Integracion numérica. Una aplicación en el ámbito económico

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS INTEGRACION NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO Trabajo Fin de Grado presentado por Marta Díaz Muñoz, siendo el tutor del mismo el profesor Francisco Begines Begines. Vº. Bº. del Tutor: Alumno/a: D. Francisco Begines Begines D. Marta Díaz Muñoz Sevilla. Junio de 2018 GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES TRABAJO FIN DE GRADO CURSO ACADÉMICO [2017-2018] TÍTULO: INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO AUTOR: MARTA DÍAZ MUÑOZ TUTOR: FRANCISCO BEGINES BEGINES DEPARTAMENTO: DEPARTAMENTO DE ECONOMÍA APLICADA I ÁREA DE CONOCIMIENTO: METODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA RESUMEN: En este trabajo, se estudia en que consiste la integración numérica y los diferentes métodos teóricos que nos podemos encontrar, para posteriormente realizar una aplicación práctica en algunos de los diferentes ámbitos donde la podemos aplicar. En el caso de este proyecto, se aplica a un ejemplo matemático tratando de buscar una aproximación al número π y a un caso económico a través de la curva del excedente del consumidor. Esta aplicación práctica se realiza a través de dos de los métodos más utilizados en integración numérica, el Método de los Trapecios Compuesto y el Método de Simpson Compuesto, para posteriormente comparar ambos métodos. PALABRAS CLAVE: Integración; Trapecios; Simpson; Error; Aproximación TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -I- ÍNDICE INTRODUCCIÓN ..................................................................................................... 1 MÉTODOS TEÓRICOS ........................................................................................... 3 Métodos basados en funciones de interpolación .................................................. 3 Métodos de Newton-Côtes ................................................................................................. 3 1. Regla del Rectángulo ........................................................................................................ 3 2. Regla del punto medio ...................................................................................................... 4 3. Regla de los trapecios ....................................................................................................... 6 4. Regla de Simpson 1/3 ........................................................................................................ 8 5. Regla de Simpson 3/8 ...................................................................................................... 10 Método de cuadratura de Gauss ...................................................................................... 10 Métodos basados en funciones de extrapolación ............................................... 12 Método de integración de Romberg ................................................................................. 12 APLICACIÓN PRÁCTICA ...................................................................................... 15 APLICACIÓN MATEMÁTICA ............................................................................. 15 Método de los Trapecios Compuesto ............................................................................... 15 Método de Simpson Compuesto ...................................................................................... 17 Comparación entre el Método de los Trapecios y el Método de Simpson en la aplicación matemática ........................................................................................................................ 18 APLICACIÓN ECONÓMICA ............................................................................... 19 Método de los Trapecios Compuesto ............................................................................... 20 Método de Simpson Compuesto ...................................................................................... 22 Comparación entre el método de los trapecios y el método de Simpson en la aplicación económica .......................................................................................................................... 23 CONCLUSIÓN ....................................................................................................... 25 Bibliografía ........................................................................................................... 