La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite cuando los estudiantes para profesor anticipan respuestas de estudiantes

143 ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 36.1 (2018): 143-162 Investigaciones didácticas https://doi.org/10.5565/rev/ensciencias.2291 ISSN (impreso): 0212-4521 / ISSN (digital): 2174-6486 Fernández, C., Sánchez-Matamoros, G., Moreno, M., & Callejo, M. L. (2018). La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite cuando los estudiantes para profesor anticipan respuestas de estudiantes. Enseñanza de las ciencias, 36(1), 143-162. La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite cuando los estudiantes para profesor anticipan respuestas de estudiantes Coordination of approximations in the understanding of the limit concept when prospective teachers anticipate students’ answers Ceneida Fernández Universidad de Alicante (España) [email protected] Gloria Sánchez-Matamoros Universidad de Sevilla (España) [email protected] Mar Moreno Universidad de Alicante (España) [email protected] María Luz Callejo Universidad de Alicante (España) [email protected] RESUMEN • El objetivo de este estudio es examinar en qué medida la identificación de la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango de una función es considerado un avance conceptual (KDU en Simon, 2006) en la comprensión del concepto de límite de una función por futuros profesores. Veinticinco estudiantes para profesor de matemáticas anticiparon respuestas de estudiantes de bachillerato a problemas sobre el límite de una función que mostraban distintas características de la comprensión y propusieron problemas para apoyar el progreso conceptual de los estudiantes. Los resultados muestran que identificar la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango como KDU permitió a los estudiantes para profesor considerar progresiones en el aprendizaje sobre las que apoyar sus propuestas de enseñanza. PALABRAS CLAVE: conocimiento del profesor; concepto de límite de una función; anticipación de respuestas; Key Developmental Understanding (KDU). ABSTRACT • The aim of this study is to examine to what extent the identification of the coordination of approximations in the domain and in the range is considered a Key Developmental Understanding (KDU in Simon, 2006) by prospective teachers. 25 prospective secondary school mathematics teachers anticipated high school students’ answers to problems about the limit of a function showing different characteristics of understanding and proposed problems that would support students’ conceptual progress. Results show that identifying the coordination of the approximations in the domain and in the range as KDU allowed prospective teachers to consider progressions in students’ learning in order to support their teaching decisions. KEYWORDS: teacher knowledge; concept of limit of a function; anticipation of answers; Key Developmental Understanding (KDU). Recepción: enero 2017 • Aceptación: octubre 2017 • Publicación: marzo 2018 144 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 INTRODUCCIÓN Entre las diferentes tareas profesionales que tiene que realizar un profesor cuando planifica una clase está la propuesta de actividades relacionadas con los objetivos de aprendizaje (Smith y Stein, 2011). Para la propuesta de estas actividades es necesario que el profesor anticipe posibles respuestas y dificultades de los estudiantes. Aunque la competencia para realizar esta tarea profesional se puede desarrollar a través de la experiencia profesional, en la formación inicial es posible empezar a desarrollarla (Didis, Erbas, Cetinkaya, Cakiroglu y Alacaci, 2016; Smith y Stein, 2011). Stahnke, Schueler y Roesken-Winter (2016) realizaron una revisión sistemática de las investigaciones empíricas en el ámbito de la educación matemática sobre las tareas profesionales de anticipación, interpretación y toma de decisiones, indicando que la mayoría de los estudios se centraban en cómo los estudiantes para profesor interpretan el pensamiento matemático de los estudiantes (la competencia de mirar de manera profesional el pensamiento matemático de los estudiantes). Sin embargo, pocos estudios se centran en la forma en la que los futuros profesores anticipan posibles respuestas de los estudiantes como una tarea profesional integrada en la planificación (Bergqvist, 2005; Llinares, Fernández y Sánchez-Matamoros, 2016; Sen-Zeytun, Cetinkaya y Erbas, 2010). La importancia de la tarea de anticipar respuestas de estudiantes que muestren diferentes características de la comprensión también se pone de manifiesto en la caracterización del conocimiento de matemáticas para la enseñanza de Ball, Thames y Phelps (2008): Los profesores deben anticipar lo que los estudiantes probablemente piensen y aquello en que tengan dificultades. Cuando