Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Dpto. Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Alejandro Morilla Amor Tutor: Sebastián Lozano Segura Sevilla, 2020 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Organización Industrial Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Autor: Alejandro Morilla Amor Tutor: Sebastián Lozano Segura Dpto. de Organización Industrial y Gestión de Empresas I Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2020 v Trabajo Fin de Grado: Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Autor: Alejandro Morilla Amor Tutor: Sebastián Lozano Segura El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, 2020 El Secretario del Tribunal vii A mis padres por sus constantes esfuerzos para mi educación. ix Agradecimientos A veces obviamos agradecer, como yo mismo iba a hacer eliminando esta sección. Por suerte, me ha tocado escribir esto durante los días de confinamiento, durante los días que un insólito acontecimiento es capaz de detener el mundo y encenderme los tan básicos e importantes principios que olvidamos en la rutina. Capaz de recordarme el infortunio de no ver amigos. Capaz de recordarme cuán importante es la familia. Capaz de recordarme el hogar y no la casa. Que, al fin y al cabo, lo único que necesitamos es vínculo, salud, agua y comida y el único deber es ayudar al otro. Y que, al fin y al cabo, todos somos iguales sin importar cultura, religión u ocupación. Mis más sinceras gracias a todas las personas que han influenciado en mi vida, en especial a mis padres por permitirme estudiar con sus incondicionales apoyos y esfuerzos. Alejandro Morilla Amor Jerez de la Frontera, 2020 ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 - Datos de entrada, salida y potencial del ejemplo IDPBM 26 Tabla 2 - Proyecciones y eficiencias de las DMUs del ejemplo IDPBM 27 Tabla 3 - Explicación de entradas del caso práctico 34 Tabla 4 - Conjunto de datos del caso práctico 36 Tabla 5 - Resultados IDPBM del caso práctico 37 Tabla 6 - Proyecciones de salidas de DMU s14 del caso práctico 37 Tabla 7 - Comparación de intervalos de eficiencia del caso práctico 38 Tabla 8 - Comparación según estatus de DMUs del caso práctico 39 Tabla 9 - Coeficiente de Spearman entre modelos en caso práctico 41 xvii ÍNDICE DE ILUSTRACIONES Ilustración 1 - Ejemplo de DMU con una entrada y una salida. 3 Ilustración 2 – Fronteras eficientes de Tecnologías CRS y VRS 6 Ilustración 3 - Tecnología FDH y su frontera eficiente 7 Ilustración 4 - Orientación a entradas (izq) y orientación a salida (der) 8 Ilustración 5 – Modelo CCR orientado a entrada 11 Ilustración 6 - Modelo CCR INPUT de dos entradas y una salida 11 Ilustración 7 – Modelo CCR orientado a salida 12 Ilustración 8 – Modelo CCR OUTPUT de una entrada y dos salidas 13 Ilustración 9 - Modelo BBC INPUT de una entrada y una salida 14 Ilustración 10 - Modelo BBC OUTPUT con una entrada y una salida 15 Ilustración 11 - Modelo ADITIVO 16 Ilustración 12 - Modelo FDH INPUT con una entrada y una salida 17 Ilustración 13 - PBM Curvas Isopotenciales con una entrada y una salida (Modelo INPUT) 20 Ilustración 14 - PBM Curvas Isopotenciales con entrada constante y dos salidas (Modelo OUTPUT) 20 Ilustración 15 - Tecnologías VRS en intervalos de datos. 24 Ilustración 16 - Representación gráfica de los potenciales de la DMU B en ejemplo IDPBM 27 Ilustración 17 - Proyección de la DMU E en las fronteras eficientes en ejemplo IDPBM 28 Ilustración 18 - Esquema del caso práctico 34 Ilustración 19 - Intervalos de eficiencia S12 39 Ilustración 20 - Intervalos de eficiencia S13 40 Ilustración 21 - Intervalos de eficiencia S14 40 Ilustración 22 - Intervalos de eficiencia S15 40 xix Listado de Abreviaturas DEA Análisis por envoltura de datos (Data Envelopment Analysis) DMU Unidad productiva tomadora de decisiones (Decision Making Unit) PPS Conjunto de Posibilidades de Producción (Production Possibility Set) CCR Charnes, Cooper and Rhodes BCC Banker, Charnes and Cooper CRS Retorno de escala constante (Constant Returns to Scale) VRS Retorno de escala variable (Variable Returns to Scale) MPSS Tamaño de escala más productivo (Most Productive Scale Size) PBM Medida de Potencial de Eficiencia (Potential-Based Measure) MEffP Mínimo potencial de eficiencia (Minimun Efficiency Potential) 1 1 INTRODUCCIÓN Cómo se puede ser más eficiente gestionando los recursos de los que se dispone? En un mundo cada vez más sofisticado y competitivo, cualquier empresa que desee crecer o al menos mantenerse, deberá plantearse esta cuestión. El camino hacia la mejora de la eficiencia es ilimitado, sin fin, a veces tortuoso y de fácil pérdida de orientación. De esta forma, para facilitar el camino, empiezan a aparecer estudios sobre la eficiencia. Estudios en todos los ámbitos y especialmente, en el que es objeto de estudio en este documento, el matemático, siendo una búsqueda de algoritmos que señalen las rutas a la mejora de eficiencia. En 1957, Farrell [1] introduce la expresión matemática de la productividad, dando un nuevo enfoque a la medida de la eficiencia. Más tarde, en 1978, Charnes, Cooper y Rhodes [2] introducen por primera vez el análisis por envoltura de datos, suponiendo un salto enorme para el ámbito matemático en su búsqueda para medir eficiencias. Posteriormente, en 1984, Banker, Charnes y Cooper [3] mejoraron y extendieron el anterior trabajo. Durante todo este tiempo, el estudio del análisis por envoltura de datos (DEA) no ha parado, ofreciendo actualmente datos mucho más claros y fáciles de interpretar, indicando un mejor camino para la mejora de eficiencia. Hasta la fecha se han publicado más de 1000 documentos relacionados con esta metodología, siendo los más novedosos los modelos lineales que incluyen holguras y el basado en potencial de eficiencia, que traslada el concepto de campo potencial de física al análisis DEA. Objeto del documento