Institutionum elementarium philosophiae ad usum studiosae iuventutis. Tomo I

ab ON. Seng DH * ir MEE INSTITUTIONUM | ELEMENTARIUM PHILOSOPHLE ? AD USUM STUDIOSE JUVENTUTIS AB ANDREA DE GUEVARA : ET BASOAZABAL, "ai GUANAXUATENSI PRESBYTERO, TO TOMUS PRIMUS. COMPLECTENS EX TÉPOGRASRHE BEGIA. : 1829. l—————— ». BO "o^ » g - AN : MS u OPRUBFATIO. Tos gl x gum w "xu Ao tuia tate oS Yan S$aopGust , CCP wu XS eft Ch StriaSX StqodAum. SIISOS psi» hujus: eer ratiouem , atque: ardinem y ut. plerumque. solenk-auctares , pra nuntiem ; opera. pretium credidi, ad qublicum. sapientum: tribunal me. sisteres; ut excusatioA. nem premittam , quod eruditis hisce tempori- Pus consilium. suscegerim scribendi philosoghiam. "Accusabor. enim .et-quod. actum ege vim , ac frustrà tempus. consumpserim , cum p del libri p uid n ousepipiit ps $a prse CHR t5, Hauser natus Brixiensis, Monteirus Vern vathus , Makus , Corsinus , J'aequien, "y "a, Para, ,Bergerus, Torrius , aliizue. multi , qui juró numerantur in Siplenth ; quorum nomina sunt in philosophie scriptoribus illustrissima. Quid ego irrepere tentem in. hos viros tante wagnindlbis ? Quid does. rm afferam, quod illi mon exhBuserint ? Quid T * : | & « m superbà. polliceary traditurum nie dhilosophi- | Cas disciplinas aut elegantiori stilo, aut clarigri ordine , majore gerspicuitate , quam tot tanzosque ante me fecisse nemo non audiit ? E quis | dem fateor y Juec. dnimo Sepe, aciserio quum | actus agitaverim , arreptum calamum Semel, — et iterum. degoyuisse , ac pené à proposito de. | fecisse ; nimirum neo. timentem. nomini , quod. Sibilis posset eaciply-aut cert? fastidio. tutt Ceterum ita-deficizntem , languentem ,ac. | territum duo me semper confirmarunt , atque, M impulerunt » Institutum laborem non. desi. — "rem. Bt primum. quidem , quia maximopere. desidero. patrie 3 j 2 : Foathus : enim , e£ onteirus, et Ver- SEA HOFUIL. suorum. eruditionem qo tulati sunt yieum scripta sua. phica divulgarunt. Cert? ypero,, Mexip lescentes., quum intellekérint » hilo. sophicas lucubrationes elaborassesMexicanum. 1 hominem, qui Áoc SAnÓ studio nón sibi nomen T quasivir , non gloriam, non. quod vis. aliud ip : humanis emolumentum, $ed. eorum-tantunmos | * : "4 * d bonum respexit ; spero-, Tuquam y. ingenuos Wlos, et optima natos indole , ad amorem philosophie facilà-exsuscitandos...Et hec mihi proposita mera satis videtur à temeritatis notà excusare scribentem. philosophica ; quamquam idem fuerit. plurium, et quidem sapienzgissimorum y argumentum : quemadmodum ne-- mo dixerit, modestissimum. Manteirum : ejusque similes , ab sua FempetAntia, defecisse , quoniam doctrinas ,ab innumeris philosophis Doctoribus agitatas, ipsi rursus agitarunt. Alterum autem vehementius qne commovit , ut to- . tis conatibus perficerem, quod opus inceperams . nimirum ue TONS FOC t et fund j que propterea. cultore gina $e De. Uc remaneats. €ui tenaciter ingederit j? nihil consona rationi opinio ; animad'vertat y que50; in hac urbe amplissima, cui gresidet Christi Vicarius «Ecclesie Caput , publicó coli, et in t AT 4 ^ A s LN " » Sin'autem quis requirit, quz causa nos impulerit ut hzc litteris mandaremus , nihil est quod expedire tam facile possimus. Nam quum otio larigüeremus... - primum ipsius reipublicae causa philosophiam nostris hominibus explicandam putavi, magni existi mans interesse ad decus et ad laudem "civitatis... Hortata est etiam , ut me ad hac conferrem animi &gritudo.. cujus si majorem aliquam levationem - . Yeperire potuissem , non ad hanc potissimum confugissem. Ea veró, ipsa nulla ratione melius frui potui, quam si me non modó ad legendos libros, d étiam ad totam. philosophiam pertractandam ———— á— I : à 1 1 1 H [. Í DE PHILOSOPHIE. 0072 MIOSSITÜDINIBUS, 0s | , . 3 J BRAEVIS NARRATTO, J|. P it aliud sub ccelo est; quo certius, et solidius confirmetur , ad. grandia, et süblimia natum .esse hominem , quam nobilissimum desiderium , quo trahitur , impellitur , agitatur; €t urgetur ad scientiam. Nullo; non fuerunt tempore illustres ingenio viri, qui laudabiliter conantes , aC" nulla pen& intercapedine desudantes, gloria litterarum excellerent; qui per invia, per praerupta, per tenebras, una duce mentis dexteritate , ad rerum intelligentiam ad: reperent ; qui sapientiz vestigiis insistentes, et maria tranarent; et in diversas orbis. partes discurrerent, et longo vita spatio: peregrinarent; qui denique quidquid potest mortalis infirmitas,: totum adhiberent; ut ab silente, ac pene obluctante natura, secreta id generis extorquerent.. Hi cert& sunt. homines, quorum opera dixeris humani generis gloriam, et ornamentum. ádolevisse , qui.plan& noverunt,.se Omines essé,.nec eatenus natos, ut fruges consumerent , nt inanibus oblectamentis.conse- Descerent;:sed dt principem :sui partem ánquisition? pulcherrima veritatis excolerent; Utinan id Satis. caperent adolescentes. quidam, I4 — DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. — — qui tanto publice rei detrimento, tantoque humanitatis. dedecore sese voluptatibus dedunt, nullo termino defihentes otio, dii; noctuque, privatim , et publice oscitantes , et socordia incredibili torpescentes! Utinam intelligerent , vix dignos esse hominum societate, qui , quum facilé possent, discere tamen, contemnunt, quo potissiimüm differant ab aliis animantibus rationis expertibus, nec umquam experiri conan tur, qua sint meritis niagnitüdine. comparati! Nimirum colluctatur..in homine sciendi aviditas, quam habet ingenitam à natura, cum voluptatum illecebris, et sepé delusi falsà rerum specie, in pejora.sponté prolabimur. Neque veró tantus esse locus ertori posset, si serio et accuraté perpenderemus, quam suaviter, quam tranquillé, quam jucundé vitam agunt, qui litterarum. studiis immerguntur. Equidem nihil tam vellem, quam vos, adolescentes Mexicani, quos in hac à patrio solo dis- I ssime régito memoria, quos ex ani« 10 munc alloquor, et quorum prasertim bonum cordi mihi est, quam vos, inquam, deponere prajudicatam opinionem, qux perperam invaluit; quod videlicet philosophici sudores valetudini noceant, vitam brevient, morosumque reddant hominem, in humana consuetudine difficilem, pertinacem aliorum contemptorem , vane intumescentem. Quod afflictos valetudinis, et vita brevioris est, Tullius, Lu« cianus, et post multa secula Feijovius, longam contexuere clarissimorum virorum seriem , qui quum nihil interrupté in litteris etatem po- DE PHILOSOPHLE VIOISSITUDINIBUS, fj Suüissent suam , ad octogesimum annum, ad-no- nagesimum,, ad centesimuimi.etiam , eoque. amplius, robustis viribus pervenerunt. Et.plures adjiceré . possemus recentioris: «tatis ,. quorum alios audivimus, alios vidimus, in his laboribus longissimà vixisse, quinullo possit Asseri fundamento , quod. ipsis litterarum defatigatio jacturam valetudinis importaverit, Quod. autem attinet ad. vitia, qua littératis tamquam; peciiliaria maligni;calumniatores objiciunt,'animadvertite , adolescentes ,. non hec litterarum, sed Iniserzmortalitatis.esse vitia. Quodnam ; que- $0, est vite.genus, quodnam à Numine: donum. quodnam à natura. beneficium ; quodnam abamicis: obsequium, quo, quum. volueritis; abuti facile non possitis? In id vestros intendite conatus, Ut, quam mentem ab supremo rerum Opifice liberaliter accepistis , pro viribus perficiatis; ut veritatis indagatione thesaurüm vobis nobilissimum comparetis, ut scieritiarum viam, initio quidem ingratam, et Spinosam, ingredientes, ad temperantem modestiam animüm componatis; omnino ut prudenter, humane, sobrie Sapiatis: et polliceri non dubito, vos olim summam suavitatem in eruditis lucubrationibus gustaturos, vos ad sápientiz fastioium concensuros , vos patrie de- €U5, et ornamentum futuros, .Sed ad propositum veniamus de historico P llosophiz compendio. Recte quidem. philosophiam appellavit. Tullius. vitz ducem, virtutis indagatricem , vitiorum. expultricem, qua peperit urbes, que dissipatos homines. in-so- X6 DÉ PHILOSOPHIAE VICISSITUDINIBUS. cietatem vitm convocavit, qua ipsos/inter se: primo: domiciliis: deinde conjugiis,, ^ tumlite teraruni, et vocum communione - junxit.,:-lé- gum-inventrix, magistra morum et: discipli-: ne:fecte, inquam j.quumab amore sapientis: hominumque conatibus , -ut.-ipsam acquirant;! innumera bona humane societati nata sint; INeue: mirum ' alicui: debet! esse, quod in hac: obtinenda:laude ttot:;jam secula desudaverint;: rastantissima ingenia, quin: convenire potuerint in:unitate doctrinz:.sunt enim «humans mentes ad diversam ' armoniam temperate , prout diversa sunt organa , quibus intelligunt: et quemadmodum , pülsata chorda , cetera. cons sonant, qua sint ad eundem intente numerum; ita; vibrata humani cerebri fibra, similis vibratio respondet in aliorum .cerebrorum fibris; quas rerum omnium artifex ad eundem temperavit concentum. Et hinc repetenda videtur ila plurium inter: se consensio in eodem .opinandi modo, et ab aliis omnimoda: dissensio; Loquimur autem de iis ingeniis, qua serió veritatem inquirunt, nec ultró sese obcacant, et voluntaria caligine involvunt: nam si errorem, in quem semel prolapsus es, totis tenere viribus obstinaveris ;aut si partium favore subscripseris doctring, quantumvis absurdam manifestissime videas, longe admodum semper eris à verà philosophia, nec unquam in sapientibus numeraberis. . Sapientie quidem amor ab exordio fuit mundi, et primum "philosophum dixeris primum hominem, qui justus prodiit & Creatoris area er lp 7 PEE i [ | | DE PHILOSOPHIJE/ VÍCISSITUDINIBUS; 17 manunec propterea circamvolutus mentis tenebris, quibus ab. originis: peccáto deturpati Sunt posteri : nescivit. ille: infantiam , vixque natus, adultam sensit rationem. Libenter supersedemus ab inutili qu&stione: quó pervenerit Adami philosophia? quas. habuerit notiones de physico: rerum ordirie? *quó processerit" in logicis, metaphysicis , ethicis, et politicis? Id enimvero certum est, quod: confestim ab ortu constitutus est. universi 'ferrarum orbis Princeps, et Dominus; nec dignuümi esse supremi Auctoris providentia videtur, hominem, cui primas in'creatíone liberaliter" detulit y» ét ?à qua sui generis notitiam "derivaret posteritas, vel. non. excellere mentis acie, vel: eam incültam desidioss relinquere. Solet quidem Deus imbecilles administratores immitere, ut im cri- - minosum populum animadvertat; sed non fue- Tant ante Adamum homines, qui peccarent. llle cert& tam animantia, quam plantas, et ce« Ira Sz. potestati: subjecta, nomine quodque appellavit suo: in quo quidem munere tam sapientem , et natura peritum se probavit, üt in Cratylo suo fidenter asseruerit Plato, prima rerum nomina mirabiliter. exprimere ipsarum rerum virtutes, nec appellari tam proprie res potuisse, nisi appellantis mentem regeret divina sapientia, Non audemus cum iis convenire, qui . ttum extollunt primi hominis philosophiam ut plané judicent, ad: similem postea perveniSSe neminem; sed ab eo cert? notiones. acceperunt hzreditate posteri , quas multiplicatis. postea. sudoribus propagarunt ;. et^sin minus TOM. I. a 18 DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS; omnes, utique. plures. philosophie ramos jam - ante diluvium perfecerant. Hac autem doctri | narum. studia.non omnino periisse dicenda sunt in. hac. aquarum inundatione, quá totus fere - orbis interiit; sed. qui supernatantis arce be* neficio NNoemum,. ejusque filios: á. communi naufragio liberavit, in. iis humani generis reliquiis conservari voluit, magna saltem ex parte; acquisitam ante. hzc tempora philosophiam. ::- - Noemus igitur di sex tota secula vixerat | ante fatalem illam criminosi hominis ruinam; | ultra tercentos adhuc annos in orbe instaurato, et aquis repurgato vivens, facile. perpetuavif | lumina de supremo rerum Domino, de prima | humanz gentis origine, de coelorum; terrarüm- | que fabrica, et plura id generis, qua vel ad | physicum ordinem, vel ad. rationis usum, et | perfectionem, vel ad artium industriam spec- | tantia, tum ab aliis didicerat, tum suis ipse. observationibus adinvenerat. Sedem sibi commorationis elegit Chaldaicas regiones , ubi ejus | filii, nepotesque rapidissimé propagati sunt, in immensum crescentes populum; et. post absurdos conatus d pi i ad sydera, linguarum confusione puniti sunt, ac per di-. versas Orbis partes disseminati. Atque ita quidem per universas fer& terras detulerunt pre-. tiosissimum notionum thesaurum, quas à Noe. mo derivaverant. Sed. non ubilibet «qué pro-: fundas egit philosophia radices, quinimó la^. bente tempore , tam adolevit ignorantia , ut, si: Chaldeam exteperis, non alibi remanere. visa. sint, nisi deformia commenta, quasi vestigid | DE PHILOSOPHIJE VICISSYTUDINIBUS, T quidem vetitatis ab antiqua Noemi doctrina; quam hominum. somnia türpissime adulteraverant. Quidquid. alii decertaverint de sapientiae primatu in notionibus ,'num ZEgyptiorum Sacerdotes,, num Persarum «Magi ,, num Indorum Gymnosophista ;'num Gallorum: Druides j primi philosophiam: tradiderint; nos quidem libenter. subscribimus. Tullio. dicenti: Suntque Chaldei antiquissimum. Doctorum. genus. Et quidem. Berosusasserit; Chaldeum quemdam remotissimis vixisse temporibus , 4 quo prima fuerunt. Astronomiz lumina; "Flavius autein Josephus affirmaté propugnat, Chaldetm hütic fuisse Abrahamum, qui et suis peregrinationibus: per Phoenices, ZEgy ptiosque ;' primus ad eas regiones" intulit arithmeticam, et astronomicam scientíam. In hac. sententia conveniunt Eupolemus , Eusebius "et Augustinus ,- qui duodevicessimo libro: de: Civitate Dei palam inficiatur , coli ab ZEgytiis philosophiam ante Abrahamum: coepisse." Scientia 'veró , quarum donum: habuit: ZEey-ptus ab. hoc Hebraice pentis Parente; post Annos plüres instauravit, 'et mirifice propagavit ejusdem pronepos Josephus, quo tempore in ZEgy ptiis prima post Repem fuit Potestate: à quo. sane benefico Ministro traditam iis gentibus geometricam doctrinam, in laudato Flavio comperimus, ZEeyptiis postea litteris eruditus fuit Moses, non' quidem ina- "nibus illis;:qua damonum invocatione, infandisque: incantationibus constabant; sed. quas b hebraicis Magistrís quum "primum audiissent, institutis ipsi defatigationibus: perfece- L 20 DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS. runt. Hunc enimvero Dei populi Ducem opidó excelluisse mentis claritudine, miramque Labiakec: tum nature cognitionem; tum scribendi-elegantiam ,:et sublim& cogitandi facultatem, extra omném dubitationis aleam erit Divinos legenti libros , qui ab ejus calamo sunt. Per eadem ferà tempora. vixisse creditur Jobbus, cujus tiomine inscriptum legimus Codicem in Divinis ánnumeratum. Contendunt uidem eruditi , quonam ille prodierit auctore, - q , num Mose , num obbo ipso, num fort? alio, cujus nomen injuria temporum interierit. Sed pro re nostra parum refert, auctorem non noscerej. quum. in.eo libro, et plura cert& signa sint remotissima: antiquitatis, et poesim perspicué legamus, non quidem ligatam numeris, in qua tameri elucet profunda morum philoso- . phia, erudita mundana fabrica: cognitio , mira stili sublimitas, robustissima gravitas, pulcherrima imaginum efficacia , eaque dicendi vis, ac nobilitas, quibus Homeri, et. Virgilii nomina 1am clara fuere posteritati. Floruerunt postmodum in Hebrzis Doctores, qui Mosi successerunt, ejusque philosophiam perpetuarunt: in iis autem excelluere David , et Salomon; David quidem à famosis carminibus , in quibus ea supereminet verborum , et sententiarum vis, ac majestas , tam certa, et profunda cordis huma- ni scientia, mundanzeque machine tam sublimis cognitio, ut nationes omnes communi suffragio dixerint, ab auctore sapientissimo hac | fuisse poemata. Salomoni autem facile primum conceditur nomen in illustrissimis toto orbe DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS, 2I hilosophis qui nimirum. et Proverbia, et cclessiasten, et Cantica Canticorum, uberrimos mirificae doctrinz. fontes, conscripsit; et alia plura sapientia monumenta reliquerat posteris, quorum magna pars incendio periit Ezechiz Regis atate, in quibus de plantis omnibus, de térra bestiis, decceli volucribus , de veptantibus , de piscibus, quorum omnium novit naturam, et proprietates, disseruisse intelligimus. d De celebrioribus quidem philosophis, qui floruerunt ad ZEgyptios, ad Phoenices , ad Per- $35, ad Indos, ad Atlanticos, ad Thraces, ad Gallos, immensam operam posuere Critici , ut opiniones conciliarent tam de Mundi ztate, qua vixerunt, quam de doctrinis, quas singuli tradiderunt. Utique liquidum videtur , ab antiquissimis temporibus veneratione prosecutos philosophiam ZEgy tios, qui ex philosophorum numero Sacerdotes, Regem ;et Sacerdotibus eligebant. Ita pervenit ad 4Egyptium regnum, eus et summoperé decoravit, Trismegistus ille, in Sacerdotum collegio summus, clarissimus in philosophis. Et nemo cert? denegavit ZEgyptiis hanc gloriam , quod ad eosdem contenderint Solon, Thales, Pythagoras, Democritus, Plato, idque generis preclarissima inenia, ut in famosiori tunc temporis fonte bi- Dtes , doctrinarum thesaurum attingerent. audantur ab Lucano Phoenices , quod litteras Prim! excopitaverint; et 3 Plinio, quod navi- É ! artem invenerint, qux si minus comproant Pliocnicum philosophiam, ad eos profecto, LL 28 DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. dentia in conformandis adolescentium moribus et summa. solitudinis, ac defatigationis in stU' diis cupidine, in qua laboriosissima vita serif ad aetatis annum secundum, et octogesimul pervenit. Arcesilas autem in Magisterium alf. -quandó suffectus, à. Platone. defecit, et qua. novam condidit Academiam, quam postmodul dixere mediam. Et hic est de quo pulchre Tu lius: »Ut in optima Republica Tiberius Grac cus, qui otium pertubaret, sic Arcesilas, q constitutam philosophiam everteret." Enimvef? ingenii claritudiné, perspicuisque natura dot! bus, quibus admodum excelluit, perperam ust est ad constabiliendum dogma de omnimoda hi. manz mentis ignorantia: nihil enim, ajebat, sc! mus, nihil scire possumus; nec etiam, quo! unum Socrates excipiebat, nimirum se zz/i] sd re: quo sane dogmate, non aliud fortasse abs dius, nec aut rationi magis dissonum, aut mo/' bus magis periculosum philosophi excogitaru Quam aliam animi demissionem sectantur, q catholice sapiunt! Et tamen sectatores habil Arcesilas , eamdemque post eum. doctrina Lacydes, Evander, et Égesimus tradiderunl Quartus ab. Arcesila rexit Atheniensem ha scholam Carneades, qui recentioris Academ! Princeps idcirco appellatur, quia paulluluf. temperavit absurda doctrine: non enim, ut Ao demici medii, veritatem omnem inficiabat!l. sed acriter propugnabat , tam obscüris involy' esse tenebris ; quacumque vera sunt, ut hut na mentis non sit veritatem attingere; qua quam plura noscantur probabilia, quorum v^ " LI j | vid DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. 20 insigni, et illustri, ut ajebat Tullius, vita sa pientis regi . possit. Quam hac inania! quam Pàrum digna viro clarissimo, et qui tam avide Vacabat studiorum commentationibus, ut om- "em corporis curam negligeret ac sepe pro prandio sedens, nihil vesceretur nisi servula Cibos in ejus manum, et'interdum in os intromitteret! Ad annum nonagesimum operosam vitam produxit , ejusque locum occuparunt ordine Clitomacus, Philo, et Antiochus: hic autem postremus cum primum. Philonis Magistri octrinam totis viribus defendisset ,' acriter postea in :eamdem insurrexit, et Academiam veterem instauravit. Et fuit Antiocho summa gloria, quod. in suis auditoribus numeraverit illustriora Romanorum. nomina, quorum erat tunc temporis consuetudo , iter arripere in Grzciam, et Athenis commorari, ut ad optimum philosophis saporem conformarentur. Ita it apud se considentes, eruditionis cupidos, Varronem, quem Romanorum dixere sapientissimum , Lucullum | quem magnificentissimum, €t Tullium, quem eloquentissimum. Et ab his Romanis peregrinantibus , età Polybio, Pa- , "tio, Carneade, Philona, Antiocho; aliis- . que doctissimis Grecis, qui di | versis temporibus Omx commorati sunt, utraque Gracoruim Academia, et philosophica lumina, ut suo dicemus loco, per univeretm Romanorum Imperium disseminata sunt, Altera schola , quam diximus à Platonis natam discipulis, Peripatetica dicta est, et principem coluit Aristotelem. Et fuit hic ex iis vi- jO DE:PHILOSOPHLE VICISSITUDINIBUS. | ris illustrissimis, utráque parte famosis, in que innumerz laudes, innumera.: pariter mala :coff gesta. sunt. Mediam teneamus víam; quae so esse-ab scopulis remotior. Natus Aristoteles i! enio-certé vastissinio ,' foecundissimo; et fac/ D te.ad omnia-mirabili ,/ singularem prorsU? et pene incredibilem in .studio.constantiam 3€ junxit. ZEtatis anno decimoseptímo ad Plato? discipulos: cooptatus, quatuor: totà [ustra. SU' 1anto duravit Magistro, qui et ipsum Acad mia sü& gloriam, et. animam. appellabat. Pli tone vita functo, apud Hermiam in Mysia co morantem: secessit; undé. post annos aliquot | Philippo Macedoniae Rege. vocatus, et: Mag/ Alexandri. preceptor dictus est. . Charissim! tanto. Principi ;'cujus mentem;-et mores di/ gentissime conformavit; noluit postea , jam. R' gem, ad belli strepitus proficiscentem ; comit ri; Quare rediens. Athenas , Academia pracef tore Xenocrate, alteram instituit ín Lyceo scli Jam, quam à verbo: graeco díxere Peripatetica! quoniam obambulans docere solitus est. Arisf teles. Mirabilem reliquit. scriptorum: copia quz ad Tullii et. Quintiliani etiam attatem ' dentur, magná saltem ex parte, genuina: pe venisse. Tullius quidem in suis philosophi libris, non semel aut iterum, 'sed: sepius; ! .pené ad fastidium, perfundit landes huic 9 -pienti, cujus appellat ingenium prope divin eloquentiam nervosissimam , flumen oratio" .aureum, Stilum limpidum, et perspicuum, d jus philosophiam omnino singularem fatet! D quem rationis et inveniendi, et judicandi p" DE-PHILOSOPHLE:'VICISSYTUDINIBUS, 4r cipemdicit; quod denique doctiorem; acutiorem, , non existimant eruditi. Teophrasto charo dissuccessori , Aristote- $56, quaecumque scrip- Serat: hzc. autem :scripta--processu temporum dines ; donec. eorum Cxemplar et ab interpretibus, et ab librariis male corruptum, in potestatem forté venit Ara- I$ Áverrois , à quo fuerunt penitus immutata, contrita, et. deturpata', er qui ad libitum innu- Aera Süiperadjecit inania, Quas cert non fuerunt ab auctore, Quod 'in pluribus erraverit Aristoteles , quod. immiscuerit multa parvi mo- $2 DE PHILOSOPHLJE' VICISSITTUDINIBUS. —— menti, multa insulsa, multa prorsus inutilidi nemo certé in sapientibus mirabitur: hom? enim erat , plura scripsit innumera insecuti est ,-viam sibi sepe stravit per hactenus inac cessa, Sed quod Aristoteli tribuatur, quidquil longa seculorum serie peccarunt in-philosoph* cis homines , qui suas delirationes ut-constitue rent , tanti Sapientis: nomine abusi sunt; "pro ' fectó non est id. philosophi sanz: mentis, p est inquirentis veritatem nullo: partium favorà non est judicantis ad. rationis. leges. Depot 1nsanos livores , st vis'esse philosophus.: Utinaf liceret in his diutius immorari] «^5» . 