escojan un ejemplo, los profesores necesitan predecir lo que los estudiantes pueden considerar interesante y motivador. Cuando escojan una tarea, los profesores necesitan anticipar lo que los estudiantes harán y si ellos encontrarán la tarea fácil o difícil. […]. Cada una de estas tareas requiere una interacción específica entre el conocimiento de matemáticas y la familiaridad con el estudiante y su pensamiento matemático (p. 401; traducción de las autoras). Esta caracterización subraya la importancia de que el profesor anticipe e interprete lo que los estudiantes pueden hacer cuando están resolviendo ciertos problemas matemáticos para ayudarles a progresar en su aprendizaje (Norton, McCloskey y Hudson, 2011). Como consecuencia, los formadores de profesores han empezado a diseñar recursos para ayudar a los estudiantes para profesor a centrar su atención en las progresiones del aprendizaje del estudiante (Herbst, Chazan, Chen, Chieu y Weis, 2011; Wilson, Sztajn, Edgington y Myers, 2015). El foco en el diseño de recursos ha puesto de manifiesto la importancia de la relación entre conocimiento de matemáticas y conocimiento sobre el pensamiento matemático de los estudiantes. En los últimos años, esta relación ha sido objeto de estudio en las investigaciones sobre la formación de futuros profesores de matemáticas centradas en la tarea de interpretar el pensamiento matemático de los estudiantes. Estas investigaciones muestran la necesidad de que los futuros profesores identifiquen los elementos matemáticos importantes de un concepto como paso previo a reconocer la comprensión del estudiante. Por ejemplo, la investigación de Bartell, Webel, Bowen y Dyson (2013) se centra en reconocer evidencias de la comprensión conceptual de las fracciones y decimales; las investigaciones de Callejo, Fernández, Sánchez-Matamoros y Valls (2014) y Callejo y Zapatera (2017) reconocen evidencias de la comprensión del proceso de generalización en estudiantes de primaria ysecundaria en un contexto de generalización de patrones. Asimismo, Imre y Akkoç (2012) se centran en el conocimiento del contenido pedagógico de patrones numéricos en primaria; Magiera, van den Kieboom y Moyer (2013) en la relación entre el uso del pensamiento algebraico y la representación de funciones, y Sánchez-Matamoros, Fernández y Llinares (2015) en la comprensión del concepto de derivada. 145 La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 Nuestro estudio se enmarca en esta línea de investigación. Examinamos la relación entre conocimiento de matemáticas y conocimiento sobre el pensamiento matemático de los estudiantes, cuando los estudiantes para profesor anticipan respuestas de estudiantes que muestren diferentes características de la comprensión del concepto de límite de una función en un punto. MARCO TEÓRICO Teniendo en cuenta las líneas de investigación sobre las que se apoya nuestro estudio, organizamos este apartado en dos bloques, el primero relacionado con aspectos del conocimiento del profesor, y el segundo con el concepto de límite de una función y la problemática de su enseñanza y aprendizaje. Conocimiento del profesor y tarea profesional de anticipar respuestas de los estudiantes En el modelo teórico del conocimiento de matemáticas para enseñar (Mathematical Knowledge for Teaching, MKT), Bally et al. (2008) describen el conocimiento especializado del contenido (SCK por sus siglas en inglés) como las formas de conocer las matemáticas que son particularmente útiles en la comprensión de las matemáticas de los estudiantes, y el conocimiento del contenido y los estudiantes (KCS por sus siglas en inglés) como el conocimiento de las formas en que los estudiantes dotan de sentido (comprenden) a una cierta idea matemática. Cuando los futuros profesores piensan sobre la manera en la que los estudiantes resolverán determinados problemas deben ser capaces de reconocer qué puede ser una evidencia de la progresión en el aprendizaje. En este contexto, Llinares et al. (2016) consideran que el constructo Key Developmental Understanding (KDU) propuesto por Simon (2006) podría ser utilizado para examinar cómo se relacionan conocimiento especializado del contenido (SCK) y conocimiento del contenido y de los estudiantes (KCS) cuando los estudiantes para profesor realizan hipótesis sobre el pensamiento matemático del estudiante al anticipar posibles respuestas a los problemas. Un KDU implica un avance conceptual por parte de los estudiantes, es decir, un cambio en la capacidad para pensar y/o percibir determinadas relaciones matemáticas (Simon, 2006: 362). Por lo tanto, un KDU se convierte en un elemento clave para el desarrollo de un concepto. Desde esta perspectiva, para reconocer la progresión en el aprendizaje de los estudiantes es necesario conocer los elementos matemáticos cuya comprensión