El documento expone diferentes modelos DEA, haciendo hincapié en el modelo basado en potencial de eficiencia (PBM) propuesto en N. Soltani and S. Lozano, “Potential-based efficiency assessment and target setting,” [4]. Una vez expuesta la metodología DEA y los distintos modelos, se introduce el concepto de datos intervalo en el análisis de eficiencia, extendiendo el modelo PBM a su uso con datos inciertos. Además, otros modelos son presentados con el objetivo de ofrecer la comparación entre intervalos de eficiencia en el caso práctico realizado. Sumario El documento se organiza de forma que, primeramente, en el capítulo 2 se explica la metodología DEA, para qué sirve y los modelos tradicionales con sus distintas características. En el capítulo 3 se presenta el modelo PBM. En el capítulo 4 se introduce el concepto de datos intervalos, la extensión del modelo PBM a datos intervalos y la exposición de otros modelos de la literatura para datos intervalos. El capítulo 5 consta del empleo del modelo IDPBM en el caso práctico propuesto en Smirlis et al. [6] y la comparación de eficiencias con los modelos expuestos en el capítulo anterior. Por último, el capítulo 6 cierra el documento mediante la conclusión de los resultados obtenidos y se adjunta un anexo que recoge todo el código Lingo utilizado. ¿ Debe haber miles de personas en el mundo que pueden mejorar la productividad y el rendimiento incrementando la cantidad producida. Pero muy pocos en el mundo pueden aumentar la productividad cuando las cantidades de producción disminuyen. Esas personas son las que refuerzan las capacidades de sus empresas. - Taiichi Ohno - Introducción 2 3 2 ANÁLISIS POR ENVOLTURA DE DATOS n este capítulo se explica detalladamente y mediante ilustraciones qué es el análisis por envoltura de datos (DEA), para qué se utiliza, los distintos modelos tradicionales que forman la base y el modelo PBM. 2.1. Conceptos básicos 2.1.1 Utilidad del análisis por envoltura de datos DEA es un método no paramétrico que sirve de ayuda para la toma de decisiones. Permite el cálculo de la eficiencia relativa de cada punto de operación a partir de un conjunto de observaciones, constituidos cada uno por una serie de entradas y salidas. Gracias a este cálculo, esta técnica de medición de la eficiencia es de verdadera utilidad para la dirección empresarial, ya que apoya en tareas como el establecimiento de metas de eficiencia, reorganización de puntos de operación, identificación de buenas prácticas para su gratificación, entre otras. 2.1.2 Unidad de producción (DMU) Todo comienza con entidades encargadas de producir, llamadas Decision Making Units (DMUs) en la literatura anglosajona. Consiste en cualquier tipo de proceso productivo (empresa, organización, escuela…) que mediante la utilización de recursos de entrada, consigue determinadas salidas. Cada unidad tiene la capacidad de modificar los recursos que están siendo usados, por esta razón se le añade el termino Decision a su referencia en inglés. Ilustración 1 - Ejemplo de DMU con una entrada y una salida. Hay que tener especial atención a la hora de seleccionar las distintas entradas y salidas que tendrá la DMU. En este ejemplo de una granja solo se ha represantado una entrada, aunque de por seguro tendrá más como la comida que recibe cada vaca. Por ello, uno de los pasos más importantes de la metodología DEA es realizar un estudio profundo sobre las entradas y salidas a tener en cuenta para las distintas DMUs. Además, al ser una metodología que compara unidades de producción, estas deberán tener el mismo tipo de entradas y salidas. 2.1.3 Productividad Para medir la productivdad de estas DMUs, Farrell (1957) introdució la expresión: E Vacas DMU Granja Leche producida Análisis por envoltura de datos 4 producción obtenida productividad recursos consumidos = (1) Que define la relación entre los recursos empleados y los resultados alcanzados. Esta formula es suficiente en el caso de tener DMUs con solo una entrada y una salida, caso que apenas encontraremos en la realidad. Para estudiar la productividad de DMUs con varias entradas y salidas, nace el concepto de entrada virtual y salida virtual, necesario al tener que agruparse entradas y salidas de distintas naturaleza para resultar en un escalar. Así, se realiza mediante pesos una suma ponderada de entradas y una suma ponderada de salidas. suma ponderada de salidas productividad suma ponderada de entradas = (2) Se denota xij a la cantidad de entrada o recurso ‘i’ utilizado por la unidad ‘j’, y como ykj a la cantidad de salida o resultado ‘k’ que produce ‘j’, de esta forma las entradas y salidas virtuales quedan: 1 1 virtual m j ij ij i s j kj kj i Entrada virtual u x Salida v y = = = =   (3) Donde m es el número de entradas, s el número de salidas y uij y vkj son los pesos que corresponden a cada entrada y a cada salida. Por lo tanto, la productividad se define como: 1 1 s kj kj k jm ij ij i vy productividad ux = = =  (4) De esta forma se obtiene el cálculo de la productividad de una determinada unidad de producción, aunque este dato de forma aislada no nos ofrece información relevante. Por ello, se comparan los datos de productividad de cada DMU, constituyendo así la eficiencia. 2.1.4 Eficiencia Una vez calculada la productividad de una DMU, se necesita un valor de referencia que nos indique de que forma se están aprovechando los recursos. Por ello, una DMU se compara con otras semejantes para conocer si es un resultado positivo o negativo, originándose así el concepto de eficiencia relativa: j j J productividad Eficiencia productividad = (5) Indicando el subíndice j la unidad que se está estudiando y el subíndice J la unidad de referencia. Existen distintos tipos de eficiencia según la unidad de referencia seleccionada: - Eficiencia global: La unidad de mayor productividad de todas es la referente. - Eficiencia técnica: La unidad de mayor productividad entre las que tienen un tamaño similar a la estudiada es la referente. - Eficiencia de escala: Cociente entre eficiencia global y eficiencia técnica. Tras esta definición, se observa que una unidad es eficiente cuando su productividad es igual a 1. De otra forma será ineficiente. Analizándose la expresión de eficiencia: 5 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. 