Optimización de la gestión del número y ubicación de estaciones de carga de vehículos eléctricos en un entorno urbano

Equation Chapter 1 Section 1 Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Tecnologías Industriales Optimización de la gestión del número y ubicación de estaciones de carga de vehículos eléctricos en un entorno urbano. Dpto. Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Autor: Gabriel Infante Sánchez Tutor: Carlos Vivas Venegas Sevilla, 2022 iii Trabajo Fin de Grado Ingeniería de Tecnologías Industriales Optimización de la gestión del número y ubicación de estaciones de carga de vehículos eléctricos en un entorno urbano. Autor: Gabriel Infante Sánchez Tutor: Carlos Vivas Venegas Profesor Titular de Universidad Dpto. de Ingeniería de Sistemas y Automática Escuela Técnica Superior de Ingeniería Universidad de Sevilla Sevilla, 2022 v Trabajo Fin de Grado: Optimización de la gestión del número y ubicación de estaciones de carga de vehículos eléctricos en un entorno urbano. Autor: Gabriel Infante Sánchez Tutor: Carlos Vivas Venegas El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros: Presidente: Vocales: Secretario: Acuerdan otorgarle la calificación de: Sevilla, de del 2022 El Secretario del Tribunal vii A mi familia A mis maestros ix Agradecimientos Agradezco a la Universidad de Sevilla y a todos mis profesores que han contribuido a mi formación académica durante estos cuatro años. A mis compañeros, a mi familia por su apoyo. Gabriel Infante Sánchez Sevilla, 2022 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1-1: Matriculaciones, según fuente energía en España 2021 vs 2022. 1 Fuente: ANFAC [2] 1 Figura 1-2: barómetro de electromovilidad 4º trimestre de 2021 2 Figura 1-3: Estaciones en entornos urbanos 4º trimestre de 2021 [1] 2 Figura 1-4: Estaciones en entornos interurbanos. 4º Trimestre de 2021 [2] 3 Figura 1-5: Esquema de las principales familias de sensores de flujo de tráfico y ejemplo de sensores de cada familia. 4 Figura 1-6 Detector de bucle inductivo. Fuente: [5] 5 Figura 1-7 Esquema de un radar microondas. Fuente: [6] 6 Figura 1-8 Cámara de video para el procesado de datos de tráfico, instalada sobre instalación semafórica de carretera. Fuente: [6] 6 Figura 2-1 Parámetros distribución de flujo para el método de Dgazano. 11 Figura 2-2. En azul función de suministro, en rojo función de demanda considerados en cada tramo de la carretera. 12 figura 2-3 Representación gráfica de la matriz de densidad para la simulación de una sola carretera 14 Figura 2-4: Funciones de suministro y demanda triangulares. 17 Figura 2-5: En una celda cualquiera ‘k’. Flujos de entrada y salida, Qen y Qsal respectivamente. 18 Figura 2-6 Detalle de las celdas involucradas en una bifurcación, el flujo de vehículos de salida q1, se divide en otros 2 de entrada (q2, q3) 19 Figura 2-7: Esquema de una bifurcación, una carretera se divide en 2 vías 19 Figura 2-8: Detalle de las celdas involucradas en una unión, los flujos de vehículos de salida q1, q2 se mezclan uniéndose, en un flujo de entrada q3 20 Figura 2-9: Unión/ conjunción: Carreteras 1 y 2 se unen en la misma vía, la carretera 3 21 Figura 3-1. Mapa de la red de carreteras 22 Figura 3-2. Mapa de la red de carreteras. En rojo las posibles ubicaciones de las estaciones 23 Figura 3-3. Evolución durante el tiempo de simulación del flujo de entrada, cuando nº estaciones >1 24 Figura 3-4. Evolución durante el tiempo de simulación del Flujo de salida, cuando nº estaciones >1 25 Figura 3-5 En azul función de suministro, en rojo función de demanda considerados en cada tramo de la carretera. 26 Figura 3-6 Parámetros de las carreteras 27 Figura 3-7. Condiciones iniciales y de contorno 27 Figura 3-8. Condiciones cálculo numérico 28 Figura 3-9. Cálculo del número de vehículos en la estación1(análogo para la segunda) y de la variación de densidad en las carreteras por ese motivo. 28 Figura 3-10. Cálculos del suministro y demanda en los tramos intermedios. 31 Figura 3-11. Cálculo de las funciones suministro aguas arriba (de entrada, a las carreteras) y de aguas abajo (salida) 31 Figura 3-12. Cálculo de las funciones suministro aguas arriba (de entrada, a las carreteras) y de aguas abajo (salida). 32 xvii Figura 3-13. Evolución de la densidad de tráfico por cada tramo de carretera para cada paso de tiempo 34 Figura 3-14. Evolución del tiempo total de viaje (eje vertical) 35 durante tiempo de simulación (eje horizontal paso discreto de tiempo) 35 Figura 3-15. Evolución del número de vehículos en la estación 1(eje vertical) durante cada paso discreto de tiempo, del tiempo total de simulación (eje horizontal) 35 Figura 3-16. Evolución del número de vehículos en la estación 2(eje vertical) durante cada paso discreto de tiempo, del tiempo total de simulación (eje horizontal) 36 Figura 3-17: Leyenda sobre correspondencia entre carretera y gráfica 36 Figura 4-1. Aproximación del valor del número PI. Fuente: [21] 37 Figura 4-2. Cálculo de rayos de luz, usando Monte Carlo 38 Figura 4-3. Cálculo de mínimo función usando Monte Carlo 38 Figura 4-4. Vectores de densidad crítica y flujo máximo para las 14 carreteras. 39 Figura 4-5. Definición de atasco en cada carretera 40 Figura 4-6. Cálculo de la integral de la función TTT 40 Figura 4-7. Monte-Carlo 1 41 Figura 4-8. Monte-Carlo 2 42 Notación Q/q rho(ρ) ρc/ rho_cri/rho_max q0 Flujo de vehículos, número de vehículos por unidad de tiempo en un punto de la carretera Densidad de vehículos, número de vehículos por unidad de longitud en un punto Densidad crítica. Valor máximo densidad a partir del cual velocidad flujo decae Flujo a la entrada de la carretera qs Flujo a la salida de la carretera. rho_0 Densidad inicial para cada tramo de la carretera. Split ratio En aquellas carreteras en las que una vía principal de acceso a otras dos o vic es para cada vía, el cociente entre el número de vehículos que se dirige a esa vía y el total de vehículos. inic Es el split ratio inicial, en las vías de la red de carreteras. TTT De las siglas en ingles Total Travel Time (Tiempo total de viaje), es un parámetro que sirve para conocer la fluidez del tráfico. deltaT deltaX Paso de discretización, en el tiempo. Paso de discretización en el espacio. 1 1 INTRODUCCIÓN os vehículos eléctricos están en auge [1]; ya es una realidad que los vehículos de combustión tienen un fin cercano y todo apunta que serán los vehículos con motor eléctrico los que irán sustituyendo progresivamente a los vehículos de combustión. Por lo tanto, un problema que se tiene que resolver es el de dotar de una infraestructura de estaciones públicas de cargas, que garantice el suministro a la nueva demanda. La dotación de esta infraestructura va a afectar a la fluidez del tráfico, y por lo tanto será necesario que la localización de estos nuevos puntos de carga sea el óptimo de forma que el tráfico se vea afectado en la menor medida posible. En la actualidad, los datos facilitados por ANFAC [2], (Asociación Española de Fabricante de Automóviles y Camiones) nos informa que uno de cada 10 vehículos vendido es eléctrico, como se muestra en la figura 1-1. En Europa, a partir del año 2035 se prohibirá la venta de vehículos de combustión interna, gasolina y diésel, lo que propiciará como es evidente un incremento sustancial en el número de vehículos eléctricos. Para hacer frente a las futuras demandas de energía de los vehículos eléctricos, en la figura 1-2, se muestran los objetivos mínimos que ANFAC establece que se deberían de cumplir hasta el año 2030. Tal y como se muestra en esa figura y en la 1-3 y 1-4, de momento nos encontramos bastante por debajo de los objetivos propuestos: Figura 1-1: Matriculaciones, según fuente energía en España 2021 vs 2022. Fuente: ANFAC [2] L 2 Introducción Figura 1-2: barómetro de electromovilidad 4º trimestre de 2021 Figura 1-3: Estaciones en entornos urbanos 4º trimestre de 2021 [1] Introducción 3 3 Figura 1-4: Estaciones en entornos interurbanos. 4º Trimestre de 2021 [2] Es un dato importante para éste TFG, el tiempo que se supone que un usuario pasará recargando su vehículo desde que entre a la estación hasta que salga. En relación con esto, se extraen los siguientes datos: En función de la potencia suministrada por una estación de recarga, los tiempos de una recarga completa de una batería de un vehículo eléctrico que en la actualidad según, [3]; [4] tienen una capacidad de unos 22 a 24 kWh, son: Potencia demanda Tiempo de recarga 3,6 KW De 6 a 8 horas 22 KW De 60 a 70 minutos 45 KW 30 minutos 150 KW 5 minutos 4 Introducción En cuanto a disponer de información sobre el volumen/carga del tráfico, siendo además uno de los datos de partida de este TFG, la densidad de tráfico es un parámetro del que se infieren resultados sobre el flujo de tráfico en las carreteras. Es por ello, que se comentarán a continuación, algunas de las alternativas para estos sensores, que son extraídas del artículo [5] Principales familias Ejemplos de cada familia Figura 1-5: Esquema de las principales familias de sensores de flujo de tráfico y ejemplo de sensores de cada familia. Una clasificación general de estos sensores es en función de dónde están dispuestos: 1) Sensores internos a la carretera: incrustados en el pavimento en el pavimento o fijados a la superficie de la carretera, entre otros, los detectores de bucle inductivo y los sensores magnéticos. 