pueda ser considerada un avance conceptual. Podríamos decir que reconocer los KDU de un concepto se encuentra en la intersección del conocimiento especializado del contenido (SCK) y del conocimiento del contenido y los estudiantes (KCS). Nuestro estudio se apoya en el supuesto de que si los futuros profesores centran su atención en los KDU del concepto de límite de una función pueden aprender a generar hipótesis sobre cómo se desarrolla la comprensión matemática de los estudiantes. Síntesis de las características de la comprensión del concepto de límite La comprensión del límite de una función real de variable real es un aspecto importante del currículum de bachillerato. Sin embargo, las investigaciones han puesto de manifiesto que el concepto de límite es una noción difícil para los estudiantes (Contreras y García, 2015; Fernández-Plaza, Ruiz-Hidalgo y Rico, 2015; Juter, 2010; Tall, 1992). Cornu (1991) afirma que una de las grandes dificultades emana de la complejidad de entender que todos los aspectos cognitivos del concepto de límite no se pueden aprender partiendo de su definición matemática. Uno de estos aspectos es la idea de aproximación, cuyo primer contacto lo tienen los estudiantes a través de la concepción dinámica de límite. 146 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 La concepción dinámica como aproximación óptima (Blázquez y Ortega, 2002) puede ser definida como: «Sea f una función y a un número real, el número L es el límite de la función f en el punto a, y se debiera escribir lim x→af(x) f(x), si cuando x se acerca al número a más que cualquier aproximación, sus imágenes f(x) se acercan a L más que cualquier otra aproximación fijada». Esta manera de dar sentido a la idea de límite influye en la comprensión de la concepción métrica: lim x→af(x)=L⇔ ∀ ε >0, ∃∂>0 tal que ∀x, 0< x−a<∂⇒ f(x)−L< ε Cottrilly et al. (1996) sugieren que la dificultad de los estudiantes para comprender la definición métrica del límite puede ser el resultado de una comprensión insuficiente de la concepción dinámica. Relacionar la coordinación de los dos procesos de aproximación, en el dominio y en el rango de la función, con la cuantificación derivada de la concepción métrica hace que el concepto de límite sea difícil para muchos estudiantes. Desde este punto de vista, para superar esta dificultad, los estudiantes deben coordinar un proceso de aproximación en el dominio con un proceso de aproximación en el rango a través de la función considerando diferentes modos de representación. El papel de las distintas representaciones en la comprensión del concepto de límite ha sido ampliamente investigado (Blázquez, Ortega, Gatica y Benegas, 2006; Espinosa y Azcárate, 2000; Güçler, 2013; Kidron, 2010; Lacasta y Wilhelmi, 2010) desde la conexión entre los tipos de límite: límite de una sucesión, de una función en un punto y de una función que tiende al infinito (Fernández-Plaza y Simpson, 2016). Un resultado es que la identificación del límite por parte de los estudiantes se realiza con más facilidad en forma gráfica y numérica que en forma algebraica (Blázquez y Ortega, 2001; Sierra, González y López, 2000). Asimismo, el papel de la coordinación de los procesos de aproximación en los diferentes modos de representación resulta clave en la comprensión del concepto de límite. En este sentido, y partiendo de la concepción dinámica de límite de una función en un punto, que implica construir un proceso en el dominio en el cual x se aproxima a a, construir otro proceso en el rango en el cual f(x) se aproxima a L, y utilizar la función para coordinarlo, Pons (2014) identificó que los elementos matemáticos relevantes para su comprensión son las ideas de: i) función, ii) aproximación en el dominio y en el rango y iii) coordinación de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango a través de la función f. Pons, Valls y Llinares (2012), Valls, Pons y Llinares (2011) y Pons (2014) caracterizan niveles de comprensión del límite de una función desde el punto de vista de la coordinación de las aproximaciones en diferentes modos de representación. Estos autores indican que la característica que determina el paso de un nivel a otro de comprensión es la coordinación de las aproximaciones en el dominio y en el rango cuando las aproximaciones laterales no coinciden. En un primer nivel, los estudiantes coordinan las aproximaciones coincidentes en el dominio y en el rango a lo sumo en un modo de representación. En un segundo nivel, los estudiantes coordinan las aproximaciones coincidentes en el dominio y en el rango en uno o dos modos de representación, y cuando las aproximaciones laterales no son coincidentes la coordinación solo se realiza en un modo de representación. En un tercer nivel, los estudiantes coordinan las aproximaciones coincidentes en el dominio y en el