Fyzika I (mechanika a termodynamika)

1 FYZIKA I (MECHANIKA A TERMODYNAMIKA) Radim Uhlář Ostrava Obsah 1 ÚVOD..........................................................................................................................................3 1.1 POSTAVENÍ FYZIKY VE VĚDĚ A JEJÍ ČLENĚNÍ..........................................................3 2 MECHANIKA..............................................................................................................................5 2.1 KINEMATIKA......................................................................................................................5 2.1.1 Pohyb hmotného bodu podél přímky............................................................................5 2.1.2 Pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru...................................................................9 2.1.3 Pohyb hmotného bodu po kružnici..............................................................................15 2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU..................................................................................20 2.2.1 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY...................................................................20 2.2.2 Tíhová a gravitační síla...............................................................................................22 2.2.3 Odporové síly..............................................................................................................24 2.2.4 Síly působící při křivočarém pohybu..........................................................................27 2.2.5 Mechanická práce, výkon, energie..............................................................................28 2.3 MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA...................................................................................32 2.3.1 Základní pojmy a veličiny...........................................................................................32 2.3.2 Těžiště tuhé soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa................................................33 2.3.3 Druhá impulzová věta.................................................................................................37 2.3.4 Kinetická energie tělesa při otáčivém pohybu.............................................................39 2.3.5 Moment síly a úhlové zrychlení tuhého tělesa............................................................41 2.3.6 Valivý pohyb................................................................................................................43 2.4 POHYB HMOTNÝCH BODŮ V NEINERCIÁLNÍ VZTAŽNÉ SOUSTAVĚ..................45 2.5 MECHANICKÉ KMITÁNÍ................................................................................................50 2.5.1 Kmitání lineárního netlumeného harmonického oscilátoru........................................50 2.5.2 Tlumené kmitání..........................................................................................................56 2.5.3 Nucené kmitání............................................................................................................59 2.6 MECHANICKÉ VLNĚNÍ..................................................................................................61 2.6.1 Popis vlnění.................................................................................................................61 2.6.2 Odraz vlnění................................................................................................................63 2.6.3 Interference vlnění.......................................................................................................63 2.6.4 Stojaté vlnění...............................................................................................................66 2.6.5 Šíření vlnění v prostoru...............................................................................................68 2.6.6 Dopplerův jev..............................................................................................................70 3 TERMODYNAMIKA................................................................................................................73 3.1 Teplota.................................................................................................................................73 3.2 Nultý zákon termodynamiky...............................................................................................74 3.3 Teplotní roztažnost..............................................................................................................75 3.4 Vnitřní energie termodynamické soustavy..........................................................................76 3.5 Práce a teplo jako veličiny přenosu energie........................................................................77 3.6 První zákon termodynamiky...............................................................................................78 3.7 Kinetická teorie plynů.........................................................................................................79 3.8 Aplikace prvního zákona termodynamiky na děje v ideálních plynech..............................84 3.9 Kruhové děje.......................................................................................................................88 3.10 Přenos tepla.......................................................................................................................92 3.11 Druhý zákon termodynamiky............................................................................................96 3.12 Entropie a třetí zákon termodynamiky..............................................................................98 2 1 ÚVOD 1.1 POSTAVENÍ FYZIKY VE VĚDĚ A JEJÍ ČLENĚNÍ Slovo fyzika pochází z řeckého slova fysis = příroda. V antice byla fyzika chápána jako filozofie přírody jako protiklad k umělému světu vytvořeném člověkem (technice – řecky techné), dnes je takto chápána jen zčásti (např. termín Natural Philosophy). Filosofie se stala samostatnou vědou oTlidském myšlení a světě vůbec. Speciálními zákonitostmi na vyšších úrovních organizace hmoty, než je tomu u fyziky, se zabývají další přírodní a společenské vědy – chemie, biologie, psychologie, sociologie (obr. 1.1). Matematiku sice nepovažujeme za přírodní vědu, ale fyzika má úzké sepětí s matematikou – využívá jejich metod a také matematiku obohacuje novými myšlenkami a pojmy (např. objevitel diferenciálního a integrálního počtu je fyzik Isaac Newton). Fyzika je v současnosti vědou ozákladních, nejobecnějších zákonech přírody a přitom je také v úzkém vztahu s filozofií. Podstatný rozdíl mezi filosofií a fyzikou: k fyzikálním poznatkům nedocházíme pouhým myšlením, avšak konfrontací s výsledky měření a zkoumání. Fyzika používá vědeckou metodu pro hledání „pravidel her“ v přírodě a je založena na pozorování, usuzování a experimentu. Obr. 1.1 Fyzikální výzkum je dnes velmi nákladný, zejména pokud jde o experimentální zařízení jimiž jsou urychlovače, zařízení pro výzkum termojaderných reakcí, pro kosmický výzkum. Známé je například Evropské středisko pro jaderný výzkum (CERN). Motivací fyzikálního výzkumu je ukojení zvědavosti, snaha o hlubší poznání přírody a šance na předem neočekávaný užitek (např. umělé družice). Nevíme tedy, jaký užitek bude mít lidstvo zTobjevu nové elementární částice, cesty na Mars apod. Fyzika je velmi rozsáhlá vědní disciplína a je nutno přiznat, že žádný fyzik ji nemůže ovládat v celé šíři. 3 Dělení fyziky Podle metody výzkumu a zaměření: • teoretická fyzika • experimentální fyzika • aplikovaná fyzika Podle druhu jevů, jimiž se zabývá: • mechanika (včetně gravitačního pole) • elektřina a magnetismus • termika resp. termodynamika • optika Podle fyzikálních soustav, které fyzika zkoumá • fyzika molekulová, atomová, jaderná a částicová • fyzika pevných látek • fyzika tekutin (kapalin a plynů) • fyzika plazmatu Další důležité dělení je na fyziku klasickou a kvantovou. Klasická fyzika studuje zákonitosti makrosvěta (svět našich rozměrů a smyslového vnímání), kvantová fyzika studuje zákonitosti mikrosvěta. Je obecnější, než klasická fyzika, tzn. v makrosvětě odpovídají (korespondují) zákonitosti kvantové fyziky zákonitostem fyziky klasické - princip korespondence. Podobně můžeme rozlišit fyziku nerelativistickou a relativistickou. Jevy, které popisuje speciální teorie relativity se projevují tehdy, pohybují-li se částice nebo tělesa rychlostmi blízkými rychlosti světla ve vakuu (c = 2,9979·108 m·s-1). Opět platí princip korespondence - při rychlostech podstatně menších, než je rychlost světla ve vakuu, přecházejí zákony relativistické mechaniky v zákony mechaniky nerelativistické. Vědecká indukce a dedukce ve fyzice Zobecňováním zjištěných faktů z experimentů a pozorování se formulují fyzikální zákony často vTmatematické formě. Tomuto poznávacímu procesu se říká vědecká indukce. Řešením rovnic, které reprezentují fyzikální zákon, se předpovídají výsledky experimentu – proces vědecké dedukce. Například teoretický předpoklad uvolnění značné energie při výbuchu jaderné bomby byl experimentálně potvrzen (Alamogordo, Nové Mexiko, 1945). 