11 11 1 1 1 ss kj kj kj kj kk mm ij ij ij ij ii js kJ kJ km iJ iJ i v y v y u x u x Eficiencia vy ux == == = = ==     (6) Existen infinitos pesos que proporcionan la misma eficiencia, por lo que conviene simplificar el número de estos haciendo que la productividad de la unidad de referencia sea uno siempre. Así, en el denominador siempre se tendrá la unidad y expresión de la eficiencia se reducirá a: 1 1 s kj kj k jm ij ij i vy Eficiencia ux = = =  (7) 2.2. Axiomas, tecnologías y orientación El primer paso para la construcción de cualquier modelo es definir las distintas DMUs que formarán parte de la aplicación de la metodología, con su respectivo estudio exhaustivo de entradas y salidas. A partir de estas DMUs, se formará una tecnología DEA, conocida también como “Production Possibility Set (PPS)”, que es un conjunto de puntos de operación que consideramos posibles. Existen diferentes tecnologías DEA según el cumplimiento de los siguientes axiomas, creando una frontera distinta en cada caso: - 1. Envoltura (Envelopment): Todos los puntos (xj,yj) observados pertenecen a la tecnología, es decir, son factibles. Esto significa que todas las DMUs estarán contenidas en la frontera, siendo las que marcan esta frontera las DMUs eficientes. ( , ) jj x y T j (8) - 2. Libre disponibilidad (Free dispossibility): Teniendo un punto perteneciente a la tecnología, todos aquellos que consumen más recursos produciendo menos son posibles. ( , ) ( ', ') x' x, y' yx y T x y T →      (9) - 3. Convexidad (Convexity): Dados dos puntos pertenecientes a la tecnología, todos los puntos del segmento que los une pertenecen a su vez a la tecnología. (x, y) T (x', y') T [ (1 ) ', (1 ) '] [0,1]Sea x x y y T        → + − + −    (10) - 4. Escalabilidad (Scalability): Dado un punto de la tecnología, todos los puntos pertenecientes a la línea que une dicho punto con el origen pertenecen a la tecnología. ( , ) ( , ) 0x y T x y T     →    (11) o 4.1 Downward Scalability: Solo puntos escalados hacia abajo, λ entre 0 y 1. Análisis por envoltura de datos 12 2.3.3 Modelo de retorno de escala constante orientado a salidas (CCR-OUTPUT) Al igual que el anterior, el modelo consta de dos fases y se puede agrupar ambas como: 11 1 1 .. 1,2, ..., 1,2, ..., , , 0 sm J k i ki n j ij iJ i j n kj j J kJ k j j i k Max h h sa x x h i m y y h k s hh     +− == − = + = −+  ++   = − = = + =     Jlibre  (20) Se basa en el aumento proporcional de las distintas salidas de cada una de las DMUs estudiadas, manteniendo constante los recursos (entradas) de estas. El aumento es proporcional (radial) debido a la existencia de un único factor multiplicativo, multiplicando a todas las salidas el mismo valor J  . El modelo trata de maximizar al mismo tiempo el factor multiplicativo J  y las holguras. Las holguras van multiplicadas por un valor  muy pequeño, otorgando menor importancia a la maximización de estas frente a J  . Al igual que en el modelo anterior, en la imagen de la derecha de la ilustración 4 se pueden diferenciar los dos tipos de aumentos de salida. El radial (fase I, maximización de J  ), que se origina desde el punto (0,0) y el rectangular (maximización de las holguras, fase II). En el caso de una entrada y una salida, el modelo resuelto gráficamente: Ilustración 7 – Modelo CCR orientado a salida 13 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Como se puede observer, las unidades eficientes se proyectan sobre si mismas, de forma que si se obtiene J  = 1 y 0 ki hh +− == la DMU será una unidad eficiente. En el caso de J  = 1 y 0 ki ki hh +− +  la DMU será débilmente eficiente y, por último, si J  > 1 y 0 ki ki hh +− +  la DMU será ineficiente. Gráficamente, usando como ejemplo un modelo de una entrada y dos salidas: Ilustración 8 – Modelo CCR OUTPUT de una entrada y dos salidas Las unidades eficientes son C, D y E. La unidad débilmente eficiente es A ya que puede mejorar la salida y1 manteniendo constante la salida y2. Por ultimo, se observa la unidad B, unidad ineficiente, y su proyección radial hacia la frontera eficiente aumentando las salidas. 2.4. Modelos con retorno de escala variable (BBC) En este aparatado se expondrán los modelos investigados por Banker, Charnes y Cooper (1989). 2.4.1 Modelo de retorno de escala variable orientado a entradas (BCC-INPUT) En los modelos de retorno de escala variable, las DMUs no se comparan con todas las demás existentes en el problema. Se comparan únicamente con las de tamaño similar. Por ello, se introduce la restricción 1 1 n j j  = =  . Al igual que en el apartado anterior, el modelo VRS también consta de dos fases unificables en: Análisis por envoltura de datos 14 11 1 1 1 .. 1,2, ..., 1,2, ..., 1 , , 0 sm J k i ki n j ij J iJ i j n kj j kJ k j n j j j i k Min h h sa x x h i m y y h k s hh      +− == − = + = = −+  −+   = − = = + = =      Jlibre  (21) Con esta nueva restricción, las DMUs se proyectan sobre un hiperplano que contiene las DMUs más productivas del mismo tamaño. Por lo tanto, aparecerán como eficientes DMUs que en el modelo anterior CCR no lo eran y la frontera eficiente pasará a llamarse frontera eficiente técnica. Las variables de las unidades eficientes tomarán los siguientes valores: 1 1 0, j J h 0, i y k J J j ik h    −+ = = =   = =   En este modelo, al ser orientado a entrada, el factor multiplicativo solo permite la reducción radial de las entradas, encontrándose en la restricción de estas. Gráficamente, con una entrada y una salida: Ilustración 9 - Modelo BBC INPUT de una entrada y una salida 15 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. 