Introducción a la teoría de valoraciones

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALORACIONES Lola Velasco Ballesta INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE VALORACIONES Lola Velasco Ballesta Memoria presentada como parte de los requisitos para la obtención del título de Grado en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Tutorizada por Miguel Ángel Olalla Acosta Índice general English Abstract 1 Introducción 3 1. Valoraciones de un cuerpo 5 1.1. Generalidades ............................... 5 1.2. Valoraciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 19 2.1. Propiedades elemetales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2. Valoraciones de primer nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Prolongación de valoraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4. Propiedades de prolongación de valoraciones . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5. Valoraciones límites e inductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6. Completitud ................................ 32 2.7. Propiedades de polinomios clave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Criterio de Schonemann-Eisenstein 39 3.1. Introducción................................ 39 ii introducción a la teoría de valoraciones 3.2. Irreducibilidad de polinomios y polinomios clave . . . . . . . . . . . . 40 3.3. Ejemplos.................................. 43 English Abstract This project starts with an introduction of classical theory of valuations. Followed by a construction of augmented values which will establish inductive valuations and key polynomials. This concepts then will be used to address the Schönemann-Eisenstein irreducibility criteria as well as other criteria that will allow for finding irreducibility polynomials. Introducción En 1801 se publica oficialmente el libro Disquisitiones Arithmeticae, escrito por Carl Fiedrich Gauss. Si bien en este trabajo no se tratará ningún estudio relacionado con este libro matemático, es digno nombrarlo, pues fue el causante de que otros dos científicos, Ferdinand Eisenstein y Theodore Schönemann, se adentrasen en demostrar la irreducibilidad de ciertos polinomios. Será esto último el epílogo de este trabajo: conocer y entender los distintos, o no tan distintos, Criterios de Irreducibilidad de ambos matemáticos. Para conseguir este propósito se ha dividido el trabajo en tres capítulos. Es aconsejable aclarar que hay varias formas de llegar al objetivo final, por ello debemos comenzar por un buen principio, y aunque suene evidente, no siempre es tan trivial marcar un punto de partida. Este primer capítulo se inicia con la presentación y descripción de las valoraciones algebraicas en un cuerpo 𝐾. Se asentará la equivalencia de valoraciones, así como la relación con valores absolutos. Posteriormente se usará esto para tratar propiedades básicas de valoraciones en 𝐾. Por último, se introducirán las valoraciones discretas. Este capítulo se basa en el libro The Classical Theory of Valuations de Paulo Ribenboim [5]. Una vez establecido el conocimiento de la primera sección surge la duda sobre el comportamiento de las valoraciones en el anillo de polinomios 𝐾[𝑥]. Es en el segundo apartado donde se resuelve dicha duda. Empieza explicando los primeros pasos de la prolongación de valoraciones y sus propiedades. Aparecerán nuevos elementos como los polinomios clave y se estudiará el comportamiento de ciertas valoraciones dependiendo de las condiciones de dichos polinomios, así como el carácter de éstos. Es importante puntualizar que esta sección sirve de antesala para el tercer capítulo y, con él, el ya conocido objetivo final. Es por ello que se centra en valores finitos, 10 introducción a la teoría de valoraciones generado. Como 𝐾es el cuerpo de fracciones de A y 𝐾≠𝐴,𝐾sería un ideal fraccionario, lo cual es imposible. (b) Sea 𝑥∈𝐴,𝑥−1 ∉𝐴, así 𝐾=𝐴[𝑥−1]por ser 𝐴maximal. Si 𝑦∈𝐾,𝑦≠0, entonces 𝑦−1 ∈𝐾y podríamos escribir 𝑦−1 =𝑎0+𝑎1𝑥−1 +... +𝑎𝑛𝑥−𝑛(con 𝑎𝑖∈𝐴). Si definimos 𝑎=𝑎0𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛∈𝐴 entonces 𝑦−1 =𝑎𝑥−𝑛y así 𝑥𝑛=𝑎𝑦 ∈𝐴𝑦. (iii)→(iv) Supongamos que se verifican (𝑎)y(𝑏).Si 𝑥, 𝑦 ∈𝐾∙y𝑥𝑈 ≰ 𝑦𝑈, es decir, 𝑥no divide a𝑦, entonces 𝑦𝑥−1 ∉𝐴. Por el apartado (a), como 𝑦∈𝐾∙⊆ 𝐾,𝑥𝑦−1 ∈𝐴así que 𝑦𝑈 ≤𝑥𝑈, es decir, 𝑦sí divide a 𝑥.