2) Sensores externos a la carretera: Se montan fuera de la carretera. Entre otros, sensores por radar de microondas, los sensores por radar laser, y los de ultrasonido/acústicos, así como los de Procesado de Imagen de cámaras de Vídeo. (“Video Image Processor”, VIP) Los sistemas de detección de vehículos a veces son construidos mediante un solo tipo de sensores de flujo o mediante una combinación de ellos. Mientras que los sensores externos a la carretera están afectados por las condiciones meteorológicas, los sensores internos no lo están debido a su cercanía con los vehículos. Sin embargo, la instalación y el mantenimiento de los sensores en carretera requieren el cierre de la carretera y cambios físicos en la superficie de esta. La principal ventaja de los sensores externos respecto a los internos a la carretera es la capacidad de supervisar Sensores de Flujo de Tráfico Internos a la carretera Externos a la carretera Radar de sensor de microondas Infrarrojos Detectores de bucle inductivos Detectores magnéticos Detectores de Procesado de imágenes de vídeo Introducción 5 5 varios carriles o crear zonas de detección múltiple en un carril al mismo tiempo con un solo dispositivo, a diferencia de los sensores internos en carretera, que necesitaría varios de estos. A continuación, se pasan a describir brevemente el funcionamiento de algunos de ellos. Detectores de bucle inductivo: Es el sensor de tráfico más utilizado, se introduce en el pavimento de la carretera, cortando una ranura y colocando cables en ella. El bucle, formado por los cables, crea un campo electromagnético que se perturba cuando un objeto metálico, como un vehículo, entra en el campo. El detector de bucle mide directamente la presencia y la ocupación de los vehículos que pasan, mientras que otros parámetros de tráfico, incluyendo la densidad, la velocidad y el avance, tanto a nivel microscópico como macroscópico, se deducen de los datos brutos recogidos. El tamaño, la forma, la configuración y los ajustes de un sistema de detector de bucle varían según el tipo de aplicación y el límite de velocidad de los accesos a la carretera. Figura 1-6 Detector de bucle inductivo. Fuente: [6] Radares de microondas y Sensores infrarrojos: Estos sensores funcionan mediante la transmisión de señales electromagnéticas y la recepción de las ondas ecos de los vehículos, que son captadas dentro del ancho de banda de los sensores. La principal diferencia entre los sensores de carretera radica en la longitud de onda de la energía transmitida. Mientras que el sensor de radar de microondas utiliza la longitud de onda de las microondas, los sensores de infrarrojos transmiten energía en el espectro del infrarrojo cercano. Los sensores infrarrojos se subdividen en pasivos y activos. Los sensores infrarrojos pasivos utilizan la energía emitida o reflejada por los vehículos y las carreteras, mientras que los activos, también llamados sensores de radar láser, generan energía a través de diodos láser. Cuando un vehículo pasa por delante de la antena del sistema o de los diodos láser, una parte de la energía transmitida se devuelve al receptor del sistema, con lo que se realiza la detección. El análisis de las frecuencias de la energía transmitida y reflejada permite obtener los parámetros del flujo de tráfico. Según la forma de onda transmitida por el sensor, los sensores son capaces de determinar el paso y la presencia de un vehículo, la velocidad, la longitud, calcular el volumen de tráfico, ocupación del carril, etc. 6 Introducción Figura 1-7 Esquema de un radar microondas. Fuente: [7] Detectores mediante procesado de imágenes de vídeo (Video Image Processor, VIP): Las imágenes captadas por las cámaras de vídeo son procesadas para extraer datos del tráfico de forma automática. Mediante el procesado las imágenes son transformada a unas condiciones que son entendibles por un software que las interpreta y convierte en datos de flujo de tráfico. Un VIP puede reemplazar varios bucles inductivos en el suelo, proporcionar detección de vehículos en varios carriles y quizás reducir los costos de mantenimiento. Algunos sistemas VIP procesan datos de más de una cámara y amplían aún más el área sobre la que se recopilan los datos. A partir de los datos extraídos por el sistema, se puede estimar entre otros: la velocidad vehículos, clasificación según tamaño, ocupación de carril, densidad en las carreteras, volumen de tráfico, los cambios de carril, los movimientos de giro y el tiempo de viaje del enlace mediante la reidentificación de un vehículo o grupo en un sitio aguas abajo. Figura 1-8 Cámara de video para el procesado de datos de tráfico, instalada sobre instalación semafórica de carretera. Fuente: [7] Introducción 7 7 1.1 Objetivos del Trabajo En este trabajo se pretende encontrar una solución para encontrar el número y localización optima de las estaciones de carga para los vehículos eléctricos. A modo de ejemplo, aunque extrapolable a otra tipología, se trabajará en concreto con una red de 14 carreteras que representarán las distintas zonas/barrios/puntos de interés/establecimientos de una población ficticia. La evolución del tráfico a través de esta red de carreteras ficticia se llevará a cabo siguiendo el método propuesto por Lebecque, 1996 [8]. Se trata de un modelo de tráfico unidimensional, que se diferencia de un método LWR convencional (cómo el desarrollado en el apartado 2.1), en que se definen funciones de Suply-Demand (Suministro-Demanda), para calcular los flujos (nº vehículos / ud. de tiempo) a través de las carreteras. En el apartado 2.3 se explica con más detalle en que consiste este modelo, y finalmente se desarrolla para la aplicación de este trabajo en el apartado 3. Los datos de partida del modelo de tráfico que se desarrolla tienen las siguientes condiciones/parámetros iniciales: - Intervalo de densidades promedio a través de las carreteras, en las horas de mayor ocupación de estas, “las horas punta”. En este estudio se considera oportuno para tener un cierto grado de seguridad, respecto a los resultados obtenidos, que es durante estas horas cuándo se espera la mayor afluencia de vehículos eléctricos que acceden a alguna de las estaciones de la red de carreteras para recargar. - En las bifurcaciones, es decir en las carreteras, en las que una carretera se divide en 2 o más vías alternativas, conocer su “split ratio”, es decir la relación entre los vehículos que circulan por cada carretera y el total de vehículos que llegan a la bifurcación. Este split ratio, se dará en forma de intervalo, respecto a los valores promedios, conocidos/estimados para cada carretera. - Conocer el número de vehículos eléctricos y el número de estaciones de recarga en la zona. Y con ello estimar un intervalo del número de vehículos que acudirán en promedio, a recargar en la franja horaria dónde la demanda de desplazamiento hacia las estaciones acostumbra a ser mayor. Aunque en este trabajo, todos estos parámetros serán considerados como datos, serían en el caso de una posible implementación real de este método, el foco principal del estudio, puesto que la veracidad de las conclusiones que se extraerán de los resultados será alta sí y solo sí la estimación es suficientemente buena. Se discutirá sobre, la efectividad de aplicar métodos para estimar estos resultados, así como otros posibles enfoques del problema, en el apartado 5, conclusiones. Teniendo ya definidos las condiciones iniciales de este problema, se obtendrá una evolución de la densidad(vehículos/km) a través de las carreteras, así como el flujo de vehículos (vehículos/hora), para cada tramo de carretera y para cada paso de tiempo (discretización del tiempo y espacio para resultados numéricos). Cómo parámetro que indique una medida de la congestión de las carreteras, necesario para el problema de la selección en número y ubicación de las estaciones de recarga de vehículos eléctricos optimizando el volumen de tráfico, se considerará el Tiempo Total de Viaje (Total Travel Time,TTT). La colocación de una estación de recarga de vehículos provocará un cambio en las condiciones de flujo habituales respecto a las condiciones previas a la instalación. La definición del tiempo Total de viaje y como afecta la colocación de una estación al flujo en las carreteras, se encuentra en el apartado 4. Es la incertidumbre de los parámetros nombrados anteriormente, que vienen dado por intervalos, lo que hace el método de Monte – Carlo (apartado 4) ideal para resolver este problema de optimización. Brevemente explicado, lo que se pretende es realizar un número relevante de simulaciones con asignaciones aleatorias de la posición de estaciones de carga. Simulaciones en las en cada una se asignan de forma aleatoria, un número de estaciones de carga, la ubicación de estas y unos valores de los parámetros nombrados anteriormente dentro de sus intervalos. Después de un número suficiente de simulaciones, que dependerá obviamente del tamaño de la red de carreteras que se considera en el estudio, se escogerá entre todas ellas la que proporcione un Tiempo Total de Viaje mínimo. Con estos resultados, ya será decisión del planificador, o con un estudio económico si se requiere, escoger, entre ellas una solución de compromiso entre coste de las obras y menor afección en el volumen de tráfico, respecto a las condiciones previas de la instalación. . 