2.4.2 Modelo de retorno de escala variable orientado a salidas (BCC-OUTPUT) El siguiente modelo busca la ampliación de las salidas que proporciona cada DMU, sin modificar las entradas de estas. Para ello, se intenta maximizar el factor multiplicativo J  y las holguras, de forma semejante a la explicada en los modelos anteriores. 11 1 1 1 .. 1,2, ..., 1,2, ..., 1 , , 0 sm J k i ki n j ij iJ i j n kj j J kJ k j n j j j i k Max h h sa x x h i m y y h k s hh      +− == − = + = = −+  ++   = − = = + = =      Jlibre  (22) Las valores que hacen eficiente a una determinada DMU son: 1 1 0, 0, J J j ik jJ h h i y k    −+ = = =   = =   La función del modelo gráficamente con una entrada y una salida: Ilustración 10 - Modelo BBC OUTPUT con una entrada y una salida Análisis por envoltura de datos 16 2.5. Modelos aditivo y FDH 2.5.1 Modelo aditivo El modelo aditivo solo realiza reducciones rectangulares, es decir, no realiza una proyección radial sobre la frontera enfocándose en la dimisnución de entradas o aumento de salidas. De esta forma, el modelo solo resuelve la segunda fase de los modelos anteriormente expuestos, tratando de maximizar las holguras y eliminando el factor multiplicativo. Su primera aparición fue gracias a Charnes en 1985 y más tarde, en 1989, Banker lo pulió. En el caso de retorno de escala variable, el modelo es el siguiente: 11 1 1 1 .. 1,2, ..., 1,2, ..., 1 , , 0 sm ki ki n j ij iJ i j n kj j kJ k j n j j j i k Max h h sa x x h i m y y h k s hh     +− == − = + = = −+  +   = − = = + = =      (23) Al resolverse el modelo, la frontera eficiente coincidirá con la frontera eficiente del modelo BBC OUTPUT. Sin embargo, la eficiencia de cada DMU podrá ser diferente. Gráficamente, en el caso de una entrada y una salida: Ilustración 11 - Modelo ADITIVO 17 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. En la unidad E se observa el planteamiento de realizar simultáneamente la reducción de entrada y ampliación de salida mediante holguras. Para problemas de escalas constantes, se elimina la restricción 1 1 n j j  = =  . 2.5.2 Modelo FDH En el modelo Free Disposal Hull se tiene que solo una de las components del vector (λ1, λ2, ..., λn) será 1, por lo que la frontera eficiente no estará formada por combinaciones lineales entre sus DMUs. Las unidades de producción no eficientes siempre se proyectarán sobre una de las existentes en la frontera. Para orientación de entrada, el modelo es: 1 1 1 .. 1,2, ..., 1,2, ..., 1 , 0 0, J n j ij iJ i j n kj j J kJ k j n j j ik j Max sa x x h i m y y h k s hh      − = + = = −+ = − = = + = =        1 Jlibre  (24) Gráficamente en el caso una entrada y una salida con orientación de entrada: Ilustración 12 - Modelo FDH INPUT con una entrada y una salida Análisis por envoltura de datos 18 19 3 MODELO PBM l modelo Potential-Based Measure (PBM), apareciendo por primera vez en el artículo ‘Potential-based efficiency assesment and target setting’ por Narges Soltani y Sebastián Lozano (2018), se basa en el concepto Potencial de Eficiencia, un concepto novedoso que se inspira en el concepto de potencial en física. Por ejemplo, en el potencial de campo eléctrico a cada punto del espacio se le asigna un valor de potencial, traslandando esto a la metodología DEA se obtiene un valor de potencial de eficiencia para cada punto del Production Possibility Set (PPS). De esta forma, se pueden emplear los conceptos que se generan del estudio de campos potenciales como superficies equipotenciales y los vectores perpendiculares a estas, que serán de gran utilidad en DEA. 3.1 Función de potencial de eficiencia En esta sección se introduce matemáticamente la función del potencial de eficiencia. Siguiendo con la nomenclatura empleada en los modelos anteriores, se tiene un conjunto de DMUj (j ∈ {1, …, n} ) que consume unos recursos determinados (xj = (xij)mi=1 ) y genera unas salidas (yj = (yij)sk=1.) Para que el potencial siempre sea positivo, se asume que las entradas y saliendas siempre serán mayor que cero. Para la explicación del modelo se empleará la tecnología VRS: ( )   , | , Y y, e 1, 0 m s t VRS T x y R x X     + =    =  (25) Siendo extendible a CRS si se elimina e1 t  = para quitar la propiedad de convexidad. El siguiente paso es adimensionar los recursos y salidas de las distintas DMUs, para ello: ˆˆ y ij kj aver aver ik xy x i j k j xy =   =   (26) y la tecnología adimensionada queda: ( )   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , | , Y y, e 1, 0 t VRS T x y x X     =   =  ´ (27) Donde ( ˆ x j = ( ˆ x ij)mi=1 ) y ( ˆ y j = ( ˆ y ij)sk=1 ). Una vez definida la tecnología y las variables adimensionales, se puede establecer la función de potencial en cualquier punto de producción posible perteneciente a la tecnología. 1/( ) 1 1 ˆ ( , ) ˆ ms m i is k k x P x y y + = =    =     (28) Esta función asigna un potencial a todo punto dentro del PPS. Es estrictamente monótona, para que disminuya el potencial sus entradas deben disminuir y las salidas deben aumentar. Una vez definido el potencial, se puede visualizar la mayor característica de este modelo, las curvas isopotenciales: E Modelo PBM 20 Ilustración 13 - PBM Curvas Isopotenciales con una entrada y una salida (Modelo INPUT) La recta punteada indica la curva isopotencial en el caso simple de una entrada y una salida. Cuanto menor sea el valor del potencial del DMU, mayor será la pendiente de la recta. Así, la isopotencial de la DMU B tendrá un menor potencial que la isopotencial que pasa por la DMU D. Se puede representar la curva isopotencial como hipérbola si se tiene una entrada constante y dos salidas o viceversa: Ilustración 14 - PBM Curvas Isopotenciales con entrada constante y dos salidas (Modelo OUTPUT) En este caso, al disminuir el potencial la hipérbola se aleja, haciendo que menos área del PPS esté en el interior de la hipérbola. Todo punto de la región del PPS que esté dentro de la hipérbola tendrá un potencial menor que el de la DMU que genera la curva isopotencial. Se observa como la curva isopotencial de la DMU C solo toca el punto de su DMU, por lo que su potencial será mínimo. 