Algebras de Lie Filiformes de Máxima Longitud

E extracta mathematicae Vol. 16, N´um. 3, 405 – 421 (2001) ´ Algebras de Lie Filiformes de M´axima Longitud J.R. G´ omez 1, A. Jim´ enez-Merch´ an 1, J. Reyes 2 1Departamento de Matem´atica Aplicada I, Universidad de Sevilla, Sevilla, Spain 2Departamento de Matem´atica, Universidad de Huelva, Huelva, Spain e-mail: jr[email protected], [email protected], r[email protected] (Research paper presented by Santos Gonz´alez) AMS Subject Class. (2000): 17B70, 17B30 Received April 18, 2001 1. Introducci´ on La determinaci´on de listas completas de ´algebras de Lie es un problema cuya complejidad aumenta a medida que se incrementa la dimensi´on. La clasificaci´on de las ´algebras de Lie nilpotentes es un problema abierto que ha sido tratado por diversos autores. Dixmier [7], Morosov [14], Vergne [16], Ancochea y Goze [1, 2], Echarte y G´omez [8], G´omez, Khakimdjanov y Jim´enezMerch´an [9] han obtenido, para distintos tipos de familias, listas de ´algebras de Lie en dimensiones concretas o incluso en dimensiones arbitrarias. Algunos de los problemas de clasificaci´on de ´algebras de Lie nilpotentes de mayor inter´es consisten en la determinaci´on de aquellas con una propiedad relevante, de modo que a trav´es de su estudio se puedan conocer caracter´ısticas importantes de la familia a la que pertenecen. En este contexto, se puede destacar el estudio de las ´algebras graduadas de la familia ya que, en cierto modo, se puede considerar que poseen la estructura b´asica de las ´algebras de Lie nilpotentes de la correspondiente familia. Por ejemplo, las ´algebras de Lie nilpotentes de dimensi´on nque admiten una base (X0, X1, . . . , Xn−1) con [X0, Xi] = Xi+1 para i= 1,2, . . . , n−2, fueron ya consideradas por Umlauf [15] en su tesis (Leipzig, 1891). Vergne [16] mostr´o el importante papel que tales ´algebras desempe˜nan en el estudio de la variedad de leyes de ´algebras de Lie nilpotentes. Llamadas ahora filiformes, en terminolog´ıa introducida por ella misma, su ´ındice de nilpotencia n−1 es el mayor posible entre las de su dimensi´on. A trav´es de las ´algebras graduadas “naturalmente”de la familia, Vergne obtiene una ´util representaci´on de un ´algebra de Lie filiforme. Considera la graduaci´on asociada a la filtraci´on 405 406 j.r. g´ omez, a. jim´ enez-merch´ an, j. reyes que, de forma natural, produce en un ´algebra la sucesi´on central descendente y obtiene su clasificaci´on probando que, salvo isomorfismos, s´olo hay un ´algebra filiforme as´ı graduada cuando la dimensi´on es impar y dos cuando la dimensi´on es par. ´ Estas, denotadas aqu´ı por LnyQn, son ´algebras graduadas g=g1⊕ · · · ⊕ gn−1que permiten a Vergne distinguir la estructura b´asica de cualquier ´algebra de Lie filiforme. Adem´as, este hecho permite tambi´en a otros autores abordar distintos aspectos de la teor´ıa (v´ease [11]). Esto ha motivado el estudio de este tipo de graduaci´on en ´algebras de Lie con un ´ındice de nilpotencia diferente al de las filiformes; y de nuevo las ´algebras graduadas obtenidas se han manifestado ´utiles en el estudio de algunos problemas cohomol´ogicos planteados sobre la variedad de ´algebras de Lie nilpotentes (ver [5], [10]). En todos estos trabajos, el n´umero de subespacios no nulos de la graduaci´on, gi, lo determina la sucesi´on central descendente de las ´algebras de la familia y resulta clave para la clasificaci´on la elecci´on de una base homog´enea adaptada. En cada caso