5^ ^7 Aristotele: matur: prerepto, quum vix 3 merasset xtatis annum tertium et sexages! mum successit in Lycei magisterio: vir sur mus, quem in suis discipulis ipse legerat, € quem à delicatissimo eloquentiz sapore dixe! "Theophrastum. Magistro cert& fortunatior, 0! meravit auditores ad duo mille, in quibus ert! nuere Demetrius Phalereus, et Strato. Posti ritati dedit libros de plantis, de civitatum of! nium legibus , de vera vitz beatitate,'de rhet? rica, de variis hominum cAaracteribus, aliosqU plures; quorum tamen pauci pervenerunt nos. Ánnos vixit saltem octoginta quinqué; f! desunt, qui asseverent, atatis anno undece tesimo scripsisse CAaracteres. Post hunc in L ceo docuerunt Strato, summopere commenó" tus à physicis rerum notionibus; Lycon, ad 4 nos quadraginta manens in magisterio, et cendi suavitate Glycon appellatus, Aristo de quo solum novimus magno fuissem Uu ! DE PHILOSÓPHIJR ' VICISSITUDINIBUS. "EE in philosophicis, et Glyconi successisse 5 Critous quem cüm Carneade, Diogeneque missum üb Atheniensibus Romam in famosa illa legatione, fuisse Tullius att ex. nobilissimis il ius ztatis pliilosophis; et Diodorus , quem dixere Dialecticum , et postremum nominant in Lycei Doctoribus, quamquam alii dicant, tam longé fuisse ab Aristotelis doctrina, ut peripateticus dici non possit. Post hc tempora magnum fuit de Aristotele silentium , hisi quod Sylla , captis Athenis, Romam trans tulit ejus opera; quorum postea variam delibabimus fortunam , cum sermo nobis erit de corrupto sapore in philosophicis disciplinis. ^o Principem Cynici nóveru Qui pretium divenditi füs est, ut voluntaria nt Antisthenem, patrimonii civibus elargivivens tenuitate ; Socratém audiret; à quo postea recedens, tam impudentem , tantaque mordacitate horridam fundavit scholam , ut erubescere debeat humanum m hujusmodi homines dixisse philosophos, NOD certe inficiamur , ingeniosissimum quemque, plurimisque doctrinis clarissimum, posse quidem pessimis esse moribus: attamen schola, cujus unicum sit institutum , rores hominum Comiponete , cujus vera Principia certissime jaculéntur ad effringendum pudorem, ad cor tumidum creandum, ad sui similes contemnen- 08; hzc, inquam, schola tam ese debet absurda , quam Scholasticorum chimzra. Dialec- —— » Reometriam, et praterea lipudiabant omnino Cynici, et unam profitebantur morum scientiam ; quos ta- TOM. I, 3 34 DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS. men à primis doctrinz fundamentis incredibi*. liter deturpabant. In pracipuis Antisthenis a$^ seclis numerantur, Diogenes, Crates, Hippar*. chia , et Peregrinus. Cratem audiit Zeno deceni] annos, totidemque alios modó Stilponem , mo^: dó Xenocratem, modó Polemonem: et plant. rejecta Cynicorum impudentia, nec omnino probatis aut Megarensis, aut Academicorum doctrinis, novam Athenis condidit scholam; ejusque discipulos ab loco, ubi Magister doce* bat, Stoicos appellarunt. Dialecticam singula^ ri conatu professus, acriter opugnavit novos Academicos, verum à falso dignosci posse in^. ficiantes. In moralibus autem hac erat Stoico rum precipua doctrina: Summum bonum esse virtutem : Sapientem semper esse beatum; qu feré nature bona dicuntur ab hominibus, ta non esse bona , quam dolores, cruciatus , et ad versa quavis dici mala non posse; virtutes om nes esse pares, paria similiter vitia; condole$ cere , concupiscere , extimescere , letitia T ceterosque animi motusin sapientem virum no? cadere; virtutem acceptam Deo retulisse nem! nem; fortunam à Deo petendam; ab se ips sumendam esse sapientiam; Deum natura, $8^ ientem virtutem sua non timere. Quam ampU le delirare solent homines! Zeno certé nu quam fuisse dicitur tentatus valetudine, ac. liciter pervenit ad annum duodecentesimu Ejus gloriam cumularunt complures famos nomine sectatores, in quibus illustrissimi fuer? Leucippus, Cleanthes, Chrysippus, Diogen? babylonius, Antipater , Panetius, PosidoniU* 1 DE PHILOSOPHIJE VIOISSITUDINIBUS. 5j Epictetus , Stilpo; et in Romanis Cato, Brutus, Seneca, Thraseas Poetus;:Helvidius Priscus, et: Marcus Aurelius Antoninus; EE. 3 Pyrrhoónem omittere non licet in historia hilosophie: lot cert quia" magni mieriti haz Doi , vel quia novum quid.excogitaverit , quo notionum thesaürus adaugeretur; sed quoniam Arcesile dogmata de nulla veri , aut vero similis cognitione, tenacissima dementia prosecutus est5 et plura de his impudenter effütiens , exemz plo est. philosophis; quam simus ridiculum mundo spectaculum, quum in hümanis quastionibus, posthabita , neglecta , et penitus calcata ratione , audemus philosophari, Ajebat Pyrrho, debere Semper. hominem inquireré veritatem; et ab hac inquisitio € perpetua dixere . Scepticam. ejus philosophi m: sed quidquid quzsieris, addebat, quidquid operosis lucubrationibus désudáveris ; nihil certi pronunciare, RE EUH licebit asserere. Si opponerés; te videre, te Cogitare, te esse; plan respondebat: equidem nescio lumen , nescio sensus, nescio: mentem , nescio me esse, nihil omninà scio: id tamen, quod nesciam , nón tamquam -asse-- rens, sed tamquam dubitans pronuncio. Et ab hoc eterno de omnibus dubio. in pestiferam illam. doctrinam Pyrrho incidit, nihil esse in Terum natura vel honestum, vel turpe, nisi vel ab humana lege, ve] à prajudicata opinione. udét cert .in hec tam inania, quam pütida calamum offendere, Nonagésimo statis anno vitam posuit, Fuerunt et celebri nomine philosophi Xe- Ld 36 DR PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS. nophanes, Democritus, et Heraclitus, Academicis antiquiores; quos non hactenus memoravimus ne primam eorum seriem, qui ab Socrate venerunt, abrumperemus: eosque tamen "reterire non licet, tametsi nulli prorsus adriv Magistro, nec multitudine discipulorum admodum floruerint. Xenophanes Colophonius, in astronomicis oppidó versatus, plures esse mundos propugnavit; physica diligenfer persecutus, de iis, qua in sublimi aeris parte generantur , tractavit: in poetis etiam clarus, celebrato poemate Colophonem laudavit. Democritus patria Milesius , quem ablonga in Abderitis commoratione Abderitam dixerunt, na« tus est ingenio feracissimo, et studiorum defatigationis tam fuit tenaciter avidus, ut liberius, et ab omni strepitu remotius commentandi gratia, sese in subterraneis locis occuleret. Patrimonium negligere, agrosque suos deserere incultos nihil dubitavit, ut scientiam quareret in ZEgyptiis, Chaldzis, et Persis. Abdera: postea domicilium fixit, ibique librum edidit, in quo mundi fabricam erudit& descripserat: quem librum tam probarunt Sapientes urbis, ut statuam public? dicandam auctori decreverint. Tam morali doctrina , quam physicis, ma* thematicis, astronomicis, politioribus litteris, et liberalibus artibus excelluit: à qua scientia" rum vastitate Aulus Gellius Democritum philo* sophorum nobilissimum appellavit. Post vitam eleganter actam in philosophico risu de inani* bus hominum curis, de vulgi gaudiis, et la^ crymis, decessit etatis anno supra centesimum ——— DE PHILOSOPHIE VICISSTUDINIBUS 57 nono. Sed ne quid desit inhistoria mortalium; Ut ridebat feré semper: Democritus, ita feré semper illacrymabatur Heraclitus. Hunc Ephe- Si natum , ingenio ad tetra quavis maximopere prono, tenebricosum "dixere philosophum ab - Summa stili obscuritate. Plurium fuit auctor Operum, inter quz celeberrimum illud habextur, cujus erat inscriptio de Natura; inquo, famquam compendio, dedit posteris philosopliam suam ng igne mundi principio, ac de ipso mundo flammis perituro. Librum hunc Uripides cum immisisset' Socrati, respondisse fertur gravissimus iste philosophus: valde probari sibi, qua capere potuerat; et ab iis credere , laudabilia pariter esse , qua non intellexerit. Eumdem librum Darius Persarum Rex quum legisset , itá ma nifecit auctorem, ut elentissimas litteras ad eum dederit, ipsumque etieficiis, et honoribus cumulandum in suam -egiam invitaverit. Negavit Heraclitus, conveülre sibi commercium cum hominibus, in qui- Us improbitas, dolus, avatitia regnabant. ]o- Üüissét: torvus Philosophus officium /Principis YeCusare, sed modestioribus, et urbanioribus Yétbis, Ab hoc libro dz Natura Ylato desumpla quz de physicis multa tractavit, H ydrope fasravit Heraclitus , et sexagesimo atatis anno Du horam subiit, serius fortasse, quam polliceri poterat morosissimum ejus ingenium, Wmque in homines » quo gratis consumebatur., nica sono aree admodum numerabat annos Jo- : 3; quum Thales, quem ejusdem Conditorem den 1 " (^q n monstravimus, auctor fuit Pythago- DE-PHILOSOPHIJE: VIOCISSITUDINIBUS 453 liberalibus--donis, ut Agrigehti faceret, quod Crotone Pythagoras. Philosophus , poeta; histo- Ticus, medicus, etin omnibus his laudibus &dniodum. supereminens, ad. plures doctrinas Tum ;ramos magisterium suum extendebat; Tam beneficum , et sapientem. civem sexagesimo tz» Usanno vita functum Agrigentini lacrymatisunt; 'iPostremum, memoramus in Gracis- Doctoris bus Epicurum; Gargéttii natum in Attica, et àmi ,educatum; cui. doctrina-Pythagorz- prz "atonica , et Aristotelica quum placuisset;:ad *latis annum trigesimum: sextum perpetuó pe- Tegrinatus;.est;: donec. restitutus in Graciam; thenas. elegit , ubi. nova, schola Princeps: in quodam horto.philosophiam suam disseminaret. '"nnumera confluxere gentes ex tota Grecia , ut 0X. Asii, et ZEgypto peregrini, qui Epicurum 3udirent; Nemo fuit. eo:solertior. in scholarum *Incipibus, nemo laboriosior , nemo; qui plura Ntipserit , nemo, cujus asseclarum tanta pradi« CRUr Constantia in Magistri veneratione; Re- 9ricam neglexit, dialecticam plane contempsit: Arum autem scientiarum. vice. commendabat TSpreuitatem 4; et ordinem; easque laudes; ix 10 Si credimus, ipse profectó in scribendo Cutus.est, Ex tot ejus operibus ad. nostram 'atem dumtaxat pervenerunt tres epistolz; es in ejusdem vita Diogenes Laertius ab in- Mes die porum vindicavit: quarum prima com- Billarj,, P*ISequitur , quz de physicis; altera sinrüm so)? qua de meteoris; tertia, quae de mocentia philosophus iste tradidit. Leucipii, *mocriti doctrinam de universo mundo ex 44 DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. —— atomis fortuito adharentibus conformato , miris. conatibus adoptavit Epicurus: hoc tamen dis crimine, quod atomos dixit, ut corporis est natura, suo deorsum pondere ad lineam deduci; non quidem omnino ad lineam; sed minimo declinantes intervallo ,. quantum satis est, ut eX earumdem complexionibus , et copulationibus, nulla data causa contingentibus, quidquid tam mirabile cernitur in universa rerum fabrica, efficeretur. Omnes corporis sensus tam veri nuntios asserebat, ut Soli, et Lunz tribueret eam feré magnitudinem, qua videntur esse nos* tris oculis. Ánimum hominis volebat. esse materiam: aliter enim, ajebat, nec agere posset, nec sentire. Deum sibi finxit , «ternum quidem illum, et beatum; sed otiosum, desidem , atque. ita vacantem beatitati sue, ut omninó nihil curet, qua aguntur inmortalibus. Extremum hominis bonum propugnavit in voluptate situm esse. Nec ignoramus perniciosum hoc, et ab* surdis uberrimum dogma , benigné fuisseà com^ pluribus explicatum: nam prater Divum Hiero* nymum, qui multis laudibus effert Epicuri tem perantiam, Stoicus etiam Seneca magnifecit ejusdem pracepta; et post multa sxcula dixit Petrus Gassendus , clarissimo vir ingenio: »Qu »ad mores attinet, Epicurum maxime et sO*- »brium, et continentem extitisse, ac sectam nul^ »lam philosophorum illius secta fuisse sanctio" »rem.?? Unde fere interpretantur , non vitiosa sensuum , sed purissimam, et sanctisimam ani^ mi voluptatem Epicurum intellexisse. At Tul lius Epicureos urgebat, nec ii negare in dispu* DE PHILOSOPHLE'VICISSITUDINIBUS. 4j tione ausi sunt , eorumdem magistrum testi- Sicatüm fuisse: »Ne intelligere quidem se posse »übi sit, aut quid sit ullum bonum prater illud, "Quod cibo, aut potione, et aurium delectatio- ?nI€, et obscoena voluptate capiatur."? Satis hxc Pauca sint de hortulis Epicuri, quorum. esse ser amplissimum argumentum; sed non est Istorici compendii singula philosophorum dog- Ràta minutatim evolvere. Hactenus. de Gracis aliisque. Sapientibus, Qui Graecos hac laude antecesserunt; brevissi- Q* nunc de Romanis, qui longo tempore nes- Slerunt pulcherrima philosophia delinimenta, et illecebras ; imó conantem illam irrepere in Reiublicz: sinum, interposita vi repulerunt, eique Ores incondita rusticitate occluserunt. Nimi- Tum homines, qui sine litteris ad. canos pervelerant, et quorum tota fuerat in armorum stre- Pitu gloria , expalluerunt ad sapientia veneres, Imueruntque Reipublicae, si litterarum studio Qu » et immersi juvenes, arma contemnerent "asi laurus, etoliva non possent eamdem fron- , 9rDare, ac circumcingere, Nulla quidem Eo Inmortalibus vite conditio, cui littere non Int utilitati | er adjumento. Et profectó nihil po- :t Romani Senatus decretum impedire, quo- Io; pj P'imó clanculum, inde palam cives phifup persequerentur, et processu. tempotum 4, Arce philosophiz fastigium, Athenas ex obi] Roma consurgeret. Paulus ZEmilius omip. simis Romanorum familiis, qui post 05 bello Macedones, tam magnanimum se *» Ut inmensos Persei tbesauros nec atti- 46. DE PHILOSOPHIE. VICISSITUDINIBUS. gerit, nec saltem viderit ,'sed Quxstoribus illi cótradiderit, in zrarium Reipublice deferen* dos; regiam dumtaxat bibliothecam liberis:desig* navit suis, eumque sibi dulcissimum tanta vic* toriz: fructum credidit, quod ab Atheniensibus obtinuisset Metrodorüm, egregio nomine philo: 'sophum , quem predictorum filiorum institutio- 5i litterariz preponeret. In his Pauli filiis fuit ipio Africanus Junior;cui tot, tantaque;n bello facinora nomen pepererunt nullo intermoritu^ rum tempore; sed quem ad litterarum amore for^ tasse justius laudavit posteritas. Opulentissimus hic Romanus, quoson quisquam elegantius y ait Vellejus Paterculus, zzerzalla negotiorum otit dispunxit , et qui semper inter arma ,etstudid versatus, aut corpus periculis, aut animum dis" ciplinis exercuit ; non solum facilemad se pet mittebat sapientibus aditum, sed cos dilipentef quzrebat , eorumdemque tum amicitias mendi . cabat, tum necessitatibus liberaliter providebat Polybium, et Panatium gracos philosophos doctrinarum excellentia illustrissimos, tam ch ros habuit contubernales , ut vel in privata; vi officiis, vel in rumoribus belli , vel in-spleridó! ribus legationum, saltem ab alterutro nu quam divelli permitteret. Terentium. Afrum ; à liberali famosum ingenio, habuit in familiar bus; ejusque opera, summo pratio Roma tuf habita, et nunc etiam eruditis probata, mag? saltem ex parte deberi ajebant elegantissimo Sc pionis calamo. Sed nihil in hoc viro tam m moria dignum , quam amicitia cum Lalio, R mano eruditissimo , et castigatis moribus laud . , DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS — 47 üssimo, qui cum illi erat una domus , idem vioti, opinandi consensio , communis militia, pe- Tegrinationes, rusticationes, et studia semper aid discendi, sempér nova cognoscendi; quibus in studiis otiosum omne tempus utilissi- Uv conterebant.. Quid amicitia id generis dul- Cus? Utinam et similes colerent in omni bené Constituta gubernatione nobiles, et pecuniosi Viri! atque utinam similiter ztatem impende- Tent, qui funestissimum sequentes otium, la« Crymabili ;txdio, ac displicentia sui consumuntur! T Post memoratum Romani Senatus decrefum , quo jussi sunt philosophi Romam desere- Te, scientiarum amor increvit, et magis, maise littere coli coeperunt. Postremis: veró Nelpublice temporibus ad summum honoris fas- "gium philosophia pervenerat. Parentum ac- [ratio , ut litteris erudirentur ab exordio vitz Hi, generabat patrie copiam virorum innu- Cram, qui in oratoribus, in jurisperitis, in Philosophis excellebant. Prajudicatam deposue- *nt opinionem, quod iis nationibus derelinsuendum esset scientiarum studium, quz. rion . morum furore, sed in togz tranquilitate "'àm agerent, Er hinc prima patriciorüm libeücantium cura in id jaculabatur, ut illi ms tam latinam patriam, quam eruditam ver) mm linguam perfecté condiscerent; inde que E eberent venerari sapientes, eorumlent; : suetudine delectari. Atque ab hac excelinfant: ücatione. quum pene ante depositam &m saperent, primi postmodum erant in 4B — DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. , philosophicis notionibus, qui ^ primi: cives i petia; primi in Senatu, primi in Magistratius habebantur. Pom ji nomen, et scientia^ rum amor meritó celebrantur, quoniam à Mie " &hridatico rediens bello , ingentium victoriarum pondere gravis , militari lauro decoratus , et solemni triumpho proximus, ad Rhodios divertit Nanspramodo ut viseret, atque inter discipulos audiret philosophum. Posidonium. In avita claritudine, amplissimoque fortunarum splendore delicaté transegit pueritiam , et adolescentiam Lucullus, ejusque postmodum olo-' riam tum vitz magnificentia , tum egregia in bello facinora cumularunt. Quam autem illustrius habuit nomen ab assiduis conatibus , ut scientia" rum ornamento mentem perficeret! Non enim in otio tantum. domestico litteris delectabatur, sed. in operosis Magistratum officiis, in publicorum negotiorum astu, in ipsis belli angustiis, quum, ut ajebat Tullius, zoy. multum. Impe ratori sub ipsis pellibus otii rie i brevi simam quamvis temporis particulam , qua: fo t& supererat, in studiis impendebat, et cu philosopho Antiocho, quem semper voluit sibi comitem, erudité congrediebatur. Quam docta quam urbana, quam jucunda inter homines fanto amore litterarum educatos colloqui Quid autem si ad liberos, familiaresque sef ines congregarentur Hortensius, Tullius Cotta , Casar, Pompejus, Cato, Brutus, Att! cus, Varro, Lucullus, et similes ejus acta Romani, qui ut erant praecelso , ex exercitatis^ simo ingenio viri, convenire certé non po DF PHILOSOPHIJE VICISSPTUDINIBUS. 49 Tant quin eas, quibus quisque abundabat, om- Qus generis doctrinas urbane .profunderet? Sed liceat ab reliquis distinguere , seorsumqué commemorare in ea docta turba prestan-. "simum Tullium, quo nemo" inphilosophis ürbanior, némo suavior, nemo éruditior, nemo "oquentior, nemo patriz observantior ,. nemo Ort&, cui plus deberent sui cives, nisi casu YlXisset, quum"in' postremis jam erat suspiriis Fonvulsa Respublica. Nec profectó vidimus, "ec audivimus umquam litterarum aviditatem 5a majorem, quam orator iste: philosophus in. 3üis commonstrat. operibus, Nec omnino in- Mi arerisscgrio potuerit ille pacto in vita tot plena tumu ibus, tot referta negotiis, tot'oc- Supata Magistratibus, tot misera publicis cala- Wmitatibus, tot vexata privatis inimicitiis, tot üboriosa in foro ad Quirites, in Senatu ad 3tres, in gravissimo tribunali ad. Judices oraüonibus . quo, inquam, potuerit. pacto tam Profunde cognoscere, tam eleganter describe- 76 tam minutatim, et fideliter extricare, quid- Tid diffciliam quastionum ad cam aetatem geitarant philosophi Supremi Numinis bene-. Qu quo certe consuli scientiarum bono, et "eménto, plura tanti viri supersunt opera; bi aquam non pauci ejusdem libri lacryma- JActura perierint, Ex iis, qui pervenerunt Nile excelsa hujus philosophi magnitudo Inde manifectatuy Et quod admodum mi- Taberis. .. S ». va ; Solum ; Vir tam eminenti doctrina , et qui non tarum n nullo scientiarum ad ea tempora no- Tou. tre peregrinus erat, sed. quidquid qu E $0 DE PHILOSOPHLE VICISSITUDINIBUS. tractaret calamo, tamquam in provincia sud videbatur; hic, inquam, vir tam urbane, tam scit, tam eleganter fuit philosophus, ut, una Sibi proposita meta, veritatem inquirere, neminem suz sententiz adversantem voluerit of- 'fendere. Quonimó ut tranquillo. in. veritatem contenderemus animo, palam. ajcbat: '" Male »dicta , contumeliz, tum iracundiz, contentio* »nés, concertationesque in disputando pertina* »ces, indigna mihi philosophia. videri solent.» »Nos et refellere sine pertinacia , et refelli sine -»iracundia parati sumus." Amabilem certe doc* tissimi viri philosophiam! á cujus imagine manum tollere sine dolore non. possumus. Opor tet tamen, ne breves institut. compendii ter minos ultra modum transire videamur. | | Post eversam Romanorum Rempublicam, alia surrexit schola, quam appellarunt Eclec* ticam, et quam jur& dixeris rempublicam phi losophorum ; neminem enim agnoscebat prin* cipem; neminem; in cujus verba juraret; ne* minem , qui opinandi libertatem opprimere sed quidquid vel Pythagoras, vel Socrates, ve Plato, vel. Aristoteles, vel alij paris magnitU .dinis Doctores asseverassent, ad justam amus sim pensabatur; nec omnino. probabantur d mata, nisi rationi consona. viderentur. Prim? dicitur Potamon Alexandrinus quijAugusti vixi gtate , in hoc fuisse philosophandi genere; qua quam antiquiores. novisse , id maxim? dec philosophum, satis confirmetur ex trito illo p í tonis effato. Amicus Socrates , sed magis am! ca veritas. Et quod de Socrate Plato , de Plat , DE PHILOSOPHLE VICISSITUDINIBUS. 4I ingeminabat Aristoteles. Tullius etiam nom tam uit Academiz fidelis, ut aperte non dixerit; "Yon tam, auctores in disputando, quam ratio- "5 momenta querenda sunt. Pro ectó dignam Jomine libertatem , qua recta ducit ad veri cognitionem, quod supremus nature Artifex nobis "vestimandum concessit! Hzc autem libera O9pinandi facultas tum solummodo tibi licet, jUüum post accuratam in litteris assiduitatem: T*ctt uti ratione tua condidiceris: nam si. nullo Octrinarum. pramunitus adminiculo sis, et tamen.obiina is animo , nullius auctoritati cere, profundum patet errorum. pielagus, in jin praeceps facilé collabaris, Nullam dicitur otamon administr ibus ab eodem exc trinis:.nemo tamen dubitat, en ejus. ztatís Luise Jigum auctoritatis dejecisse. plures insigni no len es Constare xum pervenit honoris.culmen, ut. doctissiru tone i »ab A i quovis (1 ristotele, à Zenone, ab Epicuro, vel "lo simili; sed qua carpit ex singulis "üorà: tum Origenes, qui Principum $2 DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS. | omnium doctrinas percurrebat, inter se confe- | rebát, minutatim examinabat, priusquam alicui . Subscriberet: tum Lactantius, qui subscriptu- | fum se dicebat philosopho, qmi sparsam per. 3ipgulos veritatem, per sectasque diffusam, in unum, colligeret , atque in. corpus redigeret. Sed jam per hec tempora multis afflicta fuerat vicissitudinibus philosophia. Cajus Calligula , insignis litterarum osor, enormiter exarat philosophos; quos et postea Nero jus Serat exulare Roma, et ab omnibus Italix fi^ nibus Domitianus. Instaurati sunt litteris ho^ nores, quo teinpore ad Romanorum Imperium Adrianus conscendit, studiis maximopere de^ ditus, in quibus et aliquam meruit laudem quamquam famosx glorie plus justo a perperam voluerit in eorum Sapientum haber! numeto, ad quos ingenii sibi dati viribus per" venire non poterat. Ad summum gloriz fast!" gium philosophia rediit, imperante Marco Av* relio Antonino , qui et ipse, pretextatus adhuà incedebat Romz philosophus habitu , doctrinSi moribus: habitum' postea. cum imperatori? commutavit; doctrinam aetate adauxit, mof philosophicos intulit in sepulchrum. Philoso^ phiam appellabat matrem , aulam vero novcf cam, et sepius in ore habebat illud. Plato" effatum: Beatus fore populos, in quibus 4 qhilosophi regnarent, aut. Reges philosoph 4l rentur. Hujus viri sapientiam probavit erud' posteritas in famoso ejusdem opere, gu scripto, quod mirabili rerum prüdéngan N. venusta simplicitate precepta morum diluct DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. $9 alius à philosopho Athenas docente, ut si ei daretur € sepulchro exurgere; vel indignatione, vel cachinnis exciperet commendatam suo nomine philosophiam. Hac fuit anno millesimo ucentesimo: nono Lutetie' Parisiorum incenio damnata , ejusque lectio Catholicis vetita. XXxto post anno permissa ejusdem dialectica, In prafato interdicto physica, et metaphysica Temanserunt. Inde autem' Romanus Pontifex Gregorius Nonus anno millesimo ducentesimo trigesimo prinio, Aristotelem legi prohibuit, donec ab erroribus in sanctam Fidem purgaretur. Post annos centum triginta quinque Purpurati patres ab Urbano V. Legati, ut Academia Parisiensis in pristinum 'splendorem res- , Utueretur, Aristotelis Opera, dumtaxat éxceptis: physicis , commendarunt.: Sequenti seculo tam in honore jam erat Aristoteles, ut regio rancisci ptimi decreto damnatus fuerit 'Auc- Tor, qui hunc peripateticorum principem op- Pugnavit ;' eidemque injunctüm, ne ipsum au- , —Crét ultra maledictis incessere. Sed numquam ) Tam sublimi fuit Aristoteles 'gloriw fastigio, Tuam ineunte seculo decimo septimo, quum *Cademia Parisiensis induxit; legi, et doceri ni quidquid philosophicum erat Aristotelis "omine; ut. ii In hac pro diversis temporibus diversa no- -DIS Aristotelici fortuna, primi magnitudinis Quo in suis cultoribus littera numerarunt; p... um tamen comparataii atate illa famam, Si omniuim que justam éxistimarunt posteri Pientes, Er sieculo quidem decimo tertio. Al- 6o DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS. bertus Magnus, Thomas Aquinas, Alexander Hales, Bonaventura , Joannes Dunsius, Roggerus Dacon, Raymundus Lullius, Alphonsus. X Castella , ac Legionis Rex, Fridericus i Germanorum Imperator, aliique viri excellentes, non parvo jam numero, novos attulere conatus ad magnum opus philosophice instaurationis. Non tamen plenus adhuc dies illuxerat litteris: non enim vapularant, expunctzque ab hominum memoria fuerant inutiles, vanz barbara quasstiones , quas aut intelligere, aut ignorare, nihil omnino refert. philosophi: quinimó pluribus arabico sapore jam inventis, alia tunc ejusdem furfuris adjuncta: sunt , que frustra tempus consumebant; qua patientiam hominum tyrannic&. divexabant , quae miro utrinque furore, ac pertinacia , quasi res essent maximi momenti, propugnabantur. Undé non tam uberes philosophia collegit fructus, quam - polliceri sibi poterat à viris tam excelso donatis ingenio; qui si quarto post seculo vixissent, cum Cartesiis, «ERR TRA fortunatius adlaborassent in zdificio scientiarum ad. sublimitatis apicem elevando. Et cert? Thomas Aqui-* nas, quem dixere. quidam tam bene de. Theologicis meritum , quam decimo septimo saculo Cartesius fuit de philosophicis , nullo postes tempore non magni est habitus ab sapientibus, uod. profundissime cogitaverit , quod. solide d constabilierit, quod mira efficacia ra tiocinatus fuerit, quod modestissims IApuatil quod simpliciter, et perspicue scripserit, quo ordinem adamaverit, Et eo jam. temporé pbi* LI . DE PHILOSOPHLE VICISSITUDINIBUS. 