21 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. 3.2 Modelo MEffP Siendo DMUo la DMU bajo cálculo de eficiencia, su potencial de eficiencia será Po = P (xo, yo). Se puede calcular el mínimo potencial de eficiencia de la región que domina a la DMUo mediante el modelo MeffP: *1 1 1 1 1 ˆ ( ) min ˆ ˆ ˆ ˆ . : 1, ..., , ˆ ˆ ˆ 1, ..., , 1, 0 m í ms i os k k n j ij í ío j n j kj k ko j n j j j x P y s a x x x i m y y y k s j     += = = = = =   =   = =       (29) Para simplificar el modelo, se minimiza el potencial de eficiencia elevado a m+s, que es equivalente a minimizarlo sin la raíz. El paso final, calcular la eficiencia de la DMU, se realiza dividiendo el potencial de eficiencia óptimo de la región que domina a la DMU estudiada entre el potencial de eficiencia de dicha DMU. Siendo ( ˆ x i*, ˆ y j*) la solución óptima del modelo anterior, el MEffP entre todos los puntos que dominan la DMUo es Po* = P (x*, y*). La medida de eficiencia del modelo PBM se escribe como: 1/( ) 1/( ) * * 11 ** *** 11 01/( ) 1/( ) 11 1 1 ˆ ˆ ( , ) ( , ) ˆ ˆ ms ms mm i aver í iii ss k aver k kkk om s m s mm o o o io io aver ii is sko ko aver k kk xx x yy y PP x y P P x y xx x yy y  ++ == == ++ == = =               = = = =                          (30) También, en vez de resolver por dos pasos el modelo (aplicando 30 y luego 31), se puede resolver directamente en un paso minimizando la medida de eficiencia expuesta anteriormente elevada a m+s. Para simplificar la ecuación 31, se definen dos variables ( 1, 1 ik   ) para expresar el punto bajo estudio como una combinación lineal del óptimo: ˆ ˆ ˆ ˆ * , y * k i i io k k ko x x y  = =  . La expresión de medida de eficiencia con la reducción, comparando el potencial de eficiencia del punto (x, y) con respecto a (xo, yo) queda: Datos Intervalos en DEA 28 Ilustración 17 - Proyección de la DMU E en las fronteras eficientes en ejemplo IDPBM Las DMUs A, B y C son eficientes ( 00 1 wb  == ) mientras que la DMU D es eficiente únicamente en el caso de mejor rendimiento ( 00 1 wb  = ) y la DMU E es ineficiente en ambos casos ( 00 1 wb   ). 4.4 Otros modelos 4.4.1 Despotis et al. (2002) Este modelo matemático se formula en ‘Despotis, D. K., & Smirlis, Y. G. (2002). Data envelopment analysis with imprecise data. European Journal of Operational Research, 140(1), 24–36.’, exhibiéndose mediante forma multiplicadora, métrica radial, orientado a entrada y con retorno de escala constante. Se definen dos modelos para hallar el intervalo de eficiencia empleando forma pesimista y forma optimista para recursos de entrada y producciones de salida. Límite superior: 29 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. * 00 1 0 1 00 11 11 max .: 1, 0, 0 | 0, , , . sU kk k mL ii i sm UL k k i i ki sm LU k kj i ij ki ki h u y sa vx u y v x u y v x j j u v k i  = = == == = = − −         (46) Límite inferior: 00 1 0 1 00 11 11 max .: 1, 0, 0 | 0, , , . s LL kk k mU ii i sm LU k k i i ki sm UL k kj i ij ki ki h u y sa vx u y v x u y v x j j u v k i  = = == == = = − −         (47) La DMU bajo estudio será eficiente si 0 hL y * 0 h es igual a 1. En el caso de que únicamente * 0 h sea igual a 1, la DMU será parcialmente eficiente. Si las dos funciones objetivo son menores que 1 la DMU será ineficiente. 4.4.2 Wang et al. (2005) Este modelo se publicó en: ‘Wang, Y. M., Greatbanks, R., & Yang, J. B. (2005). Interval efficiency assessment using data envelopment analysis. Fuzzy Sets and Systems, 153(3), 347–370.’, siendo un enfoque al análisis de datos intervalos de métrica radial, forma multiplicadora, orientado a entradas y de retorno de escala constante. Para hallar la eficiencia optimista (límite superior) se emplea: 00 1 0 1 11 max .: 1, 0 , , , . s UU kk k mL ii i sm UL k kj i ij ki ki uy sa vx u y v x j u v k i   = = == = = −         (48) Datos Intervalos en DEA 30 Respecto a la eficiencia pesimista (límite inferior) se resuelve el modelo: 00 1 0 1 11 max .: 1, 0 , , , . s LL kr k mU ii i sm UL k kj i ij ki ki uy sa vx u y v x j u v k i   = = == = = −         (49) De esta forma, el intervalo de eficiencia de la DMU bajo estudio será [ 00 , LU  ] y bajo el criterio del artículo, la DMU será eficiente si 0 U  =1 e ineficiente si 0 U  < 1. 4.4.3 Smirlis et al. (2006) Modelo propuesto en ‘Smirlis, Y. G., Maragos, E. K., & Despotis, D. K. (2006). Data envelopment analysis with missing values: An interval DEA approach. Applied Mathematics and Computation, 177(1), 1–10.’, de métrica radial, forma multiplicadora, orientado a salidas y con retorno de escala variable. Se formula en forma de intervalo, es decir, calculando un límite superior e inferior de eficiencia con los siguientes modelos matemáticos: Límite superior: 0 0 0 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 min .: 0, 1, ..., ; 0, 0, 1, , , , . m UU ii i ms LU i ij k kj ik ms UL i i k k ik sL kk k ki h v x w sa v x u y w j n j v x u y w uy u v k i w libre  = == == = =− − −  =  − −  =        (50) 31 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Límite inferior: 0 0 0 1 0 11 0 0 0 11 0 1 0 min .: 0, 1, ..., ; 0, 0, 1, , , , . m LL ii i ms UL i ij k kj ik ms LU i i k ik sU kk k ki h v x w sa v x u y w j n j v x u y w uy u v k i w libre  = == == = =− − −  =  − −  =        (51) Hallados los límites de eficiencia para todas las unidades, se tiene el intervalo de eficiencia para cada una de ella [ 00 , LU jj hh ] y se clasifican en tres clases:             1,..., / 1 1,..., / 1 and h 1 1,..., / 1 U j LU jj L j E j n h E j n h E j n h ++ + − =  = =  =  =   El conjunto E++ consiste en las unidades que son eficientes en cualquier caso mientras que el conjunto E+ está formado por unidades eficientes desde el punto de vista optimista. Finalmente, el conjunto E− consiste en unidades ineficientes. 