Crecimiento de grietas por fatiga ante cargas de amplitud variable

ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) CRECIMIENTO DE GRIETAS POR FATIGA ANTE CARGAS DE DE AMPLITUD VARIABLE .J. Domínguez· y J. Zapatero .. ·universidad de Sevilla Departamento de Ingeniería Mecánica y de los Materiales E.T.S.I.I., Avda. Reina Mercedes, s/n, 41012 Sevilla .. Universidad de Málaga Departamento de Ingeniería Mecánica E.T.S.I.I., PI. El Ejido, s/n, 29013 Málaga Resumen. En este trabajo se presenta una visión de los métodos para la predicción de la velocidad de crecimiento de grietas por fatiga ante cargas de amplitud variable. En primer lugar se analiza brevemente un aspecto importante, diferenciador del comportamiento de los metales ante cargas de este tipo en comparación con las cargas de amplitud constante, como es el efecto de secuencia. Seguidamente se indican los pasos necesarios para tratamiento de los registros de carga desde el punto de vista de fatiga, antes de ser empleados en la simulación o el ensayo de elementos sometidos a cargas como las analizadas. Este tratamiento permitirá obtener registros de carga representativos de los producidos durante la vida del elemento objeto de estudio. Se presentan también algunos modelos numéricos empleados en la simulación del efecto de secuencia. Finalmente, se muestrean algunos métodos de análisis del crecimiento de grietas ante cargas de amplitud variable, usando tanto procedimientos ciclo a ciclo como otros con tratamiento global desde un punto de vista estadístico. Abstract. This paper shows a short overview of methods to predict the fatigue crack growth under variable amplitude loading in metals. First of aH it is analyzed a very important aspect that makes diferent the fatigue crack growth in metals under variable amplitude loading. It is the sequence effect. The necesary steps to transform the real loading histories into a history to be applied during simulation or testing are described. This new loading history must be representative of all those which can be produced during the life of the system under loading. Sorne numerical models to simulate the sequence effect are also considered. Finally, sorne methods to analyse the fatigue crack growth under irregular and random loading, either cycle cycle or global statistical methods, are described. 33 l. El análisis del crecimiento de por se hace normalmente a partir de datos obtenidos en ensayos con carga de constante. Sin embargo, las condicioneS a que está sometida una estructura real son distintas a las de los ensayos. Las cargas sobre las estructuras son normalmente de amplitud variable y la mayoría de las veces aleatorias. de la carga. En este caso, el incremento de longitud en cada ciclo no tiene que ser igual al que se produce para las mismas cargas con amplitud constante. Dicho incremento no sólo de los valores máximo y mínimo del ciclo y de la longitud de la srno también de la historia prevía de carga. del conocimiento y de los datos ex]pei1!Il:ental,es obtenidos en crecimiento de con carga de amplitud constante a los casos reales de carga no es un sencillo. Por un si las cargas son aleatorias o no se conocerán exactamente las solicitaciones que van a el futuro y deberán defmirse estadísticamente. n.u'"'"'""'• durante el crecimiento de una con cargas de amplitud variable se produce lo que se denomina efecto de secuencia o de interacción debido a la irregularidad Cuando a un elemento se somete a ciclos con al< constante y se le una como se muestra en la se produce una disminución de la velocidad de crecimiento de la que ser más o menos instantánea. A medida que la continúa la velocidad va aumentando y, al cabo de cierto número de vuelve a los valores a la El valor de la reducción de velocidad de crecimiento y la duración del efecto de la uu'e""'u'u de la sobrecarga y su relación con el valor máximo de ciclos de constante. 