61 losophie nomen coarctarant homines angustissimis terminis; nec fer& philosophos appellabant, nisi logica, physica, et metaphysica tractantes. Ià iis autem litterarum ramis profecto nihil extricasse videtur tertium decimum Seculum; quia czco quodam favore in ejus Aristotelis, quem confixerant Arabes, jurabatur verba, nec erat ferm, qui auderet contra Jam €ogitata dicere, novas rerum causas Quarere, in Secreta nature laudabiliter curio- Slus- ingredi; ne scilicet tanti "Magistri, quem omnes credere videbantur ab errore immunem, offenderetur auctoritas. Acria certamina et contentiones,, qua scholas inter se dissecabant, plerumque vertebantur in quavis floccifacienda subtilitate, singulis conantibus, et fluctus insimpulo excitantibus, ut id evincerent, favere sibi Aristotelem. Et hec imperiosa tyrannis perpétuata est toto etiam seculo decimo quarto; quamquam in eo vixerint ad Italos, ad Gallos, Ad Hispanos, ad Germános ad Britannos il- Ustrisima ingenia, quorum auctoritas potuis- Set subjugatas* hominum mentes in libertatem "Serere, Aliquanto feliciores visi sunt decimi Quinti seculi conatus, quum ad Italos transiem Greci , Bessario Nicenus Pontifex, Toan- Th Argirophilus , Theodorus Gaza, Georgius DOS et plures alii praclaro in lit- or nib; qui et public? in scholis, et pri- Wü ^. eruditis colloquiis doctrinam uberri- Tila | effundentes, exacuerunt Occidentis ingeei Jam ultró adnitentia in optimum scientia- Th saporem. Et quidem obtentum est, ut A 62 DE PHILOSOPHIE VICISSITUDINIBUS, plures insurgerent, qui , mentem humanam ins justé oppressam esse, vehementissime declamarent. In his autem declamationibus , quidam sincer& descripserunt schola vitia; quidam vero audacissima fronte plus justo. latrarunt con» tra eos, qui Scholastici appellabantur. Decimo sexto szculo , sapientissimo quidem illo tum in re Theologica , tum in morum scientia , tum in politioribus litteris, nondum tamen suo potuiexplendori philosophia restitui: quum enim, ut.in praecedenti, plures lacrymarentur, in philosophia tunc tradita philosophiam desiderari, nec tamen aliam humano digniorem ingenio ufficerent;.in tanta seculi luce nemo uit, qui jugum servitutis excuteret, . lq . Renato Cartesio, philosopho Gallo, reservatus erat hic triumphus, Quarto natus anno, decimum septimum ingressus est. seculum ,. il» ,- lustris genere, longe illustrior..nobili opinandi | de mundanis libertate; beneficisque sudoribus : quibus philosophiam aut magna ex parte pene creavit , aut cert? splendore , ac dignitate mag" nificentissim? cumulavit, Neque vero debita fraudandus est laude Galileus de Galileis , famosus. quidem imprimis, Florentia natus triginta duos annos ant& Cartesium: qui Galileus ab summa eruditione in geographicis, ab ingeniosissimis. inventis in re mechanica, et pra" sertim ab astronomicis notionibus, magnos atate sua de se rumores excitavit, et summam sui celebritatem posteritati reliquit. Galilei sup" par floruit in Anglis Franciscus Bacon , V eru* lamii Dynastes; qui agitavit quidem magna, € ——: .Uones habuerit suspectas, DE PHILOSOPHLE VIGISSITUDINIBUS 65 sublimia, .ut instauratio litterarum aliquando perficeretur5.. quarum. bono. libros conscripsit oppidó .cslebratos. de. humanarum notionum incremento , ac dignitate, de novo scientiarum Organo, de.universi orbis phenomenis, et. plu- Tes alios: prima utilitatis. atque amplitudinis, quidquid; maligni quidam, Britanice laudis invidi oblocuti sint. Petrus ctiam Gassendus , ex- Celso vir,ingenio, natus in Galliis.anno ante rtesium.quarto, per eadem fere, atque ille, tempora. Peripateticosconturbavit,: Leucippi, et. Democriti-vacuo ; et atomis instauratis. Qui Veró totam..pbilosophiz. faciem. immutaverit; vetustissima. dominationis.vincula generos? fortis diruperitslibero, ac robusto ingenio praju- 1catas opiniones concusserit; contra formidabilem scholarum omnium. impetum solus pug- Dàre ausus fuerit; philosophicas. omnes. quas- i ad severi exa- Tinis trutinam appenderentur; humanz aucto- Titàti rationem , veritatem nove cognitam inca- Descenti prajudicio antehabendam exclamave- TIt5 primus utique dicitur. fuisse Cartesius, Pro- *ctó liquidum est, philosophum hunc fervidis- Simo ductum ingenio, veras causas, und? ad siplicanda natura phenomena descendit , non Ss Semper attigisse, quam gratis asseverasse Phils repertas : ceterum. subvertit ingentem ; OSophiae tunc regnantis colossum, quo.quirs, IColumi, lux veritatis oboriri non pote- ? t Jaetis novo philosophandi generi funda- TUS, viam facile constravit, ut, quoad licet 9rtalibus, ex purissimo rationis fonte veritas . Ó4 DE PHILOSOPHIJE VICISSITUDINIBUS — hauriretur. Et quantus ille fuerit in audacter cogitando, et quó processerit indole fervida, et^mirabiliter inventrice, satis eruitür ex ejus operibus; in quibus precipua sunt, Methodus ducendi mentem ad verum , Meditationes metaphisice , Elementa. Philosopliie, Dioptrica, Mechanica, Geometria ,' Algebra ; et libri de homine, de mundo, de internis animi motibus, de meteoris, et plures epistole, quarum totum est de philosophicis argumentum. Famosi vortices particularum, materie perpetuó sese in orbem agentium, tam circa proprium axem , quam circa commune .centrum; ele menta illa tria, qua fricantibus inter:se par ticülis nascuntur , materia nimirum subtilis, globuli, et pattes ramosz, ac duriores; bruta se moventia mechanicis tantum legibus, et mera, quod ajunt; automata; hominis anima tertium inter et quartum cerebri ventriculum sita, ubi glandula est, quam à figura ginealem appellavit; aliaque id generis pror^ sus nova, et sin minus vera, saltem acutissi* mo conficta ingenio , in philosophicis fuere Cartesii doctrinis. ; His penitus oppositas excogitavit Isaacus Newton, vir plane maximus, Britanorum decus ornamentum proxime lapso, et prasenti seculo A Keplero, et Cartesio prima derivavit lumina de geometricis, et mathematicis, in quibus vi^ ginti quatuor natus annos ea jam primus inve" nerat, quz postea Sapientes cum admiratione legerunt in famosis ejusdem wrap de optic? et de philosophia naturalis elementis, In ph^ 'H DE.PHILOSOPHIJ& VICISTTUDINIBUS; (5$ - SNicis et metaphisicis. probavit ingeniunr, pro bayir: voiazho i tieudi eig uam: pra;judicatis. . Philosophorum:opinionibus C rtesitis opposuit; Don tamen credidit; subscribere: se, posse conjecturis; quibus jllé-innixis; inóvae; philosophia fabricám: zdíficavit, Quare 'operz::pretium cen- Suit; philosophüs Anoliis , experimentis , et géometrice: norm: subjicere physicam. Primus in- Venitiinfiniti caleulum et ordinem rprogressio- Dum. sine aitmero; ique sane-inventa: maximi fuere: momenti; tim »ad. geometrice sublimia; quam ad /innumera explicanda:nattire: phznomena. Primus fuit lucis:quasi anatomicus, quam Iura. disecuit:arte ; septenique'rádiis conflari monstravit, Loquebantir:de | uce ante Newtonem philosophi ::sed: nemo : noverat j; quid 'illa eet; nec ullüs:iri tot Sapientibus fuerat , qui Penitissime. rimatus ititimam ejus natuYám ; sepplicem*in:ea radium; et primigenios toti- *1: colores vidisset; Primus: docuit ;' ind& reendum: phenomenon y; quod :omnes in: sua Peta: constent orbita; quia supreina legi obe« Nin quod: sese mutuó trahantzomnia cót po- Ai; hac vis trahendi, quam summus: rerum P iex inseruit MR et quam Newton Ne wr LtOHeni. appe lavit, Dtsioncaié qal totius aute, nice philosophia fun amentum est, Hane ivisig, A tractionis generalem legem in duas di» * AÍR iu iie prima est ; $i corpus quantitate Quanti; er-majus altero, vi quater.majori major Yetbis di ttaher minorem, quod 'geometricis Tüin , "t attractionem esse in. directa mas- TOM ue Quare si hzc duo corpora, cer« t I ; 66. DEPHILOSOPHIJE YICISSITUDINIBUS;: ta inter.utrumque. posita: distaütia , mutua. re* linquerentur attxactioni 4hinus: illud: tanto fes tinantius; viam perficeret, ut cum: majoricon- jungeretur ,:quantó ab hoc excéditur quantitate quod geómetrice:dicitur velocitatem corporum esse in inversasmassarum rationes Altera: lex:ést: si-bina corpora: inter se distent ad tria 1nilljaria; trahendi-Vis.in:majóri quatef:major-est:quam si-àd sex milliaria: distarentz:;sive ut geometr4 loquuntur ,:semper:sequitur:attractio rationem inversam quadratorumi.à:diversis nascentium distaritiis. dincrucid mirum: esty: his:tantummo* do legibus j:non :quidem pósitis ad arbitrium sed..geometrica-ratione, atque. ordine confirms tis, fer quidquid. est im natura. |phenomenis, Newton dilucidavit..Quintum: etcoctogésimum agebat.anüum; quum $? vivis;iabiit; et paren* tatum. illi-est fer& quasi Regi ;^et magnifico if ejus: horiorem:érecto mausoleo apposita:est ins*. criptio in hac-desinens: Gratülentur sibi mor* ptales, tale; taàtumque extitisse. humani. gene sis dechsJToue sio pioidro msgn02 xà nd Deditetiam Germania prastantissimumelaf* $0 ,:et nostro seculo philosophum ; cum Cartc sio, et Newtone jure comparandum , Gottofri* dum Gullielinum -Leibnitium. Lipsiam habuit pattiam, ingenium sortitus -feracissimum eb quod ajebat de Catone Livius; ad omnia: ve^ satile,. ut natum ad id unüm diceres, que agebat. Pretiosam.à patre accepit. heereditat bibliothecam - scilicet. innumeris -.libris: o fer&. scientiarum ramos eges refertam" et quum pretiosius. illo donum; ha uisset. 9 | DE THILOSOPHLE VICISSITUDINIBUS. | 67 tura, summam sciendi cupidinem, et incrediilem . in-: sudoribus. litterarüm constantiam; Orator, historicus; poeta, jurisperitus , theologus, philosophus ;:mathematicus,, et in singulis eximius dicitur -evassise, Quidquid .veró: sit. de hac sciehtiarum universitate , dumtaxat. ejus philosophiam; quee nostri est-instituti , necéam Totam, sed ;-przcipua capita:memorabimus.:Platonem; eid roris ;' ipsorumque: ordinem, *tconcinnitatem impense: laudavit; ..sedviam ngé ab iis:aliam tenuit. in-natura- rerum exe Plicanda;: Universa j/ qua sunt; conflarivoluit monadibis:y irarum nomine. intelligebat. subsfantiam siniplicem |-cui- nec pats est ; nec figura, Tec Jociis y; mec fextensio;;nec. aut tangi, aüt generari, aut corrumpi: ant: solvi potest, nec orinindoesse ; «nisi | ab: surminiocréetur Artifice; aut. mori ;; nisi «ad nihilum-redigatur. «Omnes; gebat; -Tnonades:inter se sunt dissimiles ; -et quadam:vi:donatg.,. qua invicem altera in.alte- Tam agunt; prater. hanc autem: intrinsecam vim 3gentem » eti moveritem ;- est-im individuis -mo- 2us dnterna»forma singulis:propria. Ejus- 1 simplicissima:substàntia ; ^nalla composi^ Parte. nihil :extense ;/ erum omnium eled tà sunts:sed pro suo-quaque ordine diver- "ebus inserviunt; Omnes quidem. quasi cen- P Ioet speculum; et via orbis:universi sunt; vis : i iconfusissime: reprasentant, nec in iis quia nisi movendi ; et ha: sunt monades, E $ corpori: componuntur ::ália: pauló clatent? et ex iis brutorum anima consurgunt: !l. sunt órdinis, in quibus fucile: perspicua; LIE 68 DEPHILOSOPHIJE 'V ICISSITUDINIBUS, miroque ordine universitas rerum: reprassentatur; etex iis nobilioribus humana 'est : anima. "Monas vero est quartum ordinem una efficiens; eterna: rerum. origo; süprema: monadüm on: nium. ratio, quz videt , cognoscit , reprasentat; quidquid aut est , aut-esse;potest5 et:hanc moe nadem. Deum Optimum-Maximum appellavit Si quasieris: 'qui possint ,. quibus extensio: non est, extensum producere? Id. esse ; aiti ex:cone junctis monadibus-/necessarió nascens: phzno« menon; perfectissima enimeilla: monas cum: ce téràs creavit, eam prastituit rerum: harmoniam; ut' monas unaqulibet ;sibi::datis: legibus: obediens, peculiaribus aliarum. monadum legibus obnoxia videatur, quamquam -inter: hanc ,' et illas nullum sit. omninó commercium. .Ita :quidem animus Leibnitii ;; nihil :prorsus;obnoxius corporis organis, tot: nova excogitavit in phis losophicis ; t.videbatur corpus ea scribere , que dictabat animus: quemadmodum antem animus ad ea excogitanda;prastitutus ;excogitasset etiam longé à corpore; ita corpus harmonic creatunt ad ea scribenda; scripsisset. longs ab animo: Nihil prorsus aut. animus à corpore, aut cor? pus ab animo dirigitur, excitatur , impellitur; quamquam ab.harmonia przfinita: videantuf sibi: invicem. respondere: monàdes ergo'-sunt ratio sufficiens: erum omnium; :qua: possunt . contingere: quumquenullum: plane , vel mini? mum, sit spatium monadibus vacuum, non po test. ura im aliam agens moveri, quin rerum , universitas commoveatur., et-hova orbis facie reprasentetur. Hanc. ergo prafinitam rerum c TRACIATUS Lese: ARITHMETICA NUMERALIS. $t " De natura numerorum. E 7 efin; Quatlibet res seorsim. considera- 5, Da est; atque adeo unitatis notio 3ta omni- Es S$5t perspicua, ut nulla definitio ad eam Dcipiendam: necessaria sit, Res et unitates p 'cuntur ecuz]les qunm magnitudine non "ierunt, sies veró, quando in omnibus NS conveniunt , quamvis alioquin magnitudi- ; differant, Sic duo juvenes equales dicuntur, nj dem. staturam , aut attatem habeant: sion autem, quum in omnibus corporis, liutis conformantur, quantumvis magnis . M: se dissentiant; Numerus est congeries uni« Dune, quz quidem, si ejusdem speciei sint; M dU) faciunt /tomogeneos: secus , Jreterogemer ee tres, quinque, duodecim hore, nufétopenef homogenei , pes notet et annus, he- E, anal I. Numeri heterogenei in unum Tütiopipr coalescere non possunt, neque ópetres $ arithmeticis subjici, Decem regalia, lius A rel, numquam in unarri summam col- Cnt... , nisi Prius ad eamdem speciem redu- ' Puta aureos ad regalia traducendo: Ll XA ^e -— ^ COEEEMENTA MATHÉSEOS ^07 0— tunc enim ejusdem speciei unitatibus summa coalesitl 4541. 1 £5. 1.7 dd 7X8. Schol. 2. Scientia. numerum (5), quam alithméticam áppellant ; duplici modo tractafi potest : aut signis vulgaribus , quod fuit Arabum perutile inventum , aut litteris alphabeticis, qu recentioribus:Geometricis ;-à;Francisco V iet4 methodus est familiarissima. Prima AritAmuetic? vul garis dicitur, secunda autem speciosa. Porrà ad exprimendum quemcumque numerum , decem: tantum 'signis.-utimur, Omnibus notissi" mis,.0, 15:25: 35.45. $ 5 6575/8 95 quand? autem .ad denarium. pervenimus;,- eorumdert signorum conjunctione insignes etiam summas compendio exprimimus, qua. quidem adeó om* nibus nota sunt, ut ab his explicandis superse deamus,. Tantum quz negotium facessere : complicatoribus summis colligendis. tironibus possunt , sequenti. problemate dabimus. l -.9. Probl. Numerum scriptum dilucid? ef gonere. Solutio. Dividatur à dextra versus sini. tram, ita ut singula tres nota virgula dividat tur; existantque plüra membra , quorum ull mum. una, aut. duabus tantum notis const?! potest. Utautem milliones , billiones etc. rite c noscantur, lineolis superius. post sex quasq,, notas indicentur. Exemplo res clarescet: 4. 365.» 294!,785 , 468/25 :934 sic enuntiab quatuor -trilliones ,,ter centum sexaginta qui^, que mille , bis«centum nonaginta quatuor bi/ nes , septies centum octoginta tres mille , qu centum sexaginta octo milliones, bis centi quinquaginta sex mille, novies.centum trig " » - SOT TRACTATUS 120011 90 quinque ines fan gucifegn et, primam lotam à dextra versus sinistram continere uni- Uités ;. secundam «decades; tertiam "centenaríá Sürtam unitates millengriorum , quintam de- Ces millenariorum, sextam centenaria ejus- Jm numeri, septimam unitates millionum , et MC deinceps, — | [C1 ;,10"'Sthol» Bátbare -quidém dicitur ziii, Ilio; tri]li quemadmodum alia plurimas quae imen jam; frequenti uisu-in^orinibus disciplinis "'Cepto latinitate doriata sutit. O perosum eniiiiy eie "ambagibus pronum:est; iie'dicam capta "ifficillinim nuntiare decies:centera' millia, Uillies millies millia | ut z7//iosem y ac billionep ndicaremns, | romanorum: moré» Sed jani ad "Derationes j qua: numeris 'exerceri! possunt; Propereinus.: Ad: quatuor-:auteti! reducuntur; simirum Additio , Subtractio , Multiplicatio ; ét -Tttio quarum usus in huinató commetcio ;cquentissimus --est. Tirones. "assuescant "cala mum: Docturnd; ac diurna versare manu; ut ahmerirg: regulasad praxim deducant. Parum "ünique / rp ient , nisidistinctas notiones, QUnS studio comparaverint, continenti exerci« Hone. repetere conabuntur (* mio | )"Umsbscs teon rro: t" bA TON Y ^ c^ a n . ba à TXA! & | : : 5b» b ' 2 J i X1 *9* ] I IN 2 M E 1 Ani pi ELEMENTA MATHESEOS. ! | fnüeTixiie e[(219Y R1149D b fs [t 12102 Ini Ji drithmetica. aperationes. in mutieris: arabici? ded Rot A -UQ nuimiuisp «uror cri 293BTIRU :tigrindg "M TIU. -1- p mi^ rv NT S i07 —9112 -RBI1TEU J1155 tf8T4 . [AD 101150901081. 29584 VSEO te EET. x. CuXNENMESE. io INO ULUTI intenddditio, «5 , Lora. ap [t xr Mo efin. A444isio vocatür ca arithmetic? 12 Probl, Numeros compositos homogen addere. Solut. 1. Numeri addendi ita scriba! tur, ut unitates unitatibus, decades decadibU? centenaria centenariis etc. sibi respondeant unaquaque summa addenda. 2. Singillatim s dantur unitates, quz si novenarium exceda; ad decades rejiciantur, subter lineam scrip' .c TRACTATUS Xa BIA 7 taritum unitatibus; Similiter: in^ decadibus; si denarium:nümerum excedant , ad centenaria referendz sunt, retento -nümero decadum:, qui Ad'decem: non perveniant. Exemplo clárior res (iet: Sint-addendi sequentes. numeri, 10761052 UenoR- S76mtient- 6 2. 1113: /;G 1119 gUIJ EC s nireat i195. 115! du 9555 12 5 Exemplum; ]. 0 2569. dn Oe2T9vI: Ouisb obnshusoea. 229 2221102 4991nu2. obusb "Pis 19.391:2 mbi mift9. cli; 20 .iuisailloo Wissllon. emus 52. bou..." di «15$ seziovui 9n (te " e ieq yi n1e10115,. 29 Durum lusto "Wonozisqo ,)95 4 iu1295]:521,225127(/109 O19v Mx Quoniam: in: prima:cserie à dextris: versus Sinistram;vipinti unitates reperiuntur ,qua duas decades juste complent, nulla superest unitas; unde cyphra, seu zero notatur, nullam adesse unitatem, Duabus-:autem' décadibus cateris. seundae, seriei:adjunctis; planum est cüm. aliis 9cto; decem:conticere, quz quidem: decern: de- Cades jam: centenarium conficiunt. Nulla igitur "estat. decas : subscribenda quum omnes ''ad tenariumr rejetz sint: zero itidem: hoc no- ; ldum est. In tertia serie septem centeriaria Mveniuntur,, quz cum alio ex decadibus:collec- » Octo-centenaria fiunt: quum veró àd decem betenaria non perveniant, transferri . non de- "t ad milliaria, Scribenda itaque sunt sub te ^ - z . I * 9. * co]j;, Centenaría continente. Denique milliaria !8e sub serie milliariorum; invenies sum- e a FEM ex quatuor summis pattialibus Colliounrt Demonstr. Tali modo operandi mijlja, s Ur tot unitates, decades, centenaria, là-ete. ; quot in summis partialibus inve- 8o ELEMENTA . MATHESEOS. niuntur: totüm. autem aquale:ést.suis partibus simul. sumptis :. igitur .summa inventa continet omnes-numeros in-seriebus contentos: «505: c;13;i: Schol. Asidirionsoptabetienes spite adhibentur ; que ad subtractióner; referantur. Satius erit operationem denuó instituere sensu inverso ab 60, Quo primiim facta est. Si descendendo sumima. collecta est, ascendendo denuó colligatur. Difficile enim .idem error operatione inversa fepetitur. Quod si summ collectz dissentiant, sigrüiüm est errorem irrepsisse; sin veró conveliiat, manifestum est, operationem xect& institutam ; quum:;eádem | sumina debeat emergere, quocumque modo colligatur. .. i 2 jeo2qne mit Hi üi jjeuj. 22b8228 is . . - t ti6H fh . T rn nm cEudq co ; perrore odio ob bmactios dou. angu? i 14: Defin, Subtráctio est. operatio ;quá. nue merus: à. numero: detrahitur j. ut eorum, diffe" rentia innotescat , qua dicitur etiam residuum Numerus.major appellari potest inuenidus, mit nor su2dncendus. Signum subtractionis est-li* neola—; qua enuntiatur verbo zkinus. Sic 8-. 6z—2, enuntiatur; octo minus ,sex »zquali? suntduobus, Hac est subductio numerorum sim* plicium , qua. nullo. negotio perficitur. Jam ad compositos, onsd üllinr he 218 53$. c Probl. Numeros compositos à se invicci! subducere, Solutio, | 1jod , zit "Tolattt $75 »v - ^ SZeSD0b crehaf culi | Exempl, Minuendus sit 1994657. «7 Subducendus 64329593..." Residuum. 1475064... * OOUTRACTATUS 120007 8f. ^ OX. Subscribatur minuendo sübtraheridus; ut 1 exemplo, ita:nt unitates unitatibus ," decades cadibus'etc. respondeant; linea subscribatur.: ?« Subducantur-unitatés ab anitatibus , et subs Cribatur residuum uniuscujusque seriei sub liea in serie respondenté. .3. Quod si numerus Superior inferiore minor sit, à serie proxime *equente decas mutuetür j-sivé.unitas, qua pro Ordine numerorum erit computanda aut decaüm; aut centenariorum etc. , et sic potérit'stüb-. uctio fieri; Séries vero sequens debet ea -uni- fate mulctari;, quz jam compütata-fuit in serie Subducta.:. Sic in exemplo , 9 à $.subtrahi non possunt: addita veró: unitate fiunt 15 ,'scilicet decades, à quibus subducendx sunt novem des cades; 4. Quum veró jam centenarium à;classé "uperioredetraxeris, namquinque- decadibus ecem addidisti, quz sunt unitas-im centeng- A 5 non amplius remanent sex, sed quinque ;htum centenaria. Idem: recurrit in quarta sea millenariorum. 5. In quinta veró, qua de: dips millenariorum €ontinet , nova occurrit .-eultas, Nam 2 à o detrahi non possunt f$ à serie proxime sequente deme unitatem JXendam huic seriei, qua cum o facit 10. Meung 5 tamen ex hac decade jam detraxisse xist N. ; quam millenariorum classi »adjutie duces, on igitur 2 ad 1o, sed à 9 debes sub- Paneg 1267 Hac operatione detrahuntur tot üs) & in minuendo, quot indicat subtrahendeca iE P unitates ab unitatibus, decades à ài ibus etc, Ergo etiam totus subducendus t * " 9 minuendo subtractus est. 9M, 1, Ne .82: ELEMENTA MATHfÉSEOS. -.16 .Schol...Examen subtractionis e$t additio. Nam si subducendo addas residuum , mie nuendus debet restitui. Si aliter eveniat, ope: ratio errore fion caret, ideoque iteranda erite: OT *W AMultiplicatio. . ..17 Defin. Numerum per numerum. multi plicare est toties sumere oultiplicandum , quo* ties indicat multiplicator. Appellari. etiam so lent factores, et coefficientes: quia. uterque numerus facit, aut coeflicit novüm. numerum, qui productum, vel factum. dicitur, . Signum -multiplicationis est. crux Sancti Andrez sive decussata x. Alii vero. puncto intermedio mul^ tiplicationem indicant. Ita 4»$ aut 4. 