27 TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -1- CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN La integración numérica, se usa fundamentalmente por la necesidad de aproximar numéricamente una integral definida, debido a la dificultad o imposibilidad de su cálculo, es decir, aquellas integrales que no se pueden calcular por el Segundo Teorema Fundamental del cálculo integral, o bien porque de la función a integrar sólo conozcamos sus valores en determinados puntos del intervalo a integrar. Principalmente vamos a ver dos tipos de integración numérica, las fórmulas de Newton Cotes las cuales se dividen a su vez en varias reglas: la regla del rectángulo, la regla de punto medio, la regla del trapecio y la regla de Simpson (regla de Simpson de 1/3 y de 3/8); y el algoritmo de Romberg, que forma parte del método de extrapolación de Richardson. Figura .1. Esquema tipos de integración numérica Fuente: Elaboración propia También vamos a ver el Error de truncamiento de cada uno de los métodos estudiados, siendo este: 𝑅𝑛(𝑓)= ∫𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥− ∫𝑝 (𝑥) 𝑑𝑥= ∫𝐸 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎, Donde E(x) = f(x) – p(x) es el error de interpolación. Integración Numérica Métodos de interpolación Fórmulas de Newton Côtes Regla del Rectángulo Regla del Punto Medio Regla del Trapecio Regla de Simpson Regla de 1/3 Regla de 3/8 Cuadratura de Gauss Métodos de extrapolación Algoritmo de Romberg Díaz Muñoz, Marta -2- TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -3- CAPÍTULO 2 MÉTODOS TEÓRICOS Métodos basados en funciones de interpolación Estos métodos consisten en sustituir una función, por otra la cual conocemos su integral exacta, utilizando principalmente polinomios. Dentro de los métodos que se basan en funciones de interpolación vamos a estudiar el método de Newton Côtes y el Método de cuadratura de Gauss. En todo el estudio supondremos que las funciones son continuas y diferenciables las veces que sean necesarias según el método utilizado. Métodos de Newton-Côtes El método de Newton Côtes se utiliza para calcular el área debajo de una curva mediante interpolación. Para realizar este cálculo utilizamos polinomios con distintos grados, este grado dependerá de los puntos que utilicemos para calcular dicha aproximación. 1. Regla del Rectángulo La regla del rectángulo es el modelo más simple dentro de los métodos de interpolación, consiste en calcular el valor aproximado de la función f(x), sustituyendo dicha función por un polinomio constante, es decir, un polinomio de grado 0. Aproximamos el área bajo la curva y= f(x) por un rectángulo de base (b-a) y altura f(a). Figura .2. Gráfica Regla del Rectángulo Fuente: Página Web del Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico de la Universidad de Sevilla Díaz Muñoz, Marta -10- E = (𝑏−𝑎)ℎ4 180|𝑓(4)(𝜉)| 𝑐𝑜𝑛 𝜉 ⋲(a,b) 5. Regla de Simpson 3/8 Es una generalización de la regla del trapecio que se da cuando el intervalo está dividido en 3 subintervalos. La fórmula de esta regla viene dada por: 𝐼= ∫ 𝑓 (𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎= 3 8 ℎ[ 𝑓(𝑎)+3𝑓(𝑋𝑚)+ 3𝑓 (𝑋𝑛)+𝑓(𝑏)] 𝑐𝑜𝑛 ℎ= 𝑏−𝑎 3 Esta regla tiene utilidad cuando el número de segmentos es impar. Método de cuadratura de Gauss El método de cuadratura de Gauss se utiliza para obtener un valor más preciso, ya que en el método de Newton Côtes se utilizan valores igualmente espaciados y necesitamos conocer los valores extremos, y esto en algunos casos puede llevarnos a un error considerable. En el método de cuadratura de Gauss no se utilizan valores igualmente espaciados, por lo que podemos utilizar cualquier valor debajo de la curva. En este método debemos calcular los puntos x1, x2, x3, …, xn, llamados nodos y w1, w2, w3, …, wn, llamados pesos, los cuales se encuentran tabulados. Por tanto, la fórmula que utiliza el método de cuadratura de Gauss sería: 𝐼= 𝑤1 𝑓(𝑥1)+ 𝑤2 𝑓(𝑥2)+ ⋯+ 𝑤𝑛 𝑓(𝑥𝑛) Siendo los valores correspondientes a la cuadratura de Gauss los que se muestran en la siguiente tabla: TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -11- Tabla .1. Valores Cuadratura de Gauss Fuente: Página Web Grupo de Ingeniería y Educación de la Facultad Regional San Nicolás Díaz Muñoz, Marta -12- Métodos basados en funciones de extrapolación Método de integración de Romberg Trata de combinar dos aproximaciones de integración numérica para obtener un valor más exacto de manera más eficiente. Se trata de una fórmula recursiva de la extrapolación de