34 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) Efecto de secuencia se produce también cuando, durante un proceso de carga de amplitud constante, se aplica un ciclo en el que la carga mínima es menor que los mínimos de los ciclos de amplitud constante. En este caso aparece lo que se denomina aceleración del crecimiento: la velocidad de crecimiento durante los ciclos inmediatamente posteriores al mínimo será superior a la previa. En general, puede apreciarse efecto de secuencia siempre que existan dos ciclos sucesivos que difieran sustancialmente en su valor máximo, en el mínimo o en ambos. En cada caso, la duración del efecto dependerá de diversos factores. Con este comportamiento del material es muy difícil extrapolar los valores y modelos obtenidos mediante el estudio del crecimiento ante cargas de amplitud constante, al caso de cargas de amplitud variable. En general, en la predicción del crecimiento de grietas ante cargas de amplitud variable, incluyendo las aleatorias, pueden distinguirse varios aspectos cuya consideración es importante: el análisis y predicción de las cargas que van a producirse; el establecimiento de un modelo que permita reproducir el comportamiento del material ante estas solicitaciones; y la aplicación de dicho modelo considerando al proceso de carga previsto. Esto último puede hacerse mediante la simulación ciclo a ciclo del proceso de fatiga, hasta que se produzca el fallo, o de una forma global, a partir de la defmición estadística del proceso de carga, determinando la vida esperada del elemento y, dependiendo del modelo estadístico, su distribución. A continuación se tratará cada uno de estos aspectos mencionados. tiempo (a) (~, longitud de grieta a sobrecarga (e) 2. EFECTO DE SECUENCIA. El efecto de la secuencia de las cargas sobre el crecimiento de grietas fue puesto de manifiesto en la década de los 60. Diversos trabajos experimentales [lJ demostraron que la aplicación de una sobrecarga origina una velocidad de crecimiento en los ciclos posteriores a ella mucho menor que la que se produce si no existe dicha sobrecarga. En determinadas condiciones, la sobrecarga puede llegar a detener completamente el crecimiento de la grieta [2]. La figura muestra esquemáticamente el comportamiento de una grieta después de una sobrecarga. Antes de ella, con ciclos de amplitud constante (Fig. la), la velocidad de crecimiento es constante (da/dN)1 (Fig. le). Al producirse la sobrecarga (K 2 max), se produce una modificación progresiva de la velocidad de crecimiento de la grieta. Durante la sobrecarga e inmediatamente después de ella, con ciclos iguales a los iniciales, se produce un incremento de la velocidad de crecimiento. La extensión de la grieta sobre la que se produce el aumento de velocidad y el valor de dicho incremento depende de diversos factores, entre los que sobresale el nivel de tensiones, la relación de sobrecarga r0L y si las condiciones de propagación son de tensión plana o de deformación plana [3]. Seguidamente, comienza a producirse una reducción progresiva de la velocidad de crecimiento hasta llegar a un mínimo. Dicha desaceleración continúa basta que la grieta ha crecido cierta distancia d a través de la zona plástica producida por la sobrecarga, denominada distancia de retraso (" delay distance"). a (da/dN) 1 N (b) RoL= Kmc=2 Kmaxt R= !:J.K=Km=- Kmin Fig. l. Efecto de secuencia en el crecimiento de una grieta después de una sobrecarga. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 35 El valor de esta distancia es próximo al 25% del tamaño de la zona plástica producida por la sobrecarga [4]. Este fenómeno de disminución progresiva de la velocidad durante el crecimiento posterior a la sobrecarga se denomina retardo atrasado (" delayed retardation"). Una vez alcanzado el mínimo, la velocidad de crecimiento comienza a aumentar hasta llegar de nuevo al valor previo a la sobrecarga (da/dN)1, estabilizándose en ese valor. La distancia sobre la que se producen los efectos transitorios de la sobrecarga .&!