rango en los tres modos de representación (gráfico, numérico y algebraico), y cuando las aproximaciones laterales no coinciden coordinan al menos en dos modos. En relación con los modos de representación indican que los estudiantes acceden al significado dinámico de límite mediante la utilización del modo de representación gráfico cuando las aproximaciones laterales coinciden, progresan en modo numérico y consolidan en modo algebraico-numérico. Una evidencia del avance conceptual en la comprensión de la concepción dinámica del límite es la coordinación de las aproximaciones en el dominio y en el rango en los diferentes modos de representa- 147 La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 ción. El objetivo de esta investigación es analizar cómo los estudiantes para profesor reconocen la coordinación entre las aproximaciones en el dominio y el rango en los diferentes modos de representación, como un avance conceptual en el aprendizaje del concepto de límite de una función en estudiantes de bachillerato a través de una tarea de anticipación. Nos preguntamos: «¿En qué medida reconocer la coordinación de las aproximaciones en el dominio y el rango de una función como un avance conceptual (KDU) ayuda a los estudiantes para profesor a generar hipótesis sobre el pensamiento matemático de los estudiantes?». MÉTODOS Participantes y contexto Los participantes fueron 25 estudiantes para profesor de matemáticas de educación secundaria matriculados en el Máster Universitario de Formación en Profesorado de Educación Secundaria. Estos estudiantes para profesor tenían diferente formación en relación con las matemáticas (graduados en matemáticas, ingenieros y arquitectos) y estaban matriculados en una asignatura cuyo objetivo era aprender a reconocer características de la comprensión de los estudiantes de educación secundaria y bachillerato de diferentes conceptos matemáticos, para proponer actividades de apoyo a la progresión de su comprensión. Uno de los conceptos matemáticos analizados fue el de límite funcional por su importancia en el aprendizaje del cálculo. Los estudiantes para profesor se agruparon en grupos de cinco para responder a una tarea de anticipación. Antes de esta tarea, los estudiantes para profesor resolvieron tres problemas de límite de una función en un punto, adaptados de un libro de texto de bachillerato (Colera et al., 2008; figura 1). El objetivo era que los estudiantes para profesor identificaran los elementos matemáticos necesarios para su resolución. Por otra parte, la tarea de anticipación se realizó antes de proporcionar información acerca de las características de la comprensión de estudiantes de bachillerato en relación con el límite funcional. La información de este tipo de estudio es importante para los formadores de profesores de matemáticas ya que determina el nivel de competencia de las distintas tareas profesionales que tienen los estudiantes para profesor, lo cual puede ser útil para el diseño de la instrucción. Tarea de anticipación La tarea de anticipación constaba de los tres problemas de límite de una función en un punto previamente resueltos y tres preguntas profesionales (figura 1). El objetivo de las preguntas a) y b) era que los estudiantes para profesor generaran respuestas de hipotéticos estudiantes de bachillerato con diferentes niveles de comprensión del concepto de límite de una función en un punto. El objetivo de la pregunta c) era que los estudiantes para profesor, después de determinar características de la comprensión del concepto de límite del estudiante, propusieran actividades que permitieran progresar al estudiante en su comprensión del concepto. Para la resolución de la tarea se proporcionó un documento teórico con la definición de la concepción dinámica de límite y los elementos matemáticos que la conforman (Pons, 2014; Pons et al., 2012; Valls et al., 2011) a fin de unificar el vocabulario que se podía usar para describir los problemas desde el punto de vista de: i) la idea de función, ii) la idea de aproximación lateral por la derecha y por la izquierda (en el dominio y en el rango, sean o no coincidentes) y iii) la idea de coordinación, a través de la función, de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango considerando distintos modos de representación (gráfico, algebraico y numérico). 