4.4.4 Esmaeili (2012) Aparece por primera vez en ‘Esmaeili, M. (2012). An Enhanced Russell Measure in DEA with interval data. Applied Mathematics and Computation, 219(4), 1589–1593.’, donde se introduce el modelo Enhanced Russell (no radial, forma envolvente, no orientado y con retorno de escala constante) y formulan límites superiores e inferiores para los valores de eficiencia de cada DMU. Estos límites de eficiencia relativa se obtienen resolviendo los siguientes modelos matemáticos: Límite superior: Datos Intervalos en DEA 32 01 1 0 0 0 1, 0 0 0 0 1, 0 1 min 11 0 , 0 , 0 , m Ui i s k k nU L L ij j i i i m jj nL U U kj j k k k j jj im k m s x x x i y y y k ti t  = = = = = =  +  −     +  −             , 01 0 j j k t jn      (52) Límite inferior: 01 1 0 0 0 1, 0 0 0 0 1, 0 1 min 11 0 , 0 , 0 , m Li i s k k nL U U ij j i i i m jj nU L L kj j k k k j jj im k m s x x x i y y y k ti t  = = = = = =  +  −     +  −             , 01 0 j j k t jn      (53) Una DMU será eficiente si 0 L  = 1, parcialmente eficiente si 01 U  = y 01 L   e ineficiente si 01 U   . 4.4.5 Azizi (2013) Se presenta en ‘Azizi, H. (2013). A note on data envelopment analysis with missing values: An interval DEA approach. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 66(9–12), 1817–1823.’, se trata de un modelo radial, forma multiplicadora, orientado a salidas y de retorno de escala variable. Como en los modelos anteriores, la eficiencia se calcula desde la perspectiva optimista y la pesimista. Para ello se resuelve: 33 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Límite superior: 0 0 0 1 0 11 0 1 0 min .: 0 , 1, , , , . m UU ii i ms LU i ij k kj ik sL kk k ki v x w sa v x u y w j uy u v k i w libre   = == = =− − −   =       (54) Límite inferior: 0 0 0 1 0 11 0 1 0 min .: 0 , 1, , , , . m LL ii i ms LU i ij k kj ik sU kk k ki v x w sa v x u y w j uy u v k i w libre   = == = =− − −   =       (55) Resolviendo estos modelos se obtiene la eficiencia de cada DMU, clasificándose según el artículo como eficiente si 0 L  =1. En otro caso, para 0 L  >1, la DMU será ineficiente. Caso práctico 34 5 CASO PRÁCTICO n este capítulo se aplican todos los modelos para análisis de datos intervalos presentados anteriormente, con sus respectivas comparaciones, en el caso práctico expuesto en Smirlis et al. Este caso consiste en la evaluación de eficiencia de 29 escuelas públicas de secundaria de Atenas, Grecia. Ilustración 18 - Esquema del caso práctico Entradas: Variables Explicación x1 Presupuesto El presupuesto anual del instituto compuesto por la cantidad proporcionada por el Ministerio de Educación y la cantidad concedida como ayuda por la autoridad local, los padres de los estudiantes, etc. x2 Índice de instalaciones Índice que representa el nivel de las instalaciones y el equipo que posee el instituto. Resume el estado general del edificio, el número de aulas, la existencia de sala de deportes, gimnasio, laboratorios para las clases de física y química, auditorio, biblioteca, etc. La puntuación oscila entre 1 (malas condiciones del edificio, número insuficiente de aulas e instalaciones y equipos muy limitados) y 10 (excelentes condiciones del edificio y de las aulas, instalaciones y equipos más que suficientes) x3 Nivel de educación El porcentaje de estudiantes cuyos padres se han graduado al menos en educación secundaria. Esta es una medida indirecta de las habilidades y la mentalidad y la actitud hacia la educación de los estudiantes. Tabla 3 - Explicación de entradas del caso práctico E 35 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. Salidas: Variables Explicación y1 Admisiones Número de estudiantes del instituto que aprobaron el examen griego nacional de admisiones a la universidad pública. y2 Nota media La nota media anual de los estudiantes graduados obtenidas en cada asignatura. Toma valores de 10 a 20. y3 Excelencia académica Número de estudiantes graduados que obtuvieron excelencia académica (nota media entre 18 y 20). Tabla 4 - Explicación de salidas del caso práctico 5.1 Conjunto de datos El conjunto de datos consta de datos exactos e intervalos estimados para aquellos datos que no han podido ser hallados exactamente. Estas estimaciones se realizaron de la siguiente forma: - Presupuesto: Está altamente correlacionado con el número total de estudiantes de los que consta el instituto, por lo que se halló una estimación en forma de intervalo según el presupuesto de otros centros y su número de estudiantes. - Nivel de educación: Se dividieron los institutos en grupos según su clase social-económica, hallando los límites máximos y mínimos de nivel de educación de cada grupo. Para los institutos en los que este dato no se pudo obtener, su intervalo estimado se definió como los límites del nivel de educación del grupo al que pertenecía. - Nota media: El sistema de calificación se dividió en excelente (18-20), muy bueno (16-18), bueno (14-16), medio (12-14) y pobre (10-12) y en un segundo contacto, se les pidió los institutos que no pudieron ofrecer una nota media que se declararán en una de las cinco clasificaciones según el rendimiento de sus estudiantes. La tabla de recursos y salidas sobre la que trabajaremos está obtenida directamente de Smirlis et al. (2006): Caso práctico 36 Institutos Presupuesto (x1) Índice de instalaciones (x2) Nivel de educación (x3) Admisiones (y1) Nota media (y2) Excelencia académica (y3) s1 23.940 6 52,17 19 14,7 10 s2 25.450 5 76,43 38 14,7 14 s3 24.000 4 43,00 34 15,0 4 s4 26.500 7 [43; 43,7] 29 14,3 4 s5 31.200 6 43,70 48 14,0 11 s6 32.600 5 76,43 36 [14; 16] 17 s7 [31.586; 42.124] 5 52,21 73 [14; 16] 18 s8 35.600 5 93,67 40 15,7 22 s9 39.160 4 96,17 33 15,1 38 s10 42.800 4 43,80 62 [16; 18] 13 s11 42.840 7 82,43 78 14,5 27 s12 41.000 4 75,17 62 13,6 27 s13 45.980 7 81,96 70 