* (Fig lb), depende de diversos factores, entre los que se incluyen: estado de tensiones, R, RoL, microestructum del material y condiciones ambiente [3,5,6]. Otros aspectos resaltables del efecto de secuencia producido por las sobrecargas son: l. Valores de R0L suficientemente altos, normalmente entre 2 y 3, pueden llegar a producir la detención de la grieta. 2. Varias sobrecargas consecutivas aumentan el efecto de retardo, reduciéndose además el "delayed retardation", pudiendo llegar a desaparecer. 3. El aumento del valor de R produce generalmente una reducción del efecto de retardo. Valores negativos de R reducen también el efecto de secuencia, siendo menor la influencia de la sobrecarga a medida que disminuye R [7]. 4. El incremento de longitud producido por la sobrecarga es superior al generado por un ciclo con el mismo liK con carga de amplitud constante. 5. En el caso de grietas pequeñas, el efecto de secuencia indicado es menos acusado. Incluso, dependiendo de la longitud de la grieta y condiciones de carga, puede desaparecer por completo. Cuando durante un proceso de carga de amplitud constante se aplica un ciclo con el mínimo menor al resto ("underload''), se produce el efecto contrario: la velocidad de crecimiento de la grieta aumenta [8]. Este efecto de aceleración es menor que el de retardo producido por una sobrecarga, dependiendo su importancia del valor del mínimo aplicado. Igualmente, se ha comprobado que una "underload" inmediatamente después de una sobrecarga reduce el efecto de ésta Inmediatamente antes de una sobrecarga puede no tener influencia o puede reducir el efecto que la sobrecarga, dependiendo de las condiciones de carga. óeE;pm~ de un bloque de ciclos de carga de amplitud constante se otro de menor amplitud, se un efecto de retardo muy similar al por varias soltJre:ca:rg2ts consecutivas Si las cargas del son menores que las del el efecto es el contrario, produciéndose durante los primeros ciclos del segundo bloque una velocidad de crecimiento mayor de la que ocurre con las mismas cargas y amplitud constante. Desde que se observó la existencia del efecto de secuencia, se han propuesto diversos mecanismos como responsables del mismo. En el caso de materiales metálicos, los mecanismos más sobresalientes son los que se describen brevemente a continuación. 2.1. Cierre de grieta plástico. Mientras una grieta ideal sometida a carga de tracción cierra cuando se descarga totalmente, las grietas producidas por fatiga cierran durante la descarga, antes de llegar a ser nula la tensión. Igualmente, durante la carga posterior, la grieta no se abre hasta que el valor de la misma alcanza determinado valor, denominada tensión de apertura (S 0 P). Esta diferencia de comportamiento puede explicarse considerando la plasticidad que se forma en el frente de la grieta durante el proceso de crecimiento por fatiga (Figura Cuando la grieta crece, el frente va dejando detrás de sí una zona de material deformado plásticamente, con deformación residual de tracción, denominada estela plástica ("plastic wake"). La deformación residual acumulada en dicha zona actúa como una cuña, generando unas tensiones residuales de compresión sobre la grieta. material deformado en la estela plastica estela plastica Fig. 2. Zonas plásticas del borde de grieta y estela plástica. Al producirse una sobrecarga, se genera una zona plástica mayor, con deformaciones residuales de tmcción mayores justo delante del borde de la grieta (figura 3). Al volver a aplicarse los ciclos de menor amplitud, el redondeamiento del borde de grieta producido por la sobrecarga hace que sop disminuya inicialmente, aumentando la velocidad de crecimiento respecto a los valores producidos antes de la sobrecarga. Cuando la grieta crece a través de esta zona plástica con mayores deformaciones acumuladas, se generan mayores presiones entre las superficies de la grieta, aumentando con la consiguiente disminución de la velocidad de crecimiento [3]. Igualmente, entre dos bloques de carga, al