4 2 MECHANIKA se zabývá vztahem mezi hmotou, sílou a pohybem. Pohyb – každý děj, každá změna, která probíhá s materiálním objektem jako celkem nebo v něm. FYZIKÁLNÍ POHYB . . MECHANICKÝ POHYB1MOLEKULOVÝ POHYB ELEKTRICKÝ PROUD atd. Mechanický pohyb – změna polohy těles vzhledem k jiným tělesům; nemění se základní vlastnosti těles (hmotnost, chemické složení, skupenství apod.) Klasická mechanika studuje mechanický pohyb a jako zakladatele této vědecké disciplíny lze považovat Galileo Galileiho (1564-1642) a zejména Isaaca Newtona (1643-1727). Někdy se nazývá newtonovskou nebo Newtonovou mechanikou. Platí předpoklad, že je rychlost hmotných objektů mnohem menší než rychlost světla ve vakuu. 2.1 KINEMATIKA se zabývá popisem pohybu tělesa, nepátráme po příčinách pohybu a jeho změn. Odhlížíme-li od tvaru a rozměrů pohybujícího se tělesa, pracujeme s abstrakcí – hmotný bod. Tato možnost je dána charakterem řešeného problému, nelze vždy použít! Základní pojmy: Hmotný bod – 1. vlastnost: poloha, 2. vlastnost: hmotnost Trajektorie – souhrn poloh, v níž se hmotný bod během pohybu vyskytoval Zákon pohybu – poloha hmotného bodu na trajektorii v závislosti na čase Dráha s [m] – délka křivky, kterou hmotný bod za určitou dobu prošel. Často v podobě funkce času. Poloha hmotného bodu se uvádí vzhledem k tzv. vztažné soustavě: vztažná soustava = souřadný systém (např. kartézský) + tuhé těleso s ním spojené vše doplněno hodinami 2.1.1 Pohyb hmotného bodu podél přímky Vektor posunutí d – pro jeho x-ovou složku platí: dx = Δx = x(t2) - x(t1) = x2 – x1 1 Tímto pohybem se zabývá mechanika. 5 Průměrná rychlost vpr=d Δt (1) Pro její x-ovou složku platí: vpr=vx , pr=Δx Δt=x2−x1 t2−t1 , jednotka rychlosti je m·s-1. Příklad: Pohyb hmotného bodu v kladném směru osy x: Obr. 2.1 dx=Δx=x2−x1=x(t2)−x(t1)=12 m Δt=(4−2)s=2 s vx ,pr=Δx Δt=6 m⋅s−1 Příklad: Pohyb hmotného bodu v záporném směru osy x: Obr. 2.2 vx,d=Δx Δt=−3−5 3=−8 3m⋅s−1 V praxi se často používá průměrná velikost rychlosti (skalární veličina): 6 vp=celková dráha celková doba pohybu =s(t2)−s(t1) t2−t1 =Δs Δt, (2) kde t2 > t1. Pro přímočarý pohyb v jednom směru (trajektorie část přímky) je průměrná velikost rychlosti totožná s velikostí rychlosti posunutí. Graf závislosti dráhy na čase: Obr. 2.3 Okamžitá rychlost (pro pohyb podél osy x): v=vx=lim Δt→0 Δx Δt=dx dt (3) Derivace funkce x v daném okamžiku udává směrnici tečny grafu funkce popisující závislost x-ové souřadnice hmotného bodu na čase a současně okamžitou rychlost. Znaménko souřadnice okamžité rychlosti je dáno směrem pohybu: Obr. 2.4 Zdroj: [5] S růstem sklonu grafu závislosti x na t roste velikost okamžité rychlosti. 7 Průměrné a okamžité zrychlení (pro pohyb podél osy x) Rychlost kvantifikuje rychlost změny polohy v čase, zrychlení rychlost změny rychlosti v čase. Průměrné zrychlení [m·s-2] ap=ax ,p=v2x−v1x t2−t1 =Δvx Δt (4) Okamžité zrychlení [m·s-2] a=ax=lim Δt→0 Δvx Δt=dvx dt=d dt ( dx dt ) =d2x dt2 (5) Jestliže klesá velikost rychlosti, má zrychlení opačnou orientaci než okamžitá rychlost a naopak (obr. 2.5). Obr. 2.5 Pohyb hmotného bodu s konstantním zrychlením podél přímky Platí ax,p = ax, , proto a=ax=v2x−v1x t2−t1 =Δvx Δt. Bude-li t1 = 0, označme t2 jako t, počáteční rychlost je v1x = v0x a okamžitá v čase t vx. Proto ax=vx−v0x t−0. Pro okamžitou rychlost platí: 8 vx=v0x+axt. (6) Jiný přístup k odvození závislosti rychlosti na čase (x0 = x(0)): ax=dvx dt=konst. dvx=axdt vx=∫axdt=ax∫dt=axt+v0x vx=dx dt dx=vxdt x=∫vxdt=∫(axt+v0x)dt=1 2axt2+v0xt+x0 x=1 2axt2+v0xt+x0 (7) Obr. 2.6 2.1.2 Pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru Polohu hmotného bodu určujeme polohovým vektorem r: r=xi+yj+zk=(x , y , z), (8) kde xi, yj, zk jsou jeho průměty do souřadnicových os a x, y, z jeho souřadnice. 9 Δφ=φ(t2)−φ(t1)=φ2−φ1 (24) Otočení proti směru otáčení hodinových ručiček je kladné. Otočení ve směru otáčení hodinových ručiček je záporné. Obr. 2.14 Průměrná úhlová rychlost ωp v časovém intervalu velikosti Δt od t1 do t2 je definovaná vztahem: ωp=φ2−φ1 t2−t1 =Δφ Δt. (25) Okamžitá úhlová rychlost ω je ω=dφ dt=d ( φβ ) dt=dφ dtβ+φ dβ dt=dφ dtβ=ds rdtβ=v rβ. [ω] = rad∙s-1 Proto ω=v r a v=ωr (26) Z obr. 2.14 je zřejmé, že platí v=ω×r. Okamžité úhlové zrychlení ε je ε=dω dt=dv rdtβ=at rβ. Pro jeho velikost dostaneme: 16 ε=at r. (27) Průměrné úhlové zrychlení εp je εp=Δω Δt. (28) Pozn.: Roste-li během pohybu hmotného bodu po kružnici v čase velikost jeho rychlosti, bude mít úhlové zrychlení stejný směr a orientaci jako úhlová rychlost. Zmenšuje-li se během pohybu hmotného bodu po kružnici v čase velikost jeho rychlosti, bude mít úhlové zrychlení opačnou orientaci než úhlová rychlost. Rovnoměrný pohyb po kružnici Velikost rychlosti je konstantní. Přestože se velikost rychlosti nemění, má hmotný bod zrychlení, protože rychlost mění svůj směr. Tečná složka zrychlení je nulová, protože se nemění velikost rychlosti (viz (16)). Celkové zrychlení (obr. 2.15) je proto rovno dostředivému zrychlení a jeho velikost je dána vztahem: a=ad=v2 r. (29) Obr. 2.15 Zdroj: [1] Hmotný bod oběhne celý obvod kružnice (2πr) za dobu T T=2πr v (30) zvanou doba oběhu neboli perioda. Frekvence f je převrácená hodnota periody: 17 f=1 T. (31) [f] = s-1 Za dobu T urazí hmotný bod úhlovou dráhu φ=2π, proto platí pro velikost úhlové rychlosti vztah: ω=2π T=2πf. (32) Ze vztahu (30) vyjádříme velikost rychlosti a vzhledem k platnosti vztahu (32) dostaneme v=ωr. (33) Rovnoměrně zrychlený pohyb po kružnici Velikost úhlového zrychlení je konstantní. Pro závislost velikosti obvodové rychlosti v, dráhy s, úhlové rychlosti ω a úhlové dráhy φ na čase platí: v=v0+att=v0+ε Rt , (34) s=s0+v0t+1 2att2=s0+v0t+1 2εRt2, (35) ω=ω0+εt , (36) ϕ=ϕ0+ω0t+1 2εt2, (37) ε je velikost úhlového zrychlení. 18 Rovnoměrně zpomalený pohyb po kružnici Velikost úhlového zrychlení je konstantní. Pro závislost velikosti obvodové rychlosti v, dráhy s, úhlové rychlosti ω a úhlové dráhy φ na čase platí: v=v0−att=v0−ε R t , (38) s=s0+v0t−1 2att2=s0+v0t−1 2εRt2, (39) ω=ω0−εt , (40) ϕ=ϕ0+ω0t−1 2εt2, (41) ε je velikost úhlového zrychlení. 19 2.2 DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 2.2.1 NEWTONOVY POHYBOVÉ ZÁKONY Snažíme se popsat zákony, podle nichž předměty mění svou rychlost, jestliže jsou něčím ovlivňovány. Newton nazval příčinu změny pohybu slovem síla (řecky dynamos). Síla nabývá smyslu ve spojení s Newtonovými zákony. Pro vyloučení úvah o otáčivém pohybu budeme pracovat s modelem hmotného bodu neboli částice. Zákon setrvačnosti (1. Newtonův zákon) Každá částice setrvává ve svém stavu klidu nebo rovnoměrného přímočarého pohybu, pokud a$dokud není vtištěnými silami donucena tento svůj pohybový stav změnit. Vtištěné síly – tzv. pravé síly, jsou částici „vtištěny“ jinými tělesy, můžeme vždy udat původce této síly (konkrétní těleso), můžeme pojmenovat interakci tělesa s okolím (druhy interakcí: gravitační, elektromagnetické, slabá, silná)! Volná částice – v rámci přesnosti prováděných měření nelze zjistit vliv okolních objektů na pohybový stav Další formulace zákona setrvačnosti: Je-li volná částice v klidu vzhledem ke zvolené vztažné soustavě, pak v něm setrvá. Pohybuje-li se stálou rychlostí, bude v tomto pohybu neustále pokračovat. Vztažné soustavy, v nichž platí zákon setrvačnosti, se nazývají inerciální vztažné soustavy. Daná vztažná soustava může být inerciální do určité míry, pro určité experimenty. V mnohých případech například vztažná soustava pevně spojená s povrchem Země se projevuje jako inerciální, v jiných nikoliv (např. důkaz otáčení Země kolem své osy vyvolává otáčení roviny kyvu kyvadla – Foucaultův kyvadlový pokus (délka kyvadla 67Tm, hmotnost 28Tkg), r. 1851). Stejná vztažná soustava je považována za inerciální, studujeme-li například zrychlený pohyb vagónu a člověka vTněm na kolečkových bruslích (zanedbáváme odporové síly na něj působící) - viz obr. 2.16. Obr. 2.16 (a): VTinerciální vztažné soustavě Sin pevně spojené s povrchem Země na člověka působí nulová výsledná síla, dokud nenarazí na stěnu. Protože předpokládáme, že byl v čase 0 s v klidu vůči Sin, bude proto v klidu až do okamžiku, kdy na něj narazí stěna vagónu. Obr. 2.16 (b): Člověk se bude pohybovat stálou rychlostí vůči soustavě Sin, dokud na něj nenarazí stěna vagónu. Obr. 2.16 (c): Člověk se bude pohybovat rovnoměrně přímočaře, dokud na něj nenarazí stěna vagónu. Pro všechny případy z obrázku 2.16 platí: V soustavě pevně spojené s vagónem se bude člověk na bruslích pohybovat s opačným zrychlením než je a. Původcem tohoto zrychlení je setrvačná síla, která není vyvolána interakcí s okolím. Proto je tato soustava neinerciální z hlediska řešených pohybů. 