𝐾∙∕𝑈es un grupo multiplicativo totalmente ordenado. Por reducción a lo absurdo, si 𝑈≤𝑥𝑈,𝑈≠𝑥𝑈, significa que 𝑥∈𝐴,𝑥∉𝑈, es decir, 𝑥−1 ∉𝐴. Si 𝑦𝑈 ∈𝐾∙∕𝑈sabemos por (b) que existe un entero 𝑛 > 0tal que 𝑥𝑛∈𝐴𝑦, es decir, 𝑦divide a 𝑎y, por tanto, 𝑦𝑈 ≤𝑥𝑛𝑈= (𝑥𝑈)𝑛. Esto prueba que 𝐾∙∕𝑈satisface la propiedad Arquimediana. (iv)→(i) Vamos a usar el siguiente lema, cuya demostración puede verse en P. Ribenboim, The Theory of Classical Valuations [5, 60-61]. Lema 1.1. Si 𝛤es un grupo Abeliano aditivo totalmente ordenado que satisface la propiedad Arquimediana, entonces es isomorfo a un subgrupo del grupo aditivo ordenado ℝ, mediante un isomorfismo que preserva el orden. Diremos que ambos grupos son o-isomorfos. Suponemos cierto este lema. Sea 𝛤un grupo abeliano aditivo o-isomorfo al grupo multiplicativo ordenado 𝐾∙∕𝑈. Debido al lema, podemos asumir 𝛤como subgrupo de ℝ. Sea la aplicación 𝑣∶𝐾→𝛤∪ {∞} definida como sigue: 𝑣(0) = ∞; sea 𝑥∈𝐾, 𝑥≠0, sea 𝜉∈𝛤el correspondiente (el elemento isomorfo) a 𝑥𝑈 ∈𝐾∙∕𝑈, entonces 𝑣(𝑥) = 𝜉. Veamos que 𝑣es una valoración de 𝐾. Si 𝜉, 𝜂 ∈𝛤corresponden respectivamente a 𝑥𝑈,𝑦𝑈 entonces 𝜉+𝜂corresponde a𝑥𝑦𝑈 =𝑥𝑈 ⋅𝑦𝑈, luego, 𝑣(𝑥𝑦) = 𝑣(𝑥) + 𝑣(𝑦). 1. valoraciones de un cuerpo 11 Si 𝜉=𝑣(𝑥)≤𝑣(𝑦) = 𝜂, entonces 𝑥𝑈 ≤𝑦𝑈, es decir, 𝑥divide a 𝑦y, por tanto, 𝑥 divide a 𝑥+𝑦. Se cumple 𝑣(𝑥+𝑦)≥𝑣(𝑥) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)}. Como 𝑥∈𝐴si y solo si 𝑈≤𝑥𝑈, es decir si 𝑣(𝑥)≥0.𝐴es el anillo de la valoración 𝑣. En conclusión, 𝐴es un anillo de una valoración no trivial 𝑣de 𝐾. Pasamos a describir las propiedades más importantes de los anillos de valoración. Proposición 1.4. Sea 𝐴un anillo de valoración, entonces es un dominio íntegramente cerrado. Demostración. Sea 𝐾el cuerpo de fracciones de 𝐴,𝑥∈𝐾un elemento entero sobre 𝐴, es decir, que satisfaga la igualdad 𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛= 0 con 𝑎𝑖∈𝐴. Entonces 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛) = 𝑣(0) = ∞. Por reducción a lo absurdo, suponemos que 𝑥∉𝐴,𝑣(𝑥)<0, por ende, 𝑣(𝑥𝑛)< 𝑣(𝑎𝑖𝑥𝑛−𝑖), para 1≤𝑖<𝑛, pues 𝑣(𝑎𝑖)≥0. Veamos que 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛) = 𝑣(𝑥𝑛). 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥𝑛), 𝑣(𝑎1𝑥𝑛−1), ..., 𝑣(𝑎𝑛)} = 𝑣(𝑥𝑛) Si 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)> 𝑣(𝑥𝑛), como 𝑣(𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑎1𝑥𝑛−1), ..., 𝑣(𝑎𝑛)} > 𝑣(𝑥𝑛) 𝑣(𝑥𝑛) = 𝑣((𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)−(𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)) ≥ ≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛), 𝑣(𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛)} > 𝑣(𝑥𝑛). Lo cual es imposible. Por tanto, 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛) = 𝑣(𝑥𝑛). Ahora bien, 𝑣(𝑥𝑛+𝑎1𝑥𝑛−1 +... +𝑎𝑛) = 𝑣(𝑥𝑛) = 𝑛𝑣(𝑥). Tendríamos que 𝑣(𝑥)=∞, es decir, 𝑥=0∈𝐴, contradicción. En conclusión 𝐴es íntegramente cerrado en 𝐾. Proposición 1.5. Sea 𝐴un anillo de valoración, entonces tiene un único ideal maximal 12 introducción a la teoría de valoraciones Demostración. Sea 𝑣la valoración sociada a 𝐴. Sea 𝑃𝑣un ideal máximal y sea 𝑈el conjunto de unidades. Consideremos 𝑃𝑣= {𝑥∈𝐴|𝑣(𝑥)>0}.Es evidente que 𝐴=𝑃𝑣∪𝑈, y𝑃𝑣∩𝑈= ∅. Sean 𝑥, 𝑦 ∈𝑃𝑣, entonces 𝑣(𝑥)>0,𝑣(𝑦)>0, luego 𝑣(𝑥+𝑦)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)} >0⇐⇒ 𝑥+𝑦∈𝑃𝑣. Análogamente, si 𝑎∈𝐴y𝑥∈𝑃𝑣,𝑣(𝑎𝑥) = 𝑣(𝑎) + 𝑣(𝑥)>0⇐⇒ 𝑎𝑥 ∈𝑃𝑣. Luego 𝑃𝑣es ideal. Como 𝐴es unión disjunta de 𝑃𝑣y𝑈, entonces 𝑃𝑣es el único ideal maximal. Definición 1.7. Sea 𝑣una valoración, llamamos ideal de la valoración 𝑣, o ideal maximal de 𝑣, al único ideal maximal 𝑃𝑣del anillo 𝐴𝑣. Y cuerpo residual de la valoración 𝑣al cuerpo 𝐾∕𝑣=𝐴𝑣∕𝑃𝑣. Ejemplo 1.1. Consideremos la valoración 𝑝-ádica 𝑣𝑝de ℚ. El valor 𝑝-ádico de un entero 𝑛es el mayor exponente de dicho primo 𝑝que aparece en su descomposición, tenemos 𝐴𝑣𝑝= {𝑎 𝑏∈ℚ|𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏)=1, 𝑝 no divide a 𝑏}, 𝑃𝑣𝑝= {𝑎 𝑏∈ℚ|𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏)=1, 𝑝 divide a 𝑎}. El cuerpo residual ℚ∕𝑣𝑝es el cuerpo 𝔽𝑝de 𝑝elementos. En efecto, ℤ⊆ 𝐴𝑣𝑝,𝑃𝑣𝑝∩ ℤ=ℤ𝑝. Sean 𝜑∶𝐴𝑣𝑝 →𝐴𝑣𝑝∕𝑃𝑣𝑝la aplicación canónica y 𝜑0la restricción a ℤ, el núcleo de 𝜑0es 𝑃𝑣𝑝∩ℤ=ℤ𝑝, por tanto, 𝜑0(ℤ) = ℤ∕ℤ𝑝=𝔽𝑝. Basta ver que 𝜑0(ℤ) = 𝜑(𝐴𝑣𝑝) = ℚ∕𝑣𝑝, es decir, dados 𝑎 𝑏∈𝐴𝑣𝑝, existe 𝑛∈ℤtal que 𝑎∕𝑏−𝑛∈𝑃𝑣𝑝. Ahora bien, como 𝑝no divide a 𝑏, existen enteros 𝑟, 𝑠 tal que, por la identidad de Bézout, 𝑟𝑝 +𝑠𝑏 = 1; tomamos 𝑛=𝑎𝑠 𝑎 𝑏−𝑛=𝑎 𝑏(1 − 𝑛𝑏 𝑎)=𝑎𝑟𝑝 𝑏∈𝑃𝑣𝑝. 1.2 Valoraciones discretas Definición 1.8. Sea 𝑣una valoración de un cuerpo 𝐾. El conjunto 𝑣(𝐾)={𝑣(𝑥)|𝑥∈ 𝐾, 𝑥 ≠0} es un subgrupo de ℝdenominado el grupo de la valoración 𝑣. Una valoración 𝑣se dice discreta si 𝑣(𝐾) ≃ ℤ. 1. valoraciones de un cuerpo 13 Si 𝑣es discreta, entonces 𝑣(𝐾)={𝑛𝛼|𝑛∈ℤ}para algún 𝛼∈ℝ,𝛼 > 0. Por tanto, 𝑣′=𝛼−1𝑣es una valoración equivalente a 𝑣y𝑣′(𝐾) = ℤ; definimos 𝑣′como la valoración normalizada asociada a 𝑣. El grupo valorado de una valoración 𝑣muestra información de los ideales del anillo de valoración 𝐴𝑣. Proposición 1.6. El conjunto de ideales fraccionarios de un anillo de valoración 𝐴𝑣 está totalmente ordenado por inclusión. Demostración. Suponemos que 𝑣es una valoración no trivial. Sea 𝐽un ideal fraccionario no nulo de 𝐾, relativo a 𝐴𝑣, sea 𝑣(𝐽)={𝑣(𝑥)|𝑥∈𝐽, 𝑥 ≠0}. Cada conjunto 𝑣(𝐽)es una upper class de 𝑣(𝐾); es decir, satisface las siguientes condiciones: (i) ∅≠𝑣(𝐽)≠𝑣(𝐾); (ii) sean 