producirse un cambio de amplitud de los ciclos se produce un cambio no instantáneo de las tensiones de 36 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 cierre que explicar, al menos en parte, los efectos de secuencia producidos. sobrecarga b tras la sobrecarga 1 ¡ (a) ( b) compresiones (e) (d) 3. del avance de una a tmvés de una zona plástica producida por sobrecarga. En general, puede decirse que el cierre de grieta !J'd'"u."u es el principal causante de los efectos de secuencia [3,1 Sin embargo, no permite toda la variedad de comportamiento producido con distintos materiales, condiciones niveles y de carga, y longitudes de grieta. Otros relativos al pueden encontrarse en la 2.2. Ramificación y deflexión de la En aleaciones metálicas con deformación en bandas inmediatamente la bifurcación o una deflexión de la de avance, avance a lo de una hace que el crecimiento se con combinación de los modos I y pn.JU<'""vu<•u~'"' una reducción del factor de intensidad de tensiones. Diversos análisis reducción será del orden del 25% decir que autores consideran que la ramificación deflexión es uno causantes del efecto secuencia. Sin se ha COn IT!>Vf',r>lf1>M<l retardo durante el inclinada crece a mayor velocidad una reducción del factor de intensidad de tensiones se produce una aceleración. Fleck [3], a partir del análisis de diversos resultados experimentales obtenidos por él mismo y otros autores, llega a la conclusión que este fenómeno no es una causa dominante de retardo cuando los valores de .6.K son altos. Con niveles bajos de .b.K, si se produce ramificación o deflexión, puede ser una de las causas de retardo, conjuntamente con otros mecanismos como el cierre plástico u otras formas de cierre que se describen posteriormente. 2.3. Cierre de grieta inducido por el óxido. La presencia de una atmósfera corrosiva produce la oxidación de las nuevas superficies generadas durante el crecimiento de la grieta. Con valores de .6.K próximos al umbral de crecimiento por fatiga, la apertura de la en modo mixto, la rugosidad de las superficies y el cierre de grieta plástico producen una continua rotura y nueva formación de la capa de óxido mediante un mecanismo de . Las de óxido desprendidas un efecto de aumentando el factor de intensidad de tensiones a que se produce el cierre o la apertura reduciendo el valor de ÁKerr velocidad El cierre La es una reducción de la óxido se ve como son: cierre y la velocidad de crecimiento de la es trnportante para valores de .6.K al umbral y valores de donde es mayor el cierre y menor el cierre ll"'""u•c:u. variación de tiene mayor influencia Por su efecto sobre la vida a normalmente sólo es slg,mi1C2tUvo con estas condiciones de carga. En cuanto niveles efecto de secuencia por este presenta adicionalmente a otros que velocidad de crecimiento valores soiJre•carga. En estos dismirmción de inducido por la los del ANALES DE l\1ECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 37 ¡yn>A<H"'"' al la zona plástica tiene dimensiones menores que una dimensión microestructural ''"''"'"'Ll'-"• por ejemplo, el tamaño de grano. En estas <euJuul.LR'u""' el crecimiento de grieta se produce a lo un solo sistema de deslizamiento, típico mecanismo de la fase I de crecimiento. Esta forma de a una superficie muy irregular, con el desplazamiento de las en modo ll y la falta de ajuste de las un Este de cierre de como en el caso del inducido por el óxido, puede influir en el efecto de secuencia cuando una haga descender la velocidad de crecimiento a valores al umbral. se activan los mecanismos de crecimiento que incrementan el valor del cierre inducido por la rugosidad. 