Richardson aplicada a la fórmula del trapecio. Siendo el valor exacto de la integral: 𝐼=𝐼(ℎ)+𝐸(ℎ) Dónde: 𝐼= ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 y E(H) es el error de truncamiento, igualamos las dos aproximaciones: 𝐼(ℎ1)+𝐸(ℎ1)= 𝐼(ℎ2)+𝐸(ℎ2) Siendo el error de truncamiento: 𝐸= − 𝑏−𝑎 12 ℎ2 𝑓´´ Siendo 𝑓´´ constante: 𝐸(ℎ1) 𝐸(ℎ2) ≈ −(𝑏−𝑎) 12 ℎ1𝑓´´ −(𝑏−𝑎) 12 ℎ2𝑓´´ =ℎ12 ℎ22 Despejamos E(h1) y sustituidos en la igualdad 𝐼(ℎ1)+𝐸(ℎ1)= 𝐼(ℎ2)+𝐸(ℎ2): 𝐼(ℎ1)− 𝐼(ℎ2)≈ 𝐸(ℎ2)⌈1−ℎ12 ℎ22 ⌉ Despejamos E(h2) y sustituimos en 𝐼(ℎ2)+ 𝐸(ℎ2): TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -13- 𝐸(ℎ2) ≈ 𝐼(ℎ1)− 𝐼(ℎ2) 1−ℎ12 ℎ22 En el caso donde el intervalo de una estimación es la mitad del intervalo de otra, es decir, ℎ2= ℎ1 2, sustituimos: 𝐼= 4 3𝐼(ℎ2)− 𝐼(ℎ1) 3 A este caso concreto, es al que llamamos algoritmo de Romberg. TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -15- CAPÍTULO 3 APLICACIÓN PRÁCTICA Una vez visto y explicados los diferentes tipos de integración numérica, a continuación, expondremos dos ejemplos prácticos aplicando dos de los métodos más utilizados; el método de los trapecios compuesto y el método de Simpson compuesto. Estos ejemplos consistirán en una aplicación matemática, tratando de buscar una aproximación del número π, y en una aplicación económica, a través del excedente del productor. APLICACIÓN MATEMÁTICA Como se me menciona anteriormente, la aplicación matemática tratará de buscar una aproximación del número π, a través del Método de los Trapecios Compuesto y a través del Método de Simpson Compuesto. Método de los Trapecios Compuesto El Método de los Trapecios Compuesto, como explicamos anteriormente es un método de Newton Côtes que consistía en sustituir una función por un polinomio lineal de grado 1. Siendo su fórmula: ∫𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ≈ ℎ 2 (f (x0) + f (x1)) + ℎ 2 (f (x1) + f (x2)) + …+ ℎ 2 (f (xn-1) + f (xn)) = = ℎ 2 (f (x0) + 2 (f (x1) + f (x2) + … + (f (xn-1)) + f (xn)) En este caso, consideramos la función 𝑓 (𝑥)=4 1+ 𝑋2, sabemos que: ∫4 1 + 𝑋2 1 0 𝑑𝑥=4𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑔(𝑥)]0 1= 𝜋 Vamos a ver dos casos, uno en el que dividimos el intervalo en 10 subintervalos, es decir, n = 10; y otro en el que se divide en 100 subintervalos, n=100, para posteriormente comparar ambos casos. En el primer caso donde n = 10, siendo a = 0 y b = 1: h = 𝑏−𝑎 𝑛, por tanto, h = 0,1 TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -16- La siguiente tabla muestra el valor de x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 y x10, para cada subintervalo: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 4 3,9604 3,8462 3,6697 3,4483 3,2 2,9412 2,6846 2,439 2,2099 2 Tabla .2. Valores de x para cada subintervalo (Método de los trapecios) Fuente: Elaboración propia Una vez que tenemos el valor de x y h, lo aplicamos en la fórmula del método de los trapecios, donde obtenemos: I= 0,1 2(4 + 2(28,3993) + 2) = 0,1 2 62,7985 = 3,139925 Siendo el error de esta: E = − (𝑏−𝑎)3 12𝑛2 𝑀2 Siendo el resultado de − (𝑏−𝑎)3 12𝑛2 = 0,000833333, haciendo la segunda derivada de la función: 𝑓´(𝑥)= −8𝑥 (1+𝑥2)2 𝑓´´(𝑥)= −8 (1 + 𝑥2)+32𝑥2 (1 + 𝑥2)3 Y posteriormente acotándola: |𝑓´´(𝑥)|=|24𝑥2−8 (1+𝑥2)3|≤|24𝑥2−8|≤|24𝑥2|+|8|≤24(1)+8≤32 Obtenemos un error de 0,0008333 x 32 = 0,02666 En un segundo caso donde n=100, siendo a = 0 y b = 1: h = 𝑏−𝑎 𝑛, por tanto, h = 0,01 TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -17- Cogiendo los valores de una tabla divida en 100 subintervalos y aplicando la fórmula obtenemos: I= 0,01 2(4 + 2(311,157598) + 2) = 0,01 2 628,3151 = 3,1415 Siendo el error de esta: E = − (𝑏−𝑎)3 12𝑛2 𝑀2 Siendo el resultado de − (𝑏−𝑎)3 12𝑛2 = 0,00000833333, haciendo la segunda derivada de la función: 𝑓´(𝑥)= −8𝑥 (1+𝑥2)2 𝑓´´(𝑥)= −8 (1 + 𝑥2)+32𝑥2 (1 + 𝑥2)3 Y posteriormente acotándola: |𝑓´´(𝑥)|=|24𝑥2−8 (1+𝑥2)3|≤|24𝑥2−8|≤|24𝑥2|+|8|≤24(1)+8≤32 Obtenemos un error de 0,000008333 x 32 = 0,0002666, siempre en valor absoluto. Como podemos observar, al dividir el intervalo en más subintervalos, la aproximación es más exacta, siendo el resultado en el primer caso I = 3, 139925 y en el segundo caso I = 3,141575; un resultado más aproximado al número π, siendo π = 3,141592654. También podemos observarlo en el error, siendo el error del primer caso 0,02666, un error más considerable que del segundo caso, siendo este 0,0002666 Método de Simpson Compuesto El método de Simpson compuesto es otro método de Newton Côtes basado en funciones de interpolación que consiste en sustituir la función por un polinomio de grado 2 y así poder calcular el valor aproximado de la función. La fórmula del método de Simpson es la siguiente: TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -18- ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑎 𝑏≈ ℎ 3 (𝑓(𝑎)+4𝐼+2𝑃+𝑓(𝑏)) Trabajamos con la misma función que en el caso anterior para así poder realizar una comparación entre ambos. 