5——20* sic lege: quatuor ducta in quinque , equali$ sunt viginti. Patet multiplicationem esse it€^ - ratam additionem, Nam idem est 4 multipli* care per 4, atque quatuor quinquies addere Verum hzc additio nimium operosa: foretr adeoque multiplicationis compendio brevior fi -18 Schol. Pro faciliori multiplication praxi inventa est tabula, sive abacus pytha ricus in sequenti schemate subjectus, | ^^. . U- Usus tabule: notissimus:;est, Ut invenias cujusvis numeri 'per alium, mültiplicati productum, quare utrumque in serie: verticali, et orizontali 5: numerus inter utrumque interceptus erit. productum: e. . vis scire productum 9X 6x5; quare in columna: verticali AC. numerum ^; aut? 6; :alterum.autem-in serie AB; Veniés ab'ipsis interceptum numerum 50 pro- .Uctum ex. 4 x6-— 5o. Facili negotio abacus nite continuari posset eadem methodo ,. pro- Brediendo semper eodem augmehto ;ut in.nutis "minoribus "peractum vides -quod. quie *m y pro privato adolescentium usu, ut sibi qüisque proprio-marte abacum ampliorem elus Cübraret; auctor essem. ha sil & 49. Probl. Numeros compositosmultiplicare, Solut; Exempl. Multiplicandus 9 bovis T re Multiplicator | (094 Adi omm 473627128 "oue 280220346 Productüm 5317:830;88- . .. SLEMENTA MATHESEOS. . r. "Multiplicandum, et multiplicatorem scri- - be, ut in exemplo, linea. subducta. 2. Incipe multiplicare Á dextris, singulos multiplicandi numeros: per primam multiplicatoris notam ducendo: quatuor ducta in duo, prodbicunt 8; uz subscribe sub unitatibus. Deind& ad sedandani notam progredere; 4x98——32: subscribe duo sub decadibus: et/5 retine adjun* gendum sequenti producto. Itaque dices: 4x7. —28-4-5——31: scribe. igitur 1, et retine 5 adjungendum sequenti pro ucto, ut nunc per^ actum est, Eodem modo operare cum reliquis notis usque ad: ultimam , cujus productum integrum subscribes, quum nulla alia restet ro* ta multiplicandi cui adjungatur.-. 3; Quod in prima nota multiplicatoris peractum est, ite* rari debet cum qualibet ex sequentibus ; ita tamen ut producta scribantur sub notis ipsis respondentibus. Nam secunda nota; quum con tineat decades, productum ipsius debet subs* cribi sub serie decadum: aliter scriberes de^ cades subter unitates, centenaria subter deca* des, atque adeó summam. colligeres minorem. vero producto. Nam 4 post rite peractam mu. tiplicationem omnium notarum multiplicatoriér debent omnia producta in unam. summam. CO' ligi, ea addendo eo modo, qui in additione jam indicatus est: summa hac erit productum totale. Dem. Manifestum est ex molo opel di, unumquemque numerum toties sumi , qUO' ties indicant singule nota m plicat nid e quoniam hzc producta deinde in unam sum" mam rediguntur , summa totalis erit produc unm TRAOTATUS Y." — . Oo Praxis eadem est pro numeris compositis; XC Drécedens pro simplicibus tradita. Consultó Qum in-pracedenti problemate, omissa metho- - £9 breviore; omnes operationes prosequuti su- "S, üt problémati 2 viam sterneremus. T: Query cauda primo membro 69 divisor 4. «nitur? Semel: scribe igitur in quoto; dein- -* multiplica per divisorem ; subtrahe; atque Péfatio primi membri peracta est. Numerum tü lentem in dividendo adjunge residuo; ited ' inqüire quotum , scribe , multiplica; et sic ;"IiCeps, - vorn - pw $ " 29. Schol. r. Si aliquot residuum post per- "tam divisionem remanet , scribatur post quo- E". » &C linea interjecta scribatur subtus divis» V« B 51 dividendus fuisset 69108, quotus is 1254 2-5. Hac fractio dicitur , cujus .uonem postea dabimus.: Nimirum remanent Süatuor dividenda inter $6. pus is Schol. 2. Si dividendus , et divisor in neg orem numerum cyphrarum habent; illis "a W , Operatio instituatur cum numeris NECIERHOUM v. $. sit dividendus. 4600 per diy. Ividantur 46 per 5——9-r;. Pariter si in Poss Te tantum occurrant plures zer?, detrahi 2epj it ex dividendo tot nota-à dextris quot in, "Veniuntur in divisore; postea adjungatur hoy, Um fractions residuum cum detractis QT divisor, v. g. sit dividendus 63492 65 300: rejice duas ultimas notas 92: divide n 15 quotus erit 2112-223. — " m Schol. 5. Nonnumquam evenit, ut resi- Unius membri cum nota adjuncta pro 92 ELEMENTA MATHESEOS. : sequenti membro minus sit divisore: tunc scrip" to in quoto zero, alia adjungitur nota ex divi | dendo, atque operatio instituitur de more, 7.32... Schol. 4. Si in multiplicatione quoti pef. 'divisorem inveneris productum majus membro dividendo, signum est, te assumpsisse quotum justo majorem ; adeoque unitate saltem mi^ nuendus est, atque operatio iteranda,: Eviden$ enim est, majorem à minori summa subdudi non posse; et productum ex divisore, in quo* tum debere esse aequale, aut minus, num quam majus dividendo. De hoc enim inquiri; tur. quoties contineat divisorem ; adeóque 9 roductum ex quoto in divisorem esset mà* jus dividendo, contineret partes se ipso majo* res: dant enim productum majus, L 33 Schol. ;. Examen divisionis est multi plicatio divisoris per quotum. Nam planum esh restitui debere dividendum, positis suis facto? ribus. Quod factum vides in exemplo: ubi d* videndus est ipsa summa multiplicationis 5U^ | peius allata num. 22.; quod consulto fecimus revitati ac perspicuitati servientes. & V. | Numeri complexi. ! 1 q' 54. Defin. Numeri complexi dicuntur , plures quantitatum species continent: v. g. nus, dies, horas, minuta: hexapeda, pedes, lices , lineas: circulus , gradus , minuta , min" secunda, tertia etc. In his distinguntur spe superiores et inferiores. Species superiores qi y " des TRACTATUS T. |. .. 93 cuntur qua alias continent: inferiores, que in !psis continentur. - ^^ ^ 6 nsigpn: 3$ Probl. r. Speciem superiorem ad inferio- Tem reducere. Solut. Multiplica superiorem per Dümerür indicantem quoties continet inferio- Iém. Producto invento, adde inferiorem 'spe- Cem, si/qua sicul data fuerit: ex. g. dies r0 - Teducendi sint in hora5, sc minuta: duc to in 34—240x60-—14400. Quod si insuper addenessetit 4 lore cim 4o minutis; 240 addere debuiése 3: deindé ducere in 60—14580. ..36 "Probli 2. Specfem inferiórem reducere ad "!tberiorem, Sólut. Pro' divisore accipe nume- "Im indicantem quoties inferior in superiore Continetür: per hune dividatur. species redu 9nda: quotus dabit speciem superiorem. Reduum, si quod sit, erit speciei inferioris: ex. g. 2464 pollices reducendi sint in hexapedas. — 1. c Ide per 12; tot enim pollices pedem efüi- "Unt: quotus 205--5: dabit pedes biscentum h que cum quatuor pollicibus , qui sunt ad- € Speciei inferioris, quum pedem quare noa Dosint. Deinde divide 20; per 6: quotus daài T MED Productum totale-erit 34 hex. t. p. 3^ Probi. Dheriài j des ejusdem " eris addere, Solitio- " ai 4 Li Xémpl. ? pond. 4 lib. $ unc. ir "bs 2 E AL "nin 4 20 ^ 9 I$ pond. 6 lib. 8 unc. umeri ejusdem speciei sibi subscriban- N 94. e 9 -MATHESEOS. tur.in columnis separatis... 2, Summam collige incipiendo ab infima specie: deindé:si summ2 collecta. fuerit major numero. indicante quoties p cie proxime. superiore continetut, ad..speciem.. superiorem. Residuum ,. si- Re arg. scribe sub. . Specie. inferiore, ac quo* tum. adjunge columna sequenti speciei superioris: ,$-- 10--9——24. Quum vero. libra contineat. 16,uncias, $$——1-—S. Scribe igitur 8 sub unciis , et eos 1 adjunge ad. libras, Pa* riter quum: pondo contineat 25. lib. reu librarum 6, ad. pondo; reductarum;,: Scribe. sub libris,.et quotum. adjunge ad speciem. ;supe-. xiorem. Hic:supponimus libram 16 unciarumy. quod. hec Hispanis in usu sit. Ilis 12. nno runi proponenda esset... «2 « 59. Probl. 4 Divassa species. - My cash gleoi. à se Suricenn qué duceves slo ag 1 d - Exem l.-Minuendus-25-hex. 4. ped..1 T Sibiucenius 2 oC PM re ep" - i : wer 9-7 $s2«fy NO mnt TNTITY . 4 $i» b 321] " die penes a — scxibantur ut. superiori: oblem. :.2. Inferior numerus à periore subtrahatur; ac residuum in serie x6 dente vue dd de "Quod ; si posi NE nume inor .sit. inferiore, 2 exemplo, à proxime. superiore. specie. mutue tur unitas, quz multiplicabitur per numeri indicantem quoties . "WRRFS continetur in $ periore (34); productum adjungatur nume minoris. Sic quía" r1 ab ro subduti non P sunt, mütyatur unitas à summa pedunt, 4 co UTRACTATUS TO: 505 95. multiplicata per 12, dat productum——12, quoles species ibférior continetür in superiori: 12 Adjunguntur numero ro, ac deinde procedit Subtractio. 4. Memineris tamen, unitate miuüise summam pedum, adeoque non jam 4, Xd 5 ped. computare debere. Unde mutuata, ut Prius hexapeda ,: emergunt 9. pedes, Á quibus ; Sübtrahendi, ;. Demum à 24. hex.:ham unam 3: pedes remiissisti , subducuntur, 20 et $up- Pütatio. explicit. - | 'fub sigups. 293:8g Sep. Probl. ;. Multiplicare umeros complexos: O'ut. Multiplicentur seorsim: species per da-. Uni multiplicatorem : deindé. productum infe- "loris speciei reducatur ad süperiorem. (36), atque ipsi addatur, E, e, 16 hor, 2; minut," 4o: Xcunda: multiplicata per 3-50 hor. 75 minut. 120 sec.: deinde facta reductione.1 dies, 7: hor. Y? minut, o séc.-- [reife «aor. 13 13s ad 4o Probl. 6. Numeros complexos dividere. solut, 1. Reducantur omnes especies dividendi, -nfimam. | 2. Quaratur quotus , qui ad. spe- "55 datas denuo est reducendus. Ex. g. 2-hex-: ane $ poll. dividendi sint per 8; Reductione: "Pollicém facta , erunt 185..poll. divid. per: nis Jim ped. 11 pol. e£. poll. Quum verà: ur um complexum per complexum: dividere: ci Rültiplicare oportuerit, uterque ad $pés Stitu. mas-est reducendus: tuni operatio in^: tin c d2 , a6 demum ad species proprias res- «Ila iterum sunt (36). "i « 96 ELEMENTA: /MATHESEOS. : « cudgpubexg dab 41328 *180/q:108 CAPUT.TERTLDUM...;.::! : T eyrorniifg OH t M - AT | SO ERAGTIONESM s .0ntsgeid i Ha691 Jauuboq füsinImge 32:15 * e$ I E B I. e té» QDpe2 7 3 herir Fractionum notio. 0 204 «is efin. Quum aliquot totum in plures partes equales dividitur, earumque. una auf plures sumuntur; haz. partes relate ad. totum - Jractiones dicuntur. Duobus:nuineris supernóy ac inferne pósitis,-ac lineola separatis scribun-- tur: quorum superior zuuerator , inferior de. nominator appellatur, Primus indicat pàártés ex^ toto desumpta, secundus in quot partes.divi^ sum sit, Ex. g. tres horas unius diei recte scri bes £&; in tot enim horas dies dividitur , cuf jus trés partes sumuntur... 0 1050 02s . 42. Theor. 1. Quando in fractione numer zory.et denominator «equales sunt , fractio unf? zati equalis est... 2. Quod 5i numerator anintf 3it denominatere, fractio gariter minor est utt. tate. 3. Quum. verà major est ; valor fractiont* unitatem superat. Dem. 1. Si uterque numett zqualis est , tot inet partes numerator , iff quot totum divisum est: ergo ipsi equalis es! 2. Pariter minore existente numero partiu? ciores etiam continet: ergo minor est. mum numeratore excedente , plures contin" partes, atque in toto contineantur ; adebq* ipsum superat. Hac tamen proprie fractio n0 est, quum integrum contineat cum fractio? : -O TRACTATUS: I. 97 Sujus valor:mumeratore per denominatorem di- Viso. facile"innotescit: v.g. 23——3--I et $É——x 43 Schol. 1. Fractiones proprié considerari Possunt: velüt divisio numeratoris per denomi- "'atorem, Unde valor fractionis, est quotiens nu- Iratoris.;per. denominatorem divisi. : Quotus m.exponit rationem , seu proportionem pri- Ti ad secundum. Tunc veró: numerator con- Nderatur.velut datus numerus integrorum; de- .Ominator autem indicat qualis illorum pars Nimi:debet, Ex; 9. valor 4——Z: hic enim est quotus; inmerí 4, divisi per;8; Evidens autem 8t ; 4. esse dimidium 8. Pariter quatuor octava unius: uncia: idem valetj:ac quatuor unciarum 9cava. pars, Nam $——- 4 unciae ——52; cujus Wctavapars ——4. mp 39 M Lemmata.: I. Quantitas tum. in. plures, Ih in pauciores partes dividi potest. Jam ve- 3l magnitudinem cujusvis: partis: considere- !5; magnitudo partis eo-major erit, quo ad Patciores partes redigitür:-contra vero minui- Ts»'dum; numerus partium augetur. Dez. Sit ' & pes in pollices dividendus: partes erunt 2x Sit dividendus in lineas: partes erunt 144: minc linea est. pars duodecima. pollicis; ergo tiu, 5S parte$ evadunt, quoties numerus par- "getur: majores vero, dum minüitur, (1 Nn . Minantitas genericé sumpta ;-in:zquales page, divisa, augetur ;:dum majores; et plures Cio, »9etr. minuitur, dum minorés; et paud oc. axiomatis.loco haberi debet; res 'ler.se nota. est, Ra TOM, I. : 7 98. ELEMENTA MATHESEOS. - III... Quantitas in quales partes divisa, si eo modo ejus partes minuuntur numero, quo magnitudine augentur; aut inverse, eo sensu magnitudine decrescunt, quo. earum. numerus augetur; invariata manet. Dem. Augmentum in.uno sensu est decrementum in: altero, et vicissim: ergo tantum variatur expressio; intàcta. manente quantitate, Ex. g. Eadem remanet uncia, vel.in quartas, vel in. octavas, vel in decimas sextas partes ipsam dividas. | IV.. Quod si numerüm partium minus auges , quin pari sensu magnitudinem minuas, quantitatem minorem effecisti. Dem. Augmentum in numero, et decrementum in magnitudine, pari passu debent:currere, ut qualitas servetur (supra. 5). Rursusquantitas: minuitur, quum pauciores et minores habet partes -(su^ pra 2): hoc. autem fit in casu. figurato: igitur decrescit... Ub at : V..5Si veró augeas numerum, qui magnitudinem , minuas ,' vel decrementum non sif quale, quantitatem auges, Dem..Eadem: ra^ , tione innititur, quum sit inversa propositi? precedentis. | rau eq 13 (LI HM $. : II. | Fractionum valor. - 45^. Theor. 1. Fractioeo majores: partes tól" tinet, quo minor est denominator: crescente 4" tem denominatore, minores partes evadunt? merus vero partium major, vel minor quas fr^ ctio continet , provenit. à numeratore; Dem Denominator exprimit in quot partes: quanti" -—-———————— Pr omm q tA "€ denominatorem fractionis 1: per 4 fiet EESP : e] : « ^U TRACTATUS 1/507 | 99 tas divisa sit: verum. quo minor. est. denominitor, majores partes evadunt; crescente aulem numero partium , decrescit magnitudo (44 lem. 1). Quare à denominatore sumitur in- . Vérsa. magnitudo partium;-májorés si minor, minores si major sit. 2.- Numerator 'expri- Tt quot partes quantitatis sümantur (41): "rgo quum major est, plures: continet;: quum - Tünor, minorem partium numerum. ^ 46 Theor.2. Valor fractionis eo major est, quonumeratór est najor,et minor denominator; €£ Versa vice eo minor, quo silnór est numerator, major denominator. Dem. Numerus partium à ; meratoredesumitur, et :earüni rnagríitudo inverse a denominatore: quare majore existente numero partium, et. magnitudine, valor fractionis debet augeri. Contra: veró decrescenlé numero, et 'iagnitudine; "ro augmento enominatoris ,'3c decremento nuimeratoris yvà- 9r minor fieri débet, ^. sj : , 47. Theor. 3. Quum smerator, et dendini- "tor fractions per eumdem muiierum multipli- | Do ur, aut dividuntur, ejus alor non mu£atur. *m. In hoc casu tantumderh "augentur, àut .; Hüüntur nümerator, et denominator; valor eur idem remanet ; quamvis expressio valoris ütetur (44. lem. 5). Multiplica numeratorem, 1? m $* Ixco * s y ORTUS eet etc; Divide numerato- 1,29€ denominatorem fractionis £2- per $: 49—c etc, T 100 ELEMENTA MATHESEOS. » 48. Corol.1. Hinc sequitur infinitas dari fractiones ejusdem valoris, qua nonnisi expressione. differunt. Quamvis autem diversis ter- | minis exprimantur, eumdem valorem continent, qui divisione, aut multiplicatione ad eamdem. expressionem reduci possunt. Praxis ejusmodi vocatur fractionum transformatio: de qua. in sequenti, paragrapho. 49 Corol..2. Si valores diversarum fractio" num inter se compares, ex dictis facilé colliges. 1. Quum. fractiones eumdem. numeratorem habent ,. earum: valores esse inversé juxta diversitatem denominatorum: v. g. $ et $ sunt inter se ut 4. et 3: valor tamen ejus, que denominatorem habet minorem, est major; qu& vocatur ratio inversa , ut infra, ubi de proportionibus. 2. Existente eodem. denominatore iü utraque fractione, variantibus numeratoribus, ab. his dignoscitur valor fractionis. Ex. gr. 5 et 3 erunt ut 2 et 3. 5. Demum quum diversi sunt tam numeratores, quam denominatores, eorum valores erunt ut quotientes: sic $ et £4 ut 7 ef 1; aut etiam. ut numeratores provenientes fact reductione ad eamdem denominationem, ut st* tiin. exponemus, S. III. Transformatio fractionum. «o. Defin. Fractionem transformare est illam in aliam ejusdem, valoris mutare, Quum vet* plerumque, non ad libitum, quod per multi^ plicationem, aut divisionem per quemcumq' numerum obtineri posset ( per prac.), sed ? SOTCOTRACTATUS Pec c 107 Nam numierator dividendi multiplicatur per "nominatorém divisoris, qui major. est suo "ümeratore; et. hic pariter multiplicatur. per terius denoóminatorem: ergo crescit numeras " quoti, magis quam augeatur ejus denomiitor; valor igitur debet augeri (46). Quando |Wrrat integer..cum fracto dividendus per "actionem, aut per integrum cum fracto; prius unam fractionem dividendws reducendus » et similiter divisor. (55.)5 postea operan- - ut supra. itdobs Ü , : bf Probl. 5. Fractionem gin superioris 2 Urferiorem reducere ; sivo illius valorem inved Solut, Multiplica numeratorem per nume- - indicantem quoties inferior continetur in MReroresietd productum divide per deno- . Inatorem, data fractionis: ex, g. sint. datz f "us pedis; cujus valor examinari. debeat. Spe- "5 proxime inferior pedis est pollex , qui-12es einetur.in.pede. Duc. 3x12236: divide per Txg, Igitur $ ped. —9. pollicibus. ; ej Rdbeoci Te P ei RE Fractiones decimales, 5 0050- jus 3 Defin, Fractio decimalis ea dicitur, cude. *"Ominator est 10, 100, 1600 etc. Methoactiones decimales scribendi ea invaluit, 9Iissis denominatoribus ,, numeratores scriihte !', praefixis integris, si qui sunt, virgula Slanabiends dut. puncto. Sic uf scribas 24-53, Seri, ^ 2» 35* Integris deficientibus, cyphra bitur est e oco integrorum:.ex.- g« v5 ita ex- 55: 0289; vulgo jam intelligitur denomi- 108 ELEMENTA MATHESEOS. natorem esse unitatem tot cyphris auctam quot notas continet numerator. Quod si in nv" meratore partes decima desiderentur, replen* tur cyphris nota deficientes, ut denominator discerni possit. Sic o, oo6 exprimunt 7 pr verso modo scribendi decimales nonnulli utus* tur: ex g. S5 sic exprimunt 5.0: ;55 — 37-09 $54.—— 504.000. Usitatior tamen methodus € est, quam prius tradidimus. - — 64" Corol. 1. Fractionum decimalium utilit! przcipua est ad obtinendum quotum proxim verum , quando peracta divisione, aliquod res" duum in quoto superest: ex. g. diviso 147477 per 562, quotus invenitur 407-3127. Numer? tori addatur 0; et 1410 per denominatoref? i diviso, quotus erit 5 cum residuo 524 terum o adjuncto, dividatur 3240, ut supt^! quotus erit 8 cum residuo 544. Operatione V' prius iterata, novus quotus emergit 9 cum I^ - siduo 182, et sic deinceps. Planum est qUÓ - tum usque ad tertiam divisionem , scilicet 407! $29 captu commodiorem esse altero 407; $4 osset etiam institui divisio adjectistot cy ph quot decimales extrahere oportet; eodem e"; recidit praxis, utrolibet modo opereris: eX« $,- loco 1410, scribe 141000, ac divisionem i05, tue, ut supra: pe erit idem 589, qui ^ gris adjunctus dat. 407, 389 ut prius neg" - residuo 182. 5a» in 6; Corol. 2. Eadem erit methodus, ut f tionem vulgarem in decimalem convertas D^ meratori addantur tot cyphrat, quot v * deinde dividatur per denominatorem: q" Lotti ampRÉRACTARUM MN » ^ I99 rit decimalis quzsita: ex. g» ut $ ad decimales UÜansferas , numeratorem multiplica per 100— 300: deinde divide per 4; quotus erit 5, aut 9, 25——i: nam 100 dividendo per 4, quotus 8t 2: :- proinde 74 sunt tres quartz partes cenlenarii, Animadvertendum tamen, plerumque lon eyact2 dividi posse numeratorem , utcum- Que cyphra: adjungantur: valor tamen propius Mcedet' ad verum, quo pluribus cyphris auitur; quod numero superiore ostensum Jum est, t. 66 Schol :. Per augmentum predictum phrarum, nullus fractionibus valor accrescit.. àm pari passu currunt incrementum numeraloris, ac denominatoris ; adeóque valor retine- Vr (47), Si enim numeratori adduntur duz cy- T*, aut quatuor; intelliguntur pariter. ad- Jnctz denominatori: v. g..23 422, oca, in, 4000. Idem enim est in casu, ac mul- P'icare utrum per 10, roo, 1000 etc. tole? :Schol. 2. In fractionibus . decimalibus 36 nt partes nimium parva negligi; ex. g. 4» mil? 3. velis ad. centesimas: reducere , neglectis. U, mis, debes ultimam notam 4 adjicere. dui Sütem rectius procedas in figurato casu, à 36 excedit quinarium ,. melius scribes 4, S pe quam 4 36: secus autem si quinarium non justu m Ratio est quia tunc magis accedit ad Vides valorem, aut minus abludit ab. ipso. Cess zT enim est ultra quinarium incipere: ex« imo. "29s aproximari decenario, quam ab Yecedere ; secus est in numeris infra um, C Quinaji IIO ELEMENTA MATHÉSEOS 68 . Probl. x. Fractiones decimales addere vel subducere. Solut. Operatio eadem est atque in integris. ^ 2355 -Exempl. Additio ^4, 345 Sub. 4, 3509 heo emHIAqsont sorbur (02, 402 € ..28 8886 «mo. nid. 15 plac 9 e. VERTI " : m. wt wer i 2 a d ^i Nielanturtorineli e icons quilibet nu* merus integer, et fractus sub sibi respondente. serie scribatur: integri sub integris, decim* infra decimas, centenaria sub centenariis etc9 aliter valor minueretür, aut cresceret in sunm" ma, prout error in scribendo contingeret. 4! secunda linea additionis scriptum vides o, 7 p decimalis respondet 3. 65: idcirco sU ecimis collocari debuit. h 69. Probl. 2.-Fractiones decimales multipl^ care. Solut. Duc inter se omnes notas, perino? atque in integris fit. Deinde in producto tot cimales notand sunt, quot erant in utroque fac tore: ex. g. 4, 25 X2, 34—9, 9450. Dem. |» — primantur valores ad modum (rations vulgar/* erant dsb»xidi—tii9—9, 34 (18). 70: "Probl. 5. Fractiones decimales diui re. Solut. Divisio fiat more integrorum ; dem ae in quoto tot resecaburitur not à dextris, QUA. | dividendus superabat divisorem. Ut dividas 9 | 9450 per 4, 25 moré vulgari quotus erit 208 duobus autem notis dividendus superat div. rem: has itaque separa ad dextram virgula» fiat decimalis: erit.2, 34 quotus quaesitus. pat Hac operatio est contraria pracedentis. " | . - TRACTATUS Ie e "III Veró in multiplicatione productum debeat con- —nere tot notas decimales, quot in utroque 3ctore inveniuntur, in divisione delen dec trahi. Nam divisio per unum ex factoribus, dat lotum alterum factorem (25): ergo quum in Ividendo inveniantur decimales utriusque fac- 9UI5, in divisione emergere debent note , qui- "S alter alterum superabat. 71 Schol. Nonnumquam integer per deci- Alem ocurret dividendus; aut minor fractio T majorem scilicet paucioribus notis expressa. Unc addantur.integro, aut fractioni minori, 9t Cy phre, quot opus fuerit ut superet divisoem; 3tque operatio de more instituatur. Sic 3t 3 dividas'per-o;.2; fiat. 300, dividendus Rer 25: quotus erit 12, quod. brevius exprilheres A9 —I2L8 dU tort. 05 72 Probl. 4. Fractionem decimalem ad «ul. "rem traducere. Solut. Multiplicetur decimalis R datum denominatorem; productum rejecnotis decimalibus; erit saltem. proxime nutus. POT y cui subscribatur denominator dic lis: SX. g. o, 5o pedis, sive. 42: pedis etc., det ad mensuram notam pedis reduci: so» mien ct Dem. Hic quaritur expres: hi 3dzquans verum valorem /décimalis:: evi- e cutem est.io' essé dimidhum 100: ieitur - IO s wqualis .£2..Cave autem credas, "iPtessioneg, 6; 00 Cimac a 1s ^ aA ; Vale Ed pedis: continet enim; sive equi- 1C valori TIBI I continere sexcentas duode- As ue S Á— "TRACTATUS II. —————— ARITHMETICA SPECIOSA, SIVE LITTERALIS, ^^ ALGEBRA VULGO NUNGUPATA. 3^ c D — : CAPUT. PRIMUM. Notiones greviz. Ut 73 efin. 1. A] gera est scientia quanti" tatis signis litteralibus expressa, quorum signi^ ficatio à signis non determinatur. Jam usus obtinuit quantitates:notàsprimis alphabeti lit teris, ignotas postremis designare, . ; christian: seculis plurima ad analysim perti nentia in suis quaestionibus -arithmeticis us pavit. Non leve. hoc. fundamentum est apu? Gracos. Diophántis etaté; jam notam fuisse zl | debram , à quibus. Arabes, hanc scientiam po* fea exceperint, Nonnullis tamen placet Arabe hujus. inventionis. auctores facere, antequ4" Gracis innotesceret. Quod. veró. apud omn convenit, est . Arabes notis vulgaribus ab ips? inventis, sivà ab Indis mutuatis, quod aliis y cet, in calculo usos fuisse. Franciscus V! E ras" Gallus; anno 590, primus alphabeti litte quantitates exprimendas invexit, eo suc ^P | | - Annotatio historica. Diophantes primis zt ————"dáPAÁÁÁl!