Realizaciones positivas de determinados sistemas singulares

XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matem´ atica Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 2007 (pp. 1–8) Realizaciones positivas de determinados sistemas singulares R. Cant´ o1, B. Ricarte1, A.M. Urbano1 1Institut de Matem`atica Multidisciplinar, Universidad Polit´ecnica de Valencia, E-46022 Valencia. E-mails: [email protected], [email protected], [email protected]. Palabras clave: Sistemas singulares de control, realizaciones positivas, propiedad normal. Resumen En este trabajo se estudian los sistemas singulares lineales de control a partir de las propiedades obtenidas para los sistemas est´andares. Se obtienen realizaciones positivas de ciertas matrices de trasferencia con polos reales, analizando las condiciones para que la dimensi´on de la realizaci´on positiva sea minimal. 1. Introducci´on Los sistemas generalizados lineales de control [9] se pueden representar mediante un modelo espacio-estado, que relaciona las tres variables del sistema: entradas, estados y salidas. As´ı, en tiempo discreto, un sistema invariante con nestados, sentradas y rsalidas viene dado por: (Ex(k+ 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) + Du(k)(1) donde x(k)∈Rnes el vector de estado, u(k)∈Rsel vector de entrada o control, y(k)∈Rr el vector de salida y E,A,B,CyDson matrices reales de tama˜nos n×n,n×n,n×s, r×nyr×s, respectivamente. Si E=I, el sistema se llama est´andar, si Ees no invertible el sistema se llama singular. Denotaremos el sistema por (E, A, B, C, D). En el caso en que Dsea la matriz nula, D= 0, el sistema se denota por (E, A, B, C). Otra manera de representar estos sistemas es a partir de la relaci´on existente entre las entradas y las salidas. El inconveniente de este modelo es que s´olo describe la din´amica del sistema y no su estructura interna, que viene dada por un modelo espacio-estado. No obstante, es posible averiguar una representaci´on espacio-estado de un sistema a partir de su modelo entrada-salida. A la determinaci´on de una descripci´on interna del sistema a partir de un modelo entrada-salida se le denomina realizaci´on. 1 R. Cant´o, B. Ricarte, A.M. Urbano En el modelo entrada-salida, la relaci´on existente entre las entradas y las salidas viene dada por una matriz racional, llamada matriz de transferencia, que relaciona la transformada Zde las entradas y las salidas del sistema. Dada una matriz de transferencia G(z)∈Rr×s(z), se llama realizaci´on de G(z) al conjunto de matrices (E, A, B, C, D) que satisface G(z) = C(zE −A)−1B+D Se llama dimensi´on de la realizaci´on al tama˜no de la matriz A. La realizaci´on ser´a minimal si es la de m´ınima dimensi´on. Dada una matriz de transferencia G(z), encontrar una realizaci´on es trivial. El problema viene cuando imponemos ciertas restricciones como que la realizaci´on represente a un sistema positivo ya que, en este caso, la realizaci´on minimal puede ser de dimensi´on mayor que el orden de la matriz de transferencia [1]. Bas´andonos en resultados previos obtenidos para sistemas est´andares [2, 3, 4, 7, 8, 10], en este trabajo consideramos sistemas singulares y pretendemos obtener realizaciones positivas de ciertas matrices de trasferencia con polos reales. Adem´as, en determinados casos, establecemos condiciones para que la dimensi´on de la realizaci´on positiva (E, A, B, C, D) sea minimal. 