148 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 Problema 1 Sea la función Calcula el límite de f(x) cuando: a) x tiende a 1 b) x tiende a 2 Problema 2 Sean las tablas x 1 0,8 0,9 0,99 … 1,2 1,1 1,01 f(x1) 1,64 1,81 1,9201 … 2,44 2,21 2,0201 x2 0 0,9 0,99 … 1,1 1,01 1,001 f(x2) 0 -0,99 -0,9999 … 2,3 2,03 2,003 a) ¿a qué valor se acercan 1. x1 y x2 por la derecha y por la izquierda 2. las imágenes de f(x1) por la derecha y por la izquierda 3. las imágenes de g(x2) por la derecha y por la izquierda? b) ¿a qué valor se acercan 1. las imágenes de f(x1) en relación al valor que se acerca x1 2. las imágenes de g(x2) en relación al valor que se acerca x2? Problema 3 Relaciona las siguientes gráficas con las afirmaciones a, b y c. Justifica tus repuestas a) El límete de la función es 2 en x = 2 b) El límite de la función es 5 en x = 2 c) No existe el límite de la función en x = 2 a) Indica que tendría que hacer y decir exactamente María, una alumna de 1º de Bachillerato, en cada problema, para indicar que ha comprendido el objetivo de aprendizaje. Justifica tu respuesta a partir de los elementos matemáticos y modos de representación. b) Indica lo que tendría que hacer y decir exactamente Pedro, otro alumno de 1º de Bachillerato, en cada problema, para que muestre que tiene ciertas características de la comprensión del concepto de límite pero que no ha sido capaz de alcanzar el objetivo de aprendizaje. Justifica tu respuesta a partir de los elementos matemáticos y modos de representación. c) Como profesor de estos alumnos propón actividades concretas: • para confirmar que María ha alcanzado el objetivo de aprendizaje pretendido. Justifica tu respuesta a partir de los elementos matemáticos y modos de representación. • para que Pedro alcance el objetivo de aprendizaje pretendido. Justifica tu respuesta a partir de los elementos matemáticos y modos de representación. Fig. 1. Tarea de anticipación propuesta a los estudiantes para profesor. 149 La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 De esta manera, el análisis de los tres problemas, junto con la información proporcionada, permite que los futuros profesores puedan generar un discurso profesional sobre los problemas, poniendo el foco de atención sobre los elementos matemáticos necesarios para desarrollar una concepción dinámica del límite de una función. El problema 1 se presenta en modo algebraico con límites laterales no coincidentes en x = 1 (apartado a) y coincidentes en x = 2 (apartado b). Los elementos matemáticos implicados en la resolución son: i) función definida a trozos, ii) las aproximaciones en el dominio en x = 1 y x = 2, y aproximaciones en el rango para determinar el comportamiento de f(x)alrededor de f(x) = 3 y f(x) = 4, y iii) la coordinación de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango alrededor de x = 1 y x = 2. El problema 2 se presenta en modo numérico. En la primera tabla del enunciado, los límites laterales son coincidentes y en la segunda no lo son (aunque la manera en la que se presentan las sucesiones no es la común, los estudiantes para profesor no tuvieron problemas para interpretarlas). Los elementos matemáticos implicados en la resolución son: i) las funciones dadas y ii) las aproximaciones en el dominio y en el rango. En la primera tabla, x1 se aproxima a 1 por la izquierda y por la derecha (a1), mientras que en el rango f(x1) se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha (a2). En la segunda tabla, cuando x2 se aproxima a 1 por la derecha y por la izquierda, g(x2) se aproxima a -1 por la izquierda y a 2 por la derecha; y iii) la coordinación de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango. Finalmente, el problema 3 se presenta en modo gráfico. En la primera gráfica del enunciado los límites laterales no coinciden en x = 2, en la segunda y tercera son coincidentes, existiendo el límite de la función en x = 2. Los elementos matemáticos implicados en la resolución son: i) las funciones dadas; ii) las aproximaciones en el dominio: en la gráfica 1, x se aproxima a 2 por la izquierda y por la derecha y aproximaciones en el rango: f(x) se aproxima a 2 por la izquierda y a 5 por la derecha; iii) la coordinación de los procesos de aproximación en el dominio y en el rango: cuando x se aproxima a 2 por la izquierda, f(x) se aproxima a 2, cuando x se aproxima a 2 por la derecha, f(x) se aproxima a 5. Análisis Los datos de esta investigación son las respuestas escritas de los cinco grupos de estudiantes para profesor a la tarea de anticipación (figura 1). Mediante un proceso inductivo (Strauss y Corbin, 1994), se generaron categorías sobre cómo estos grupos anticiparon respuestas de estudiantes de bachillerato que mostraran diferentes niveles de comprensión del concepto del límite y sobre las diferentes decisiones instruccionales tomadas para el progreso conceptual del estudiante. Cuatro investigadoras analizaron primero una pequeña muestra y discutieron las categorías generadas. Una vez se logró acuerdo, se añadieron nuevos datos con el fin de revisar el sistema de categorías creado inicialmente, lo que generó las categorías finales. Con relación a cómo los estudiantes para profesor anticipan las respuestas de estudiantes mostrando distinta comprensión del concepto de límite se generaron dos categorías dependiendo de cómo los participantes consideraban el aprendizaje del concepto de límite de una función (tabla 1). 