del todo a la realidad. Por tanto, se buscan modelos técnica y económicamente mejores. Nos estamos refiriendo al modelo no lineal en los dispositivos de un sistema de suspensión en este caso, pero es extrapolable a cualquier ámbito de la industria. En el estudio de la dinámica vertical del automóvil existe bastante bibliografía, pero es habitual que solo considere aspectos lineales, por simplicidad o porque realmente una vez puesto en práctica, sus resultados son aceptables. [1][2][5][6] Para el estudio de las no linealidades en modelos de dos grados de libertad existen varios artículos de investigación, algunos de ellos centrados en sistemas de suspensión activa, lógico teniendo en cuenta el peso cada vez mayor que la electrónica tiene en la industria. [4] Otros estudios se centran en el efecto de histéresis del amortiguador, que es un efecto claramente no lineal [3] y en los efectos que produce un muelle con comportamiento no lineal. No solo las no linealidades, sino el terreno, la rigidez de la suspensión y el neumático influyen en la respuesta y el tiempo de respuesta del vehículo. [7] Sin embargo, sobre la no linealidad de los amortiguadores aplicados al modelo de cuarto de coche con suspensión pasiva, no se conocen estudios realizados para saber qué efectos tiene sobre aspectos tan importantes como el confor del ocupante, la deformación del neumático o el desplazamiento de la suspensión. Por tanto, el cometido de este trabajo es modelar, simular y sacar conclusiones considerando el comportamiento real del amortiguador. 2 2. SISTEMA DE SUSPENSIÓN DE UN VEHÍCULO El sistema de suspensión de un vehículo es un sistema complejo formado por muchos elementos interconectados entre sí, que tiene una enorme importancia pues de él depende primero la seguridad de los ocupantes del vehículo y segundo, la comodidad de ellos. El estudio dinámico lo podemos resumir básicamente en tres elementos: neumáticos, resortes y amortiguadores. 2.1. Neumáticos El neumático es el primer elemento de seguridad activa del vehículo ya que es el dispositivo que mantiene el contacto de éste con el terreno. Por tanto, desde el punto de vista dinámico, las fuerzas de contacto entre el suelo y el neumático son fundamentales para la estabilidad, control y guiado de los vehículos. Este elemento puede resultar muy complejo si tenemos en cuenta que no tiene el mismo comportamiento según el estado de la superficie del terreno (temperatura, rugosidad, etc…). No obstante, podemos simplificar su modelado considerándolo como un muelle para el caso de dinámica vertical. Al tratarse de un muelle lineal, tendrá una rigidez vertical constante que se puede determinar tal y como se muestra en la fig. 2.1: Fig. 2.1 𝐾345%á(78& =, 𝐹 (𝑎−𝑏),[𝑁 𝑚] K neumático = Rigidez vertical del neumático [N/m] F= Fuerza soportada por el neumático [N] a= espesor del neumático (zona indeformada)[m] b= espesor del neumático (zona deformada) [m] F Zona sin deformar Zona deformada a b 3 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 2.2. Resortes En concreto los muelles helicoidales (fig. 2.2) son elementos mecánicos que se utilizan en casi todos los turismos. Tienen la ventaja de conseguir una elasticidad blanda debido al gran recorrido del resorte, todo ello sin apenas ocupar espacio ni sumar peso. Están constituidos por un arrollamiento helicoidal de acero de diámetro variable en función del peso a soportar (10-15 mm aprox.) siendo las últimas espiras planas para facilitar el asiento sobre la base de apoyo. No pueden transmitir esfuerzos laterales, y requieren, por tanto, en su montaje bielas de empuje lateral y transversal para la absorción de las reacciones de la rueda. Trabajan a torsión, retorciéndose proporcionalmente al esfuerzo que tienen que soportar acortando su longitud y volviendo a su posición de reposo cuando cesa el efecto que produce la deformación. Fig. 2.2 Los resortes permiten que el vehículo y sus ocupantes perciban lo menos posible las irregularidades del firme y que los neumáticos retornen al contacto con la superficie de la carretera. Una masa no suspendida reducida proporcionará menos impacto sobre los muelles y por tanto se transmitirán acciones menores sobre el chasis, mejorando el confort. Esto unido a un alto peso suspendido (mayor inercia en contra de las acciones provenientes del suelo) proporcionará más comodidad y una tracción también mejorada del neumático. Por eso se buscan ruedas de menor peso, con llantas de aleación ligera y neumáticos de perfil bajo. [1] Denominamos masa suspendida a la que se apoya sobre los resortes (motor, chasis, ocupantes, etc..), mientras que la masa no suspendida es aquella que no es soportada por los resortes (neumáticos, ejes, frenos, etc. El modelo más simplificado para el elemento elástico de una suspensión es el muelle lineal (fig. 2.3), que proporciona una fuerza proporcional a su elongación. 10 No linealidades en el modelo del cuarto de coche El perfil del terreno o movimiento de la base es la superposición de un escalón y un movimiento armónico de la misma amplitud que el escalón con una frecuencia ‘w’. Podemos pensar de dos formas a la hora de interpretar la señal de entrada o perfil del terreno aplicado a nuestro sistema: • Como un vehículo que se desplaza horizontalmente a una velocidad horizontal constante ‘v’. • Como un vehículo que horizontalmente está quieto, pero recibe una excitación vertical en la base. En ambas la relación entre la velocidad lineal y la frecuencia es la que se establece en la fig. 3.3. Cabe comentar también que no es conveniente perder de vista el orden de magnitud de las variables intervinientes. Hablamos de un vehículo que supongamos se moverá como máximo a unos 200 km/h. Esto supone que, dado los parámetros escogidos como base de cálculo, la frecuencia de excitación máxima será de 𝑤%áq ≈12,𝑟𝑎𝑑/𝑠 , lo cual implicará una velocidad relativa máxima | 𝑧 " %áq | = | 𝑥 " −𝑦 "| ≈0.5,𝑚/𝑠 . Con el valor de la velocidad relativa máxima delimitamos el rango de valores del amortiguador, pues este ofrecerá una fuerza de resistencia proporcional a ésta, por tanto, tomaremos éste valor máximo como tope en nuestros cálculos. 3.2. Descripción del modelo no lineal Ahora, consideramos un comportamiento no lineal del amortiguador (los resortes seguirán siendo lineales). ¿En qué consiste dicho comportamiento? El amortiguador no se comporta de manera homogénea en toda su carrera de funcionamiento. En el presente trabajo hemos trabajado con dos configuraciones para reflejar dicho comportamiento: • Amortiguador con coeficiente de amortiguamiento distinto a tracción que a compresión (fig. 3.4) • Amortiguador con comportamiento lineal en un rango de funcionamiento estrecho (usual) y coeficientes de amortiguamiento distintos para rangos de velocidades relativas más elevadas (fig. 3.5). Si el Trabajo consta de varios volúmenes, cada uno deberá llevar su propio índice, pero se debe incluir también un índice general. Fig. 3.4 11 No linealidades en el modelo del cuarto de coche En la figura se ve que el coeficiente de amortiguamiento es mayor a compresión que a tracción, y aunque es un comportamiento lineal a trozos, en su conjunto se considera como un comportamiento no lineal. Fig. 3.5 En la figura se ve la otra configuración estudiada en el que se considera un comportamiento lineal en un tramo central (que se considera más frecuente en la marcha del vehículo) y dos tramos lineales en zonas más alejadas y agresivas dinámicamente hablando, es decir, con velocidades relativas mayores. Como en el caso anterior, se considera comportamiento no lineal en su conjunto. En el diseño de un amortiguador hay que tener en cuenta que hay más exigencia a compresión que a tracción. Entendemos por ‘exigencia’ a que a compresión no solo la suspensión debe absorber la irregularidad del terreno, sino que debe controlar las fuerzas que se transmiten a la masa no suspendida (neumático), mientras que el amortiguamiento a tracción puede ‘relajarse’ relativamente porque solo se debe controlar el movimiento ascendente de la masa suspendida, que en cierta medida ya ejerce la gravedad. 