concreto estudiado (´ındices de nilpotencia n−1, n −2, . . .), la existencia de una tal base proviene directamente de la graduaci´on considerada y su existencia constituye el punto de partida que permite obtener la clasificaci´on. As´ı, la ventaja de la inmediata existencia de una base homog´enea adaptada en una graduaci´on natural de un ´algebra de Lie nilpotente compensa el hecho de que los subespacios gino siempre tienen la menor dimensi´on posible. No obstante, en algunos problemas sobre ´algebras de Lie nilpotentes (obtenci´on del ´algebra de derivaciones, descripci´on de componentes, etc.), resulta evidente que la graduaci´on de un ´algebra resulta tanto m´as ´util cuanto m´as baja sea la dimensi´on de los subespacios que se intervienen, aunque la graduaci´on no sea la asociada a la sucesi´on central descendente (v´ease [4], [12], [13]). As´ı, el inter´es se ha desplazado a las ´algebras de Lie graduadas que admitan una graduaci´on con un mayor n´umero de subespacios que el que proporciona la graduaci´on natural. Y, l´ogicamente, el principal inter´es est´a en las ´algebras graduadas con el mayor n´umero posible de subespacios. Por ejemplo, distintos autores subrayan el importante papel de las ´algebras de Lie filiformes para las que el producto corchete viene dado por ([X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2, [Xi, Xj] = aij Xi+j+1 ,1≤i < j ≤n−2, j ≤n−2−i . Entre ellas se encuentran las ´algebras RnyWn(v´ease [3], [6], [12]). Las ´algebras que cumplen tal condici´on pueden ser consideradas graduadas, con ´ algebras de lie filiformes 407 la graduaci´on g=g1⊕ · · · ⊕ gn, siendo dim gi= 1. Se tiene que Lnpuede ser tambi´en as´ı graduada, pero sin embargo Qnno puede serlo. Ello motiva la consideraci´on de graduaciones con el mayor n´umero de subespacios no nulos posibles (sin intercalar, obviamente, subespacios triviales), que llamaremos su longitud. De este modo, las ´algebras Ln,RnyWnpueden ser caracterizadas como ´algebras filiformes que admiten una graduaci´on de longitud m´axima, igual a su dimensi´on. En este art´ıculo, estudiamos en este sentido las ´algebras de Lie filiformes graduadas y determinamos la clasificaci´on de la familia. La estructura del art´ıculo es la siguiente. Introducimos en la secci´on 2 la notaci´on b´asica y algunos resultados previos sobre ´algebras de Lie filiformes. En la secci´on 3 definimos la longitud de un ´algebra de Lie en t´ermino de las graduaciones conexas que vamos a considerar. La existencia de bases homog´eneas adaptadas para graduaciones de m´axima longitud, en el caso filiforme, nos permite obtener la estructura de la familia. Finalmente, en la ´ultima secci´on, establecemos los teoremas de clasificaci´on para la familia de ´algebras considerada y mostramos la utilidad del uso de C´alculo Simb´olico en la determinaci´on de las ´algebras de la familia. Agradecemos al Profesor Khakimdjanov sus ´utiles sugerencias. 2. Notaci´ on y resultados previos 2.1. Nociones b´ asicas. Un ´algebra de Lie (g, µ) sobre un cuerpo Kes un espacio vectorial gsobre Kcon una aplicaci´on bilineal µ:g×g−→ g, llamada ley del ´algebra de Lie o producto corchete y usualmente denotada µ(X, Y ) = [X, Y ], verificando las propiedades [X, X] = 0 y [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y ]] = 0 para todo X, Y, Z de g. Esta ´ultima condici´on es la identidad de Jacobi y ser´a denotada en adelante por J(X, Y, Z) = 0. La dimensi´on del ´algebra de Lie es la dimensi´on del espacio