𝛼∈𝑣(𝐽), 𝛽 ∈𝑣(𝐾), si 𝛼 < 𝛽, entonces 𝛽∈𝑣(𝐽). Probemos que se cumplen estas condiciones: (i) Sea 𝐽 ⊆ 𝐴, entonces 𝑣(𝐽)⊆ 𝑣(𝐴)≠𝑣(𝐾). De lo contrario, existe 𝑎∈𝐴,𝑎≠0, tal que 𝑎𝐽 ⊆ 𝐴, y 𝑎−1 ∉𝐴; entonces 𝑣(𝑎) + 𝑣(𝑥)≥0,∀𝑥∈𝐽, por tanto, 𝑣(𝑎−1) = −𝑣(𝑎)≤𝑣(𝑥),∀𝑥∈𝐽y−2𝑣(𝑎) ∉ 𝑣(𝐽), es decir, encontramos un elemento contenido en 𝑣(𝐾)pero no en 𝑣(𝐽). (ii) Sean 𝑣(𝑥) = 𝛼,𝑥∈𝐽,𝑣(𝑦) = 𝛽,𝑦∈𝐾, y 𝛼 < 𝛽. Escribimos 𝑦= (𝑦𝑥−1)𝑥; se tiene 𝑣(𝑦𝑥−1) = 𝑣(𝑦) − 𝑣(𝑥) = 𝛽−𝛼 > 0, es decir 𝑦𝑥−1 ∈𝐴; entonces (𝑦𝑥−1)𝑥∈𝐴𝑥 ⊆ 𝐽 con lo cual 𝛽∈𝑣(𝐽). La aplicación 𝐽→𝑣(𝐽)preserva la inclusión y es inyectiva.En efecto, sean 𝐽 ⊂ 𝐽′, sea 𝑥∈𝐽′, tal que 𝑥∉𝐽, y 𝑣(𝑥) ∈ 𝑣(𝐽), tendríamos que 𝑣(𝑥) = 𝑣(𝑦)con 𝑦∈𝐽, entonces, como 𝑥= (𝑥𝑦−1)𝑦∈𝐴𝑦 ⊆ 𝐽, contradicción. Finalmente, sea Λcualquier upper class de 𝑣(𝐾), sea 𝐽= {𝑥∈𝐾|𝑣(𝑥) ∈ Λ} ∪ {0}; entonces probemos que 𝐽es un ideal fraccionario no nulo de 𝐾(relativo a 𝐴𝑣). En efecto, sean 𝑥, 𝑦 ∈𝐽, con 𝑥≠𝑦;𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)∈Λ. Como 𝑣(𝐾) ∋ 𝑣(𝑥−𝑦)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)} 14 introducción a la teoría de valoraciones ,𝑣(𝑥−𝑦) ∈ Λ, por tanto 𝑥−𝑦∈𝐽. Sean 𝑥∈𝐴,𝑦∈𝐽, entonces 𝑣(𝑥) + 𝑣(𝑦) = 𝑣(𝑥𝑦)≥𝑣(𝑦), luego 𝑥𝑦 ∈𝐽. Si 𝛼=𝑣(𝑎) ∈ 𝑣(𝐾),𝛼∉𝑣(𝐽), es decir, 𝑎−1𝐽 ⊆ 𝐴𝑣, dado que 𝑣(𝑥)> 𝑣(𝑎) = 𝛼por (2), con lo cual 𝑎−1𝑥∈𝐴𝑣, para cada 𝑥∈𝐽. Como 𝑣(𝐾)es un grupo totalmente ordenado, entonces el conjunto de sus upper class está totalmente ordenado por inclusión. Por tanto, también lo están los ideales fraccionario de 𝐴𝑣 La siguiente proposición es una consecuencia de la definiciones de ideal fraccionario y de anillo de valoración. Proposición 1.7. Cada ideal fraccionario finitamente generado de un anillo de valoración es principal. Demostración. Sea 𝐽un ideal fraccionario no nulo de 𝐴𝑣generado por 𝑥1, 𝑥2, ..., 𝑥𝑛; supongamos que 𝑣(𝑥1)≤𝑣(𝑥𝑖)para cada 𝑖= 2, ..., 𝑛; tenemos 𝑥𝑖= (𝑥𝑖𝑥−1 1)⋅𝑥1∈𝐴𝑣𝑥1, dado que 𝑣(𝑥𝑖𝑥−1 1)≥0para cada 𝑖= 2, ..., 𝑛. Entonces 𝐽=𝐴𝑣𝑥1+... +𝐴𝑣𝑥𝑛=𝐴𝑣𝑥1, es decir, 𝐽es principal. Un anillo de valoración puede contener ideales que no sean finitamente generados. Proposición 1.8. Sea 𝑣una valoración no trivial de 𝐾. Son equivalentes: (i) 𝑣es una valoración discreta; (ii) cada ideal no nulo de 𝐴𝑣es una potencia de 𝑃𝑣; (iii) 𝐴𝑣es un anillo Noetheriano; (iv) 𝑃𝑣es un ideal principal; (v) cada ideal de 𝐴𝑣es principal; (vi) cada ideal fraccionario de 𝐾(relativo a 𝐴𝑣) es principal; (vii) el conjunto de ideales fraccionarios no nulos de 𝐾es un grupo multiplicativo; (viii) 𝑃𝑣≠𝑃2 𝑣. Demostración. (i)→(ii) Sea 𝐽≠0un ideal de 𝐴𝑣. Por hipótesis tenemos 𝑣(𝐾) ≃ ℤ, por tanto existe 𝛼 > 0tal que 𝑣(𝐾) = ℤ𝛼; tomamos 𝑡∈𝑃𝑣,𝑣(𝑡) = 𝛼. Por tanto, 𝑃𝑣=𝐴𝑣𝑡, porque si 𝑣(𝑥)>0, entonces 𝑣(𝑥) = 𝑐𝛼 ≥𝛼 > 0,𝑐∈ℤ+, así 𝑥= (𝑥𝑡−1)𝑡∈ 𝐴𝑣𝑡. Sea 𝑚𝛼 =𝑖𝑛𝑓{𝑣(𝑦)|𝑦∈𝐽}y sea 𝑥∈𝐽tal que 𝑣(𝑥) = 𝑚𝛼. Se cumple que 𝐴𝑥 ⊆ 𝐽 ⊆ 𝐴𝑡𝑚, ya que si 𝑦∈𝐽, entonces 𝑣(𝑦𝑡−𝑚)≥0. Como 𝑡𝑚= (𝑡𝑚𝑥−1)𝑥∈𝐴𝑣𝑥, 𝐴𝑡𝑚⊆ 𝐴𝑥. Se concluye que 𝐽=𝐴𝑣𝑡𝑚. 1. valoraciones de un cuerpo 15 (ii)→(iii) Sean enteros 0≥𝑘≥𝑙, entonces 𝑃𝑙 𝑣⊆ 𝑃 𝑘 𝑣. Como cada ideal de 𝐴𝑣es una potencia de 𝑃𝑣, entonces cualquier cadena estrictamente ascendente de ideales de 𝐴𝑣 es finita, es decir, 𝐴𝑣es un anillo Noetheriano. (iii)→(iv) Por hipótesis, cada ideal de 𝐴𝑣es finitamente generado; teniendo en cuenta la proposición 1.7, 𝑃𝑣es un ideal principal. (iv)→(v) Sea 𝑃𝑣=𝐴𝑣𝑡, es obvio que 𝑣(𝑡)>0. Sea 𝐽cualquier ideal no nulo de 𝐴𝑣 y sea 𝛾=𝑖𝑛𝑓{𝑣(𝑥)|𝑥∈𝐽}. Si existe 𝑦∈𝐽tal que 𝑣(𝑦) = 𝛾, entonces 𝐽=𝐴𝑣𝑦. Sea 𝑥∈𝐽,𝑥= (𝑥𝑦−1)𝑦con 𝑣(𝑥𝑦−1) = 𝑣(𝑥)−𝑣(𝑦)≥0,pues 𝑣(𝑦) = 𝑖𝑛𝑓, entonces 𝑥𝑦−1 ∈𝐴𝑣y𝑥∈𝐴𝑣𝑦. Si, por el contrario, 𝑣(𝑥)> 𝛾,∀𝑥∈𝐽. Como 𝛾=𝑖𝑛𝑓{𝑣(𝑥)|𝑥∈𝐽}existe un 𝑦∈𝐽tal que 𝛾 < 𝑣(𝑦)< 𝛾 +𝑣(𝑡). De la misma forma, existe 𝑧∈𝐽tal que 𝛾 < 𝑣(𝑧)< 𝑣(𝑦)< 𝛾 +𝑣(𝑡), por tanto, 0< 𝑣(𝑦𝑧−1)< 𝑣(𝑡)entonces 𝑦𝑧−1 ∈𝑃𝑣=𝐴𝑣𝑡, es decir, 𝑦𝑧−1 es múltiplo de 𝑡, 𝑣(𝑦𝑧−1)≥𝑣(𝑡), contradicción. (v)→(vi) Sea 𝐽un ideal fraccionario no nulo, existe 𝑎∈𝐴𝑣,𝑎≠0, tal que 𝑎𝐽 ⊆ 𝐴𝑣; además, por hipótesis, 𝑎𝐽 =𝐴𝑣𝑥, con 𝑥∈𝐴𝑣, por tanto, 𝐽=𝐴𝑣𝑎−1𝑥. (vi)→(vii) Basta ver que cada ideal fraccionario no nulo 𝐽=𝐴𝑣𝑥tiene un inverso 𝐽−1 =𝐴𝑣𝑥−1. (vii)→(viii) Supongamos 𝑃𝑣=𝑃2 𝑣, entonces 𝐴𝑣=𝑃−1 𝑣𝑃𝑣=𝑃−1 𝑣𝑃2 𝑣=𝑃𝑣, lo cual es imposible. (viii)→(i) Sea 𝑡∈𝑃𝑣,𝑡∉𝑃2 𝑣. Para cada elemento 𝑥∈𝐴𝑣,𝑥≠0, existe un entero 𝑛≥0tal que 𝑛𝑣(𝑡)≤𝑣(𝑥)≤(𝑛+ 1)𝑣(𝑡). Si 𝑛𝑣(𝑡)< 𝑣(𝑥)entonces 𝑥∕𝑡𝑛y𝑡𝑛+1∕𝑥están en 𝑃𝑣y se cumple 𝑡=𝑥 𝑡𝑛⋅𝑡𝑛+1 𝑥∈𝑃2 𝑣 que es una contradicción. Por tanto, 𝑣(𝑥) = 𝑛𝑣(𝑡), i.e., 𝑣(𝐾) ≃ ℤ. Es conveniente destacar que no todas las valoraciones son discretas. La siguiente afirmación trata estas valoraciones. Proposición 1.9. Sea 𝐾un cuerpo algebraicamente cerrado y 𝑣un valoración no trivial de 𝐾. Entonces el grupo valorado 𝑣(𝐾)es un grupo divisible, es decir, dado 16 introducción a la teoría de valoraciones 𝑛∈ℤ,𝑛 > 0, y 𝑥∈𝐾∙, existe 𝑦∈𝐾∙tal que 𝑛𝑣(𝑦) = 𝑣(𝑥). En particular, 𝑣no es discreta. Demostración. Por ser 𝐾algebraicamente cerrado basta considerar cualquier raíz 𝑦∈𝐾del polinomio 𝑋𝑛−𝑥; entonces sabemos