15,2 28 s14 51.000 7 76,43 59 15,5 15 s15 52.200 5 43,20 76 15,7 25 s16 56.000 7 54,71 56 13,2 26 s17 56.700 7 75,17 59 13,3 33 s18 58.140 4 37,79 78 14,8 34 s19 [52.031; 62569] 4 59,40 96 [16; 18] 18 s20 60.100 7 78,67 95 15,5 35 s21 60.040 7 47,56 83 14,5 23 s22 63.450 7 58,86 76 14,2 49 s23 61.110 7 56,24 98 11,0 33 s24 61.820 7 68,12 85 14,4 33 s25 65.000 5 58,86 47 13,4 36 s26 64.050 7 76,22 68 14,9 46 s27 74.600 6 39,00 111 15,3 39 s28 76.650 5 56,24 124 13,2 48 s29 82.740 4 [68,12; 81,96] 100 13,7 37 Tabla 4 - Conjunto de datos del caso práctico 5.2 Aplicación modelo IDPBM En esta sección se ofrece el cálculo de la eficiencia de los distintos institutos mediante el modelo Interval Data Potential-Based Measure. La siguiente tabla muestra el potencial de eficiencia para el mejor y peor caso de cada DMU, las reducciones de estos potenciales de eficiencia, el intervalo de eficiencia y su medida numérica y, por último, el estatus de eficiencia y el ranking de las DMUs. 37 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. DMU Pw Pb P*w P*b πw πb π0 Clasif. Ranking S1 1,5669 1,5669 1,5669 1,5669 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S2 1,2126 1,2126 1,2126 1,2126 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S3 1,4262 1,4262 1,4262 1,4262 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S4 1,9032 1,9135 1,2122 1,2216 0,6369 0,6384 0,6377 Inef. 11 S5 1,1663 1,1663 0,9944 1,1663 0,8526 1,0000 0,9234 Parc. Ef. 3 S6 1,2774 1,2218 0,8558 1,2218 0,6700 1,0000 0,8185 Parc. Ef. 6 S7 0,8629 0,9085 0,8629 0,9085 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S8 1,2005 1,2005 1,2005 0,9955 0,8292 1,0000 0,9106 Inef. 4 S9 1,0448 1,0448 1,0448 1,0448 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S10 0,9412 0,9049 0,9412 0,9049 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S11 1,0509 1,0509 1,0509 1,0509 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S12 0,9191 0,9191 0,9191 0,9191 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S13 1,0828 1,0828 0,8808 0,9002 0,8135 0,8314 0,8224 Inef. 5 S14 1,4181 1,4181 0,7877 0,7437 0,5245 0,5555 0,5398 Inef. 14 S15 0,8153 0,8153 0,8153 0,7626 0,9354 1,0000 0,9672 Parc. Ef. 2 S16 1,1696 1,1696 0,6988 0,6993 0,5975 0,5979 0,5977 Inef. 12 S17 1,1821 1,1821 0,6942 0,6976 0,5872 0,5901 0,5887 Inef. 13 S18 0,6847 0,6847 0,6847 0,6847 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S19 0,8623 0,8816 0,8623 0,8816 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S20 0,9728 0,9728 0,9728 0,9728 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S21 1,0116 1,0116 0,6897 0,6904 0,6818 0,6824 0,6821 Inef. 8 S22 0,8916 0,8916 0,8916 0,8916 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S23 0,9898 0,9898 0,7355 0,7628 0,7431 0,7707 0,7568 Inef. 7 S24 1,0152 1,0152 0,6907 0,6907 0,6804 0,6804 0,6804 Inef. 9 S25 1,0655 1,0655 0,6903 0,6903 0,6479 0,6479 0,6479 Inef. 10 S26 1,0168 1,0168 1,0168 1,0168 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S27 0,7230 0,7230 0,7230 0,7230 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S28 0,7327 0,7327 0,7327 0,7327 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 S29 0,8607 0,9155 0,8607 0,9155 1,0000 1,0000 1,0000 Efic. 1 Tabla 5 - Resultados IDPBM del caso práctico Los resultados son obtenidos mediante la resolución de los modelos MEffP empleando el software Lingo, el código elaborado se adjunta en anexos. Según el modelo, 16 de los 29 institutos son eficientes, siendo el s14 el más ineficiente. Para ver como se podría mejorar el s14 se deben calcular las proyecciones de sus salidas, se representa con W (worst) y B (best) peor y mejor escenario: DMU (y1; y2; y3) W (y1; y2; y3) B (y1*; y2*; y3*) W (y1*; y2*; y3) B s14 (59; 15,5; 15) (59; 15,5; 15) (75,33; 15,5; 22,73) (69,60; 15,5; 26,13) Tabla 6 - Proyecciones de salidas de DMU s14 del caso práctico Se aprecia que la nota media se mantiene constante (y2) mientras que las admisiones y excelencia académica deben aumentar para que la DMU s14 sea eficiente. Respecto a las entradas, ya que estas no son directamente modificables no se tiene en cuenta su posible reducción. Referencias 44 REFERENCIAS [1] M. Farrell, “The measurement of productive efficiency,” J. Royal Stat. Soc., vol. 2, no. 13, 1957. [2] A. Charnes, W. W. Cooper, and E. Rhodes, “Measuring the efficiency of decision making units,” Eur. J. Oper. Res., vol. 2, no. 6, pp. 429–444, 1978. [3] R. Banker, A. Charnes y W. Cooper, “Some models for estimating technical and scale inefficiencies in Data Envelopment Analysis,” Manag. Sci., no. 30, 1984. [4] N. Soltani and S. Lozano, “Potential-based efficiency assessment and target setting,” Comput. Ind. Eng., vol. 126, pp. 611–624, 2018. [5] H. Azizi, “A note on data envelopment analysis with missing values: An interval DEA approach,” Int. J. Adv. Manuf. Technol., vol. 66, no. 9–12, pp. 1817–1823, 2013. [6] Y. G. Smirlis, E. K. Maragos, and D. K. Despotis, “Data envelopment analysis with missing values: An interval DEA approach,” Appl. Math. Comput., vol. 177, no. 1, pp. 1–10, 2006. [7] A. Amirteimoori and S. Kordrostami, “Multi-component efficiency measurement with imprecise data,” Appl. Math. Comput., vol. 162, no. 3, pp. 1265–1277, 2005. [8] D. K. Despotis and Y. G. Smirlis, “Data envelopment analysis with imprecise data,” Eur. J. Oper. Res., vol. 140, no. 1, pp. 24–36, 2002. [9] M. Esmaeili, “An Enhanced Russell Measure in DEA with interval data,” Appl. Math. Comput., vol. 219, no. 4, pp. 1589–1593, 2012. [10] G. Villa, “Apuntes DEA de la asignatura Métodos de Optimización”. [11] Y. M. Wang, R. Greatbanks, and J. B. Yang, “Interval efficiency assessment using data envelopment analysis,” Fuzzy Sets Syst., vol. 153, no. 3, pp. 347–370, 2005. [12] K. S. Park, “Efficiency bounds and efficiency classifications in DEA with imprecise data,” J. Oper. Res. Soc., vol. 58, no. 4, pp. 533–540, 2007. 