vectorial g. Las ´algebras de Lie que consideraremos en este art´ıculo ser´an de dimensi´on finita y sobre el cuerpo de los n´umeros complejos. Si denotamos por B2(Cn) el espacio vectorial de las aplicaciones bilineales de Cn×Cnen Cny fijamos una base (X0, X1, . . . , Xn−1) de Cn, podemos determinar un elemento µ∈ B2(Cn) por sus constantes de estructura, es decir, por el conjunto de escalares ck ij, definidos por [Xi, Xj] = Pn−1 k=0 ck ijXk; de este modo, B2(Cn) puede ser dotado con una estructura de espacio af´ın. As´ı, tambi´en un ´algebra de Lie se puede considerar como un elemento de B2(Cn) que se puede identificar con su ley. Entonces, el conjunto Lnde leyes de ´algebras de Lie sobre Cnes una variedad af´ın de B2(Cn) definida por las 408 j.r. g´ omez, a. jim´ enez-merch´ an, j. reyes expresiones polin´omicas: 1. ck ij =−ck ji , 2. Pn−1 l=0 (cl ijcs kl +cl jkcs il +cl kics jl) = 0 . La sucesi´on central descendente de un ´algebra de Lie gest´a definida por C0g=g,Cig= [g, Ci−1g], i≥1. Si Ckg={0}, para alg´un k, el ´algebra de Lie se dice nilpotente. El menor ktal Ckg={0}es llamado ´ındice de nilpotencia de g. En [16], Vergne introduce la notaci´on para las ´algebras de Lie que vamos a considerar en este trabajo. Definici´ on 2.1. Un ´algebra de Lie nilpotente g, de dimensi´on n, se dice filiforme si dim Cig=n−i−1, para 1 ≤i≤n−1. As´ı, un ´algebra de Lie filiforme tiene ´ındice de nilpotencia maximal k= n−1, por lo que ´estas son las ´algebras “menos” nilpotentes de entre las de su dimensi´on. Un endomorfismo dde ges una derivaci´on de gsi verifica [d(X), Y ] + [X, d(Y)] −d([X, Y ]) = 0 para todo X, Y ∈g. El conjunto Der(g) de las derivaciones de g, con el corchete [d1, d2] = d1◦d2−d2◦d1es un ´algebra de Lie sobre K. El conjunto de las derivaciones internas adX, definidas por adX(Y) = [X, Y ] es un ideal de Der(g). Las derivaciones internas de un ´algebra de Lie permiten caracterizar la nilpotencia del ´algebra. En efecto, se tiene que un ´algebra ges nilpotente si y s´olo si adXes nilpotente para cada X∈g(teorema de Engel). 2.2. Graduaciones en ´ algebras de Lie nilpotentes. Un ´algebra de Lie gse dice Z-graduada ograduada si admite una descomposici´on vectorial del tipo g=⊕i∈ Z gi, donde los subespacios giverifican [gi,gj]⊂gi+jpara todo i, j ∈Z. Las graduaciones que se considerar´an aqu´ı son finitas, es decir, con un n´umero finito de subespacios gino nulos. Por ejemplo, si ges un ´algebra de Lie de dimensi´on ny de ´ındice de nilpotencia k, entonces est´a naturalmente filtrada por los ideales {Cig}0≤i≤k de la sucesi´on central descendente, considerando la filtraci´on (Si)i∈ Z , definida con Si+1 =Cig, para 1 ≤i≤k−1, Si+1 =g, si i≤0, y Si+1 ={0}, si i≥k. El ´algebra de Lie graduada asociada a ga trav´es de tal filtraci´on est´a definida por gr g=⊕i∈ Z gi, con gi=Si/Si+1 =Ci−1g/Cig.La graduaci´on as´ı obtenida del ´algebra gr ges finita. Se tiene, entonces, con m´as precisi´on, gr g=g1⊕ · · · ⊕ gk,con [gi,gj]⊂gi+jpara i+j≤k. En general las ´algebras ´ algebras de lie filiformes 409 gr gygno son isomorfas. Vergne [16] estudi´o las ´algebras de Lie filiformes para las que se verifica el isomorfismo y autores de este trabajo han abordado el problema en ´algebras con otro ´ındice de nilpotencia [10]. Denotando por g=hel isomorfismo de gyh, las ´algebras para las que gr g=gson llamadas ahora graduadas naturalmente. Esto es, existe una graduaci´on para el ´algebra gverificando g=g1⊕g2⊕ · · · ⊕ gk,gi=Ci−1g/Cig. En el