2. Sistemas equivalentes Dadas dos matrices E, A ∈Rn×n, el par (E, A) se dice que es regular si existe α∈Ctal que det(αE +A)6= 0. La soluci´on de un sistema generalizado de control (1), siempre que se cumpla la condici´on de regularidad, puede obtenerse a partir de la inversa de Drazin de las matrices de estados [6]. La siguiente proposici´on caracteriza cu´ando un par de matrices (E, A) es regular [6]. Proposici´on 1 Dadas dos matrices E, A ∈Rn×n, el par (E, A)es regular si y s´olo si existen dos matrices no singulares PyQtales que QEP = diag(In1, N) QAP = diag(A1, In2) donde n1+n2=n,A1∈Rn1×n1yN∈Rn2×n2es nilpotente. Dos sistemas (E, A, B, C) y ( ˜ E, ˜ A, ˜ B, ˜ C) son equivalentes si existen dos matrices no singulares PyQtales que al utilizar la relaci´on x=P˜xse obtiene que QEP =˜ E QAP =˜ A QB =˜ B CP =˜ C. Dado un sistema (E, A, B, C), siempre que se cumpla que el par (E, A) sea regular, existen dos matrices no singulares PyQque lo transforman en un sistema equivalente (˜ E, ˜ A, ˜ B, ˜ C) mediante ˜ E=QEP = diag(In1, N) ˜ A=QAP = diag(A1, In2) ˜ B=QB =·B1 B2¸ ˜ C=CP = [C1C2] 2 Realizaciones positivas de determinados sistemas singulares donde n1+n2=n,A1∈Rn1×n1yN∈Rn2×n2es nilpotente. El sistema ( ˜ E, ˜ A, ˜ B, ˜ C) se llama sistema progresivo-regresivo. El sistema progresivo-regresivo es equivalente a los siguientes dos subsistemas, Subsistema progresivo (x1(k+ 1) = A1x1(k) + B1u(k) y1(k) = C1x1(k)(2) Subsistema regresivo (Nx2(k+ 1) = x2(k) + B2u(k) y2(k) = C2x2(k)(3) con la transformaci´on de coordenadas ·x1(k) x2(k)¸=P−1x(k) y la salida y(k) = y1(k) + y2(k). La soluci´on del sistema progresivo-regresivo se obtiene mediante las ecuaciones: x1(k) = Ak 1x1(0) + k−i−1 P i=0 B1u(i) x2(k) = − q−1 P i=0 NiB2u(k+i) donde qes el ´ındice de nilpotencia de la matriz N, es decir, Nq−16= 0 y Nq= 0. Obs´ervese que el estado correspondiente al subsistema progresivo x1(k) est´a ´unicamente determinado por un estado inicial x1(0) y una sucesi´on de controles u(j), mientras que el estado correspondiente al subsistema regresivo x2(k) se encuentra determinado por la sucesi´on de controles u(j). 3. Sistemas singulares d´ebilmente positivos La matriz de transferencia de un sistema (E, A, B, C) es la matriz racional no propia G(z) = C(zE −A)−1B∈Rr×s(z) que se puede descomponer como G(z) = Gp(z) + Gr(z) (4) donde Gp(z) es la matriz de transferencia estrictamente propia del subsistema progresivo (2), es decir, Gp(z) = C1(zIn1−A1)−1B1 3 R. Cant´o, B. Ricarte, A.M. Urbano yGr(z) es la matriz de transferencia polinomial del subsistema regresivo (3) dada por Gr(z) = C2(zN −In2)−1B2=−C2(In2+zN +· · · +zq−1Nq−1)B2= =−C2B2−zC2NB2− · · · − zq−1C2Nq−1B2 siendo qel ´ındice de nilpotencia de N. El sistema singular dado por las matrices (E, A, B, C) se llama d´ebilmente positivo [9] si E∈Rn×n +,A∈Rn×n +,B∈Rn×s +,C∈Rr×n +. Consideremos la descomposici´on (4) G(z) = Gp(z) + Gr(z) = C1(zIn1−A1)−1B1+C2(zN −In2)−1B2(5) Si todas las matrices A1∈Rn1×n1 +,B1∈Rn1×s +,B2∈Rn2×s +,N∈Rn2×n2 +,C1∈Rr×n1 + yC2∈Rr×n2 +son no negativas, se dice que forman una realizaci´on d´ebilmente positiva en la forma can´onica de Weierstrass (realizaci´on positiva WCF) de la matriz G(z) [9]. A continuaci´on