3.2.1. Dominio del tiempo Aplicando la segunda ley de Newton al sistema de la fig. 3.4 (equilibrio de fuerzas): 𝑚∙𝑥 * =𝐹%54BB4 +𝐹$%&'(7K5$L&' =,𝑘∙ ( 𝑥−𝑦 ) +𝑐∙(𝑥 " −𝑦 " ) (c= 2000 Ns/m, x< 0 m/s) 𝑚∙𝑥 * =𝐹%54BB4 +𝐹$%&'(7K5$L&' =,𝑘∙ ( 𝑥−𝑦 ) +𝑐∙(𝑥 " −𝑦 " ) (c= 1000 Ns/m, x> 0 m/s) Aplicando la segunda ley de Newton al sistema de la fig. 3.5 (equilibrio de fuerzas): 𝑚∙𝑥 * =𝐹%54BB4 +𝐹$%&'(7K5$L&' =,𝑘∙ ( 𝑥−𝑦 ) +𝑐∙(𝑥 " −𝑦 " ) (c= 1300 Ns/m, x< -0.2 m/s) 𝑚∙𝑥 * =𝐹%54BB4 +𝐹$%&'(7K5$L&' =,𝑘∙ ( 𝑥−𝑦 ) +𝑐∙(𝑥 " −𝑦 " ) (c= 1000 Ns/m, x Î[-0.2,0.2] m/s) 𝑚∙𝑥 * =𝐹%54BB4 +𝐹$%&'(7K5$L&' =,𝑘∙ ( 𝑥−𝑦 ) +𝑐∙(𝑥 " −𝑦 " ) (c= 680 Ns/m, x> 0.2 m/s) Nota: Estos valores son a título informativo puesto que el objeto del estudio también es ir probando con distintos valores. Es decir, que hay que resolver varias ecuaciones diferenciales de segundo orden por partes. Integrándolas podemos hallar el movimiento vertical x(t) del vehículo. Modelo de Un Grado de Libertad 12 3.2.2. Dominio de la frecuencia Ahora no podemos aplicar la transformada de Laplace al sistema puesto que no es lineal. Resolvemos esta situación sabiendo que, aplicada la señal de entrada al vehículo, tras un transitorio, llegamos a obtener una respuesta en régimen permanente. Si identificamos la amplitud de la señal de salida en dicho régimen, podemos obtener la función de transferencia. Todos los cálculos son realizados con MatlabÒ. 13 4. MODELO DE DOS GRADOS DE LIBERTAD El modelo de dos grados de libertad es al que llamamos modelo de cuarto de coche pues en él diferenciamos la masa no suspendida (neumático) de la masa suspendida (chasis) y, aunque no deja de ser un modelo simple y simplificado de un vehículo, las ecuaciones se complican de manera importante. Tanto, que se hace necesario el uso de métodos computacionales para su cálculo. Como contraprestación, los resultados que nos ofrece son aceptables y nos dará una información más precisa de la dinámica vertical vehicular. Podríamos hacer un modelo de tres, cuatro, etc… grados de libertad, que consistiría en estos casos, tomar a la vez que el vehículo, la estructura del cuerpo del ocupante, por ejemplo, tomando la cabeza y el tronco como otras masas del modelo, pero estos casos se salen del ámbito del trabajo y no será considerado. 4.1. Descripción del modelo lineal En el modelo de la fig. 4.1 se puede observar la masa suspendida m2 o masa del chasis, la masa no suspendida m1 o masa del neumático y el sistema de suspensión del chasis formado por el resorte y el amortiguador. En el sistema de suspensión de la masa no suspendida, pese a que se suele representar, se considera que solo tiene rigidez, es decir, que el coeficiente de amortiguamiento es cero o muy pequeño, y que como se verá posteriormente, apenas tiene influencia en los resultados. Fig. 4.1 En definitiva, se trata de conocer cómo se mueven los grados de libertad x1 (t) y x2 (t) teniendo en cuenta que tenemos una señal de entrada o perfil del terreno en la base y teniendo en cuenta las diferentes variantes que vamos a considerar en cuanto a configuraciones del amortiguador; lineal y no lineal. 4.1.1. Dominio del tiempo Aplicando la segunda ley de Newton al sistema de la fig. 4.1: (equilibrio de fuerzas) y Modelo de Dos Grados de Libertad 14 Fig. 4.2 Sistema de ecuaciones diferenciales que hay que resolver: 𝑚0∙𝑥 * 0+𝑐1∙ ( 𝑥 " 0−𝑥 " 1 ) +𝑘1∙ ( 𝑥0−𝑥1 ) +𝑐0∙ ( 𝑥 " 0−𝑦 ") +,𝑘0∙ ( 𝑥0−𝑦 ) =0 𝑚1∙𝑥 * 1+𝑐1∙ ( 𝑥 " 1−𝑥 " 0 ) +𝑘1∙ ( 𝑥1−𝑥0 ) =0 4.1.2. Dominio de la frecuencia Aquí, a diferencia del caso de un grado de libertad, tenemos una señal de entrada; el perfil del terreno y dos señales de salida; la respuesta del neumático y del vehículo [1]. No obstante, las funciones de transferencia no cambian su significado y tendremos: 𝐹(0 =,𝑋0 𝑌 𝐹(1 =,𝑋1 𝑌 m2 m1 𝑘1∙(𝑥0−𝑥1) 𝑐1∙(𝑥"0−𝑥"1) 𝑘0∙(𝑦−𝑥0) 𝑐0∙(𝑦" −𝑥"0) 15 No linealidades en el modelo del cuarto de coche En el dominio de Laplace las ecuaciones se pueden reescribir: 𝑚0∙𝑋0∙𝑠1=𝑘0∙ ( 𝑌−𝑋0 ) +𝑘1∙ ( 𝑋1−𝑋0 ) +𝑐0∙𝑠∙ ( 𝑌−𝑋0 ) +𝑐1∙𝑠∙ ( 𝑋1−𝑋0 ) 𝑚1∙𝑋1∙𝑠1=𝑘1∙ ( 𝑋0−𝑋1 ) +𝑐1∙𝑠∙ ( 𝑋0−𝑋1 ) Agrupando: 𝑋0∙ [ 𝑚0∙𝑠1+ ( 𝑐0+𝑐1 ) ∙𝑠+ ( 𝑘0+𝑘1 )] =𝑌∙ ( 𝑐0∙𝑠+𝑘0 ) +𝑋1∙(𝑐1∙𝑠+𝑘1) 𝑋1∙ [ 𝑚1∙𝑠1+𝑐1∙𝑠+𝑘1 ] =𝑋0∙ ( 𝑐1∙𝑠+𝑘1 ) Tras manipular las ecuaciones: 𝐹(0 ( 𝑠 ) =𝑐0∙𝑚1∙𝑠I+ [ 𝑚1∙𝑘0+𝑐0∙𝑐1 ] ∙𝑠1+ [ 𝑘1∙𝑐0+𝑘0∙𝑐1 ] ∙𝑠+𝑘0∙𝑘1 𝑚0∙𝑚1∙𝑠E+𝑚1∙ [( 𝑐0+𝑐1 ) +𝑚0∙𝑐1 ] ∙𝑠I+ [ 𝑚1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) +𝑐1∙ ( 𝑐0+𝑐1 ) +𝑚0∙𝑘1−𝑐1 1∙𝑠 ] ∙𝑠1+ [ 𝑐1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) +𝑘1∙ ( 𝑐0+𝑐1 ) −2∙𝑐1∙𝑘1 ] ∙𝑠+[𝑘1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) −𝑘1 1] 𝐹(1 ( 𝑠 ) =𝑐0∙𝑐1∙𝑠1+ [ 𝑘1∙𝑐0+𝑘0∙𝑐1 ] ∙𝑠+𝑘0∙𝑘1 𝑚0∙𝑚1∙𝑠E+𝑚1∙ [( 𝑐0+𝑐1 ) +𝑚0∙𝑐1 ] ∙𝑠I+ [ 𝑚1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) +𝑐1∙ ( 𝑐0+𝑐1 ) +𝑚0∙𝑘1−𝑐1 1∙𝑠 ] ∙𝑠1+ [ 𝑐1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) +𝑘1∙ ( 𝑐0+𝑐1 ) −2∙𝑐1∙𝑘1 ] ∙𝑠+[𝑘1∙ ( 𝑘0+𝑘1 ) −𝑘1 1] Resultan como hemos podido ver dos expresiones bastante largas, que, gracias a MatlabÒ podemos simplificar ya que éste posee un comando que calcula el diagrama de Bode de un sistema lineal. No se nos puede pasar por alto que un sistema de dos grados de libertad posee dos frecuencias naturales; el del neumático y el del chasis, y que el movimiento del neumático influye en el del chasis y viceversa. 4.2. Descripción del modelo no lineal Análogamente al modelo de un grado de libertad, consideraremos dos configuraciones para ilustrar la no linealidad. A la primera la llamamos de tipo I (fig. 4.3), y consiste en el comportamiento diferencial del amortiguador cuando trabaja a tracción respecto de cuando trabaja a compresión. La segunda configuración la denominamos de tipo II (fig. 4.4) y se caracteriza por un comportamiento lineal a tracción y compresión en zonas centrales de velocidad relativa, pero que se hace no lineal cuando las velocidades son más importantes. Podríamos también considerar al neumático con un amortiguamiento no lineal, pero como ya advertimos con aterioridad y como se verá posteriormente, apenas tendrá influencia en los resultados y solo añadiría más complejidad a las ecuaciones sin apenas aportar nada, por tanto, c1@ 0 Ns/m. Fig. 4.3 Modelo de Dos Grados de Libertad 16 Fig. 4.4 Además, como ya sabemos, no es posible aplicar la transformada de Laplace para alcanzar resultados en el dominio de la frecuencia por ser no lineal. De nuevo, consideraremos al resorte con comportamiento lineal. 4.2.1. Dominio del tiempo Las ecuaciones para resolver son: 𝑚0∙𝑥 * 0+𝑐1∙ ( 𝑥 " 0−𝑥 " 1 ) +𝑘1∙ ( 𝑥0−𝑥1 ) +𝑐0∙ ( 𝑥 " 0−𝑦 ") +,𝑘0∙ ( 𝑥0−𝑦 ) =0 𝑚1∙𝑥 * 1+𝑐1∙ ( 𝑥 " 1−𝑥 " 0 ) +𝑘1∙ ( 𝑥1−𝑥0 ) =0 Para el caso de no linealidad del tipo de la fig. 4.3, los condicionantes serían: 𝑐1=1000𝑁𝑠 𝑚,(𝑥1−𝑥0)≥0,𝑚/𝑠 𝑐1=2000𝑁𝑠 𝑚, ( 𝑥1−𝑥0 ) <0,𝑚/𝑠 Para el caso de no linealidad del tipo de la fig. 4.4, los condicionantes serían: 𝑐1=1300𝑁𝑠 𝑚,(𝑥1−𝑥0)<−0.2,𝑚/𝑠 𝑐1=2000𝑁𝑠 𝑚, ( 𝑥1−𝑥0 ) Î [ −0.2,0.2 ] ,𝑚/𝑠 𝑐1=680𝑁𝑠 𝑚,𝑥1−𝑥0>0.2,𝑚/𝑠 Nota: Estos valores son a título informativo puesto que el objeto del estudio también es ir probando con distintos valores. 4.2.2. Dominio de la frecuencia Resolvemos esta situación sabiendo que, aplicada la señal de entrada al vehículo, tras un transitorio, llegamos a obtener una respuesta en régimen permanente. Si identificamos la amplitud de la señal de salida en dicho régimen, podemos obtener la función de transferencia. Todos los cálculos son realizados con MatlabÒ. 17 5. SIMULACIÓN DINÁMICA El objetivo de esta sección es obtener resultados concretos de los modelos de uno y dos grados de libertad con el software MatlabÒ, ver sus diferencias y comprobar las implicaciones del caso no lineal. 5.1. Modelo de un grado de libertad lineal Fig. 5.1 BASE DE CÁLCULO: m= 250 kg. Masa del vehículo k= 100000 N/m. Rigidez de la suspension c= 8000 – 500 Ns/m. Coef. amort. suspension y0= 0,1 m. Amplitud del perfil del terreno l0= 30 m. longitud de onda v= 27,78 m/s. velocidad de desplazamiento horizontal (100 km/h) 𝑤=,1∙h∙i Bj . Frecuencia de excitación de la base PERFIL DEL TERRENO: 𝑦=𝑦k∙(1−cos ( 𝑤∙𝑡 ) ) 5.1.1. Dominio del tiempo Hemos escogido unos parámetros determinados para ilustrar este caso, pero lo importante aquí es la comparación que se hace de un determinado problema para distintos valores del amortiguamiento. Simulación Dinámica 18 Resultados en obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c= 8000 Ns/m: Fig. 5.2 Se trata de un valor del coeficiente de amortiguamiento muy alto. Observamos que el transitorio es muy corto, pero se puede observar en el movimiento del chasis, obteniéndose valores de aceleración de cierta enjundia, pero extremadamente corto en el tiempo. Hemos dividido el estudio del dominio del tiempo en movimiento absoluto y movimiento relativo porque éste último es el que actúa sobre el valor de la fuerza de amortiguamiento. Si probáramos con velocidades más altas, lo que equivaldría a decir probar con frecuencias de excitación más elevadas, veríamos gráficas cualitativamente similares. 