150 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 Tabla 1. Categorías sobre cómo los estudiantes para profesor anticipan las respuestas de los estudiantes de bachillerato Categoría Descriptores Dicotomía todo o nada Consideran dos tipos de respuesta en los estudiantes de bachillerato: – las respuestas de quienes comprenden todo, esto es, son capaces de coordinar las aproximaciones en el dominio y en el rango en los diferentes modos de representación; – las respuestas de quienes no comprenden nada, por lo que no llegan a coordinar en ningún modo de representación. Progresiones en el aprendizaje Consideran progresiones en el aprendizaje del estudiante de bachillerato evidenciadas por: – relacionar la falta de comprensión con la idea de no coordinar en algún modo representación; – usar la idea de coordinación de las aproximaciones en el dominio y en el rango en nuevas situaciones para el estudiante. Con relación a las diferentes decisiones instruccionales dadas por los estudiantes para profesor se generaron tres categorías que se indican en la tabla 2. Tabla 2. Categorías generadas en relación con las decisiones instruccionales dadas por los estudiantes para profesor Categoría Descriptores Decisiones generales No proponen actividades concretas. Decisiones basadas en contenidos curriculares Actividades centradas en la secuencia de contenidos matemáticos del currículo. Decisiones conceptuales Actividades centradas en el cambio de registro (modo de representación) o en la posibilidad de apoyar procesos cognitivos (tareas que exigen usar el conocimiento en nuevas situaciones). En la sección de resultados describimos, explicamos e ilustramos las características que definen cada una de las anteriores categorías. RESULTADOS Presentamos los resultados en dos secciones, teniendo en cuenta cómo los estudiantes para profesor consideran el desarrollo de la comprensión del concepto de límite de una función: como dicotomía todo o nada (3 grupos) o reconociendo progresiones en el aprendizaje (2 grupos). Esta manera de considerar el desarrollo de la comprensión viene determinada por la identificación (o no) de la coordinación de las aproximaciones en el dominio y rango en los diferentes modos de representación, como un avance conceptual (KDU) que permite progresar a los estudiantes de bachillerato en su comprensión del concepto de límite. Las dos maneras en las que los estudiantes para profesor consideran la comprensión conllevan decisiones instruccionales distintas para ayudar a los estudiantes de bachillerato a progresar en su comprensión. 151 La coordinación de las aproximaciones en la comprensión del concepto de límite ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 La comprensión como dicotomía: todo o nada Tres grupos de estudiantes para profesor (G2, G3 y G5) consideraron que los estudiantes de bachillerato: – comprenden el concepto de límite funcional si son capaces de coordinar las aproximaciones en el dominio y en el rango, sean o no coincidentes los límites, en los diferentes modos de representación, y – no comprenden el concepto de límite funcional si solo son capaces de considerar aproximaciones laterales en el caso de que la función esté definida en un punto (por tanto no coordinan las aproximaciones en ningún modo de representación). Las respuestas que los estudiantes para profesor anticipan de la alumna hipotética de bachillerato que comprende la concepción dinámica de límite son correctas en los diferentes modos de representación. Sin embargo, para mostrar que no se comprende la concepción dinámica de límite, los estudiantes para profesor anticipan respuestas incorrectas en los diferentes modos de representación. Esto sugiere que estos estudiantes para profesor consideran la compresión del aprendizaje del límite de manera dicotómica (todo o nada). Además, no identifican la coordinación de las aproximaciones en el dominio y rango en los diferentes modos de representación como un avance conceptual (KDU), que permite progresar a los estudiantes de bachillerato en su comprensión del concepto de límite. Por ejemplo, los estudiantes para profesor del G2, para la estudiante que comprende el concepto de límite (María) anticipan respuestas en las que coordina las aproximaciones de la variable x en los distintos intervalos de definición y los valores que toma la función f(x), en los tres modos de representación. La coordinación entre las aproximaciones en el dominio y el rango se manifiesta en el modo algebraico y gráfico a través del reconocimiento de las ramas de la función en los distintos intervalos y el establecimiento del límite de la función por coincidencia o no de los límites laterales (figura 2). En el modo numérico, esta coordinación se manifiesta cuando en los apartados b1 y b2 proponen la coordinación de las aproximaciones en el dominio y en el rango. Fig. 2. Respuesta anticipada de G2 al problema 1 (modo algebraico) para María (estudiante que comprende el concepto de límite). 