14 Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos Figura 2-3 Representación gráfica de la matriz de densidad para la simulación de una sola carretera Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos 15 2.4 ¿Por qué se escoge el modelo 1D frente al 2D? En este subapartado se pretende explicar porque se ha escogido el método planteado en el subapartado 2.3, comparándolo con el que se planteaba en el subapartado 2.2, ya que el desarrollado en el 2.1 queda descartado sin ninguna duda por motivos de coste computacional, no aportando nada en cuanto a la complejidad/ nivel de realismo respecto al del modelo del apartado 2.3. Esto último no ocurre con el modelo del apartado 2.2 puesto que se trata de un modelo en 2 dimensiones y que parte de la condición más obvia, que es que permite más flexibilidad en cuanto al trazado o disposición que del mapa de carreteras de la red. Para entender que hace un modelo, mucho más rico respecto a un modelo unidimensional, es necesario entender que el fenómeno que hará variar la ocupación de las carreteras, al construir una nueva estación respecto a las condiciones previas a la instalación, es que los vehículos eléctricos ocuparán las carreteras que usan hasta llegar a la estación, viéndose por tanto el tráfico incrementado en mayor medida a las carreteras más cercanas a la estación. Mientras que en un modelo bidimensional se tiene la posibilidad de hacer un mapa de carreteras más realista, en la que los puntos de partida son múltiples, puesto que se tienen 2 grados de libertad en el espacio (esto se explica con más detalle en el apartado 3, características/consecuencias), en un modelo unidimensional se tiene un único punto de entrada y salida de vehículos. Pero a pesar de esto el modelo bidimensional, Stéphane Mollier, 2018 [15] que se enuncia en el apartado 2.2 tiene que ser descartado por los siguientes motivos: En lo que respecta al campo de velocidades que se calcula exclusivamente en función de los parámetros geométricos de la carretera, es lo que requiere un mayor coste computacional. Se nombra en el artículo que esto hace al método muy eficiente en términos computacionales, puesto que una vez calculado no se tiene que recalcular para las diferentes iteraciones en cada paso de tiempo. Esto no ocurre así para la utilidad que se pretende con este TFG, no se puede considerar estático puesto que, para estimar la localización de las estaciones de carga, que serán puntos de interés que incrementarán el tráfico hacia esas zonas se tendrá que recalcular parcialmente el valor de este campo de direcciones de velocidades. Además, la forma que tendrá este campo en función del punto en concreto dónde se sitúa una estación y cómo variará en cada punto del espacio resulta un problema complicado, del que durante la fase de investigación no se ha encontrado ninguna referencia. Comparando ahora ambos modelos: El método planteado en el apartado 2.2 (el método 2D) es una adaptación de un método 1D Supply Demand (el desarrollado en el 2.3). Ambos presentan el flujo como una función de la densidad y de unos parámetros previos definidos (en el caso del modelo 1D como se diversifica el flujo en las uniones y separaciones de carreteras, mientras que en el método 2D es el campo de direcciones). Además, en ambos el sentido del campo de direcciones es invariante, por lo que si se quisiera considerar una posible ampliación en la que las carreteras tengan dos carriles con el método 2D sería irrealizable. En conclusión, la principal dificultad del método 2D está en el cálculo del campo de direcciones de velocidades, problema que no presenta el método 1D, puesto que para cada simulación la ubicación de una estación hará variar exclusivamente los porcentajes de vehículos que va a cada carretera en la que hay una bifurcación, y las condiciones de contorno (llegada de nuevos vehículos eléctricos respecto a las condiciones promedio). Siendo esto irrelevante en términos de coste computacional. 16 Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos 2.5 Ecuaciones, conceptos y principios del modelo elegido En este apartado se procede a describir las ecuaciones del modelo de tráfico de Labecque, además se introducen los principales conceptos y principios necesarios para entender el modelo. De la ecuación de continuidad, o conservación del tráfico, en forma continua, propia de un modelo LWR, unidimensional (ecuaciones función de una única coordenada espacial, ‘x’ y del tiempo, ’t’): (1) Siendo, ρ: densidad de vehículos (nº vehículos/ ud. de longitud) q: flujo de vehículos (nº de vehículos que circulan/ ud. de tiempo) Se considera, además, que el flujo de vehículos es proporcional a la velocidad de los vehículos de la vía, es decir q= ρv. Como se van a considerar que las carreteras que conforman la red van a tener diferentes condiciones (carreteras de la red con distinta capacidad), el flujo dependerá a su vez de la posición en el espacio, ‘x’, por lo tanto q= Q(ρ,x). La ecuación (1), queda expresada entonces, como (2): (2) Se definen ahora, las siguientes definiciones necesarias para seguir con el desarrollo del modelo: La capacidad de la carretera es el máximo flujo, que una vía es posible de soportar, que cómo se comenta anteriormente es función de la velocidad de la carretera. La densidad de vehículos que permite un flujo máximo es llamada como la densidad crítica partir de la cual el flujo que permite la carretera empieza a decaer. Entonces se define como densidad infra crítica (densidad < densidad crítica) y sobre crítica(densidad> densidad crítica) La ecuación (2) a partir del método numérico de Godunov (1959), se resuelve considerando un paso de discretización en tiempo, ‘deltaT’ y en espacio (tramos o celdas) de las carreteras, ‘deltaX’. En cuanto a que se garantice, la estabilidad de los resultados del método, condición CFL, Courant,1928 [19] los errores debidos a los cálculos numéricos son menor en cuanto menor sea la longitud de las celdas, pero las longitudes de las celdas nunca deben ser más pequeñas que el paso de tiempo multiplicado por la velocidad de flujo libre, (velocidad máxima en la vía, condiciones en el que el flujo no afecte velocidad del tráfico) de forma que ningún vehículo puede viajar más allá de una celda en un paso de tiempo. Siguiendo por tanto el método de Godunov, la ecuación (2), se reescribe como: (3) Siendo, 𝜌𝑖 𝑚 la media de ρ en la celda/tramo ‘i’ en el instante de tiempo ‘m’. y son, respectivamente el flujo de entrada y el flujo de salida de la celda/tramo ‘i’ desde el instante ‘m’ al ‘m+1’. Se trata, como se ha comentado anteriormente de un modelo de Supply-Demand (Suministro-Demanda), por ello, en cada uno de los tramos/celdas de una misma carretera dentro de la red de tráfico, se define una función de flujo suministro al tramo y otra de demanda. (Figura 2-4) Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos 17 - La demanda una celda es igual al flujo, cuando la condición del tráfico es subcrítica (es decir, flujo libre, vehículos pueden circular a la velocidad máxima de la vía) y es función de la capacidad de la carretera, cuando es sobre crítica (es decir, cuando el tráfico está congestionado). - El suministro es función de la capacidad de la carretera cuando las condiciones de tráfico están por debajo del valor crítico, e igual al flujo libre cuando las condiciones son sobre críticas. Las funciones, de flujos que definen el suministro y demanda a través de una carretera tienen, por tanto, la siguiente estructura, dónde el subíndice ‘k’, indica una carretera cualquiera y el superíndice ‘m+1/2’ indica el cálculo entre el tiempo ‘m’ y ‘m+1’, calculado en el instante ‘m’. 𝑄𝑘= 𝑓(𝜌𝑘), La densidad del tramo k es infra critica 𝐷𝑘 𝑚+1/2 𝑄𝑘 𝑚𝑎𝑥 , en caso contrario 𝑄𝑘 𝑚𝑎𝑥 , La densidad del tramo k es infra critica 𝑆𝑘 𝑚+1/2 𝑄𝑘= 𝑓(𝜌𝑘+1) , en caso contrario Las funciones de suministro y demanda, que se considerarán una característica de una carretera relacionada con el número de vehículos que pueden aceptar sus carriles y la velocidad máxima de la vía, se escogen de forma triangular, según se muestra en la figura 2-4. Figura 2-4: Funciones de suministro y demanda triangulares. Estas funciones, de suministro y demanda, son funciones de flujos que dependerán de la densidad de cada tramo de la carretera, siendo de esta forma la densidad, de cada uno de los tramos/celdas en las que se discretizan las carreteras, función de su densidad actual y de la diferencia entre flujos de entrada y salida. Se destacan a continuación, aspectos importantes para entender el significado de estas funciones de suministro y demanda. Situándonos en un tramo cualquiera de la carretera ‘k’ y siendo el anterior a este el ‘k-1’ y el siguiente el ‘k+1’. Observar, en la figura 2-4, que la función de suministro toma un valor constante, siendo este su valor máximo, hasta que se alcanza la densidad crítica en la carretera. 