45 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. ANEXO Se incluye todo el código Lingo utilizado para la resolución de los modelos expuestos. PBM MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):PBMFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): PBMFO(JJ)=@SUM(INPUTDIM(I):@LOG(THETA(JJ,I)))- @SUM(OUTPUTDIM(K):@LOG(PHI(JJ,K))); @FREE(PBMFO(JJ)); @FOR(INPUTDIM(I): @SUM(DMU(J):LAMBDA(J,JJ)*X(J,I))=INPUTTARGET(JJ,I); INPUTTARGET(JJ,I)=X(JJ,I)*THETA(JJ,I); THETA(JJ,I)<=1; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): @SUM(DMU(J):LAMBDA(J,JJ)*Y(J,K))=OUTPUTTARGET(JJ,K); OUTPUTTARGET(JJ,K)=Y(JJ,K)*PHI(JJ,K); PHI(JJ,K)>=1; ); @SUM(DMU(J):LAMBDA(J,JJ))=1; ); Despotis et al. (2002) Límite inferior: MAX=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):DSFO(JJ)); Anexo 46 @FOR(DMU(JJ): DSFO(JJ)=@SUM(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)*YL(JJ,K)); @FREE(DSFO(JJ)); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(JJ,I))=1; @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(JJ,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(JJ,I))<=0; @FOR(DMU(J)|J#NE#JJ: @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))<=0; ); @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Límite superior: MAX=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):DSFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): DSFO(JJ)=@SUM(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)*YU(JJ,K)); @FREE(DSFO(JJ)); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(JJ,I))=1; @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(JJ,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(JJ,I))<=0; @FOR(DMU(J)|J#NE#JJ: @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(J,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(J,I))<=0; ); 47 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Wang et al. (2005) Límite inferior: MAX=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):WFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): WFO(JJ)=@SUM(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)*YL(JJ,K)); @FREE(WFO(JJ)); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(JJ,I))=1; @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))<=0; ); @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Anexo 48 Límite superior: MAX=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):WFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): WFO(JJ)=@SUM(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)*YU(JJ,K)); @FREE(WFO(JJ)); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(JJ,I))=1; @FOR(DMU(J): @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))<=0; ); @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Smirlis et al. (2006) Límite inferior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):SFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): SFO(JJ)=@SUM(INPUTDIM(I): V(JJ,I)*XL(JJ,I))-W(JJ); @FREE(SFO(JJ)); @FREE(W(JJ)); 49 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(JJ,K))=1; @FOR(DMU(J) | J#NE#JJ: @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(J,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(J,K))- W(JJ)>=0; ); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(JJ,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(JJ,K))- W(JJ)>=0; @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Límite superior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):SFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): SFO(JJ)=@SUM(INPUTDIM(I): V(JJ,I)*XU(JJ,I))-W(JJ); @FREE(SFO(JJ)); @FREE(W(JJ)); @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(JJ,K))=1; @FOR(DMU(J) | J#NE#JJ: @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- W(JJ)>=0; ); @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XU(JJ,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(JJ,K))- W(JJ)>=0; @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Anexo 50 Esmaeili (2012) Límite inferior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):RFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): RFO(JJ)=(1/M)*@SUM(INPUTDIM(I): THETA(JJ,I)); @FREE(RFO(JJ)); (1/S)*@SUM(OUTPUTDIM(K):PHI(JJ, K))=1; 0<=T(JJ); T(JJ)<=1; @FOR(INPUTDIM(I): @SUM(DMU(J)|J #NE# JJ: XL(J,I)*LAMBDA(J,JJ))+LAMBDA(JJ,JJ)*XU(JJ,I)-THETA(JJ,I)*XU(JJ,I)<=0; 0<=THETA(JJ,I); THETA(JJ,I)<=T(JJ); ); @FOR(OUTPUTDIM(K): @SUM(DMU(J)| J #NE# JJ: YU(J,K)*LAMBDA(J,JJ))+LAMBDA(JJ,JJ)*YL(JJ,K)-PHI(JJ,K)*YL(JJ,K)>=0; PHI(JJ,K)>=T(JJ); ); ); Límite superior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):RFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): RFO(JJ)=(1/M)*@SUM(INPUTDIM(I): THETA(JJ,I)); @FREE(RFO(JJ)); (1/S)*@SUM(OUTPUTDIM(K):PHI(JJ, K))=1; 51 Análisis DEA con datos inciertos usando potencial de eficiencia. 0<=T(JJ); T(JJ)<=1; @FOR(INPUTDIM(I): @SUM(DMU(J)|J #NE# JJ: XU(J,I)*LAMBDA(J,JJ))+LAMBDA(JJ,JJ)*XL(JJ,I)-THETA(JJ,I)*XL(JJ,I)<=0; 0<=THETA(JJ,I); THETA(JJ,I)<=T(JJ); ); @FOR(OUTPUTDIM(K): @SUM(DMU(J)|J #NE# JJ: YL(J,K)*LAMBDA(J,JJ))+LAMBDA(JJ,JJ)*YU(JJ,K)-PHI(JJ,K)*YU(JJ,K)>=0; PHI(JJ,K)>=T(JJ); ); ); Azizi (2013) Límite inferior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):AFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): AFO(JJ)=@SUM(INPUTDIM(I): V(JJ,I)*XL(JJ,I))-W(JJ); @FREE(AFO(JJ)); @FREE(W(JJ)); @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(JJ,K))=1; @FOR(DMU(J): @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- W(JJ)>=0; ); @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); ); Anexo 52 Límite superior: MIN=FO; @FREE(FO); FO=@SUM(DMU(JJ):AFO(JJ)); @FOR(DMU(JJ): AFO(JJ)=@SUM(INPUTDIM(I): V(JJ,I)*XU(JJ,I))-W(JJ); @FREE(AFO(JJ)); @FREE(W(JJ)); @SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YL(JJ,K))=1; @FOR(DMU(J): @SUM(INPUTDIM(I):V(JJ,I)*XL(J,I))-@SUM(OUTPUTDIM(K):U(JJ,K)*YU(J,K))- W(JJ)>=0; ); @FOR(INPUTDIM(I): V(JJ,I)>=EPSILON; ); @FOR(OUTPUTDIM(K): U(JJ,K)>=EPSILON; ); );