—MÁ— ess NR dial ; hs '$ ! Schol, "Quantitates ) COOCTRACTATUS H. C0 113 Qt fer? jam nullus ad. Mathesim tráctandam ac- .dat, qui Vieta vestigiis non insistat. Quibus vero hujusmodi ars ZEgy ptianis hieroply phicis .Mricatior videtür, hi pari jure musicas notas "ntér. Isidis, et Osiridis arcana collocent, ne- "Oe est Sane bené perceptis algebra fundamentis, reliqua non. majorem diflicultatem habent, quam si arabicis notis pertractarentur. Quare. precipua nobis cura erit. pranotiones Vgebricas,- quam dilucide explanare, ut tiro- Tum mens ideas, ac distinctas concipiat, quibus, Veluti face pralucente, tuto pede ad penitiora Ta. ysis-arcana ingrediatur. unicos PER NUS -)4- Defin. 2. Termiyus a] gebricus est una ,aut plures litterae lecta, sine ullo signo--aut — sunjuncta, Ex. 9-255, a5. zho. Torppiyig posiriui "unt ; quos praecedit signüm --. Negativi , quos "enum subtractionis — antecedit. Quum vero signo afliciuntur,, intelligitur habere sig- Dm. positivum »ut plerumque initio fit. Terzz- ^! similes dicuntur, qui íisdem litteris desigsis dE t. Ut ab-e2ab--abc, primi termini sunt . 185, tertius dissimilis. ect B S, rio t &, positiva n » et negativze, sunt quantitates homogealg, 1U* ita sibi opponuntur, ut una minuat m j Fac ex. g.te versus orientem centum debu:.. eCIsse , deinde verb, quoniam iter agere C5 in occidentem partem, retró per eam. Vlam 5o passus. facere. Certum est ,-te 140 | Io, *mensum, summa tamen itineris erit hj, , 9750» Quantitas motus positiva esr: itizo 6h. facti summa , partim positiva , par- OM, 1, 8 X14 — MXATHESEOS, tim negativa. Hoc exemplo, atitumó; térrictt* lamentum.- 25 siiis positiva y . jet pretio €vanescet. . ; marea nomius. est quantitas :solitaria, ulli alteri 7r aut — conjuncta; éeXe'ge 45 ab, abo mpl Sive golynomius. est quantitas: pluterminis €onstans ;; signis: interpositis:"uf ec. IBinomia dicissolet quum duobus terminis constat; -«£rinomia y. quadrinomia etc à numero — codipitenbüi d | 93H39 ** HAS Li ss 215 onnumquam in: polynomiis: post: ter^ minum - positivum occurrunt plures: "negativi. Cave. intelligas. secundum. negativum "minuere primum:.ex. g» 20—5— 5 non denotát quanti atem 20 minuendam esse:j—3 attamen : gà 76: Dein. de Tenis incomplesus; siv | 20 auferri debere; Pariter20—5--3 indicit | non tota quantitate 5., sed solum 2 minuendaft esse: quare. 20—j—5212: at 20—j-e3 Prasens caüon élaritatis gratia in numeris: positus ád.quantitates littérales est. transfe dus. Nam. 4—2—c—4. idem: valet atque 'z / nuta quantitatibus 2 , c, d. Pariter 2i) Poe minuitur: quantitate ei adpenar ant is Dias. de Minimi. qui litteris vati rur mere rrm caefficiens dicitur, Hic aut? indicat quoties ed: quantitas $unienda est: :eXc " 34--24b—Ó6bc: denotat primam ter, secun is. sumendaseise; minuendas. tamen quantitate bees v ad 39: Defim 4. Numerus i fat. litteris J[* scribuntur, earum exponens est unitas, ut in coefficientibus A eor "t - thesi inclusas, aut linea superne, éücta notatas: Sx. ge (a2-b—c) (42-5); aut. a--b—cxb. ab: c. Operationes Arithmetize in litteris, —— Additio, et Subductio. na Bu. I. Quantitates litterales addere, Jt. Hoc fit quantitatum , sive. terminorum Wintos ue: ; 4; ) Inctione: ex. g. ut addas terminos, 2 , a4, ' Scribe: z-45--2c, Male autem | scriberes 116 ELEMENTA MATHESEOS. | aabbc , aut aab--bc. Jam enim monimus in his quantitatibus nullo signo conjunctis productum contineri, non summam. Demonstratio eadem est atque in numepís, ^7 700 (0100891 cH 8r Schol. Si quantitates similes coefficientes habeant , eorum summa colligitur; atquein unum terminum. coalescunt: üt 242-542545 compendii enim causa-sic reducuntur; Pariter cubo mLAMES UAeiaiididos 197 obnrst 82 Probl. 2. Quantitates litterales subducere. Solut. Ut quantitates algebricas subducas; ^ satis est in quantitate subtrahenda mutare signa in opposita, ipsam jungendo cum. minuenda: ex. g. sit a5 subducenda.ex' Pct erit: be—ab. Dem. Quantitas à quantitate subducitur , quum à minuendo ea detrahitur: hoc autem fit in mutatióne signorum subducendi; nam '*quantitás, quz erat positiva , ipsi adscribitur ut negativa, aut contra; quaré quantitas positiva subducetur, i sumatur negativé; negativa veró, eam - convertendo in positivam. Quod si termini sub-. ducendi coalescant ex positivis, et negativis, . ut si minuendus sit. 4--2, et subducendus c—4, residuum erit 4--P—c--4. Nam à quantitate 4--b non tollitur totum c, sed tantum pars qua non sit 7: undé in residuo manere debe! nd d. Exemplum in nugeris, - | in PeDeT D Subt. I--1--I--I--I ——— A Res..-:9—1—2—2m04 In minuendo una est quantitas positiva; sex negative: nimirum quinque negative, quu TRACTATUS I. 125 :98 -Probl. 4 in i Fraitipar alge jricas dividere. Solut. Ducatur numerator dltvidendi in deno- "üiiatoreim divisoris; 'tum denominator in 'nutorem: Primum productum :erit' numerator. quoti; alterum denominator: Dem. Multipi cetur enim-nova , qua sic prodit, fractio per x Visorem: clarum e prodirurum esse dividenlim: hoc ipsum in fractionibus des nie su EM art. 6c ostensum —Á H "y Mos jum aia yi ib lmani vow apicem jure merito . appellat us. Ea'sané-est analysis mira inventio, Vt vix quidquam: ab:humano intellecto felicius, Ulins, atque. elegantius excogitandum ümqnam. concipi. possit. Düplici iki vor eran à inveniri-potest , compositionis scilicet ionis: RA Bap ii. a osi wi m ppellant, Utriusque frequens usus'in maeir nam: in geometria elementari synthesim; Mlysimj in sublimióri passim, adhibemus. Quum SA veritate cognita ad aliam gradum faciuc, Quasi à es ced zdificantés, synthesi lug 27? dum ver ica resolvimus, vetig ates segrega analytica methodus di- » 11 qua ope aquationis veritas invenitur. i - 124 ELEMENTA: MATHESEOS. ..Ioo . Deüin.-ZEquatio est-duplex. ejüsdem quantitatis expressio, quarum una. alteri. sub stituitur, ad detegendam quantitatem incogni* . Iam, sub alia expresione latentem. Hinc ment bra equationis. dicuntur | expresiones - sign? equalitatis conjuncta. sic 8 ——6- 2, sunt membra hujusce aquationis: sinistri autem tef* mini primum , dextri veró secundum aquatio* nis membrümdicuntur; 506 000 5 10i Schol. r. Ariadnes filo ad. resolvendt problemata opus! est; ne veluti in labyrinthe Cretico errantes, nullum finem resolutioni in ponamos: WEResdt fila sunt conditiones al** quz, nexum cum quantitate incognita haben^ tes. Hz conditiones numeris, litteris, et signi! *p PRI anime quum littera. quantitatemincognitam exp/^ mentes, nullo affecta sunt: exponente, zqu/ tiones primi gradus dicuntur; habent enim p? exponefte - unitatem: ex, gr. .3y--a— b, Quando. verb eo devenitur, ut in uno mem! cognita: ,-in altero incognita: reperiuntur , OP ratio explicit: jam enim valor incognitae elc" * - urseidhs pi: Saline I ^ ARE I n ou ut in prajacto exemplo js. uw o 102. Schol;-3. Problemata alia. sunt. def*f, terminata, in quibus tot conditiones sont, qi incognita: alia indéterminata; quz plures;C* tinent incognitas, quam conditiones, probk? EY E EE i L uuu iat SQ as E CIUNSUDEN QNM eMe s Mp itid CTRACTATUS.TI.- ; 12; éteribitum.- primi gradusxunicani: solutionem mittit; ;indeterminatum plüres. Axiomata ta,qui-- S &quationes innituntursunt- sequentia. eg zqualibus addas aqualia, summa etiam i erunt. quales. ;:2, Si «qualibus. demas qum bi residua; 'siv& differentiz remanent aqua di j. Julia p per zqualia multiplicata ; aut divig;: d roductazqualia,. 'aut. zquales Wüotos, . qualia pro qualibus semper "bstitui gosums. —: «$. OIL a ex 1g H "dh «e FK ormatio et resolutio. ^lo3. Defin. ame iie sid formatio est al- Wbrica problema ositio, nempe: litteris 'ompreheridere 'q. Mesrine 'arum radones ; cognitas ab incogniti: isc '' separando, Ps sunt^ qua. -usu magis, MA. regulis. addiscuntur.. Exempla nimirum um oculis subjicient, qua longa | verborum "ipe uae oa "Tt go efin.. 2, nALOR utio est. Y vi pate een Viegpdee autem * agp, ratum ad incognitas I lciótio. ariks ips hujusmodi incluse sunt, atque abditze [per ex quarum commixtione, toj] ratione erui debent; non secus atque in ? latentes fructus, cortice rupto, aut dis« qo apparent, Methodus autem hujusce se- Dre 9nis est earumdem. quantitatum, sive ex- Nei 9ntm transformatio , qua multiplici modo wig paratut-addirione ipsi scilicet incogni- 126 ELEMENTA MATHESEOS, — tz , atquealteri membro zquationis: amq titatem addendo, -.Ex. gr» ambe; ergo a—a--az—b--c--A; et reductione. facta: 1 --c--a. Hinc apparet quantitatem: negativam ab.uno ad aliud membrum aquationis traduci [p t. equ » manente aqui tate m. 1, Js II. -. Subduction: xp exemplo lato «cut Sie a possum: auferre. utrimque 4, eritqé z--a—a- Bes coo et reducendo. a heec Hec est praxis inversa praecedentis : Meu uantitas positiva à à membro ad membrum tr ucitür, converso signo -— in —, sive tractione Lov a) Utraque methodus gie Tür £7; es s e 58 -sIlbuu And son dplicat/ ont be we rumque locum. habet. in fractionibus: n4 evanescit ceteros teciinosta suum d iomiiitorh dudindo si Z. —/; duc utri que membrum in denominatorem. T PL fab, e füctà divisione E— (àx. li TV. Diaries Nam si quantitas: Se | multiplicat, per illam divi. endo omnes aqu tionis terminos, ha cmn ione liber ac solitaria-remanebit, Ex, gr. in. pei ab--c—bz , dividendo omnes. ;terminos pi habebitur : | Ty mode ad divisione * ta dat a. m (ax ope V. Valorem incognitie sumendo, Hoc. di | PU ^—ÓÁ'NRPPQQQQ MNA———————— ARR ÜERACTATUS Ilii 127 tàt:aliámquantitatem. xqualem in zquatione ipsi ihcognita substituere: ex. gr. 5i a———2-y; | e 4 substituo 24-y, illiusque valorem: sumo 4.). Hoc passim: in operationibus algebricis ditor M— ^hac. omnia Clariora evadent. imos WS Mc ua absastr: 2k — Priblemdta. y^ ew te " "»» Probl. xQuantibatenitsguicenredy n ni- a per additionem aut subductianem separare. iino erit exemplum; Sit: Andronicus 60.anripe » eujus: filius Cajus xs. meant uo cai . anno , patris etas dupla futurasitatas. Hs Jilie Goluc iame; Fiant. 6022, et 1$ zm &: inim Tus annorum , in quibus conditio implenda erit Wd Hac est problematis Zezominatio. Jani ex. utraque parte numerus annorum—y t Tem atas Caji equalis sit di: addio atatis IAndronici; erit:ztas Andronici in re, quo implenda: est conditio 7: dque atas Cajizboeysquumque a 4- y sit Áüplum b--y; ut fiat aequatio, erit a tr 5 et reducendo - LIMAM incognita: azabeeayoy ( r 1l: P 104), et facta reductione 422 iterum. tur: 27, eritque 4—25——y;^En. jam sofnitam in altero. membro separatam , atque stem ' cum cognitis. Igitur: problema. reso- "". est formula -— ad.omnes casus si- 9 ; Phil mpm te pro &senti assumpti, Quum az6o, ac ^1 97a WU ORNS [| o 5 961 ELEMENTA MÁTHESEOS. in genis anno erit Andronici atas dupla etatis Caji. Hic quidem tum habebit 45 annos d upicim oc - En typum calculi: Altas Andronici. tempore. implende ndi tionis——a--y—cb--y--b-- y. . Reducendo a--4——25--2y — Et transponendo. bti» Et reducendo ird E dgimr ym30, et n6. joco, : - 106, có. Gorol. Form edidurhenigua ad — peti parentis superaret Aven edem tione 4—25—-y inveniretur utriusque acta | R-$om90 Fac noh 15 , attameri 55 habere Cajum.: quot? Le aetas unius fuit: — i et 2bz 70 erit yz o— z—Io. Hoc est. anno 60—10 idm lera fuit conditio; anno scilicet 5o atatis Andronici ; €' 35—10 etatis Cajizas. Planum enim. est Uh duplum esse 25. mri 107 Probl. 2. Incognitam multi plication L^ rare. pm Darii "pecus ad Darbellam es : fudit : hujus quarta pars inc jacuit; Anno» € mÁ: tive remanserit ad quadraginta d'uo millia fu a subducti sif Quot mili s instructus Darius pralium« misit ? Solut. F ugitivos milites scilicet. 42 diee a, exercitum universum SNAM x " bet -— TRACTATUS I. 129 erunt ^5. quare. denominatio problematis erit. 3 N 5 - , "2 - 2 ; : - 3 A J-ATLM. Primam fractionem tollo mul-. tplicando per'denominatorem'4 omnes termi- ! v251 12 «LUN LICOK—Y IDDDUEHDS 205: eritque x Eo 44-—A«. Secundam etiam. Pari methodo multiplico, ducéndo omnes ter- Thinos .in denominatorem 55 fitque 5x 2- 8v 2 20a 20x ,et facta reductione 13x 4- 202—3óa, &t transponendo 202 —— 20x—1 34 , quod facta Teductione dat 202——7. En equationem, quam huc ad «terminos problematis reducere oporét, multiplicando z per 20, sive 42006 X 20 — 40000, dividenda per 7 —— 126066. Hic niumerus conditiones pieipuantis implet. - -.. Nam 30000 2— quarta pars. 126000. . nets - 49000 ux quinte partes : 42000. fugitivi. | 120000 - Ánimadvertendum tamen in problemate non dd finem historie, sed ad resolütionis commotem militum numerum exactum ess& «7 $ E Probl. 5. 11co gnitam divisione separa bj) ] Xempl. C. ear et Drusus pecunia IUnstructi, tu Do e officinam ingredientes , libros emp- » Primus 26 aureos, alter ad 44 impendit. ho Pecunia residua numerata, Cesar inve- Q »ve quadruplo plus haberes quam Drusus. "itur utriusque pecunia ante impendium. Solut, Quopiam aurei impensi in libros no- TOM, 1, 9 130 ELEMENTA MATHESEOS. ti sunt, unica incognita restat, numerus scilicet-anreorum- ante impendium; hunc voco a: erit igitur x—26 pecunia Cesaris: atque x—44. residuum Drusi. Supponimus' autem Cesaris. esse. quadruplum. alterius: habebimus igitur: zquationem , x—26—4 (x—44); et facta multiplicatione, x—26—4x— 176. Jam transponendo fit — 26 —— 4x — x — 176, et reductione: facta —26— 54 — 176. Rursus transportatione. fit 176—26—34 : ac reducendo 150—54. Quare x i-o. Eruitur jam residuum Cesaris: esse. $0— 26-24. Supponitur autem esse quadruplum residui Drusi; erit igitur hoc z2*— 6. INED residua. experisis, fitque 26--24— $0: 62-44—50:adeóque ben procedit operatio: 109 Probl. 4. Incognitas substitutione segarare. Exempl. Datis summa duarum quantitatum-, earumque differentia, quantitates invenire. Solut. Ut facilius menti occurrat objectum determinatum , fác 4 ——-6o, et 5—c8; incognita autem major sit —x , mi nor —/. Erit igitur x 4- y —a etx —y— bh Jam transponendo fiet x —-4—: hanc igituf substituo sibi equali z (ax. 4, n. 102). Erit igitur in altera equatione xy —y— 5; «— y—7 —L; et reducendo 4 — 2y —; et transponem do 4—5—2y; et dividendo yat i o í 2 2 -*?-32€. Erit igitur y —26. Ex hac aquation* altera etiam quantitas innotescit: nam x--77 4 — 6o. Erit igitur 34: nam 2624- 34 — 60; qu" rum differentiaz 8. Quod si non jam cum / TRACTATUS II. 15I Sed. cum x operatio instituta fuisset , loco zqua- a—b AO " " 43b tionis — y inventum fuisset —-* 1IO . Corol. Ex problematis solutione theorema deducitur, veritatem his terminis universaloribus enuntians. Darzis summa, et differentia uarum quantitatum major equalis est dimidie summe , cum dimidia differentia: minor equalis dimidie summe , dempta dimidia diferentia. V eritas manifesta est ex formula zquationum: nam major quantitas antt , Ininor Vero y Lt 111 Exempl. 2. Znfonius Lepido dixit: 5i Unum €x aureis , quos penes me repositos habeo tibi darem ; equalem summam haberemus: si tu "num ex tuis mihitraderes ,ego duplum habe-. AR Quot aureos. unusquisque habet? Solut. làt summa Antonii x; Lepidi vero y. Jam *X prima conditione problematis eruitur, x —1 TU ni- I. Atque tiam ex secunda , X--Iz2y—2. '8o transponendo , à—y -- 12-1, sive x —y 2-2, Substituendo y4-2-2- 122) —2, sive y4- 3. 22) —2j a, Tnsponendo ; J72y —2—5, sive yay, arem —2)—),slve $2), ! :m methodo inveniri potest summa Anto- E ; X7. ) in Exempl.:3. Tres incognitas referens. de ^et Popilius mercatura Yooo aureos acqui- Tunt : Cajus et. Titius x00: Popilius et Ti- 132 ELEMENTA MATHESEOS. tius ad goo. Queritur igi an inp lucrum.Solut. Sit summa Cajiza: Popiliiy: Titii veró —2. I000—4: 11002): 9oo zc. Jam ex conditionibus problematis: hujusmodi aquationes eruuntur X--y-a n x--zzb y--2-c6 Transposit.. ope dux r2 reducuntur ad xza—y» Brem pi. xIb—z. et substitutione..« | 4—Jy—5—2. et transpositione..... 4-——y4-5—2 atque iterum....eeeeee y—a—b--2 Pariter ex aquatione 4^ deducitur... ym 0—z et.ubstitutione..««. | c—2za—Db--z et transpositiones... — cz a-—b-- 22-2 sive reducendo...... c a—b2-22 deind&......eeeeeeee C—4a-b zz am TA 4 c—a-- b ^90— t 600--I100- -P 999 1600 IIO demum . 2 -—- y! em c 5 A t Invento hoc valore 22500; quum yz5c— 22 900—500; erit. 2400; et x 4—)251000— coz 6oo. 3 V 113. Schol. Methodos problemata indetermi^ nata solvendi . consultó. omittimus; prolixioris enim .industriz, ac provectioris solertia: sunty quam quz tironibus, vix primum limen mathe" seos ingressis, proponantur, Porró problemát. indeterminata jam diximus plures solutiones 307. mittere :. ex; gr. duos numeros. invenire ,: qu9^ . TRACTATUS 1I. . 139 &. III. "x agi, quadrata quantitatum. complexarum, - etmnumerorum. ———— 129. Theor. Quadratum binomii constat ex i cdrato primi termini , duplo producto primi & "cundum ,et quadrato secundi. Dem. Qua- ,lantitas binomia reprasentari potest ab hac (, ula 4--b. Elevetur ad quadratum (24-7) g^ 5)-2 a) -- ab -- ab —- P*5 et reducendo CNN 2 ab -- b^. Constat ergo quadrato primi nlt 4*, duobus productis 2 x 2, et qua- (70 Secundi termini Z^. Eadem demonstratio | q Dümeris exhiberi potest. Sit 4 2 20, 2 — 5; drátum 25x25 — 625. Quadratum 20 x lad 400: duplum productum 20 x $3200: E- X $—25: summa 400 -- 20o t430 Probl. x. Ex quantitate complexa lit- Ny, Pressa radicem quadratam extrahere. E Smp, Quadr. a? a- 22b a- P?. Radix a - b BL ! 2ab ab? 2a-- b —2ab-—p pec e " o M Kril Extrabatur à primo termino radix , eaque out: le ad latus, ut in divisione fieri solet: hab ICetur radix per se ipsam, sivé ad qua- Vevetur; deinde subducatur à primo 140 ELEMENTA MATHZESEOS. "termino. 2. In residuo contineri debet duplu! productum primi termini in secundum; et qu^ dratum alterius partis: accipiatur duplum f^ dicis inventz; nempe 22, illoque veluti divis? - eti xsidilie, 24b . n re residuum dividatur, —- /. Adscribatut hr E '24 terminus radici , deinde adjungatur alteri ter. no 24; fit 22 -- b. 5. Multiplicetur bec q j | titas per alterum radicis terminum , erit 2" -- £^. Demum subtrahatur à priori residuo; » hil remanet. Est ergo quantitas assignata qi dratum perfectum. Demonstratio ex ipsa of ratione est manifesta. | d , 131. Corol. Eadem methodo procedi ulteri deberet, si plures essent termini in quanti! assignata pro extractione radicis: duplum » mirum radicis inventa pro divisore usurp? sd quotum vero alteri radicis parti adscrib?, Nam si predicta quantitas alio termino s | tur, puta c, quadratum esset a^ -- 2ab 4^ 2ac -- 2bc-- c. Radix a -- P-- c. EM e 2ab -- b* 2a-4-b ac - abc 2 c* e 2a424-2b--c » —2ac — abc — c* DE —— o TRACTATUS IL - I4I qu hac ultima operationis parte sumitur à wd duplum radicis inventz, nimirum 24 e. c.) Per hanc dividitur. residuum; quoties est d riptum prius in radice; subinde adjungitur: lori; ac demum tota quantitas perinventumsinum multiplicatur, ac subtrahitur produc-' ^. 3 residuo. — üs ny? Schol. Si aliquis ex terminis esset ne- Tivus in radice, duplum productum deberet? qus Degativum. Duplex veró quadratum utrius-' ,; termini positivum. Nam (a—) (a—P)dat: JUsmodi productum a*— 245-- £^. Quadra- ON igitur cujuscumque termini sive positivi, -Q4.€82U vi, semper est positivüm. ^ ^: 5433, Lemma. Radiy pyypzpica ad quadraà elevata non potest plures motas continere, n, P! duplum earum, que in radice inoeniunhis Ap in tamen poterit una minus inge- T "i, Numeri inter 1 et To; non possunt Qu, . "Otas, quam duas in quadratis habere; | E ^ TOz- 100 est primus numerus » qui brig,, Otis constat, Similiter 100x 1602:16900,. jn, 5 etiam est, qui ex quinque notis compos ler , * 8t sic deinceps. Omnes ipitur numeri in- | Jt *' IO duas tantum: à 16 usque àd 100 tar, ^^ tantum notas exhibere possunt in qua- CLP 4 I00 usque ad 1000 non plures, quam lox 5 Unere etc, Quod autem ünica tantom iaqu ^. €Üplo possit deficere productum , eadem ls prone demonstratur, Nam 10 in quadrato | Tes is t, I00 quinque, IOO0 septem etc. Omüt 'em hi numeri sunt primi in serie, qui ?tà augeantur, ] 142 ELEMENTA MATHESEOS. 134... Corol. Facile deducitur ex theoremat? pracedente, quot notis constare debeat radi* cujuscumque cuadrati. Dividatur nimirum n" merus, à quo extrahenda est radix per clas à dextra sinistrám versus; in qualibet vero clas - duo tantum nota comprehendantur : ultima 87 tem classis unicà etiam notà constare potest. 5 numerus 588289, à quo extrahenda sit ra i5 dividatur in classes modo jam indicato: pera" divisione, membra erunt $8, 82, 89. Trib igitur. notis radix constare debet, In sequel autem numero unica ad sinistram nota inve? tur. 6,42, .27 , 39. Quatuor deindé in radi notz invenientur.; .135 « Schol. In sequenti schemate radic? et quadrata numerorum ab ri ad 9 exhib^ tur; ut facilis in sequentibus operationib" rocedatur: .......- A E adices 1, 2, 3, 4» 5» 06» 759, 9- p Quadrata, x, 4,9, 16, 25, 36, 49, 64 p^. 136. Probl. 2..Ex quantitate numerice ^. dicem quadratam extrahere, Solut..—.. qi Exempl. Quadr. 8, 82,89. Radix a--2-741 | 42249 | ' 82 2a--b- aad ..Aab--biz — 876 | 10689 244-2b--c— 1,27 2ac--2bc--c'z 10689. o OUJFRACTATUS Ie — ; 143 /l« Numerus dividendus est in classes (1 34. às. Incipiendo à primo membro à sinistris , qua- '*uda est radix quadrata dati numeri, aut qua- "ai proxime inferioris; in exemplo 58 quaatum proximum est 49. Ab hoc radix mu- "ur, quz ,loco pro numero radicali assigna- E scribenda erit: deinde elevetur ad quadra- !1, ac subducatur à primo membro. 5. Resi- 9 9 secunda classis adjungitur, ut secunda ationi inserviat. Jam duplum radicis inetae accipiendum est , nimirum 14 , quod loco * VisOris est usurpandum ; atque sub penultima da 8 Scribendum: nam ad has tantum exten- a uür divisio. Quotus inventus 6 radici , et dilSori adscribitur » atque per ipsum numerus m mültiplicatur: deinde piedsctum 876 sub- "itur à primo residuo 982. Hic operatio se-- uai membri explicit, 4. Residuo ro6 tertia duis 89 adjungitur; pro divisore ut Supra, NG um totius radicis invente-usurpatur , nimide, P2, quod ad penultimam notam attingere ip," -^lVisione peracta , quotus 7 scribitur ut ed 3 tam radici » quam divisori, per quem tu m auctus multiplicatur, ac deinde producleg tertio membro subducitur. Nihil remain 4 "dix ergo quasita est 767. Dem. Qua hic tp, eris peracta sunt, omninó cum his qua ique 130) in litteris exhibuimus, conveniunt, lu : ex numero 129 facile demonstrantur. ing: US in litteris ad latus eadem operatio Co[ ^ * est, Ut majori in luce praxis indicata Pongrtur, juvat schema sequens ob oculos ' quo tam synthesis, quam analysis qua- 144 ELEMENTA MATHESEOS. drati exhibetur. Insimul autem quaré notz:e0j- quo jussa sunt, — collocari debeant , os" tenditur. £88289 Radix 490000 Quadr. 98289. dup. prod. 14600 uadr. "10689 dup. : Quadr E Er Oo dicem extrahere, Solut. n Quadr. 6/42, 27, 39- Radix ii 4 9 Residuum 158 Schol. x. Quemadmodum in divis 242 4j 224 1727 A94 1509 ———— 21839 $064. 20256 1;83« ug uapxoig 7002-602 7 4^ zz 490000 24b- 84000 £z..3600. aucem 9809 E MET CO t2-— An 49.3 (488289 — / 137 Probl. 3 Ex quadrato ici a. j n | unt "i : COTRACTATUS IL E 7; multiplicatio divisoris in quotum ostendit, num recte: prócesserit operatio , pariter in extractione radicum nmiultiplicatio radicis invente in se : 3psani reddere debet quadratum. Quod si resiuum aliquod supersit, ejus additione ad in- Ventumproductum , integram summam restitui Decesse est. Hr À x MES | Aoi NUR Duc; 5424 34——642115624-158 326422739; '*1539 'Schol. 2. Ea est. proprietas divisionis; üt invento uno ex factoribus dividendi, ac per mig divisione, alter factor babeatur (25). cuamobremi productum notum per notam radicem dividendo, quotus est altera radix. Jani 1n operationibus pracedentibus, quotiescumque Rova sectio demittitur, per duplurn radicis di viditur, Sicque. altera. radix innotescit. Nam Jam ostensum est, duplum radicis inventa esse Unüm ex factoribus producti, à quo radix ex«- trahitur: adeoque in divisione alterum facto- *ém latentem tradere debet... 