19 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Resultados en obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c= 4000 Ns/m: Fig. 5.3 Resultados en obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c= 2000 Ns/m: Fig. 5.4 Simulación Dinámica 26 Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento cc = 500 Ns/m: Fig. 5.14 Al igual que como pasaba para el caso lineal, vemos como el transitorio se hace más largo cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento, aunque en términos relativos es despreciable. Tambien se observa que cuando la suspensión es más blanda, las aceleraciones relativas del chasis son menores en régimen permanente, lo que a priori redundaría en la comodidad de los ocupantes del vehículo. Hasta ahora hemos visto los resultados de cada unos de los parámetros cinemáticos por separado, detengámonos ahora en aquellos más importantes mostrando en un mismo gráfico cómo varían en función del coeficiente cc: • Velocidad absoluta dx/ dt: En la fig. 5.15 están representadas los regímenes transitorio y permanente de la velocidad absoluta vertical del chasis. Las diferencias son muy pequeñas en el régimen transitorio y aún más, casi imperceptibles, en el régimen permanente, pero podemos decir que en el movimiento de compresión de la suspensión, el valor mínimo se produce para la supensión más dura, sin embargo, para el movimiento de tracción, la suspensión más dura es la que obtiene un valor máximo más elevado, como es lógico. 27 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Fig. 5.15 • Aceleración absoluta d2x/dt2: Aquí nos detenemos porque nos parece interesante ilustrar los distintos transitorios que se producen para los distintos valores de cc (fig. 5.16). Vemos como el valor de c más bajo oscila más que aquella suspensión con valor de c más alta. Con respecto al modelo lineal vemos como tiene un comportamiento medio ponderado respecto a los demás. 28 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Fig. 5.16 Fig. 5.17 En régimen permanente las diferencias son muy pequeñas, pero podemos ver la influencia del coeficiente de amortiguamiento. Cuanto mayor es el valor de c, menor es el valor absoluto de la amplitud de este parámetro, pero para el valor de c= 4000 Ns/m la amplitud de la deceleración es el mayor, y desde luego llama la atención que no sea el amortiguador con el coeficiente más bajo quien tenga este comportamiento, aunque cabe insistir en que la diferencia es muy pequeña, del orden de 0,01 m/s2. • Velocidad relativa dz/dt: Este parámetro es bastante importante teniendo en cuenta que es el que determina la fuerza que ejerce el amortiguador sobre el neumático. En la fig. 5.18 vemos el régimen transitorio y de nuevo, el valor más bajo de c se muestra como el más inestable en los primeros instantes. 29 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Fig. 5.18 La fig. 5.19 muestra el detalle del régimen permanente en el que cabe destacar cierta inestabilidad para el valor de c= 4000 Ns/m. Destaca que para el valor de c= 8000 Ns/m se produce el valor máximo en valor absoluto de la velocidad relativa. Fig. 5.19 • Aceleración relativa d2z/dt2: Este parámetro influye sobre el confort de los ocupantes del vehículo. El transitorio y el permanente se muestran en la fig. 5.20. Como era de esperar, los valores de aceleración relativa son más caóticos pero muestran las inestabilidades para la suspensión más dura, el resto de valores del coeficiente de amortiguamiento se Simulación Dinámica 30 muestran de manera similar entre ellos, aunque es el de valor c= 2000 Ns/m el que menos oscilaciones presenta. Recordemos que este sería el caso particular de amortiguamiento lineal, puesto que el valor de c= 2000 Ns/m es el valor común para valores de velocidad relativa de tracción. Podemos concluir que un amortiguamiento no lineal presenta más oscilaciones en cuanto a su aceleración relativa, parámetro importante de cara al confort de los ocupantes. Fig. 5.20 5.2.1.2. Dominio de la frecuencia La función de transferencia del sistema es la misma que para el caso lineal, la única diferencia es que no podemos aplicar transformada de Lapace para realizar los cálculos. Recurrimos a MatlabÒ para calcular los datos de las amplitudes de las señales de entrada y salida en régimen permanente y aplicarlos a dicha función. 31 No linealidades en el modelo del cuarto de coche A la vista de la fig. 5.21, podemos concluir que, al igual que para el caso líneal, se observa una clara amplificación del movimiento vertical de salida cuanto más bajo es el coeficiente de amortiguamiento. Se observa también una zona de inestabilidad para altas frecuencias, fuera de rango del caso práctico de nuestro vehículo, que hace imprevisible su tendencia, pero al estar fuera del ámbito del trabajo, lo obviaremos y solo lo dejamos indicado. Fig. 5.21 Simulación Dinámica 32 5.3. Modelo de dos grados de libertad lineal Fig. 5.22 BASE DE CÁLCULO: m1= 50 kg. Masa no suspendida (neumático) m2= 250 kg. Masa suspendida (chasis) k1= 220000 N/m. Coef. rigidez del neumático k2= 26000 N/m. Coef. rigidez chasis c1= 0 Ns/m. Coef. de amortiguamiento del neumático c2= 8000 – 500 Ns/m. Coef. de amortiguamiento del chasis y0= 0,1 m. Amplitud del perfil del terreno l0= 30 m. Longitud de onda v= 27.78 m/s. Velocidad de desplazamiento horizontal (100 km/h) 𝑤=,1∙h∙i •j . Frecuencia de excitación de la base PERFIL DEL TERRENO: 𝑦=𝑦k∙(1−cos ( 𝑤∙𝑡 ) ) 5.3.1. Dominio del tiempo Como diferencias principales con respecto al modelo de un grado de libertad tenemos que, en lugar de una masa, la del vehículo, tenemos dos; la del neumático y la del chasis y en lugar de un sistema de suspensión resorteamortiguador, tenemos dos; uno para el neumático y otro para el chasis. Por tanto, presentamos un modelo más detallado pero que es el más simple que nos permite diferenciar la dinámica del sistema de rodadura con respecto al habitáculo donde se situan los ocupantes del vehículo. Ya comentamos que el coeficiente de amortiguamiento de la masa no suspendida (neumático) es muy pequeño, que su influencia apenas es perceptible y por eso vamos a tomar un valor cero. El neumático básicamente ofrece rigidez de deformación. Por lo demás, el estudio que haremos es el mismo en relación con el modelo de un grado de libertad; en base a unos parámetros fijados, estudiar la influencia del amortiguador no lineal respecto al lineal, haciendo variar el coeficiente c2. A continuación, presentamos los resultados para distintos valores de c2: y 33 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2= 8000 Ns/m: Fig. 5.23 Simulación Dinámica 34 Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2= 4000 Ns/m: Fig. 5.24 35 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2= 2000 Ns/m: (Caso lineal) Fig. 5.25 42 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Fig. 5.31 43 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 5.4. Modelo de dos grados de libertad no lineal Ahora el amortiguador no opone la misma fuerza de resistencia en todo su recorrido. 5.4.1. Configuración de tipo I Fig. 5.32 Hemos llamado configuración tipo I al amortiguador mostrado en la gráfica de la fig. 5.32. En ella se detalla el distinto comportamiento del amortiguador a tracción que a compresión. Tomaremos datos del coeficiente de amortiguamiento para valores de la velocidad relativa x’-y’ < 0 (compresión) que variarán de 8000 a 500 Ns/m y mantendremos fijo su valor para velocidades x’-y’ > 0 (tracción) en 2000 Ns/m. De tal forma, que existirá el caso particular que, tanto a tracción como a compresión tendrán el mismo valor, que será el caso particular de amortiguador lineal. Simulación Dinámica 44 5.4.1.1. Dominio del tiempo Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2c= 8000 Ns/m: Fig. 5.33 45 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2c= 4000 Ns/m: Fig. 5.34 Simulación Dinámica 46 Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2c= 2000 Ns/m: (caso lineal) Fig. 5.35 47 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2c= 1000 Ns/m: Fig. 5.36 Simulación Dinámica 48 Resultados obtenidos para un valor del coeficiente de amortigumiento c2c= 500 Ns/m: Fig. 5.37 Al igual que como pasaba para el caso lineal, vemos como el transitorio se hace más largo, aunque en términos relativos es despreciable, cuanto menor es el coeficiente de amortiguamiento. Tambien se observa que cuando la suspensión es más blanda, las aceleraciones relativas del chasis son menores en régimen permanente, lo que a priori redundaría en la comodidad de los ocupantes del vehículo. Veamos con más detalles el resto de los parámetros: 49 No linealidades en el modelo del cuarto de coche • Velocidad absoluta del chasis dx2/ dt: Fig. 5.38 Los valores son similares para todo el rango de valores de c2c, algo mayores cuanto mayor es dicho coeficiente. Por tanto, el valor del coeficiente de amortiguamiento tiene poca influencia en la velocidad absoluta del chasis. • Aceleración absoluta del chasis d2x2/dt2: Fig. 5.39 Aquí se observan ya diferencias apreciables, y se ve claramente que cuanto menor es c2c, mayor es la