que 𝑦𝑛=𝑥, por tanto, 𝑛𝑣(𝑦) = 𝑣(𝑥). Los ejemplos de valoraciones no discretas son algo complejos. El ejemplo clásico es el del cuerpo ℂ((𝑥ℚ)) de fracciones de series de potencias con exponentes racionales. El orden, que a cada serie le asocia el menor exponente, es una valoración no discreta con grupo de valores ℚ. Una consecuencia de la condición (3) de la definición de valoración es la siguiente proposición. Proposición 1.10. Sean 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑛valoraciones no triviales, no equivalentes de dos en dos, del cuerpo 𝐾. Dados 𝛾1∈𝑣1(𝐾), 𝛾2∈𝑣2(𝐾), ...., 𝛾𝑛∈𝑣𝑛(𝐾)y𝑎1, 𝑎2, ..., 𝑎𝑛∈ 𝐾, existe 𝑥∈𝐾tal que 𝑣𝑖(𝑥−𝑎𝑖) = 𝛾𝑖para cada 𝑖= 1,2, ..., 𝑛. Demostración. Sean 𝑐𝑖∈𝐾tal que 𝑣𝑖(𝑐𝑖) = 𝛾𝑖para cada 𝑖; sea 𝛿 > 0cualquier número real. Teniendo en cuenta P. Ribenboim, The Theory of Classical Valuations [5, Chapter 1, Theorem 2], podemos afirmar que existe 𝑥∈𝐾tal que 𝑣𝑖(𝑥(𝑐𝑖+𝑎𝑖)) ≥𝛾𝑖+𝛿para 𝑖= 1, ..., 𝑛. Con lo cual 𝑣𝑖(𝑥−𝑎𝑖) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑖(𝑥−𝑐𝑖−𝑎𝑖), 𝑣𝑖(𝑐𝑖)} = 𝛾𝑖para 𝑖= 1, ..., 𝑛. Sean 𝐾=ℚ, y 𝑝1, ..., 𝑝𝑛primos distintos, dados enteros 𝑒𝑖≥1y enteros 𝑎𝑖∈ℤ, existe un número racional 𝑥tal que 𝑣𝑝𝑖(𝑥−𝑎𝑖)≥𝑒𝑖, i.e., 𝑥≡𝑎𝑖(𝑝𝑒𝑖 𝑖)para 𝑖= 1, ..., 𝑛. El Teorema Chino del resto establece que se pueda obtener un entero 𝑥, es decir, 𝑣𝑝(𝑥)≥0para cada primo 𝑝. Reinterpretamos el Teorema Chino del resto como sigue. Proposición 1.11. Sean 𝑝1, 𝑝2, ..., 𝑝𝑛primos distintos, 𝑚𝑖≥1y𝑎𝑖enteros con 𝑖= 1,2, ..., 𝑛, existe 𝑥tal que 𝑣𝑝𝑖(𝑥−𝑎𝑖)≥𝑚𝑖,𝑖= 1,2, ..., 𝑛.𝑣𝑝(𝑥)≥0para cualquier otro primo 𝑝. Observación 1.4.En resumen, la familia de las valoraciones 𝑝-ádicas de ℚtiene las siguientes propiedades: 1. valoraciones de un cuerpo 17 (i)𝑥∈ℤsi y solo si 𝑣𝑝(𝑥)≥0para todo primo 𝑝, i.e., ℤes la intersección de los anillos de valoración de todas las valoraciones p-ádicas. (ii) Sea 𝑥∈ℚ,𝑥≠0, existe un número finito de primos 𝑝tales que 𝑣𝑝(𝑥)≠0. (iii) Para cada 𝑝el grupo valorado 𝑣𝑝es ℤ. (iv) Se conserva el Teorema Chino del resto. 2 Prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes En este capítulo seguimos a S. MacLane [3] para construir todas las valoraciones que prolongan una valoración 𝑣0de un cuerpo 𝐾al cuerpo 𝐾[𝑥]. El resultado principal de este artículo (teorema 2.11 en esta memoria) concluye que toda prolongación 𝑤de 𝐾[𝑥], que prolonga a una valoración discreta de 𝑣0de 𝐾, es una valoración inductiva o una valoración límite. En este trabajo no abordamos todos los detalles de las valoraciones límite, pues son las inductivas las que abren la puerta al estudio de criterios de irreducibilidad. 2.1 Propiedades elemetales Recordamos que sean 𝐾un cuerpo y 𝑣una valoración en 𝐾, por definición de valoración 𝑣cumple (2) 𝑣(𝑥𝑦) = 𝑣(𝑥) + 𝑣(𝑦),(3) 𝑣(𝑥+𝑦)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)} ∀𝑥, 𝑦 ∈𝐾. Como consecuencia de (2) obtenemos: 𝑣(1) = 0, 𝑣(−1) = 0, 𝑣(−𝑎) = 𝑣(𝑎). Además de (3) se deduce una desigualdad triangular fuerte. 𝑣(𝑥)≠𝑣(𝑦)implica 𝑣(𝑥+𝑦) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)}. En efecto, supongamos 𝑣(𝑥)> 𝑣(𝑦)y𝑣(𝑥+𝑦)> 𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥), 𝑣(𝑦)}. Entonces 𝑣(𝑦) = 𝑣(𝑦+𝑥−𝑥)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥+𝑦), 𝑣(−𝑥)} = 𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑥+𝑦), 𝑣(𝑥)} > 𝑣(𝑦), contradicción. 26 introducción a la teoría de valoraciones 2.4 Propiedades de prolongación de valoraciones Una prolongación de valoración 𝑣nunca tiene un valor menor al de su valoración original 𝑤. Teorema 2.4. [Monotonía] Sea la prolongación 𝑣= [𝑤, 𝑣(𝜙(𝑥)) = 𝜇], entonces 𝑣(𝑓(𝑥)) ≥𝑤(𝑓(𝑥)) para cualquier polinomio 𝑓(𝑥)≠0. La desigualdad se cumple si y solo si 𝑓(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙(𝑥)en 𝑤. Es decir, la igualdad se cumple siempre que el grado de 𝜙(𝑥)sea mayor que el grado de 𝑓(𝑥). Demostración. Se prueba por inducción sobre el grado de la expansión 𝑚de 𝑓(𝑥)en 𝜙(𝑥). Si 𝑚= 0, conseguimos la igualdad. 𝑣(𝑓(𝑥)) = 𝑚𝑖𝑛{𝑤(𝑓𝑖(𝑥)) + 𝑖𝜇} = 𝑤(𝑓0(𝑥))𝜙0=𝑤(𝑓(𝑥)). Si 𝑚 > 0, como 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝜙(𝑥) + 𝑟(𝑥), podemos ver que 𝑞(𝑥)tiene una expansión de grado 𝑚− 1 en 𝜙(𝑥); suponemos cierto 𝑣(𝑞(𝑥)) ≥𝑤(𝑞(𝑥)). Entonces, por la expresión (2.1) de 𝑓(𝑥), y el lema 2.1, 𝑣(𝑞(𝑥)𝜙)≥𝑤(𝑞(𝑥)) + 𝑣(𝜙)> 𝑤(𝑞(𝑥)) + 𝑤(𝜙)> 𝑤(𝑞(𝑥)𝜙)≥𝑤(𝑓(𝑥))). Para el segundo término, el caso de 𝑚= 0 y el lema 2.1 implican 𝑣(𝑟(𝑥)) = 𝑤(𝑟(𝑥)) ≥𝑤(𝑓(𝑥)), donde a desigualdad se cumple si y solo si 𝑓(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙en 𝑤. Basta tener en cuenta la propiedad (3) de definición de valoración, 𝑣(𝑓(𝑥)) = 𝑣(𝑞(𝑥)𝜙+𝑟(𝑥)) ≥𝑚𝑖𝑛{𝑣(𝑞(𝑥)𝜙), 𝑣(𝑟(𝑥))} ≥𝑤(𝑓(𝑥)). Teorema 2.5. Sea la expresión 𝑎(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥)𝜙𝑛+𝑎𝑛−1(𝑥)𝜙𝑛−1 +... +𝑎0(𝑥) si los grados de 𝑎𝑖(𝑥)no están acotados, ni ningún 𝑎𝑖(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙en 𝑤, entonces la