4140 Schol. 5. Si aliquando occurrat, ut du- Plum radicis majus sit metbro tractando; scrip- N ?ero in radice , novum membrum demittitur, que operatio de more instauratur. !4t Schol. 4: Numerus sumptus in proble- "t6 "prefer. quadratum radicis continet résidi x 1585: ideoque quadratum imperfectum "Itur. Nam neque quádratum est numeri 2 5 24. Pino 2535^unitüite majoris. Major eriim: est Quad 1583 unitatibus. Numeri autém 2553 "atum est.6426225, quod ipsum 3486 üniin , 5 Superat Radix érgo pradicti numeri ,, ramque radicem 25 34; 8C 2555 existit 9M, 1, IO 146 ELEMENTA:. MATHESEOS. 1 Erit igitur numerus 2554; auctus parte une tatis, qua nec numero integro, nec fractione aliqua adamussim exprimi potest. Ad radicem tamen veram Semper inagis ac magis possumus . accedere ope decimalium , ut. in sequenti... 142 Prob. 4. Radicem quadratam per appro* aimationem extrahere. Colut. Extracta radice quadrati imperfecti , ut. in. problemate ;pracedenti, residuo addantur tot cyphrarum paria, quo libuerit; deinde éxtractio radicis de more instituatur. In. radice autem inventa. tot. not decimalis à dextris. resecari. debent, quot. cy^ phrarum paria adjecta sunt. Radix eo erit accu" ratior,, quo plures: note. aggregatz fuerint, In residuo probl, prac. addantur unum aut duo cyphrarum paria , atque operatio instauretur, Uf in exempl.-ubi residuum. 1585 , addendo ununi cyphrarum par, evadit 158500. Radix 25 34, 5/* -oigel $0683" e 152049 — » 625100 . bibe: $0685 1 A HÁ — p 113420 €lÓ. | 0.5" Lud 143 | Schol. 1. In allatovexemplo; quod. »F terius protrahi posset in infinitum, nova resi dua eodem. modo. tractari deberent , atque ^ duobus . przcentibus peractum | est. Hic ja ad 4— pro vera radice numeri . prafati. acce?" mus. Ceterum. demonstratio: eadem. est, ac q^ in .fractionibus. decimalibus: pro . simili easi usurpata fuit (66). i 389 * , | | | | — - * "TRACTATUS II, 147 144 Schol 2. Si radix quadrata alicujus UWimeri major est numero integro, et minor nu- Ilo integro sequente , exprimi non poterit NCCuraté ,. néqueper: integrum , neque per frac- Uonemr propriam integro adjectam. asa "e enim modo tractetur , numquam ad inte- 9'a reduci poterit. Sit 6 ex. g. à quo extrahi- "It radix quadrata: hec neque-2-neque 5 ex- Primi adamussim potest. FaczolL,.hec inquam"radix accurata non est. Nam. in fractiolem. im; ropriam transformata zí, atque ita 3d quadratum elevata ^£, rursus prodit talis fractio quae integro zquari non potest.: Idem lentando cum quacumque alia fractione note 2: Mjuncta invenies ^ -« ipw so:003 ;' 14$ " Schol. 5. Hujusmodi radices vocantur "rationales y surde , incommensurabiles. Con« ' radices numero quorum valor integris, aut c Stionibus exacté exprimi potest ra/Zonales, "mensurabiles dicantur: 3. 0 w 46 Schol.. 4. In fractionibus vulgaribus, - d, d quadratum eleventur , aut ut ab ipsis ras quadrata extrahatur ,-tam-numerator, quam: Quo minator tractari debent: ex... v. 4-2, f. Ido autem ambo fuerint ;quadrata impera . Verg, COnsultius erit easdem: in decimales con« tan ts (65), ac postea radicem. extrahere. Cutx, 7 tamen, ut nota decimales Sint pares: Jung 3 ex 7,329 extrahendá sit radix, admog: Zero fit par numerus decimalium ; com 9rque evadit calculus. X r48 ELEMENTA MATHESEOS, -a soups, & IV. | jt "Equationes secundi gradus. -147 Defin, ZEquationes secundi gradus seu quadraticz dicuntur ille, in quibus aquatior quum à fractionibus, qua incognitam in de^ nominatore, continent , liberata fuerit, majof E potestas sit secunda , seu quadratum" 'quod si nulla alia potestas incognitz admisces? tur, aquatio erit quadratica. pura; sin vet? prima etiam incognita potestatem zquatio co? tineat , erit quadratica affecta. Ut autem pie paretur aquatio ad separationem. incognit* opus est-primum ope transpositionis incogh" tam à cognitis separare (104): deindé quad1? tum incognita à coefficiente liberare; nisi uD" ias coefficiens quantitatis sit, seu quod ide" est, nullo coefticiente notetur: ac demum 9 negativum fuerit; ope multiplicationis in po sitivum convertere; quod multiplicando totd aquationem per— 1 obtinetur. His peract" si equatio fuerit quadratica pura, valor inC'*, nita statim elicitur, utrinque radicem qua y tam extrahendo: quod si zquatio quadrat, affecta extiterit, oportet primum quadratum membro: incognitz complere ; quod ucrid!" zquationis membro quadratum dimidie qu titatis cognitz, qua prima incognite pot? afficitur, adjungendo obtinetur ; ut radix €77 dé utrobique extrahatur, ac per transpost? ! nem valor incognita habeatur: ut singillat TRACTATUS III. . 251 lis constent: at superficies cujusque trianguli est dimidium factum ex basi in altitudinem, qua est radius rectus (558): ergo summa superficierum omnium: triangulorum erit. dimidium. productum .éx basibus in altitudinem, seu perimetri-in radium. 2i 376 .Corol.: Superficies circuli equalis est roducto dimidio ex radio in ciromhiorenliem. jai enim dictum est circulum veluti polygonum infintorum laterum considerari. Propter eamdem rationem sectoris: circuli superficies, xqualis:est dimidio producto ex radio in arcum seetoriss | — 0 70— S IV. .' Ratio superficierum. 577 . Defin. Quemadmodum de lineis: dictum est, illarum proportionem esse rationem, qua una aliam continet, aut in illa continetur, 5ic in superficiebus figurarum similium intelli- Bendum est, eas esse incassignata proportione, quum una continet, aut continetur in alia. Hc utem ratio potest esse conzposita , aut duplica- *a. Prima est productum duarum rationum inler se ductarum ; securida est productum alicu- JUs ràtionis ad quadratum elevata ,' ut : fusius Tum. 195: explicatum est. lis. sut -. 4,378 "Corol. Quum superficies sint-produc- tum basium et altitudinum ; ab his deducenda Bt 'atio'seu ; proportio inter duas. superficies lYicem comparatas. Quare si^ superficies unius Bure dicatur S, ejusque altitudo A, ac basis B; erit S— AB. Pariter si. alterius superficies 252 ELEMENTA "MATHESEOS. dicatur 5, altitudo. z, et basis ^; erit szal. Hinc r.? Si duo rectangula parallelogramma triangula. habuerint «quales bases et altitudi- .nes, erunt zqualia. Nam S—AD, et s—a47; qua- 16 8:5 :: AB: ab; atqui AB; igitur Ss 2.? Si habuerint xquales bases , altitudines ve* - rO diversas, erunt inter se ut altitudines, sive unum eodem modo continebit alterum, quo ejus altitudo continet altitudinem alterius. Quoc riter dicendum erit, si altitudines zquales bases autem. inzquales habuerint; ab his nempé eorum diversitas.erit repetenda Nam $:5:: AB: ab; unde ablatis zqualibus A—4;aut Bzh remanet $: 5:: À:a5 Sive etiam S : 5 :: D:7» 4.? Quod si fuerint in ratione reciproca, ita Uf unius altitudo qualis sit alterius Sui , et hujus altitüdo zqualis basi. primi, aut' eamdem servent proportionem , erunt aequalia. . Nam 3 A:aib:B; erit AB— a£ (200), atque adc? S—s.. 4? Demum altitudinibus et basibus in aqualibus respondet ratio composita baseon €f altitudinum: scilicet-ducta cujusque basi in 27 titüdinem , qua ratio inter producta interceda hzc eadem existet. inter: figuras: invicem com^ paratas. Est enim tunc $: 5: : AB : ab. c 7:579 : Theor. 1, Omnia iriangula similia ,Af7 que adeb omnes figure similes , que, in tf*^., Aula similia resolui. possunt , sunt. ín rati? duplicata laterum homologorum. Dem. fna eilá similia latera homologa habent: roportioD? lia (35) erg A:a::B: violini TM : 2-15 veia ET a^ :: B^: P? (211). Nempe si quadratum V^. lateris bis, ter, etc. continet quadratum late TRAOTATUS HI... — .— 253 homologi ; superficies figura erit bis, ter, verbo toties major altera, et vicissim. ^ ^. 5386 .Corol. Circulorum superficies sunt in duplicata ratione, sive ut quadrata radiorum, aut peripheriarum. Sunt enim figura similes, et veluti polygona infinitorum laterum considerantur (570). Hac etiam proportio extenditur ad. diametros, et arcus similes, ut ibidem annotatum est. ^ ^ — TENA ! 381. Theor. 2. Polygonorum circuloinscriptorum majus est , quod plura habet latera minimum triangulum. Dem. Manifestum est (fig. 25) hexagonum majorem. superficiem comprehendere, quam triangulum, aut quadratum, aut pentagonum , qua eidem circulo inscriberentur: latera enim perimetri horum poligonorum minus accederent ad circumferentiam ; ee aes ininué spatium occuparent. Deinde si loco he- Xagoni dladéciaonum inscriberetur , zFZ EZF, latera perimetri , quum minora sint, magis ad circumférentiam accedent: triangula enim duo Fep, EcP majora sunt, quam triangulum EcF: illud enim superant toto triangulo FAE, quod inter alterius basim , et circumferentiam clauditur; ergo tota altitudine hujusce trianguli magis accedunt ad. pheripheriam , quum: basis FE Communis utrique EE , et FE7 sit. 2. Fadem demonstratio in triangulo ADE fig. 18) institui potest; quodcumque enim po*- Ygonum intra eamdem peripheriam inscriba- Üur, quum plura latera habere debeat, €JUs Perimeter magis ad-circumferentiam accedet; Meóque majus spatium circumscri Iw bet. 254 . ELEMENTA MATHESEOS. - 382. -.Corol. Circulus, qui polygónumest laterum infinitorum , majorem: superficiem ha* bebit, quam reliqua: omnes figura: intra ipsum inscripta : ejusque .peripheria major est quacumque perimetro alioruni polygonorum intra ipsius peripheriam inscriptorum. "t - 383 . Theor. 5. Poly gonorum circulo circumseriptorum superficies major est illius, quod pauciora, minor , quod plura habet latera. Dem. Quo plura habet latera polygonum , magis ad Bobo circuli, cui circumscriptum est, accedit: contra, cui pauciora sunt latera, major est ab eadem recessus; ergo et major.superficies sen ambitus inclusus. Major etiam erit ejus perimeter , quippe majorem ambitum: come plectitur...Et ob eamdem rationem «minor: erit perimeter illius, quod plura habet latera ,et m!" nima perimeter seu circumferentia circuli, .cU* circümscribuntur polygona:. triangulum. veró omnium. circumscriptorum: majorem. superfi^ ciem complectetur, et majorem perimetrulm habebit 5f set, SRL rà $.2V oo — adds Plana... . 15 384. Defin, P/anum est superficies , cui P" tari potest ubique linea recta. Talis est ficies speculi plani , saltem-ad. sensum. QuaqU?* versus enim illi. linea recta accommodari potest aut norma: qua vices gerit linec rectz'; d^ plana vulgó examinantur. Hinc. planum vest t perficies omnium brevissima, qua intra easde! 2 lineas includi potest, zi n TRACTATUS IH .- 255 5385 Theor. Zriz puncta plani positionem: determinant , dummodo in eadem. recta: mon. sint. Dem. Per tria puncta , qua in eadem recta.non jaceant duci potest planum; ut est manifestum: at; planum. hoc unicüm est; namquodcumque aliud diversum, rion esset omnium brevissimum intra -easdem. lineas contentum; tria: igitur puncta ,:per qua. planum transire potest; ejus positionem determinant, «o5 65: 5 «386 .. Corol, x. Du recta se invicem secantes, suht in éodem plano. Nam' punctum, in quo intersecantur, et duo alia ptincta.in qualibet ipsarum sumpta , plani positionem: determinant ex przc., unde per hzc tria. puncta du- Ci. potest cM: si tertia alia linea has duas secet extra punctum commuhis intersectionis, etiam hzc jacebit in eodem. plano amabus communi: quum duo puncta linez po-* Sitionem determinent; ét suppónitur duo puncta. diversa. cum áliis:: habere communia. Secus esset, si tres lineae in unico puricto se interse-- carent: hoc enim positionem linea rectas detet^ minare non potest. 'dotib 1:6 , 2o70tf 387... Corol. ?. Duorum planorum interseclio'est linea recta. Concipiantur duo plana se invicem: ad quemvis angulumsecare: evidens 8t, partem dirt ipsis fore.communem. At Qulla pars ,. nisi linea recta , utrique. communis *55e. potest, Sicut enim. linee recte: se invicem Wcantes unicum. punctum commune - babere Possunt; ita planam unicam lineam;,.seu seriem Piwanim in directum. positorum. communem. bere possunt. Si-enim aliud -punotum , qu 256. ELEMENTA MATHESEOS. non foret in directum positum, ipsis commune esse posset, tria puncta plani positionem nor determinarent." ^ » ^^ - 4 -:388.. Corol. 5. Planum, sivé linea, cuivis plàno perpendicülariter insistens , per pendicularis est omnibus lineis in plano jacentibus, ac sub ipsam transeuntibus:-aliter enim, aliqua vel. deprimeretur, vel-elevaretur, adeoque: im eodem plano non esset. a qM 389 .Corol. 4. Duo plana aut linea eidem plano perpendicularia aut equaliter ad eam" dem partem inclinato, sunt inter se parallel Distantia-enim utriusque: ubique eadem est* Praterea planum cui insistunt , considerari po^ test velut linea utrumque secans: adeóque sup" posita utrobique zquali inclinatione, facit an^ gulos internum , et externum ad eamdem par^ .. fem equales: sunt igitur parallela ( 500 ) ; » -*49o Schol Qux de linearum positione re$" pectiva num. 285 , et sequentibus tradita sunt; ad plana zquo jure transferenda erunt. Nam Planum supra: planum cadens aut duos angulos "rectos , aut duobus rectis equales facit. ;, Quod si plana mutuo secantur, valor angulorum €* utraque parte quatuor rectis quatur. 5. In^ i intersectione anguli ad verticem equales SUD $ 4. A puncto dato iritra, vel extra planum, Gi tum una perpendicularis demitti potest. 5. pis tantia à puncto quovis ad planum , est per peu dicularis ex puncto dato ad. planum ducta 6 Si duo plana parallela alio plano secentüfj 87^ los alternos, internos, et externos ad cam j partém «quales; et duos internos ad f "TRACTATUS II. a2 2206 dem partem «quales duobus rectis habent. 7. Sectiones planorum parallelorum etiam sunt parallcla. Niminim quum duo, aut plura plana parallela alio plano'secantur; intersectiones pafallela: remanent 8. Quotcumqué plana parallela alteri , erunt et parallela inter se, et omnibus aliis illis parallelis. , LOAPUT TID | Srereometria , sic? de Solidis. | z D LS oat dini di ftm -—— "Selidorum genesis. 3 t0 801 efin. 1. So/idum geometricum est €orpus quodvis tribus dimensionibus constanss sivé longum; latum, et profundum. Superficies autem corporis solidi est summa linearum, quibus ejus externa facies terminatür.in qualibet di^ mensione. Quemadmodum autem lineam puncs tüm continenter fluens concipimus; superficiem, veró linearum aggregatum in eamdem directio» nem jacendum; ita corpus seu solidum continuam superficierum aggregationem imaginamur. Ad rei tamen veritatem magis accesseris, Si lineam linearum infinité minimarum congeriem, superficiem ex areolis linearum, solidum €X parvis areis solidis conceperis. s 35. 392 Defin z. Prisma solidum est pluribus planis terminatum (fig. 26), quz parallelograme Ma sunt; eque latum in tota longitudine ; a€ TOM. I. E. 2:8 ELEMENTA MATHESEOS. duobus planis, seu basibus parallelis, superiore, et inferiore terminatum. Pro numero laterum basis diversà nomina sortitur prisma; nimirum triangulare, quadrangulare, pentagonum etc. Omnia enim solida concipi possunt á basi generali; in prismate, si basis sibi, parallela semper ascendat , solidum describet prismaticum triangulare, aut.quadrangulare, pro natura baseos: quod etiam ad reliquas figuras extendi potest. Et hoc quidem erit prisma rectum, si ejus axis, qu est linea recta ab ejus perimetro equaliter distans, est basibus perpendicularis. Quod si axis fuerit basibus inclina tus, prisma erit ob//guum. 393 BDefin. 5. Species etiam prismatis sunt cubus , et parallelopipedum. Cubus est solidum. sex planis TEE terminatum ,' quales sunt tali lusorii, Parallelopipedum sex etiam planis terminatur, quorum opposita tantum sunt acqua lia. Si ad angulos rectos latera formata sint, erit parallelopipedum rectangulum ; secus obli quangulum. 394 Defin. 4. Si planum generans, seu ba^ sis circulus sit, solidum erit cylindrus (fig. 27)* In quo si axis ABsit perpendicularis basi FBO» cylindrus erit rectus: si axis inclinatus sit bas!» obliquus. Altitudo, sive prismatis, sive cylindtl» sivé alterius solidi est. perpendicularis à sum* mirate basis superioris Max ea productam» übi opus sit, ut evenit in obliquis, In recti vero ipsemet axis mensura est altitudinis. . 39; Defin, s. Pyramis est solidum basi poz lygona et puncto terminatum (fig. 28). Juxt? x TRACTATUS TIT. d 2; numerum laterum basis diversis nominibus donatur pyramis. TrZangularis, si basis Sit triangularis; quadrangularis, ut ést sepulchrum Cestii ad portam Ostiensem, quod unicum cst antiquitatis monumentm in mátiva integritate conservatum, in hoc antiquitatum romanarum nativo solo. Reliqua enim, aut diruta videmus, ut amphiteatrum Flavium, aut in aliam conversa figuram , ut pantheon Agrippa. Ceterum pyramis erit recta, 5i axis à vertice àd basim perpendiculariter cadat; secus obliqua erit, cujus obliquitatis mensura est inclinatio axis ad basim "S 596 Defin. 6. Conus est pyramis basi circulari (fig. 29). Ejus genesis concipi potest triangulo, sivé plano trianguli ABC integra circumvolutione, supra rectam AB immotam, descriptum. Si axis AB perpendiculariter cadat supra basim CD, conus erit rectus; obliquus autem, si in alterutram partem inclinet. Quod si plano aliquo basi ean EF conus vertice AEF mulctetur, reiquum CDEF, dicitur cowus truncatus. - 397 BDefin 7. Si semicirculus (fig. 5o) ACB circa immotam diametrum AB circumducatur, donec ad locum, unde discessit, redeat, sp/4- ram describet. Diameter immotá, circa quam Sphara. circumagitur, est illius axis, cujus extrema puncta AB dicuntur spharae poli. Cir- Cülus maximus à polis distans nonaginta gradibus, seu quadrante; dicitur sphzra azarore unctum aque distans ab omnibus superficiei Punctis, est centrum 'sphara: linex à centro 260 ELEMENTA MATHESEOS. ; ad superficiem ducte, sunt sphara radii. Si aliquo plano HI per. centrum transeunte secetur sphaera, hujusmodi sectio erit circulus ma* ximus; atque adeó omnes circuli maximi per centrum spharaz transeunt. Reliqui circuli eo minores erunt, quo magis à centro distent. ..398.. Corol. 1. Duo maximi circuli sphere necessario se intersecant; eorumque communis sectio. est diameter. Quum enim per centrum transeant, in centro se intersecare debent, ef in omni linea, qua per centrum transeat , quàalis est diameter. g zi 399 Corol. 2. Puncta omnia semiperipheriz, cujus revolutione sphára generatur ,. describunt, circulos parallelos; eo majores, quó propius ad centrum accedunt; et minores, quo longius ab ipso recedunt. Puncta veró à cen^ tro equà distantia describunt circulos quale? ] am.ex circulis, maximus est qui per centrum transit; reliqui ab ipso. utrinque aque. distan* tes, equales sunt. Quare in sphaera coelesti , &* in globo terrestri tropici, et circuli. polare quales sunt: quod posee in Astronomia phJ* sica, et.in Geographia usui erit. Demum ult! mus circulorum parallelorum in punctum abi : €. II. Mensura. superficierum in solidis. - . 400. Defin. Omnes mensure superficierum duplici dimensione. coalescunt, latitudine n!^ mirum, et longitudine Unde, nihil de pro^ funditate cogitantes, externam tantum solió07 TRACTATUS III. 26; yramidís. dimidium latus perpendiculare ad asim , et ipsa perimeter baseos; quod etiam ad conum extendendum est: sphara factores sunt axis, et circulus maximus. -.420. Theor. x. In omnibus solidis superficies sunt, ut factorum producta. Dem. Superficles cujuscumque. solidi veluti creari. concipitur ex elementis, ex quibus componuntur factores: ex. gr. sint A» B factores unius, et axb factores alterius; altitudines nimirum et bases; patet superficies fore ut AB: 4^; quum hac producta exprimant facta , sive superficies: ergo $.: 5: AB t a£, sive superficies ut facto- 165(378.. 5 421 Theor. 2. Superficies, que factorem unum habent equalem, sunt in ratione alterius factoris. Dem. Sint S, s due superficies comparanda, quorum factores sunt AxB, a»x7; Si A za, diferentia inter ipsas intercedens erit ea, que inter B et 7 reperitur: hoc est $ : 5: B : /; Contra veró si B^; erit $15: A :45 hoc est, ut alter factorum, in quo inaqualitas reperitur; quemadmodum de figuris planis dictum est num. 378. Quare due superficies: solidorum habentium zquales bases aut perimetros, erunt ut altitudines, seu latera: quod si hac sint qualia, erunt ut perimetri : denique. 5i utraque inxqualia sint, erunt in ratione composita , sive ut producta AB : a^, scilicet altitudinum, et basium. 422. Theor. 5. Solidorum superficies , quo tum factores sunt invicem groportionales, erunt User se, ut quadrata dimenstonum homologa- 268 . ELEMENTA MATHESEOS. run. Dem. Superficies solidorum regularium reducuntur ad figuras planas rectangulas, quarum factores sunt bases, et altitudines: at figura similes, quarum scilicet latera homologa sint proportionalia, sunt in ratione duplicata laterum: homologorum (579): etgo etiam 'superficies factorum proportionalium erunt, ut quadrata dimensionum homologarum. und .423 Corol. Sphrrz. omnes, cujuscumque magnitudinis, sunt solida similia: quemadmodum omnes circuli sunt figurz planz similes (580): ideóque earum superficies erunt in duplicata ratione diametrorum, et: peripheriarum; aut radiorum; siv& ut quadrata harum dimen* sionum. & IV. Soliditas corporum. 424 Defin. Ad definiendam soliditatem cof* porum, opus est aliqua mensura, in qua tre$ dimensiones reperiantur , quemadmodum: ad superficies dimetiendas, mensura duplici dimensione constante opus est. Quapropter ut! superficierum dimensio ad quadratum exigitufy ita etiam solidorum ad cubum reducitur. Opus igitur est, ad dimetiendum corpus triplici dimensione donatum , mensura etiam ad trip!" cem extensionem deducta, puta leucas, millia" ria, decempedas, hexapedas, pedes, pollice lineas, juxta uniuscujusque corporis: dimetiet di indolem adhibendas. Mensura veró cubi ea dicitur, qua sex lateribus quadratis des dimensionis constat. Sic pes cubicus est, cuUJU sex latera sunt pes quadratus; spatiumque 4^ IE ce cOSTRACTATUS H5 269 his superficiebus inclusum, est pes cubicus. Rursus si in. pede cubico partes componentes considerentur, tot pollices cubici invenientur, quot continet pes-quadratus in suum latus, seu radicem. ductus; nimirum I12x12-144x12 — 1728. Quod pariter ad lineas respectu polli-- cis applicandum est. i ws 425. Theor. 1. Soliditas prismatis equalis. est producto basis, seu superficiei ejusdem, in altitudinem ducte. Dem. Juxta dicta de gene- si solidorum , prisma gignitur à motu parallelo basis per totam altitudinem; ducta ergo basi in altitudinem , habebitur soliditas prismatis. Sit ex. gr. basis 10, altitudozz100; erit soliditas tota prismatis 1000: nempe si ponantur pedes, erunt. 1ooo pedes cubici soliditas prismatis; et hac differentia inter mensuram superficierum, et soliditatum intervenit, quod productum in.dimensionem superficierum enuntiat pedes quadratos, in solidorum. veró mensura dat pedes cubicos. ».426 — Corol x. Soliditas cylindri est etiam productum basis in altitudinem; quum cylindrus tamquam priema ifiitilaterum consideretur. Hinc duo prismata, aut duo cylindri ejusdem basis, et altitudines sunt perfect? &qualia. 427 : Corol. 2 Cubi soliditas est productum lateris, seu altitadinisin superficiem asis (424) Parallilopi i etiam soliditas invenitur , ducta altitudine in superficiem basis; concipi enm possunt hac solida. tamquam prismata quadrangularia, et reverastalie: sunt; quamvis ad par- 270 ELEMENTA MATHESEOS. T ticulares classes solidorum referantur, ob peculiares in ipsis propietates, geometrica spe* culatione dignas. ^ — T /.428 Theor. 