𝜋=∫ 4 1 + 𝑋2 1 0 𝑑𝑥 La siguiente tabla muestra el valor de x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9 y x10, para cada subintervalo: 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 4 3,9604 3,8462 3,6697 3,4483 3,2 2,9412 2,6846 2,439 2,2099 2 Tabla .3. Valores de x para cada subintervalo (Método de Simpson) Fuente: Elaboración propia Una vez tenemos todos los datos y siendo h = 0,1, al igual que en el caso anterior cuando n = 10, sustituimos en la fórmula del método de Simpson, obteniendo el siguiente resultado. I= 0,1 3(4 + 4(15,7246) + 2(12,6746) + 2) = 0,1 3(94,2478) = 3,141592 En este caso, no vamos a realizar el caso en el que dividimos el intervalo en 100 subintervalos ya que el resultado es prácticamente exacto, por lo tanto, tampoco vamos a calcular el error. Comparación entre el Método de los Trapecios y el Método de Simpson en la aplicación matemática Como podemos observar, comparando ambos métodos, cuando el valor de n es 10, el Método de Simpson se acerca mucho más al resultado, siendo este último es valor prácticamente exacto del número π. TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -19- APLICACIÓN ECONÓMICA En esta aplicación económica de integración numérica, vamos a ver el caso de Excedente del Consumidor, siendo este, la ganancia que obtiene el consumidor al comprar un producto a un precio determinado. La gráfica del excedente del consumidor es la siguiente: Figura .9. Gráfica Curva del Excedente del Consumidor Fuente: Página Web del Repositorio Institucional de la Universidad de Alicante Y la fórmula del excedente del consumidor es: EC = D – p*q Siendo D la función de la curva de demanda, p es precio de mercado y q la cantidad de equilibrio. Para este ejemplo vamos a utilizar las siguientes funciones de demanda y oferta: p = 52 + 2q → Función de la curva de oferta p = 100 - 𝑞2 → Función de la curva de demanda Igualamos las dos funciones para hallar el valor de q. 52 + 2q = 100 - 𝑞2 𝑋2- 2X-48 = 0, siendo el resultado de q =6. TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -26- subintervalos tenga el intervalo, más exacta es la aproximación y, por tanto, más pequeño es el error. Por último, relacionado con el último de los objetivos, creo que he logrado introducirme sin problema en esta nueva materia, he entendido el objetivo de la integración numérica y he podido realizar las aplicaciones prácticas mencionadas anteriormente pudiendo cumplir con todos los objetivos a los que quería llegar con la realización de este proyecto. TFG-ADE. INTEGRACIÓN NUMÉRICA. UNA APLICACIÓN EN EL ÁMBITO ECONÓMICO -27- Bibliografía Citas de libros: Doubova, A; Guillen González, F (2007): Un Curso Numérico: Interpolación, Aproximación, Integración y Resolución de Ecuaciones diferenciales, Secretariado de Publicaciones, Universidad de Sevilla. Mathews, K.D. (2000): Métodos Numéricos con MATLAB, Prentice-Hall. Vázquez Espí, C. (2012): Cálculo Numérico, García-Maroto Editores, S.L., Madrid. Citas de Páginas Web: Departamento de Economía aplicada II de la Universidad de Vigo. Tema 7: Integración Numérica. Recuperado de: http://www.dma.uvigo.es/~lino/Tema7.pdf Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico de la Universidad de Sevilla. Recuperado de: http://departamento.us.es/edan/php/asig/LICFIS/LFIPC/Tema7FISPC0809.pdf Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Madrid. Cálculo Numérico I. Integración Numérica. Recuperado de: http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/cifus/numerico/notasweb4.pdf Grupo de Ingeniería y Educación de la Facultad Regional San Nicolás. Recuperado de: http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Cuadraturas_Gauss_Legendre.html http://www.frsn.utn.edu.ar/GIE/AN/IN/Formulas_Newton_Cotes.html Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional del Nordeste. Integración Numérica. Recuperado de: http://ing.unne.edu.ar/computacion/pub/informatica/IN.pdf Repositorio Institucional de la Universidad de Alicante. Tema 2. Oferta y Demanda. 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