prolongación 𝑣= [𝑤, 𝑣(𝜙) = 𝜇]es 𝑣(𝑎(𝑥)) = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑎𝑖) + 𝑖𝜇}(i=0,1,...,n) 2. prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 27 Demostración. Tomamos para cada coeficiente la expresión 𝑎𝑖(𝑥) = 𝑞𝑖(𝑥)𝜙+𝑟𝑖(𝑥) (𝑖= 0,1, ..., 𝑛), 𝑎(𝑥) = 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑞𝑖(𝑥)𝜙𝑖+1 + 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖(𝑥)𝜙𝑖. Por la propia definición de prolongación de una valoración tenemos 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖) = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑟𝑖) + 𝑖𝜇}. Por otro lado veamos que como ningún 𝑎𝑖es equivalente divisible por 𝜙, entonces debido al lema 2.1 conseguimos la igualdad 𝑤(𝑟𝑖) = 𝑤(𝑎𝑖)y con ello 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖) = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑟𝑖) + 𝑖𝜇} = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑎𝑖) + 𝑖𝜇}. Para el primer sumando de 𝑎(𝑥)usamos además la desigualdad 𝑣(𝜙) = 𝜇 > 𝑤(𝜙) (expresión (2.1)) 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑞𝑖𝜙𝑖+1) = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑞𝑖) + {1 + 𝑖}𝜇}> 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑞𝑖) + 𝑤(𝜙) + 𝑖𝜇}. Basta ver que 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑞𝑖𝜙𝑖+1)> 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖) y, en efecto, 𝑣(𝑎(𝑥)) = 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑞𝑖𝜙𝑖+1 + 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖) =𝑚𝑖𝑛{𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑞𝑖𝜙𝑖+1), 𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖)} =𝑣( 𝑛 ∑ 𝑖=0 𝑟𝑖𝜙𝑖) = 𝑚𝑖𝑛𝑖{𝑤(𝑎𝑖) + 𝑖𝜇}. 28 introducción a la teoría de valoraciones 2.5 Valoraciones límites e inductivas Definición 2.3. Sea 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑘una sucesión de valoraciones, con 𝑣1= [𝑣0, 𝑣1(𝑥) = 𝜇1]una valoración de primer nivel; cada nivel 𝑣𝑖se obtienen prolongando 𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖= [𝑣𝑖−1, 𝑣𝑖𝜙𝑖=𝜇𝑖] (𝑖= 1,2, ..., 𝑘). Cualquier valoración 𝑣𝑘de 𝐾[𝑥]obtenida de dicha forma se denomina valoración inductiva de k-ésimo nivel. Además, los polinomios clave 𝜙𝑖(𝑥)(i=2,...,k) satisfacen las siguientes condiciones: (i) deg 𝜙𝑖(𝑥)≥deg 𝜙𝑖−1(𝑥) (ii) la equivalencia 𝜙𝑖(𝑥) ∼ 𝜙𝑖−1(𝑥), en 𝑣𝑖−1, es falsa. Siendo en este caso el primer polinomio clave 𝜙1(𝑥) = 𝑥. La valoración 𝑣𝑘quedaría establecida como: 𝑣𝑘= [𝑣0, 𝑣1(𝑥) = 𝜇1, 𝑣2(𝜙2) = 𝜇2, ..., 𝑣𝑘(𝜙𝑘) = 𝜇𝑘].(2.5) Dada un secuencia infinita 𝑣1, 𝑣2, ..., 𝑣𝑘, ... de dichas valoraciones, tenemos 𝑣∞(𝑓(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚𝑥→∞𝑣𝑘(𝑓(𝑥)). El carácter monotono de 𝑣𝑘nos asegura que el límite anterior no es finito, es +∞. La valoración 𝑣𝑘satisface la propiedad del producto y la desigualdad triangular que definen a las valoraciones. Para el producto basta tomar el límite del producto de la valoración 𝑣𝑘; para la desigualdad triangular sabemos que para 𝑣𝑘se cumple una de las dos condiciones siguientes: 𝑣𝑘(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ≥𝑣𝑘(𝑓(𝑥)), 𝑣𝑘(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ≥𝑣𝑘(𝑔(𝑥)) entonces sean infinitos k, se cumpliría 𝑣∞(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ≥𝑣∞(𝑓(𝑥)), 𝑣∞(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) ≥𝑣∞(𝑔(𝑥)). cumpliendo así la condición. 2. prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 29 Teorema 2.6. Sean {𝜙𝑘(𝑥)} y{𝜇𝑘}sucesiones infinitas tales que todas las valoraciones 𝑣𝑘expresadas como en (2.5) son valoraciones inductivas. Entonces la función 𝑣∞(𝑓(𝑥)) vista anteriormente es una valoración de 𝐾[𝑥], donde algunos polinomios no nulos tienen valor ∞. Dicha función 𝑣∞se denomina valoración límite. El caso en que varios polinomios clave tengan el mismo grado tendrá un desarrollo diferente, basado en el siguiente lema. Lema 2.2. Si en la valoración inductiva 𝑣𝑘todos los polinomios clave 𝜙𝑡+1(𝑥), 𝜙𝑡+2(𝑥), ..., 𝜙𝑘(𝑥)tienen el mismo grado, para t, 0≥𝑡<𝑘− 1, entonces (i) 𝑣𝑡(𝜙𝑗+1 −𝜙𝑗) = 𝜇𝑗(𝑗=𝑡+ 1.𝑡 + 2, ..., 𝑘 − 1) (ii) 𝜇𝑘> 𝜇𝑘−1 > ... > 𝜇𝑡+1 (iii) 𝑣𝑡(𝜙𝑡+1) = 𝑣𝑡(𝜙𝑡+2) = ... =𝑣𝑡(𝜙𝑘−1) = 𝑣𝑡(𝜙𝑘) (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡 > 0). Demostración. Sea 𝑗=𝑡+ 1, ..., 𝑘 − 1 y el conjunto 𝑠𝑗(𝑥) = 𝜙𝑗+1(𝑥) − 𝜙𝑗(𝑥). Como ambos polinomios clave tienen coeficiente principal 1 y por hipótesis tienen el mismo grado, el grado de 𝑠𝑗(𝑥)va a ser menor que el de 𝜙𝑗(𝑥). Por tanto, por la monotonía se cumple la igualdad 𝑣𝑡(𝑠𝑗(𝑥)) = 𝑣𝑡+1(𝑠𝑗(𝑥)) = ... =𝑣𝑘(𝑠𝑗(𝑥)). Pasamos a demostrar los apartados. (i) Suponemos que es falso para algún 𝑗, tendríamos 𝑣𝑡(𝑠𝑗(𝑥)) = 𝑣𝑗(𝜙𝑗+1 −𝜙𝑗)> 𝜇𝑗=𝑣𝑗(𝜙𝑗). Entonces 𝜙𝑗+1 ∼𝜙𝑗, lo cual entra en contradicción con la definición. (ii) Teniendo en cuenta la monotonía y 𝜙𝑗+1(𝑥) = 𝑠𝑗(𝑥) + 𝜙𝑗(𝑥), 𝜇𝑗+1 =𝑣𝑗+1(𝜙𝑗+1)> 𝑣𝑗(𝜙𝑗+1)≥𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑗(𝜙𝑗), 𝑣𝑡(𝑠𝑗)} = 𝜇𝑗. (iii) De forma análoga a lo anterior y asumiendo 𝑡 > 0, 𝑣𝑡(𝑠𝑗(𝑥)) = 𝜇𝑗=𝑣𝑗(𝜙𝑗)> 𝑣𝑗−1(𝜙𝑗)≥𝑣𝑡(𝜙𝑗),(𝑗=𝑡+ 1, ..., 𝑘 − 1). Por la desigualdad triangular fuerte para 𝑣𝑡de 𝑠𝑗(𝑥)llegamos a 𝑣𝑡(𝜙𝑗+1) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑡(𝑠𝑗(𝑥)), 𝑣𝑡(𝜙𝑗)} = 𝑣𝑡(𝜙𝑗). 