2. Soliditas pyramidis equalis est producto ex basi in tertiam partem altitudinis: seutertie parti producti ex altitudine in basim. Dem. Sit (fig. 52) pyramis altitudinis BP, qua sit dimidium altitudinis cubi AB; et ejusdem basis CDEF cum eodem cubo: manifestum est ex cubo AB sex oriri pyramides ejusdem basis et altitudinis ac BP: erit igitur quelibet . illarum sexta pars ejusdem cubi. At mensura soliditatis cubi est productum basis in latus sive altitudinem: ergo illarum pyramidum so* liditas erit productum ex basi in sextam par" tem altitudinis AB; aut in tertiam partem al* titudinis DP; seu erit tertia pars cubi ejusdem basis, et altitudinis ac ipsa. sd vero eadem sit mensura soliditatis prismatis, et cubi; ge* neralior regula statui potest, pyramidis soliditatem esse tertiam partem soliditatis prisma? tis ejusdem basis, et altitudinis: ut patet etiam ex sequenti, T 429 Theor. 3. Prisma triangulare otesf dividiin tres pyramides perfectó equales. Detr Secetur (fig. 36) prisma AB, plano triangulari ; ADF, et ACF; habebuntur dux pyramide ADEF, et AFBC zqualis basis ADE,'BCE; 2€ que zqualis altirudinis AB, EF. Residuum erit alia pyramis ADFC; qu& quidem ita collocetur, ut pro basi habeat triangulum ADF commU- nis sectionis cum altera ADFE , pro cujus be5! etiam assumi potest idem triangulum ADF. ?! SCOTTRACTATUS HL. 271 inverse pyramides habent easdem bases, ut est manifestum: enimveró altitudines etiam zquales sunt, quum omnia opposita latera sint arqualia, in prismate: sunt igitur tres pyramidesinter se gquales; et simul sumptz aquales toti prismati AB. Mechanica demonstratio hujus theorematis argilla aut cera ob.oculos proponi potest. teh. 430 .Corol, 1, Omnia prismata quorumcumque laterum dividi possunt in tot prismata triangularia, quot fuerint anguli in . prismate: et quum omnia prismata triangularia sint tripla pyramidis ejusdem basis, et altitudinis , evidenter eruitur, quodcumque prisma esse triplum pyramidis ejusdem ac ipsum. basis, et altitudinis; aut quod in idem recidit, pyramidem esse tertiam partem prismàtis, ejusdem . basis, et altitudinis. Pyramis etiam. polygona dividi potest in tot pyramides triangulares, in quot triangula polygonum basis resolvi potest. 431. Corol. 2. Conus est pyramis infinitotum laterum (405): undé erit etiam tertia: pars prismatis infinitilateri," qualis est. cylindrus, ejusdem ac ipse basis, et altitudinis. ES 432- - Corol. 5. Sphara considerari potest veluti coalescens ex infinitis pyramidulis, quarum Communis vertex est centrum :sphare; bases utem ejusdem superficies. Mensura vero soli- Itatis pyramidis est tertia pars producti alti- 'udinis in basim: erit igitur soliditas spharre *qualis X producti ex radio in superficiem , seu Urtig parti radii ducti in superficiem , aut hu- Jus tertia: parti ducta in radium. At sphaerae su 272 ELEMENTA "MATHESEOS, perficies quddrupla est superficiei circuli ma^ ximi ejusdem spharz (415): soliditasergo spha* zz habebitur , ducendo tertiam vusMp adf in superficiem circuli maximi quater sumptam. ^ &iocscat A fa Ratio solidorum. ^" ^. "435 Defin. Quum soliditas sit productum superficierum in altitudines, triplex mensura in soliditate investiganda considerari debet. N* mirum superficies est. productum longitudinis in latitudinem ; soliditas. veró profandiistis in productum harum dimensionum; Unde in conr ratione solidorum ' triplicis hujus mensur* benda ratio est. | 2i.be ó 434^ Theor. 1. CyZzdri, et prismata, recte» vel obliqua , ejusdem basts , dToersc tamen al titudims, sunt inter se ut altitudines. Dem Ejusmodi solida «qualis basis, et altitudinis sunt aqualia (426): ergo quum bases sint equ? les, altitudines veró differant, illorum diferer" tia ab his est desumenda. o ems . 43$. Corol. Coni, et pyramides , qua bas" bus zquales sunt, si altitudine differant; illo Hlbalieesicaé ab hac desumetur. Sunt € tertia pars prismatis, aut cylindri ejusdem bt" sis, et altitudinis (4350, et seq.). un 456 Theor. 2. Prismata et. cylindri (idem etiam dicendum de pyramidibus et conis) quo rum altitudines tantum sunt equales,erunt inl : se ut bases. Dem. cadem est ac theorematis PI^ cedentis. Quod si fuerint in ratione recip* " TRACTATUS I . "833 basium, et altitudinum; nimirum basis urius, alterius altitudini equalis, et contra , erunt&qualia, Et viceversa omnía prismata qualia habent altitudines, et bases reciproce proportionales. 437 Theor. 5. Solida similia sunt in ratione triplicata laterum homolo TOrim, sv? sunt ut cubi predictorum laterum. Dem. Solida similia ea dicuntur, quorum latera homologa tresnimirum dimensiones, ex quibus coalescunt, sunt proportionalia. At soliditas est productum altitudinis, vel axis in superficiem, que ex duabus aliis dimensionibus est productum. Solida igitur sunt in ratione composita trium dimensionum homologarum; ac proinde in ratione triplicata cujuslibet: quemadmodum de superfi- Ciebus dictum est (379), esse in ratione duplicata laterum homologorum. ^ .- -438 . Corol. 1. Ut hactenus dicta in pracedentibus articulis generali formula comprehendamus; qua ad solida invicem comparanda extendatur; eorum soliditates dico S, s; ef A, B, C, 2,5, c, eorum factores: erunt igitur S: :: ABC: a/c. Hinc x^ Si A24, $551: BC:— £c; 22 Si A: a: b6BO, S25 (578m. 3. -? In solidis similibus S :$:: A5: 4? : : B*: 3:15:65, Sit ex. g. cubüis A—27, et cubus 4-8: quüm sint in' rátione triplicata dimen- Sionum homologarum, et Omnes dimensioues AP -— t F 3. in cubo sint quales, erit latus Av. .A*— nme $ 4 Ay atc A A; et latus 4à-—v )-—2a:et ia an XAxÁA: axr«a: qua ratio luculentissime est triplicata laterum homologorum À et 44, sive 5 TOM. I. 18 274 XLEMENTA MATHESEOS. et 25. eruntque pradicti cubi in ratione. tripli? cataj45:.2; nimirum 27: 8 3*3*X3: ?* 2x2. - 2 459. Corol. 2. Sphara: sunt in. ratione triplicata diametrorum , aut radiorum, peripheriarum , autarcuum similium. Nam quum sphz-. rx sint solida. similia, earumque. factores seW , dimensiones sint diametri, aut radii, et perio pheriz (452) , sivé earum. partes aliquota, erunt inter se ut cubi harum dimensionum. Sint due sphazra S et 5, quarum diametri , aut radii sint D—-5, et d; erit $1 5: i D? : d^, sve S 5::27: $. Etenim. soliditas sphaera: habetur; ducto radio in superficiem circuli maximi (452)5. adeóque quum superficies circuli sint in ratione duplicata. radiorum (579), sphaera erunt in tri: plicata eorumdem... gris ghi 440. Theor. 4: Sphera equalis est. duobus ter^ tis partibus cylindri eidem circumscripti , sett cujus. basis circulus maximus, altitudo. ver sphere diameter sit. Dem. Esto (fig. 33) ACD quadrans circuli, qu quadrato A BDC includa* tur: ducta diagonali BC, et radio CG , conci pi? tur volvi circa immotum radium. AC; planum est, integra circumvolntionedescriptum iri qu^ drato ABDC cylindrum; radio CD hemisphe^ rium AD, etdiagonali BG conum. ABG: onfn/4 ] hac solida. habebunt, pro. basi circulum max mum sphere, pro altitudine ejusdem radium: Jam dücatur sr aequalis , et parallel4 AB ef CD, et perpendicuiaris lateribus AC;,BD: €7 it CA:AB::Cni: mn (358)at CAZAB; ergoC"? nn. En radios triplices sectionis; nam.mf est. m TRACTATUS HI. —— 253. radius sectionis cylindri; »/G sphaerae, et zm coni. Rursus in triangulo rectangalo CrzG :est CG? zCm'--mG^ (345); at CGz CD- mr: ergo mr'zOm^--mG); sive substituendo :: pro. Czz?; ejus equalem zu , erit mr'—mn --mG? ; nimirum circulus, cujus radius CG—summx circulorum, quorum radii zzz, et zG (570), seu secti cylindri aequalis est summz sectionum heamispherii, et coni. Hac demonstratio iterari | potest in aliis sectionibus infinit&. parvis, et proximis, ut 45, usque ad exhaustionem cylindri (350); ubique invenietur CG* seu zr? -zquadratis:sectionum sphere et coni; adeópe totus cylindrus A BDC zqualis hemisphario 1D ,et cono ABO simul sumptis. At conus est $ Cylindri ejusdem basis , et altitudinis (451). ergo relique $ sunt dimensio hemisplierii ÀD. Demum si his omnibüs corporibus altitudo AF dupliciter ; evidens est proditura tria solida , nimirum cylindrus, cujus básium radius AB, et FH , axis AF ;sphara, cui diameterest eadem atque axiscilindri, radius ACA B generans circu lum maximum equalem basi cylindri ; et denique conus , cujus basis radiussit eadem AB; altitudo vero; sive axis, diameter sphaerae, squalis axi cylindri. Quz quidem solida etiam erunt in proportione superius assignata scilicet conus 7, ephzra $ cylindri eidem circumscripti. ! H i. s " " QUE 3 PRG C * CPRAGCTAIUS:-IV.: TRIGONOMETRIE LINEAMENTA. Lan aed -- CAPUT I. . 441 Defin. 1. d odd est ars metien di triangula calculo arithmetico , sive triangula resolvendi , atithmeticam geometriz applicando» In triangulo autem tres anguli, et tria later: inveniuntur , ex quibus tota triangulorum resolutio dependet. Quum veró innumera triangula zquiangula fieri possint, lateribus semper majori^ bus, aut minoribus; planum est, nec tres angulos tantum , nec aliquot latera sine angulis sufficere ad resolutionem trianguli. Porró angulo eodem permanente, latus oppositum | decrescere, .V€ augeri in infinitum potest. Undé nulla ratio geomeurios inveniri potest inter angulum; €f tus oppositum , ex qua trianguli resolutio ert? valeat. Quam tamen rationem non dicunt angU* li ad latera habent sectiones | parallela . (339; ad quas reduci possunt sinus, ut mox videbimus: atque ideó functiones ab aliquibus aucto" ribus appellatur, eo quod vices angulorum €f laterum fungantur in proportionibus. Notiones drigonometrice. "m 442 Schol. Triangula, non solum lineis 1€" — TRACTATUS IV. 285 horum. non angulorum sinus rationem. sérvabunt. Verum tamen est , angulo descrecente, sinum etiam minui; evanescente, evanescere: at nulla constans-ratio invenitur inter ipsos et siniis , quemadmodum nec inter anguloset latera. 4:6: "Theor- 5. In quovis uadrilatero cireulo inscripto duo rectangulaex lateribus oppositis ,equantur rectanguloex duobus dia gonalibus ejusdem; Dem. Sit quadrilaterum A (fig. : 18) circulo inscriptum; dico rectangulum ADxCE--AExCD-AOCxDE. .Fiat angulus 77 —n. Triangula AEF, CDE angulos habent in n»: et 5 «quales per constructionem ; in Aet D etiam zquales , quippe eidem arcui CE insistentes: sunt ergo similia, atque adeo AE: DE:: AF: DC. Ést igitur AEX«DC—AFxDE (200): nimirum. rectangulum sub DE et parte AF alterius -diagonalis, quale rectangulo. sub .AJE et-DGibonón/. . "(d e bnisb $3 Deinde:triangula ADE, CEF sunt similia: nam angulus AEDZCEE: quum. pars. 7/—21, et altera ttrique commiinis :; angulus .ADEZ ECE: insistunt enim:eidem arcui- AE (511); etgo AD: CF:: DE: CE; et. AD«CE-CExDE; scilicet-aliud rectangulum 'ADxCE aequale. est 2 sub! eadem DE et. parte altera FC: et reducehdo-.DE (AFxGE)EDEXAC—AEx DC2-ADxGE; rectangulum nempe sub diagonalibus:zqualeest. duobus réctangulis laterum oppositorum quadrilateri.. — — | 457^ Schol. Ex hoc theoremate deducta sunt tabulzsinüum cujus usus in trigonometria frequentissimus, Chorda enim 6o graduum a- 284 ELEMENTA MATHESEOS. qualis est radio: eo igitur diviso in quot pla cuerit partes, ad normam hujus divisionis relique chorde deducuntur ; et dimidium chord dat sinum quzsitum. Inutile esset singillatim omnia tradere problemata , qua ad constructionem tabularum inventa sunt: jam enim in plerisque libris mathematicis tabule coüfecte reperiuntur, unde labor iste prorsus inutilis fo« ret. Nobis satis est ea tradere, qua tironi philosopho maxime conducunt ad physicas veritates condiscendas. £d CAPUT III. Usus sinuum in calculo trigottometrico, 458 Schol. | jn sinus ope tabula rum habentur, in quibus gradus, et minuta prima, deindé sinus inveniuntur. Animadvertendum tamen, non omnes eadem methodo procedere. Sunt qui gradus, minuta, sinus tantum proponunt, quum ex his deduci possint reliqua. Alii sinibus sinus logarithmicos substituunt , ut facilitate et brevitati consulant. Prolixiores alii opus singulare excuderunt , in quo omnia in columnis separatis, et sibi respondentibus, concinnata sunt. Novissime Gardiner. Anglus, et Toaldus Venetus hujusmodi tabulas absolutissimas evulgarunt, in quibus omnia , qux ad calculos trigonometricos. necessaria sunt; collecta invenies. Tabularum usus ex resolutione: problematum manifestus. fiet. Animadvertendum tamen radiumz:10, 000, 000, 000 usurpatum -TRACTATUS IV. 28; fuisee in constructione tabularum: nunc veró tres ultime cyphrz omittuntur: quoniam hac omissio nullum errorem sensibilem inducit. ..459 Problema 1. Amguli, aut arcus qua drante minoris functiones in tabulis invenire. Resol. Sint ex. g. inveniendz linez trigonometrica; anguli 3o?, 10/: invento in tabularum pr ma columna numero graduum, et minutorum 30^, 10 , aut alterius dati , in secunda columna; linea ipsa currente, invenietur. sigusc5025 1« 70: in tertia tangens—598123, 53: in quarta secanszz115664. 80. Quod si. adsint logarithmi in tabulis, ut nonnumquam solet, in columna quinta et sexta eosdem reperies: qui quidem unic? apponuntur, nut si aliqua ex lineis trigonometricis per aliam multiplicanda , aut dividenda sit, logarithmi praesto sint. In aliis veró logarithmos, omissis sinibus, reperies ; quod nullam ad praxim difficultatem addit. 46o Probl. 2. Anguli, aut arcus quadrante majoris sinum atque alia invenire. Solut. Quum. jam premonitum sit angulo obtuso , atque acu to ejusdem supplemento , communes sinus, atque alias fructiones esse (444); dato angulo obtuso, nil aliud querendum restat , quam. ejus" dem supplementi numerum graduum, et mi nutorum; quibus inventis, hujus anguli: functiones erunt, et alterius. Sit datus angulus , aut arcus 149^, «o/, cui inveniendus sit sinus: subtrahe à 1805, 1495, 50/, residuum erit 305 TO hujus angulis sinus est etiam alterius 149» jo ut et ciao linea: trigonometrice, qua pro illo acuto designate sunt. ; 286 ELEMENTA MATHESEOS. 461 Probl. 3. Cosinum ,cotangentem ; ét cose* cantem dati anguli invenire. Solut. Quaratur ejusdem anguli complementum (448); hujus sinus, tangens, et secans erit alterius! cosinus, Cotangens, et cosecans. Invenienda sint an^ guli-309, 1o/, reliqua functiones : dic:96?—(50* --10/)—592-50/; hujus anguli sinus tangens , ef secans erünt et linez alterius quesiti sinus, tangens, et secans. Quod. ut facilius, et brevius obtineretur in tabulis, ita artificiose. dispositi sunt gradus, ut minoribus & regione eorum complementa respondeant ; atque adeó om nes functiones. pre. oculis. semper habeantur: uti in exemplo adducto gradui 30 completo immediaté respondet gtadus 60: minuto veró - adaucto , respondet gradus 59*, 59/, et sic deinceps, altero crescente; altero minuente eadem proportione. | 5,50 Mom ite 462 Probl. 4. Dato sinu, aut aliqua exces teris functionibus, invenire angulum ipsi respon dentem. Solut. Facilis negotii res erit , si dácus sinus reperiatur in tabulis; inibi enim et angulus, sive gradus ipsi conveniens invenieture Quod si datus sinus non.sit notatus in tabulis; signum. est ad minuta secunda. pertinere: Jam vero notetur differentia, qua inter duos sinus roxime majorem, et proximé minorem; eX n qui in tabulis reperiuntur , intercedit: dein dé inter datum, éx proxime minorem: demum : instituatur proportio inter duas inventas ditfe* rentias,. 60, et numerum-a inveniendum. En exemplar:. sit. datus sinuslogatithmicus- 9* 9030990: quasito in, tabulis proxime: major? TRACTATUSIV«. 7. 287 siu logarithmico 9.9051084., et. proxim& niinore 9.9030136; eorumdem. differentia est. —948. Diferentia .veró inter.9.9050900, -aC . 9.9030156—764. Jam instituatur sequens analogia: 948:.764:1 60": 2-248", neglecta minutia $35, quz vix tertiam partem minuti secundi adequat. Quum veró simus logarithmici pradicti respondeant , major 5 5^, 8^, minor 55^, 75 datus erit439, 4^, 49. o qp 4635 "Schol. In tabulis vulgaribus minuta secunda non reperiuntur; quippe ad calculos geometricosminus -hecessaria. Ad. supputationes veró astronomicas omninó secundorum habenda est ratio; quandoque etiam minutorum tertiorum. Ex dictis numero' superiore facils 'eruitur methodus :supputandi: minuta secunda, inveniendi nimirum sinum, aut logarithmum: ipsi respondentem. Sit datus angulus. 365, 52^ 127, Subducatur differentia inter sinus logarithmicos angulorum 365,:55!, let 52^: deind& instituatur sequens analogia 60:10: : ut ditfe« rentia inventa ad x. En typum uu Sin. log. 569. 5,5/29.7782870 | in. log. 36*. $2/29.7781186 » EI Differzi684 54 25 51 Jam 6o: 12 : 1 1684: eyject quosud 4 uam proxime accedit: itaque hic numerus ae € (67) sinui logarithmico pagis - Mw grádus quus Se RESI TS IDPD-. gb LET. vier bl 288 ELEMENTA MATHESEOS, , Eadem est praxis, si loco logarithmorum, si nus inveniatur, aut sinus, et logarithmi , ut in - tab. Ulacquii, Gardineri, et Toaldi. CAPUT QUARTUM. RzsoLUTIO TRIANGULORUM. $. I. Resolutio trianguli rectanguli. 464 Defin. B sien: trianguli est , ejus par^ tes incognitas medio cognitarum deducere. fam premonitum fuit tres,angulos ad resulutionem trianguli non sufficere; und opus est aut. ali^ quot latera, et angulos; aut unum anguluin, atque aliquot latera cognoscere, ut cetera deducantur. In triangulo rectangulo notus est angulus rectus, cujus sinus equalis est radio: hinc sufficit ad ejus resolutionem, duas alias ex partibus praecognoscere; nimirum latus, et angulum. A E 465 Probl. 1. Datis cat hetis , invenire reltquas partes ME rectanguli.Solut. Sit triangulum (fig. 56) ABC rectangulum in B, cujus perpendicula AB, BC cognita sunt: ex, gr. i —- proportione 2: 5. 1. Hypothenusa AC etiam sine trigonometria inveniri potest ;etenim AC'— AB'--BC'; ergo ACcv (AC'—V (AB! BC" 2. Ut inveniatur angulus C, assumpto BC in radium, AB erit tàngens (447): ergo BC: AB:: sin. tot. : ad MEUS C(452). At BC: AB: 3:2: 1000090: 4226666666 neglecta minutia; cui re$* ..— gia deducitur: JCTmpRAOTATUS 1V. «7 . — 389 pondét in tabulis gradus 417, 48/ proxim&. 4. Cognitio angulo C——41*, 48^; angulus A ejus complementum facilé innotescit —90—41^, 48/ ——48*,12/. 4. Hypotenusa etiam hac analo-- 35 — Sim. À:BC::si. tot: AC... '" 466 - Probl, 2- Latere et angulo datis in zriangulo rectangulo ,imvenire religua. Solut. Inveniatur alter angulus methodo supra enuntiata; deindé sinus hac' proportione dedücentur ; alterutrius anguli sinus ad datum Tátus; ut sinus totus ad latus invéniehdum. Sic ex gr. datus angulus A, et latus AB, angulus C érit complementum ad 9o*. Deinde ut inyeniatur latus AC, fiat ! onu Mag 5 Sin. ang. C: ABs::sint; tot.: AC; ^^ Demum:-cathetus altera--BC hac proportione deducetur : | Jefsi , cadmou 321 Sin. ang. C: AB::sin. ang. A: BC. 467. ' Probl. 51 Hyypothenusa , et angulo acu- 7o cognitis y religua 19nora investigare. Solut. Altero acuto, ut supra invento; latus angulo dato oppositum hac analogia deducitur: ràdius ad sinum dati anguli; üt hy pothenusa ad latus . quasitumi'Sit datus angülus C (fig. 56), pra ter hypothenusam AC; analogia erit: ^o R:isin. ang. C :: AC: ABC 5 Quod si' datus sit angulus A, fiat. ^^^. Asin. ang. A::AC:BO," 7 468'' Schol. Ex methodo hactenus tradita facilé deduces, ad resolutionem triangülorum, prius. inveniendos 'ésse angulos, deinde lalera investiganda. :A sinibus enim: angulo- TOM. I. I9 290 ELEMENTA--MATHESEOS, rum pendet proportio inquirenda: laterum , et sinuum , ut. his cognitis, latera innotescant. . . cp 198510 fi CX dsmoiqic -olsus osi mtoit9 62 &dl Hou oru Resolutio trianguli non rectanguli. iH] .o vA TO t7 " 469... Probl. 1. I2 quocumque triangulo:non rectangulo cognitis duobus. lateribus ,. eque uno ex angulis oppositis , invenire reliqua.Solut. Sint cognita latera.AB ,BC (fig.15); et.anulus quicumque oppositus alterutri ex duobus e ELEM À. Primum anguli; deind& latus igüiotum debet inquiri. Quod ad angulos attinet; sequenti. analogia invenientur : mrraemelq: : BC:sin. ang. A:: AB:sin. ang. C... Ex hac proportione innotescit sinus anguli C; quo cognito , et angulus C , et tertius statim apparet. Demum latus ignotum hac proportione eruetur?... : à , aad . Sin. ang. A: BC::sin. ang. B. AC..; 470 Probl 2. Datis duobus lateribus, ef angulo acuto ab ipsis infercepto , invenire re7. liqua. Solut. Hujus problematis solutionem plerumque methodo nimis tironibus implicata tr^ dunt auctores, per semisummas et semidifferen" tias tangentium angulorum ignotorum. Ut faciliore via incedamus , qua etiam pro resolutio" ne cujuscumque trianguli siv& acuti, sive obtu- si indicari potest, en compendium resolutionis« Sit cognitus angulus C (fig. 12), et latera AC, BO illum. intercipientia: reliqua investiganda sunt- Ducatur perpendicularis BE ab uno ex angulis ignotis ad latus oppositum; remanebit triangu* GOSTRACTATUS Yi 41/3 — . 391 lum;.quod resolvi-debet, in duo:triangula rectangula divisum ; «methodo superius indicata tractandum:;/Ut latus-BE cognoscatur ,.hac analogia utendum erit "inqua tres primi termini ngti suntecasdiog td veo ocoononm "4 Sin, ang, (E::BC ::sin; ang. C: BE. Latus'deind& GE hàc'etiam instituta proportione eruetur. «.« Sus PHI IM. 0014 ; Sin, ang. E: BC:: sin. ang. B: CE. Angulus enim B ; complementum C , supponitur notus ex methodo num. 466. Rursus quum hypotlienusa BC data sit, latus BC—1/ (CB?) gis n atque adep. CE-/ ( BC? 2. Deveniendo ad alterum triangulum, latus AE facile invenietur, subtrahendo partem CE cognitam à tota AC etiam cognita. Sunt igitur nótz. catheti hujus trianguli; ipsarum autem quadratorum summa equalis est quadrato hypothenusa ; et radix equalis lateri AB :adeóque triangulum totum resolutum manet. Preterea: deduci etiam possent sinus angulorum A, et - Bsequenti analogia. DE | -—5 AE: BE::sin. tot.: tang. ang. A. BE: AE:: sin. tot. : tang. ang. ABE (447; et 464). 471 - Probl. 5. Datis duobus lateribuset an- &ulo obtuso abipsis comprehenso, rcliqua invenire. Solut. Sit A BC(fig. 57) anguius obrusus interceptus à lateribus cognitis AB, BC: demit" tatur. perpendicularis AD in latus BC productum in D. Anaulus ABD cognitus est !n novo triangulo , utpoté supplementum ad duos rectos 202. . ELEMENTA MATHÉSEOS. , anguli dati B ; adeóque et tertius DAB, quit D sit rectus:-latus etiam AB datum'est: quare r num. 466 reliqua nota erunt. Rursus latus BD addatur BC; utrumque jam notum ; subir" dé et AC innotescet, qua hypothenusa est res" pectu totius trianguli ADC; adeóque AC— 1/ (AD?--DC?), quoniam AC'ZAD'*A-DC?, ^. 472 Probl. 4. In triangulo non rectangulo datis duobus angulis , et latere , reliqua invenire. Solut, Ex dictis tertiusangulus manifestus est , duobus pracognitis. Ut. duo latera detegantur, hec proportio instituenda est. Sint dati anguli A, C (fig. 57), et latus BC, erit T Sin. ang. A : BC::sin. ang. C: AB. 507 Sin. ang. A : BC :: sin. ang. B: AC. 473 Schol. es tribus angulis, cognoscuntur sinus angulorum , adeoque et ratio ]aterum, quz est ipsa sinuum, Hzc est magnitudo comparativa , que omninó ab absoluta diversa est (453): eisdem enim angulis, atque adeó sinubus, ad infinitum variari potest magnitudo trianguli. Unde nisi unum saltem latus innotuerit, reliqua determinari non poterunt. Datis vero tribus lateribus tantum , anguli cognosci pocerunt, si prius triangulum ad rectangulum revocetur : ut articulis 470 et 471 indicavimus; deindé resolutio procedet uti su-* pra 465. Js ps7 : ; 474 Schol. 2. Quum idem sinus communis sit angulo acuto, et ejus supplemento; dato sinu, angulus cognosci determinate non poterit. Hinc aliunde notum esse debet genus an* guli, cujus sinus inventus.est: quod etiam TRACTATUS WV. -- 299 super bifariam patitur. Reliqua diametri extra axim..jacent, eique sunt parallela; Pars. inter verticem: seu: supremum curva punctum ;. et ordiriatasintercepta , dicitur zPscissa: partes vero , in quas axis dividit ordinatas , semiordinatz dicuntur, aut brevitatis gratia etiam .ordinatz à nonnullis solent-nominari.