3. REGISTROS REALES DE CARGA Aunque en algunos casos los equipos y estructuras pueden estar sometidos a cargas de amplitud aproximadamente constante, estas son normalmente de ---r----- variable. La mayoría de las veces, estas cargas tienen además un carácter aleatorio o semi aleatorio. Unas veces, la aleatoriedad o la irregularidad es tan pequeña que este aspecto puede despreciarse en el análisis a fatiga, considerando las cargas con amplitud constante, o al menos con variación lenta y conocida de esta amplitud. Otras estructuras y sistemas mecánicos están sometidos a cargas cuya amplitud varia aleatoriamente. Ejemplos son los barcos, automóviles, estructuras aerogeneradores, etc. En los primeros, por ejemplo en las se producen durante el vuelo variaciones de las cargas debido a maniobras y a la turbulencia [19]. Variaciones que se superponen a la carga debida al peso del avión. Además de estas se produce un ciclo de mayor o . menor ~~·ua•e-tu•u del avión. En las estructuras nrn.rtw'Pn debido al la las cargas de En los elementos tut•u":u"'"'· las tensiones en un en cada instante dependen de la y dimensiones del del estado del mar y de que ocurra o no una resonancia estructural. Durante la vida de la estructura, las tensiones pueden rerrre:ser1ta1rse mediante la sucesión de diversos estados del mar. En edificios altos y el viento !J"'~··~~ fuerzas aleatorias cuya y el carácter de las fluctuaciones de la fonna de la y velocidad del mismo. En el caso de los generadores eólicos, además de las fuerzas consideradas en los edificios altos y chimeneas, se producen otras producidas por la rotación de las palas, unas con amplitud constante y otras con variación aleatoria de la misma. En realidad, las cargas no son totalmente aleatorias, son algunas veces mezcladas con cargas detenninistas. Por ejemplo, en f0s aviones, las cargas producidas por el ciclo tierra-aire-tierra no se presentan seguidas, sino con cargas superpuestas durante el vuelo y otras durante el movimiento, el tiempo de estancia en tierra. Además, las sobrecargas producidas por turbulencia no se distribuyen de forma totalmente aleatoria durante las distintas zonas de vuelo. Obtención de un Registro Representativo Para predecir el comportamiento de una grieta en una estructura, es necesario conocer las solicitaciones a que va a estar sometida y disponer de una historia de cargas de las mismas características que la esperada en la estructura. Dicha historia debe incluir ciclos de distintos niveles en la misma proporción en que se espera van a producirse en la estructura. Además, si los efectos de secuencia son significativos, estos ciclos deben ordenarse en secuencias que produzcan los mismos efectos que los esperados. En muchos casos, para reducir la duración del proceso de cálculo o ensayo, es importante conseguir que la historia representativa produzca los mismos efectos, pero con un número de ciclos muy inferior al real. [20,22]: el método seguido para obtener las historias consta normalmente de varios pasos l. Obtención, mediante simulación o a de medidas de los diversos de registros que pueden pr<)OU!cn-se, su duración y la frecuencia relativa con que se presenta cada uno. Ello el análisis y clasificación de las condiciones de carga ~"'~""'"'ULL"'· Para cada una de dichas condiciones deben obtenerse, Estos registros pueden obtenerse mediante medida en prototipos en las mismas circunstancias, mediante a partir de las medidas en estructuras similares o modelos o a través de la simulación. 2. Determinación mediante método de contar de los ciclos y o rangosy detenninación del spectro, entendido como tal una estadística de los ciclos que durante la de una estructura. 38 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) El espectro puede representarse como en la ligum 4a, que para cada rango representa el número de ciclos con valor superior al mismo, o mediante una tabla en la que se indican el nt'unero de mngos o los ciclos producidos de cada amplitud. Dicha tabla puede incluir también los valores medios de estos o indicar sus mínimos y máximos [22]. 