amplitud de la aceleración absoluta del chasis. Estas aceleraciones son mayores en extensión debido a que c2c > c2e. Simulación Dinámica 50 • Velocidad relativa del chasis dz2/dt: Fig. 5.40 De igual manera, las velocidades relativas en extensión tienen unas amplitudes casi similares (c2e= 2000 Ns/m) mientras que a compresión el amortiguador alcanza velocidades más elevadas cuanto menor es c2c. • Aceleración relativa del chasis d2z2/dt2: Fig. 5.41 Aquí los valores se muestran algo más caóticos. En torno al caso lineal (c2c= 2000 Ns/m) se agrupan los demás, con pequeñas oscilaciones de pequeña cuantía debido a los efectos no lineales, y que muestran como en compresión los valores se muestran en términos relativos similares, mientras que encontramos aceleraciones en extensión algo mayores cuanto menor es el coeficiente c2c. 51 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 5.4.1.2. Dominio de la frecuencia La función de transferencia del sistema es la misma que para el caso lineal, la única diferencia es que no podemos aplicar transformada de Lapace para realizar los cálculos. Recurrimos a MatlabÒ para calcular los datos de las amplitudes de las señales de entrada y salida en régimen permanente y aplicarlos a dicha función. Fig. 5.42 Fig. 5.43 Se puede ver que para valores de c2 mediosbajos, el comportamiento es similar hasta un valor aproximado de 80 rad/s, de ahí en adelante se acrecentan las diferencias entre los distintos valores de c2. Para valores de c2 medioaltos, las diferencias se hacen patentes. Simulación Dinámica 58 Para el caso de la función de transferencia relacionada con la amplitud de desplazamiento del chásis, de nuevo se observa un ligero aumento de la ganancia de este cuanto menor es el coeficiente c2, pero no ocurre así para valores próximos a la frecuencia natural del neumático, en el que a mayor valor de c2, mayor amplitud, aunque sean diferencias muy pequeñas. Algo análogo ocurre en la influencia de la amplitud de las velocidades relativas. Fig. 5.55 59 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Para la aceleración del chasis, igualmente se ve que la influencia sobre el chasis es mayor que para el neumático la elección que hagamos del coeficiente c2, al igual que para distintos valores de puntos de inflexión de velocidades relativas. Fig. 5.56 Simulación Dinámica 60 Y para el resto de los parámetros las pautas de comportamiento son similares, como se muestran en las siguientes gráficos: Fig. 5.57 61 6. CONCLUSIONES Como comentamos al principio de este trabajo, es frecuente considerar el comportamiento de un sistema amortiguado siempre igual indistintamente de si está a tracción o a compresión, sean cuales sean las solicitaciones que sobre él se producen. También señalamos que, si bien su consideración da relativo buenos resultados, convendría adoptar una actitud crítica y saber que, en esencia, el amortiguador es no lineal. Como este, existen otros muchos dispositivos mecánicos cuyo comportamiento no son lineales. Centrándonos en el amortiguador y después de haber mostrado los resultados del modelo de cuarto de coche para los casos lineal y no lineal, concluyamos cuáles son las implicaciones de adoptar una u otra hipótesis de partida. Antes de nada y como conclusión de partida es que el modelo lineal es más sencillo y por tanto, su relación beneficio/ coste es mucho mayor que el modelo no lineal. Y si somos más específicos, el resto de las conclusiones son las siguientes: Hemos partido de la base de un vehículo que circula por un terreno sinusoidal y se ha considerado: • Caso lineal. Coeficientes de amortiguamiento idéntico en todo el recorrido del sistema de suspensión. • Caso no lineal. Coeficiente de amortiguamiento a compresión distinto del coeficiente de amortiguamiento a tracción (le hemos llamado configuración de tipo I). • Caso no lineal. Coeficiente de amortiguamiento idéntico en una zona central considerada de normal funcionamiento y distinto para un valor determinado a compresión y a tracción (le hemos llamado configuración de tipo II). 6.1. Función de transferencia de X1 (desplazamiento vertical del neumático) Considerando el caso lineal resultan mayores amplitudes del movimiento vertical del neumático a las frecuencias próximas a las naturales tanto del chasis como del neumático. La gráfica del movimiento considerando efectos no lineales es por así decirlo, más plana, lo cual implica menores desplazamientos del neumático. Y dentro de la no linealidad, la mayor influencia de los distintos coeficientes de amortiguamiento es para el caso de configuración de tipo I, que de tipo II. Estimamos que se produce una sobreponderación si consideramos el problema lineal. Conclusiones 62 Fig. 6.1 6.2. Función de transferencia de X2 (desplazamiento vertical del chasis) De nuevo, la consideración de linealidad en el amortiguador nos dará mayores desplazamientos del chasis, del orden de casi el doble en caso de frecuencias próximas a su frecuencia natural. Para frecuencias próximas a la frecuencia natural del neumático, la consideración de linealidad nos dará menores ganancias para los dos valores de c2 más bajos, similar para c2= 2000 Ns/m, y mayores ganancias para los dos valores más altos de c2. En el caso de la configuración de tipo II, las ganancias son sensiblemente superiores que para el caso de configuración tipo I. Sobreponderaríamos los desplazamientos en zonas próximas a las “frecuencias de resonancia” considerando linealidad y habría que estudiar cada caso en cualquier otro rango de frecuencias. Sobreponderación relativa. Fig. 6.2 6.3. Aceleración del chasis De nuevo, menores aceleraciones en el chasis se producen al considerar el comportamiento no lineal al mismo tiempo que se suavizan dentro de la no linealidad, las diferencias entre un amortiguador más duro de otro más blando. Para valores entre las dos frecuencias naturales, habría que estudiar cada caso; los dos valores más bajos de c2 infravalorarían el caso no lineal y los dos valores más altos lo sobreponderarían. Resultan ligeramente mayores las aceleraciones en la configuración de tipo II. 63 No linealidades en el modelo del cuarto de coche Se repite en este parámetro el caso de sobreponderación la consideración de problema lineal. Fig. 6.3 6.4. Desplazamiento de la suspensión El caso lineal nos da unos desplazamientos mucho mayores que el no lineal, destacando el caso de c2= 8000 Ns/m, es decir la consideración de amortiguador más duro, en el que en caso lineal, una vez sobrepasada la frecuencia natural del chasis, infrapondera sus amplitudes. La configuración de tipo I ofrece menores desplazamientos que la de tipo II. Estamos en un caso de sobreponderación, con la excepción de valores de c2 muy altos. Fig. 6.4 6.5. Deformación del neumático Cualitativamente, el análisis es el mismo que para el caso de la aceleración del chasis, mayores amplitudes para el caso lineal, y menores diferencias entre los distintos valores de c2 en caso no lineal. Una vez sobrepasada la frcuencia de excitación del chasis, dependerá; mayores amplitudes en el caso lineal y valores de c2 altos, y menores para valores bajos. De nuevo, mayores deformaciones para la configuración de tipo II que para la de tipo I. Sobreponderación relativa. Conclusiones 64 Fig. 6.5 En principio, la configuración de tipo I se muestra algo mejor que la II, pero solo para un terreno regular como es el que estamos considerando. La configuración de tipo II se comporta como un amortiguamiento más blando para circunstancias donde la velocidad relativa chasisneumático rebasan una determinada velocidad crítica y esto es una ventaja grande. Esto es, una vez encontrada alguna irregularidad brusca, será capaz de absorberla transmitiendo unas aceleraciones menores que en el caso de tener un amortiguador más duro. 6.6. Futuros trabajos Dado que el trabajo se ha centrado en un terreno regular, sinusoidal, podríamos proponer que se estudiaran los efectos de las no linealidades para otros tipos de terreno. Por otro lado, también sería interesante estudiar el tiempo de respuesta del vehículo ante una irregularidad, para ver el parámetros como por ejemplo, el tiempo de disipación de las aceleraciones verticales del chasis. 