158 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ball, D., Thames, M. y Phelps, G. (2008). Content knowledge for teaching: What makes it special? Journal of Teacher Education, 59(5), pp. 389-407. https://doi.org/10.1177/0022487108324554. Bartell, T. G., Webel, C., Bowen, B. y Dyson, N. (2013). Prospective teacher learning: recognizing evidence of conceptual understanding. Journal of Mathematics Teacher Education, 16(1), pp. 57-79. https://doi.org/10.1007/s10857-012-9205-4. Bergqvist T. (2005). How students verify conjectures: Teachers’ expectations. Journal of Mathematics Teacher Education, 8(2), pp. 171-191. https://doi.org/10.1007/s10857-005-4797-6. Blázquez, S. y Ortega, T. (2001). Los sistemas de representación en la enseñanza del límite. 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In this context, Llinares, Fernández, and Sánchez-Matamoros (2016) consider that the Key Developmental Understanding (KDU) construct proposed by Simon (2006) could be used to examine how Specialized Content Knowledge (SCK) and Knowledge of Content and Students (KCS) are related when prospective teachers generate hypotheses about the students’ mathematical thinking, anticipating possible students’ answers to problems. A KDU implies a conceptual advance for students, that is, a change in the ability to think and/or perceive certain mathematical relationships (Simon, 2006). Therefore, a KDU becomes a key element for the development of a concept. From this perspective, to recognise students’ learning progressions, it is necessary to know the mathematical elements whose understanding can be considered a conceptual advance. We hypothesise that when prospective teachers focus their attention on the KDUs of a concept, they can learn to generate hypotheses about how the students’ mathematical understanding develops. A KDU in the understanding of the dynamic conception of limit is the coordination of the approximations in the domain and in the range in the different modes of representation. The aim of this study is to examine to what extent the identification of the coordination of approximations in the domain and in the range is considered a KDU by prospective teachers. Twenty-five prospective secondary school mathematics teachers anticipated high school students’ answers to problems about the limit of a function at a given point showing different characteristics of understanding and proposed problems that would support students’ conceptual progress. Results show that prospective teachers considered students’ understanding of the limit of a function at a given point in two ways. On the one hand, some prospective teachers considered the understanding of the limit in a dichotomous way (all or nothing). These prospective teachers did not identify the coordination of the approximations in the domain and in the range as KDU. On the other hand, other prospective teachers considered the understanding of the limit as progressive. This was evidenced when: (i) they considered that the consolidation of the understanding of the limit of a function at a given point is related to being able to use the coordination of the approximations in the domain and in the range in a new situation, and (ii) they link the lack of understanding of the limit concept to the ability to coordinate in some modes of representation, but not in all. These prospective teachers identified the coordination of the approximations in the domain and in range in different modes of representation as a KDU in the learning of the concept. Furthermore, the identification of the coordination of approximations in the different modes of representation as a KDU, allowed prospective teachers to propose conceptual decisions based on the students’ understanding. This result is relevant since other investigations have shown that prospective teachers have difficulties in proposing instructional decisions to support students’ conceptual progress in different mathematical domains. 162 Ceneida Fernández, Gloria Sánchez-Matamoros, Mar Moreno, María Luz Callejo ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, NÚM. 36.1 (2018): 143-162 Llinares, S., Fernández, C. & Sánchez-Matamoros, G. (2016). Changes in how prospective teachers anticipate secondary students’ answers. Eurasia Journal of Mathematics, Science & Technology Education, 12(8), pp. 2155-2170. https://doi.org/10.12973/eurasia.2016.1295a. Simon, M. (2006). Key Developmental Understanding in mathematics: A direction for investigating and establishing learning goals. 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