30 introducción a la teoría de valoraciones Una consecuencia de este lema es la invarianza de las valoraciones asignadas a polinomios clave. Teorema 2.7. Si el i-ésimo nivel que la valoración inductiva 𝑣𝑘usa un polinomio clave 𝜙𝑖con un valor asignado 𝜇𝑖, entonces 𝑣𝑘(𝜙𝑖) = 𝑣𝑖(𝜙𝑖) = 𝜇𝑖. Demostración. Se concluye directamente del teorema de monotonía si 𝜙𝑖+1(𝑥), y por tanto, los posteriores polinomios clave, tienen grado mayor que 𝜙𝑖(𝑥). Hay un único caso restante del lema anterior con 𝑡=𝑖−1. Pero sea 𝜙𝑗(𝑥) = 𝜙𝑗+1(𝑥)−𝑠𝑗(𝑥), tenemos 𝜙𝑖=𝜙𝑘−𝑠𝑘−1(𝑥) − 𝑠𝑘−2(𝑥) − ... −𝑠𝑖(𝑥) Sabemos por el lema anterior que los valores de 𝑣𝑘sobre los términos de la derecha son 𝜇𝑘, 𝜇𝑘−1, ..., 𝜇𝑖, respectivamente; por la desigualdad triangular fuerte llegamos a la conclusión esperada. 𝑣𝑘(𝜙𝑖) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘−1(𝜙𝑘), 𝑣𝑘−1(𝑠𝑘−1(𝑥)), ..., 𝑣𝑘−1(𝑠𝑖(𝑥))} =𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘−1(𝜙𝑘), 𝑣𝑘(𝑠𝑘−1(𝑥)), ..., 𝑣𝑘(𝑠𝑖(𝑥))} = 𝑚𝑖𝑛{𝜇𝑘, 𝜇𝑘−1, ..., 𝜇𝑖} = 𝜇𝑖. Veamos otro teorema de monotonía más específico. Teorema 2.8. Sea una valoración inductiva o límite construida por valoraciones inductivas 𝑣1, 𝑣2, .... Entonces, para cualquier polinomio fijo 𝑓(𝑥)≠0, ocurre uno de las dos condiciones siguientes 𝑣𝑘+1(𝑓(𝑥)) > 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)) (𝑘= 1,2, ...) Existe un 𝑖≥1tal que 𝑣1(𝑓(𝑥)) < 𝑣2(𝑓(𝑥)) < ... < 𝑣𝑖−1(𝑓(𝑥)) < 𝑣𝑖(𝑓(𝑥)) = 𝑣𝑖+1(𝑓(𝑥)) = 𝑣𝑖+2(𝑓(𝑥)) = ... En este caso existe un 𝑟(𝑥)de grado menor que el de 𝜙𝑖+1 con 𝑓(𝑥) ∼ 𝑟(𝑥)(en 𝑣𝑘) (𝑘=𝑖+ 1, 𝑖 + 2, ...) Demostración. Supongamos que la primera opción es falsa. Es decir, para algún 𝑖 𝑣𝑖+1(𝑓(𝑥)) = 𝑣𝑖(𝑓(𝑥)). 2. prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 31 Por la propiedad de monotonía sabemos que esta igualdad se cumple si y solo si 𝑓(𝑥) no es equivalente-divisible por 𝜙𝑖+1. Entonces, tomando la expresión 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝜙𝑖+1 +𝑟(𝑥); del lema 2.1 sabemos que 𝑣𝑖(𝑟(𝑥)) = 𝑣𝑖(𝑓(𝑥)). Por tanto, para cualquier 𝑘≥𝑖+ 1, recordando que 𝑣𝑗+1(𝜙𝑗+1) = 𝜇𝑗+1 > 𝑣𝑗(𝜙𝑗+1) 𝑣𝑘(𝑓−𝑟)≥𝑣𝑖+1(𝑓−𝑟) = 𝑣𝑖+1(𝑞𝜙𝑖+1)> 𝑣𝑖(𝑞𝜙𝑖+1)≥𝑣𝑖(𝑓) = 𝑣𝑖(𝑟) = 𝑣𝑘(𝑟). Esta última igualdad es debido a que deg(𝑟)<deg(𝜙𝑖+1). Por tanto, 𝑓(𝑥)y𝑟(𝑥)son equivalentes en 𝑣𝑘y 𝑣𝑘(𝑓) = 𝑣𝑘(𝑟) = 𝑣𝑖(𝑟) = 𝑣𝑖(𝑓), con lo cual 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)) es constante para 𝑘≥𝑖, que es la segunda alternativa. Si suponemos falsa la segunda es trivial que ocurra la primera. Una valoración inductiva 𝑣𝑘de 𝐾[𝑥]define una valoración del cuerpo de funciones racionales 𝐾(𝑥). Esta valoración tiene un grupo de valores asociado a 𝑣𝑘,Γ𝑘. Teorema 2.9. La valoración 𝑣𝑘, con la expresión de (2.5), tiene un grupo de valores Γ𝑘formado por todos los números reales de la forma 𝜈+𝑚1𝜇1+𝑚2𝜇2+... +𝑚𝑘𝜇𝑘, donde las 𝑚𝑖son enteros y 𝜈es un elemento del grupo de valores de la valoración original 𝑣0. El hecho de que cada número de Γ𝑘tenga esa expresión viene, por inducción, de la definición de valoración aumentada 𝑣𝑘. Por otro lado, cualquier número de esta forma es, por el teorema 2.7, el valor por 𝑣𝑘de la función racional 𝑏𝑥𝑚1𝜙𝑚2 2⋅⋅⋅𝜙𝑚𝑘 𝑘, con 𝑏una constante de 𝐾con valor 𝜈. Definición 2.4. Sea 𝜇un número real, se le dice conmensurable con un grupo aditivo si cualquier múliplo de 𝜇está en el grupo. Teorema 2.10. En una valoración inductiva 𝑣𝑘, cada valor asignado 𝜇𝑖, excepto a lo sumo 𝜇𝑘, es conmesurable con el grupo de valores Γ𝑖−1 de 𝑣𝑘. (𝑖≥1) 32 introducción a la teoría de valoraciones Demostración. Consideramos la expansión en 𝜙𝑖del siguiente polinomio clave, 𝜙𝑖+1(𝑥) = 𝑓𝑚(𝑥)𝜙𝑚 𝑖+𝑓𝑚−1(𝑥)𝜙𝑚−1 𝑖+... +𝑓0(𝑥). Si 𝜇𝑖no es conmesurable con Γ𝑖−1, ningún par de términos pueden tener el mismo valor en 𝑣𝑖. Solo un elemento tiene el mínimo valor, el j-ésimo, y se cumple 𝜙𝑖+1(𝑥) ∼ 𝑓𝑗(𝑥)𝜙𝑗 𝑖(en 𝑣𝑖). Por la irreducibilidad de 𝜙𝑖+1, al menos una de las siguientes condiciones debe cumplirse 𝑓𝑗(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙𝑖+1 en 𝑣𝑖, 𝜙𝑖(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙𝑖+1 en 𝑣𝑖. Debido a la propiedad de grado mínimo de 𝜙𝑖+1 la primera opción contradice la desigualdad, deg 𝜙𝑖≥deg 𝜙𝑖−1, de la definición 2.3. Del mismo modo, la segunda posibilidad implica que 𝜙𝑖+1 y𝜙𝑖tienen el mismo grado, y por tanto, 𝑠(𝑥) = 𝜙𝑖+1(𝑥) − 𝜙𝑖(𝑥) tiene menor grado. Análogo a la demostración del lema 2.2 en 𝑣𝑖con el polinomio clave 𝜙𝑖+1 tenemos 𝑣𝑖(𝑠(𝑥)) > 𝑣𝑖(𝜙𝑖); y por tanto 𝜙𝑖(𝑥) ∼ 𝜙𝑖+1(𝑥) contradicción con la definición 2.3. 