caso filiforme, Vergne [16] prueba que s´olo hay dos ´algebras graduadas naturalmente, LnyQn, cuando la dimensi´on nes par, y s´olo una, Ln, si nes impar. En una base adaptada (X0, X1, . . . , Xn−1), las ´algebras LnyQnest´an definidas por Ln= [X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2 ; Qn=([X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2, [Xi, Xn−1−i] = (−1)i−1Xn−1,1≤i≤q−1, n = 2q . (Los corchetes no definidos, excepto antisimetr´ıa, se suponen nulos.) La familia de ´algebras de Lie filiformes de leyes determinadas por los corchetes [Xi, Xj] = ai,j Xi+j+1, en una cierta base, es considerada por varios autores (ver [3], [6], [12]) en diferentes contextos. Entre las ´algebras de la familia se encuentran, adem´as de Ln, las ´algebras RnyWndefinidas en la base (X0, . . . , Xn−1) por Rn=([X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2, [X1, Xj] = X2+j,2≤j≤n−3 ; Wn=     [X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2, [Xi, Xj] = 6 (i−1)! (j−1)! (j−i) (i+j)! Xi+j+1 ,1≤i≤¥n−3 2¦, i < j ≤n−2−i . donde bαcdenota la parte entera de α. La importancia de estas ´algebras en el estudio de algunas propiedades cohomol´ogicas sobre la variedad de ´algebras de Lie nilpotentes Nnes puesta de manifiesto por Khakimdjanov en [13]. Prueba que hay 4 o 5 componentes irreducibles para el caso filiforme, determinadas por ´algebras entre las que se encuentran las leyes de Ln,RnyWn. Se puede observar que las ´algebras que verifican [Xi, Xj] = ai,j Xi+j+1 admiten la graduaci´on dada por g=g1⊕. . . ⊕gn, con gi=< Xi−1>. Es 410 j.r. g´ omez, a. jim´ enez-merch´ an, j. reyes decir, un mayor n´umero subespacios que el de la graduaci´on natural y, consecuentemente, la menor dimensi´on posible en ellos (en los no nulos). Adem´as, para tal graduaci´on la base (X0, . . . , Xn−1) es una base homog´enea para las ´algebras Ln,RnyWnanteriormente definidas. Estos hechos nos sugieren el inter´es en abordar el estudio de las ´algebras que admiten una graduaci´on con un n´umero de subespacios determinado (la “longitud”del ´algebra) de modo que no sea posible graduarla con m´as subespacios. En caso filiforme, las ´algebras Ln,RnyWnquedar´an tambi´en caracterizadas, en este nuevo contexto, por tener la m´axima longitud entre las de su dimensi´on. 3. Longitud de un ´ algebra de Lie nilpotente Introduciremos en esta secci´on la notaci´on para el tipo de graduaciones que ser´an consideradas a partir de ahora. 3.1. Graduaciones conexas. Diremos que un ´algebra de Lie nilpotente gadmite una graduaci´on conexa,g=⊕i∈ Z gi, cuando es gi6={0}, para cada n1≤i≤n2, y se tiene gi={0}en otro caso. Al n´umero de subespacios no nulos, l(⊕gi) = n2−n1+ 1, le llamaremos longitud de la graduaci´on. A partir de ahora, las ´algebras se supondr´an con una graduaci´on finita y conexa. La expresi´on g=⊕giquiere decir, entonces, que g=gn1⊕ · · · ⊕ gn2, con cada gi,n1≤i≤n2, no nulo, verific´andose [gi,gj]⊂gi+j. La graduaci´on conexa con el mayor n´umero posible de subespacios que admita un ´algebra de Lie introduce un invariante del ´algebra que pasamos a definir. Definici´ on 3.1. La longitud l(g) de un ´algebra de Lie gse define como el mayor n´umero entero l(⊕gi), siendo g=⊕gi. Es decir, l(g) = max {n2−n1+ 1 : g=gn1⊕ · · · ⊕ gn2es una graduaci´on conexa}. Diremos que el ´algebra ges de m´axima longitud si l(g) = dim g. La longitud de un ´algebra determina, entonces, el mayor n´umero de subespacios posible que se puede conseguir con una graduaci´on conexa