65 REFERENCIAS [1] Centro Politécnico Superior, "Criterios de diseño de Vehículos". Monografía [2] Department of Applied Mechanics Chalmers University of Technology, "Lecture Notes for Vehicle Dynamics MMF062". Monografía. [3] Adrian Simms and David Crolla, "The influence of damper properties on vehicle dynamic behaviour". Research Article [4] Lang, H., "Automotive dampers at high stroking frequency". University of Michigan. Ph. D. thesis. [5] Gillespie, T.D. 1992. Fundamentals of vehicle dynamics [6] Viviana Meruane, "Vibraciones Mecánicas". Monografía [7] Soong MF, Ramli R, Saifizul A, "Between simplicity and accuracy: Effect of adding modeling details on quarter vehicle model accuracy". Research Article 66 ANEXO 1. Modelo de un grado de libertad lineal global m k c w_ex y0 m = 250; % masa del vehÌculo k = 100000; % rigidez de la suspensiÛn en N/m c = 500; % coeficiente de amortiguamiento de la suspensiÛn N*s/m y0 = 0.1; % amplitud de la onda en m v = 1.0*27.78; % velocidad de desplazamiento en m/s (100km/h) l0 = 30; % longitud de onda en m w_ex = 2*pi*v/l0; % frecuencia de excitaciÛn en la base t_ex = 0:0.001:30; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); figure(1) plot(t_ex,y); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); axis([0 30 0 1]); title('Movimiento de la base del vehÌculo: y(t)','FontSize',12,... 'FontWeight','bold'); % figure(2) % plot(t_ex,yp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad de desplazamiento (m/s)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -1.5 1.5]); % title('Velocidad del movimiento de la base del vehÌculo: y''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % figure(3) % plot(t_ex,ypp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn de desplazamiento (m/s^2)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -40 40]); % title('AceleraciÛn del movimiento de la base del vehÌculo: y''''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); 67 No linealidades en el modelo del cuarto de coche %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto % % EcuaciÛn del movimiento: % % mx''+c(x'-y')+k(x-y)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra en reposo: x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver una E.D.O de segundo orden x''=(-1/m)*(cx'+kx-cy'-ky), % que hay que integrar. pos_ini = 0; % x(0) del vehÌculo vel_ini = 0; % x'(0) del vehÌculo x0 = [pos_ini vel_ini]; % Condiciones iniciales en un vector fila. [t_sol,x_sol] = ode45(@fun_abs,t_ex,x0); % Resuelve la E.D.O. figure(41) subplot(3,2,1); plot(t_sol,x_sol(:,1),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('x') title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL CHASIS','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,3); plot(t_sol,x_sol(:,2),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); legend('dx/dt') subplot(3,2,5); xpp=-1/m.*(c.*(x_sol(:,2)'-yp)+k.*(x_sol(:,1)'-y)); % aceleraciÛn del chasis plot(t_sol,xpp,'b') xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2x/dt^2') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento relativo % % EcuaciÛn del movimiento: % % mz''+cz'+kz=-my'' % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Si queremos calcular y representar el movimiento relativo del vehÌculo % x(t) respecto del perfil del terreno y(t), nuestra nueva variable % es z(t)=x(t)-y(t), que sustituyÈndola en la ecuaciÛn del movimiento % absoluto queda: mz''+cz'+kz=-my'' z = x_sol(:,1)'-y; zp = x_sol(:,2)'-yp; zpp = xpp-ypp; subplot(3,2,2); plot(t_sol,z,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('z(t)') title('MOVIMIENTO RELATIVO DEL CHASIS','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,4); 74 4. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio del tiempo global m1 m2 k1 k2 c1 c2 y0 w_ex m1 = 50; % masa no suspendida (neum·tico) en kg m2 = 250; % masa suspendida (chasis) en kg k1 = 220000; % coef. rigidez neum·tico en N/m k2 = 26000; % coef. rigidez chasis en N/m c1 = 0; % coef. amortiguamiento neum·tico N*s/m c2 = 500; % coef. amortiguamiento chasis N*s/m y0 = 0.1; % amplitud de la onda en m v = 27.78; % velocidad de desplazamiento en m/s (100 km/h) l0 = 30; % longitud de onda en m w_ex = 2*pi*v/l0; % frecuencia de excitaciÛn en la base t_ex = 0:0.01:30; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); % figure(1) % plot(t_ex,y); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % % axis([0 5 0 0.12]); % title('Movimiento de la base del vehÌculo: y(t)','FontSize',12,... % 'FontWeight','bold'); % figure(2) % plot(t_ex,yp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad de desplazamiento (m/s)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -1.5 1.5]); % title('Velocidad del movimiento de la base del vehÌculo: y''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % figure(3) % plot(t_ex,ypp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn de desplazamiento (m/s^2)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -40 40]); % title('AceleraciÛn del movimiento de la base del vehÌculo: y''''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % m_1*x_1''+c_2*(x'_1-x'_2)+k_2*(x_1-x_2)+...% 75 No linealidades en el modelo del cuarto de coche % +c_1*(x'_1-y')+k_1*(x_1-y)=0 % % % % m_2*x_2''+c_2*(x'_2-x'_1)+k_2*(x_2-x_1)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver un sistema de E.D.O de segundo orden. x0 = [0, 0, 0, 0]'; % condiciones iniciales x_1'(0)=x_1(0)=x_2'(0)=x_2(0)=0 options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-6); [t_sol,x_sol] = ode45(@mifun,t_ex,x0, options); % Condiciones iniciales en un vector fila figure(420) subplot(3,2,1) plot(t_sol,x_sol(:,1),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('x_1(t)') title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL NEUM¡TICO x_1',... 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,3) plot(t_sol,x_sol(:,2),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); legend('dx_1/dt') % title('VELOCIDAD ABSOLUTA DEL NEUM¡TICO dx_1/dt',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,5) xpp_1=(-1/m1).*(c2.*(x_sol(:,2)'-x_sol(:,4)')+k2.*((x_sol(:,1)'- x_sol(:,3)'))+... c1.*(x_sol(:,2)'-y)+k1.*(x_sol(:,1)'-y)); % aceleraciÛn del chasis plot(t_sol,xpp_1,'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2x_1/dt^2') % title('ACELERACI”N ABSOLUTA DEL NEUM¡TICO d^2x_1/dt^2',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,2) plot(t_sol,x_sol(:,3),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('x_2(t)') title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL CHASIS x_2',... 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,4) plot(t_sol,x_sol(:,4),'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); legend('dx_2/dt') % title('VELOCIDAD ABSOLUTA DEL CHASIS dx_2/dt',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot(3,2,6) xpp2=(-1/m2).*(c2.*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+... 76 k2.*((x_sol(:,3)'-x_sol(:,1)'))); % aceleraciÛn del chasis plot(t_sol,xpp2,'b'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2x_2/dt^2') % title('ACELERACI”N ABSOLUTA DEL CHASIS d^2x_2/dt^2',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento relativo: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % z_1''=-(1/m_1)*(c_2*z'_2-k_2*z_2+c_1*z'_1+k_1*z_1)-y % % % % z_2''=-(1/m_2)*(c_2*z'_2+k_2*z_2)-x''_1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % tambiÈn: z''_1=x''_1-y'' % z''_2=x''_2-x''_1 z_1 = x_sol(:,1)'-y; z_2 = x_sol(:,3)-x_sol(:,1); zp_1 = x_sol(:,2)'-yp; zp_2 = x_sol(:,4)-x_sol(:,2); zpp_1 = xpp_1-ypp; zpp_2 = xpp2-xpp_1; figure(52) subplot (3,2,1) plot(t_sol,z_1,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('z_1(t)') title('MOVIMIENTO RELATIVO DEL NEUM¡TICO x_1- y','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot (3,2,3) plot(t_sol,zp_1,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); legend('dz_1/dt') % title('VELOCIDAD RELATIVO DEL NEUM¡TICO (d^z_1/dt)','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot (3,2,5) plot(t_sol,zpp_1,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2z_1/dt^2') % title('ACELERACI”N RELATIVA DEL NEUM¡TICO (d^2z_1/dt^2)','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot (3,2,2) plot(t_sol,z_2,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); legend('z_2(t)') title('MOVIMIENTO RELATIVO DEL CHASIS x_2- x_1','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot (3,2,4) plot(t_sol,zp_2,'r'); 77 No linealidades en el modelo del cuarto de coche xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); legend('dz_2/dt') % title('VELOCIDAD RELATIVA DEL CHASIS (d^z_2/dt)','FontSize',12,'FontWeight','bold'); subplot (3,2,6) plot(t_sol,zpp_2,'r'); xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2z_2/dt^2') % title('ACELERACI”N RELATIVA DEL CHASIS (d^2z_2/dt^2)','FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%% TRANSMISIBILIDAD DE LA BASE SOBRE EL VEHÕCULO %%% % FunciÛn de Transferencia (mediante transf. Laplace): % Ft1 = x_1/y, Ft2 = x_2/y representan cÛmo varÌan las funciones % de salida x_1 y x_2 (desplazamientos del neum·tico y % del chasis) respecto del movimiento de la base (y). Esto se puede % representar mediante el diagrama de Bode. a = [m1 (c1+c2) (k1+k2)]; %m1*s.