2.6 Completitud Teorema 2.11. Si cada valoración del cuerpo 𝐾es discreta, entonces cada valoración 𝑤del anillo 𝐾[𝑥]puede ser representada como inductiva o como valoración límite. Demostración. Dado 𝑤, construimos la valoración inductiva correspondiente con las siguientes propiedades: (1) 𝑤(𝑓(𝑥)) ≥𝑣𝑘(𝑓(𝑥)) (para todo 𝑓(𝑥)), (2) deg 𝑓(𝑥)<deg 𝜙𝑘implica 𝑤(𝑓(𝑥)) = 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)), 2. prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 33 (3) 𝑤(𝜙𝑖(𝑥)) = 𝑣𝑘(𝜙𝑖(𝑥)) = 𝜇𝑖(𝑖= 1,2, ..., 𝑘). La valoración inicial 𝑣1quedaría definida de forma 𝜇1=𝑤(𝑥), 𝑣0(𝑎) = 𝑤(𝑎) (para cualquier 𝑎∈𝐾). Tomando la definición de valoración de primer nivel, 𝑣1= [𝑣0, 𝑣1𝑥=𝜇], es fácil ver que cumple las tres condiciones anteriores. Supongamos ahora que existe una valoración inductiva 𝑣𝑘que cumple dichas condiciones, sin que se cumpla siempre la igualdad de la primera. Escogemos un polinomio clave 𝜓(𝑥)de menor grado posible, tal que 𝑤(𝜓(𝑥)) > 𝑣𝑘(𝜓(𝑥)); (se usará 𝜓como abreviación de 𝜓(𝑥)). Prebemos que son equivalentes las siguientes afirmaciones: i. 𝑤(𝑓(𝑥)) > 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)); ii. 𝑓(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜓(𝑥)en 𝑣𝑘. (i⇐⇒ii) En efecto, sea 𝑓(𝑥) = 𝑞(𝑥)𝜓+𝑟(𝑥), entonces 𝑣𝑘(𝑟) = 𝑣𝑘(𝑞𝜓−𝑓) = 𝑤(𝑞𝜓−𝑓)≥𝑚𝑖𝑛{𝑤(𝑞𝜓), 𝑤(𝑓)} > 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘(𝑞𝜓), 𝑣𝑘(𝑓)} = 𝑣𝑘(𝑞𝜓); esta última desiguldad dada por el mínimo grado de 𝜓y la primera condición para 𝑞(𝑥). (ii⇐⇒i) Si se cumple la segunda condición, existen polinomios ℎ(𝑥)y𝑠(𝑥)con 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥)𝜓+𝑠(𝑥), 𝑣𝑘(𝑠(𝑥)) > 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)) = 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘(𝑠(𝑥)), 𝑣𝑘(ℎ(𝑥)𝜓)} = 𝑣𝑘(ℎ(𝑥)𝜓). Entonces 𝑤(𝑓(𝑥)) ≥𝑚𝑖𝑛{𝑤(ℎ(𝑥)𝜓), 𝑤(𝑠(𝑥))} ≥𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘(ℎ(𝑥)) + 𝑤(𝜓), 𝑣𝑘(𝑠(𝑥))} > 𝑣𝑘(ℎ(𝑥)) + 𝑣𝑘(𝜓) = 𝑣𝑘(𝑓(𝑥)). Con esto probamos que 𝜓(𝑥)cumple la definición de polinomio clave sobre la valoración 𝑣𝑘. Por tanto, podemos asignar 𝜓(𝑥) = 𝜙𝑘+1 con un nuevo valor 𝜇𝑘+1 =𝑤(𝜓)> 𝑣𝑘(𝜓), 34 introducción a la teoría de valoraciones y construir la prolongación de valoración 𝑣𝑘+1 = [𝑣𝑘, 𝑣𝑘+1(𝜙𝑘+1) = 𝜇𝑘+1]. La cual sería una valoración inductiva en caso de cumplir las condiciones de la definición. En efecto, como 𝜙𝑘+1 =𝜓y, por la desigualdad (2),𝜙𝑘(𝑥)no puede tener grado mayor a𝜙𝑘+1(𝑥), se cumple la primera condición de la definición. La segunda solo sería falsa si 𝜙𝑘+1 y𝜙𝑘fuesen equivalentes en 𝑣𝑘, es decir, si 𝑣𝑘(𝜙𝑘−𝜙𝑘+1)> 𝑣𝑘(𝜙𝑘) = 𝑣𝑘(𝜙𝑘+1) Por tanto, sería 𝑤(𝜙𝑘)≥𝑚𝑖𝑛{𝑤(𝜙𝑘+1, 𝑤(𝜙𝑘−𝜙𝑘+1))} > 𝑚𝑖𝑛{𝑣𝑘(𝜙𝑘+1), 𝑣𝑘(𝜙𝑘)} = 𝑣𝑘(𝜙𝑘) = 𝑤(𝜙𝑘), contradicción. Con lo cual se cumple la segunda condición. La valoración inductiva 𝑣𝑘+1 construida satisface las propiedades (1),(2) y(3). Las dos últimas son consecuencias del teorema de monotonía y del teorema 2.7. Para la primera es resultado de la definición de prolongación de valoración 𝑣𝑘+1 𝑤( 𝑚 ∑ 𝑖=0 𝑓𝑖(𝑥)𝜓𝑖)≥𝑚𝑖𝑛𝑖[𝑤(𝑓𝑖(𝑥) + 𝑖𝜇𝑘+1] = 𝑣𝑘+1( 𝑚 ∑ 𝑖=0 𝑓𝑖(𝑥)𝜓𝑖). Concluye la construcción de la valoración inductiva 𝑣𝑘asociada a 𝑤. Este proceso nos puede llevar a una valoración inductiva 𝑣𝑘igual a 𝑤o a una sucesión infinita de valoraciones inductivas con una valoración límite 𝑣∞. 2.7 Propiedades de polinomios clave Una vez establecido el procedimiento para construir valoraciones con polinomios clave es necesario saber qué polinomios pueden considerarse como tal. Parte de esta cuestión será resuelta tras especificar la estructura de las valoraciones inducticas 𝑣𝑘. Comenzaremos viendo que ciertos polinomios actúan como "unidades-equivalentes". Lema 2.3. Sea 𝑣𝑘una valoración inductiva con 𝑘 > 1, entonces para cada polinomio 𝑏(𝑥)con 𝑣𝑘(𝑏(𝑥)) = 𝑣𝑘−1(𝑏(𝑥)) existe un polinomio 𝑏′(𝑥)con 𝑏′(𝑥)𝑏(𝑥)∼1 (en 𝑣𝑘), 𝑣𝑘(𝑏′(𝑥)) = 𝑣𝑘−1(𝑏′(𝑥)). 2. prolongación de valoraciones en extensiones trascendentes 35 Demostración. La hipótesis de 𝑏(𝑥)implica que 𝑏(𝑥)no es equivalente-divisible por el polinomio clave 𝜙𝑘. Como 𝜙𝑘es irreducible, existen polinomios 𝑏′(𝑥)y𝑐(𝑥)tal que por la identidad de Bézout 𝑏′(𝑥)𝑏(𝑥) + 𝑐(𝑥)𝜙𝑘(𝑥)=1,deg(𝑏′(𝑥)) <deg(𝜙𝑘(𝑥)). Por la propiedad de monotonía, 𝑣𝑘(𝑏′) = 𝑣𝑘−1(𝑏′). La transición de 𝑣𝑘−1 a𝑣𝑘aumenta el valor de 𝑐(𝑥)𝜙𝑘, pero no varia al resto de valores. Por tanto, 𝑏′𝑏∼ 1. Lema 2.4. Sea 𝑣𝑘cualquier valoración inductiva, el polinomio clave 𝜙𝑘es equivalenteirreducible en 𝑣𝑘; un polinomio 𝑔(𝑥)no equivalente-divisible por 𝜙𝑘en 𝑣𝑘tiene valor 𝑣𝑘(𝑔)en Γ𝑘−1. Demostración. Sea la expansión de un polinomio 𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥) = 𝑓𝑛(𝑥)𝜙𝑛 𝑘+𝑓𝑛−1(𝑥)𝜙𝑛−1 𝑘+... +𝑓0(𝑥),deg(𝑓𝑖(𝑥)) <deg(𝜙𝑘), entonces 𝑓(𝑥)es equivalente-divisible en 𝑣𝑘por 𝜙𝑘si y solo si 𝑣𝑘(𝑓0)> 𝑣𝑘(𝑓). En efecto, si 𝑣𝑘(𝑓0)> 𝑣𝑘(𝑓), entonces 𝑓−𝑓0sería un polinomio equivalente a 𝑓con un factor 𝜙𝑘. Por otro lado, si 𝑓∼ℎ(𝑥)𝜙𝑘, entonces el último término 𝑓0de la expansión de f se obtiene de 𝑓−ℎ(𝑥)𝜙𝑘, con 𝑣𝑘(𝑓−ℎ𝜙𝑘)> 𝑣𝑘(𝑓), y por tanto, 𝑣𝑘(𝑓0)> 𝑣𝑘(𝑓). En particular, para cualquier 𝑓(𝑥)no equivalente-divisible por 𝜙𝑘se consigue 