20 Obr. 2.16 Zdroj: [5] Je možné, že dokonale inerciální soustava neexistuje, vždy však můžeme požadovaný stupeň inerciálnosti zajistit vhodným výběrem vztažné soustavy. Definujme pro dynamiku velmi důležité fyzikální veličiny: a) Výsledná síla (výslednice) FV je vektorový součet všech sil, které na částici působí v dané vztažné soustavě: FV=∑ i=1 N Fi,pr +∑ j=1 M Fi,nepr , (42) kde N je počet vtištěných sil na částici působících, M je počet nepravých sil - připadají v úvahu síly: setrvačná, Coriolisova, Eulerova, odstředivá. Veličina ∑ i=1 N Fi, pr je absolutní, tzn. není ovlivněna výběrem vztažné soustavy, kdežto veličina ∑ i=1 N Fi, nepr je relativní, tzn. je ovlivněna výběrem vztažné soustavy. b) Hmotnost Stejná výslednice uděluje některým různým tělesům různá zrychlení. Např. kop do míče fotbalového nebo medicinbalu. Co je odlišuje? Příklad: Nechť jedno těleso má jednotkovou hmotnost m0 = 1 kg. Jestliže udělíme tělesu zrychlení 1 m·s-2, lze považovat sílu také za jednotkovou, tedy má velikost 1 N. U druhého tělesa bylo naměřeno zrychlení 0,25 m·s-2, přitom síla byla stejná, pak platí: mX m0 =a0 aX . 21 Odtud dostaneme mX=a0 aX m0=4 kg. Hmotnost určuje poměr mezi silou působící na těleso a udíleným zrychlením. Zákon síly (2. Newtonův zákon) Změna pohybu je úměrná výslednici sil FV působící na částici v dané vztažné soustavě a nastává podél přímky, v níž síla FV působí: FV=∑F=dp dt. (43) Pozn.: změna pohybu = změna množství pohybu Množstvím pohybu podle Newtona je hybnost: p=mv (44) [p] = kg·m·s-1 Je-li hmotnost částice konstantní, je možné formulovat 2. Newtonův zákon takto: Výslednice sil působící na částici v dané vztažné soustavě vyvolává zrychlení částice stejného směru a orientace jako výslednice: FV=ma. (45) Uvedená rovnice je také pohybová rovnice ve vektorovém tvaru. Jejím řešením je závislost polohového vektoru částice na čase. Složkový tvar pohybové rovnice: ∑Fx=max,∑Fy=may,∑Fz=maz. Pro jednoznačné řešení je nutné znát počáteční podmínky, tj. polohu a rychlost v nějakém okamžiku: FV=ma=md2r dt2,r(t0)=r0,v(t0)=v0. Zákon akce a reakce (3. Newtonův zákon) Jestliže těleso A působí silou (akce) na těleso B, působí silou (reakce) těleso B na těleso A. Tyto síly mají stejnou velikost, ale opačnou orientaci. Síly akce a reakce působí na různá tělesa. 2.2.2 Tíhová a gravitační síla Má-li rotace Země vliv na pohyb těles, soustava pevně spojena s povrchem Země není inerciální. Tíhová síla FG je výslednice síly gravitační Fg a odstředivé Fod , která je vyvolaná rotací Země. Tíha G je vyvolaná působením tíhové síly na těleso a projevuje se jako tlaková síla, kterou těleso 22 působí na podložku nebo tahová síla, kterou těleso působí na závěs. V obr. 2.17 jsou všechny síly, které působí na těleso v tíhovém poli Země, je-li na podložce v klidu. Výslednou sílu, kterou podložka působí na těleso, můžeme rozložit na dvě významné složky (obr. 2.17): •FRN - normálová složka, jejíž vektorový součet se silou gravitační je nulový vektor, tzn. kompenzuje sílu gravitační •FRt - tečná složka, která je silou statického tření a kompenzuje tečnou složku síly tíhové Obr. 2.17 Obvykle jsou síla FRt a tečná složka síly tíhové zanedbatelně malé vůči ostatním silám na těleso působícím. Obr. 2.18 Zdroj: [1] Nechť je na stole s vodorovnou deskou meloun v klidu. Na meloun působí ve vztažné soustavě pevně spojené s povrchem stolu dvě síly: jeho tíhová síla FMZ a tlaková síla stolu FMS (viz obr. 2.18). Vektorový součet těchto sil je nulový vektor, tedy i výslednice a také pozorované zrychlení melounu je nulové. Zároveň pozorujeme vzájemnou interakci melounu se Zemí. Země působí na 23 meloun tíhovou silou FMZ, kterou ve smyslu zákona akce a reakce můžeme považovat za akci, aTmeloun působí na Zemi silou FZM (reakce), která má stejnou velikost jako síla FMZ, ale opačnou orientaci. Také meloun a stůl vzájemně interagují - akcí a reakcí jsou síly FMS (stůl působí na meloun) a FSM (meloun působí na stůl). 2.2.3 Odporové síly 1. Pohybuje-li se těleso v plynu nebo kapalině, působí na něj síla odpor prostředí, jenž má opačnou orientaci než okamžitá rychlost a její velikost závisí na: •velikosti rychlosti pohybujícího se tělesa •geometrických vlastnostech tělesa •fyzikálních vlastnostech tělesa a prostředí, v němž se pohybuje. Pro velikost odporové síly platí empiricky získané vzorce: a) pomalý pohyb kuličky resp. bubliny v tekutině Fodp = c1 v, kde c1 je konstanta úměrnosti b) rychlejší pohyb (vzniká turbulentní proudění tekutiny v okolí tělesa) Fodp = ½ CD ρSv2, kde ρ je hustota tekutiny, S účinný průřez tělesa (obsah největšího řezu tělesa rovinou kolmou k relativní rychlosti tělesa a tekutiny) a CD součinitel odporu. c) při dalším zvyšování rychlosti neplatí ani tento zákon. Obr. 2.19 Zdroj: [1] 24 Jestliže padá těleso ve vzduchu z nulové počáteční rychlosti, s růstem velikosti rychlosti roste také velikost odporové síly a současně velikost síly tíhové se prakticky nemění. Pokud pád tělesa trvá dostatečně dlouhou dobu, vyrovná se velikost odporové síly velikosti síly tíhové. Těleso v tom okamžiku dosáhne maximální rychlost (mezní rychlost) a bude dál padat se stálou rychlostí, neboť výslednice sil na něj působících bude nulová (viz obr. 2.19). Obr. 2.20 Zdroj: [1] 2. Statické tření (obr. 2.20) – jako odezva na sílu F působí na kostku statická třecí síla Fs, dokud se při překročení jisté hodnoty síly F kostka „neutrhne“. Maximální velikost síly Fs je Fs,max=fsN , (46) kde fs je koeficient statického tření a N velikost síly, kterou působí těleso kolmo na styčnou plochu tělesa s podložkou. 3. Dynamické tření je deformace hrbolů na styčných plochách po sobě smýkajících se těles, jejich kmitání, střídavý vznik a zánik svarů (opakování kontaktů a smyků) a posléze takto vyvolaný 25 Impulz síly Podobnost veličin hybnost a kinetická energie – obě jsou určeny hmotností hmotného bodu a jeho rychlostí. V čem se z fyzikálního pohledu liší? Konstantní výsledná síla F působící po dobu Δt=t2−t1 udělí částici impulz I=FΔt=maΔt=m(v2−v1)=mv2−mv1=p2−p1=Δ p. (55) Je-li síla časově proměnná, pak platí rovněž I=∫ t1 t2 Fdt=∫ t1 t2dp dtdt=∫ t1 t2 dp=p2−p1=Δ p. Ráz dvou těles – zpravidla neznámý časový průběh síly, pro popis se používá střední síla a platí: Fs=1 Δt∫ t1 t2 Fdt=I Δt. (56) Impulz je určen dobou, po kterou síla působí (časový účinek síly), kinetická energie drahou, na které působí (dráhový účinek síly). 2.3 MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 2.3.1 Základní pojmy a veličiny Tuhé těleso je ideální těleso, jehož tvar ani objem se nemění účinkem libovolně velkých sil. Je charakterizováno hmotností a geometrickými rozměry, které vymezují určitý objem. Je tvořeno soustavou vzájemně pevně vázaných hmotných bodů. Pohyb tuhého tělesa je obecně složeným pohybem z translačního (posuvného) pohybu aTrotačního pohybu (kolem pevné osy – např. kola automobilu, případně kolem volné osy – zeměkoule, umělá družice apod.). Pohyb translační: okamžitá rychlost všech hmotných bodů tuhého tělesa je stejná. Pohyb rotační: okamžitá úhlová rychlost všech hmotných bodů tuhého tělesa je stejná. Pro popis pohybu tuhého tělesa lze využít tuhou soustavu hmotných bodů. Platí pro ni, že se nemění vzájemná poloha hmotných bodů, které tuhou soustavu tvoří. Počet hmotných bodů tvořících tuhé těleso „velký“ - rozložení hmotnosti spojité. Hustota tělesa v daném bodě: ρ=dm dV, (57) 32 střední hustota ρs=m V, (58) kde m je hmotnost tělesa. [ρ]=kg⋅m−3 Podobně se definuje hustota plošná a délková – místo objemu obsah plochy resp. délka. Pozor na změnu jednotky! 2.3.2 Těžiště tuhé soustavy hmotných bodů a tuhého tělesa Pro polohu těžiště tuhé soustavy N hmotných bodů, jejichž poloha je dána polohovými vektory ri aTkteré mají hmotnosti mi, platí: rT= ∑ i=1 N miri ∑ i=1 N mi . (59) Důvody pro definici těžiště vztahem (59) jsou popsány v následujícím odstavci Věta o pohybu těžiště. Je-li hustota hmotných bodů dostatečně velká, abychom mohli hovořit o spojitém rozložení hmoty, pak poloha těžiště tuhého tělesa je dána vztahem: rT=∫rdm ∫dm. (60) Věta o pohybu těžiště Mějme tuhou soustavu hmotných bodů. Nechť je: mihmotnost i-tého hmotného bodu soustavy Fivýslednice vnějších sil působících na i-tý hmotný bod Fi,vn výslednice vnitřních sil, kterými ostatní hmotné body působí na i-tý hmotný bod. Pohybová rovnice i-tého hmotného bodu je miai=Fi,vn+Fi, pak pohybová rovnice tuhé soustavy hmotných bodů je ∑ i=1 N miai=∑ i=1 N Fi, vn+∑ i=1 N Fi. Podle zákona akce a reakce je součet vnitřních sil nulový vektor, proto 33 ∑ i=1 N miai=∑ i=1 N Fi. Nyní využijeme definiční vztah těžiště (celková hmotnost soustavy hmotných bodů je m): rT= ∑ i=1 N miri ∑ i=1 N mi = ∑ i=1 N miri m. Derivujme rT podle času: vT= ∑ i=1 N mivi m. Derivujme ještě jednou: aT= ∑ i=1 N miai m. Vynásobme hmotností: maT=∑ i=1 N miai=FV=∑ i=1 N Fi. (61) Ze vztahu (61) jsou zřejmé důvody, proč je poloha těžiště definovaná vztahem (59). Vztah (61) lze také zobecnit na tuhé těleso. Věta o pohybu těžiště: Pozn.: Je-li tuhá soustava hmotných bodů nebo těleso izolované (výsledná síla nulová), je rychlost pohybu těžiště konstantní (směr, velikost i orientace; viz obr. 2.27). 34 Těžiště tuhé soustavy hmotných bodů nebo tělesa se pohybuje tak, jako by se pohyboval hmotný bod sThmotností celé tuhé soustavy hmotných bodů nebo tělesa, kdyby na něj působila síla rovnající se vektorovému součtu všech vnějších sil působících na tuhou soustavu hmotných bodů nebo těleso ve zvolené vztažné soustavě. Obr. 2.27 Zdroj: [1] Jsou-li hmotnosti mi konstantní, lze provést tuto úpravu: ∑ i=1 N miai=∑ i=1 N mi dvi dt=d dt∑ i=1 N mivi=d dt∑ i=1 N pi=dp dt. Takže platí FV=dp dt. (62) 1. impulzová věta: Vektorový součet všech vnějších sil ve zvolené vztažné soustavě působících na tuhou soustavu hmotných bodů nebo těleso se rovná časové změně celkové hybnosti soustavy nebo tělesa. 