del ´algebra. As´ı, cada ´algebra de Lie gtiene al menos longitud 1, porque siempre podemos considerar la graduaci´on trivial g=g0. Por otro lado, la longitud de un ´algebra no puede ser mayor que su dimensi´on, luego para cada ´algebra de Lie nilpotente se tiene que 1 ≤l(g)≤dim g. En el caso de ser gde m´axima longitud, el ´algebra admite una graduaci´on g=⊕gicon subespacios ´ algebras de lie filiformes 411 unidimensionales, con el beneficio que tal graduaci´on comporta, por ejemplo, permitiendo una importante simplificaci´on de c´alculos cohomol´ogicos. Por ejemplo, el ´algebra Lnadmite la graduaci´on g=g1⊕ · · · ⊕ gn, siendo los subespacios gi=< Xi−1>, con 1 ≤i≤n, el subespacio generado por el elemento Xi−1de la base (X0, X1, . . . , Xn−1) en la que est´a definida. Aunque esta graduaci´on conexa de Lnno es la natural (g16=g/C1g), cada subespacio gitiene ahora dimensi´on 1. As´ı, tal graduaci´on de Lntiene el mayor n´umero de subespacios no nulos posible y, por tanto, el ´algebra Lnes de m´axima longitud. Para el ´algebra Qnno podemos obtener otra graduaci´on conexa con un mayor n´umero de subespacios no nulos que el determinado por la graduaci´on natural; en este caso, se tiene l(Qn) = n−1. Tambi´en las ´algebras que verifican [Xi, Xj] = ai,j Xi+j+1, admiten la graduaci´on g=g1⊕ · · · ⊕ gn, siendo gi=< Xi−1>, con 1 ≤i≤n. Ello prueba que l(Rn) = l(Wn) = n. Por tanto, Ln,RnyWnson ´algebras filiformes de m´axima longitud. El resto de este art´ıculo est´a dedicado a estudiar y obtener la clasificaci´on de las ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud. Las ´algebras que se obtienen, entre las que se encuentran Ln,RnyWn, determinan a cada una de las componentes irreducibles descritas por Khakimdjanov en [13]. 3.2. Estructura de las ´ algebras de Lie filiformes de m´ axima longitud. En la clasificaci´on de las ´algebras graduadas naturalmente, Vergne [16] utiliza el hecho de que si ges un ´algebra de Lie filiforme de dimensi´on n, existe una base adaptada (X0, X1, . . . , Xn−1), que verifica: [X0, Xi] = Xi+1 ,1≤i≤n−2, [X0, Xn−1] = 0 . Se puede observar que las bases consideradas en las definiciones de Ln,Rn yWnson bases adaptadas y homog´eneas para la graduaci´on que determina sus longitudes. Veremos a continuaci´on que si ges un ´algebra de Lie filiforme de dimensi´on ny m´axima longitud, siempre es posible encontrar una base adaptada homog´enea para cualquier graduaci´on de longitud l(⊕gi) = dim g. Esto permitir´a obtener la estructura de la familia de ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud en cualquier dimensi´on. Proposici´ on 3.2. Si ges un ´algebra de Lie filiforme de dimensi´on ny m´axima longitud l(g) = nque admite la descomposici´on g=gn1⊕ · · · ⊕ gn1+n−1, entonces existe una base adaptada homog´enea de g. 412 j.r. g´ omez, a. jim´ enez-merch´ an, j. reyes Demostraci´on. Distinguiremos los casos n1≥0, n1<0< n1+n−1, y n1+n−1≤0. 1. Caso n1≥0. Sea (Un1, . . . , Un2) una base de g, tal que gi=< Ui>. Puesto que ges filiforme, se verifica dim C1g=n−2 y dim C2g=n−3. Denotando, de ahora en adelante, cada clase por su representante correspondiente, tenemos que existen tres vectores, Ui, Uj, Uk∈gde manera que se tiene g/C1g=< Ui, Uj>yg/C2g=< Ui, Uj, Uk>. Entonces, tiene que ser [Ui, Uj] = ai,jUk, con ai,j 6= 0, ya que, en otro caso, Ukestar´a generado por vectores (al menos uno) de C1gy se tendr´ıa que Uk∈C2g. Con un cambio de escala, si fuera necesario, podemos suponer ai,j = 1. Como [gi,gj]⊂gi+j, para cualquier i,j, se tiene que [Ui, Uj] = Ui+j, con lo que g/C2g=< Ui, Uj, Ui+j> . Supongamos ahora que [Ui, Usi+j] = U(s+1)i+j, para 0 ≤s≤r−2, verific´andose que g/Crg=< Ui, Uj, Ui+j, . . . , U(r−1)i+j>y sea g/Cr+1g=< Ui, Uj, Ui+j, . . . , U(r−1)i+j, Uk> . Probaremos que Uk=Uri+j. En efecto, no puede ser k= (s+r−1)i+2j, con 1≤s≤r−2, porque la identidad de Jacobi J(Ui, U(s−1)i+2j, U(r−1)i+j) = 0 implica que U(s+r−1)i+2j∈Cr+1gyUk∈g/Cr+1g. Adem´as, no puede ser k= (r−1)i+2jporque se tendr´ıa [Uj, U(r−1)i+j] = αUk, con α6= 0; entonces, las relaciones de Jacobi J(Ui, Uti+j, U(r−1−t)i+j) = 0, con 1 ≤t≤ b(r−2)/2c, implicar´ıan cuando res par la contradicci´on [Uj, U(r−1)i+j] = 0. Si se tiene k= (r−1)i+ 2jyres impar se llega de nuevo a otra contradicci´on. Por lo tanto, es k=ri +jy podemos suponer, con un cambio de escala apropiado, que [Ui, U(r−1)i+j] = Uk=Uri+j. Luego, g=< Ui, Uj, Ui+j, . . . , U(n−2)i+j>, con [Ui, U(r−1)i+j] = Uri+j,1≤r≤n−1.Como n1≥0, la conexi´on de la graduaci´on implica que i= 1 y j= 2. Entonces g=< U1, U2, U3, . . . , Un> y poniendo Xi−1=Ui, para 1 ≤i≤n, se obtiene que (X0, X1, . . . , Xn−1) es una base adaptada homog´enea de g. 2. Caso n1+n−1≤0. De manera similar se obtiene g=< Ui, Uj, Ui+j, . . . , U(n−2)i+j>, donde ahora los sub´ındices deben ser i=−1 y j=−2. La base adaptada homog´enea es entonces (X0, X1, . . . , Xn−1), siendo X−i−1=Ui, para −n≤i≤ −1. 3. Caso n1<0< n1+n−1. En este caso, como el centro de gtiene que ser g0, se llega finalmente a g=< Ui, Uj, Ui+j, . . . , U(n−2)i+j>, teniendo que ser (n−2)i+j= 0.De nuevo, por la conexi´on de la graduaci´on, se obtiene que iyjson primos entre s´ı. Entonces, o bien i= 1 ´ algebras de lie filiformes 413 yj=−n+ 2, o bien i=−1 y j=n−2. En ambas situaciones obtenemos la base adaptada y homog´enea (X0, X1, . . . , Xn−1). En efecto, si g=< U1, U2−n, U3−n, . . . , U0>, entonces X0=U1,Xi=U−n+1+i, para 1≤i≤n−1; y si g=< U−1, Un−2, Un−3, . . . , U0>, entonces X0=U−1, Xi=Un−1−i, para 1 ≤i≤n−1. El resultado siguiente limita a s´olo dos casos el estudio de las graduaciones conexas que pueden conducir a ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud no isomorfas. Proposici´ on 3.3. Sea gun ´algebra de Lie filiforme de dimensi´on y longitud n. Entonces: 1. El ´algebra gadmite la descomposici´on g=g1⊕ · · · ⊕ gnsi y s´olo si admite una descomposici´on g=g−n⊕ · · · ⊕ g−1. 2. El ´algebra gadmite la descomposici´on g=g−n+2 ⊕ · · · ⊕ g1si y s´olo si admite una descomposici´on g=g−1⊕ · · · ⊕ gn−2. Demostraci´on. En cada caso, basta considerar el isomorfismo identidad y la renumeraci´on adecuada de los sub´ındices de los subespacios de las graduaciones involucradas que definen a g. A partir de las descomposiciones de la proposici´on anterior, se puede precisar la estructura de las ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud en t´erminos de una base adaptada homog´enea. Corolario 3.4. Sea gun ´algebra de Lie filiforme n-dimensional de m´axima longitud, que admite la graduaci´on g=g−n+2 ⊕ · · · ⊕ g0⊕g1. Entonces, existe una base adaptada homog´enea (X0, X1, . . . , Xn−1)del ´algebra de modo que g−n+i+1 =< Xi>, para 1≤i≤n−1, y g1=< X0>. Corolario 3.5. Sea gun ´algebra de Lie filiforme n-dimensional de m´axima longitud, que admite la graduaci´on g=g1⊕g2⊕ · · · ⊕ gn. Entonces, existe una base adaptada homog´enea (X0, X1, . . . , Xn−1)del ´algebra con gi= < Xi−1>para 1≤i≤n. Los resultados obtenidos permiten resolver el problema de la clasificaci´on