^2+(c1+c2)*s+(k1+k2) b = [c1 k1]; %c1*s+k1 c = [c2 k2]; %c2*s+k2; d = [m2 c2 k2]; %m2*s.^2+c2*s+k2; e = [c2 k2]; %c2*s+k2; % Ft1 = b*d/(a*d-c*e); % FunciÛn de transferencia desplazamiento del neum·tico % Ft2 = b*e/(a*d-c*e); % FunciÛn de transferencia desplazamiento del chasis % sal1 = conv(b,d); % ent1 = (conv(a,d)-[0 0 conv(c,e)]); % sal2 = conv(b,e); % ent2 = (conv(a,d)-[0 0 conv(c,e)]); % % Ft1=tf(sal1,ent1); % Ft1 = x_1/y % figure(6) % bode(Ft1) % % figure(7) % Ft2=tf(sal2,ent2); % Ft2 = x_2/y % bode(Ft2) % w=1:0.01:1e3; % s=w.*1i; % figure(62) % Ft1 = ((c1*s+k1).*(m2*s.^2+c2*s+k2))./((m1*s.^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)).*... % (m2*s.^2+c2*s+k2)-(c2*s+k2).*(c2*s+k2)); % Ft1 = x_1/y % FT1=20*log10(abs(Ft1)); % semilogx(w,FT1) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_1: X_1/Y') 78 % figure(72) % Ft2 = ((c1*s+k1).*(c2*s+k2))./((m1*s.^2+(c1+c2)*s+(k1+k2)).*... % (m2*s.^2+c2*s+k2)-(c2*s+k2).*(c2*s+k2)); % Ft2 = x_2/y % FT2=20*log10(abs(Ft2)); % semilogx(w,FT2) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_2: X_2/Y') % A = (k2*k1-c2*c1*w.^2)+(w.*(c2*k1+c1*k2)); % A1 = m2*k1*w.^2; % A2 = m2*c1*w.^3; % A3 = -m2*m1*w.^4+w.^2*(m2*k1+m1*k2); % A4 = w.^3*(m2*c2+m1*c2); % B = w.^4*m2*m1-w.^2*(m2*k1+m2*k2+c2*c1+k2*m1)+k2*k1; % C = w.^3*(m2*c1+m2*c2+m1*c2)+w*(c2*k1+c1*k2); % % figure(82) % RC = 20*log(w.^2.*(sqrt(A.^2)./sqrt(B.^2+C.^2))); % Ride Comfort % semilogx(w,RC) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'AceleraciÛn del chasis: X_2''''/Y'}) % figure(92) % ST = (sqrt(A1.^2+A2.^2)./sqrt(B.^2+C.^2)); % Suspension Travel % semilogx(w,ST) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'Desplazamiento de la suspensiÛn: (X_2-X_1)/Y'}) % figure(102) % RG = (sqrt(A3.^2+A4.^2)./sqrt(B.^2+C.^2)); % Road Grip % semilogx(w,RG) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'DeformaciÛn del neum·tico: (Y-X_1)/Y'}) function Xp=mifun(t,X) global m1 m2 k1 k2 c1 c2 y0 w_ex y = y0*(1-cos(w_ex*t)); Xp=zeros(4,1); %inicializamos Xp(1)=X(2); % valor de x'_1 Xp(2)=(-1/m1).*(k1.*(X(1)-y)+c1.*(X(2)-y)+k2.*(X(1)-X(3))+... c2.*(X(2)-X(4))); % valor de x''_1 Xp(3)=X(4); % valor de x'_2 Xp(4)=(-1/m2).*(k2.*(X(3)-X(1))+c2.*(X(4)-X(2))); % valor de x''_2 end 79 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 5. Modelo de dos grados de libertad lineal. Dominio de la frecuencia clear; global m1 m2 k1 k2 c1 c2 w_ex y0 m1 = 50; % masa no suspendida (neum·tico) en kg m2 = 250; % masa suspendida (chasis) en kg k1 = 220000; % coef. rigidez neum·tico en N/m k2 = 26000; % coef. rigidez chasis en N/m c1 = 0; % coef. amortiguamiento neum·tico N*s/m c2 = 8000; % coef. amortiguamiento chasis N*s/m y0 = 0.1; % amplitud perfil del terreno ww = 1:125; for w_ex = 1:125 % Frecuencia de excitaciÛn en la base t_ex = 0:0.01:20; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); % figure(1) % plot(t_ex,y); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % % axis([0 5 0 0.12]); % title('Movimiento de la base del vehÌculo: y(t)','FontSize',12,... % 'FontWeight','bold'); % figure(2) % plot(t_ex,yp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad de desplazamiento (m/s)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -1.5 1.5]); % title('Velocidad del movimiento de la base del vehÌculo: y''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % figure(3) % plot(t_ex,ypp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn de desplazamiento (m/s^2)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -40 40]); % title('AceleraciÛn del movimiento de la base del vehÌculo: y''''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto: Sistema de ecuaciones % 80 % del movimiento: % % % % m_1*x_1''+c_2*(x'_1-x'_2)+k_2*(x_1-x_2)+...% % +c_1*(x'_1-y')+k_1*(x_1-y)=0 % % % % m_2*x_2''+c_2*(x'_2-x'_1)+k_2*(x_2-x_1)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver un sistema de E.D.O de segundo orden. x0 = [0, 0, 0, 0]'; % condiciones iniciales x_1'(0)=x_1(0)=x_2'(0)=x_2(0)=0 [t_sol,x_sol] = ode45(@mifun,t_ex,x0); % Condiciones iniciales en un vector fila x_1= x_sol(:,1)'; x_3= x_sol(:,3)'; xpp2= (-1/m2).*(c2.*(x_sol(:,4)-x_sol(:,2))+... k2.*((x_sol(:,3)-x_sol(:,1)))); % aceleraciÛn del chasis st= x_sol(:,3)-x_sol(:,1); rg= y0*(1-cos(w_ex*t_sol))-x_sol(:,1); %%% TRANSMISIBILIDAD DE LA BASE SOBRE EL VEHÕCULO %%% % FunciÛn de Transferencia (mediante transf. Laplace): % Ft1 = x_1/y, Ft2 = x_2/y representan cÛmo varÌan las funciones % de salida x_1 y x_2 (desplazamientos del neum·tico y % del chasis) respecto del movimiento de la base (y). Esto se puede % representar mediante el diagrama de Bode. % a = max(x_1(1,1000:2001)); % b = min(x_1(1,1000:2001)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % FT1 = 20*log10(abs(p/y0)); % a = max(x_3(1,1000:2001)); % b = min(x_3(1,1000:2001)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % FT2 = 20*log10(abs(p./y0)); % FunciÛn de transferencia FT_2 = X_2/Y a = max(xpp2(1000:2001,1)); b = min(xpp2(1000:2001,1)); p(w_ex) = (a-b)/2; RC = 20*log10(abs(p./y0)); % Ride Confort % a = max(st(1000:2001,1)); % b = min(st(1000:2001,1)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % ST = 20*log10(abs(p./y0)); % Suspension Travel % a = max(rg(1000:2001,1)); % b = min(rg(1000:2001,1)); % p(w_ex) = (a-b)/2; 81 No linealidades en el modelo del cuarto de coche % RG = 20*log10(abs(p/y0)); % Road Grip end % figure(12) % semilogx(ww,FT1) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_1: X_1/Y') % figure (22) % semilogx(ww,FT2) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_2: X_2/Y') figure(32) semilogx(ww,RC) xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); title({'AceleraciÛn del chasis: X_2''''/Y'}) % figure(42) % semilogx(ww,ST) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'Desplazamiento de la suspensiÛn: (X_2-X_1)/Y'}) % figure(52) % semilogx(ww,RG) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'DeformaciÛn del neum·tico: (Y-X_1)/Y'}) function Xp=mifun(t,X) global m1 m2 k1 k2 c1 c2 w_ex y0 y = y0*(1-cos(w_ex*t)); yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t); Xp=zeros(4,1); %inicializamos Xp(1)=X(2); % valor de x'_1 Xp(2)=(-1/m1).*(k1.*(X(1)-y)+c1.*(X(2)-yp)+k2.*(X(1)-X(3))+... c2.*(X(2)-X(4))); % valor de x''_1 Xp(3)=X(4); % valor de x'_2 Xp(4)=(-1/m2).*(k2.*(X(3)-X(1))+c2.*(X(4)-X(2))); % valor de x''_2 end 82 6. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Tipo I. Dominio del tiempo global m1 m2 k1 k2 w_ex y0 m1 = 50; % masa no suspendida (neum·tico) en kg m2 = 250; % masa suspendida (chasis) en kg k1 = 220000; % coef. rigidez neum·tico en N/m k2 = 26000; % coef. rigidez chasis en N/m y0 = 0.1; % amplitud de la onda en m v = 27.78; % velocidad de desplazamiento en m/s (100km/h) l0 = 30; % longitud de onda en m w_ex = 2*pi*v/l0; % frecuencia de excitaciÛn en la base (rad/s) t_ex = 0:0.01:30; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); % figure(1) % plot(t_ex,y); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % % axis([0 5 0 0.12]); % title('Movimiento de la base del vehÌculo: y(t)','FontSize',12,... % 'FontWeight','bold'); % figure(2) % plot(t_ex,yp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad de desplazamiento (m/s)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -1.5 1.5]); % title('Velocidad del movimiento de la base del vehÌculo: y''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % figure(3) % plot(t_ex,ypp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn de desplazamiento (m/s^2)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -40 40]); % title('AceleraciÛn del movimiento de la base del vehÌculo: y''''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % m_1*x_1''+c_2*(x'_1-x'_2)+k_2*(x_1-x_2)+...% % +c_1*(x'_1-y')+k_1*(x_1-y)=0 % 83 No linealidades en el modelo del cuarto de coche % % % m_2*x_2''+c_2*(x'_2-x'_1)+k_2*(x_2-x_1)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver un sistema de E.D.O de segundo orden. x0 = [0, 0, 0, 0]'; % condiciones iniciales x_1'(0)=x_1(0)=x_2'(0)=x_2(0)=0 options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8); [t_sol,x_sol] = ode45(@mifun,t_ex,x0,options); % Condiciones iniciales en un vector fila % figure(4122) % % subplot(3,2,1); % plot(t_sol,x_sol(:,1),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('x_1(t)') % title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL NEUM¡TICO','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,3); % plot(t_sol,x_sol(:,2),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dx_1/dt') c1 = ((x_sol(:,2)'-yp)<0).*0 + ((x_sol(:,2)'-yp)>0).*0; c2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0).*500 + ... ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>0).