1. impulzová věta je fyzikálně ekvivalentní větě o pohybu těžiště. Zákon zachování hybnosti: Je-li tuhá soustava hmotných bodů nebo těleso izolované, pak dp dt=o⇒p=konst. (63) Zákon zachování hybnosti a srážky těles Předpokládáme intenzivní silové působení srážejících se těles po relativně krátkou dobu. Jestliže jsou vnější síly zanedbatelně malé ve srovnání se silami, jimiž na sebe působí navzájem tělesa při srážce, považujeme soustavu těles za izolovanou a v tom případě platí zákon zachování hybnosti. Jestliže na tělesa působí pouze konzervativní síly, platí navíc zákon zachování celkové mechanické energie soustavy a jedná se o pružnou srážku. O nepružné srážce hovoříme, nezachovává-li se celková mechanická energie soustavy srážejících se těles (působení nekonzervativních sil). 35 Pružná přímá (čelní) srážka Rychlosti těles před srážkou leží v jedné přímce: Obr. 2.28 Zdroj: [1] Zákon zachování hybnosti (pro x-ové složky hybnosti): m1vx ,1, i+m2vx ,2,i=m1vx ,1, f+m2vx , 2,f (64) Zákon zachování mechanické energie za předpokladu, že obě tělesa mají během pohybu stejnou tíhovou potenciální energii: 1 2m1vx,1, i 2+1 2m2vx ,2,i 2=1 2m1vx,1, f 2+1 2m2vx, 2,f 2 (65) Neznámé rychlosti těles po srážce (index f) získáme řešením této soustavy. Nejprve přepišme obě rovnice do tvarů m1(vx, 1,i−vx, 1,f)=−m2(vx ,2, i−vx ,2,f ) m1(vx ,1, i 2−vx ,1,f 2)=m2(vx ,2,i 2−vx , 2,f 2) m1(vx ,1, i−vx ,1,f )(vx ,1, i+vx ,1,f )=−m2(vx , 2,i−vx ,2, f)(vx ,2,i+vx ,2, f). Poslední rovnici vydělíme první a po několika úpravách dostaneme: vx,1,f=m1−m2 m1+m2 vx ,1,i+2m2 m1+m2 vx ,2,i vx,2, f=2m1 m1+m2 vx,1, i+m2−m1 m1+m2 vx,2,i . (66) Pozn.: Pohyb těžiště není srážkou nikterak ovlivněn! Celková hybnost se nemění a je rovna také hybnosti hmotného bodu, který by se nacházel v těžišti a měl hmotnost rovnající se součtu hmotností obou těles: vT=m1vx ,1,i+m2vx ,2, i m1+m2 . (67) Protože se hybnost zachovává, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře. Dokonale nepružná přímá srážka Na obr. 2.29 je znázorněna dokonale nepružná téměř přímá srážka. 36 Obr. 2.29 Zdroj: [5] 2.3.3 Druhá impulzová věta Praxe ukazuje, že síla není veličinou, která by mohla sloužit k formulaci pohybových rovnic rotace tuhého tělesa (obr. 2.30). Obr. 2.30 Naopak vhodnou veličinou je moment síly: M=r×F. (68) Pro velikost momentu síly platí (obr. 2.31): M=rFsinα=Fa. (69) [M] = N·m Orientaci momentu síly je určena pravidlem pravé ruky: Předpokládejme nejprve, že těleso je vTklidu a začne na něj působit síla F. Pokud zahnuté prsty kromě palce ukazují směr otáčení tělesa 37 vTdůsledku působení síly F, pak vztyčený palec ukazuje orientaci momentu této síly. Je možné také použít pravidlo pravé ruky, které se týká vektorového součinu v definičním vztahu (68) momentu síly: palec ukazuje orientaci polohového vektoru působiště síly F, ukazováček orientaci síly F aTvztyčený prostředník orientaci momentu M. Moment síly je mírou otáčivého účinku síly působící na těleso. Obr. 2.31 Uvažujme nyní jeden hmotný bod, který má hybnost p = mv a jeho poloha je popsána polohovým vektorem r. Moment hybnosti hmotného bodu je definován vztahem b=r×p. (70) Derivujme moment hybnosti podle času: db dt=d dt ( r×mv ) =dr dt×mv+r×d ( mv ) dt=v×mv+r×d ( mv ) dt=r×F=M. Podobně lze postupovat pro tuhou soustavu hmotných bodů. 2. impulzová věta: ∑ i=1 N M=MV=db dt. (71) Pokud je tuhá soustava hmotných bodů nebo těleso izolované, platí zákon zachování momentu hybnosti: db dt=o⇒b=konst. (72) 38 Vektorový součet momentů všech vnějších sil působících na tuhou soustavu hmotných bodů nebo těleso ve zvolené vztažné soustavě se rovná časové změně celkového momentu hybnosti tělesa, respektive soustavy: 2.3.4 Kinetická energie tělesa při otáčivém pohybu Mějme tuhou soustavu hmotných bodů. Kinetická energie této soustavy je součet kinetických energií jednotlivých hmotných bodů: Ek=1 2m1v1 2+1 2m2v2 2+...=∑ i=1 N1 2mivi 2=∑ i=1 N1 2mi(ω ri)2=1 2(∑ i=1 N miri 2)ω2. Veličina J=∑ i=1 N miri 2 (73) závisí na rozložení hmotných bodů vzhledem k ose otáčení a nazývá se moment setrvačnosti soustavy vzhledem k dané ose otáčení. Vzorce pro výpočet momentu setrvačnosti vybraných homogenních těles jsou na obr. 2.32. [J] = kg·m2 Kinetickou energii můžeme nyní vyjádřit jednodušším výrazem: Ek=1 2Jω2. (74) V tělesech se spojitě rozloženou hmotou nahrazujeme součet integrálem; pak J=∫r2dm. (75) Pozn.: Při výpočtu momentu setrvačnosti je třeba volit hmotný element tak, aby vzdálenost r kteréhokoli z jeho bodů od osy rotace byla stejná. Integrační meze je nutno volit tak, abychom hmotnými elementy vyplnili celé těleso. Pozn.: Jestliže se jedná o homogenní těleso, pak pro „objemová“, „plošná“ a „délková“ tělesa platí: ρ=dm dV=m V;σ=dm dS=m S;τ=dm dl=m L, (76) kde V, S a L je celkový objem, celková plocha a délka tělesa; ρ, σ a τ objemová, plošná a délková hustota. 39 Obr. 2.32 Zdroj: [1] Momenty setrvačnosti některých homogenních těles. Steinerova věta Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolně zvolené ose o je součtem jeho momentu setrvačnosti JT vzhledem k ose oT rovnoběžné s osou o, procházející těžištěm tělesa a součinu hmotnosti tělesa a druhé mocniny vzdálenosti os o a oT. 40 J=JT+md2 (77) Důkaz: Umístíme počátek soustavy souřadnic do těžiště tělesa. Obr. 2.33 Zdroj: [1] Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedené bodem P můžeme vyjádřit takto (obr. 2.33): J=∫r2dm=∫((x−a)2+( y−b)2)dm J=∫(x2+y2)dm−2a∫xdm−2b∫ydm+∫(a2+b2)dm. Druhý a třetí integrál představují, až na násobení konstantou, x-ovou a y-ovou souřadnici těžiště – jsou tedy nulové. Součet x2 + y2 je druhou mocninou vzdálenosti elementu dm od osy otáčení, proto první integrál představuje moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm. ATkonečně výraz a2 + b2 je vzdálenost bodů T a P (os o a oT). 2.3.5 Moment síly a úhlové zrychlení tuhého tělesa Představme si těleso složené z mnoha hmotných bodů. Osa splývá s osou z souřadného systému aTprvní vybraný bod hmotnosti m1 rotuje kolem osy po kružnici s poloměrem r1 (obr. 2.34). Výsledná síla F1, která na tuto částici působí, má v radiálním směru složku F1,rad, v tangenciálním směru složku F1,tan a ve směru osy z složku F1,z. Pohybová rovnice pro tečnou složku zrychlení má tento tvar: F1, tan=m1a1, tan. (78) 41 aC=2ω×v' (91) nazýváme Coriolisovým zrychlením a au=a0+d'ω dt×r'+ω×(ω×r') (92) unášivým zrychlením. Složka zrychlení ad=ω×(ω×r') (93) se nazývá dostředivé zrychlení a aE=d'ω dt×r' (94) Eulerovo zrychlení. Dynamika v neinerciálních soustavách souřadnic Nechť je soustava S z předchozího odstavce inerciální. Pak můžeme pohybovou rovnici hmotného bodu v inerciální soustavě podle (90) zapsat ve tvaru: m(a'+aC+au)=F. Fvtištěná síla (určena působením těles v prostoru na hmotný bod o hmotnosti m) Pohyb hmotného bodu v soustavě S' je určen rovnicí ma'=F+FC+Fu, (95) kde je FC=−maC=−2mω×v' , (96) Fu=−mau=−ma0−md'ω dt×r'−mω×(ω×r'). (97) Jestliže platí, že FC≠o a Fu≠o , nemá soustava S' vlastnost inerciální soustavy - je neinerciální. Zrychlení a' hmotného bodu v neinerciální vztažné soustavě je určeno nejen vtištěnou silou, kterou působí tělesa na hmotný bod (míra interakce s okolím), ale ještě dalšími silami FC aT Fu, které nemají původ v interakci s jinými tělesy. Síly FC a Fu mají kinematický původ v pohybu soustavy S' vůči inerciální soustavě S a nazývají se kinematické síly. První z nich je FCCoriolisova síla. Unášivá síla Fu má tři komponenty: •setrvačnou sílu Fs=−ma0, (98) 48 kde a0 je zrychlení neinerciální soustavy S' vzhledem k soustavě S (např. rozjíždějící se tramvaje (soustava S') vzhledem k vozovce (soustava S)). •Eulerovu sílu FE=−md'ω dt×r' (99) •odstředivou sílu Fo=−mω×(ω×r'). (100) Pozn.: Na hmotný bod pohybující se po zakřivené trajektorii působí dostředivá síla a podle zákona akce a reakce působí hmotný bod na původce dostředivé síly silou opačné orientace. Nazývá se také silou odstředivou, avšak nejedná se o kinematickou sílu! Tedy stejný název pro dvě různé vektorové fyzikální veličiny. 49 2.5 MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mnohé rovnice, které se objevují v různých odvětvích fyziky, jsou často téměř stejné. Popisují analogické jevy. Například šíření zvukových vln je v mnohém podobné šíření světelných vln. Diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty popisuje pohyb závaží na pružině, kyvadla s malou výchylkou, oscilace náboje v elektrickém obvodu či ladičky vytvářející zvukové vlny, vibrace elektronů v atomu vytvářející světelné vlny atd. Kmitavým pohybem nebo krátce kmitáním (oscilací) nazýváme obecně takový pohyb hmotného bodu (nebo tělesa), při němž hmotný bod nepřekročí konečnou vzdálenost od jedné rovnovážné polohy. Základní pojmy: kmitání periodické po stejném časovém intervalu T opakující se časový průběh kmitání Tperioda; [T] = s ffrekvence; f=1 T ; [f] = Hz = s-1 oscilátor množina těles, které realizují kmitavý pohyb. výchylka (elongace) poloha hmotného bodu či tělesa vzhledem k rovnovážné poloze 2.5.1 Kmitání lineárního netlumeného harmonického oscilátoru Pro zjednodušení popisu kmitavého pohybu použijme ideální oscilátor reprezentovaný tělesem zavěšeným na "dokonalé pružině", které se může pohybovat pouze podél svislé přímky vThomogenním tíhovém poli Země. Nechť oscilátor splňuje tyto předpoklady: 1. Pružina je dokonale lineární, tzn. pro velikost síly pružnosti platí Fp=k ∣ y ∣ , kde k je tuhost pružiny s jednotkou N·m-1 a y výchylka (souřadnice těžiště tělesa). 