- Algebrice abscissa littera «, semiordinata veró y solet denotari;"nisi plures occurrant abscissz | atque ordinate in eodem calculo, qua tunc litteris aliis confusionis vitande gratia notantur. - 486. :Schol. Quum circulus una ex curvis sit, qua tironibus familiarior est; non-abs re fuerit. praedictas notiones ad eundem transfer re. Sir AMB (fig. 59) semicirculus insistens. dia metro AB: perpendicularis PM erit. semiordinata; APabscissa; vertex-A 5 axis AB. Jam veró ex geometria notum 'est ; MP perpendicularem ad dismetrum esse mediam. proportionalem: inter ejusdem segmenta ' ( 344)* -scilicet- MP. est media-proportionalis inter segmenta. AP ,; DF; atque adeó MP^—APxBP. Fiat AB—a; AP x; MP—y; quum st APcz, erit BP—2 — x; adeoque a: yi: ax, et ax—u' —y. En &quationem ad circulum , per quam hujusmodi curva circularis à cuacumque. alia discerni 'potest. Omnia. enim: puncta peripheriz circularis; qua hanc curvam: perficiunt, eandem rationem ad diametrum dicunt Nam: à quovis peripheric puncto ductis diametro et abscissis, ratio constans erit ax—xc'-—y* Undé circulus est curva , in qua rectangulum sub abscissa , atque altera diametri parte j aut quo d 3eo ELEMENTX 'MATHESEOS. idem valet , sub abscissa et diametra abscissa mulctató, equalis.est semiordinate quadrato: quz definitio traderetur, si circulus tamquam sectio conica deberet explicari ; atque-adeo inter ellipses compütandus foret. «050000 487..: Defin.. 4. Quantitates constantes 3n curva dicuntur ,.qua: semper manent invariat crescentibus , aut decrescentibus aliis. In circulo diameter, et radius erunt ejusdemi mensura; quacumque varietate occurrente inter abscissas; et ordinatas; qua idcircó quantitates variabiles vocantur, quod-augmenti, aut decrementi capaces:sint. Augetur enim quantitas AP-(fig. 59); crescente ordinataMP; eaque minuente.à centro. ad circunferentiaàmminuitur, ita ut, in puncto:Á concurrentibus , ütraque deveniatzzo, sive evariescat. Hoc itidem in aliis curvis evenit - respectu abscissarüm atque ordinatarum. .- 488... Defin. 4. Inter quantitates constantes recerisetur parameter. Hxc est recta. quedam invariabilis, ad-quam. referuntur abscissarum augmenta, vel decrementa in. ordine ad. &quationem cum semiordinatis,, Parameter aequatur ordinate per focum transeunti.. Focus vero est punctüm:. constans in axe sumptum, ad quod refertur. curva cujuscumque |. ductus, ... Curve MVM (fig. 40) parameter aquatur recta MEM: punctum vero F focus est , unde deflectio cur vz:MV M definitur. |. UT | ' , Li : OOCTRAOTATUS Y. (C 3ox 415915£ V [s i9éd divest" armlevist! ingre QueP UT: SECUNDUM: .C€- nsn ss! eietfenui 1011 : 51012081 E EUG -Paralela,,.... as xemioede 4 , nv T Ta. ? i24 «60959 cohort degewePoiormimsaé BI BH /489 ^ Da. Parabola ést eurva ,in qua se-. miordinatarum PM PM (fig. 40) quadrata equalia sunt rectangulo s apti et abscissa. Hic proprietas odo demonstranda , charactéristica est parabol fiotio. A pollonius Pergaus, celebre inter antiquos mathematicos no- . men, hanc éurvam Tiaximeillustravit; ünde "Apollohiama'à nonnulissolet appellari. — .49o "Problema. Parabolam in plano describeré. Solut. Sumatur extra curvam quedam recta ED (fig. 40), qua" irectriv appellatur, eo quod ad conformationem curve dirigat. In recta-ED sumatur quodvis punctum. G, ad quod. ducatur. perpendicularis VX:hec erit axis parabole. Ín hoc axe punctum sit quoddam F, ad placitum sumendum: pars xis inter FG intercepta bifariam dividatur in V: hic érit vertex. parabole , atque in F focus ipsiuse Per punctum F ducatur perpendicularis MF M ad axem V X , atque utrinque equaiisrectz FG, set dupla ejusdem FG: hac erit aequalis paràmetro curve describenda: (488). Ducantur deinde alie ' perpendiculares MM , m ad axem V X, et parallele MFM , qux erunt ^ordinata parabole: sicut et VF, VP etc. ejusdem abs- Cissr , à quibus curve ductus determinar debet (488). Ut vero punctum scmiordinatz, per quod curvam describere oportet; inveniatur; 302; ELEMENTA: MATHESEOS. intervalum cujusvis abscisse PV' à directrice . ED, sive: distantia; PG circino tràrisferatur à o. F ad semiordinatam, in qua punctum abscisse sumpturt est ; üti*in Fzz factum vides: puncta omnia in semiordinatis'hoc modo inventa designabunt parabole ductum à curva V MziM . utrinque describendum. Demonstratio. ex dictis numero superiore, etsequenti patebit. 491; Theor. 1. 77. parabola mod descripta, quadrata semiordinatarum equantur rectanuo ex abscissa in parametrum. Dem. Semiordinatam. P»; voco-y: ejus abscissa dicatur x: GV-FV. dico z. Quum GV.a-F V--EM, erit. GVZMFM, quae dupla est FM GPPpreced). Jam in triangulo rectangulo FPzz, Fyz —FP?2-. Pm? (345); et Py? -Fpz! —FP? ;ac FP? FEo— Pm. Traducantur valores ad formulas algebricas; Fg GP—a--»; adeoque Fm (a--x) (a--x)— a?--2ax--x^ (x29): Pm! y x ya y*. FP-—z—a; ac proinde FP'— (x—2a).(x—4)-— a^—2ax--4^ (132). Comparando igitur-valo- res erit:. - | L a?--2ax-ex* z y! ax! — aga. Et transp. Jmai-caax-ea)* — ea Et reducen. 5^—42x. ! 2 At 442MFM: nam GV za, et GF-2azFM; adeóque tota MFM —44, qua est parameter curvz descripta. Rectangulum itaqué 4ax ex abscissa in parametrum, zquale est semiordipatz quadrato. Hec demonstratio in qualibet ex semiordinatis iterari potest. 491 Corol. 1. In parabola, quadrata ordinatarum sunt ut abscissa. Nam parameter est MERIT IUUD PRU t maet oo UERACTATUS Veiis 393 semper quantitas invariata in, eadem, parabola; adeoque ; quum-ordinate crescant aut decrescant Juxta proximiorem, aut. remotiorem. à fo-' co distantiam, atque aquatio ?^—444« constans. sit; uno ex factoribus eodem semper. manente, scilicet 44, alter nempe a debet variari. ad eumque referri incrementa, aut decrementa or-: dinatarum, seu :quadratorum earumdem... 492... Corol..2,, Quoniam crescente axe, abs-. cissz pariter. concrescunt , eodem. proportiona-; li. incremento quadrata ordinatarum. augebun-. tur; atque. adeó eorumdem: radices. Parabola. igitur non est curva in.se rediens,,ut circulus atque ellipsis: :promoto enim. axe, parabola crura, qua. ab.ordinatis determinantur, juxta earum incrementa divaricabuntur, ac semper. Igcedent..o:m-r 38. H ecd. ; 493 Corol. 5. Áxis parabole V X ordinatas: bifariam secat:. est enim utrinque 5^—444; sivé dicta parametro f, )^—p«5 ergo y/ j^ Yy—W (gx): semiordinate xquales. eidem ra-. dici px. cin qd HZ S iu 494... Corol. 4. Parameter est tertia proportionalis ad abscissam , et semiordinatam, Ete-. nim deducta ex zquatione j^— p* proportioao E 5. L ne, erit qiytyt g (402) Nam eda si per alterüm' factorem dividas x, proportio erit; p: PIE RT abscisa videlicet est tertia proportionalis ad parametrum, et Semi ordinatam, atque hzc ubique media proportio". nalis inter utramque. $04 ELEMEÉNTA MATHESEOS. 17495 Corol. 5. Si in parabola xz; erit y^-—'; atqué yz. In puncto nimirum , in quo abscissa est equalis ML semiordinata, paraméter; atque abscissa! eequales sunt- -"496 —Corol. 6; Assumpta zip, erit )— ipp—-ip';etyzmy/ (ip');ac deducendo proportionem (202), $2: y: 1): f. Quamdiu abscissa fuerit dimidiüm parametri , semiordinata erit: medi" proportionalis inter semiparametrum, et parametrum. Quid si' non jam abscissa, at seiniordinata equalis sit semiparaimetro? Respondeo, tunc fore abscissam. quartam. partem párametri. Nam y— 1 pj et ^ —; p^ — ipp-px,ergo xt p. Quum veró in foco semiordinata semiparametro equalis sit , abscissa erit quartà pars parametri; et hec tertia pro^ portionalis ad parametrum , ac semiordinatam. - in foco sumptam (494). ' 497 Theor. 2. Quadratum semiordinatt cujuscumque quadruplum estrectan guliex abscissaillirespondente in distantiam foci à ver^ . m — tice. Dem. Sit abscissa V P( nta Py: dico Por? quadruplum fore V P VF* Nam VF zy (496), et PVz 2; quare PV VF-ipx. Át Pri? yx: ergo Pm quadruplum rectanguli ex abscissa in distantiam. verticis à foco. 498 Corol. Distantia foci. à vertice est ter^ tia proportionalis ad abscissam, et dimidiam semiordinatani. Quoniam 5? zx; erit. 1^7 Á 4 rer igpx: et P — p: deductaque. proportione. seiiy:: y ; Eg. Abscissa ad dimidiam semi- 19. 40 ) , et semiordi- U- -- TRACTATUS V. 305 ordinatam, ut hac. ad distantiam foci à vertice.. -499 Theor.5--Recta ex foco parabole ad extremitatem semiordinate cujuscumque , egualis est abscissa illi respondenti , plus distantia foci à vertice. Dem. Sit^ VP (fig. 40) abscissa cui respondet semiordinata Pz: dico Fs -— DPV--FV. Etenim V F—4 7 (496), et PVzza; idcircó FP—x—£f. Jam vero... sot Fn zPa)-—FP* (345) my?--«——ipr- 52^ BONES 1 diit Et substituendo 5^ — ga , erit. Fm? ze py--x*— igne lada gutostogaei tiae dd HOS Euge rer Em za px-lp Et extracta, utrinque radice: Egza-e$p. 7 Recta ex foco 2 extremitatem semiordinatze aequalis abscissa, plus distantia foci à vertice. ^ $00. Corol. Quum distantia foci à directrice sit dupla distantiz focià vertice, intervallum: inter diréctricem, et verticem aquale erit distantiz. foci! à vertice; atque adeo aquale rectae ducta à foco.ad. punctum concursus semiordinàtz cum parabola. En. quomodó inventa. sit methodus parabolam .in; plano. describendi.. sor. Probl. 2.44 quodlibet parabole-punce tum tangentem dicere. Solut. Sit datum puncuim gr semiordinata: F»z, ad quod ducenda sit tangens (fig. 40). E foco F ad datum punctum ducatur recta. Ez: 5 atque ex. eodem puncto al-* tera Dyrz Epi , et ad directricem. AD. perpen-' dicularis, E foco F. ad punctum D ducatur rectà ED, eaque bifariam secetur in. 25. per duo: puncta z;; ducatur recta Ay; h&c erit tàngens parabolam in puncto dato zz. Der. Linea TOM. I. 2o ELEMENTA MATHESEOS. Anm curvam tangit in puncto 77; reliqua ejusdem puncta extra curvam sunt, Primum ex constrüctione manifestum est, alterum oportet demonstrare. Triangulum. DEz» est. isoscele: nam Dirz GP-FEm (500): quumque basis . DF bifariam divisa sit in z; triangula Fry Domin aequalia erunt, et réctangula ad 7 (294). Ducantur DM, FM: triangula EMz, DM, erunt eriam qualia ob Fzz Dz, latus Mz utrique commune, et angulos ad z. rectos (335). Quapropter si ducatur LM ad directricem perpendicularis, DM erit hy potenusa trianguli DLM, atque idcircó major. | perat, toto quadrato DL (345) At FMzDM;- ergo FM major LM: et punctum M extra parabolam: quum .L M mensura sit distantia à foco: ad owns in linea. FM à parabola intercj- *. extremitas extrà parabolam est. «02 - Corol. Linea; seu diameter B axi pa^ rallela, concurrens in punto contactus m.cum Em, facit angulum. Bri M. Erin. Est enim à verticem. oppositus. Dma zz Fur: (501); atque i oprietate pa^ adeo Fun zqualis (292). Ex hac pr foie del jur ncn perum Re Tena | tegis xus omnes radii paralleli uti Bm, Kn, ad focum F relectuntur facer tes angulum reflexionis, angulo incidentiz pa* rem, uti constanti lege in physicis observature " ! E 1 r T Welt * - vore ee ws A ' aur. t sd. . Ld . * LM, cujus quadratum su- - (499). Clarius; curva. parabolica de transire per punctum , inquo linea FM eh sit LM (509); quumque FM major sit M , ejus PR UPRAGTATUS Y. t " os ' PR p st. wt MA - * jer CGAPUT TERTIUM. be e Mir as pé in 213 "NP L- j Ev »2. ilioimt: uM j PR WW Yen Nerea pe - r | eem segmentis axis jj] ctátig: gului Nec abiret in circulum, - perpendiculari: "eg Son sd minimam | erro T sein ! poo i ji P6040 " Define ye Diafneter r ellipséos est que: cumqué recta ab tina in eifétio perimetrt: paga 406 ELEMENTA MATHESEOS. Ànm curvàm tangit in puncto zz; reliqua ejusdem puncta extra curvam sunt. Primum ex constructione manifestum est, alterum oportet demonstrare. Triangulum. DE» est. isosce-: le: nam DirzGP-Em (500): quumque basis . DEF bifariam divisa sit in 25 za px Enn, )mn xqualia erunt, et réctangula ad & (294). D DM, FM: triangula EMz, T ates etiam qualia. ob Fz zz Dz,, latus Mz utrique ommune, et angulos ad z rectos (535). Qua- -Konter ;si ducatur LM ad directricem pee dicularis, DM erit hy potenusa trianguli DLM, atque idcirco major LM, Pj eel supetat, toto quadrato DL (545). At FMDM; ergo FM major LM: et punctum M extra parabolam: quum .L.M. mensura sit distantiz à foco: ad. guess in linea. FM à parabola. intercj- (499). Clarius; curva. pparabolica de-: | | o linea FM. M. major sir transire per punctum , in- E ualis sit LM (509); quumque - M, ejus extremitas extra parabolam est. «02 -Corol. Linea; seu diameter Do axi pa^ rallela, concurrens in punto contactus zz Cum Fm, facit angulum. Br M. Em. Est enim ad verticem. oppositus Dru z Fon: (501); atque deal eqoni a) -Ex hac proprietate pa* rabolz deducitur p nenon lom ST rabolicorum, in quibus omnes radii paralleli, uti Bm, Kw, ad iocum T reflectuntur faciens tes angulum reflexionis, angulo incidentiz parem, uti constanti lege in physicis observatur. ] waltsseud EUM * € ML D LLLI * ANI "1 Md / T3 bec " : - "TRACTATUS "V. 515 tionalis-erit parameter axis majoris: nimirum 2a: 2b 3b: p, littera p designante parametrum;.sive divisa per.:2. prima ratione , adhuc vt; a4: 33b: p; ac tup? grit, a: bu2bi pr ac P— 47 $19... Corol. 2. Quum axes in ellipsi constantes sint nec augmentum, aut decrementum. patiantur uti abscisse, atque ordinate, parameter etiam quantitas constans erit in ellipsi. - $20- Schol. Abscissa in ellipsi possunt etiam à centro computari. Esto CP (fig. 42) abscissa ab centro:computata , quam assumis cum reliquis ellipsis lineis comparandam; erit Ag 4—x, BPza-ox; APXBP (ax) (a2): et multip.-ac reductione 'facta 4'—4"* Quamobrem superius (510) inventa roportio MP*: APxBP:: DC': ÁÀC? in hanc abibit: — -— y : at— e: a^; Mg! extremis et mediis, 4' ym b* nus ovoiyyuust b e i disk patto. En alteram equationem inte omputatas. : que abscissas à centro c im motu continuo descri- 421 Probl.x. E//ipsi Pere, Solut. Esto datus , vel ad libitum assumptus axis-AB. (fig. 42); in quo foci E, f, sive dati, sive delecti sint: filum logitudinis AB in duobus punctis F , f, ab extremitatibus rite af fipatur,.ut possit stilo probé tenso qting circümduei ; linea sive. perimeter ADEB sic descripta erit ellipsis. Dei Si ostendero in curva * r semiordinatas at- 514 ELEMENTA "MATHESEOS. modo designata aquationem ad ellipsim inveniri, extra dubium erit , ellipsim descriptam fuisse: quod sic prastabo. -1.: Positio fili tensi curvam describentis in quocumque puncto designetur, ex gr. FM, Mf: quum veró filum sit quale -AB, erit FMaM f—2a; differentia autem inter FM, et Mf dicatur 24; adeóque FM. aeui) —4—d;é& Mfzmeters z a2-d (1 tolo Ducatur semiordinata MP—y, dividens FM f in duo triangula rectangula 'FMP, "MPf recta Pf POecf. eritze-e ax; et ij c—x (515, 520) 2. In triangulis prifieüs M f MP E Pis MP*--(PC2- Cf) ::et FM* ZMP*--FP* a MP*--(FC—CP)* (345. V aloribus: ebricis linearibus substitutis; erunt ^." X1: 1. Mf'—a -caad-d MP" (QC Cf) y -4- e -——2cx--x? FM*za diad-aed "-MP* innuit: c —2cx 2x? Subtracta utrinque inferíore ab superiore. aquatione , factaque reductione ; uas ^ operütiones brevitatis gratia sedulitatis studio perficiendas committimus; & ii Mm3o £ mr di . cus teda J. au odo cxt deducitur . 44d —4cx5 et UE editt m Substituatur hic valorin prima ivatorseno vao ete get a? la EL -et-eYCK ex "(hoa e r! n sive deleto 4; 4 ce iran my ue E o — NNNNC————-———— e E CUTRACTATUS ve tu 3 [3 delendo "utrinque pH Pie eh -ea*, (104, aye U-— *'&c tollendo fraction. FE LT ey nate € "ete xat (10453 5 ARR ^ heces a y^ mater e FEET E uu « ^ - de t La et. divid. . utrinque Ea at —£63$—di— Lm s wg (ibid: s). » : Rursus 2^ —c pz EC (qr): dique s IR ;so0ng0 66 € y Sj ei op —* js. substituatur £^ ra^ —(c? exterminata. fract. a yt —a* P er tuia Dini tmp, (221 —— pains vri Habes aquationém ad elipsim superius taditàm- incurva modo: circumducta. ; $22. Corol. Summa rectarum. atto à duobus focis ad idem perimetri De aqualis est axi. niajori:'adeóque tàm FM--M/, quam FE--Ef, aut quecumque alie similiter ducendz, zquales erunt 'AB. Et: ivicissum si summa predictarum linearum equalis est axi majori, punotum concursus erit in die v$34- Prob. z. Ad ellipsi entes duced: vw ducenda re. Solut. Esto punctum M,a it-tangens: producatur £M ultra Min S, donec sit-MSzMF, et ducta FS, bifariam: .dividatuss punctum biséctionis, et. M--di directionem dabit linea "TMr, quaerit tangens ellipsis ad. punce tum M. Dent. Quoniam omnia latera homologa triangulorum FMT SMT «qualia sunt cons- 316 ELEMENTA' MATHESEOS. tructa , erunt'aqualia (552): ergo et rectangu| ad T (294): quapropter omnia puncta Tr equ distant utrinque à $, F. Ducatur Sr—Fr; late- Ta Sr, fr, in triangulo $fr majora sunt quam Sf (272): at /SZMf--MF—AB (;22): ac demum fr--Sr , sivé zquale Fr majora sunt f S--FM-- Mf-ADB:ergo punctum r extra ellipsim est (521, 522). Omnia igitur püncta linex Tr extrá ellipsim sunt, prater assignatum M, in quo vllipsim. tangit J^ «sc acts E ossis i $24. Corol. Recta FM ab uno ex focis ad punctum contactus M. ducta, facit angulum FMT —fMr, quem altera recta , ab respondente foco ducta ad idem M, pünctum contactus format cum eadem tangente Tr. Nam ex praxi superius assignata ad tangentem cuilibet punc- to (M) ducendam SMT-FMT; at f Mr est.ad verticem oppositus SMT-FMT : ergo et fMr zqualiserit (290)... :-65* ^ : CAPUT QUARTUM... Hiperbila: ' $25 Deíin. 2. Q...; perbola sit sectio co- ni plano axi parallelo, "xi alia directione, que alterutri laterum. parallela non sit , ac basim iutra conum-secét: (484)5 concipiamus conos duos verticibus opposites CBV', EDV (fig. 4» ita ut recta AV F communis axis utriusque sif. Énimveró si planum GL directione ad hyperbojam composita latus utrumque conorum Se* TRACTATUS V. | 317 cuerit, evidens est duas hyperbolas utrinque. factum iri; que hyperbole conjugate apud: geometras audiunt. (im "n -.$26 Detln. 2. Axis hyperbola extra curvam. sumitur; estque illa distantia, qua inter ejus-- dem, atque alterius conjugata verticem intercedit. MN axis hyperbolz..GM. erit; alterius. vero LN idem intervallum ab N in M sumptum: atque hic quidem primus axis dicitur. Secundus autem est linea VO alteri. perpendicularis, ipsum bifariam dividens, atque itidem. ab eodem bisectus. Ordinat: perindé atque in. aliis curvis computantur: abscissz etiam sünt partes intercepta inter verticem et analogam. ordinatam. Et hac quidem intra curvam: alias veró abscissas et ordinatas infra dabimus. |— .527 Defin. 5. Si triangulum EVD, in quod conum derivetur directione à vertice ad. basem hedaper oo bisectum, ita constituatur, ut. yperbolam MG intra crura intercipiat , ambo sub eodem plano respondentia ;. latera duo trianguli VE, VD, hy perbolx asymptoti dicuntur. Ew —$28. Corol. Quum ED sit: basis. trianguli, EVD, cujus Jatera sunt asymptoti hyperbola; atque etiam. diameter. Sit. circuli- EFD ; major. asymptoti, atque hy bola.continénti propor tione crescent, manente inter diametrum ED , et chordam al. Interval« lum nimirum asymptotorum :ED pari; casu 318 ELEMENTA MATHESEOS. crescet, quo chorda a distendetur: ergo sem per invicem: aceedent, quin umquam. coincidant; quod asymptotis nomen prebuit; perind& quasi non cozneidentes dicerentur. Hinc artum est.theoremaparadoxo simile; quod nimirunt hyperbolz crura semper propius ad asymptotos; accedunt, quin' umquam possint. cum ;iisdem: eontürréfeo: Vi ds mulisvisrei gb: WI ewm "$29 Defin. 4. Ordinatz , atque: abscisse hy« n" in asymptotis pariter sumi possunt« ipto AB, AE (fig. 44) asymptoti descripta, aut describendz: hyperbolie: in his sumantur AD; AF zquales, compleaturque .parallelo-. mmum ADV: deinde in asymptotis acci« piantur ad libitum. partes, uti AC, KE,.AG;. A B ea lege; utlatus AD-DV - parallelogtammisit semper média proportionalis inter. partem in asymptoto abscissam , atque-aliam paralle-: lam alteri asymptoto ducendam: ex gri... d MEME usto, die Kate Ico SAP AEG Teen CO CCXESDV: DV EN etc. Ey v linea E puncta. NLV KM ttjnsiens ,erit hyperbóla: ejus abscisse in: asymptotis:, oru AD, AC, AG etc.: ordinatz autem EN, CL;! GK icio , mieod: wu» A. obo: se 1i $39. Corol. r; Esto abscissa: de more za ordinatazy, latus DV. aut FV' vocetur d; quay sit x: d s d: yseritz yd *; ergo quacumque demum sit abscissa'in asymptoto capta, semper rectangulum ex ipsa in respofidentem , ordinas tam: zquale érit quadrato DV. , aut F V, siv& vs * 1 TRACTATUS: V. 1 319 parállelogrammo ADV F eidem equali (354). /$31. Corol. 2. Comparando sies abscissis , atque ordinatas ordinatis, esto AC, aut AGzx; OL,aut GK z 95; AE-X; ENzY; ge Sit avzd?; XYzd^ ; erit XYo-vy;et vasyv. (202 ) Nempe abscisse sunt in ratione inversa, aut reciproca ordinatarum , et viceversas: 5500 ex Ys «32. Corol. 5. Considerando rectam. AD veluti abscissam in asymptoto AE, erit AD: DV : DV: ». Verum ADZ-AF (530): etquum AD, VF sint parallela, AF-DV (3j1):ergo etiam y zqualis AD : sive ordínata huic abscissz respondens , est ipsum potentia latus. AD: atque idcirco punctum V est in hy perbola. Sumendo aliam abscissam AF. huic. equalem in asymptoto AB, eadem methodo demonstratur, ordinatam illi respondentem fore ipsum. latus potentie AF: ergo crura hyperbole in punc- to V concurrere debent; ipsumque est vertex predicte. curva, $ quo ejusdem crura divergere incipiunt. » bs r To :.533 » Corol. 4. Quoniam. reliqua ordinata oK, 9M ulterioribus abscissis.Ao, Af respondenie supra verticem. V. .ig asymptoto.AE equales. sunt. respondentibus .abscissis alterius asymptoti..AB. (554): eadem. proportio, qu& inter abséissas,, latus constans. hy perbolas, :atque ordinatas illic invenitur; hic etiam ordine ermutato reperietur : nempe.qua hic ordinata illic abscissa, et. viceversa vocabitur. Est igitue Ao: DV :: DV :oK , sivàws d t d): aC Tüty sus Ag: DV :: DV : M; seu X: dida Xyet 310 ELEMENTA MATHESEOS. x y— XY ; deductaque proportione x: X:: Y: y. n iterum inversam rationem inter. abscissas, atque ordinatas supra verticem positas; . — $34 Corol. 5. Ordinatz asymptoti AE perpetuó decrescunt , recedendo à vertice V - versus E: nam crescentibus abscissis , eodem . medio remanente, opus est ordinatas: decrescere, ut constans sit proportio assignata num. 550. Quum veró datis duabus lineis, tertia proportionalis semper reperiri queat (544) evidenter deducitur , asymptotorum latera , atque hyperbolz crura continentér accedere, quin umquam ad contactum deveniant. Habes alteram demonstrationem theor, num. 528 indicati. — — 13$ ^ Corol. 6. Contra atque de ordinatis infra verticem ostensum est, evenit in aliis ordinatis supra verticem sumptis : ha videlicet jusiter increscunt juxta majorem accessum à .D versus A , ea lege ut nulla ordinata assignanda sit, cujuscumque demum magaitudinis supponatur, qua major inveniri non possit. Etenim. crura hyperbole ad contactum asymptotorumr devenire non valent (528, 5 34) :. poterit igitur inter utrumque duci linea iinité:in infinitum, uti vulgó ajunt, quin assignari possint punctum non plus ultra ordinatis definiens: sive & quo duci non possit aliqua ordinata. Hoc: item est alterum. paradoxo simile in hyperbola. Quod: in uno latere ostendimus, dictum: habe de altero hyperbole crure cum. sibi. respondente asymptoto: in qua adamussim. comprobantur omnia, qux ad unum tantum latus demonstravimüs. In adducta vero hyperbola asymp- TRACTATUS Y. 321 satis superque sint ad ea, qua in physicis exponentur , dilucidanda. TOM. I« 21 322 iae ! - :' INDEX CAPITUM., Danone. Nc eerte ET Pág. 3 De Philosophie vicissitudinibus brevis b" narratio ——— m Matheseos prolegomena... eene TnaacrATUS I. Arithmetica numer alis... Caput i. De natura numerorum.««.eeun - Caput 11. Operationes. arithmetice in. numeris dra PER N. Ee dlanteerroo 8. I« Ad ditio. teeteeenete nennt ntene ndn o. LI Subtrac Ho Tn iiti fimo J t2 mS U& 3. Multiplication nennen S . 4: Divisto ———— PPP f & 5. Numeri complacere Caput III. Fractiones.s enne ein & v. Fractionum HOLQe. eene eene eet & 2. Fractionum valor. & 3. Transformatio fractionum. «eue. &. a. Quatuor operationes in. fractio- M PR & «. Fractiones decimales «eese TuacraruslI. Aritmethica speciosa , si- ve litteralis. eee eene Caput I. Notiones JrCUltee eee en eene Caput 17. Oper. uniones aritmethice in [i / rif. MTTTTTTTPEPTDTTTLLLLLLTTTITLTEEN E: AdJitío, et subductio. eres "-- 7 Mult iplicatio... eee eene 3. Div TTLZRRMPMERITHTITIILIBIIT . 4. Fracilones litteris expresse ««» MS uS Phu Mtt m ww oso m det vr dre m ; B ! & Y E m PASÓ Qe ari ca ss H * ^ * "etr y A €5/46a6 ERUIT 128203593 P , AHITLLLTIEHHLI HELLE EHATEHH TELE "e ejuqijeo qi 78 -d- prt bem Hee ite t mni mmi t A HE Tener a nonien EGET UT a tant eric meten e re ehem yea —Á— : | | i | | | ! 1 1 | t J | | l————— — ÁO Visage nucis adsit caelis DEO CM ago uia * 29ISSV12 J9xD9u210]05