de las ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud. 420 j.r. g´ omez, a. jim´ enez-merch´ an, j. reyes en la que, para cada valor del par´ametro αse tienen ´algebras no isomorfas g(α) de longitud l(g(α)) = 11. La existencia de una infinidad de ´algebras de Lie filiformes no isomorfas de m´axima longitud en peque˜nas dimensiones no permite suponer que en dimensiones relativamente grandes las ´algebras de la familia puedan reducirse a una lista con un n´umero finito de ellas. Sin embargo, este es el resultado que ha sido obtenido en el teorema 4.3 cuando la dimensi´on es n≥12. La familia de ´algebras de Lie filiformes de m´axima longitud se ha reducido a 4 ´algebras, Ln,Rn,WnyKn, si la dimensi´on es par, y a 5 ´algebras Ln,Rn,Wn, KnyQ0 n, si la dimensi´on es impar. As´ı, a trav´es de la longitud de un ´algebra de Lie, hemos estudiado la importante familia de ´algebras de Lie filiformes verificando [Xi, Xj] = ai,j Xi+j+1 (ver [3], [6], [12]), con un nuevo enfoque que nos ha conducido a obtener su clasificaci´on. Referencias [1] Ancochea, J.M., Goze. M., Classification des alg`ebres de Lie nilpotentes de dimension 7, Arch. Math. 52 (1989), 175 – 185. [2] Ancochea, J.M., Goze. M., Classification des alg`ebres de Lie filiformes de dimension 8, Arch. Math. 50 (1988), 511 – 525. [3] Bratzlavsky, F., Sur les alg`ebres admettant un tore de d’automoorphismes donn´e, Journal of Algebra 30 (1974), 305 – 316. [4] Cabezas, J.M., G´ omez, J.R., Jim´ enez-Merch´ an, A., Family of pfiliform Lie algebras, en “Algebra and Operator Theory” (ed. Y. Kakhimdjanov, M. Goze, S. Ayupov), Kluwer Academics Publ., 1998, 93 – 102. [5] Camacho, L.M., G´ omez, J.R., Navarro, R.M., Cohomology of some nilpotent Lie algebras, Extracta Math. 15 (1) (2000), 155 – 174. [6] Carles, R., Sur certaines classes d’alg`ebres de Lie rigides, Mathematische Annalen 272 (1985), 477 – 488. [7] Dixmier, J., Sur les representation unitaries des groupes de Lie nilpotentes III, Canad. J. Math. 10 (1958), 321 – 348. [8] Echarte, F.J., G´ omez, J.R., Classification of complex filiform nilpotent Lie algebras of dimension 9, Rendiconti Cagliari 61 (1) (1991), 21 – 29. [9] G´ omez, J.R., Jim´ enez-Merch´ an, A., Khakimdjanov, I., Lowdimensional filiform Lie algebras, J. Pure Applied Algebra 130 (2) (1998), 133 – 158. [10] G´ omez, J.R., Jim´ enez-Merch´ an, A., ´ Algebras de Lie graduadas y c´alculo simb´olico, en “Actas del Primer Encuentro de ´ Algebra Computacional y Aplicaciones”, EACA’95, Santander, 1995, 57 – 65. [11] Goze, M., Khakimdjanov, Y., Sur les alg`ebres de Lie nilpotentes admettant un tore de d´erivations, Manuscripta Math. 84 (1994), 115 – 224. ´ algebras de lie filiformes 421 [12] Goze, M., Khakimdjanov, Y. “Nilpotent Lie algebras”, Kluwers Academics Publishers, 1996. [13] Khakimdjanov, Y., Vari´et´es des lois d’alg`ebres de Lie nilpotentes, Geometriae Dedicata 40 (3) (1991), 269 – 295. [14] Morosov, V., Classification of nilpotent Lie algebras of sixth order, Izv. Vysch. U. Zaved. Mat. 4(5) (1958), 161 – 171. [15] Umlauf, K.A., “¨ Uber die Zusammensetzung der endlichen continuierlichen Transformationsgruppen insbesondere der Gruppen vom Range null”, Thesis, Leipzig, 1891. [16] Vergne, M., Cohomologie des alg`ebres de Lie nilpotentes. Application `a l’´etude de la vari´et´e des alg`ebres de Lie nilpotentes, Bull. Soc. Math. France 98 (1970), 81 – 116. [17] Wolfran, S., “Mathematica. A System for Doing Mathematics by Computer”, Addison-Wesley, 1991.