2. V průběhu kmitání nedochází k přeměně mechanické energie oscilátoru na tepelnou energii vTdůsledku působení odporových sil, zahřívání pružiny její deformací atd. Předpokládáme tedy netlumené kmitání. 3. Pružina má zanedbatelnou hmotnost vzhledem k hmotnosti tělesa na ní zavěšeného. Pohybová rovnice tělesa zavěšeného na pružině a) Jestliže na pružinu zavěsíme těleso (závaží) hmotnosti m, pružina zvětší svou délku o y0 aTsouřadnice těžiště tělesa bude 0, zvolíme-li osu y tak, jak je nakresleno na obr. 2.41. Nechť poté těleso visí v klidu na pružině (obr. 2.41). Těžiště tělesa se proto nachází v rovnovážné poloze. Pohybová rovnice tělesa bude v tomto případě mít tento tvar: Fp0+FG=o. Velikost síly pružnosti je Fp0=k∣y0∣. Napišme pohybovou rovnici ve složkovém tvaru: k∣y0∣−mg=0. 50 Obr. 2.41 b) Vnější silou stlačíme pružinu s tělesem tak, aby byla poloha těžiště tělesa určena souřadnicí A aTtěleso bylo v klidu. Přestane-li poté tato vnější síla působit, těleso začne konat netlumené harmonické kmitání popsané pohybovou rovnicí (obr. 2.42): Fp0+FG+Fp=ma. Ve složkovém zápise dostaneme k∣y0∣−mg−ky=may, kde ay je y-ová souřadnice zrychlení a y je souřadnice určující polohu těžiště tělesa. Znaménko souřadnice síly pružnosti Fp je vždy opačné vzhledem ke znaménku souřadnice y, proto má souřadnice síly pružnosti tvar -ky. Všimněte si (obr. 2.42), že síla pružnosti Fp závisí pouze na poloze tělesa, nikoliv na jeho pohybovém stavu. Obr. 2.42 Našim cílem je popsat pohyb, tzn. určit závislost r = y na čase. Upravme proto složkový tvar pohybové rovnice: may=−ky mdvy dt+ky=0 md2y dt2+ky=0 51 d2y dt2+k my=0. (101) Získali jsme diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešení je možné upravit do tvaru: r=y=Asin(ωt+ϕ0), (102) kde ω=2π T= √ k m (103) je úhlová frekvence, r polohový vektor těžiště tělesa, ϕ=ωt+ϕ0 fáze pohybu a ϕ0 počáteční fáze. Na obr. 2.43 vidíte časové průběhy výchylek pro různé hodnoty počáteční fáze a znázornění analogie mezi harmonickým kmitáním lineárního oscilátoru a rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici. Obr. 2.43 Rychlost kmitavého pohybu Rychlost (y-ovou souřadnici rychlosti těžiště tělesa) dostaneme derivací souřadnice podle času: v=vy=dy dt=Aωcos(ωt+ϕ0). (104) Protože maximální hodnota funkce kosinus je 1, amplituda rychlosti je vm=Aω. Pro velikost rychlosti platí: v=∣vy∣. (105) 52 Zrychlení kmitavého pohybu Zrychlení (y-ovou souřadnici zrychlení) dostaneme derivací rychlosti podle času: ay=dvy dt=−Aω2sin(ωt+ϕ0). (106) Amplituda zrychlení je am=Aω2. Pro velikost zrychlení platí: a=∣ay∣. (107) Na obr. 2.44 jsou zakresleny časové závislosti souřadnice, souřadnice rychlosti a zrychlení pro případ, kdy je počáteční fáze ϕ0=π 2rad. Obr. 2.44 Mechanická energie harmonického oscilátoru Potenciální energie harmonického oscilátoru při výchylce y1 je rovna práci, kterou vykoná síla pružnosti při přemístění těžiště tělesa z polohy o souřadnici y1 do rovnovážné polohy v bodě oTsouřadnici 0, ve které je zvolena nulová hladina potenciální energie. Síla pružnosti je Fp = -ky aTproto Wy1→0=Ep(y1)=∫ y1 0 −ky dy=1 2ky1 2. 53 Obecně platí Ep(y)=1 2ky2=1 2kA2sin2(ωt+ϕ0). (108) Kinetickou energii harmonického oscilátoru lze vyjádřit s využitím vzorce (102) takto: Ek=1 2mv2=1 2m(dy dt) 2 =1 2mA2ω2cos2(ωt+ϕ0)=1 2kA2cos2(ωt+ϕ0). (109) Pro celkovou mechanickou energii proto platí2: E=Ek+Ep=1 2kA2. (110) Mechanická energie harmonického oscilátoru je tedy na čase nezávislá. Na obrázku 2.45 jsou znázorněny potenciální a kinetická energie harmonického oscilátoru jako funkce času. Obr. 2.45 Zdroj: [1] 2.3.2 Kyvadla Fyzické kyvadlo je tuhé těleso otáčivé kolem pevné osy, která neprochází těžištěm tělesa (obr. 2.46). Studujme rotaci tuhého tělesa: po vychýlení tělesa z rovnovážné polohy působí na těleso moment tíhové síly aTmoment reakce osy na tíhu tělesa. Pohybová rovnice rotačního pohybu nabývá proto tento tvar: MFG+MFR=Jϵ. Moment reakční síly má nulovou velikost, neboť tato síla samozřejmě prochází rotační osou. Přepišme pohybovou rovnici rotačního pohybu do složkového tvaru −mghsinθ=Jd2θ dt2, 2 sin2α + cos2α = 1. 54 Obr. 2.46 Zdroj: [1] v němž znaménko minus vyjadřuje opět skutečnost, že moment tíhové síly působí "proti" úhlové výchylce. Jestliže je úhel θ v radiánech malý natolik, aby platil vztah sin θ ≈ θ, můžeme upravit pohybovou rovnici do tvaru d2θ dt2+mghθ J=0, (111) který je velmi podobný rovnicím (101) (lineární harmonický oscilátor). Řešení rovnice (111) je možné upravit do tvaru: θ=θmsin(ωt+ϕ0), (112) kde ω=2π T= √ mgh J (113) je úhlová frekvence, ϕ=ω t+ϕ0 fáze pohybu, ϕ0 počáteční fáze, J moment setrvačnosti tělesa a h vzdálenost těžiště tělesa od rotační osy. Perioda kmitání fyzického kyvadla je T=2π √ J mgh . (114) Matematické kyvadlo je abstraktní objekt, tvořený hmotným bodem o hmotnosti m a pevným vláknem délky l zanedbatelné hmotnosti vzhledem k hmotnosti hmotného bodu (obr. 2.47). I pro periodu kmitání matematického kyvadla platí vztah (114), kde 55 J=ml2. Nakonec pro periodu kmitání matematického kyvadla dostaneme vztah: T=2π √ ml2 mgl =2π √ l g, (115) neboť h = l. Obr. 2.47 Pozn.: Redukovaná lR délka je délka matematického kyvadla, které kmitá se stejnou periodou, jako fyzické kyvadlo: 2π √ J mgh =2π √ lR g, takže lR=J mh . (116) 2.5.2 Tlumené kmitání Jestliže nedochází u reálných oscilátorů ke kompenzaci ztrát mechanické energie z vnějšího zdroje, neplatí zákon zachování mechanické energie. Současně klesá amplituda kmitání. Říkáme, že kmity jsou tlumeny. Příčinou je odpor prostředí (vzduchu, kapaliny apod.), vnitřní tření v materiálu tělesa tvořícího pružnou vazbu (např. pružina). Předpokládejme působení odporu prostředí a že je velikost odporové síly přímo úměrná velikosti rychlosti kmitání v: 56 Fo=rv , kde r je koeficient odporu. [r] = kg·s-1 Vnější silou stlačíme pružinu s tělesem tak, aby byla poloha těžiště tělesa určena souřadnicí A0 aTtěleso bylo v klidu. Přestane-li poté vnější síla působit, těleso bude konat tlumené harmonické kmitání popsané touto pohybovou rovnicí (obr. 2.48): Fp0+FG+Fp+Fo=ma. Ve složkovém zápise dostaneme k|y0|−mg−ky−rvy=may, kde vy je y-ová souřadnice rychlosti, ay je y-ová souřadnice zrychlení a y je souřadnice určující polohu těžiště tělesa. Znaménko souřadnice síly pružnosti Fp je vždy opačné vzhledem ke znaménku souřadnice y, proto má souřadnice síly pružnosti tvar -ky a znaménko souřadnice odporové síly Fo je vždy opačné vzhledem ke znaménku souřadnice rychlosti vy, proto má souřadnice odporové síly tvar -rvy. Obr. 2.48 Našim cílem je popsat pohyb, tzn. určit závislost y na čase. Upravme proto složkový tvar pohybové rovnice: may=−ky−rvy md2y dt2+rdy dt+ky=0 d2y dt2+r m dy dt+k my=0. (117) Získali jsme diferenciální rovnici 2. řádu s konstantními koeficienty, jejíž řešení je možné upravit do tvaru: 57 u. V bodě M je popsáno kmitání, které přinesla vlna ze zdroje Z1, vlnovou funkcí u1=A1sin(ωt−kx1) a kmitání které přinesla vlna ze zdroje Z2 vlnovou funkcí u2=A2sin(ωt−kx2). Obr. 2.53 Zdroj: [1] 64 Obr. 2.54 Výsledné kmitání v bodě M se určí podle principu superpozice jako algebraický (u polarizovaných vln) součet jednotlivých výchylek: u=u1+u2. (129) Očekávejme v bodě M výsledné kmitání ve tvaru u=Asin(ωt−ϕ0). (130) Upravme funkce pro u, u1 a u2 užitím vzorce sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ, vytkněme sinωt , cosωt a výrazy před těmito siny a kosiny porovnejme v upravených vztazích (129) a (130). Dostaneme Asinϕ=A1sin kx1+A2sin kx2 (131) a Acosϕ=A1coskx1+A2coskx2. (132) Rovnice (131) a (132) umocníme na druhou a sečteme; po úpravě dostaneme A= √ A1 2+A2 2+2A1A2cos(kx2−kx1). (133) Jestliže rovnici (131) vydělíme rovnicí (132), získáme novou počáteční fázi ϕ0 tgϕ0=A1sin kx1+A2sin kx2 A1coskx1+A2coskx2 . (134) Pro úhlový vlnočet platí k=2π λ , tudíž pro fázový rozdíl platí Δϕ=kx2−kx1=2π λ(x2−x1). (135) 65 Fázový rozdíl je tedy roven 2π λ - násobku dráhového rozdílu x2 – x1. Podmínka pro maximum amplitudy (viz (133)): cos(kx2−kx1)=1 , odtud | kx2−kx1 | =2lπ,l=0,1,2,... | x2−x1 | =lλ=2lλ 2. (136) Je-li dráhový rozdíl roven celočíselnému násobku vlnové délky, tj. sudému násobku poloviny vlnové délky, dosahuje výsledná amplituda vlnění maximální hodnoty (konstruktivní interference), která je podle vzorce (133) A=A1+A2. (137) Podmínka pro minimum amplitudy (viz (133)): cos(kx2−kx1)=−1 , odtud | kx2−kx1 | =(2l+1)π,l=0,1,2,... 