vamos a estudiar el problema de obtener una realizaci´on positiva WCF. 3.1. Existencia de realizaciones positivas WCF Cualquier matriz racional G(z)∈Rr×s(z) puede descomponerse en suma de una matriz estrictamente propia M(z) d(z)y de una matriz polinomial W(z)∈R(z)r×s[z] G(z) = M(z) d(z)+W(z) (6) donde M(z)∈R(z)r×s[z], d(z) = zn1+dn1−1zn1−1+· · · +d1z+d0es el m´ınimo com´un denominador de todos los elementos de la matriz G(z) y W(z) = Wt−1zt−1+· · ·+W1z+W0 siendo Wi∈Rr×s,i= 0,1, . . . , t −1. Comparando las ecuaciones (5) y (6) se sigue que el problema de obtener una realizaci´on positiva WCF se reduce al estudio de los siguientes dos subproblemas: 1. Obtener una realizaci´on positiva (A1, B1, C1) de la matriz de transferencia estrictamente propia del subsistema progresivo (2). 2. Obtener una realizaci´on positiva (N, B2, C2) de la matriz de transferencia polinomial del subsistema regresivo (3). El primer subproblema ha sido resuelto en [5] para ciertas matrices de transferencia con polos reales. Los procedimientos descritos en dicho art´ıculo permiten obtener una realizaci´on positiva (A1, B1, C1). Ahora intentaremos resolver el segundo subproblema. En [6] se obtiene una realizaci´on minimal (N, B2, C2) de W(z) = Wt−1zt−1+· · · +W1z+W0utilizando el algoritmo de Silverman-Ho. 4 Realizaciones positivas de determinados sistemas singulares Algoritmo 1 Paso 1. Definir M0=      −W0−W1· · · −Wt−2−Wt−1 −W1−W2· · · −Wt−1O · · · · · · −Wt−2−Wt−1· · · O O −Wt−1O· · · O O       ∈Rtr×ts M1=      −W1−W2· · · −Wt−1O −W2−W3· · · O O · · · · · · −Wt−1O· · · O O O O · · · O O       ∈Rtr×ts Paso 2. Sea m= rank M0. Obtener la descomposici´on de rango completo M0=L1L2 donde L1∈Rtr×myL2∈Rm×ts son matrices con rango completo columna y fila, respectivamente. Paso 3. Construir B2como la matriz obtenida con las primeras scolumnas de L2. Construir C2como la matriz obtenida con las primeras rfilas de L1. Calcular N= (LT 1L1)−1LT 1M1LT 2(L2LT 2)−1. Las matrices (N, B2, C2)forman una realizaci´on minimal de W(z). Por otro lado, en [9] se establecen condiciones suficientes para obtener una realizaci´on (N, B2, C2) que sea positiva. Proposici´on 2 Dada W(z) = Wt−1zt−1+· · ·+W1z+W0con las matrices −Wi∈Rr×s +, para todo i= 0,1, . . . , t −1, entonces existe una realizaci´on positiva (N, B2, C2)tal que W(z) = C2(zN −In2)−1B2. Ejemplo 1 Consideremos W(z) = ·−z−1−1 0−z¸=·−1 0 0−1¸z+·−1−1 0 0 ¸=W1z+W0 siendo W0≤0yW1≤0(Proposici´on 2). Vamos a aplicar el Algoritmo 1 para obtener una realizaci´on minimal positiva (N, B2, C2)de W(z). Paso 1. Definimos M0=    1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0     yM1=    1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0     . Paso 2. Sea m= rank M0= 4. Obtenemos la descomposici´on de rango completo M0= L1L2considerando, por ejemplo, L1=M0yL2=I4. 5 R. Cant´o, B. Ricarte, A.M. Urbano Paso 3. Sea B2la matriz obtenida con las primeras s= 2 columnas de L2y sea C2la matriz obtenida con las primeras r= 2 filas de L1, es decir, B2=    1 0 0 1 0 0 0 0     yC2=·1 1 1 0 0 0 0 1 ¸. Adem´as, obtenemos que N= (LT 1L1)−1LT 1M1LT 2(L2LT 2)−1= (MT 0M0)−1MT 0M1=M−1 0M1=    0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0     . Las matrices (N, B2, C2)son una realizaci´on minimal positiva de W(z). 