3. Manipulación del spcctro, teniendo en cuenta que los datos obtenidos corresponden sólo un caso de los posibles en la estructura en cuestión e intentando reducir en lo posible el número de ciclos a considerar en el análisis o ensayo. Los ciclos de mayor rango, de los que sólo existe uno o varios en el espectro, puede que no se produzcan en algunas estructums, en las que una grieta crecerá mlls rápidamente por ser menor el efecto de retardo. Para considerar esta posibilidad, deben eliminarse del espectro los valores más altos que no se produzcan más que varias veces en la vida de la misma. E'ita operación se denomina normalmente "clipping" (fig. 4b). La decisión sobre los niveles altos que deben ser eliminados del espectro debe tomarse después de analizar, mediante ensayos o simulación con distintos niveles de clipping, el efecto que producirá tal decisión. Smax S mean espectro 4. de espectro de cargas con indicación de niveles truncado de truncado y "clipping 11 • Otra operación que se hace con el espectro, antes de obtener la historia representativa, es la denominada truncado. El número de ciclos incluidos en el espectro no tiene que corresponder a toda la vida de la estructura o componente. No obstante, el tiempo considerado en el espectro debe ser suficientemente grande para incluir al menos uno o varios ciclos del nivel más alto no eliminado mediante clipping. Este es el período denominado período de retorno. 4. Reconstrucción de la historia de cargas representativa, mediante combinación en el orden adecuado para representar el efecto de secuencia, si lo hay, de los ciclos o rangos del spcctro manipulado. En este proceso debe tenerse en cuenta que las cargas se producen en la realidad de forma semialeatoria, y que los cielos mayores no irán normalmente distribuidos aleatoriamente, sino agrupados en períodos correspondientes a condiciones de carga desfavorables, por ejemplo, tormentas, malas carreteras, etc. Además, las cargas deterministas deberán incluirse también con la secuencia adecuada. Con objeto de permitir una mejor comparación de diferentes diseños, de considerar posibles mejoras, analizar la dispersión de la vida a fatiga, comparar métodos de predicción del crecimiento de grietas y/o para hacer comparables ensayos realizados en distintos laboratorios, se han definido registros típicos de distintos tipos de elementos o estructuras [23,24). La palabra standard no debe interpretarse como una especificación a cumplir. Es más una norma general, diseñada para ser usada en ensayos y simulaciones, de forma que los resultados de diversas sean comparables. Unos son muy cortos y corresponden sólo a un de estado de carga de la estructura correspondiente. Otros los de toda la vida de la estructura o coJnp,om~ntc~. mediante un proceso similar al descrito 4. MODELOS DE RETARDO Y DEL CRECIMIENTO. En la se encuentran numerosos modelos analíticos que intentan tener en cuenta efecto de secuencia cuando se cargas de '" ... P"''"" variable. Entre ellos sobre todo por ser los más utilizados y haber servido de base para otros los por Wheeler y por y los basados en el de cierre de grieta permitiendo todos ellos estimar el retardo en el crecimiento. ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 39 A partir de ellos se han desarrollado otros más sofisticados. Unos permiten incluir otros efectos, como la aceleración; otros se ajustan mejor a determinados materiales y tipos de carga; otros incluyen la posibilidad de tratamiento de grietas cortas; etc. [28-34]. 4.1. Modelo de Willemborg Willemborg establece la magnitud del retardo como una función del factor de intensidad de tensiones necesario pam anular el efecto de la zona plástica creada por la sobrecarga. Definiendo ar como se indica en la figura 5: zona plastica producida por la sobrecarga zona rlastíca actua Fig. 5. Zona plástica del borde de grieta. (1) en el ciclo i, el factor de intensidad de tensiones necesario para crear una zona plástica rr = ar a¡ r0L - .!la, cumplirá la ecuación: (2) o escrito de otra forma: = KOL [· max l ""r (3) donde oL es el factor de intensidad de tensiones máximo producido por la sobrecarga previa. El modelo considera que se produce una tensión residual de