2π λ | x2−x1 | =(2l+1)π | x2−x1 | =(2l+1)λ 2. (138) Je-li dráhový rozdíl roven lichému násobku poloviny vlnové délky, dosahuje výsledná amplituda vlnění minimální hodnoty (destruktivní interference), která je podle vzorce (133) A= | A1−A2 | . (139) 2.6.4 Stojaté vlnění Stojaté vlnění je zvláštním případem vlnění, které vzniká interferencí dvou lineárně polarizovaných vlnění o stejné amplitudě a frekvenci postupujících proti sobě (obr. 2.55). K nalezení výsledné vlny lze použít princip superpozice. Za uvedených podmínek lze psát vlnové funkce obou vlnění ve tvarech u1=Asin(ωt−kx) (140) a u2=Asin(ωt+kx). (141) Vlnová funkce stojatého vlnění je určena principem superpozice (obr. 2.55), tedy 66 u=u1+u2=A(sin(ωt−kx)+sin(ωt+kx))=2Acoskx sinωt . (142) Při úpravě byla použita identita sinα+sinβ=2sin α+β 2cos α−β 2. Výsledné vlnění má tedy stejnou frekvenci jako obě interferující vlnění, je harmonické a má amplitudu Ast=2Acoskx=2Acos2π x λ, (143) jejíž hodnota závisí za daných podmínek pouze na souřadnici x. Amplituda je maximální v místech, kterým říkáme kmitny. Funkce kosinus má maximální hodnotu 1, proto Amax=2A a z podmínky | cos2π x λ | =1 vyplývá pro souřadnice kmiten vztah 2πx λ=±kπ x=±kλ 2, k=0,1,2,... Snadno lze dokázat, že vzdálenost dvou sousedních kmiten je rovna polovině vlnové délky. Body, v nichž je amplituda stále nulová, nazýváme uzly. V nich musí být splněna podmínka cos2πx λ=0, ze které vyplývá, že 2πx λ=±(2k+1)π 2 x=±(2k+1)λ 4, k=0,1,2,... Vzdálenost dvou sousedních uzlů je opět λ 2. 67 Obr. 2.55 Zdroj: [1] 2.6.5 Šíření vlnění v prostoru Nechť se vlnění šíří v izotropním prostředí, které má ve všech směrech stejné fyzikální vlastnosti, tedy i velikost fázové rychlosti v. Z bodového zdroje se rozšíří vlnění za dobu t do vzdálenosti vt ve všech směrech. Body, do kterých vlnění dospělo za dobu t, tvoří plochu, která se nazývá vlnoplocha. V případě bodového zdroje vlnění v izotropním prostředí je vlnoplochou kulová plocha. Vlnoplochu lze rovněž definovat jako množinu bodů, které kmitají se stejnou fází. Křivka, která udává směr šíření vlnění, se nazývá paprsek. V prostředí izotropním jsou paprsky rovnoběžné s normálou vlnoplochy v daném bodě. Jestliže zkoumáme tvar vlnoplochy ve velké vzdálenosti od zdroje vlnění, je možné vlnoplochy v určité části prostoru považovat za rovinné. Huygensův princip: Všechny body vlnoplochy, do nichž dospělo vlnění v určitém okamžiku, se stávají bodovými zdroji elementárního vlnění, z nichž se šíří vlnění v tzv. elementárních vlnoplochách. Obalová plocha těchto elementárních vlnoploch je pak výslednou vlnoplochou (obr. 2.56). Obr. 2.56 Zdroj: [5] Nechť na rovinné rozhraní dvou prostředí 1 a 2 dopadá rovinná vlna. Pomocí Huygensova principu lze vysvětlit: 68 1. Zákon odrazu: Úhel odrazu se rovná úhlu dopadu (obr. 2.57). Obr. 2.57 2. Snellův zákon lomu: sinα1 sinα2 =v1 v2 Obr. 2.58 Je-li v1 < v2, hovoříme o lomu od kolmice, v opačném případě o lomu ke kolmici (obr. 2.58). Úhly α1 a α2 se nazývají úhel dopadu a úhel lomu. Dosahuje-li úhel lomu hodnotu 90°, pak příslušný úhel dopadu nazýváme úhlem mezným aTznačíme αm. Podle Snellova zákona platí: sinαm=v1 v2 . 69 Pro úhly α1 > αm nastává úplný (totální) odraz, kdy se vlnění nedostane do prostředí 2. 2.6.6 Dopplerův jev Pravděpodobně jste si všimli, že výška tónu policejní houkačky, která je dána frekvencí, roste, pokud se policejní vůz k vám blíží a naopak klesá, pokud se vzdaluje. Jedná se o příklad změny frekvence určené charakterem a) relativního pohybu zdroje vlnění a detektoru vlnění (např. lidské ucho) a pohybu zdroje vlnění v určitém prostředí. Tento jev byl poprvé popsán v roce 1842 rakouským fyzikem Christianem Dopplerem a je po něm pojmenován. Experimentálně byl potvrzen roku 1845. Buys Ballot v Holandsku použil lokomotivu, která táhla otevřený vagón sTněkolika trumpetisty. Dopplerův jev se projevuje nejen u zvukových vln, ale také u elektromagnetických vln včetně mikrovln, rádiových vln a viditelného světla. Používá se například k měření rychlosti automobilu policií: radarová jednotka vysílá svazek mikrovln jisté frekvence směrem k například přijíždějícímu automobilu. Mikrovlny nejprve dopadnou na jeho kovový povrch s větší frekvencí, než se kterou vysílá radarová jednotka (automobil jako "detektor" vlnění). Poté se odrazí od povrchu automobilu, který se tentokrát chová jako zdroj vlnění pohybující se vzhledem k radaru a vysílající vlnění se stejnou frekvence, s jakou dopadlo vlnění na automobil. Pokud se vůz nepohybuje přímo k radarové jednotce nebo přímo od ní, není naměřená rychlost přesná – naměřená rychlost je menší, než skutečná. Detektor v pohybu, zdroj v klidu (obr. 2.59) Obr. 2.59 Zdroj: [5] Posluchač se pohybuje rychlostí vL vzhledem ke stacionárnímu zdroji S. Zdroj emituje zvukové vlnění s frekvencí fS a vlnovou délkou λ=v/fS. Na obrázku jsou znázorněny vlnoplochy3, jejichž vzdálenost je λ a které se pohybují vzhledem k posluchači rychlostí v+vL. Frekvence, s jakou vlnoplochy přicházejí k posluchači, což je současně frekvence vnímaná posluchačem, je 3 Časová diference vzniku těchto vlnoploch je rovna periodě vlnění. 70 fL=v+vL λ=v+vL v/fS =(1+vL v)fS. (144) Pozn.: Jestliže by se posluchač vzdaloval od zdroje vlnění, vzájemná rychlost by měla velikost v−vL a frekvence vnímaná posluchačem by byla tentokrát nižší, než frekvence f zvuku vysílaného zdrojem: fL=v−vL λ=v−vL v/fS =(1−vL v)fS. (145) Zdroj a detektor v pohybu (obr. 2.60) Obr. 2.60 Zdroj: [5] Nechť se pohybuje také zdroj vlnění rychlostí vS. Rychlost šíření vlnění v daném prostředí v (zde vzduch) není ovlivněna pohybem zdroje ale je určena vlastnostmi prostředí. Ale vlnová délka není rovna podílu v/fS. Během jedné periody urazí vlna vzdálenost vT =v fS a zdroj vlnění vzdálenost vST=vS fS . Současně je vlnová délka vzdáleností mezi vlnoplochami, kterým přísluší stejná fáze a je určena relativním pohybem zdroje vlnění a samotného vlnění. Z obrázku je patrné, že se vlnová délka liší před a za zdrojem. Vpravo od zdroje platí pro vlnovou délku tento vztah: λfront=v fS −vS fS =v−vS fS . (146) Vlevo od zdroje platí: λbehind=v+vS fS . (147) Pro vyjádření frekvence, kterou vnímá posluchač za zdrojem (vlevo od zdroje), dosadíme (147) do prvního vzorce v (144): 71 fL=v+vL λbehind =v+vL (v+vS)/ fS fL=v+vL v+vS fS. (148) Pozn.: Nechť je posluchač v klidu a zdroj se pohybuje směrem k posluchači. Pak vS < 0 a podle (148) platí fL=[v/(v+vS)]fS. Posluchač tedy slyší zvuk o vyšší frekvenci. 72 3 TERMODYNAMIKA Úvod Termodynamika se zabývá přenosem energie prostřednictvím tepelné výměny, mechanické práce, dalšími aspekty pojmu energie a tím, jak se přenos energie projevuje na vlastnostech hmoty. Axiomatickou bází termodynamiky jsou termodynamické zákony (spolu s dalšími postuláty termodynamiky). Představují experimentálně ověřené tvrzení. Předmětem zájmu může být například motor v automobilu, v němž vzniká tepelná energie chemickou reakcí kyslíku a par paliva ve válcích motoru. Vzniklý plyn působí na písty ve válcích tlakovou silou a koná tak mechanickou práci, která se využije k pohonu automobilu. Popsaný jev je příkladem termodynamického děje. 3.1 Teplota Základní veličinou termodynamiky je teplota. Mnoho měřitelných vlastností hmoty závisí na teplotě - např. délka kovové tyče, tlak páry v bojleru, schopnost vodiče vést elektrický proud, barva velmi horkého tělesa. Náš "smysl pro teplotu" není vždycky věrohodný. Například za studeného zimního dne se nám zdá kovové zábradlí studenější než dřevěné, neboť kovové odvádí energii zTprstu rychleji než dřevěné. Teplota souvisí s kinetickou energií molekul látky, ale tato souvislost je velmi komplikovaná, snad sTvýjimkou ideálního plynu. Teplotu však budeme nyní definovat, aniž bychom diskutovali pohyb molekul. Jedná se o makroskopickou definici teploty. Kteroukoli z měřitelných vlastností předmětů, která závisí na teplotě (na "horkosti" či "studenosti"), můžeme použít jako základ přístroje, jenž nám pomůže zavést pojem teploty. Příklady dvou přístrojů, které se používají k měření teploty (teploměry), jsou zobrazeny na obr. 3.1 a 3.2. Obr. 3.1 Zdroj: [5] Obr. 3.2 Zdroj: [5] 73 Molární hmotnost je definována podílem hmotnosti soustavy a jejího látkového množství: M=m n (156) [M] = kg·mol-1 Relativní atomová hmotnost je podílem hmotnosti atomu a atomové hmotnostní jednotky: Ar=ma u. (157) u=1,66⋅10−27 kg u je rovna jedné dvanáctině klidové hmotnosti atomu uhlíku 12C. Relativní molekulová hmotnost je rovna součtu relativních atomových hmotností atomů tvořících molekulu, současně platí: Mr=mm u, (158) kde mm je hmotnost molekuly. Odvoďme vztah mezi relativní molekulovou a molární hmotností: m=Nmm,n=N NA Mm=m n=Nmm N/NA =NAmm=NAuMr=10−3 ⋅Mr[kg⋅mol−1] Zabývejme se dále ideálním plynem. Plyn se nazývá ideálním, jsou-li splněny následující podmínky: •molekuly se srážejí jako dokonale pružné koule •objem samotných molekul je zanedbatelný ve srovnání s celkovým objemem plynu •molekuly na sebe nepůsobí přitažlivými ani odpudivými silami; silově spolu interagují pouze v okamžiku srážky Přestože se v přírodě nesetkáme s opravdovým ideálním plynem, všechny reálné plyny se k němu blíží při nízkých hustotách, což odpovídá větším vzdálenostem mezi molekulami. Studium ideálního plynu nám tak umožňuje snáze nahlédnout do chování skutečných plynů v tomto limitním případě. Za ideální plyn lze považovat vodík a helium za normálních podmínek. Bylo experimentálně zjištěno, že když umístíme do nádob stejného objemu různé plyny stejného látkového množství a stejné teploty, naměříme v nádobách prakticky stejné tlaky. Jestliže tento experiment provedeme při snížené hustotě, pak rozdíl v tlacích je ještě menší. Také jiné experimenty potvrzují, že se reálné plyny při nízkých hustotách chovají podle vztahu pV=nRT , (159) 80 který se nazývá stavová rovnice ideálního plynu. R je plynová konstanta, která má pro všechny plyny, které se řídí stavovou rovnicí ideálního plynu, stejnou hodnotu 8,31 J·mol-1·K-1. Práce plynu Obr. 3.7 Plyn působí na kolmo na píst silou o velikosti F. VTdůsledku silového působení dojde kTpřemístění pístu o ds (obr. 3.7). Síla přitom vykonala elementární práci dW=Fds=pS ds=pdV . (160) Celková práce vykonaná při změně objemu z V1 na V2 je: W=∫ V1 V2 pdV. (161) Práci plynu lze názorně vyjádřit tzv. pracovním diagramem (p-V diagram; obr. 3.8). Obr. 3.8 p-V diagram Práce je číselně rovna obsahu plochy pod příslušným úsekem křivky závislosti p=f(V) v p-V diagramu. ZTpracovního diagramu je zřejmé, že práce je kromě závislosti na počátečním aTkonečném stavu soustavy závislá také na cestě, po níž změna stavu soustavy probíhá. Proto se nejedná o stavovou veličinu. 