18 Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos Esto es así porque la función de suministro es el flujo de vehículos que podría circular de un tramo ‘k’ hacia el ‘k+1’, si el siguiente lo permitiese, es decir que la densidad en el tramo ‘k+1’ sea tal que no dificulte el movimiento del tráfico. De forma que, si la densidad en el tramo ‘k+1’ está por debajo de su valor crítico, el tramo siguiente podrá aceptar el flujo que estaba llegando, y en caso contrario no llegará el total del flujo y como consecuencia, se producirá un aumento de la congestión en el tramo ‘k’, afectando por ello a todos los anteriores. La función de demanda tiene una forma opuesta a la de suministro, toma un valor creciente hasta que llega a la densidad crítica, tomando a partir de esta densidad un valor máximo que se mantiene constante. Observar que la función de demanda depende del tramo ‘k’, esto es así porque la función de demanda representa el flujo de vehículos que un tramo espera conseguir sí, y solo sí el tramo ‘k+1’ se lo permite. Teniendo en cuenta, todo esto, el flujo de entrada a una celda será por tanto el mínimo entre el flujo de suministro de la celda actual, ‘k’ y el flujo de demanda de la celda anterior, ‘k-1’ y de forma análoga para el flujo de salida, calculado como el mínimo entre el flujo de suministro de la celda siguiente ‘k+1’ y el de demanda de la actual ‘k'. Esto se ilustra en la figura 2-5. Figura 2-5: En una celda cualquiera ‘k’. Flujos de entrada y salida, Qen y Qsal respectivamente. Una vez se tienen los flujos de entrada y salida a una celda, se aplica el Método de Euler, para conocer las densidades, en el paso de tiempo discreto siguiente, ecuación (4): f (t + ∆t) ≈ f(t) + f’(t)∆t, Método de Euler: 𝜌𝑘(𝑡 + 𝛥𝑡)= 𝜌𝑘(𝑡)+ 𝜆(𝑄𝑘 𝑒𝑛 − 𝑄𝑘 𝑠𝑎𝑙)𝛥𝑡, con 𝜆 = 𝛥𝑡 𝛥𝑥 (4) A continuación, se tratarán las bifurcaciones/divisiones y uniones/conjunciones, de carreteras se considerará el caso de hasta 2 vías, que es el que aplica a este trabajo, aunque es extrapolable a un caso general. Lo novedoso en este caso se trata ahora de calcular los flujos de entrada y salida, en aquella celda en la que se recibe o bien dos flujos de entrada de dos carreteras distintas (uniones, figuras 2-8 y 2-9), o dos flujos de salida de dos carreteras distintas (divisiones, figuras 2-6 y 2-7). Se trata de aplicar el mismo concepto que se aplicaba para un caso general, cómo el de la figura 2-3, el objetivo será determinar los flujos de entrada y salida en aquellas celdas en las que hay 2 flujos entrantes, uniones/conjunciones y para aquellas en las que hay más de 2 flujos salientes divisiones/bifurcaciones En cuanto a las bifurcaciones, una vía principal, se divide en 2 (figura 2-6), siendo los flujos para calcular en este caso q1, flujo de salida de la celda que pertenece a la carretera que se divide en 2(celda 1, a partir de este momento); q2 y q3, los flujos de entrada de las celdas contiguas a la celda de la carretera principal (celdas 2 y 3, a partir de este momento). Teniendo en cuenta que el split ratio se considera un parámetro fijo, durante la simulación, supongamos que toma un valor A para los de la carretera superior (carretera a la que pertenece la celda, que tiene un flujo de entrada q2), y por lo tanto 1-A para la otra carretera. Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos 19 Sea D1, la demanda en la celda 1 y S2 y S3 los suministros de las celdas 2 y 3 respectivamente, para el cálculo de q1 se toma el valor mínimo entre D1 y el mínimo de los suministros de las celdas 2 y 3 pero expresados en términos de flujo de la celda 1, por ello se divide entre los factores ‘A’ y ‘1-A’ respectivamente, tal y como se muestra en la ecuación (5), una vez se ha calculado q1, el cálculo de q2 y q3 es directo. q1 = min (D1, min (S2/A, S3/(1-A))); (5) q2 = Aq1; q3=(1-A)q3; Figura 2-6 Detalle de las celdas involucradas en una bifurcación, el flujo de vehículos de salida q1, se divide en otros 2 de entrada (q2, q3) Figura 2-7: Esquema de una bifurcación, una carretera se divide en 2 vías 20 Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos Para las bifurcaciones, una vía principal, se divide en 2 (figura 2-9), siendo los flujos a calcular en este caso q1, q2, los flujos de salida de las celdas, que son contiguas a la carretera en las que se unen (a partir de ahora celdas 1 y celdas 2, celdas de las carreteras entrantes) y q3 flujo de entrada a la primera celda, de la carretera en la que se unen las dos. Sea D1 y D2 la demanda en las celdas 1 y 2 respectivamente y S3 el suministro en las celdas 3, se distinguen 2 casos. Caso 1, demanda es el factor limitante, o lo que es lo mismo la suma de D1 y D2 es menor o igual que S3, es decir la celda3 puede aceptar el flujo de entrada que va a recibir por parte de las celdas 1 y 2. En este caso los flujos se calculan, de forma directa, como se muestran en las ecuaciones (6) q1 = D1; q2 = D2; (6) q3 = D1+D2; Caso 2, ocurre cuando la celda 3 no puede aceptar el flujo que le llega desde las celdas 1 y 2, o lo que es lo mismo la suma de D1 y D2 mayor que S3. En este caso, se le tiene que asignar un factor de prioridad(P), a cada celda, para saber cómo será el reparto del flujo de los vehículos. Se sigue, por lo tanto, las ecuaciones (7), para calcular los flujos. q1 = min (D1, max(P*S3, S3-D2) ); q2 = min (D2, max((1-P)S3, S3-D1) ); (7) q3 = q1+q2; Figura 2-8: Detalle de las celdas involucradas en una unión, los flujos de vehículos de salida q1, q2 se mezclan uniéndose, en un flujo de entrada q3 Las ecuaciones (7) tienen el siguiente significado. En cuanto a los flujos de salida de la última celda, de las carreteras 1 y 2, q1 y q2, se procede de la misma manera. q1 tiene que garantizar que sumado a q2, no sobrepase la capacidad de absorción de flujo de la primera celda de la carretera 3. Tomando por ejemplo para la explicación, a q1, se tiene que tomar el valor mínimo entre el valor de flujo que la última celda de la carretera 1, demanda soltar esto es D1 y el valor máximo entre lo que la carretera 2 quiere liberar a la carretera 3, es decir S3-D2 y el porcentaje máximo de flujo que se espera que la carretera 1, expulse a la carretera 3, esto es según el valor de prioridad de la carretera 1 sobre la carretera 2,’P’, P*S3. Elección del Modelo del Tráfico de Vehículos 21 Se procede de forma análoga para q2, y, por último, el flujo de entrada a la primera celda de la carretera 3, q3, de forma que los flujos se conserven, es la suma de los flujos q1 y q2. Figura 2-9: Unión/ conjunción: Carreteras 1 y 2 se unen en la misma vía, la carretera 3 22 3 DESARROLLO DEL MODELO DE TRÁFICO EN LA RED DE CARRETERAS n este capítulo se va a desarrollar el código que implementará la red de carreteras escogida, siguiendo el modelo de tráfico que ya se introdujo en el apartado 2.3, modelo de Labecque(LWR, Godunov, funciones Supply-Demand). El objetivo será, por tanto, definir y programar el escenario de simulación que se considerará para la instalación de las estaciones de carga para los vehículos eléctricos, y se detallarán las condiciones y limitaciones que se han considerado, teniendo en cuenta el modelo de tráfico escogido. 3.1 Características del modelo y mapa de carreteras elegidos. Con este trabajo, tal y cómo se comentó en la introducción se pretendía dar una solución mediante un modelo y en un ambiente de simulación lo más realista posible, pero teniendo en cuenta, que se pretende una aplicación de optimización de la fluidez de tráfico según la localización de las estaciones de carga, y es la adaptación entre estas 2 partes el factor limitante a la complejidad del modelo de tráfico elegido. Al tratarse el coste computacional un factor importante para el modelo, tal y como se explica a lo largo del apartado 2, se escoge una red formada por 14 carreteras, que tiene la representación gráfica que se muestra en la figura a continuación: Figura 3-1. Mapa de la red de carreteras En primer lugar, se detallarán las características/ consecuencias del modelo escogido: - En lo que respecta a los carriles de las carreteras serán de sentido único, puesto que por las características del modelo que consta de un punto de entrada y salida, un sentido doble no aportaría el valor que supone duplicar el tiempo de computación. Este modelo supone entonces, un flujo de vehículos en la dirección aguas arriba (entrada a la red de carreteras) y otro, aguas abajo como flujo de salida de los vehículos, por lo tanto, los vehículos circularán a través de las carreteras desde el punto inicial al final, pero separándose (una carretera en dos, bifurcación) y uniéndose (2 carreteras en 1, confluencia), esto siguiendo el modelo de Labecque, se hace mediante método de Rieman [20]. E Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras 23 Comparándolo con un entorno real, en el que los vehículos parten de los diferentes puntos de una ciudad en los que los vehículos están aparcados: viviendas, aparcamientos, … en el modelo escogido se tiene un único punto de entrada y otro de salida. Teniendo en cuenta esto último la red de carreteras modelada, se podría entender dentro de un entorno real como una única carretera, pues lo que genera la colocación de una estación de carga (o de cualquier otro punto de interés) es la atracción de vehículos hacia esos puntos, ya que los vehículos que se dirijan a dichos lugares afectarán el volumen de tráfico en las carreteras por las que tienen que circular hasta llegar al punto de destino. A la hora de instalar una nueva estación de carga, se verían por tanto afectadas, en mayor medida, las carreteras conforme se acercan al nuevo punto de interés, y viéndose menos afectadas a medida que se alejan del punto. Es por tanto que las carreteras de entrada y salida (1 y 14 en la figura 3-1), aglutinarán lo que representaría el entorno urbano en el que se encontraría nuestra red de carreteras, por lo tanto, el instalar una nueva estación de carga, el tráfico se vería reflejado, respecto a las condiciones habituales/ medias mediante un incremento del flujo de entrada aguas arriba(a la carretera 1), que no será en la misma medida aguas abajo, la salida de la carretera 14, puesto que se entiende que el proceso de carga al requerir de forma promedio alrededor de 20 minutos, según los estudios, que es muy superior al tiempo de discretización en tiempo que necesita el modelo para la estabilidad. - Como limitación más importante, que se extrae del punto anterior en lo que respecta al problema de optimización de la ubicación de estaciones de carga, es fácil de ver que los nodos de las carreteras 2, 3,12,13 serán puntos más óptimos que los de las carreteras que se encuentran en la zona intermedia (carreteras [4,11] en la figura 3-1). Esto es debido a que por los nodos iniciales / finales de la red tienen que circular el total de los vehículos en conjunto que luego pasarán / han pasado de forma individual por las carreteras intermedias, por lo que evidentemente serán puntos óptimos los de las carreteras de entrada y salida (carreteras 1 y 14 en la figura 3-1). Por lo tanto, para que el problema no resulte ilógico los únicos puntos posibles de colocación de estaciones de carga serán los de las carreteras intermedias, intersección de 4-8,5-9,6-10,7-11, a partir de ahora por simplicidad se denominará a cada nodo como 4,5,6 y 7 respectivamente. Por lo tanto, se darán las siguientes posibles combinaciones de colocación de estaciones de carga (figura 3- 2), En la rama superior, una estación en los nodos 4 o 5 o en ninguno. En la rama inferior, una estación en los nodos 6 o 7 o en ninguno. Siendo objetivo del algoritmo de optimización cuál es la más favorable, siguiendo los criterios que se explican en el apartado 4, con la posibilidad de colocar una, dos o ninguna estación de carga. Figura 3-2. Mapa de la red de carreteras. En rojo las posibles ubicaciones de las estaciones 30 Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras Función_división: carretera1, se divide en carreteras 2 y 3 Pseudo-código Entradas: Vector de estructuras ‘carretera’, para las 3 carreteras involucradas (figura 3-7); A= número de vehículos que se dirige a cada carril, en tanto por uno; rho_0, vector de 3 componentes, los valores de densidad en las celdas/tramos [final de la carretera 1, inicial de la carretera2, inicial de la carretera 3] Salidas: Vector con los flujos de las 3 carreteras,Q = [ q1, q2,q3] 1: D1 = carretera (1).Demanda (densidad tramo final de la carretera 1); S2 = carretera (2).Suministro (densidad tramo inicial de la carretera 2); S3 = carretera (3).Suministro (densidad tramo inicial de la carretera 3); 2: Aplicar las ecuaciones (5), del apartado 2.5 -> q1,q2,q3 3: Q=[q1,q2,q3] Función_unión: carretera1 y carretera2 se une en carretera3 Pseudo-código Entradas: Vector de estructuras ‘carretera’, para las 3 carreteras involucradas (figura 3-7); P= preferencia en tanto por uno de los vehículos de la carretera 2 sobre la carretera 3; rho_0, vector de 3 componentes, los valores de densidad en las celdas/tramos [final de la carretera 1, final de la carretera2, inicial de la carretera 3] Salidas: Vector con los flujos de las 3 carreteras, Q = [ q1, q2,q3] 1: D1 = carretera(1).Demanda(densidad tramo final de la carretera 1); D2 = carretera(2).Demanda(densidad tramo final de la carretera 2); S3 = carretera(3).Suministro(densidad tramo inicial de la carretera 3); 2: Aplicar las ecuaciones (6), del apartado 2.5 sí S3 es mayor o igual que D1+D2 y las ecuaciones (7) en caso contrario -> q1,q2,q3 3: Q=[q1,q2,q3] Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras 31 A partir estas funciones, se calcula entonces el flujo de salida/ entrada para cada carretera, en las divisiones y uniones. Por ejemplo, en el caso de las carreteras 2,4 y 5, habría que aplicar la función división, siguiendo la notación que se ha seguido. Entradas: - vector [carretera (2), carretera (4), carretera (5)] - A45 = 0.5(en este apartado este valor toma un valor fijo =0.5 para todas las carreteras) - rho_0= [densidad tramo final de la carretera 2, densidad tramo inicial carretera 4, densidad tramo . inicial carretera 5] 4º: Para las carreteras intermedias, en las que la unión es “ficticia”, se igualan las demandas y suministros en los tramos de unión entre ambas, tal y como se muestra en la figura 3-10. Esto provoca que se consiga que haya continuidad entre flujos de entrada y salida entre los tramos finales-iniciales de las carreteras que se unen en un punto dónde no hay unión ni división de flujos. Esto es para la intersección entre las carreteras 4- 8,5-9,6-10,7-11. demanda_8 = carretera(4).Suministro(Densidad(4).rho(i,end)); demanda_9 = carretera(5).Suministro(Densidad(5).rho(i,end)); suministro_4 = carretera(8).Demanda(Densidad(8).rho(i,1)) ; suministro_5 = carretera(9).Demanda(Densidad(9).rho(i,1)) ; demanda_10 = carretera(6).Suministro(Densidad(6).rho(i,end)); demanda_11 = carretera(7).Suministro(Densidad(7).rho(i,end)); suministro_6 = carretera(10).Demanda(Densidad(10).rho(i,1)) ; suministro_7 = carretera(11).Demanda(Densidad(11).rho(i,1)) ; Figura 3-10. Cálculos del suministro y demanda en los tramos intermedios. 5º: Se calculan las funciones “demanda_aguas_arriba_funcion” y “suministro_aguas_abajo_funcion”, en función de los cálculos realizados en los pasos anteriores, en contreto en función de los valores de ‘demanda_i’, del paso 4 y de los ‘flujoentrada_i’ y ‘flujosalida_i’, salidas de las funciones unión, división del paso 3. La función de demanda aguas arriba, servirá para acceder, por lo tanto, a los flujos de entrada(demandas) que en el tramo inicial de cada carretera existe y de forma análoga para la función de aguas abajo (flujos de salida, suministros, en el tramo final de cada carretera). Estas dos funciones se usan para la función que aplica el método de Godunov (paso 7). En la figura a continuación se muestra el código que las implementa %%Funcion para tener nº vehiculos/hr aguas arriba de cada via // AL PRINCIPIO Demanda_aguasarriba_funcion=@(via,t) Demanda_aguasarriba(t).*(via==1) +... flujoentrada_2.*(via==2) + flujoentrada_3.*(via==3) +... flujoentrada_4.*(via==4) + flujoentrada_5.*(via==5) +... flujoentrada_6.*(via==6) +flujoentrada_7.*(via==7) + ... demanda_8.*(via==8) + demanda_9.*(via==9) +... demanda_10.*(via==10) + demanda_11.*(via==11) + ... flujoentrada_12.*(via==12) + flujoentrada_13.*(via==13)+ flujoentrada_14.*(via==14); %%Funcion para tener nº vehiculos/hr aguas abajo de cada via)//AL FINAL Suministro_aguasabajo_funcion=@(via,t) flujosalida_1.*(via==1) +... flujosalida_2.*(via==2) + flujosalida_3.*(via==3) +... suministro_4.*(via==4) + suministro_5.*(via==5) +... suministro_6.*(via==6) +suministro_7.*(via==7) + ... flujosalida_8.*(via==8) + flujosalida_9.*(via==9) +... flujosalida_10.*(via==10) + flujosalida_11.*(via==11) + ... flujosalida_12.*(via==12)+flujosalida_13.*(via==13)+Suministro_aguasabajo(t).