compresión debida a la soi!Jre:ca:rga S = (4) r (5) donde es la tensión máxima del ciclo i, y el factor de intensidad de tensiones asociado a dicha tensión. De acuerdo con ello, los valores efectivos máximo y mínimo del factor de intensidad de tensiones se pueden definir: K =K -K = 2K -K ma.xrff maxJ r ma:t:1 maxr (6) (7) donde Kmaxeff y Kmineff se harán •·iguales a cero si se obtienen valores negativos. El rango efectivo del factor de intensidad de las tensiones será: AK =K -K eff rna.xeff mineff (8) y el coeticiente de asimetría efectivo: K • off R = m.me.u eff (9) que pueden ser sustituidos en la ecuación de Forman para obtener la velocidad de crecimiento en el ciclo i: (lO) Posteriormente al modelo original de Willemborg se han propuesto otros muchos, basados en la idea de las tensiones residuales. Entre las variantes más interesantes que incluyen la posibilidad de considerar aceleración y/o efectos de cargas de compresión posteriores a las sobrecargas, están los modelos propuestos por Johnson [30] y Chang et al. [34]. Estos, sin embargo, exigen la determinación experimental de algunos parámetros no necesarios en el modelo de Willemborg y otros derivados de él. 4.2. Modelos Basados en el Cierre de Grieta Estos modelos consideran el concepto del cierre de grieta comentadó en el apartado 2 para determinar la magnitud del retardo por sobrecarga. Los primeros Dr<mttesltos se basan en la determinación experimental de la tensión de apertura S,,r con ensayos de amplitud constante y la utilización de expresiones que aproximan su evolución después de una sobrecarga a los resultados cxoet1..1lllentales. Un ejemplo, puede ser el propuesto por Bell y Wolfman Proponen una ecuación de crecimiento del da dN (11) 40 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) l'(lll S l (l2) La dctenninación de S,,r se basa en ecuaciones empíricas. Por ejemplo, al aplicar cargas de amplitud con.'itanlc Se, después de un gru¡x) de sobrecargas, la tensión de apertura se puede expresar: ( !la para O<::: !la< r 111 (l3) donde r0L es el tamaño de la zona plástica creada por la sobrecarga o grupo de ellas e !la es el incremento de longitud producido desde la sobrecarga, y sop2 son las tensiones de apertura correspondientes, a cargas de amplitud constante con valores iguales a la sobrecarga y respe;~tnranacrlte. El parámetro b es un coeficiente experimentalmente, que depende del tipo de Posteriormente, se han desarrollado otros modelos que incluyen esquemas numéricos más complicados para determinar la tensión de cierre de grieta ciclo a ciclo Estos defmen las tensiones de cierre y su evolución a partir de modelos del comportamiento de la Uno de los métodos más prometedores es el "strip model", desarrollado inicialmente por Newman [28], basado en el modelo de que permite buenas incluso para el caso de grietas 4.3. The Strip Yield Model a la tensión tensiones la zona PM'""'-a· con rotura diferenciar los estados de tensión. Para estados de tensión plana a= 1; para deformación plana a 3; y en estados intermedios 1 <a<3. Este modelo exige el conocimiento de una solución de K1 y de los desplazamientos para la geometría y longitud de grieta objeto de estudio, ante las dos hipótesis de carga indicadas. Comparando la grieta real de longitud 2a con la ideal del modelo de Dugdale de longitud 2 (a + ro) (Fig. 7), la longitud 2L(x) se supone que corresponde al alargamiento total del material situado en la línea vertical correspondiente a la coordenada x. Es decir el aumento de distancia entre dos puntos situados en una misma vertical, a una distancia x al pasar la grieta entre ellos. Cuando la grieta crece, el alargamiento residual total del material, a una distancia x<a, una vez que el borde de la a pasado, es (x;) (Fig. El estudio numérico distingue dos zonas en el elemento: una de fuera de la línea de la ~ yo~,& L y ancho que o acortarse en función de las tensiones producidas en cada ciclo. El ancho W ser el mismo para cada con valores menores para