*2000; xpp_1=(1/m1)*(c2.*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+k2*((x_sol(:,3)'- x_sol(:,1)'))+... c1.*(yp-x_sol(:,2)')+k1*(y-x_sol(:,1)')); % aceleraciÛn del neum·tico % subplot(3,2,5); % plot(t_sol,xpp_1,'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2x_1/dt^2') % % subplot(3,2,2); % plot(t_sol,x_sol(:,3),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('x_2(t)') % title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL CHASIS','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,4); % plot(t_sol,x_sol(:,4),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dx_2/dt') % % subplot(3,2,6); xpp2=(1/m2)*(c2.*(x_sol(:,2)'-x_sol(:,4)')+... 90 % figure(112) % semilogx(ww,FT1) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_1: X_1/Y') % figure(212) % semilogx(ww,FT2) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_2: X_2/Y') % figure(312) % semilogx(ww,RC) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'AceleraciÛn del chasis: X''''_2/Y'}) % figure(412) % semilogx(ww,ST) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'Desplazamiento de la suspensiÛn: (X_2-X_1)/Y'}) figure(512) semilogx(ww,RG) xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); title({'DeformaciÛn del neum·tico: (Y-X_1)/Y'}) function Xp=mifun(t,X) global m1 m2 k1 k2 w_ex y0 y = y0*(1-cos(w_ex*t)); yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t); c1 = ((X(2)-yp)<0).*0 + ((X(2)-yp)>0).*0; c2 = ((X(4)-X(2))<0).*500 + ((X(4)-X(2))>0).*2000; % coef. amortiguamiento por partes 1 Xp=zeros(4,1); %inicializamos Xp(1)=X(2); % valor de x'_1 Xp(2)=(1/m1)*(k1*(y-X(1))+c1.*(yp-X(2))+... k2*(X(3)-X(1))+c2.*(X(4)-X(2))); % valor de x''_1 Xp(3)=X(4); % valor de x'_2 Xp(4)=(1/m2)*(k2*(X(1)-X(3))+c2.*(X(2)-X(4))); % valor de x''_2 end 91 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 8. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Tipo II. Dominio del tiempo global m1 m2 k1 k2 w_ex y0 m1 = 50; % masa no suspendida (neum·tico) en kg m2 = 250; % masa suspendida (chasis) en kg k1 = 220000; % coef. rigidez neum·tico en N/m k2 = 26000; % coef. rigidez chasis en N/m y0 = 0.1; % amplitud de la onda en m v = 27.78; % velocidad de desplazamiento en m/s (100km/h) l0 = 30; % longitud de onda en m w_ex = 2*pi*v/l0; % frecuencia de excitaciÛn en la base t_ex = 0:0.01:20; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); % figure(1) % plot(t_ex,y); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 0 0.12]); % title('Movimiento de la base del vehÌculo: y(t)','FontSize',12,... % 'FontWeight','bold'); % figure(2) % plot(t_ex,yp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad de desplazamiento (m/s)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -1.5 1.5]); % title('Velocidad del movimiento de la base del vehÌculo: y''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % figure(3) % plot(t_ex,ypp); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn de desplazamiento (m/s^2)','FontWeight','bold'); % axis([0 5 -40 40]); % title('AceleraciÛn del movimiento de la base del vehÌculo: y''''(t)',... % 'FontSize',12,'FontWeight','bold'); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % m_1*x_1''+c_2*(x'_1-x'_2)+k_2*(x_1-x_2)+...% % +c_1*(x'_1-y)+k_1*(x_1-y)=0 % % % 92 % m_2*x_2''+c_2*(x'_2-x'_1)+k_2*(x_2-x_1)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver un sistema de E.D.O de segundo orden. x0 = [0, 0, 0, 0]'; % condiciones iniciales x_1'(0)=x_1(0)=x_2'(0)=x_2(0)=0 options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8); [t_sol,x_sol] = ode45(@mifun,t_ex,x0,options); % figure(422) % % subplot(3,2,1); % plot(t_sol,x_sol(:,1),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('x_1(t)') % title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL NEUM¡TICO','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,3); % plot(t_sol,x_sol(:,2),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dx_1/dt') % F1 = ((x_sol(:,2)'-yp)<-0.2).*(10*(x_sol(:,2)'-yp)-8) + ... % (((x_sol(:,2)'-yp)>=-0.2)&(x_sol(:,2)'-yp)<0.2).*(50*(x_sol(:,2)'- yp))+... % ((x_sol(:,2)'-yp)>=0.2).*(10*(x_sol(:,2)'-yp)+8); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.2).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-1464) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.2)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.2).*... % (8000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.2).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+1464); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.2).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-664) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.2)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.2).*... % (4000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.2).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+664); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.025).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-33) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.025)&(x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')<0.025).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')>=0.025).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+33); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.1).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-132) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.1)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.1).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.1).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+132); 93 No linealidades en el modelo del cuarto de coche % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.2).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-264) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.2)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.2).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.2).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+264); % F2 = 8000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'); % caso lineal F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.2).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-64) + ... (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.2)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.2).*... (1000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.2).*... (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+64); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.1).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+18) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.1)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.1).*... % (500*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.1).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-18); xpp_1=(1/m1)*(F2+k2*((x_sol(:,3)'-x_sol(:,1)'))-0+k1*(y-x_sol(:,1)')); % aceleraciÛn del chasis % subplot(3,2,5); % plot(t_sol,xpp_1,'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2x_1/dt^2') % % subplot(3,2,2); % plot(t_sol,x_sol(:,3),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('x_2(t)') % title('MOVIMIENTO ABSOLUTO DEL CHASIS','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,4); % plot(t_sol,x_sol(:,4),'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dx_2/dt') % % subplot(3,2,6); xpp2=(1/m2)*(-F2+k2*((x_sol(:,1)'-x_sol(:,3)'))); % aceleraciÛn del chasis % plot(t_sol,xpp2,'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2x_2/dt^2') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento relativo: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % z_1''=(1/m_1)*(c_2*z'_2+k_2*z_2-c_1*z'_1-k_1*z_1)-y'' % % % % z_2''=(1/m_2)*(-c_2*z'_2-k_2*z_2)-x''_1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 94 % tambiÈn: z''_1=x''_1-y'' % z''_2=x''_2-x''_1 z_1 = x_sol(:,1)'-y; z_2 = x_sol(:,3)-x_sol(:,1); zp_1 = x_sol(:,2)'-yp; zp_2 = x_sol(:,4)-x_sol(:,2); zpp_1 = xpp_1-ypp; zpp_2 = xpp2-xpp_1; % figure(522) % % subplot(3,2,1); % plot(t_sol,z_1,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('z_1(t)') % title('MOVIMIENTO RELATIVO DEL NEUM¡TICO','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,3); % plot(t_sol,zp_1,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dz_1/dt') % % subplot(3,2,5); % plot(t_sol,zpp_1,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2z_1/dt^2') % % subplot(3,2,2); % plot(t_sol,z_2,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Desplazamiento (m)','FontWeight','bold'); % legend('z_2(t)') % title('MOVIMIENTO RELATIVO DEL CHASIS','FontSize',12,'FontWeight','bold'); % % subplot(3,2,4); % plot(t_sol,zp_2,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dz_2/dt') % % subplot(3,2,6); % plot(t_sol,zpp_2,'r'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2z_2/dt^2') % Comparativa en el dominio del tiempo % figure(622) % plot(t_sol,x_sol(:,4)); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dx_2/dt') figure(722) plot(t_sol,xpp2); 95 No linealidades en el modelo del cuarto de coche xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); legend('d^2x_2/dt^2') % figure(822) % plot(t_sol,zp_2); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Velocidad (m/s)','FontWeight','bold'); % legend('dz_2/dt') % figure(922) % plot(t_sol,zpp_2); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2z_2/dt^2') function Xp=mifun(t,X) global m1 m2 k1 k2 w_ex y0 y = y0*(1-cos(w_ex*t)); yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t); % F1 = ((X(2)-yp)<-0.2).