*(via==14); Figura 3-11. Cálculo de las funciones suministro aguas arriba (de entrada, a las carreteras) y de aguas abajo (salida) 32 Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras 6º: Se calcula para cada una de las carreteras, en cada paso de tiempo la densidad en cada uno de sus tramos, según el método de Godunov, haciendo para ello eso uso de la función Godunov_va. Será dentro de esta función dónde se recorrerán todos los tramos de la carretera. A continuación, se muestran las líneas de código que hacen las 14 iteraciones para las 14 vías/carreteras, en el instante de tiempo actual, instante ‘i’: %Se ejecuta Godunov para cada enlace en cada instante de tiempo for via = 1:num_carreteras %PARA CADA via/carretera... rho_0 = @(x) Densidad(via).rho(i,floor(x/Delta_x)+1); % Conocer la densidad en cada tramo(x) EN la via en la que estamos, y %para el instante actual de tiempo rho = Godunov_va(carretera(via),rho_0,... @(t) Demanda_aguasarriba_funcion(via,t), ... @(t) Suministro_aguasabajo_funcion(via,t),... Delta_x, t,Delta_CFL) ; %Guardo en campo rho de Densidad(via)las nuevas densidades en cada %tramo de la via en la que estamos y para el tiempo actual. Densidad(via).rho = [Densidad(via).rho; rho(2,:)]; close all end i = i+1;% Indice para las matrices del siguiente tiempo Figura 3-12. Cálculo de las funciones suministro aguas arriba (de entrada, a las carreteras) y de aguas abajo (salida). En lo que respecta a la función Godunov_va(apartado 3.2 de los anexos), a la que se hace llamada en el paso 6, figura 3-12 implementa el método de Godunov, ,método numérico para el cálculo densidades en un tramo de carretera en el paso de tiempo siguiente a partir de su densidad en el instante anterior. Dentro de la función se itera entre los distintos pasos en espacio discreto, o tramos de una misma carretera ya que es en la llamada a función dónde se hace las iteraciones en tiempos y para todas las carreteras que conforman la red. Las entradas de la función son: función rho_0(x), dado ‘x’, longitud en km desde el punto inicial de la carretera, nos dé el valor de densidad de ese tramo para el instante de tiempo que nos encontramos, instante ‘i’. Funciones ‘demanda_aguas_arriba_funcion’ y ‘demanda_aguas_abajo_funcion’, necesarias para evaluarlas el instante de tiempo en el que nos en contramos en horas, esto es ‘t= i*Delta_CFL’. Pasos discretos en tiempo y en espacio ‘Delta_CFL=Delta_t’ y ‘Delta_x’, respectivamente. La salida de la función será una matriz rho, de ‘n_X’ columnas, siendo ‘n_X’ el número total de pasos discretos en espacio para la carretera, en el que se evalúa en cada instante la función Godunov_va., y 2 filas, la primera fila para el resultado de la evaluación de la función rho_0, en todos los tramos de la carretera y la segunda para el resultado de aplicar el método de Godunov, según se explica en las ecuaciones (4) del apartado 2.5. Se recuerda que en este método se aproxima el valor de la densidad que habrá en un tramo en el tiempo discreto siguiente, conociendo las funciones de densidades de flujos salientes y entrantes, calculadas estas a partir de las funciones de suministro y demanda en el tramo. Con el cociente lambda = Delta_t/ Delta_x, que multiplicado por la diferencia de flujos entre el entrante y el saliente y sumado a la densidad actual en el tramo, se calcula la aproximación que el método otorga para el siguiente instante de tiempo. Por último, para computar un parámetro que permita conocer información sobre la fluidez del tráfico, en cada instante de tiempo se calcula el tiempo total de viaje. En este apartado de la memoria, se muestra el código desarrollado. En este programa, el significado de este parámetro es la suma del tiempo total invertido que cada vehículo, que se encuentra en un tramo, tiene que invertir para pasar al siguiente. En el apartado 4, que Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras 33 corresponde a la optimización, se explicará con detalle el significado de este concepto. Se implementa mediante la función ‘TiempoTotalViaje’, y su pseudocódigo se muestra a continuación. Función_TiempoTotalViaje Pseudocódigo Entradas: Vector de estructuras ‘carretera’ (figura 3-6), para las 14 vías de la red de carreteras; Vector de estructuras Densidad(i).rho(fila=tiempo, columna=espacio, para i=1,…14, resultado final de aplicar el modelo de tráfico; delta_X, paso de tiempo discreto Salidas: vector TTT, la componente ‘i’ del vector TTT; TTT(i) refiere al tiempo total de viaje en el paso discreto de tiempo i, (en horas i*Delta_t) 1: num_carreteras = número total de carreteras, indicado por la longitud del vector de estructuras carreteras 2: Hacer (desde i=1 hasta i= num_carreteras) 3: Se guarda en vector Longitudes(i) el valor del campo longitud de carretera(i) 4: Se define una función flujo-densidad como un nuevo campo en la estructura carretera(i), carretera(i). Flujo. …..Esta función, que dependerá de la densidad ‘rho’, evaluará el mínimo entre la función suministro y demanda …..de carretera(i). (Se recuerda que en un modelo de funciones suministro-demanda, el flujo entre tramos de una …..vía se toma como el valor mínimo entre las funciones de suministro y demanda). 5: Fin Hacer 6: num_pasos_tiempo= longitud(carretera(i).rho(1,:)), necesario para conocer la dimensión del vector TTT 7: Hacer_1 (Desde t=1 hasta t=num_pasos_tiempo) 8: Hacer_2 (Desde i= 1 hasta i=num_carreteras 9: A = Densidad(i).rho(t,:) ; A, vector de todas las densidades en la carretera 'i' en el tiempo 't' f = carretera(i).Flujo ; f, es el flujo en la carretera i, según la función de la línea 4. La velocidad media en la carretera i(en el tiempo actual t), se calcula como: velocidad_carretera(i) = media( f(A)./A ) ; Siendo ./ la división elemento a elemento. Se calcula el tiempo total de viaje(TTT) como la suma de todas los tiempo de viaje de cada carretera 'i' TTT(t) = TTT(t) + Delta_x * velocidad_carretera(i) ; 10: Fin Hacer_2 11: Fin Hacer_1 12: Se representa gráficamente el tiempo total de viaje 34 Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras Para concluir con este apartado de la memoria, se mostrarán los resultados, que arroja el código que se ha desarrollado, para una simulación en la que se parten de las condiciones iniciales que se han ido mostrando a en las páginas anteriores. En la figura 3-13, se muestra la evolución de las densidades de tráfico, mediante un mapa de calor, para cada una de las carreteras, durante el tiempo de simulación tomado. Cada una de las 14 gráficas representa una de las carreteras, que se muestran en la figura 3-2. Observar que el orden con el que se representan las gráficas se ha hecho coincidir con la disposición de las carreteras que se muestra en la figura 3-2. La identificación de cada gráfica con la carretera a la que hace referencia se muestra también en la figura 3-17. En la barra derecha de la figura 3-13, se muestran la leyenda de los valores de densidad, representando por un color un valor numérico de densidad. El eje horizontal de cada una de las gráficas está comprendido entre 0 y 5 km, que es la longitud total de cada una de las 14 carreteras, que componen la red. En el eje horizontal se indica el tiempo en horas de la simulación. La precisión de la escala de los ejes viene determinada por el paso discreto de tiempo y espacio. En la figura 3-14, se representa el tiempo total de viaje, como medida del tráfico necesario para optimizar la ubicación y número de las estaciones de tráfico (apartado 4). Se comprueba que el tiempo de simulación es suficiente para que se alcance un equilibrio, en los parámetros del tráfico, en las carreteras de la red. En las figuras 3-15 y 3-16, se muestra, gráficamente la evolución durante el tiempo de simulación del número de vehículos en cada estación. Figura 3-13. Evolución de la densidad de tráfico por cada tramo de carretera para cada paso de tiempo Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras 35 Figura 3-14. Evolución del tiempo total de viaje (eje vertical) durante tiempo de simulación (eje horizontal paso discreto de tiempo) En cuanto a la capacidad ocupada de las estaciones, se representan las curvas de las figurar 3-22 para la estación 1 (en este caso en el nodo 4) y para la estación 2, figura 3-23 (en este caso en el nodo 7). Figura 3-15. Evolución del número de vehículos en la estación 1(eje vertical) durante cada paso discreto de tiempo, del tiempo total de simulación (eje horizontal) 36 Desarrollo del Modelo de Tráfico en la Red de Carreteras Figura 3-16. Evolución del número de vehículos en la estación 2(eje vertical) durante cada paso discreto de tiempo, del tiempo total de simulación (eje horizontal) Figura 3-17: Leyenda sobre correspondencia entre carretera y gráfica 37 4 OPTIMIZACIÓN DEL NÚMERO Y UBICACIÓN DE LAS ESTACIONES DE CARGA n este capítulo nos centraremos en el método de optimización del número de estaciones de carga para la red de carreteras escogidos, de modo y forma que se maximice la velocidad promedio en las carreteras, esto se computa con el Tiempo Total de Viaje, que se define en el apartado 4.2. Se desarrollarán 3 adaptaciones del método de Montecarlo. Se discutirá el efecto de los parámetros iniciales en el resultado arrojado por el algoritmo. 