81 Základní rovnice kinetické teorie plynů Diskutujme interakce molekul plynu se stěnami nádoby tvaru krychle (délka strany l) obsahující ideální plyn. Nechť na stěnu narazí molekula ideálního plynu o hmotnosti m. Poněvadž se jedná oTpružný ráz, nemění se velikost rychlosti molekuly, pouze její směr. Podle obr. 3.9 je zřejmé, že stěna udělí molekule impulz o velikosti: I=FΔt=2mvx, kde F je velikost střední síly, kterou vybraná stěna působí na molekulu. Všimněte si, že se při nárazu nemění y-ová složka rychlosti molekuly (obr. 3.9). Doba mezi dvěma po sobě následujícími nárazy molekuly na danou stěnu je (mezitím může narazit na kteroukoliv jinou stěnu, avšak x-ová složka rychlosti přesto nemění svou velikost): Δt=2l vx , takže Obr. 3.9 F2l vx =2mvx F=mvx 2 l. Molekuly 1,...,N plynu mají ve směru osy x různé rychlosti v1x, v2x, ... , vNx. Poněvadž jsme předpokládali stejnorodé prostředí, jsou hmotnosti všech molekul stejné. Celková střední síla, kterou působí všechny molekuly na pravou stěnu, má velikost F=mv1x 2 l+mv2x 2 l+...+mvNx 2 l, tedy F=m l∑ i=1 N vix 2=mN l ∑ i=1 N vix 2 N=mN lvx 2=mN l v2 3=mN 3l vk 2. 82 Při úpravě vzorce byla využita následující úvaha: Pro každou molekulu platí, že v2=vx 2+vy 2+vz 2. Protože je v krychli mnoho molekul a všechny se pohybují náhodnými směry, jsou střední hodnoty kvadrátů jednotlivých složek rychlostí stejné a mají hodnotu vx 2=vy 2=vz 2=1 3v2. vk je střední kvadratická rychlost. Podle principu molekulárního chaosu působí stejně velká síla na kteroukoliv stěnu krychle a tudíž platí pro tlak působící na stěnu: p=F l2=N 3l3mvk 2=N 3V mvk 2. (162) Pomocí střední kvadratické rychlosti vyjádříme střední kinetickou energii jedné molekuly plynu Ek=1 2mvk 2 přepišme vzorec (162) pro tlak do konečného tvaru p=2 3 N VEk, (163) který je základní rovnicí kinetické teorie plynů. Ze stavové rovnice ideálního plynu vyjádřeme teplotu a dosaďme tlak z rovnice (163): T=pV nR =2 3 N VEk V nR =2 3 N VEk VNA NR =2 3 NA REk=2 3 1 kEk. (164) Pro ideální plyn platí, že teplota je přímo úměrná střední kinetické energii molekuly ideálního plynu. k je Boltzmannova konstanta: k=R NA =1,38⋅10−23 J⋅K−1 Pro střední kinetickou energii molekuly tedy platí Ek=3 2kT. (165) Vnitřní energie ideálního plynu U ideálního plynu je vnitřní energie U dána součtem kinetických energií jednotlivých molekul plynu. Podle vzorce (165) platí: U=N Ek=N3 2kT =N3 2 R NA T=3 2nRT. (166) Vztah (166) však podle experimentů vyhovuje pouze jednoatomovým plynům. U víceatomových 83 nelze zanedbat příspěvek rotačního pohybu molekul ke kinetické energii. Pozn.: Počet stupňů volnosti molekuly je počet nezávislých parametrů, které určují energii molekuly. Energie posuvného pohybu molekuly je určena třemi parametry vx,vy,vz, energie rotačního pohybu dalšími třemi parametry ωx, ωy, ωz. Jednoatomové molekule přiřazujeme tři stupně volnosti, dvouatomové pět stupňů volnosti a tři a víceatomové molekule šest stupňů volnosti. Podle ekvipartičního teorému je energie molekuly rozdělena na všechny stupně volnosti rovnoměrně, proto je vnitřní energie ideálního plynu určena vztahem U=i 2nRT , (167) kde i je počet stupňů volnosti molekuly. 3.8 Aplikace prvního zákona termodynamiky na děje v ideálních plynech Izochorický děj (V = konst., n = konst.) W = 0, neboť W=∫pdV Podle prvního zákona termodynamiky je proto Q=ΔU resp. dQ=dU. Zaveďme molární tepelnou kapacitu při stálém objemu CV= [ dQ ndT ] V=konst. (168) Podle prvního zákona termodynamiky dQ=dU a vztahu (167) je CV= [ dQ ndT ] V=konst. = [ dU ndT ] V=konst. =iR 2. (169) Takže dQ=dU=CVndT=iR 2ndT a po integraci Q=∫ T1 T2 CVndT=CVn(T2−T1)=iR 2n(T2−T1). (170) Pozn.: Měrná tepelná kapacita při stálém objemu je definována takto: cV= [ dQ mdT ] V=konst. Graf vyjadřující tlak plynu stálé hmotnosti jako funkci jeho termodynamické teploty nebo jeho objemu při izochorickém ději se nazývá izochora (obr. 3.10). 84 Obr. 3.10 Izotermický děj (T = konst., n = konst.) Víme, že dQ=dU+dW=nCVdT+pdV a současně dT=0 , proto dQ=dW=pdV W=∫ V1 V2 pdV pV =nRT p=nRT V. Opět integrací dostaneme vztah pro práci při izotermickém ději: W=nRT ∫ V1 V2dV V=nRT ln V2 V1 . (171) Izoterma je křivka, která vyjadřuje závislost tlaku na objemu při konstantní teplotě (obr. 3.11). Obr. 3.11 Izobarický děj (p = konst., n = konst.) Platí první věta termodynamiky (diferenciální tvar): dQ=dU+dW=nCVdT+pdV. 85 Diferencujme stavovou rovnici pV=nRT : pdV+Vdp=nRdT pdV=nRdT . Poslední výraz dosaďme do první věty termodynamiky: dQ=nCVdT+nRdT=n(CV+R)dT=nC pdT , po integraci dostaneme Q=∫ T1 T2 n(CV+R)dT=n(CV+R)(T2−T1)=nC p(T2−T1), (172) kde Cp je molární tepelná kapacita při stálém tlaku. Platí tzv. Mayerův vztah: Cp=CV+R. (173) Vzorec pro práci při ději izobarickém dostaneme snadno integrací vztahu dW=nRdT: W=∫ T1 T2 nRdT=nR(T2−T1). (174) Adiabatický děj (Q = 0, n = konst.) Jedná se o takový děj, při němž se nevyměňuje žádné teplo mezi soustavou a okolím. Buď je soustava velmi dobře izolovaná nebo děj probíhá tak rychle, že výměna nestačí proběhnout. Pro děj adiabatický je první věta termodynamiky v diferenciálním tvaru: dU=−dW. (175) Soustava tedy koná práci na úkor své vnitřní energie. Do vztahu (175) dosaďme vzorce (160), (169), tlak přepišme do tvaru zlomku nRT V a dále upravujme: nCVdT+nRT VdV=0/1 T nCV TdT+nR VdV=0. Nyní rovnici integrujme 86 nCVlnT+nR lnV=A/1 n CVlnT+RlnV=A n=ln K . V posledním vztahu jsme přeznačili integrační konstantu A n na ln K . Pokračujme v úpravách: ln TCV+ln VR=ln K lnTCVVR=ln K K=TCVVR. Umocníme na 1 CV , integrační konstantu opět přeznačíme a dostaneme: K1=TV R CV. Nyní se zbavíme konstanty R. Použijme Mayerův vztah: R=Cp−CV R CV =Cp CV −1 R CV =κ−1, kde κ je Poissonova konstanta, pro kterou tedy platí κ=Cp CV (176) Poissonova konstanta je vždy větší než 1. Vraťme se k odvozování: K1=TV κ−1 Současně platí stavová rovnice ideálního plynu pV = nRT, ze které vyjádříme termodynamickou teplotu T=pV nR a dosaďme ji do vztahu pro K1: K1=pV nR Vκ−1=pVκ nR . Platí tedy Poissonova rovnice pV κ=K1nR=konst. (177) 87 Práci plynu při adiabatickém ději odvodíme takto: dW=−dU=−nCVdT W=−∫ U1 U2 dU=nCV(T1−T2). Při izotermickém ději je zajištěna dokonalá výměna tepla mezi uvažovanou soustavou a jejím okolím (tzv. diatermální izolace). Naopak, adiabatický děj předpokládá dokonalou tepelnou izolaci (tzv. adiabatická izolace). Již bylo zmíněno výše, že adiabatickým dějem je rovněž velmi rychle probíhající děj. Ve skutečnosti jsou obě izolace těžko dosažitelné. Z tohoto hlediska popisujeme reálný děj v ideálním plynu (děj polytropický) rovnicí pVn=konst. (178) Jestliže platí: • n = 0, je p = konst. a jedná se o izobarický děj, • n = 1, je pV = konst. a jedná se o izotermický děj, • n = κ, je p = konst. a jedná se o adiabatický děj, • n ® ¥, je pV¥ = konst. a jedná se o izochorický děj Srovnání p-V diagramů izotermického a adiabatického děje (obr. 3.12): Obr. 3.12 3.9 Kruhové děje Kruhový děj (KD) je taková posloupnost stavů soustavy (např. u tepelných strojů pracovní látky jako je voda, pára, palivová směs), po jejichž proběhnutí je konečný stav soustavy shodný s počátečním. Průběh KD se obvykle znázorňuje v p-V diagramu. V jednom cyklu KD je celková změna vnitřní energie soustavy nulová: ∮dU=0. (179) Podle prvního zákona termodynamiky 88 dQ=dU+dW ∮dQ=∮dW (180) Tudíž kruhový děj umožňuje trvalou přeměnu tepla v mechanickou práci. Předpokládejme, že KD probíhá po křivce MANBM (obr. 3.13). Během expanze soustavy po křivce MAN vykoná soustava kladnou práci W1, která je číselně rovna obsahu plochy MANDC. Během komprese je práce W2 < 0 a její absolutní hodnota je číselně rovna obsahu obrazce MBNDC. Protože expanze proběhla při vyšších tlacích ve srovnání s tlaky během komprese, je ∣ W1 ∣ > ∣ W2 ∣ . Tedy celková práce W=W1+W2 je kladná a je konána na