los más pr<:>xrmcls D' Zona cada ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 41 A. de la carga y determinación del tamaño de vwc0u~a. mediante el modelo de B. Discretización de la zona B de la 7 C. Cálculo es, los de ante las cargas de este modelo. El se¡:!.llrtdo estado de carga se resuelve como smJeroo:;;lcJtón casos, a una tensión de los elementos en que se ha L = ¡ donde L1 es la (J J .... n al de X; por la tensión nominal S y el término de la derecha representa la suma de los '-'""PJ'aL..aHJiHAJ en el punto i por las tensiones a que están sometidos todos los el i. La es, el en el punto X¡, pr(>áu:clC!O por una tensión unidad en el elemento j. La tensión ai tomará los valores ai = a a o en la zona y ai O en la D. Rotura del número necesario de elementos de la zona para simular el crecimiento deseado. Esta se simula haciendo desaparecer la tensión en la zona de los elementos rotos (Fig. 8). E. Determinación de la nueva zona nueva real de la F. Nueva discretización de la zona ¡Jla.,wca mismo número de elementos que rotura. con la a la G. Cálculo de los nuevos valores de con la carga máxima Si la carga no ha modificado los límites de la zona por carga esta determinación se hace mediante solución err1p11~acto en el C. La diferencia de valores de fluencia en tracción para los elementos de nl<i«ti''" se porque la en en tracción hace que nrrwnnr. a condiciones de deformación Para la solución del sistema de ecuaciones anterior, supuestos los L¡ calculados en el punto C, en los puntos donde se violen las restricciones de se imoond1rán los valores limites de estas y se L¡ como variable a calcular. En los puntos en que u¡ se uuuuocu~~" dentro de los límites indicados, L; tendrá la misma longitud que y la incógnita será H. de la carga mínima y nueva solución de la ecuación con la nueva carga, determinar los plásticos residuales I. Cálculo de la tensión de apertura de la grieta Puede definirse como la mínima tensión nominal para la que todos los puntos de la sufren unos desplazamientos iguales o mayores a los prc)<lUICiclos por una carga en la superficie de la a las 1·"'-'"''u."'"" de contacto [31]. Ante un nuevo ciclo se volverá a todo el proceso desde el punto C. En todo el proceso indicado, se han hecho varias sinrmlíti<~aciortes. además de las propias del modelo de JJu~eu.u..,. Una es la consideración de coJm¡:;KJfltanliento en la zona discretizada del material. Otra es la de estado monodimensional de tensiones en todos los elementos en que se ha discretizado la zona B de la Fig. 7. Con objeto de distinguir estados de tensión plana, deformación plana, o intermedios, se ha modificado la tensión de fluencia mediante el parámetro multiplicador a.. 5. DE PREDICCIÓN DEL CRECIMIENTO DE LA GRIETA CON CARGAS DE AMPLITUD VARIABLE. Para determinar la evolución de una el paso es seleccionar una de cn:ciJnit:nt<). da =f Con cargas de amplitud constante, la de esta ecuación resulta directa. Será más o menos coJmpuc:lda de¡pertdi1~nclo de la de la de crecimiento y del factor de intensidad de tensiones en función de la de Con carga de el proceso de lll""~'·"'-'·•uu se hace más ya que habrá que considerar la variabilidad de los ciclos de existencia de · ciclos superpuestos, que necesario el uso de un método de contar consideración del efecto de secuencia. De forma 15 .._u...., .... ,, 48 ANALES DE MECANICA DE LA FRACTURA Vol. 12 (1995) 1311 Newman J. C. Jr.,'" A Nonlinear Fn1cture Mechanics Approach to the Growt11 of Small Cradcs", Bchavior of Short Crack.s in Airframe Componenl'i, AGARDCP-328, !983. De Koning, A. U. y Licfting, G., "Analysis of Crack Opening Behavior by Application of a Discretized Strip Yield Modcl", Mechanics of Fatigue Crack Closure, J.C. Newman, Jr. and W. ASlM STP pp. 437-458, 1988. [331 W ang, G .S. y Blom, "A Strip Model for Fatigue Crack Growtl1 Predictions under General Load Condition..s", Engng Fracture Mech, Vol. 40, pp. 507-533, 1991. 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