*(10*(X(2)-yp)-8) + (((X(2)-yp)>=-0.2)&(X(2)- yp)<0.2).*(50*(X(2)-yp))+... % ((X(2)-yp)>=0.2).*(10*(X(2)-yp)+8); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.2).*(680*(X(4)-X(2))-1464) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.2)&(X(4)-X(2))<0.2).*(8000*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.2).*(680*(X(4)-X(2))+1464); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.2).*(680*(X(4)-X(2))-664) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.2)&(X(4)-X(2))<0.2).*(4000*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.2).*(680*(X(4)-X(2))+664); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.025).*(680*(X(4)-X(2))-33) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.025)&(X(4)-X(2))<0.025).*(2000*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.025).*(680*(X(4)-X(2))+33); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.1).*(680*(X(4)-X(2))-132) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.1)&(X(4)-X(2))<0.1).*(2000*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.1).*(680*(X(4)-X(2))+132); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.2).*(680*(X(4)-X(2))-264) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.2)&(X(4)-X(2))<0.2).*(2000*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.2).*(680*(X(4)-X(2))+264); % F2 = 8000*(X(4)-X(2)); % caso lineal F2 = ((X(4)-X(2))<-0.2).*(680*(X(4)-X(2))-64) + ... (((X(4)-X(2))>=-0.2)&(X(4)-X(2))<0.2).*(1000*(X(4)-X(2)))+... ((X(4)-X(2))>=0.2).*(680*(X(4)-X(2))+64); % F2 = ((X(4)-X(2))<-0.1).*(680*(X(4)-X(2))+18) + ... % (((X(4)-X(2))>=-0.1)&(X(4)-X(2))<0.1).*(500*(X(4)-X(2)))+... % ((X(4)-X(2))>=0.1).*(680*(X(4)-X(2))-18); Xp=zeros(4,1); %inicializamos Xp(1)=X(2); % valor de x'_1 96 % Xp(2)=(1/m1)*(k1*(y-X(1))+c1*(yp-X(2))+k2*(X(3)-X(1))+c2*(X(4)-X(2))); % valor de x''_1 Xp(2)=(1/m1)*(k1*(y-X(1))-0+k2*(X(3)-X(1))+F2); % valor de x''_1 Xp(3)=X(4); % valor de x'_2 Xp(4)=(1/m2)*(k2*(X(1)-X(3))-F2); % valor de x''_2 end 97 No linealidades en el modelo del cuarto de coche 9. Modelo de dos grados de libertad no lineal. Tipo II. Dominio de la frecuencia global m1 m2 k1 k2 w_ex y0 m1 = 50; % masa no suspendida (neum·tico) en kg m2 = 250; % masa suspendida (chasis) en kg k1 = 220000; % coef. rigidez neum·tico en N/m k2 = 26000; % coef. rigidez chasis en N/m y0 = 0.1; % amplitud perfil del terreno ww = 1:150; for w_ex = 1:150 % Frecuencia de excitaciÛn en la base t_ex = 0:0.01:20; % vector de tiempos %%% PERFIL DE EXCITACI”N %%% % Perfil de excitaciÛn y(t) o perfil de la carretera % y = y0*(1-cos(w_ex*t_ex)); % Primera derivada de la excitaciÛn y'(t) o velocidad de desplazamiento de la base en m/s % yp =y0*w_ex*sin(w_ex*t_ex); % Segunda derivada de la excitaciÛn y''(t) o aceleraciÛn de desplazamiento de la base en m/s^2 % ypp = y0*w_ex.^2*cos(w_ex*t_ex); %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento absoluto: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % m_1*x_1''+c_2*(x'_1-x'_2)+k_2*(x_1-x_2)+...% % +c_1*(x'_1-y)+k_1*(x_1-y)=0 % % % % m_2*x_2''+c_2*(x'_2-x'_1)+k_2*(x_2-x_1)=0 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Inicialmente, el vehÌculo se encuentra x(0)=x'(0)=0. % Hay que resolver un sistema de E.D.O de segundo orden. x0 = [0, 0, 0, 0]'; % condiciones iniciales x_1'(0)=x_1(0)=x_2'(0)=x_2(0)=0 options=odeset('RelTol',1e-6,'AbsTol',1e-8); [t_sol,x_sol] = ode45(@mifun,t_ex,x0,options); % F1 = ((x_sol(:,2)'-yp)<-0.2).*(10*(x_sol(:,2)'-yp)-8) + ... % (((x_sol(:,2)'-yp)>=-0.2)&(x_sol(:,2)'-yp)<0.2).*(50*(x_sol(:,2)'- yp))+... % ((x_sol(:,2)'-yp)>=0.2).*(10*(x_sol(:,2)'-yp)+8); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.25).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-830) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.25)&(x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')<0.25).*... 98 % (4000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.25).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+830); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.25).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-330) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.25)&(x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')<0.25).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.25).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+330); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.25).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-64) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.25)&(x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')<0.25).*... % (1000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.25).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+64); %%% PUNTOS INFLEXION % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.5).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-660) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.5)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.5).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.5).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+660); % F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.25).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-330) + ... % (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.25)&(x_sol(:,4)'- x_sol(:,2)')<0.25).*... % (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.25).*... % (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+330); F2 = ((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<-0.1).*(680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')-132) + ... (((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=-0.1)&(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')<0.1).*... (2000*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)'))+((x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')>=0.1).*... (680*(x_sol(:,4)'-x_sol(:,2)')+132); x_1= x_sol(:,1)'; x_3= x_sol(:,3)'; st= x_sol(:,3)-x_sol(:,1); rg= y0*(1-cos(w_ex*t_sol)) - x_sol(:,1); xpp2=(1/m2)*(-F2+k2*((x_sol(:,1)'-x_sol(:,3)'))); % aceleraciÛn del chasis % plot(t_sol,xpp2,'b'); % xlabel('Tiempo (s)','FontWeight','bold'); % ylabel('AceleraciÛn (m/s^2)','FontWeight','bold'); % legend('d^2x_2/dt^2') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Movimiento relativo: Sistema de ecuaciones % % del movimiento: % % % % z_1''=(1/m_1)*(c_2*z'_2+k_2*z_2-c_1*z'_1-k_1*z_1)-y'' % 99 No linealidades en el modelo del cuarto de coche % % % z_2''=(1/m_2)*(-c_2*z'_2-k_2*z_2)-x''_1 % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % tambiÈn: z''_1=x''_1-y'' % z''_2=x''_2-x''_1 % z_1 = x_sol(:,1)'-y; % z_2 = x_sol(:,3)-x_sol(:,1); % zp_1 = x_sol(:,2)'-yp; % zp_2 = x_sol(:,4)-x_sol(:,2); % zpp_1 = xpp_1-ypp; % zpp_2 = xpp2-xpp_1; % a = max(x_1(1,1000:2001)); % b = min(x_1(1,1000:2001)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % FT1 = 20*log10(abs(p/y0)); a = max(x_3(1,1000:2001)); b = min(x_3(1,1000:2001)); p(w_ex) = (a-b)/2; FT2 = 20*log10(abs(p./y0)); % FunciÛn de transferencia FT_2 = X_2/Y % a = max(xpp2(1,1000:2001)); % b = min(xpp2(1,1000:2001)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % RC = 20*log10(abs(p./y0)); % Ride Confort % a = max(st(1000:2001,1)); % b = min(st(1000:2001,1)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % ST = 20*log10(abs(p./y0)); % Suspension Travel % a = max(rg(1000:2001,1)); % b = min(rg(1000:2001,1)); % p(w_ex) = (a-b)/2; % RG = 20*log10(abs(p/y0)); % Road Grip end % figure(122) % semilogx(ww,FT1) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); % title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_1: X_1/Y') figure(222) semilogx(ww,FT2) xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); ylabel('Ganancia (dB)','FontWeight','bold'); title('FUNCI”N DE TRANSFERENCIA FT_2: X_2/Y') % figure(322) % semilogx(ww,RC) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold'); % ylabel('Ganancia (Db)','FontWeight','bold'); % title({'AceleraciÛn del chasis: X''''_2/Y'}) % figure(422) % semilogx(ww,ST) % xlabel('Frecuencia (rad/s)','FontWeight','bold');