𝑣𝑘(𝑓) = 𝑣𝑘(𝑓0) = 𝑣𝑘−1(𝑓0)∈Γ𝑘−1. Este criterio muestra la equivalencia-irreducibilidad de 𝜙𝑘en 𝑣𝑘. Supongamos que 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)es equivalente-divisible por 𝜙𝑘, aunque ningún factor lo es. Entonces por el criterio tenemos 𝑣𝑘(𝑓0) = 𝑣𝑘(𝑓),𝑣𝑘(𝑔0) = 𝑣𝑘(𝑔), con 𝑔0(𝑥)el último término de la expansión de 𝑔(𝑥). El último de la expansión de 𝑓𝑔 es el resto 𝑟(𝑥)obtenido en la división de 𝑓0𝑔0por 𝜙𝑘; pero al no ser 𝑓0𝑔0equivalente-divisible por 𝜙𝑘en 𝑣𝑘, por el lema 2.1 y la propiedad de monotonía tenemos 𝑣𝑘(𝑟0) = 𝑣𝑘−1(𝑟0) = 𝑣𝑘−1(𝑓0𝑔0) = 𝑣𝑘(𝑓0𝑔0) = 𝑣𝑘(𝑓0)+𝑣𝑘(𝑔0) = 𝑣𝑘(𝑓)+𝑣𝑘(𝑔) = 𝑣𝑘(𝑓𝑔). Lo cual significa que 𝑓𝑔 no es equivalente-divisible por 𝜙𝑘, contradicción. Definición 2.5. Una valoración inductiva 𝑣𝑘se llamará conmensurable si el valor 𝜇𝑘asignado al último polinomio clave es conmensurable con el grupo Γ𝑘−1. Existe entonces el entero positivo 𝜏𝑘lo más pequeño posible tal que 𝜏𝑘𝜇𝑘está en Γ𝑘−1. Para cada 𝑡≥𝑘existe un valor similar 𝜏𝑡 𝜏𝑡es el menor entero tal que 𝜏𝑡𝜇𝑡∈ Γ𝑡−1. 42 introducción a la teoría de valoraciones 𝑝divide a 𝑎𝑛−1, ..., 𝑎0 𝑝2no divide a 𝑎0, entonces 𝑓(𝑥)es irreducible en ℤ[𝑥]. Demostración. Tomamos en ℚ[𝑥]la valoración [𝑣0(𝑝) = 𝑛, 𝑣1(𝑥) = 1]. Como 𝑝no divide a 𝑎𝑛podemos obtener el polinomio mónico 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛+𝑎𝑛−1 𝑎𝑛 𝑥𝑛−1 +... +𝑎1 𝑎𝑛 𝑥+𝑎0 𝑎𝑛 =𝑏𝑛𝑥𝑛+𝑏𝑛−1𝑥𝑛−1 +... +𝑏1𝑥+𝑏0∈ℚ[𝑥]. Por tanto, veamos que cumple los requisitos del teorema 3.2 i. 𝑏𝑛= 1 ii. a)𝑣1(𝑥)=1⇐⇒ 𝑣1(𝑥𝑛) = 𝑛 b) Como 𝑝no divide a 𝑎𝑛⇐⇒ 𝑣1(𝑎𝑛)=0. Como 𝑝divide a 𝑎0, pero 𝑝2no ⇐⇒ 𝑣1(𝑎0) = 𝑛. Entonces 𝑣1(𝑏0) = 𝑣1(𝑎0 𝑎𝑛)=𝑣1(𝑎0) − 𝑣1(𝑎𝑛) = 𝑛 c)𝑝divide a 𝑎𝑛−1, ..., 𝑎0⇐⇒ 𝑣1(𝑎𝑖)≥𝑛para 𝑖= 1, ..., 𝑛 − 1 ⇐⇒ 𝑣1(𝑓(𝑥)) = 𝑛 iii. Γ𝑘−1 = Γ0=ℤ𝑛, y 𝜇𝑘=𝜇1= 1. Entonces si tomamos un número 𝑠, con 0< 𝑠 < 𝑛,𝑠⋅1 ∉ ℤ𝑛 Enunciamos aquí una versión algo más general, pero clásica, del criterio de Schönemann. Teorema 3.4 (Criterio de Schönemann). Sea 𝐹(𝑥) ∈ ℤ[𝑥]un polinomio de la forma: 𝐹(𝑥) = 𝜙(𝑥)𝑒+𝑝𝑀(𝑥), donde 𝑝es primo, 𝜙(𝑥) ∈ ℤ[𝑥]es un polinomio irreducible módulo 𝑝y𝑀(𝑥) ∈ ℤ[𝑥]es un polinomio coprimo con 𝜙(𝑥), módulo p, y de grado menor al grado de 𝐹(𝑥). Entonces, 𝐹(𝑥)es irreducible. 3. criterio de schonemann-eisenstein 43 Demostración. Tomamos la valoración [𝑣0(𝑝) = 𝑒, 𝑣1(𝑥)=0, 𝑣2(𝜙(𝑥)) = 1] en ℚ[𝑥]. Veamos que cumple los requisitos del teorema 3.2. i. 𝐹(𝑥) = 𝜙(𝑥)𝑒+𝑝𝑀(𝑥)es la expansión de 𝐹(𝑥)en función de 𝜙(𝑥). Entonces 𝑓𝑚(𝑥)=1. ii. a)𝑣2(𝜙(𝑥)𝑒) = 𝑒⋅𝑣2(𝜙(𝑥)) = 𝑒 b)𝑣2(𝑝⋅𝑀(𝑥)) = 𝑣2(𝑝) + 𝑣2(𝑀(𝑥)) = 𝑒+ 0 Veamos que 𝑣2(𝑀(𝑥)) = 0. Suponemos, por reducción a lo absurdo que no se cumple, 𝑣2(𝑀(𝑥)) ≠0⇐⇒ 𝑝|𝑀(𝑥)⇐⇒ 𝑀(𝑥)≡0(𝑝), 𝑀(𝑥)no es primo con 𝜙(𝑥)módulo 𝑝. c)𝑣2(𝐹(𝑥)) = 𝑒 iii. Γ𝑘−1 = Γ1=ℤ𝑒, y 𝜇𝑘=𝜇2= 1. Entonces si tomamos un número 𝑠, con 0< 𝑠 < 𝑒,𝑠⋅1 ∉ ℤ𝑒 3.3 Ejemplos Los ejemplos siguientes muestran cómo se puede encontrar polinomios irreducibles a partir de la construcción de valoraciones inductivas. Ejemplo 3.1. 1. Sea la valoración [𝑣0(𝑝)=4, 𝑣1(𝑥)=0, 𝑣2(𝑥2+ 1) = 2, 𝑣3((𝑥2+ 1)2+𝑝) = 5] (𝑝= 3), y el polinomio 𝑓(𝑥) = 𝑥8+ 4𝑥6+ 12𝑥4+ 25𝑥2+ 25 = [(𝑥2+ 1)2+𝑝]2+𝑝2(𝑥2+ 1). Por el teorema 3.2 se puede ver que 𝑓(𝑥)es irreducible pues tenemos que 𝑓𝑚(𝑥)𝜙𝑚 𝑘=𝑓2(𝑥)𝜙2 3(𝑥)=1⋅[(𝑥2+ 1)2+𝑝]2y 𝑓0(𝑥) = 𝑝2⋅𝜙2(𝑥). Por tanto se cumple 44 introducción a la teoría de valoraciones 𝑓2(𝑥)=1 𝑣3(𝑓(𝑥)) = 𝑣3(𝜙2 3) = 𝑣3(𝑓0) = 10 0<𝑛<2⇐⇒ 𝑛= 1 ⇐⇒ 5 = 𝜇3∉ Γ2=ℤ2. 2. Sea la valoración [𝑣0(𝑝)=2, 𝑣1(𝑥)=0, 𝑣2(𝑥2+ 1) = 2, 𝑣3(𝑥2+1+𝑝) = 3] (𝑝= 7), por el teorema 3.2 se prueba la irreducibilidad del polinomio 𝑓(𝑥) = 𝑥4+ 16𝑥2+ 407 = (𝑥2+1+𝑝)2+𝑝3. Análogo al caso anterior, vemos que se cumple 𝑓2(𝑥)=1 𝑣3(𝑓(𝑥)) = 𝑣3(𝜙2 3(𝑥)) = 𝑣3(𝑓0)=6 0<𝑛<2⇐⇒ 𝑛= 1 ⇐⇒ 3 = 𝜇3∉ Γ2=ℤ2. Para probar que un determinado polinomio es irreducible usando el teorema anterior, tendríamos que tener la suerte de encontrar una valoración inductiva de la que dicho polinomio sea polinomio clave. Lo cual puede llegar a ser bastante complicado. Sin embargo, MacLane en el artículo [4] demuestra algunos criterios generales a partir de valoraciones inductivas. Luego el teorema sí puede ser útil para encontrar algún criterio de irreducibilidad. Para más información acerca de la historia del criterio de Schönemann-Eisenstein se recomienda la lectura de [1]. Bibliografía [1] Cox, D.A. (2011). Why Eisenstein Proved the Eisenstein Criterion and Why Schönemann Discovered It First. The American Mathematical Monthly, 118, 21 - 3. [2] Jacobson, N. (1989). Basic algebra. W. H. Freeman. [3] Maclane, S. (1936). A construction for absolute values in polynomial rings.Transactions of the American Mathematical Society, 40, 363-395. [4] Maclane, S. (1938). The Schönemann-Eisenstein irreducibility criteria in terms of prime ideals. Transactions of the American Mathematical Society, 43, 226-239. [5] Ribenboim, P. (1999). The theory of classical valuations. [6] Zariski, O. y Samuel, P. (1975). Commutative algebra. Springer-Verlag.