3.2. Computaci´on de realizaciones positivas WCF Si las condiciones anteriores se verifican, entonces una realizaci´on positiva WCF de la matriz G(z)∈R(z)r×s(z) puede ser obtenida utilizando el siguiente algoritmo: Algoritmo 2 Paso 1. Dada la matriz G(z)descomponerla en suma de una matriz estrictamente propia y de una matriz polinomial como en la ecuaci´on (6). Paso 2. Obtener la realizaci´on positiva (A1, B1, C1)de la matriz estrictamente propia siguiendo los procesos desarrollados en [5]. Paso 3. Obtener la realizaci´on minimal positiva (N, B2, C2)siguiendo el Algoritmo 1. Paso 4. Componer la realizaci´on (E, A, B, C)d´ebilmente positiva en la forma can´onica de Weierstrass a partir de las realizaciones obtenidas en los pasos 2 y 3. Si en el Paso 2 conseguimos una realizaci´on minimal, entonces la realizaci´on obtenida en el Paso 4 es minimal. Ejemplo 2 Obtener una realizaci´on positiva WCF de la matriz de transferencia G(z) G(z) = ·1 2 2 4 ¸ z−1+·1 2 −2−4¸ z−0.7+·−z−1−1 0−z¸ Paso 1. G(z) = Gp(z) + Gr(z)siendo Gp(z) = M(z) d(z)=1 (z−1)(z−0.7) ·2z−1.7 4z−3.4 0.6 1.2¸ y Gr(z) = ·−z−1−1 0−z¸=·−1 0 0−1¸z+·−1−1 0 0 ¸=W1z+W0 6 Realizaciones positivas de determinados sistemas singulares con W0≤0yW1≤0(Proposici´on 2). Paso 2. Siguiendo los procesos desarrollados en [5] se obtiene la realizaci´on positiva (A1, B1, C1)de Gp(z)que, en este caso, es minimal A1=·0.85 0.15 0.15 0.85 ¸B1=·0 0 1 2 ¸C1=·0 2 4 0 ¸. Paso 3. Obtenemos la realizaci´on minimal positiva (N, B2, C2)mediante el Algoritmo 1 (ver el Ejemplo 1) N=    0000 0000 1000 0100     B2=    1 0 0 1 0 0 0 0     C2=·1110 0001¸. Paso 4. Componemos la realizaci´on minimal d´ebilmente positiva (E, A, B, C)en la forma can´onica de Weierstrass a partir de las realizaciones obtenidas en los pasos 2 y 3 E=         100000 010000 000000 000000 001000 000100         A=         0.85 0.15 0 0 0 0 0.15 0.85 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1         B=         0 0 1 2 1 0 0 1 0 0 0 0         C=·021110 400001¸. Agradecimientos Trabajo financiado por los proyectos DGI AGL2004-03263/AGR y GV06/118, y por el Programa de Apoyo a la Investigaci´on y Desarrollo (PAID-04-07) de la Universidad Polit´ecnica de Valencia. Referencias [1] L. Benvenuti; L. Farina, A Tutorial on the Positive Realization Problem, IEEE Transactions on Automatic Control, vol. 49, no. 5 (2004), 651-664. [2] L. Benvenuti; L. Farina; B.D.O. Anderson; F. De Bruyne, Minimal Positive Realizations of Transfer Functions with Positive Real Poles, IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 47, no. 9 (2000), 1370-1377. [3] R. Cant´o; B. Ricarte; V. Rumchev, A Basic Canonical Form Of Discrete-Time Compartmental Systems, International Journal of Contemporary Mathematical Sciences, vol. 2, no. 6 (2007), 261273. [4] R. Cant´o; B. Ricarte; A. M. Urbano, On Positive Realizations of Irreducible Transfer Matrices, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer-Verlag, vol. 341 (2006), 41-48. [5] R. Cant´o; B. Ricarte; A. M. Urbano, Positive Realizations of Transfer Matrices with real poles, IEEE Trans. Circuits Syst. II, Expr. Briefs, (2007), accepted. 7 R. Cant´o, B. Ricarte, A.M. Urbano [6] L. Dai, Singular Control Sistems, Lecture Notes in Control and Information Sciences, Springer-Verlag, vol. 118 (1989). [7] C. 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