4.1 Explicación del método de Monte Carlo El método de Monte Carlo es un algoritmo que se basa en muestreos aleatorios repetidos para obtener resultados numéricos. Cabe recalcar que este algoritmo es usado generalmente cuando es imposible por términos de coste computacional, computar todos los casos que se quieren calcular, o bien porque el número elevado de casos no lo hace viable computacionalmente. Al ser la red de carreteras escogida de un tamaño reducido, en concreto consta de 14 carreteras, se harán por tanto 3 variaciones del método de Monte- Carlo. Este método se usa entre otras aplicaciones para resolver problemas de optimización, como se aplica en este TFG, así como para integración numérica, entre otras. Para entender en qué consiste concretamente el método se van a plantear 3 sencillos ejemplos de aplicación: - Ejemplo 1: Cálculo de aproximación del número PI. El ejemplo que se indica a continuación es uno de los más comúnmente introducidos para entender el método de Monte-Carlo. Consiste en calcular un valor aproximado del número PI, para ello supongamos que tenemos un espacio cuadrado de lado ‘d’ y dentro de este una circunferencia de diámetro ‘d’, en un espacio plano. Si dejamos caer de forma aleatoria canicas sobre este espacio y dividimos el número de canicas que han entrado dentro de la circunferencia entre las que entraron en el espacio total, conociendo el área exacta de forma matemática de cada una de las figuras podemos calcular un valor aproximado del valor de pi, como se muestra en la figura 4-1 Figura 4-1. Aproximación del valor del número PI. Fuente: [21] E 38 Optimización del Número y Ubicación de las Estaciones de Carga - Ejemplo 2: Aplicación en el cálculo de cómo se reflejan los rayos provenientes de una fuente de luz, y por lo tanto cálculo de sombras, en una simulación en 3D. Se quiere ahora calcular como se reflejan los rayos dentro de un espacio cerrado, pero en este caso si se quisiese calcular los “infinitos” rayos que emite una fuente de luz real computacionalmente sería inviable. Aplicar el método de Montecarlo consistiría en este caso en generar una cantidad suficiente de rayos, generados de forma aleatoria y calcular otros tantos, por ejemplo, como un valor promedio de los rayos vecinos más cercanos. Podríamos obtener así una solución tanto más parecida a la realidad en cuanto aumentemos el número de rayos calculados. Figura 4-2. Cálculo de rayos de luz, usando Monte Carlo - Ejemplo 3: Encontrar el mínimo de una función numéricamente. El ejemplo a continuación es un ejemplo sencillo, del método de Monte- Carlo aplicado a un problema de optimización. Encontrar el mínimo en una función suele tener un coste computacional relativamente alto, si pretendiésemos evaluar la función punto a punto y comprobar en cuál de ellos el valor es mínimo. En este caso se podría aplicar el método de Monte- Carlo tomando valores aleatorios dentro del intervalo donde se quiere encontrar el mínimo, evaluar la función en esos puntos y escoger aquel en el que la función tiene un valor mínimo como se muestra en la figura 4-3. Figura 4-3. Cálculo de mínimo función usando Monte Carlo Optimización del Número y Ubicación de las Estaciones de Carga 39 4.2 Implementación del método a la red de carreteras escogida En este apartado se pretende explicar en base a qué parámetros se pretende optimizar la red de carreteras y la influencia de los parámetros de las carreteras y de las condiciones iniciales, obteniendo por último 3 posibles variaciones del método, llamados Monte- Carlo 1, 2 y 3. Las dos primeras más específicas y la última intenta ser más generalista, siendo de posible aplicación a cualquier red de carreteras y no adaptada a la tipología de la red de 14 carreteras escogida. En primer lugar, se definen los datos de partida del problema de optimización: - En cuanto al objetivo de optimización, la ubicación de las estaciones será tal que se garantice el mínimo Tiempo Total de Viaje (Total Travel Time). El Tiempo de viaje se define como el tiempo necesario a invertir en recorrer una distancia determinada, por lo tanto, si se conoce la velocidad media durante el tramo, el tiempo de viaje será el cociente entre la distancia recorrida y la velocidad media. Extrapolando este concepto, a partir de ahora, al modelo discreto que define la red de carreteras escogida. El tiempo de viaje, en cada tramo de carretera, se calcula como el cociente entre la densidad de vehículos en el tramo y su flujo de vehículos multiplicado por la distancia que se recorre en ese tramo. Para hacer un cómputo global de este parámetro en toda la red de carreteras, se tendrá en cuenta el Tiempo Total de Viaje. Se calcula para cada paso de tiempo discreto la suma del tiempo de viaje en todos los tramos de todas las carreteras. (figura 3-14) - Dado que la red de carretera pertenece a un entorno urbano, como se comentó en el apartado 3.1, teniendo en cuenta la aplicación de optimización que este trabajo estudia para el entorno al que pertenece la red esta “se ve como una sola carretera”. Por ello se va a suponer que sólo la primera estación afectará a las funciones de flujo de entrada y salida, puesto que para un conductor que vaya a modificar su trayectoria para dirigirse a recargar su vehículo a una estación, el número de estaciones dentro de la red se va a suponer irrelevante dado que lo más probable es que la decisión sea por cercanía o para desviarse lo menos posible de su trayectoria original. - El instalar una estación de carga en un punto afectará a todas las carreteras que tengan acceso a la misma. Por la tipología de la red de carretera (figura 3-1) se considerarán hasta dos estaciones de carga. Para el problema de encontrar la localización óptima, no todas las carreteras tendrán las mismas capacidades, en lo que respecta a la admisión de número de vehículos. Como ya se comentó anteriormente el reparto se considerará equitativo en el caso de haber dos estaciones. En concreto para los resultados que se extraen en este apartado se van a considerar los valores de los parámetros que se muestran en la figura 4-4, para significado de cada uno de ellos, está explicado con detalle en el apartado 3. Los parámetros que se comentan en las figuras previamente mencionados son fijos para las 3 simulaciones de Monte-Carlo hechas. rho_cri =[50,40,35,27,25,27,25,27,27,27,27,27,27,40]; fmax = (2800/27).*[50,40,35,27,25,27,25,27,27,27,27,27,27,40]; Figura 4-4. Vectores de densidad crítica y flujo máximo para las 14 carreteras. 46 5 CONCLUSIONES GENERALES Y POSIBLES AMPLIACIONES n este este trabajo, como se ha ido comentando anteriormente se pretendía proponer una solución que priorizase el coste de computación, lo que requirió por tanto establecer ciertas limitaciones en el modelo escogido, así como en la tipología de la red de carreteras entre otras. Aun así, se ha podido corroborar que la aplicación del método de Monte – Carlo, puede proporcionar unos resultados sólidos. En este apartado de conclusiones nos centraremos en recalcar, una posible ampliación aplicando una alternativa similar a la que se ha planteado en este trabajo, así como el comentario sobre otras posibles líneas de investigación, en concreto la planteada en el artículo Grigorev,2021 [21]. Por último, se comentará brevemente, la efectividad de considerar algunos de los parámetros de tráfico, como un valor promedio, en torno a un intervalo. 5.1 Otros posibles maneras de abordar el problema: En cuanto la limitación más importante, recordar que era que el campo de direcciones del flujo de vehículos era limitado, puesto que el sentido del tráfico en las carreteras era considerado por el método de Godunov único y además existía un solo punto de entrada y otro de salida a la red de carreteras, que englobaban al conjunto externo de carreteras a la que pertenecía la red. Por lo tanto, un modelo en 2D, como el que se presenta en el apartado 2.3, podría proporcionar una aproximación más realista de lo que es un entorno urbano real, puesto que en este caso sí se parten de diferentes puntos de entrada y salida a la red de carreteras de estudio. Además, como ya se comentó anteriormente, se podría modelar con una mejor capacidad, como afectará la ocupación de las carreteras, por la instalación de una nueva estación. De todas maneras, un modelo macroscópico, es decir un modelo en el que el desplazamiento de los vehículos a través de las carreteras es computado en forma de parámetros globales, densidad y flujo de vehículos resulta una limitación importante, puesto que la decisión de recargar un vehículo eléctrico, una decisión individual del conductor que, de ser tratado en términos de parámetros globales, se haría en detrimento de la veracidad de los cálculos. También sería interesante tener en cuenta, como afectará a la red eléctrica la colocación de las nuevas estaciones de carga. En el artículo de Grigorev,2021 [21], aborda este problema a través de un modelo microscópico, y teniendo en cuenta el efecto en la red eléctrica de las estaciones. El inconveniente principal, que hubiese sido seguir una línea similar hubiese sido el elevado coste de computación, pues en este artículo la infraestructura de estaciones de carga se considera fija, y tan solo se analiza el efecto en las variaciones en el número de vehículos eléctricos dentro de la red de carreteras. Seguir un modelo de optimización, mediante métodos como el de Monte- Carlo, en el que se precisan un alto número de simulaciones, para conseguir unos resultados fiables, haría este método muy pesado en el caso de querer ser implementado en un entorno urbano real, como es el que se presenta en dicho artículo. E Conclusiones Generales y Posibles Ampliaciones 47 Los aspectos más relevantes, de este artículo, a parte de los comentados anteriormente, son: - Se asigna una función de probabilidad gaussiana, para el estado inicial de densidad de carga, para el número vehículos. - Se calcula las distancias recorridas, por los vehículos y se le asigna las estaciones de carga a recargar teniendo en cuenta la mínima distancia. - Se computa el tiempo total que los vehículos tienen que esperar, para poder conectarse a un enchufe de una estación. - Se calcula el tiempo total de carga en las estaciones y con ello, como se comentó anteriormente se calcula el consumo eléctrico. 