úkor soustavě dodaného tepla Q = Q1 + Q2 > 0. Bude-li cyklus obrácený, pak W < 0 a Q < 0. V průběhu jednoho cyklu je soustavě odvedeno teplo Q. V obou případech dochází k tomu, že soustava přijímá teplo od ohřívače a odevzdává teplo chladiči. Budiž Q1 teplo soustavě dodané ohřívačem a Q2 teplo soustavou odevzdané chladiči. V tepelném stroji probíhá s pracovní látkou (např. voda, pára, palivová směs) kruhový děj za účelem trvalého konání práce tepelným strojem nebo trvalého odebírání tepla z chladícího prostoru. K tepelným strojům patří například: spalovací a parní turbíny, parní stroje, pístové spalovací motory, chladicí stroje (Q < 0), tepelná čerpadla. Obr. 3.13 Diskutujme tepelný motor, tedy stroj, jehož "užitečným výstupem" je mechanická práce, kterou koná soustava na okolí. Účinnost tepelného motoru je podílem užitku a investice ve formě energie: η=W Q1 (181) Podle vztahu (180) platí W=Q1+Q2. (182) Účinnost tepelného motoru lze tedy napsat ve tvaru: η=Q1+Q2 Q1 (183) 89 délka klesá. Při povrchové teplotě 800°C – nejpravděpodobnější vlnová délka v červeném konci viditelného světla. Dosáhne-li teplota 3000°C, těleso je doběla rozpálené. Na obr. 3.20 je termogram snímaný infračervenou kamerou, který je výsledkem měření zářivého toku infračerveného záření a slouží k odhadu teplotního pole (obr. 3.20). Obr. 3.20 Zdroj: [5] Těleso černé a drsné září více než těleso bílé a lesklé. Tepelný tok Hr z vyzařujícího předmětu se nazývá zářivý tok a je dán StefanovýmBoltzmannovým zákonem Hr=σεS T4, (198) kde σ=5,6703⋅10−8W⋅m−2 ⋅K−4 se nazývá Stefanova-Boltzmannova konstanta, ε emisivita povrchu předmětu (nabývá hodnot mezi 0 a 1 podle složení a jakosti povrchu). Předmět s největší emisivitou rovnou 1 nazýváme černý zářič neboli černé těleso. Emisivita je často větší pro tmavé povrchy než pro povrchy světlé. Emisivita hladkého měděného povrchu je přibližně 0,3, kdežto emisivita matného černého povrchu se může blížit 1. Zářivý tok absorbovaný z okolí tělesa o teplotě T0 je Ha=σεST0 4. (199) Předmět teploty T vyzařuje energii do svého okolí a současně energii z okolí přijímá. Neuvažujemeli přínos záření odraženého, bude celkový tepelný tok roven Hcelk=Ha−Hr=σε S(T0 4−T4). (200) Je-li těleso v tepelné rovnováze se svým okolím, bude T0 = T a celkový tepelný tok bude roven nule. 3.11 Druhý zákon termodynamiky Teplo samovolně nepřechází z tělesa studenějšího na těleso s vyšší teplotou, přestože tento děj není v rozporu s prvním zákonem termodynamiky. Voňavka se nedostane zpět do lahve, ze které se vypařila. Ačkoli lze beze zbytku přeměnit mechanickou energii v tepelnou energii, existuje mnoho zařízení, které transformují tepelnou energii jen částečně na mechanickou energii, beze zbytku to 96 není možné. Termodynamické děje, které probíhají v přírodě, jsou vždy nevratné. Druhý termodynamický zákon definuje směr, kterým mohou tyto děje probíhat. Přesto budeme diskutovat idealizované vratné děje, Jestliže takový děj se soustavou probíhá, nachází se tato soustava velmi blízko ve stavu termodynamické rovnováhy vůči sobě a vzhledem ke svému okolí (viz obr. 3.21). Obr. 3.21 Kelvinova-Planckova formulace druhého zákona termodynamiky Termodynamická soustava nemůže během termodynamického děje přijmout teplo z rezervoáru určité teploty, transformovat jej beze zbytku na mechanickou práci a dostat se po skončení tohoto děje do stavu, ve kterém děj začal. Ostwaldova formulace druhého zákona termodynamiky Není možno sestrojit perpetuum mobile 2. druhu. Například, jestliže sjíždí z nakloněné roviny těleso, uspořádaný pohyb tělesa se "transformuje" na náhodný, neuspořádaný pohyb molekul v tělesa a v látce nakloněné roviny. Protože nejsme schopni kontrolovat či řídit tento neuspořádaný pohyb, nemůžeme jej konvertovat v pohyb uspořádaný. Kdyby neplatil druhý zákon termodynamiky, automobil by se mohl rozjet ochlazováním okolního vzduchu. Clausiova formulace druhého zákona termodynamiky Teplo nemůže samovolně přecházet ze studenějšího tělesa na teplejší. Entropie Nevratný přenos tepla zvyšuje neuspořádanost, protože molekuly jsou zpočátku rozděleny do teplejších a studenějších oblastí; toto uspořádání se narušuje přechodem do stavu termodynamické rovnováhy. Jestliže těleso přijímá teplo, v tělese roste neuspořádanost, protože se zvětšuje střední rychlost pohybu molekul a tím nahodilost jejich pohybu. Expanze plynu z lahvičky zvyšuje jeho 97 neuspořádanost, protože molekulám přísluší větší nahodilost poloh, ve kterých se mohou vyskytovat. Entropie je mírou neuspořádanosti. Použijme pro vysvětlení veličiny entropie infinitezimální izotermickou expanzi ideálního plynu. Podle prvního zákona termodynamiky se přijaté teplo u izotermického děje rovná vykonané práci, takže platí: dQ=dW=pdV=nRT VdV dV V=dQ nRT . Je zřejmé, že podíl dV V je mírou přírůstku neuspořádanosti a je přímo úměrný veličině dQ T , která je infinitezimálním přírůstkem entropie při infinitezimálním vratném ději: dS=dQ T. (201) Přijme-li soustava teplo Q během vratného izotermického děje při teplotě T, změna entropie je dána vztahem ΔS=S2−S1=Q T. (202) 3.12 Entropie a třetí zákon termodynamiky a) Vratné kruhové děje Uvažujme Carnotův děj (η – účinnost Carnotova cyklu): η=Q1+Q2 Q1 =T1−T2 T1 Q2 T2 +Q1 T1 =0 Podíl Q T se nazývá redukovaným teplem. Tedy při Carnotově cyklu se součet redukovaných tepel rovná nule. Tento závěr můžeme zobecnit pro jakýkoliv vratný kruhový děj. Každý vratný kruhový děj se dá aproximovat souborem „úzkých“ elementárních Carnotových cyklů (obr. 3.22). 98 Obr. 3.22 Zdroj: [5] Při jakémkoli vratném kruhovém ději je tedy splněna rovnice ∮dQ T=0. (203) Obr. 3.23 Nyní uvažujme vratný kruhový děj podle obr. 3.23. Platí ∮dQ T=∫ A(C1) BdQ T+∫ B(C2) AdQ T=0 ∫ A(C1) BdQ T=− ∫ B(C2) AdQ T=∫ A(C2) BdQ T. To znamená, že veličina ΔS=∫ A BdQ T (204) nezávisí na integrační cestě a uvedený integrál definuje celkovou změnu entropie. Její diferenciál je dS=dQ T. (205) Entropie je proto stavová veličina. 99 b) Obecné kruhové děje (vratné či nevratné) Pro obecný kruhový děj platí Clausiova rovnice ∮dQ T≤0, (206) kterou můžeme považovat za matematickou formulaci druhého zákona termodynamiky. Statistická definice entropie S=klnW (207) k je Boltzmannova konstanta (1,381·10-23 J·K-1), W termodynamická váha, tj. počet způsobů, kolika lze uskutečnit za daných podmínek daný rovnovážný stav (z hlediska makroskopického stejný), ale s různým vnitřním uspořádáním částic (obr. 3.24). Pozn. k interpretaci veličiny W: Pro každou soustavu platí, že nejpravděpodobnější makroskopický stav (makrostav) je ten, který má největší počet mikrostavů. Takový makrostav má největší míru neuspořádanosti a tedy největší entropii. Obr. 3.24 Zdroj: [1] Všechny mikrostavy v daném makrostavu mohou nastat se stejnou pravděpodobností (základní postulát statistické mechaniky). 100 Obr. 3.25 Zdroj: [5] Existuje takový stav soustavy, který má minimální energii, a je jediný (všechny molekuly jsou v naprostém klidu) – tedy W = 1, což znamená, že ln W = 0 a tedy i S = 0. Na výpočet entropie je nutno znát alespoň hodnotu pro jeden stav. Taková hodnota vyplývá ze třetího zákona termodynamiky: Při absolutní nule je i entropie systému nulová: je-li T = 0, je i S = 0. Další formulace třetího zákona termodynamiky: Nulu absolutní teploty nelze dosáhnout konečným počtem procesů. Popišme dva příklady dějů se změnou entropie: 1. Když kotě nebo jiné rostoucí zvíře žere, odebírá z jídla chemickou energii a používá ji k vytvoření nových buněk, což znamená, že roste uspořádanost hmoty v jejím těle. Tento proces sice snižuje entropii ale většina energie z potravy je buď vylučována trusem zvířete nebo slouží k výrobě tepla, což jsou naopak procesy, které vedou k nárůstu entropie, většímu, než je její pokles. Celková entropie zvířete a potravy se zvyšuje (obr. 3.25). 2. Mějme na začátku ve sklenici vodu a v tubě červenou barvu v kapalném stavu (obr. 3.26). Entropie je relativně nízká (vysoká míra uspořádání), protože sledujeme obě kapaliny od sebe oddělené. Po smíchání se barva rozptýlí ve vodě a řád se naruší. Stav systému voda a barva je více neuspořádaný: entropie se zvětší. Spontánní proces, při kterém by došlo k oddělené barvy a vody od sebe (pokles entropie) nebyl nikdy pozorován. 101 Obr. 3.26 Zdroj: [5] 102 Použitá literatura [1] Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2013). Fyzika. Brno: VUTIUM. [2] Hlavička, A., Bělař, A., Krmešský, J., & Špelda, A. (1971). Fyzika pro pedagogické fakulty. Praha: SPN. [3] Kvasnica, J., Havránek, A., Lukáč, P., & Sprušil, B. (2004). Mechanika. Praha: Academia. [4] Maršák, Z. (2000). Termodynamika a statistická fyzika. [Vysokoškolské skriptum]. Praha: ČVUT. [5] Young, H. D., Freedman, R. A., & Lewis Ford, A. (2012). University Physics with Modern Physics (13th Edition). San Francisco: Addison-Wesley. [6] Brdička, M. & Hladík, A. (1987). Teoretická mechanika. Praha: Academia. [7] https://www.jnfl.co.jp/en/business/uran/ 103 Toto dílo je licencováno pod CC BY-SA 4.0 104 Transformace formy a obsahu vysokoškolského vzdělávání na VŠB-TUO NPO_VŠB-TUO_MSMT16605/2022 17. LISTOPADU 2172/15 708 00 OSTRAVA-PORUBA [email protected] www.vsb.cz