5.2 Sobre la variabilidad del volumen de tráfico en las carreteras: En este trabajo se asume que los parámetros de distribución del tráfico tienen una cierta variabilidad dentro de un intervalo, relativamente estrecho, lo que lleva a poder extraer unos resultados, en el problema de optimización. El flujo de vehículos a través de las carreteras, aunque sea estocástico sigue una evolución, que puede ser predicha a través de datos históricos en las carreteras, pues siguen un patrón relacionado con el día de la semana, así se demuestra en el artículo, Thomas. (2013). [22] Figura 5-1 Variabilidad volumen de tráfico. Fuente: Thomas, 2013 [22] REFERENCIAS [1] ANFAC, ABRIL 2022. [En línea]. Available: https://anfac.com/mobilitytalks/mapas-puntos-de-recarga- y-coche-electrico/. [2] ANFAC, 4º Trimestre 2021. [En línea]. Available: https://anfac.com/mobilitytalks/mapas-puntos-de- recarga-y-coche-electrico/. [3] 2021. [En línea]. Available: https://sotysolar.es/blog/tipos-cargadores-vehiculos-electricos. [4] [En línea]. Available: https://www.endesax.com/es/es/historias/2021/tipos-carga-coche-electrico. [5] D. Sina y . K. Heaslip, «Transport-domain applications of widely used data sources in the smart transportation: A,» Patton Hall, Virginia Tech, Blacksburg, VA 24061. USA, 2018. 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Available: https://www.fhwa.dot.gov/publications/research/operations/its/06108/01.cfm. 50 ANEXOS A continuación, se muestra el código desarrollado en el lenguaje de programación MATLAB, a los que se hacen referencia durante el texto, que implementan 1. Modelo LWR Godunov con ecuación Burgers - Funcisodddksasasd - La función que evalúa la solución ecuación continuidad siguiendo ecuación Rieman, inmplementando la solución numérica de la ecuación de Burgers: function rho_s = eval_Rieman(rho,carretera,i,j) rho_s = 5; if ((rho(i,j+1) >= rho(i,j)) && (rho(i,j)<carretera.rho_crit/2)) rho_s = rho(i,j); end % Rarefaction wave heading to the right if ((rho(i,j) >= carretera.rho_crit/2) && (rho(i,j+1)<=carretera.rho_crit/2)) rho_s = carretera.rho_crit/2; end % Rarefaction spreading to both left and right if ((rho(i,j) >= rho(i,j+1)) && (rho(i,j+1)>=carretera.rho_crit/2)) rho_s = rho(i,j+1); end % Rarefaction wave heading to the left if ((rho(i,j) < rho(i,j+1)) && ((rho(i,j) + rho(i,j+1))<=carretera.rho_crit)) rho_s = rho(i,j); end % Shock wave heading to the right if ((rho(i,j) < rho(i,j+1)) && ((rho(i,j) + rho(i,j+1))>carretera.rho_crit)) rho_s = rho(i,j+1); end % Shock wave heading to the left end - El Código principal del programa, donde se calcula las iteraciones del método de Godunov: q0 = 500; %[veh/hr] qs = 300; carretera.longitud = 5; %en km carretera.Vmax=90; %in km/hr carretera.rho_crit= 100; %in veh/km %Long. total carretera; L=carretera.longitud; %Rho_0 = 125; % [veh/km ] un vector para almaacenar densidad inicial en cada una de las carreteras Delta_x= 0.5; %[km] % Vector para los subtramos X(1,:) = 0:Delta_x:L; n_X = length(X)-1; %Vector para las densidades iniciales en cada tramo de la carretera v1 = ones(1,uint8(n_X/2)); v2= ones(1, n_X-length(v1)); rho_L = 5; %[veh/km] rho_R = 3; % [veh/km] rho_0(1,:) = [rho_L*v1 rho_R*v2]; % CONDICION CFL rho_max=carretera.rho_crit; Vmax = carretera.Vmax; Delta_t = min(Delta_x./((abs(1-rho_0./rho_max)).*Vmax.*rho_0)); Anexos 51 alfa=1; Delta_t = alfa*Delta_t; horas_simulacion=24; T=floor(horas_simulacion/Delta_t); % Aprox. 2 horas de tiempo de simulacion n_T=T+1; rho = NaN(n_T,n_X); qsig=NaN(n_T,n_X); lambda = Delta_t / Delta_x ; rho(1,:)= rho_0; for i=1:n_T-1 %Bucle en el tiempo % Bucle en espacio j = 1; rho_s = eval_Rieman(rho,carretera,i,j); qsig(i+1,j) =(1- rho_s/rho_max)*Vmax*rho_s ; rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (q0 - qsig(i+1,j)); for j= 2:n_X-1 rho_s = eval_Rieman(rho,carretera,i,j); qsig(i+1,j) =(1- rho_s/rho_max)*Vmax*rho_s ; rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (qsig(i+1,j-1) - qsig(i+1,j)); end j = n_X; qsig(i+1,j) =(1- rho_s/rho_max)*Vmax*rho_s ; rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (qsig(i+1,j-1) - qs); end 52 Anexos 2. Modelo LWR Godunov con funciones Suministro- Demanda (Supply-Demand) Este es el código que se comenta en el apartado 2.3. Implementación de una primera aproximación al problema definitivo. Se trata de una simulación para una sola carretera. -Código principal del programa, que da los parámetros de inicio del programa: % ------------------------------------ %SIMIULACION UNA CARRETERA % ------------------------------------ clear allvariables clc tic; % (1) Especificación de los parámetros de la carretera carretera.longitud=5; %km carretera.Demanda=@(rho) (100.*rho).*(rho<=27) + (2800).*(rho>27); % veh/km carretera.Suministro=@(rho) (2800).*(rho<=27) + (14.*(27- rho)+2800).*(rho>27);% veh/km carretera.Vmax=90; % km/hr % --------------------- REPRESENTACION GRAFICA -----------------------% figure hold on ezplot(carretera.Demanda,[0 200]) ezplot(carretera.Suministro,[0 200]) hold off % ------------------------------------------------------- % (2) Función de densidades iniciales rho_0=@(x) 20.*(x<=2.5) + 100.*(x>2.5) ; %in veh/km % (3) Función demanda aguas arriba Demanda_aguasarriba=@(t) 2400.*(t<=12)+1200.*(t>12); % veh/hr % (4) Función suministro aguas abajo Suministro_aguasabajo=@(t) 2000; %veh/hr % (5) Paso discreto en espacio y duración de la simulación Delta_x = 0.2; %km T = 24; %horas % (6) Ejecución de la función cálculo densidades, método Godunov. [rho,Delta_t]=Godunov(carretera,rho_0, Demanda_aguasarriba,Suministro_aguasabajo, Delta_x,T) ; toc Siendo la función Godunov a la que se llama, desde el programa principal: function [rho,Delta_t]=Godunov(carretera,rho_0,... Demanda_aguasarriba,Suministro_aguasabajo,... Delta_x,T) %Longitud total de la carretera L = carretera.longitud; % Condición CFL factor_seguridad = 1.5; %>=1 Delta_t = Delta_x / (factor_seguridad*carretera.Vmax); % Initializacion n_T = length(0:Delta_t:T); Anexos 53 X = Delta_x/2:Delta_x:L-Delta_x/2; n_X = length(X(1,:)); rho = NaN(n_T,n_X); rho(1,:) = rho_0(X); lambda = Delta_t / Delta_x ; Demanda = carretera.Demanda ; Suministro = carretera.Suministro ; % Bucle en el tiempo for i=1:n_T-1 j = 1; qe = min( Demanda_aguasarriba(i*Delta_t), Suministro(rho(i,j)) ); qs = min( Demanda(rho(i,j)), Suministro(rho(i,j+1)) ); rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (qe-qs); qe = qs; for j= 2:n_X qs = min( Demanda(rho(i,j)), Suministro(rho(i,j+1)) ); rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (qe-qs); qe = qs; end j = n_X; qs = min( Demanda(rho(i,j)), Suministro_aguasabajo(i*Delta_t) ); rho(i+1,j) = rho(i,j) + lambda * (qe-qs); end clear X end 54 Anexos 3. Funciones, a las que se hace referencia en el apartado 3 de la memoria. 3.1 Función ‘eval_porcentajes’: function [A23, P45, P67,nodos_a,porcent] = eval_porcentajes(nodos,p_veh_elect) inic=0.5; % porcentaje de flujo de vehiculos que toma el carril izquierdo(carreteras 1-2-4-...) % 0<inic<1 f=0; porcent= p_veh_elect.*(nodos(1)>0 || nodos(2)>0); if (nodos(1)~=0 && nodos(2)~=0) porcent = p_veh_elect/2; end if (nodos(1) ==4 && nodos(2) ==5) || (nodos(1) == 5 && nodos(2)==4) A23 = inic*(1 + p_veh_elect); P45 = inic ; P67 = inic; f=1;nodos_a=nodos; end if (nodos(1) ==6 && nodos(2) ==7) || (nodos(1) == 7 && nodos(2)==6) A23 = inic*(1 - p_veh_elect); P45 = inic ; P67 = inic; f=1;nodos_a=nodos; end if f== 0 if (nodos(1)==6 || nodos(1)==7|| nodos(2)==4 || nodos(2)==5) nodos_a=[nodos(2) nodos(1)]; else nodos_a=nodos; end A23 = inic*(1 + p_veh_elect*(nodos_a(1)>0) - p_veh_elect*(nodos_a(2)>0)); P45 = inic*(1 + p_veh_elect*(nodos_a(1)==4) - ... p_veh_elect*(nodos_a(1)==5)) ; P67 = inic*(1 + p_veh_elect*(nodos_a(2)==6) - ... p_veh_elect*(nodos_a(2)==7)) ; end end Anexos 55 3.2 Función cálculo densidades Godunov, paso 6 del apartado 3 function rho = Godunov_va(carretera,rho_0,... Demanda_aguasarriba,Suministro_aguasabajo,... Delta_x,t,Delta_CFL) % t es el tiempo en el que estoy necesario para Demanda_aguas_arriba_funcion y aguas_abajo % Longitud total de la carretera L = carretera.longitud; %Vector discreto de distancias entre tramos X(1,:) = Delta_x/2:Delta_x:L-Delta_x/2; % Inicializacion n_X = length(X(1,:)); rho = NaN(2,n_X); % rho es una matriz, en la primera fila-> rho en el tiempo anterior % en la segunda las del tiempo siguiente( el que se calcula en esta % iteracion) rho(1,:) = rho_0(X(1,:)); lambda = Delta_CFL / Delta_x ; Suministro = carretera.Suministro ; Demanda = carretera.Demanda ; % Bucle en espacio j = 1; qe = min( Demanda_aguasarriba(t), Suministro(rho(1,j)) ); qs = min( Demanda(rho(1,j)), Suministro(rho(1,j+1)) ); rho(2,j) = rho(1,j) + lambda * (qe-qs); qe = qs; for j= 2:n_X-1 Demanda = carretera.Demanda ; Suministro = carretera.Suministro ; qs = min( Demanda(rho(1,j)), Suministro(rho(1,j+1)) ); rho(2,j) = rho(1,j) + lambda * (qe-qs); qe = qs; end j = n_X; Demanda = carretera.Demanda ; qs = min( Demanda(rho(1,j)), Suministro_aguasabajo(t) ); rho(2,j) = rho(1,j) + lambda * (qe-qs); clear X end